Тела вращения: цилиндр, конус, шар — объём и площадь поверхности 🥫

Банка газировки — цилиндр. Рожок мороженого — конус. Мяч, планета, капля в невесомости — шар. Эти три формы окружают нас постоянно, и не случайно: их получают вращением плоской фигуры вокруг оси, а значит, их легко изготовить на токарном станке, гончарном круге или выдуть из стекла. Природа тоже любит шар: при заданном объёме у него наименьшая площадь поверхности, поэтому капли и пузыри стремятся стать круглыми.

В ЕГЭ профильного уровня тела вращения — вторая половина задания 3. Типичные сюжеты: «шар вписан в цилиндр, найдите отношение объёмов», «в конический сосуд налили жидкость до половины высоты — какую долю объёма она занимает», «найдите $V/\pi$». Последняя формулировка — подсказка: когда в ответе появляется $\pi$, ЕГЭ просит поделить на него, чтобы ответ стал обычным числом. Мы будем делать так же.

Идея урока проста: цилиндр — это «круглая призма», конус — «круглая пирамида», а шар — отдельная, почти магическая история, которую Архимед считал своим главным открытием. Если ты разобрался с многогранниками в прошлом уроке, половину формул ты уже знаешь.

Ты узнаешь:

🎯 Откуда берутся формулы $V = \pi r^2 h$, $V = \frac13 \pi r^2 h$, $V = \frac43 \pi R^3$ — и как не перепутать площади поверхностей

🎯 Как осевое сечение превращает пространственную задачу в плоскую задачу про прямоугольник или треугольник

🎯 Как решать задачи на вписанные и описанные тела: шар в цилиндре, конус в шаре, цилиндр в шаре

🎯 Почему в высоких размерностях почти весь объём куба оказывается «в углах» — и при чём тут проклятие размерности в ML

История: откуда это взялось? 📜

Объём цилиндра знали ещё египтяне и вавилоняне — им нужно было считать зерно в круглых амбарах. Объём конуса как трети цилиндра, по свидетельству Архимеда, открыл Демокрит и доказал Евдокс — та же история, что с пирамидой. А вот шар долго не поддавался.

Его покорил Архимед Сиракузский (III век до н. э.) в трактате «О шаре и цилиндре». Он доказал, что шар, вписанный в цилиндр, занимает ровно $\frac23$ его объёма, а площадь поверхности шара — тоже $\frac23$ полной поверхности цилиндра. Архимед так гордился этим результатом, что завещал изобразить на своём надгробии шар в цилиндре. В 75 году до н. э. Цицерон, будучи квестором на Сицилии, нашёл заброшенную могилу Архимеда именно по этому рисунку — и описал находку в «Тускуланских беседах».

Независимо от греков формулу объёма шара получили в Китае Цзу Чунчжи и его сын Цзу Гэн (V–VI века): они сравнивали площади сечений двух тел на одной высоте — принцип, который в Европе через тысячу лет переоткрыл Бонавентура Кавальери (1635). А Иоганн Кеплер в 1615 году написал «Новую стереометрию винных бочек»: купцы в Линце мерили объём бочки одной палкой через отверстие, и Кеплер, заподозрив обман, взялся за математику тел вращения. Эта работа стала одним из шагов к интегральному исчислению. Сегодня тела вращения — базовые примитивы в 3D-графике и физических движках: сферические коллайдеры, капсулы для персонажей, цилиндрические колёса машин.

Блок 1: Цилиндр — «круглая призма»

Давай разберёмся с интуицией

Цилиндр получается вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Сторона, вокруг которой вращаем, — ось и одновременно высота $h$; другая сторона описывает круг — основание радиуса $r$.

Цилиндр — это призма с круглым основанием. Значит, объём — «площадь основания на высоту»:

Боковая поверхность. Сними с банки этикетку и разверни — получишь прямоугольник. Его высота — $h$, а ширина — длина окружности основания $2\pi r$. Отсюда $S_{\text{бок}} = 2\pi r h$.

