Окружность: центральный и вписанный угол, касательная, хорды ⭕

Представь, что ты в кинотеатре и хочешь выбрать место, откуда экран виден «под самым большим углом». Оказывается, у всех мест, лежащих на одной дуге окружности, проходящей через края экрана, угол обзора одинаковый. Ряды в античных театрах изгибали дугой не только ради красоты. Это прямое следствие теоремы о вписанном угле, которую ты разберёшь через десять минут.

Окружность — самая «дисциплинированная» фигура в геометрии. Все её точки на одном расстоянии от центра, и из этого единственного свойства вытекает удивительно много жёстких правил. Угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой. Касательная всегда перпендикулярна радиусу. Произведение отрезков хорд, проходящих через одну точку, всегда одно и то же. Правил немного, но каждое срабатывает в десятках задач.

На ОГЭ окружности посвящено задание 16, а в ЕГЭ она постоянно всплывает в планиметрии. Задачи здесь обычно короткие: одна картинка, одно правило, ответ в одно-два действия. Но нужное правило надо узнать на картинке. Этим мы и займёмся: научимся видеть на чертеже центральные и вписанные углы, касательные и «степень точки».

Ты узнаешь:

🎯 Почему вписанный угол ровно вдвое меньше центрального и что из этого следует

🎯 Как касательная связана с радиусом и почему отрезки касательных из одной точки равны

🎯 Что такое «степень точки» и как одна идея объединяет пересекающиеся хорды, секущие и касательные

🎯 Где всё это работает в компьютерной графике: проверка столкновений, трассировка лучей, отрисовка кругов

История: откуда это взялось? 📜

По преданию, первую теорему об окружности доказал Фалес Милетский (VI век до н. э.): угол, опирающийся на диаметр, прямой. Фалес был купцом и путешественником. Говорят, он измерил высоту египетской пирамиды по длине её тени и предсказал солнечное затмение. Рассказывают, что в честь своего открытия про диаметр он принёс в жертву быка. Правда это или легенда, неизвестно, но теорему до сих пор называют его именем.

Систематическую теорию окружности изложил Евклид в третьей книге «Начал» (около 300 г. до н. э.). Там есть почти всё, что ты найдёшь в этом уроке. Центральный угол вдвое больше вписанного (предложение 20). Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны (21). Касательная перпендикулярна радиусу (18). Произведения отрезков пересекающихся хорд равны (35). Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть (36). Греки решали задачи астрономии и строительства: как разметить круглую площадку, как рассчитать дугу свода, как по углам на звёзды найти положение на небесной сфере.

Термин «степень точки» относительно окружности ввёл швейцарский геометр Якоб Штейнер в 1826 году. Он заметил, что теоремы 35 и 36 Евклида — одна и та же теорема. Мостик в сегодня: именно эта «степень точки» появляется в каждом рендере с трассировкой лучей. Когда видеокарта ищет, где луч света пересекает сферу, она решает квадратное уравнение, и произведение его корней — это степень точки, из которой выпущен луч. Евклид и RTX считают одно и то же.

Блок 1: Центральный и вписанный угол

Давай разберёмся с интуицией

Начнём со словаря. Окружность — множество точек плоскости, удалённых от данной точки $O$ (центра) на одно и то же расстояние $R$ (радиус). Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр — хорда, проходящая через центр, $d = 2R$. Две точки $A$ и $B$ окружности делят её на две дуги. Градусная мера дуги равна градусной мере центрального угла, который на неё опирается, а вся окружность — это $360°$.

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность (то есть стороны — это хорды).

Опиши чертёж словами. Нарисуй окружность с центром $O$. Отметь внизу две точки $A$ и $B$ и соедини их с центром: $\angle AOB$ — центральный. Теперь отметь точку $C$ на верхней части окружности и соедини её с $A$ и $B$: $\angle ACB$ — вписанный. Оба угла «смотрят» на одну и ту же нижнюю дугу $AB$ (говорят «опираются на дугу $AB$»).

