Прямоугольный треугольник: теорема Пифагора, синус, косинус и тангенс острого угла 📐

Ты играешь в шутер, и твой персонаж стоит в точке $(2; 3)$, а враг — в точке $(14; 8)$. Игра должна мгновенно решить: попадает ли враг в радиус поражения гранаты? Для этого движок каждый кадр считает расстояние между точками — и делает это с помощью теоремы, которой две с половиной тысячи лет. Расстояние $= \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$. Это теорема Пифагора.

Та же самая формула, только с большим количеством слагаемых, работает в машинном обучении. Когда рекомендательная система ищет «похожие» фильмы, а языковая модель — «похожие по смыслу» слова, она представляет их векторами из сотен чисел и считает между ними евклидово расстояние: корень из суммы квадратов разностей координат. Это Пифагор в многомерном пространстве. Алгоритм k ближайших соседей, кластеризация k-means, L2-регуляризация — везде внутри сидит $a^2 + b^2 = c^2$.

А ещё прямоугольный треугольник — это место рождения тригонометрии. Синус, косинус и тангенс сначала появились как отношения сторон прямоугольного треугольника: так мерили высоту гор, ширину рек и расстояние до звёзд. В ОГЭ задание 15 регулярно проверяет именно эти вещи: найти катет, гипотенузу, синус угла, высоту к гипотенузе.

Ты узнаешь:

🎯 Почему верна теорема Пифагора, как с её помощью проверять, прямой ли угол, и что такое пифагоровы тройки

🎯 Что такое синус, косинус и тангенс острого угла и почему их значения для $30°$, $45°$, $60°$ нужно знать наизусть (и как их не зубрить)

🎯 Какие «секретные» соотношения прячутся в прямоугольном треугольнике: высота из прямого угла, пропорциональные отрезки и медиана к гипотенузе

История: откуда это взялось? 📜

Теорема носит имя Пифагора (VI век до н.э.), но знали её задолго до него. Вавилонская глиняная табличка Plimpton 322 (около 1800 года до н.э.) содержит список пифагоровых троек — целых чисел $a$, $b$, $c$ с $a^2 + b^2 = c^2$, — причём среди них есть огромные, вроде $12\,709$, $13\,500$, $18\,541$. Вавилоняне явно знали правило и умели его использовать. В Китае то же утверждение известно как теорема «гоу-гу», а в Индии оно записано в «Шульба-сутрах» — правилах построения алтарей. По легенде, египетские «натягиватели верёвок» размечали прямые углы верёвкой с $12$ равными отрезками, сложенной в треугольник $3$–$4$–$5$.

Заслуга Пифагора (или его школы) — вероятно, в том, что они впервые доказали теорему для всех треугольников, а не проверили на примерах. Сегодня известно более $400$ разных доказательств. Одно из них придумал Джеймс Гарфилд в 1876 году — за пять лет до того, как стал 20-м президентом США.

Синусы появились позже. Древнегреческий астроном Гиппарх (II век до н.э.) составил таблицы хорд для астрономических расчётов, индийские математики (Ариабхата, V век) перешли от хорд к полухордам — это и есть синус. Слово «синус» — результат цепочки ошибок перевода: санскритское «джива» (тетива) арабы записали как «джиб», а латинский переводчик прочитал это как «джайб» — «пазуха, изгиб» — и перевёл латинским sinus. Мостик в сегодня: тригонометрия прямоугольного треугольника — основа компьютерной графики (поворот объекта — это синусы и косинусы), а евклидово расстояние — главная мера «похожести» в машинном обучении.

Блок 1: Теорема Пифагора, обратная теорема и пифагоровы тройки

Давай разберёмся с интуицией

Вспомним названия. В прямоугольном треугольнике стороны, образующие прямой угол, называются катетами ($a$ и $b$), а сторона напротив прямого угла — гипотенузой ($c$). Гипотенуза — всегда самая длинная сторона (против самого большого угла, $90°$, лежит самая большая сторона).

Теорема Пифагора говорит: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Почему так происходит? Вот красивое доказательство «на пальцах». Возьми большой квадрат со стороной $a + b$. Разложи внутри него четыре одинаковых прямоугольных треугольника с катетами $a$ и $b$ так, чтобы их гипотенузы образовали внутренний квадрат, повёрнутый «ромбиком». Сторона внутреннего квадрата — $c$.