Осевое сечение — сечение плоскостью через ось. Это прямоугольник со сторонами $2r$ (диаметр) и $h$. Если осевое сечение — квадрат, цилиндр называют равносторонним: $h = 2r$.

Формулы цилиндра (радиус $r$, высота $h$):

$$V = \pi r^2 h, \qquad S_{\text{бок}} = 2\pi r h, \qquad S_{\text{полн}} = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r(r + h).$$

Осевое сечение: прямоугольник $2r \times h$, его площадь $2rh$.

Аналогия

В 3D-редакторах цилиндр — это экструзия круга, как призма — экструзия многоугольника. Более того, компьютер и хранит «цилиндр» как призму: с 32 или 64 боковыми гранями. Правильная $n$-угольная призма с большим $n$ почти неотличима от цилиндра — и её объём стремится к $\pi r^2 h$, потому что площадь правильного $n$-угольника, вписанного в круг, стремится к $\pi r^2$. Это тот же метод, которым Архимед оценивал $\pi$, вписывая многоугольники в круг.

Пример 1 (лёгкий): базовые формулы

Радиус основания цилиндра $3$, высота $5$. Найди $\dfrac{V}{\pi}$, $\dfrac{S_{\text{бок}}}{\pi}$ и $\dfrac{S_{\text{полн}}}{\pi}$.

Решение.

Шаг 1. $V = \pi \cdot 9 \cdot 5 = 45\pi$, $\dfrac{V}{\pi} = 45$.

Шаг 2. $S_{\text{бок}} = 2\pi \cdot 3 \cdot 5 = 30\pi$.

Шаг 3. $S_{\text{полн}} = 2\pi \cdot 3 \cdot (3 + 5) = 48\pi$.

Ответ: $45$; $30$; $48$.

Пример 2 (средний): переливаем в широкий сосуд

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости $16$ см. Жидкость перелили во второй цилиндрический сосуд, радиус основания которого вдвое больше. На какой высоте окажется уровень?

Решение.

Шаг 1. Объём жидкости сохраняется: $\pi r^2 \cdot 16 = \pi (2r)^2 \cdot h$.

Шаг 2. $16 r^2 = 4 r^2 h \Rightarrow h = 4$.

Площадь дна выросла в $2^2 = 4$ раза — высота упала в 4 раза. Это та же логика «квадрата», что и в призмах.

Ответ: $4$ см.

Пример 3 (сложный): осевое сечение — квадрат

Осевое сечение цилиндра — квадрат площади $36$. Найди $\dfrac{V}{\pi}$ и $\dfrac{S_{\text{полн}}}{\pi}$.

Решение.

Шаг 1. Сторона квадрата $6$: это и диаметр, и высота. $r = 3$, $h = 6$.

Шаг 2. $V = \pi \cdot 9 \cdot 6 = 54\pi$.

Шаг 3. $S_{\text{полн}} = 2\pi \cdot 3 \cdot (3 + 6) = 54\pi$.

И снова «случайное» совпадение чисел, как у куба с ребром 6 в прошлом уроке. Проверим наш ответ по-другому: $S_{\text{бок}} = 2\pi \cdot 3 \cdot 6 = 36\pi$, два основания $2 \cdot 9\pi = 18\pi$, сумма $54\pi$ — верно.

Ответ: $54$; $54$.

Почему это важно

Цилиндр — самое массовое тело в инженерии: трубы, баки, валы, аккумуляторы (формат 18650 — это цилиндр диаметром 18 мм и длиной 65 мм). Инженер, выбирающий размеры банки, решает оптимизационную задачу: минимизировать $S_{\text{полн}}$ (расход металла) при фиксированном $V$. Её решение — $h = 2r$, то есть как раз равносторонний цилиндр. Это одна из классических задач на производную.