Теорема о вписанном угле: вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Иначе: вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается:

$$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \smile AB.$$

Почему так происходит? Разберём по шагам самый простой случай: одна сторона вписанного угла — диаметр. Пусть $CB$ проходит через центр $O$. Тогда $OA = OC$ (радиусы), и треугольник $AOC$ равнобедренный: $\angle OAC = \angle OCA = x$. Угол $AOB$ — внешний угол треугольника $AOC$, а внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним: $\angle AOB = x + x = 2x$. Вписанный угол $\angle ACB = x$ ровно вдвое меньше ✅.

Общий случай сводится к этому: проведи диаметр из вершины $C$. Если центр лежит внутри вписанного угла, угол разобьётся на два «простых» угла, и равенства сложатся. Если снаружи, то вычтутся.

Из теоремы сразу следуют три очень важных факта.

Следствия:

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Все они равны половине одной и той же дуги.
2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр (полуокружность), прямой. Полуокружность — $180°$, половина — $90°$.
3. Если вписанные углы опираются на одну хорду, но лежат по разные стороны от неё, их сумма равна $180°$. Две дуги вместе дают $360°$, половины — $180°$.

Третье следствие — источник типичной ловушки. Хорда $AB$ делит окружность на две дуги, и «вписанный угол, опирающийся на хорду $AB$», может смотреть на любую из них. Всегда уточняй, с какой стороны от хорды лежит вершина.

Аналогия

Вернёмся к кинотеатру. Экран — это хорда $AB$. Ты сидишь в точке $C$ и видишь экран под углом $\angle ACB$. Теорема говорит: все места на дуге окружности, проходящей через края экрана, дают один и тот же угол обзора. Сядь ближе к экрану, внутрь круга, и угол станет больше. Отойди наружу, и угол станет меньше. Окружность — это «линия равного угла обзора».

Этот принцип используют всерьёз. Футбольный тренер, объясняющий, откуда удобнее бить по воротам, фактически рисует окружности через штанги. А штурманы старой школы определяли положение корабля по углу между двумя маяками. Угол в $40°$ означает, что корабль на дуге окружности, из которой отрезок «маяк — маяк» виден под $40°$. Второй угол на другую пару маяков даёт вторую дугу, а пересечение дуг — точку на карте.

Пример 1 (лёгкий): от центрального к вписанному

Центральный угол $AOB$ равен $110°$. Найди вписанный угол $ACB$, опирающийся на ту же дугу.

Решение:

Ответ: $55°$.

Пример 2 (средний): угол на диаметре

Треугольник $ABC$ вписан в окружность, сторона $AB$ — диаметр. Угол $A$ равен $34°$. Найди угол $B$.

Решение:

Шаг 1. Угол $C$ опирается на диаметр $AB$, поэтому он прямой: $\angle C = 90°$.

Шаг 2. Сумма углов треугольника: $\angle B = 180° - 90° - 34° = 56°$.

Ответ: $56°$.

Это теорема Фалеса в действии. Отметим и обратное утверждение: если угол $ACB$ прямой, то точка $C$ лежит на окружности с диаметром $AB$. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы.

Пример 3 (сложный): два ответа в одной задаче

Точки $A$, $B$, $C$ лежат на окружности с центром $O$, $\angle OAB = 25°$. Найди вписанный угол $ACB$.

Решение:

Шаг 1. Треугольник $AOB$ равнобедренный ($OA = OB = R$), поэтому $\angle OBA = 25°$, а

Шаг 2. Хорда $AB$ делит окружность на меньшую дугу $130°$ и большую $360° - 130° = 230°$.

Шаг 3. Если точка $C$ лежит на большей дуге, угол $ACB$ опирается на меньшую: $\angle ACB = 130° : 2 = 65°$.

Шаг 4. Если точка $C$ лежит на меньшей дуге, угол опирается на большую: $\angle ACB = 230° : 2 = 115°$.

Проверим наш ответ: $65° + 115° = 180°$, как и обещает следствие 3 ✅.

Ответ: $65°$, если $C$ на большей дуге; $115°$, если на меньшей. На ОГЭ положение точки задаёт рисунок, поэтому смотри на него внимательно.

Почему это важно

Теорема о вписанном угле — «двигатель» почти всех задач на окружность. Она превращает окружность в машину для переноса углов: узнал угол в одном месте, и сразу знаешь его в другом, на той же дуге. А теорема Фалеса даёт самый быстрый способ получить прямой угол там, где его вроде бы нет.

