Вписанные и описанные окружности многоугольников 🎯

Три деревни стоят в поле, и нужно поставить между ними вышку сотовой связи так, чтобы до каждой деревни было одинаково далеко. Где её ставить? А если нужно разбить круглую клумбу внутри треугольного участка, самую большую из возможных, чтобы она касалась всех трёх заборов? Где центр клумбы и каков её радиус? Это две разные задачи с двумя разными ответами. У каждого треугольника есть «описанная» и «вписанная» окружность, и их центры — две разные замечательные точки.

С четырёхугольниками всё интереснее. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, а вокруг четырёхугольника — не всегда. Прямоугольник пожалуйста, а ромб (не квадрат) ни за что. В ромб зато легко вписать окружность, а в прямоугольник (не квадрат) нельзя. Кто решает, кому можно? Два коротких условия, которые помещаются в одну строку, и сегодня ты их выведешь сам.

На ОГЭ эта тема живёт в задании 16, в ЕГЭ — в задании 1 (планиметрия) и во второй части. А за пределами экзаменов вписанные и описанные окружности встречаются везде, где многоугольник нужно «оценить кругом»: при проверке столкновений в играх, при построении треугольных сеток для 3D-моделей, при приближении круга многоугольником на экране.

Ты узнаешь:

🎯 Где лежат центры вписанной и описанной окружностей треугольника и как найти их радиусы $r$ и $R$

🎯 Какие четырёхугольники можно вписать в окружность и в какие можно вписать окружность, и почему

🎯 Как устроены правильные многоугольники и как Архимед с их помощью «поймал» число $\pi$

🎯 Готовые формулы для прямоугольного и равностороннего треугольника, которые экономят минуты на экзамене

История: откуда это взялось? 📜

Вся четвёртая книга «Начал» Евклида (около 300 г. до н. э.) посвящена ровно этой теме: как вписать окружность в треугольник, как описать её около треугольника, как вписать в окружность квадрат, правильный пятиугольник, шестиугольник и даже пятнадцатиугольник. Всё строится циркулем и линейкой. Греков интересовали не только красивые построения: правильные многоугольники нужны были архитекторам (колоннады, купола) и астрономам (деление небесной окружности).

Около 250 г. до н. э. Архимед использовал вписанные и описанные правильные многоугольники, чтобы оценить отношение длины окружности к диаметру. Окружность зажата между периметром вписанного и описанного многоугольников. Архимед начал с шестиугольников и удваивал число сторон до 96. Результат: $3\tfrac{10}{71} < \pi < 3\tfrac17$, то есть $3{,}1408 < \pi < 3{,}1429$. Это было первое строгое вычисление $\pi$ с гарантированной точностью, по сути один из первых численных алгоритмов с оценкой погрешности.

В 1796 году 19-летний Карл Фридрих Гаусс доказал, что правильный 17-угольник можно построить циркулем и линейкой. Над этой задачей две тысячи лет никто не продвинулся дальше Евклида. Открытие так впечатлило Гаусса, что он выбрал математику вместо филологии. Мостик в сегодня: когда игровой движок рисует круг, он рисует правильный многоугольник с большим числом сторон, вписанный в этот круг. Чем больше сторон, тем глаже круг и тем больше работы у видеокарты. Та же идея Архимеда — многоугольник вместо круга — работает в каждом кадре.

Блок 1: Окружности треугольника — описанная и вписанная

Давай разберёмся с интуицией

Окружность описана около многоугольника, если все его вершины лежат на окружности. Окружность вписана в многоугольник, если она касается всех его сторон. Сам многоугольник в первом случае называется вписанным, во втором — описанным.

Описанная окружность треугольника. Вернёмся к вышке и трём деревням $A$, $B$, $C$. Точки, равноудалённые от $A$ и $B$, образуют серединный перпендикуляр к отрезку $AB$ — прямую, проходящую через середину $AB$ перпендикулярно ему. Точки, равноудалённые от $B$ и $C$, — серединный перпендикуляр к $BC$. Эти две прямые пересекаются в точке $O$, которая равноудалена от всех трёх деревень: $OA = OB = OC$. Значит, $O$ лежит и на третьем серединном перпендикуляре, к $AC$.