Блок 2: Конус — «круглая пирамида»

Давай разберёмся с интуицией

Конус получается вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Этот катет — высота $h$, второй катет — радиус основания $r$, гипотенуза — образующая $l$. По теореме Пифагора:

Конус — это пирамида с круглым основанием, поэтому объём — треть «цилиндра с тем же основанием и высотой»:

Боковая поверхность. Если разрезать конус по образующей и развернуть, получится круговой сектор радиуса $l$, длина дуги которого равна длине окружности основания $2\pi r$. Площадь сектора — «половина радиуса на длину дуги»: $\frac12 \cdot l \cdot 2\pi r = \pi r l$. Сравни с правильной пирамидой: $\frac12 P \cdot l$ — та же формула, только периметр стал длиной окружности, а апофема — образующей.

Из развёртки получается ещё одна полезная формула — угол сектора. Полный круг радиуса $l$ имеет длину окружности $2\pi l$, а наша дуга — $2\pi r$. Значит, сектор составляет долю $\frac{r}{l}$ от полного круга, и его центральный угол равен $360° \cdot \frac{r}{l}$. Например, у конуса с $r = 3$ и $l = 5$ развёртка — сектор в $360° \cdot \frac35 = 216°$. Эта же доля объясняет формулу площади: площадь сектора — это $\frac{r}{l}$ от площади круга $\pi l^2$, то есть $\pi l^2 \cdot \frac{r}{l} = \pi r l$. Такие рассуждения нужны, когда из листа бумаги или жести кроят воронку, абажур или колпак: раскройщик вырезает именно сектор с рассчитанным углом.

Осевое сечение — равнобедренный треугольник с основанием $2r$, высотой $h$ и боковыми сторонами $l$.

Формулы конуса (радиус $r$, высота $h$, образующая $l$):

$$V = \frac13 \pi r^2 h, \qquad S_{\text{бок}} = \pi r l, \qquad S_{\text{полн}} = \pi r l + \pi r^2 = \pi r (l + r), \qquad l = \sqrt{h^2 + r^2}.$$

Отсечённый конус. Плоскость, параллельная основанию, отсекает конус, подобный исходному. Если его высота составляет долю $k$ от высоты исходного, то его объём — $k^3 V$.

Аналогия

Конус — это то, что видит камера. Поле зрения фонарика, прожектора или конического источника света в 3D-движке (spot light) — это конус: всё, что внутри, освещено. Проверка «попадает ли точка в конус» — это сравнение угла между направлением на точку и осью конуса с половиной угла раствора, то есть скалярное произведение. А «конусная» зависимость объёма от высоты — $k^3$ — объясняет, почему бокал-конус, налитый «до половины высоты», на самом деле заполнен всего на $\frac18$.

Пример 1 (лёгкий): египетский треугольник

Радиус основания конуса $3$, высота $4$. Найди $\dfrac{V}{\pi}$, $\dfrac{S_{\text{бок}}}{\pi}$, $\dfrac{S_{\text{полн}}}{\pi}$.

Решение.

Шаг 1. Образующая $l = \sqrt{9 + 16} = 5$.

Шаг 2. $V = \frac13 \pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi$.

Шаг 3. $S_{\text{бок}} = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi$, $S_{\text{полн}} = 15\pi + 9\pi = 24\pi$.

Ответ: $12$; $15$; $24$.

Пример 2 (средний): бокал «до половины»

Сосуд имеет форму конуса, вершиной вниз. Жидкость налили до половины высоты, её объём $8$ мл. Сколько миллилитров нужно долить, чтобы заполнить сосуд доверху?

Решение.

Шаг 1. Жидкость образует конус, подобный сосуду, с коэффициентом $k = \frac12$ (половина высоты — и половина радиуса поверхности жидкости).

Шаг 2. $V_{\text{жидк}} = k^3 V_{\text{сосуда}} = \frac18 V$, откуда $V = 8 \cdot 8 = 64$ мл.

Шаг 3. Долить: $64 - 8 = 56$ мл.