В вычислительной геометрии теорема о вписанном угле лежит в основе триангуляции Делоне. Этот алгоритм разбивает облако точек на треугольники так, чтобы внутри окружности, описанной около любого треугольника, не было других точек. Проверку «лежит ли точка внутри окружности» можно сделать через углы, и она опирается ровно на следствие 3. Триангуляции Делоне используются в 3D-моделировании, картографии, методе конечных элементов и интерполяции данных.

Блок 2: Касательная к окружности

Давай разберёмся с интуицией

Прямая и окружность могут располагаться тремя способами:

• не иметь общих точек (прямая проходит «мимо»), если расстояние от центра до прямой $d > R$;
• иметь одну общую точку, если $d = R$. Такая прямая называется касательной;
• иметь две общие точки, если $d < R$. Такая прямая — секущая.

Представь колесо велосипеда на асфальте. Асфальт — касательная, а точка контакта шины с дорогой — точка касания. Спица, направленная в точку касания, вертикальна, а дорога горизонтальна. Они перпендикулярны.

Свойство касательной: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Признак касательной: если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна этому радиусу, то она касательная.

Почему так? Пусть прямая касается окружности в точке $T$. Все остальные точки прямой лежат вне окружности, значит, они дальше от центра, чем $T$. Итак, $OT$ — самое короткое расстояние от $O$ до прямой, а самый короткий отрезок от точки до прямой — перпендикуляр.

Отрезки касательных: отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны, и центр окружности лежит на биссектрисе угла между ними.

Опиши чертёж словами. Окружность с центром $O$, справа снаружи точка $M$. Из $M$ проведены две касательные: верхняя касается окружности в точке $A$, нижняя — в точке $B$. Соедини $O$ с $A$, $B$ и $M$. Получилось два прямоугольных треугольника $OAM$ и $OBM$ с прямыми углами при $A$ и $B$. У них общая гипотенуза $OM$ и равные катеты $OA = OB = R$. Треугольники равны, поэтому $MA = MB$ и $\angle OMA = \angle OMB$.

Из той же картинки следует полезное соотношение: четырёхугольник $OAMB$ имеет два прямых угла, поэтому

А длина касательной находится по теореме Пифагора:

Угол между касательной и хордой: угол между касательной и хордой, проведённой через точку касания, равен половине дуги, заключённой между ними. То есть он равен вписанному углу, опирающемуся на эту дугу.

Это «предельный случай» вписанного угла. Представь, что одна из сторон вписанного угла вращается вокруг вершины, пока не превратится в касательную. Хорда сжимается в точку, но теорема продолжает работать.

Аналогия

Представь, что ты привязал камень к верёвке и раскручиваешь его над головой. Камень движется по окружности, верёвка — это радиус. Если отпустить верёвку, камень улетит по касательной: перпендикулярно верёвке в момент броска. Так работает праща (и метание молота в лёгкой атлетике). Скорость тела на окружности всегда направлена по касательной, перпендикулярно радиусу.

Про равенство отрезков касательных — картинка из жизни: ремень, натянутый на два шкива (или цепь велосипеда, огибающая звёздочку). Прямые участки ремня касаются шкивов, и от любой точки, из которой «выходят» два касательных участка к одному шкиву, они равны по длине.

Пример 1 (лёгкий): длина касательной

Радиус окружности равен $5$, расстояние от точки $M$ до центра равно $13$. Найди длину касательной, проведённой из $M$.

Решение:

Треугольник $OTM$ прямоугольный (прямой угол при точке касания $T$):

Ответ: $12$.

Пример 2 (средний): угол между касательными

Из точки $M$ к окружности с центром $O$ проведены касательные $MA$ и $MB$, угол $AMB$ равен $50°$. Найди угол $AOB$ и угол $MAB$.

Решение:

Шаг 1. В четырёхугольнике $OAMB$ углы при $A$ и $B$ прямые, сумма углов $360°$:

Шаг 2. Отрезки касательных равны: $MA = MB$. Треугольник $MAB$ равнобедренный:

Проверим наш ответ: угол $MAB$ — это угол между касательной $MA$ и хордой $AB$. Он должен равняться половине дуги $AB$, то есть $130° : 2 = 65°$ ✅. Два разных правила дали одно и то же число.