Площадь большого квадрата можно посчитать двумя способами:

Слева: сторона в квадрате. Справа: внутренний квадрат плюс четыре треугольника. Раскрываем скобки:

Вот и всё. Никаких чудес — только посчитали одну площадь двумя способами.

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

Отсюда: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, $\quad a = \sqrt{c^2 - b^2}$.

Обратная теорема: Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон ($c^2 = a^2 + b^2$), то этот треугольник прямоугольный, и прямой угол лежит против стороны $c$.

Обратная теорема — инструмент проверки: хочешь узнать, прямой ли угол, — посчитай квадраты сторон. Более того: если $c$ — наибольшая сторона и $c^2 < a^2 + b^2$, треугольник остроугольный, а если $c^2 > a^2 + b^2$ — тупоугольный.

Пифагоровы тройки — наборы натуральных чисел $a, b, c$, для которых $a^2 + b^2 = c^2$. Самые частые на экзаменах:

И все их кратные: $6, 8, 10$; $9, 12, 15$; $10, 24, 26$; $12, 16, 20$… Знать их наизусть выгодно: увидел катеты $9$ и $12$ — сразу пишешь гипотенузу $15$, без вычислений.

Пифагоровы тройки можно генерировать формулой Евклида: для любых натуральных $m > n$

Например, $m = 2$, $n = 1$ даёт $3, 4, 5$; $m = 3$, $n = 2$ даёт $5, 12, 13$.

Аналогия

Представь, что ты в городе с прямоугольной сеткой улиц (как Манхэттен или Васильевский остров). Чтобы дойти до кафе, тебе нужно пройти $12$ кварталов на восток и $5$ на север — всего $17$ кварталов. Но голубь летит напрямую, по диагонали — и пролетает всего $13$ кварталов. Теорема Пифагора — это формула «полёта голубя».

Кстати, в ML используют обе метрики: «пешеходное» расстояние $|12| + |5| = 17$ называется манхэттенским (L1), а «голубиное» $\sqrt{12^2 + 5^2} = 13$ — евклидовым (L2).

Пример 1 (лёгкий): находим гипотенузу

Катеты прямоугольного треугольника равны $6$ и $8$. Найди гипотенузу.

Решение:

Проверим наш ответ: $6, 8, 10$ — это тройка $3, 4, 5$, умноженная на $2$ ✅.

Ответ: $10$.

Пример 2 (средний): диагональ телевизора

Диагональ телевизора — $55$ дюймов, соотношение сторон экрана $16 : 9$. Найди ширину и высоту экрана.

Решение:

Шаг 1. Пусть ширина $16x$, высота $9x$. Ширина, высота и диагональ образуют прямоугольный треугольник:

Шаг 2.

Шаг 3. Ширина $16x \approx 47{,}94$ дюйма, высота $9x \approx 26{,}96$ дюйма.

Проверим: $47{,}94^2 + 26{,}96^2 \approx 2298{,}2 + 726{,}8 = 3025 = 55^2$ ✅.

Ответ: ширина $\approx 47{,}9$ дюйма ($\approx 122$ см), высота $\approx 27{,}0$ дюйма ($\approx 68{,}5$ см).

Пример 3 (сложный): расстояние в игре и в пространстве признаков

а) Игрок стоит в точке $(2; 3)$, враг — в точке $(14; 8)$. Найди расстояние между ними.

б) Два объекта в ML-модели описываются векторами признаков $u = (1; 2; 2)$ и $v = (0; 0; 0)$. Найди евклидово расстояние между ними.

Решение:

а) Разности координат: $\Delta x = 14 - 2 = 12$, $\Delta y = 8 - 3 = 5$. Это катеты прямоугольного треугольника, а отрезок между игроком и врагом — гипотенуза:

б) В трёхмерном пространстве Пифагор применяется дважды: сначала находим диагональ «пола» $\sqrt{1^2 + 2^2}$, потом — диагональ «комнаты»:

В $n$ измерениях формула та же — корень из суммы квадратов всех разностей:

Ответ: а) $13$; б) $3$.