Почему так происходит? Верхняя половина конуса широкая, и именно в ней сосредоточено $\frac78$ объёма. Бармены знают: «конический бокал на палец ниже края» — это заметно меньше напитка, чем кажется.

Ответ: $56$ мл.

Пример 3 (сложный): осевое сечение — правильный треугольник

Осевое сечение конуса — правильный треугольник со стороной $6$. Найди $\dfrac{S_{\text{бок}}}{\pi}$, $\dfrac{S_{\text{полн}}}{\pi}$ и $\dfrac{V}{\pi\sqrt3}$.

Решение.

Шаг 1. Разбираем треугольник. Основание треугольника — диаметр: $2r = 6$, $r = 3$. Боковые стороны — образующие: $l = 6$. Высота правильного треугольника со стороной $6$: $h = \frac{6\sqrt3}{2} = 3\sqrt3$.

Шаг 2. $S_{\text{бок}} = \pi \cdot 3 \cdot 6 = 18\pi$, $S_{\text{полн}} = 18\pi + 9\pi = 27\pi$.

Шаг 3. $V = \frac13 \pi \cdot 9 \cdot 3\sqrt3 = 9\sqrt3\,\pi$, значит, $\dfrac{V}{\pi\sqrt3} = 9$.

Интересная деталь: у такого конуса («равностороннего») $S_{\text{бок}} = 2 \cdot S_{\text{осн}}$ ($18\pi$ против $9\pi$). Развёртка его боковой поверхности — ровно полукруг.

Ответ: $18$; $27$; $9$.

Почему это важно

Конус и усечённый конус — это воронки, сопла ракетных двигателей, абажуры, дозаторы. В компьютерной графике конус — это модель освещения прожектором и модель поля зрения; в робототехнике «конус трения» определяет, соскользнёт ли захват манипулятора. А задача «налили до половины высоты» — хороший тренажёр нелинейной интуиции: зависимость объёма от уровня кубическая, и датчик уровня в коническом баке нельзя градуировать равномерно.

Блок 3: Шар, вписанные и описанные тела

Давай разберёмся с интуицией

Шар получается вращением полукруга вокруг диаметра; его поверхность — сфера. Все точки сферы удалены от центра на $R$.

Формулы шара (радиус $R$):

$$V = \frac43 \pi R^3, \qquad S = 4\pi R^2.$$

Любое сечение шара плоскостью — круг. Если плоскость удалена от центра на $d$, радиус сечения $\rho = \sqrt{R^2 - d^2}$. Сечение через центр — большой круг радиуса $R$.

Откуда $\frac43$? Архимед рассуждал так: возьмём цилиндр радиуса $R$ и высоты $2R$ и вырежем из него два конуса с вершинами в центре. На любой высоте $x$ от центра площадь сечения «цилиндра без конусов» — кольцо $\pi R^2 - \pi x^2$, а площадь сечения шара — круг $\pi(R^2 - x^2)$. Площади совпадают на каждой высоте — значит, по принципу Кавальери совпадают и объёмы:

А $S = 4\pi R^2$ можно запомнить через производную: $\left(\frac43 \pi R^3\right)' = 4\pi R^2$. Интуиция: если нарастить шар тонким слоем толщины $\Delta R$, объём вырастет примерно на $S \cdot \Delta R$.

Вписанные и описанные тела. Почти все задачи решаются через осевое сечение: в нём шар превращается в круг, цилиндр — в прямоугольник, конус — в треугольник. «Шар вписан в цилиндр» → круг вписан в квадрат: $h = 2R$, $r = R$. «Цилиндр вписан в шар» → прямоугольник вписан в окружность: его диагональ — диаметр, $(2r)^2 + h^2 = (2R)^2$. «Конус вписан в шар» → треугольник вписан в окружность.