Теорема: около любого треугольника можно описать окружность, и только одну. Её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

Где лежит центр? Это зависит от вида треугольника:

• остроугольный треугольник — центр внутри;
• прямоугольный — центр в середине гипотенузы (теорема Фалеса из прошлого урока), $R = \dfrac{c}{2}$;
• тупоугольный — центр снаружи, за самой длинной стороной.

Вписанная окружность треугольника. Теперь клумба. Центр вписанной окружности должен быть равноудалён от всех трёх сторон. Точки, равноудалённые от двух сторон угла, лежат на его биссектрисе. Биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $I$, равноудалённой от всех трёх сторон, а значит, через неё проходит и третья биссектриса.

Теорема: в любой треугольник можно вписать окружность, и только одну. Её центр — точка пересечения биссектрис; он всегда лежит внутри треугольника.

Формулы радиусов. Их две основные:

где $S$ — площадь треугольника, $p = \dfrac{a + b + c}{2}$ — полупериметр. Первая формула — это теорема синусов. Вторую легко вывести: соедини центр $I$ с вершинами, и треугольник распадётся на три треугольника с высотами $r$ и основаниями $a$, $b$, $c$:

Отрезки касательных. Вписанная окружность касается сторон в трёх точках. Отрезки касательных из каждой вершины равны (прошлый урок), и из вершины $A$ этот отрезок равен $p - a$. Для прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ отсюда получается очень удобная формула. Вписанная окружность, прямой угол $C$ и две точки касания на катетах образуют квадрат со стороной $r$. Значит, отрезки касательных из острых углов равны $a - r$ и $b - r$, и в сумме они составляют гипотенузу:

Равносторонний треугольник со стороной $a$: все замечательные точки совпадают. Медиана является и высотой, и биссектрисой, и её длина $h = \dfrac{a\sqrt3}{2}$. Точка пересечения медиан делит медиану в отношении $2:1$, поэтому

Аналогия

Описанная окружность — это минимальная «зона покрытия» для вершин: вышка связи в центре $O$ с радиусом действия $R$ накрывает все три деревни (для остроугольного треугольника это ещё и самая маленькая такая зона; у тупоугольного минимальный круг — с диаметром на самой длинной стороне). Вписанная окружность — самый большой круг, который помещается внутрь: круглый стол в треугольной комнате, фонтан на треугольной площади.

Для программиста: описанная окружность — это bounding circle (ограничивающий круг) для вершин, а вписанная — наибольший вписанный круг, «безопасная зона» внутри полигона. Игровые движки проверяют столкновения сначала грубо, по ограничивающим кругам (дёшево), и только если круги пересеклись, считают точное столкновение полигонов (дорого).

Пример 1 (лёгкий): прямоугольный треугольник

Катеты прямоугольного треугольника равны $6$ и $8$. Найди радиусы описанной и вписанной окружностей.

Решение:

Шаг 1. Гипотенуза $c = \sqrt{36 + 64} = 10$.

Шаг 2. $R = \dfrac{c}{2} = 5$.

Шаг 3. $r = \dfrac{a + b - c}{2} = \dfrac{6 + 8 - 10}{2} = 2$.

Проверим наш ответ через общую формулу: $S = \tfrac12 \cdot 6 \cdot 8 = 24$, $p = 12$, $r = \tfrac{24}{12} = 2$ ✅.

Ответ: $R = 5$, $r = 2$.

Пример 2 (средний): равносторонний треугольник

Сторона равностороннего треугольника равна $6\sqrt3$. Найди $R$ и $r$.

Решение:

Шаг 1. $R = \dfrac{a}{\sqrt3} = \dfrac{6\sqrt3}{\sqrt3} = 6$.

Шаг 2. $r = \dfrac{R}{2} = 3$.

Проверим наш ответ: высота $h = \dfrac{a\sqrt3}{2} = \dfrac{6\sqrt3 \cdot \sqrt3}{2} = 9$, и действительно $R + r = 6 + 3 = 9 = h$ ✅.

Ответ: $R = 6$, $r = 3$.

Пример 3 (сложный): треугольник 13–14–15

Стороны треугольника $13$, $14$, $15$. Найди радиусы вписанной и описанной окружностей.

Решение:

Шаг 1. Полупериметр $p = \dfrac{13 + 14 + 15}{2} = 21$.

Шаг 2. Площадь по формуле Герона:

Шаг 3. $r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{84}{21} = 4$.