Ответ: $\angle AOB = 130°$, $\angle MAB = 65°$.

Пример 3 (сложный): угол между касательной и хордой

Через точку $A$ окружности проведены касательная и хорда $AB$, стягивающая дугу $100°$ (ту, что лежит внутри угла между касательной и хордой). Найди угол между касательной и хордой и вписанный угол $ACB$, если $C$ лежит на другой дуге.

Решение:

Шаг 1. Угол между касательной и хордой равен половине заключённой дуги: $100° : 2 = 50°$.

Шаг 2. Вписанный угол $ACB$ опирается на ту же дугу $100°$: $\angle ACB = 50°$.

Ответ: оба угла по $50°$. Именно так теорема «касательная — хорда» чаще всего используется в задачах: она переносит угол от касательной внутрь окружности.

Почему это важно

Перпендикулярность касательной и радиуса — одна из самых «рабочих» теорем в прикладной математике. В компьютерной графике вектор нормали к поверхности сферы в точке $P$ — это просто $P - O$, радиус-вектор. Плоскость, касательная к сфере, перпендикулярна ему. Освещение по модели Ламберта считает яркость пикселя как косинус угла между нормалью и направлением на свет. Каждый шарик в 3D-игре освещается по формуле, в основе которой лежит «касательная ⟂ радиусу».

В физике и робототехнике скорость при движении по окружности направлена по касательной. Колесо робота, шестерни, ремённые передачи — везде считают длины касательных участков и углы охвата. Проверка столкновений в 2D-играх («задел ли шарик стену?») сводится к сравнению расстояния от центра до прямой с радиусом: больше — мимо, равно — касание, меньше — столкновение.

Блок 3: Хорды, секущие и степень точки

Давай разберёмся с интуицией

Сначала простой, но очень полезный факт. Перпендикуляр, опущенный из центра на хорду, делит её пополам. Треугольник $OAB$ равнобедренный ($OA = OB = R$), а его высота к основанию одновременно и медиана. Отсюда главная «формула хорды»: если хорда длиной $c$ находится на расстоянии $d$ от центра, то

Теперь пусть через точку $E$ внутри окружности проведены две хорды $AB$ и $CD$.

Опиши чертёж словами. Окружность, внутри точка $E$. Через неё проходит почти горизонтальная хорда $AB$ ($A$ слева, $B$ справа) и почти вертикальная хорда $CD$ ($C$ сверху, $D$ снизу). Соедини $A$ с $C$ и $B$ с $D$: получатся два треугольника $ACE$ и $DBE$, «глядящие» друг на друга через точку $E$.

Угол $CAB$ и угол $CDB$ опираются на одну дугу $CB$, значит, равны. Углы при $E$ вертикальные. Треугольники $ACE$ и $DBE$ подобны по двум углам, и из подобия

Теорема о пересекающихся хордах: если хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$, то

$$AE \cdot EB = CE \cdot ED.$$

Теперь вынесем точку наружу. Из точки $M$ вне окружности проведены секущая, пересекающая окружность в точках $A$ (ближней) и $B$ (дальней), и касательная $MT$.

Теорема о секущей и касательной: $MT^2 = MA \cdot MB$. Теорема о двух секущих: если из $M$ проведены секущие $MAB$ и $MCD$, то $MA \cdot MB = MC \cdot MD$.

Доказательство снова через подобие. У треугольников $MTA$ и $MBT$ общий угол $M$. Кроме того, $\angle MTA = \angle MBT$: угол между касательной и хордой $TA$ равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $TA$. Значит, треугольники подобны, откуда $\dfrac{MT}{MB} = \dfrac{MA}{MT}$.

Главная идея блока — степень точки. Все три теоремы — одна и та же теорема. Для любой точки $M$ и любой прямой через неё, пересекающей окружность в точках $X$ и $Y$, произведение $MX \cdot MY$ не зависит от прямой и равно

Для точки внутри это $R^2 - MO^2$ (хорды), для точки снаружи $MO^2 - R^2$ (секущие и касательная; касательная — это секущая, у которой $X$ и $Y$ слились, поэтому $MT \cdot MT$). Это число и называют степенью точки.