Теорема Архимеда. Для шара, вписанного в цилиндр, и конуса, вписанного в тот же цилиндр (общие основание и высота):

$$V_{\text{конуса}} : V_{\text{шара}} : V_{\text{цилиндра}} = 1 : 2 : 3, \qquad \frac{S_{\text{шара}}}{S_{\text{полн. цил}}} = \frac{4\pi R^2}{6\pi R^2} = \frac23.$$

Аналогия

В играх шар — самая дешёвая форма для проверки столкновений. Чтобы узнать, пересекаются ли два шара, достаточно сравнить расстояние между центрами с суммой радиусов — одна формула, никаких граней. Поэтому сложные модели сначала упаковывают в ограничивающие сферы (bounding spheres): если сферы не пересекаются, модели точно не сталкиваются, и дорогую проверку по полигонам можно пропустить. Это ровно задача «тело, описанное около другого тела» из ЕГЭ, только в реальном времени, 60 раз в секунду.

Пример 1 (лёгкий): шар радиуса 3

Найди $\dfrac{V}{\pi}$ и $\dfrac{S}{\pi}$ для шара радиуса $3$.

Решение.

$V = \frac43 \pi \cdot 27 = 36\pi$, $S = 4\pi \cdot 9 = 36\pi$.

Числа совпали, потому что при $R = 3$ выполнено $\frac43 R^3 = 4R^2$. Размерности, конечно, разные.

Ответ: $36$; $36$.

Пример 2 (средний): шар в цилиндре

Шар вписан в цилиндр. Объём цилиндра равен $48$. Найди объём шара.

Решение.

Шаг 1. Осевое сечение — круг, вписанный в квадрат: $r = R$, $h = 2R$.

Шаг 2. $V_{\text{цил}} = \pi R^2 \cdot 2R = 2\pi R^3$, $V_{\text{шара}} = \frac43 \pi R^3$. Отношение:

Шаг 3. $V_{\text{шара}} = \frac23 \cdot 48 = 32$.

Ответ: $32$.

Пример 3 (сложный): цилиндр в шаре

Цилиндр вписан в шар радиуса $5$. Радиус основания цилиндра равен $3$. Найди $\dfrac{V_{\text{цил}}}{\pi}$.

Решение.

Шаг 1. Осевое сечение. Прямоугольник $2r \times h$ вписан в окружность радиуса $R = 5$, его диагональ — диаметр $10$.

Шаг 2. Половина прямоугольника: прямоугольный треугольник с катетами $r = 3$ и $\frac h2$ и гипотенузой $R = 5$. $\frac h2 = \sqrt{25 - 9} = 4$, $h = 8$.

Шаг 3. $V = \pi \cdot 9 \cdot 8 = 72\pi$.

Разберём по шагам, что здесь главное: мы ни разу не рисовали трёхмерную картинку — вся задача решилась в плоском сечении. Это и есть основной приём для тел вращения.

Ответ: $72$.

Почему это важно

Шар — форма с наименьшей площадью поверхности при данном объёме (изопериметрическое неравенство), поэтому капли, пузыри, звёзды и клетки стремятся к шару. А в ML шар — источник важнейшего парадокса: в пространстве размерности $n$ доля объёма куба, занятая вписанным шаром, стремительно падает. При $n = 3$ это $\frac{\pi}{6} \approx 0{,}52$, при $n = 10$ — около $0{,}0025$. Почти весь объём многомерного куба — в «углах». Это одно из проявлений проклятия размерности: в многомерных пространствах признаков точки разрежены, и методы вроде $k$ ближайших соседей теряют эффективность.

Практика: 30 заданий

Ответы — числа. Если в ответе появляется $\pi$, нужно найти величину, делённую на $\pi$, как в ЕГЭ.

Базовые (задания 1–10)

Задание 1: Радиус основания цилиндра $4$, высота $6$. Найди $\dfrac{V}{\pi}$.

Задание 2: Радиус основания конуса $6$, высота $8$. Найди $\dfrac{S_{\text{бок}}}{\pi}$.