Шаг 4. $R = \dfrac{abc}{4S} = \dfrac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \dfrac{2730}{336} = \dfrac{65}{8} = 8{,}125$.

Ответ: $r = 4$, $R = 8{,}125$.

Треугольник 13–14–15 — любимец составителей задач: у него целые стороны, площадь и $r$, а высота к стороне $14$ равна $12$ (он склеен из прямоугольных треугольников $5{-}12{-}13$ и $9{-}12{-}15$).

Почему это важно

Две окружности треугольника — это две разные «средние точки»: центр описанной равноудалён от вершин, центр вписанной — от сторон. Это различие работает и в жизни. Хочешь поставить склад, одинаково удалённый от трёх магазинов, — ищи центр описанной окружности. Хочешь поставить что-то как можно дальше от трёх заборов — центр вписанной.

В вычислительной геометрии описанная окружность — сердце триангуляции Делоне: сетка треугольников строится так, чтобы в описанной окружности каждого треугольника не было других точек. Такие сетки избегают «иголок», очень узких треугольников, и поэтому используются в методе конечных элементов (прочностные расчёты, моделирование потоков), в 3D-сканировании и при интерполяции данных на неравномерной сетке. Двойственная к ней диаграмма Вороного (разбиение плоскости на «зоны ближайшего соседа», по сути алгоритм k-NN при $k = 1$) строится из центров описанных окружностей треугольников Делоне.

Блок 2: Вписанные и описанные четырёхугольники

Давай разберёмся с интуицией

С треугольником всегда всё получается: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна окружность. А четвёртая точка может на неё попасть, а может и нет. Значит, нужно условие.

Вписанный четырёхугольник. Пусть $ABCD$ вписан в окружность. Углы $A$ и $C$ — вписанные, они опираются на хорду $BD$ с разных сторон, то есть на две дуги, которые вместе составляют всю окружность ($360°$). Значит,

Теорема (свойство и признак): четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180°$:

$$\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180°.$$

Посмотрим, кто проходит проверку:

• прямоугольник и квадрат — да ($90° + 90°$), центр окружности — точка пересечения диагоналей;
• параллелограмм общего вида, ромб — нет: противоположные углы равны, и сумма $180°$ получится только при прямых углах;
• равнобедренная трапеция — да: $\angle A + \angle B = 180°$ (углы при боковой стороне), а $\angle B = \angle C$, поэтому $\angle A + \angle C = 180°$;
• неравнобедренная трапеция — нет. Вывод: если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная.

Описанный четырёхугольник. Пусть окружность вписана в $ABCD$ и касается сторон в четырёх точках. Из каждой вершины выходят два равных отрезка касательных: обозначим их $x$ (из $A$), $y$ (из $B$), $z$ (из $C$), $w$ (из $D$). Тогда

Складываем противоположные: $AB + CD = x + y + z + w = BC + DA$.

Теорема (свойство и признак): в выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны:

$$AB + CD = BC + AD.$$

Кто проходит проверку:

• ромб и квадрат — да (все стороны равны), центр — точка пересечения диагоналей, $r = \dfrac{h}{2}$;
• прямоугольник (не квадрат) — нет: $a + a \ne b + b$;
• трапеция — только если сумма оснований равна сумме боковых сторон. Тогда средняя линия $m = \dfrac{a + b}{2}$ равна полусумме боковых сторон, а высота трапеции равна диаметру вписанной окружности: $h = 2r$.

Для равнобедренной описанной трапеции получается особенно красиво: каждая боковая сторона равна полусумме оснований, то есть средней линии.

Аналогия

Условие для вписанного четырёхугольника — про углы: окружность «чувствует» углы, потому что вписанные углы измеряются дугами. Условие для описанного — про стороны: вписанная окружность «чувствует» стороны, потому что касается их, и отрезки касательных раскладывают каждую сторону на кусочки.

Бытовой образ. Представь четыре гвоздя на столе и резинку. Чтобы резинка-окружность прошла через все четыре гвоздя, их надо расставить «правильно»: сдвинешь один, и окружность через три других пройдёт мимо четвёртого. А теперь представь монету, которую надо зажать четырьмя линейками так, чтобы она касалась всех. Это получится, только если «баланс» длин соблюдён: пары противоположных сторон весят одинаково.