Бонус: углы между хордами и секущими. Угол между двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, равен полусумме дуг, заключённых между его сторонами и их продолжениями. Угол между двумя секущими, пересекающимися вне окружности, равен полуразности дуг, заключённых внутри угла. Оба факта доказываются через внешний угол треугольника и теорему о вписанном угле.

Аналогия

Степень точки похожа на «валюту», в которой окружность оценивает каждую точку плоскости. Куда бы ты ни провёл прямую через $M$, окружность «выплатит» тебе два отрезка, произведение которых всегда одинаково. Проведёшь прямую так, что один отрезок короткий, — второй будет длинным, и наоборот. Как прямоугольники одинаковой площади: можно сделать узкий и длинный или широкий и короткий, но «площадь» $MX \cdot MY$ фиксирована.

И аналогия из программирования. В трассировке лучей луч задаётся как $P(t) = M + t\vec{v}$ с единичным направлением $\vec{v}$, а сфера — как $|P - O|^2 = R^2$. Подставляем, получаем квадратное уравнение $t^2 + 2t\,\vec v \cdot (M - O) + (MO^2 - R^2) = 0$. По теореме Виета произведение корней $t_1 t_2 = MO^2 - R^2$. Это степень точки! Корни $t_1$ и $t_2$ — расстояния до точек входа и выхода луча, и их произведение не зависит от направления луча. Евклид доказал это за 2300 лет до видеокарт.

Пример 1 (лёгкий): пересекающиеся хорды

Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$, $AE = 4$, $EB = 9$, $CE = 6$. Найди $ED$.

Решение:

Ответ: $6$.

Заметь, $CE = ED = 6$, то есть точка $E$ — середина хорды $CD$. Такое бывает, и это не ошибка.

Пример 2 (средний): касательная и секущая

Из точки $M$ проведены касательная $MT$ и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$, причём $MA = 4$, $MB = 16$. Найди $MT$.

Решение:

Ответ: $8$.

Интересно: касательная — это среднее геометрическое отрезков секущей, $MT = \sqrt{MA \cdot MB}$.

Пример 3 (сложный): расстояние до хорды

Радиус окружности равен $13$, длина хорды $24$. Найди расстояние от центра до хорды.

Решение:

Шаг 1. Перпендикуляр из центра делит хорду пополам: половина хорды $12$.

Шаг 2. Прямоугольный треугольник: гипотенуза $R = 13$, катет $12$:

Проверим наш ответ через степень точки. Пусть $H$ — середина хорды. Её степень $R^2 - OH^2 = 169 - 25 = 144$, а произведение отрезков хорды через $H$: $12 \cdot 12 = 144$ ✅.

Ответ: $5$.

Почему это важно

Теоремы о хордах и секущих — это теоремы о подобии, спрятанном в окружности. Они превращают геометрическую картинку в простое уравнение вида «произведение равно произведению», и задача решается в одну строку. На ОГЭ и ЕГЭ они встречаются в задачах второй части. А «формула хорды» $\left(\tfrac{c}{2}\right)^2 + d^2 = R^2$ нужна везде, где хорда связана с радиусом, в том числе в стереометрии, когда сечение шара плоскостью оказывается кругом.

Степень точки — пример того, как математика находит инвариант, величину, которая не меняется, когда меняется всё остальное. Поиск инвариантов — сердце и физики (законы сохранения), и машинного обучения. Свёрточные сети ценят за то, что их признаки почти не меняются при сдвиге картинки, и значительная часть исследований в ML — поиск представлений, инвариантных к поворотам, масштабу и освещению.

Практика: 30 заданий

Базовые (задания 1–10)

Задание 1: Центральный угол равен $84°$. Найди вписанный угол, опирающийся на ту же дугу.

Задание 2: Вписанный угол равен $37°$. Найди центральный угол, опирающийся на ту же дугу.

Задание 3: Сторона $AB$ треугольника $ABC$ — диаметр описанной окружности, $\angle A = 27°$. Найди угол $B$.

Задание 4: Хорда $AB$ равна радиусу окружности. Найди вписанный угол $ACB$, если точка $C$ лежит на большей дуге $AB$.

Задание 5: Радиус окружности равен $6$, точка $M$ удалена от центра на $10$. Найди длину касательной из $M$.