Почему это важно

Теорема Пифагора — самая «прикладная» теорема школьной геометрии. Строители проверяют прямоту угла фундамента «правилом 3–4–5» (отмерь $3$ м по одной стене, $4$ м по другой — диагональ должна быть ровно $5$ м). Навигатор считает расстояния по координатам. Игровой движок каждый кадр проверяет столкновения через сумму квадратов. А в машинном обучении евклидово расстояние — это базовая мера сходства: на ней работают k ближайших соседей, k-means, поиск похожих эмбеддингов. Длина вектора (L2-норма) — тоже Пифагор.

Блок 2: Синус, косинус и тангенс острого угла

Давай разберёмся с интуицией

Возьми два прямоугольных треугольника с одинаковым острым углом $A$ — маленький и большой. По прошлому уроку они подобны (два угла равны: прямой и $A$). А значит, отношения их сторон одинаковы! Отношение противолежащего катета к гипотенузе в маленьком треугольнике равно тому же отношению в большом. Это отношение зависит только от угла, а не от размера треугольника. Такие отношения получили имена.

Пусть в треугольнике $ABC$ угол $C = 90°$. Для острого угла $A$:

• катет $BC = a$ — противолежащий (лежит напротив угла $A$);
• катет $AC = b$ — прилежащий (является стороной угла $A$);
• $AB = c$ — гипотенуза.

Определения:

$$\sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c}, \qquad \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c}$$$$\operatorname{tg} A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{b} = \frac{\sin A}{\cos A}$$

Важные следствия:

1. Синус и косинус острого угла меньше $1$ — катет короче гипотенузы. Тангенс может быть любым положительным числом.

2. Основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$. Почему? $\dfrac{a^2}{c^2} + \dfrac{b^2}{c^2} = \dfrac{a^2 + b^2}{c^2} = \dfrac{c^2}{c^2} = 1$ — это Пифагор, делённый на $c^2$.

3. Синус одного острого угла равен косинусу другого: $\sin A = \cos B = \dfrac{a}{c}$ — ведь противолежащий для $A$ катет является прилежащим для $B$. А $\operatorname{tg} A = \dfrac{1}{\operatorname{tg} B}$.

Табличные значения. Их нужно знать наизусть — но их легко вывести, а не зубрить.

• $45°$: равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами $1$, $1$ и гипотенузой $\sqrt{2}$. Значит $\sin 45° = \cos 45° = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\operatorname{tg} 45° = 1$.
• $30°$ и $60°$: разрежь равносторонний треугольник со стороной $2$ высотой пополам. Получится прямоугольный треугольник с гипотенузой $2$, катетом $1$ (половина стороны, лежит против угла $30°$) и катетом $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$ (против угла $60°$).

📌 Из этого треугольника — главный факт ОГЭ: катет, лежащий против угла $30°$, равен половине гипотенузы.

💡 Мнемоника для синусов: $\sin 30°, \sin 45°, \sin 60° = \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ — под корнем просто $1, 2, 3$. Косинусы — те же числа в обратном порядке.

Аналогия

Синус угла — это как уклон дороги, записанный «по-другому». Знак «уклон 10%» говорит: на каждые $100$ м по горизонтали дорога поднимается на $10$ м. Это и есть тангенс угла подъёма: $\operatorname{tg} = \dfrac{10}{100} = 0{,}1$. Неважно, какой длины участок — $100$ м или $10$ км, — отношение подъёма к горизонтали то же самое, потому что угол тот же. Синус — это то же самое, только подъём делим на длину самой дороги (гипотенузу), а косинус — сколько «горизонтали» получаешь на каждый метр дороги.

В компьютерной графике это ежедневная работа: если персонаж бежит со скоростью $v$ под углом $A$ к оси $x$, то его смещение по осям — $v \cos A$ и $v \sin A$. Косинус и синус «раскладывают» движение на две оси.

Пример 1 (лёгкий): египетский треугольник

В треугольнике $ABC$ угол $C = 90°$, $BC = 3$, $AC = 4$, $AB = 5$. Найди $\sin A$, $\cos A$, $\operatorname{tg} A$.

Решение:

Для угла $A$: противолежащий катет $BC = 3$, прилежащий $AC = 4$, гипотенуза $AB = 5$.

Проверим: $0{,}6^2 + 0{,}8^2 = 0{,}36 + 0{,}64 = 1$ ✅.