Пример 1 (лёгкий): угол вписанного четырёхугольника

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, $\angle A = 73°$. Найди угол $C$.

Решение:

Ответ: $107°$.

Пример 2 (средний): описанный четырёхугольник

Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB = 7$, $BC = 9$, $CD = 12$. Найди $AD$ и периметр.

Решение:

Шаг 1. $AB + CD = BC + AD \implies 7 + 12 = 9 + AD \implies AD = 10$.

Шаг 2. $P = 7 + 9 + 12 + 10 = 38$.

Лайфхак: периметр описанного четырёхугольника равен удвоенной сумме любой пары противоположных сторон: $P = 2(7 + 12) = 38$ ✅.

Ответ: $AD = 10$, $P = 38$.

Пример 3 (сложный): описанная равнобедренная трапеция

В равнобедренную трапецию с основаниями $4$ и $16$ вписана окружность. Найди боковую сторону, высоту трапеции и радиус окружности.

Решение:

Шаг 1. Сумма боковых сторон равна сумме оснований: $2l = 4 + 16 = 20$, $l = 10$.

Шаг 2. Высота из вершины меньшего основания отсекает на большем отрезок $\dfrac{16 - 4}{2} = 6$. По Пифагору $h = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$.

Шаг 3. Высота описанной трапеции равна диаметру вписанной окружности: $r = \dfrac{h}{2} = 4$.

Проверим наш ответ ещё одним способом. У описанной равнобедренной трапеции $h^2 = a \cdot b$ (высота — среднее геометрическое оснований): $4 \cdot 16 = 64 = 8^2$ ✅. Этот факт вытекает из той же картинки: $l^2 - \left(\tfrac{a - b}{2}\right)^2 = \left(\tfrac{a + b}{2}\right)^2 - \left(\tfrac{a - b}{2}\right)^2 = ab$.

Ответ: боковая сторона $10$, высота $8$, $r = 4$.

Почему это важно

Два условия — «противоположные углы в сумме $180°$» и «суммы противоположных сторон равны» — работают в обе стороны: и как свойство, и как признак. Поэтому они так удобны в задачах. Видишь вписанный четырёхугольник — пиши уравнение на углы. Видишь описанный — на стороны. А ещё они сразу отвечают на вопросы «какая трапеция может быть вписана» (только равнобедренная) и «какой параллелограмм может быть описан» (только ромб).

Практический смысл «вписанности» четырёх точек — проверка, лежат ли они на одной окружности. В компьютерном зрении это одна из задач распознавания форм (поиск окружностей и эллипсов на изображении, преобразование Хафа). А в алгоритмах триангуляции тест «лежит ли точка $D$ внутри окружности, описанной около $ABC$» (in-circle test) вызывается миллионы раз и реализуется как знак определителя $3 \times 3$. Это прямое вычислительное воплощение условия «сумма противоположных углов больше, меньше или равна $180°$».

Блок 3: Правильные многоугольники

Давай разберёмся с интуицией

Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник (соты, гайка), правильный восьмиугольник (знак STOP).

Оба условия нужны. Ромб — все стороны равны, но углы разные. Прямоугольник — все углы равны, но стороны разные. Ни тот, ни другой не правильный многоугольник, если это не квадрат.

Теорема: около любого правильного многоугольника можно описать окружность и в любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Их центры совпадают (этот центр называется центром многоугольника).

Соедини центр со всеми вершинами правильного $n$-угольника. Он распадётся на $n$ равных равнобедренных треугольников с вершиной в центре. Боковые стороны этих треугольников — радиусы описанной окружности $R$, высоты — радиусы вписанной окружности $r$ (они же апофемы), угол при вершине — центральный угол $\dfrac{360°}{n}$.

Формулы правильного $n$-угольника со стороной $a$:

Формула внутреннего угла получается из суммы углов: $n$-угольник разбивается диагоналями из одной вершины на $n - 2$ треугольника, сумма углов $180°(n - 2)$ делится поровну на $n$ углов. А формулы для $R$ и $r$ — это обычная тригонометрия в прямоугольном треугольнике: половина стороны $\tfrac{a}{2}$, угол $\tfrac{180°}{n}$ напротив неё, гипотенуза $R$, прилежащий катет $r$.