Задание 6: Из точки $M$ к окружности проведены касательные $MA$ и $MB$, угол $AMB$ равен $60°$, $MA = 9$. Найди длину хорды $AB$.

Задание 7: Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$, $AE = 3$, $EB = 8$, $CE = 4$. Найди $ED$.

Задание 8: Из точки $M$ проведены касательная $MT = 6$ и секущая, внешняя часть которой $MA = 4$. Найди длину всей секущей $MB$.

Задание 9: Дуга $AB$ окружности равна $140°$. Найди вписанный угол, опирающийся на эту дугу.

Задание 10: Диаметр окружности равен $26$, хорда равна $24$. Найди расстояние от центра окружности до хорды.

Средние (задания 11–20)

Задание 11: Вписанный угол $ABC$ равен $118°$. Найди центральный угол $AOC$ (меньший из двух углов с вершиной $O$).

Задание 12: Угол между касательной и хордой, проведённой через точку касания, равен $72°$. Найди центральный угол, опирающийся на дугу, заключённую между ними.

Задание 13: Из точки $M$ к окружности с центром $O$ проведены касательные $MA$ и $MB$, $\angle AMB = 46°$. Найди угол $ABO$.

Задание 14: Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$, $AE = 5$, $EB = 12$, $CD = 16$. Найди $CE$, если $CE < ED$.

Задание 15: Из точки $M$ проведена секущая: внешняя часть $MA = 5$, хорда $AB = 15$. Найди длину касательной из точки $M$.

Задание 16: В окружности радиуса $10$ проведены две параллельные хорды длиной $12$ и $16$, лежащие по разные стороны от центра. Найди расстояние между ними.

Задание 17: Центральный угол $AOB$ равен $60°$, хорда $AB = 7$. Найди радиус окружности.

Задание 18: Радиус окружности равен $8$, длина касательной из точки $M$ равна $15$. Найди расстояние от точки $M$ до ближайшей точки окружности.

Задание 19: Точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат на окружности в указанном порядке. $\angle ABD = 33°$, $\angle DBC = 48°$. Найди угол $ADC$.

Задание 20: Две хорды пересекаются внутри окружности. Дуги, заключённые между сторонами одного из углов и между их продолжениями, равны $80°$ и $50°$. Найди этот угол.

Продвинутые (задания 21–30)

Задание 21: Прямоугольный треугольник вписан в окружность радиуса $6{,}5$. Один из катетов равен $5$. Найди другой катет.

Задание 22: Из точки $M$ проведены две касательные к окружности радиуса $6$, угол между касательными равен $60°$. Найди расстояние от точки $M$ до центра окружности.

Задание 23: В окружности радиуса $10$ проведена хорда $AB = 16$. Точка $M$ на хорде делит её так, что $AM = 4$. Через $M$ проведена ещё одна хорда $CD$, причём $CM = 3$. Найди длину $CD$.

Задание 24: Из точки $M$ проведены касательная $MT = 12$ и секущая, внешняя часть которой $MA = 6$. Найди длину хорды $AB$, высекаемой секущей.

Задание 25: Из точки $M$ вне окружности проведены две секущие. Дуги, заключённые внутри угла между ними, равны $130°$ (дальняя) и $40°$ (ближняя). Найди угол между секущими.

Задание 26: Треугольник $ABC$ вписан в окружность, $\angle ABC = 70°$. Через точку $C$ проведена касательная. Найди угол между касательной и хордой $CA$ (тот, внутри которого лежит дуга $CA$, не содержащая $B$).

Задание 27: В окружности радиуса $13$ проведены параллельные хорды $AB = 24$ и $CD = 10$, лежащие по одну сторону от центра. Найди расстояние между хордами.

Задание 28: Из точки $M$ к окружности радиуса $5$ проведены касательные $MA$ и $MB$, $MO = 13$. Найди длину хорды $AB$.

Задание 29 (компьютерная графика): Окружность задана уравнением $x^2 + y^2 = 25$. Касательная к ней проведена в точке $T(3; 4)$. В какой точке касательная пересекает ось $Ox$? В ответе запиши абсциссу.

Задание 30: Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются под прямым углом в точке $E$, $AE = 2$, $EB = 8$, $CE = 4$. Найди радиус окружности.