Ответ: $0{,}6$; $0{,}8$; $0{,}75$.

Пример 2 (средний): задача в формате ОГЭ

В треугольнике $ABC$ угол $C = 90°$, $AC = 12$, $\operatorname{tg} A = 0{,}75$. Найди $AB$.

Решение:

Шаг 1. $\operatorname{tg} A = \dfrac{BC}{AC}$, значит $BC = AC \cdot \operatorname{tg} A = 12 \cdot 0{,}75 = 9$.

Шаг 2. По Пифагору:

Или быстрее: $9, 12, 15$ — это $3, 4, 5$, умноженное на $3$.

Ответ: $15$.

Пример 3 (сложный): находим все функции по одной

Острый угол $A$ таков, что $\sin A = \dfrac{5}{13}$. Найди $\cos A$ и $\operatorname{tg} A$.

Решение:

Способ 1 (через треугольник). Нарисуем прямоугольный треугольник, где противолежащий катет $5$, гипотенуза $13$. Второй катет:

Значит $\cos A = \dfrac{12}{13}$, $\operatorname{tg} A = \dfrac{5}{12}$.

Способ 2 (через тождество).

(берём корень со знаком «плюс», потому что косинус острого угла положителен). Тогда $\operatorname{tg} A = \dfrac{\sin A}{\cos A} = \dfrac{5}{13} : \dfrac{12}{13} = \dfrac{5}{12}$.

Ответ: $\cos A = \dfrac{12}{13}$, $\operatorname{tg} A = \dfrac{5}{12}$.

Почему это важно

Синус, косинус и тангенс позволяют находить расстояния, которые нельзя измерить напрямую: высоту дерева по углу, под которым видна верхушка; ширину реки; высоту полёта самолёта. В компьютерной графике любой поворот объекта задаётся через $\sin$ и $\cos$ угла поворота. В ML косинус угла между векторами — это косинусное сходство, главная метрика для сравнения эмбеддингов текстов: у векторов «кот» и «кошка» угол маленький, косинус близок к $1$. Всё это — прямое продолжение определений, которые мы только что разобрали. А в 10 классе синус и косинус «выйдут» из треугольника на единичную окружность и станут определены для любых углов.

Блок 3: Высота из прямого угла, пропорциональные отрезки и медиана к гипотенузе

Давай разберёмся с интуицией

Опустим из вершины прямого угла $C$ высоту $CH$ на гипотенузу $AB$. Получилось три прямоугольных треугольника: большой $ABC$ и два маленьких — $ACH$ и $CBH$. И вот сюрприз: все три подобны друг другу. Почему? У $ACH$ и $ABC$ общий угол $A$ и по прямому углу — подобны. У $CBH$ и $ABC$ общий угол $B$ и по прямому — подобны. Значит, и маленькие подобны между собой.

Чертёж словами: гипотенуза $AB$ горизонтальна, вершина прямого угла $C$ сверху; высота $CH$ опускается вертикально вниз, точка $H$ делит гипотенузу на отрезки $AH$ (ближе к $A$) и $HB$. Отрезки $AH$ и $HB$ — проекции катетов $AC$ и $BC$ на гипотенузу.

Из подобия получаются знаменитые соотношения (обозначим $c = AB$, $a = BC$, $b = AC$, $h = CH$, $b_c = AH$, $a_c = HB$):

Соотношения в прямоугольном треугольнике:

1. Высота — среднее пропорциональное проекций катетов: $h^2 = a_c \cdot b_c$, то есть $CH^2 = AH \cdot HB$.
2. Катет — среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции: $b^2 = c \cdot b_c$ ($AC^2 = AB \cdot AH$), $a^2 = c \cdot a_c$ ($BC^2 = AB \cdot HB$).
3. Высота через катеты и гипотенузу: $h = \dfrac{ab}{c}$.

Откуда третья формула? Площадь треугольника можно посчитать двумя способами: как половину произведения катетов $\dfrac{ab}{2}$ и как половину гипотенузы на высоту $\dfrac{c \cdot h}{2}$. Приравниваем — получаем $h = \dfrac{ab}{c}$.