Самые важные частные случаи (их стоит знать наизусть):

Шестиугольник — особенный: центральный угол $60°$, поэтому все шесть треугольников равносторонние, и сторона равна радиусу описанной окружности. Это единственный правильный многоугольник с таким свойством. Именно поэтому правильный шестиугольник так легко построить циркулем: шесть раз откладываешь радиус по окружности.

Аналогия

Правильный многоугольник — это «пицца», разрезанная на $n$ одинаковых кусков, у которой срезали корочку по прямым. Каждый кусок — равнобедренный треугольник, $R$ — длина разреза от центра до края, $r$ — расстояние от центра до середины срезанной корочки. Чем больше кусков, тем меньше срезано и тем ближе многоугольник к кругу: $r$ и $R$ сближаются.

В компьютерной графике это буквальная аналогия. В OpenGL и других графических API нет «круга»: есть только треугольники. Чтобы нарисовать круг, программа строит правильный $n$-угольник из $n$ треугольников «веером» от центра. При $n = 8$ круг выглядит угловатым, при $n = 64$ на обычном экране он уже неотличим от настоящего. Выбор $n$ — компромисс между качеством картинки и нагрузкой на видеокарту. Инженеры называют это уровнем детализации (LOD).

Пример 1 (лёгкий): угол правильного двенадцатиугольника

Найди внутренний угол правильного двенадцатиугольника.

Решение:

Второй способ через внешний угол: внешний угол $\dfrac{360°}{12} = 30°$, внутренний $180° - 30° = 150°$ ✅.

Ответ: $150°$.

Пример 2 (средний): шестиугольник

Сторона правильного шестиугольника равна $5$. Найди радиусы описанной и вписанной окружностей.

Решение:

Шаг 1. У шестиугольника $R = a = 5$.

Шаг 2. $r$ — высота равностороннего треугольника со стороной $5$:

Ответ: $R = 5$, $r = \dfrac{5\sqrt3}{2} \approx 4{,}33$.

Пример 3 (сложный): число сторон по углу

Внутренний угол правильного многоугольника равен $140°$. Сколько у него сторон? Найди отношение $\dfrac{r}{R}$ для этого многоугольника.

Решение:

Шаг 1. Внешний угол $180° - 140° = 40°$. Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника $360°$, поэтому

Шаг 2. В прямоугольном треугольнике «центр — вершина — середина стороны» угол при центре равен $\dfrac{180°}{n} = 20°$, гипотенуза $R$, прилежащий катет $r$:

Ответ: $9$ сторон; $\dfrac{r}{R} = \cos 20° \approx 0{,}94$.

Заметь общий закон: $\dfrac{r}{R} = \cos \dfrac{180°}{n}$. Для треугольника $\cos 60° = 0{,}5$ (отсюда $R = 2r$), для квадрата $\cos 45° \approx 0{,}71$, для шестиугольника $\cos 30° \approx 0{,}87$. Чем больше $n$, тем ближе отношение к $1$, и вписанная и описанная окружности почти сливаются.

Почему это важно

Правильные многоугольники — мост между прямыми и кругом. Архимед зажал окружность между вписанным и описанным 96-угольниками и получил $\pi$ с точностью до сотых. Это один из первых примеров предельного перехода, идеи, из которой через две тысячи лет вырос математический анализ: длина окружности — предел периметров вписанных многоугольников при $n \to \infty$.

В технике правильный шестиугольник — чемпион. Пчелиные соты, графитовые слои и графен, гайки и головки болтов, гексагональные сетки в стратегиях. Шестиугольниками можно без зазоров замостить плоскость, и из всех таких разбиений на одинаковые ячейки равной площади шестиугольная даёт минимальный периметр (это «гипотеза о сотах», строго доказанная Томасом Хейлсом в 1999 году). В геоинформационных системах, например в системе H3 от Uber, Земля разбита на шестиугольные ячейки для агрегации данных и ML-моделей спроса: у шестиугольника все соседи находятся на одинаковом расстоянии от центра, чего нет у квадратной сетки.

Практика: 30 заданий

Базовые (задания 1–10)

Задание 1: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $26$. Найди радиус описанной окружности.

Задание 2: Катеты прямоугольного треугольника равны $5$ и $12$. Найди радиус вписанной окружности.

Задание 3: Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен $8$. Найди радиус вписанной окружности.

Задание 4: Сторона правильного треугольника равна $12\sqrt3$. Найди радиус описанной окружности.