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: вписанный угол приравнивают к дуге, а не к её половине Неправильно: дуга $140°$, значит, вписанный угол $140°$. Правильно: вписанный угол равен половине дуги, $70°$. Дуге равен центральный угол. Почему важно: это самая частая ошибка задания 16 ОГЭ. Спроси себя: где вершина угла? В центре — угол равен дуге. На окружности — половине дуги.

❌ Ошибка 2: не смотрят, на какую из двух дуг опирается угол Неправильно: хорда видна из центра под углом $130°$, значит, любой вписанный угол на неё равен $65°$. Правильно: вершина на большей дуге — $65°$, на меньшей — $115°$. Сумма всегда $180°$. Почему важно: тупые вписанные углы (как в задании 11) ломают решение тем, кто об этом забывает.

❌ Ошибка 3: теряют прямой угол между касательной и радиусом Неправильно: решать задачу с касательной, не проведя радиус в точку касания. Правильно: первое действие в любой задаче с касательной — провести радиус в точку касания и отметить прямой угол. Почти всегда появляется прямоугольный треугольник и Пифагор. Почему важно: без этого радиуса задача просто «не видна».

❌ Ошибка 4: в теореме о секущей берут хорду вместо всей секущей Неправильно: $MT^2 = MA \cdot AB$ (внешняя часть на хорду). Правильно: $MT^2 = MA \cdot MB$, где $MB$ — вся секущая от $M$ до дальней точки. Правило: оба отрезка начинаются в точке $M$. Почему важно: в задании 15 неверная формула дала бы $\sqrt{75}$ вместо $10$.

❌ Ошибка 5: в пересекающихся хордах перемножают не те отрезки Неправильно: $AE \cdot CE = EB \cdot ED$. Правильно: $AE \cdot EB = CE \cdot ED$. Перемножаются два куска одной хорды. Почему важно: неверное произведение даёт правдоподобное, но неверное число. Проверка: степень точки одинакова для всех хорд через $E$, а значит, каждое произведение «принадлежит» одной хорде.

❌ Ошибка 6: забывают про второе положение параллельных хорд Неправильно: расстояние между хордами — всегда разность расстояний от центра. Правильно: по одну сторону от центра — разность, по разные — сумма. Если условие не уточняет, возможны оба ответа. Почему важно: в задачах части 2 ЕГЭ пропуск случая стоит баллов.

Главное запомнить

📝 Ключевые понятия

✅ Центральный угол равен дуге, на которую опирается; вписанный — половине дуги.

✅ Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. По разные стороны от хорды — в сумме $180°$.

✅ Угол, опирающийся на диаметр, — прямой (теорема Фалеса). Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы.

✅ Касательная ⟂ радиусу в точке касания.

✅ Отрезки касательных из одной точки равны, центр лежит на биссектрисе угла между ними; $\angle AOB + \angle AMB = 180°$.

✅ Длина касательной: $MT^2 = MO^2 - R^2$.

✅ Угол между касательной и хордой равен половине дуги между ними.

✅ Перпендикуляр из центра делит хорду пополам: $\left(\tfrac{c}{2}\right)^2 + d^2 = R^2$.

✅ Пересекающиеся хорды: $AE \cdot EB = CE \cdot ED$.

✅ Секущая и касательная: $MT^2 = MA \cdot MB$; две секущие: $MA \cdot MB = MC \cdot MD$. Всё это — степень точки $|MO^2 - R^2|$.

✅ Угол между хордами — полусумма дуг, между секущими — полуразность.

Связь с другими темами курса

Что нужно было знать до этого урока:

• Треугольники — равнобедренный треугольник, внешний угол, подобие, теорема Пифагора: каждое доказательство здесь опирается на них.
• Четырёхугольники — сумма углов четырёхугольника (задача про угол между касательными), ромб и прямоугольник.
• Теорема Виета — через неё степень точки появляется в трассировке лучей.

Что изучить дальше:

• Вписанные и описанные окружности — следующий урок: окружности вокруг треугольников и четырёхугольников, $R$ и $r$, правильные многоугольники.
• Теорема синусов — $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$ выводится прямо из теоремы о вписанном угле.
• Единичная окружность и радианная мера угла — окружность становится основой тригонометрии.
• Задание 16 ОГЭ — разбор экзаменационного формата.
• Вычислительная геометрия — триангуляция Делоне, пересечения, выпуклые оболочки в алгоритмах.