Задание 3: Радиус шара $6$. Найди $\dfrac{S}{\pi}$ и $\dfrac{V}{\pi}$.

Задание 4: Радиус основания цилиндра увеличили в 3 раза, высоту не меняли. Во сколько раз увеличился объём?

Задание 5: Объём конуса равен $27$. Найди объём цилиндра с таким же основанием и такой же высотой.

Задание 6: Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами $10$ (диаметр основания) и $7$ (высота). Найди $\dfrac{S_{\text{бок}}}{\pi}$.

Задание 7: Объём шара увеличился в 8 раз. Во сколько раз увеличилась площадь его поверхности?

Задание 8: Образующая конуса $13$, радиус основания $5$. Найди $\dfrac{V}{\pi}$.

Задание 9: Диаметр шара увеличили в 3 раза. Во сколько раз увеличился объём?

Задание 10: Площадь боковой поверхности цилиндра равна $40\pi$, высота — $5$. Найди $\dfrac{V}{\pi}$.

Средние (задания 11–20)

Задание 11: Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна $18$. Найди площадь поверхности шара.

Задание 12: Цилиндр описан около шара. Объём шара равен $24$. Найди объём цилиндра.

Задание 13: Конус вписан в цилиндр: основание конуса совпадает с нижним основанием цилиндра, а вершина — центр верхнего основания. Объём цилиндра $45$. Найди объём части цилиндра вне конуса.

Задание 14: В сосуд в форме конуса (вершиной вниз) налили жидкость до $\frac13$ высоты. Объём жидкости $5$ мл. Сколько миллилитров нужно долить, чтобы заполнить сосуд доверху?

Задание 15: В цилиндрический сосуд с радиусом основания $5$ см, частично заполненный водой, опустили металлический шар радиуса $3$ см; шар полностью погрузился, вода не перелилась. На сколько сантиметров поднялся уровень воды?

Задание 16: Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник, высота конуса $6$. Найди $\dfrac{V}{\pi}$.

Задание 17: Три металлических шара радиусов $3$, $4$ и $5$ переплавили в один шар. Найди его радиус.

Задание 18: Цилиндр и конус имеют равные объёмы и равные радиусы оснований. Высота цилиндра $7$. Найди высоту конуса.

Задание 19: Радиус основания конуса $5$, высота $12$. Найди $\dfrac{S_{\text{полн}}}{\pi}$.

Задание 20: Цилиндр вписан в шар радиуса $10$, высота цилиндра $12$. Найди $\dfrac{V}{\pi}$.

Продвинутые (задания 21–30)

Задание 21: Конус вписан в шар радиуса $5$ (вершина и окружность основания лежат на сфере). Высота конуса $9$. Найди $\dfrac{V}{\pi}$.

Задание 22: Шар вписан в конус, осевое сечение которого — правильный треугольник. Найди отношение объёма конуса к объёму шара.

Задание 23: В цилиндр вписаны шар и конус (у конуса и цилиндра общее основание и равные высоты). Объём шара равен $10$. Найди объём конуса.

Задание 24: Прямоугольный треугольник с катетами $3$ и $4$ вращается вокруг гипотенузы. Найди $\dfrac{V}{\pi}$ полученного тела.

Задание 25: Прямоугольник $3 \times 5$ вращают сначала вокруг стороны $5$, потом вокруг стороны $3$. Найди разность объёмов полученных цилиндров, делённую на $\pi$.

Задание 26: Шар вписан в куб. Какую долю объёма куба занимает шар? Ответ округли до сотых.

Задание 27: Объём конуса равен $40$. Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Найди объём усечённого конуса (нижней части).

Задание 28: Металлический шар радиуса $6$ переплавили в цилиндр с радиусом основания $6$. Найди высоту цилиндра.

Задание 29: Площадь боковой поверхности конуса равна $60\pi$, радиус основания — $6$. Найди $\dfrac{V}{\pi}$.