Задание 5: Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, $\angle B = 64°$. Найди угол $D$.

Задание 6: Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB = 5$, $BC = 6$, $CD = 11$. Найди периметр четырёхугольника.

Задание 7: Сторона квадрата равна $10$. Найди радиус вписанной в него окружности.

Задание 8: Квадрат вписан в окружность радиуса $3\sqrt2$. Найди сторону квадрата.

Задание 9: Сторона правильного шестиугольника равна $7$. Найди радиус описанной окружности.

Задание 10: Найди внутренний угол правильного десятиугольника.

Средние (задания 11–20)

Задание 11: Стороны треугольника равны $5$, $5$ и $6$. Найди радиус вписанной окружности.

Задание 12: Стороны треугольника равны $10$, $10$ и $12$. Найди радиус описанной окружности.

Задание 13: Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен $8{,}5$, один из катетов равен $8$. Найди радиус вписанной окружности.

Задание 14: Средняя линия трапеции, описанной около окружности, равна $9$. Найди периметр трапеции.

Задание 15: Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, угол $A$ вдвое больше угла $C$. Найди угол $A$.

Задание 16: В равнобедренную трапецию с основаниями $2$ и $8$ вписана окружность. Найди её радиус.

Задание 17: Центральный угол правильного многоугольника (угол, под которым сторона видна из центра) равен $24°$. Сколько сторон у многоугольника?

Задание 18: Сторона ромба равна $10$, диагонали $12$ и $16$. Найди радиус вписанной окружности.

Задание 19: Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен $2\sqrt3$. Найди сторону треугольника.

Задание 20: Стороны прямоугольника равны $6$ и $8$. Найди радиус описанной около него окружности.

Продвинутые (задания 21–30)

Задание 21 (формат ЕГЭ, задание 1): В треугольнике $ABC$ сторона $BC = 8$, угол $A$ равен $30°$. Найди радиус описанной окружности.

Задание 22: Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны $2$ и $6{,}5$. Найди периметр треугольника.

Задание 23: Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, $\angle BAC = 30°$, $\angle CAD = 40°$. Найди угол $BCD$.

Задание 24: В окружность вписан квадрат, а около неё описан другой квадрат. Во сколько раз площадь описанного квадрата больше площади вписанного?

Задание 25: Правильный шестиугольник вписан в окружность радиуса $6$. Найди радиус окружности, вписанной в этот шестиугольник.

Задание 26: Прямоугольная трапеция с основаниями $4$ и $12$ описана около окружности. Найди радиус окружности.

Задание 27: В треугольнике $ABC$ $\angle A = 50°$, $\angle B = 60°$, $I$ — центр вписанной окружности. Найди угол $AIB$.

Задание 28: Стороны треугольника равны $9$, $10$ и $17$. Найди радиус описанной окружности. Где лежит её центр?

Задание 29 (как Архимед и как видеокарта): Найди периметр правильного 12-угольника, вписанного в окружность радиуса $1$. Сравни с длиной окружности $2\pi$. Ответ округли до сотых.

Задание 30: Катеты прямоугольного треугольника равны $6$ и $8$. Найди расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: путают центр вписанной и описанной окружностей Неправильно: «Центр описанной окружности — точка пересечения биссектрис». Правильно: описанная окружность проходит через вершины, её центр — пересечение серединных перпендикуляров. Вписанная касается сторон, её центр — пересечение биссектрис. Почему важно: подсказка-мнемоника: «описанная — от вершин, равные расстояния до точек — серединный перпендикуляр; вписанная — от сторон, равные расстояния до прямых — биссектриса».

❌ Ошибка 2: для прямоугольного треугольника считают $R$ через катет Неправильно: катеты $6$ и $8$, значит, $R = 4$ (половина большего катета). Правильно: $R$ — половина гипотенузы: $R = 5$. Почему важно: центр описанной окружности прямоугольного треугольника всегда в середине гипотенузы, это теорема Фалеса.

❌ Ошибка 3: $R = 2r$ применяют к любому треугольнику Неправильно: в треугольнике со сторонами $6$, $8$, $10$ $R = 5$, значит, $r = 2{,}5$. Правильно: $R = 2r$ только для равностороннего треугольника. Здесь $r = 2$. Для любого другого треугольника $R > 2r$ (неравенство Эйлера). Почему важно: формулы равностороннего треугольника очень удобны, и их по инерции тащат куда не надо.