Где это нужно в жизни:

• 🎮 В играх: проверка столкновений «круг — стена» через расстояние от центра до прямой; освещение сфер по нормали-радиусу.
• 📱 В технологиях: трассировка лучей в RTX-видеокартах решает квадратное уравнение, произведение корней которого — степень точки.
• 🤖 В ML/AI: триангуляция Делоне для интерполяции и построения сеток; инварианты как идея, лежащая в основе свёрточных сетей.
• 🚲 В механике: скорость на окружности направлена по касательной; ремённые и цепные передачи.
• 🧭 В навигации: положение по углу между двумя ориентирами — точка на дуге окружности.

Интересные факты

💡 Фалес и бык. Диоген Лаэртский со ссылкой на Памфилу пишет, что Фалес, «научившись у египтян геометрии, первым вписал прямоугольный треугольник в круг и принёс в жертву быка». Возможно, это самая дорогая награда за школьную теорему в истории.

💡 Самая длинная хорда — диаметр, а самая короткая хорда через данную внутреннюю точку $M$ перпендикулярна $OM$. Это прямо следует из формулы $\left(\tfrac{c}{2}\right)^2 = R^2 - d^2$: чем дальше хорда от центра, тем она короче.

💡 Алгоритм Брезенхэма. Экран состоит из квадратных пикселей, и нарисовать на нём окружность — отдельная задача. В 1960–70-х годах придумали алгоритм, который рисует окружность одними целочисленными сложениями, без корней и тригонометрии. Он использует симметрию окружности: достаточно рассчитать $\tfrac18$ окружности, остальное получается отражениями.

💡 Колёса не обязаны быть круглыми, но круглые — лучше. Существуют «фигуры постоянной ширины», например треугольник Рёло. Катки такой формы везут доску ровно, как цилиндры. Но колесо на оси должно быть кругом: только у окружности все точки на одном расстоянии от центра. Треугольник Рёло используется в роторном двигателе Ванкеля и в сверле, которое сверлит почти квадратные отверстия.

Лайфхаки и полезные трюки

1. «Где вершина?» — первый вопрос В центре — угол равен дуге. На окружности — половине дуги. Внутри круга (пересечение хорд) — полусумме дуг. Снаружи (секущие) — полуразности. Одна схема на все четыре случая.

2. Увидел касательную — проведи радиус Прямой угол в точке касания — почти всегда ключ к задаче. Пример: задачи 5, 18, 22, 28.

3. Увидел диаметр — ищи прямой угол Любая точка окружности видит диаметр под $90°$. Если в задаче есть диаметр и треугольник, скорее всего, треугольник прямоугольный.

4. Мнемоника степени точки: «из одной точки — два отрезка» Во всех трёх теоремах (хорды, секущие, касательная) перемножаются отрезки, начинающиеся в одной и той же точке пересечения. Касательная считается дважды: $MT \cdot MT$.

5. Треугольник $OAB$ с двумя радиусами — всегда равнобедренный Как только соединил центр с двумя точками окружности, отмечай равные углы при основании. В задачах 13 и в примере 3 блока 1 этого хватило для ответа.

6. Быстрая формула для касательных Угол между касательными из точки $M$ и центральный угол между точками касания в сумме дают $180°$. Угол между хордой $AB$ и радиусом $OB$ равен половине угла между касательными.

7. В коде: сравнивай квадраты расстояний Проверка «точка внутри круга?» — это dx*dx + dy*dy < R*R, без извлечения корня. Это быстрее и не даёт ошибок округления. Так делают во всех игровых движках.

💡 Совет: нарисуй от руки одну большую окружность и на ней все картинки урока: центральный и вписанный угол, диаметр с прямым углом, касательные из точки, пересекающиеся хорды, секущую с касательной. Подпиши у каждой одну формулу. Этот лист — полная шпаргалка к заданию 16 ОГЭ.

Дальше — вписанные и описанные окружности многоугольников: как найти центр и радиус окружности вокруг любого треугольника и почему не каждый четырёхугольник можно вписать в круг.