Задание 30: 3D-модель бутылки собрана из примитивов (как в CSG-моделировании): цилиндр радиуса $4$ и высоты $10$, на который сверху поставлен конус с тем же радиусом основания и высотой $3$. Найди $\dfrac{V}{\pi}$ модели.

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: диаметр вместо радиуса Неправильно: «диаметр основания 10» → подставить $r = 10$. Правильно: $r = 5$. В осевом сечении сторона прямоугольника или основание треугольника — это диаметр. Почему важно: объём завышается в 4 раза, для шара по диаметру — в 8 раз.

❌ Ошибка 2: высота конуса вместо образующей Неправильно: $S_{\text{бок}} = \pi r h$. Правильно: $S_{\text{бок}} = \pi r l$, где $l = \sqrt{h^2 + r^2}$. Высота — для объёма, образующая — для поверхности. Почему важно: это самая частая ошибка с конусом в задании 3.

❌ Ошибка 3: забыть основания в полной поверхности Неправильно: $S_{\text{полн}}$ цилиндра $= 2\pi r h$. Правильно: $2\pi r h + 2\pi r^2$ (два основания); у конуса — одно основание: $\pi r l + \pi r^2$. Почему важно: «боковая» и «полная» в условии различаются намеренно.

❌ Ошибка 4: «до половины высоты — половина объёма» Неправильно: в конусе, налитом до половины высоты, половина объёма. Правильно: $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ (если вершина внизу). Если вершина вверху, жидкость занимает $1 - \frac18 = \frac78$. Почему важно: зависимость кубическая, линейная интуиция здесь не работает.

❌ Ошибка 5: неверная связь радиусов при вписании Неправильно: для цилиндра, вписанного в шар, считать $r = R$. Правильно: нарисуй осевое сечение: $r^2 + \left(\frac h2\right)^2 = R^2$. Почему важно: без плоского чертежа почти невозможно правильно связать размеры.

❌ Ошибка 6: $\frac43 \pi R^2$ или $4\pi R^3$ Неправильно: перепутать степени в формулах шара. Правильно: объём — $R^3$ (кубические единицы), площадь — $R^2$. Проверка производной: $\left(\frac43 \pi R^3\right)' = 4\pi R^2$. Почему важно: проверка размерности ловит такую ошибку мгновенно.

Главное запомнить

📝 Ключевые понятия

✅ Цилиндр: $V = \pi r^2 h$, $S_{\text{бок}} = 2\pi r h$, $S_{\text{полн}} = 2\pi r(r + h)$.

✅ Конус: $V = \frac13 \pi r^2 h$, $S_{\text{бок}} = \pi r l$, $S_{\text{полн}} = \pi r(l + r)$, $l^2 = h^2 + r^2$.

✅ Шар: $V = \frac43 \pi R^3$, $S = 4\pi R^2$; сечение на расстоянии $d$ от центра — круг радиуса $\sqrt{R^2 - d^2}$.

✅ Осевое сечение: цилиндр → прямоугольник $2r \times h$, конус → равнобедренный треугольник, шар → большой круг.

✅ Архимед: конус : шар : цилиндр $= 1 : 2 : 3$; поверхность шара — $\frac23$ полной поверхности описанного цилиндра.

✅ Цилиндр в шаре: $r^2 + \left(\frac h2\right)^2 = R^2$. Конус в шаре: $r^2 = h(2R - h)$.

✅ Масштаб: все размеры $\times k$ ⇒ площади $\times k^2$, объёмы $\times k^3$.

✅ Отсечённый конус с долей высоты $k$ — объём $k^3 V$.

✅ Если в ответе $\pi$ — ЕГЭ просит $V/\pi$ или $S/\pi$: ответ становится обычным числом.