❌ Ошибка 4: путают условия вписанности и описанности Неправильно: «Четырёхугольник описан около окружности, значит, $\angle A + \angle C = 180°$». Правильно: описанный — суммы противоположных сторон равны; вписанный — суммы противоположных углов равны $180°$. Почему важно: мнемоника: «вписанный — в окружность — углы опираются на дуги; описанный — окружность касается сторон — стороны».

❌ Ошибка 5: считают, что в любую трапецию можно вписать окружность Неправильно: «Трапеция с основаниями $4$ и $10$ и боковыми сторонами $5$ и $6$ описана около окружности». Правильно: нужно $4 + 10 = 5 + 6$, а $14 \ne 11$. Вписать окружность нельзя. А описать окружность можно только около равнобедренной трапеции. Почему важно: в задачах части 2 это условие — главное уравнение, без которого задача не решается.

❌ Ошибка 6: путают внутренний угол правильного многоугольника с центральным Неправильно: у правильного шестиугольника угол $60°$. Правильно: $60°$ — это центральный угол ($360° : 6$). Внутренний угол шестиугольника $120°$. Они связаны: внутренний $= 180° -$ центральный. Почему важно: это частая ловушка задач ОГЭ «найдите угол правильного многоугольника».

Главное запомнить

📝 Ключевые понятия

✅ Описанная окружность треугольника: центр — пересечение серединных перпендикуляров; внутри у остроугольного, в середине гипотенузы у прямоугольного, снаружи у тупоугольного.

✅ Вписанная окружность треугольника: центр — пересечение биссектрис, всегда внутри.

✅ Формулы: $R = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{abc}{4S}$, $r = \dfrac{S}{p}$.

✅ Прямоугольный треугольник: $R = \dfrac{c}{2}$, $r = \dfrac{a + b - c}{2}$.

✅ Равносторонний треугольник: $R = \dfrac{a\sqrt3}{3}$, $r = \dfrac{a\sqrt3}{6}$, $R = 2r$, $R + r = h$.

✅ Вписанный четырёхугольник: $\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180°$. Из параллелограммов — только прямоугольник, из трапеций — только равнобедренная.

✅ Описанный четырёхугольник: $AB + CD = BC + AD$. Из параллелограммов — только ромб; у описанной трапеции $h = 2r$.

✅ Правильный $n$-угольник: внутренний угол $\dfrac{180°(n - 2)}{n}$, центральный $\dfrac{360°}{n}$, $R = \dfrac{a}{2\sin\frac{180°}{n}}$, $r = \dfrac{a}{2\operatorname{tg}\frac{180°}{n}}$.

✅ Шестиугольник: $R = a$, $r = \dfrac{a\sqrt3}{2}$. Квадрат: $R = \dfrac{a\sqrt2}{2}$, $r = \dfrac{a}{2}$.

✅ Отрезок касательной из вершины треугольника $A$ равен $p - a$.

Связь с другими темами курса

Что нужно было знать до этого урока:

• Окружность: центральный и вписанный угол, касательная, хорды — теорема о вписанном угле и отрезки касательных — две опоры всего урока.
• Теорема синусов — формула $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$ связывает стороны треугольника с радиусом описанной окружности.
• Четырёхугольники — свойства трапеции, ромба и прямоугольника, которые здесь проверялись на вписанность и описанность.
• Треугольники — биссектриса, серединный перпендикуляр, замечательные точки.

Что изучить дальше:

• Площади фигур — формулы $S = pr$ и $S = \dfrac{abc}{4R}$ станут рабочими инструментами для площадей.
• Теорема косинусов — вместе с теоремой синусов позволяет найти $R$ для треугольника, заданного любым набором данных.
• Задание 16 ОГЭ и задание 1 ЕГЭ — экзаменационный формат задач на окружности.
• Вычислительная геометрия — где описанные окружности работают в алгоритмах.
• Предел последовательности — периметры вписанных многоугольников, стремящиеся к $2\pi R$, — пример предела.

Где это нужно в жизни:

• 🎮 В играх: ограничивающие окружности для быстрой проверки столкновений; круги, нарисованные как правильные многоугольники; гексагональные карты.
• 📱 В технологиях: шестиугольные ячейки сотовой связи и геосистем вроде H3 для агрегации данных о поездках.
• 🤖 В ML/AI: триангуляция Делоне и диаграммы Вороного (ближайший сосед) строятся через описанные окружности.
• 🏗 В инженерии: метод конечных элементов на «хороших» треугольных сетках; гайки и болты с шестигранными головками.