Связь с другими темами курса

Что нужно было знать до этого урока:

• Прямоугольный треугольник — образующая, высота и радиус конуса связаны теоремой Пифагора
• Окружность — длина окружности и площадь круга, из которых собраны все формулы
• Многогранники — цилиндр и конус как «круглые» призма и пирамида

Что изучить дальше:

• Стереометрия: углы и расстояния — задачи второй части ЕГЭ
• Определённый интеграл — объём тела вращения как $\pi \int f^2(x)\,dx$, из которого все формулы урока получаются одной строкой
• Тройные интегралы — объём шара в сферических координатах
• Геометрическая вероятность — «доля объёма» как вероятность, в том числе в многомерных пространствах

Где это нужно в жизни:

• 🎮 В играх: сферы и капсулы (цилиндр с полусферами) — стандартные коллайдеры персонажей в Unity и Unreal.
• 💻 В графике: ray tracing сферы — квадратное уравнение; ограничивающие сферы ускоряют рендеринг и физику.
• 🤖 В ML/AI: проклятие размерности — доля объёма шара в кубе стремится к нулю; нормализованные эмбеддинги живут на гиперсфере.
• 🏭 В инженерии: баки, трубы, резервуары; оптимальная банка при фиксированном объёме — равносторонний цилиндр.

Интересные факты

💡 Надгробие Архимеда. Шар в цилиндре — единственный «портрет» Архимеда, который он сам себе выбрал. Цицерон нашёл заросшую могилу среди кустов именно по этому изображению.

💡 Винные бочки Кеплера. Кеплер рассмотрел около девяноста тел вращения, чтобы проверить, честно ли винные торговцы меряют бочки. Выяснилось, что австрийские бочки имели форму, близкую к оптимальной: при измерении одной палкой ошибка оказывалась минимальной.

💡 Шар в многомерье. Объём единичного шара растёт с размерностью до $n = 5$ (около $5{,}26$), а потом убывает к нулю. В 20-мерном пространстве единичный шар по объёму меньше $0{,}03$, хотя его диаметр всё так же $2$.

💡 Сферические эмбеддинги. Во многих моделях (например, в CLIP) векторы нормируют на единичную длину, и они живут на гиперсфере. Косинусное сходство — это просто расстояние по поверхности этой сферы, а свойства «площади» многомерной сферы объясняют, почему случайные векторы почти всегда почти ортогональны.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Всегда рисуй осевое сечение Шар → круг, цилиндр → прямоугольник, конус → треугольник. Вписанное тело в сечении — вписанная фигура. Пример: цилиндр в шаре → прямоугольник в окружности, диагональ = $2R$.

2. Пропорция Архимеда $1 : 2 : 3$ Для конуса, шара и цилиндра с одинаковыми радиусом и высотой $2R$. Одна пропорция закрывает целый класс задач. Пример: цилиндр $36$ → шар $24$ → конус $12$.

3. Переливание: сравнивай площади дна $S_1 h_1 = S_2 h_2$; радиус в $k$ раз больше — уровень в $k^2$ раз ниже.

4. Конус и уровень жидкости — кубы Доля высоты $k$ (вершина внизу) → доля объёма $k^3$. $\frac12 \to \frac18$, $\frac13 \to \frac1{27}$, $\frac23 \to \frac8{27}$.

5. Формулы шара через производную $\left(\frac43 \pi R^3\right)' = 4\pi R^2$ — поверхность; $(\pi R^2)' = 2\pi R$ — длина окружности. Если сомневаешься в формуле, продифференцируй.

6. Не раскрывай $\pi$ раньше времени Держи $\pi$ множителем до конца и дели на него в последней строке — меньше арифметики и никаких округлений.

7. Переплавка — сумма кубов Шары переплавляют в один: $R^3 = R_1^3 + R_2^3 + \ldots$; $\frac43\pi$ сокращается.

💡 Совет: выпиши на одну карточку формулы трёх тел и осевые сечения — это вся теория задания 3 про тела вращения. Остальное — Пифагор и правило $k^2$ / $k^3$.

Дальше: стереометрия — углы и расстояния в пространстве, задачи уровня второй части ЕГЭ.