Интересные факты

💡 Прямая Эйлера. В любом треугольнике центр описанной окружности $O$, точка пересечения медиан $G$ и точка пересечения высот $H$ лежат на одной прямой, причём $G$ делит отрезок $OH$ в отношении $1:2$. Леонард Эйлер доказал это в 1765 году. А расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей подчиняется формуле $OI^2 = R^2 - 2Rr$ (её независимо нашли Уильям Чаппл и Эйлер). Из неё сразу следует $R \ge 2r$, и равенство возможно только для равностороннего треугольника.

💡 Окружность девяти точек. Середины трёх сторон, основания трёх высот и середины трёх отрезков от вершин до ортоцентра — девять точек любого треугольника лежат на одной окружности. Её радиус ровно $\dfrac{R}{2}$. Карл Фейербах доказал, что она касается вписанной окружности, и это одна из самых красивых теорем элементарной геометрии.

💡 Гаусс и 17-угольник. Гаусс доказал больше, чем построимость 17-угольника. Правильный $n$-угольник строится циркулем и линейкой тогда, когда $n$ — произведение степени двойки и различных простых чисел Ферма ($3, 5, 17, 257, 65537$). Например, правильный 7-угольник и 9-угольник построить нельзя. Существует рукопись с построением 65537-угольника: над ней около десяти лет работал Иоганн Густав Гермес, а хранится она в чемодане в Гёттингенском университете.

💡 Пчёлы — прикладные геометры. Ещё Папп Александрийский (IV век) писал, что пчёлы выбирают шестиугольник «с некоторым геометрическим предвидением»: из трёх правильных многоугольников, которыми можно замостить плоскость (треугольник, квадрат, шестиугольник), он ближе всех к кругу и требует меньше всего воска на стенки при той же площади ячейки.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Прямоугольный треугольник — две формулы в одну строку $R = \dfrac{c}{2}$, $r = \dfrac{a + b - c}{2}$. Никаких площадей и полупериметров. Пример: треугольник $5{-}12{-}13$: $R = 6{,}5$, $r = 2$.

2. Равносторонний треугольник: «высота делится на три» Высота $h = \dfrac{a\sqrt3}{2}$ делится центром на части $2:1$. Большая часть — $R$, меньшая — $r$. Запоминать отдельные формулы для $R$ и $r$ не нужно.

3. Периметр описанного четырёхугольника $P = 2(AB + CD) = 2(BC + AD)$: хватает одной пары противоположных сторон.

4. Описанная трапеция: $h = 2r$, а для равнобедренной ещё и $h^2 = ab$ Основания $2$ и $8$: $h = \sqrt{16} = 4$, $r = 2$ — сразу, без Пифагора.

5. Число сторон по углу — через внешний угол Внешний угол правильного многоугольника $\dfrac{360°}{n}$. Если дан внутренний угол $\alpha$, то $n = \dfrac{360°}{180° - \alpha}$. Угол $150°$ — 12 сторон, $144°$ — 10, $140°$ — 9, $135°$ — 8.

6. Проверка «вписанности» в задаче Сначала проверь условие: сумма противоположных углов $180°$ или равные суммы сторон. Если числа в условии ему не удовлетворяют, в задаче опечатка или ловушка.

7. $R$ через теорему синусов — самый универсальный путь Если известны сторона и противолежащий угол, $R = \dfrac{a}{2\sin A}$ работает в любом треугольнике. При $A = 30°$ получается $R = a$, при $A = 90°$ — $R = \dfrac{a}{2}$, при $A = 150°$ снова $R = a$.

💡 Совет: заведи табличку «фигура — $R$ — $r$» для пяти главных фигур (прямоугольный треугольник, равносторонний треугольник, квадрат, шестиугольник, описанная трапеция) и реши по ней задания 1–20 этого урока без подглядывания в теорию. После этого задание 16 ОГЭ перестанет быть лотереей.

Дальше — площади фигур: формулы $S = pr$ и $S = \dfrac{abc}{4R}$ из этого урока станут там полноценными инструментами наравне с «основание на высоту».