Первая формула — из подобия $ACH \sim CBH$: $\dfrac{CH}{AH} = \dfrac{HB}{CH}$, откуда $CH^2 = AH \cdot HB$. Вторая — из подобия $ACH \sim ABC$: $\dfrac{AC}{AB} = \dfrac{AH}{AC}$, откуда $AC^2 = AB \cdot AH$. Кстати, если сложить $AC^2 + BC^2 = AB \cdot AH + AB \cdot HB = AB \cdot (AH + HB) = AB^2$ — это ещё одно доказательство теоремы Пифагора!

Медиана к гипотенузе. Достроим прямоугольный треугольник $ABC$ до прямоугольника $ACBD$. Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам. Точка пересечения $M$ — середина гипотенузы $AB$, и $CM$ — половина диагонали $CD$, которая равна $AB$.

Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы:

$$CM = \frac{AB}{2} = AM = MB$$

Середина гипотенузы — центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, а её радиус $R = \dfrac{c}{2}$.

Следствие: медиана $CM$ разбивает прямоугольный треугольник на два равнобедренных треугольника ($AMC$ и $BMC$). Это часто помогает в задачах на углы.

Аналогия

Высота из прямого угла — как «фрактальная матрёшка»: прямоугольный треугольник разрезается на две свои уменьшенные копии. Каждая копия — тот же самый треугольник, только в другом масштабе. Поэтому все отношения сторон в трёх треугольниках одинаковы, и из них сыплются формулы.

А медиана к гипотенузе — это «серединка качелей»: если прямоугольный треугольник вписан в окружность, гипотенуза — диаметр, а середина гипотенузы — центр. От центра до любой точки окружности (в том числе до вершины прямого угла) одно и то же расстояние — радиус.

Пример 1 (лёгкий): высота и проекции

Катеты прямоугольного треугольника равны $6$ и $8$. Найди высоту, проведённую к гипотенузе, и отрезки, на которые она делит гипотенузу.

Решение:

Шаг 1. Гипотенуза: $c = \sqrt{36 + 64} = 10$.

Шаг 2. Высота: $h = \dfrac{ab}{c} = \dfrac{6 \cdot 8}{10} = 4{,}8$.

Шаг 3. Проекции: катет $6$ — $\dfrac{6^2}{10} = 3{,}6$; катет $8$ — $\dfrac{8^2}{10} = 6{,}4$.

Проверим: $3{,}6 + 6{,}4 = 10$ ✅; $h^2 = 4{,}8^2 = 23{,}04 = 3{,}6 \cdot 6{,}4$ ✅.

Ответ: $h = 4{,}8$; отрезки $3{,}6$ и $6{,}4$.

Пример 2 (средний): по проекциям находим всё

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки $4$ и $9$. Найди высоту и катеты.

Решение:

Шаг 1. $h^2 = 4 \cdot 9 = 36$, $h = 6$.

Шаг 2. Гипотенуза $c = 4 + 9 = 13$.

Шаг 3. Катеты: $\sqrt{13 \cdot 4} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7{,}21$ и $\sqrt{13 \cdot 9} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13} \approx 10{,}82$.

Проверим Пифагором: $52 + 117 = 169 = 13^2$ ✅.

Ответ: $h = 6$; катеты $2\sqrt{13}$ и $3\sqrt{13}$.

Пример 3 (сложный): медиана к гипотенузе

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна $5$, а один из катетов равен $6$. Найди второй катет, площадь и высоту, проведённую к гипотенузе.

Решение:

Шаг 1. Медиана к гипотенузе — половина гипотенузы: $c = 2 \cdot 5 = 10$.

Шаг 2. Второй катет: $\sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$.

Шаг 3. Площадь: $S = \dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24$.

Шаг 4. Высота: $h = \dfrac{2S}{c} = \dfrac{48}{10} = 4{,}8$.

Ответ: катет $8$, площадь $24$, высота $4{,}8$.

Почему это важно

Соотношения с высотой — «тяжёлая артиллерия» для задач ОГЭ 15–16 и ЕГЭ: они позволяют найти всё по двум любым отрезкам. Медиана к гипотенузе объясняет, почему любой прямоугольный треугольник можно вписать в окружность с центром в середине гипотенузы — на этом основано построение прямого угла циркулем. А формула $h = \dfrac{ab}{c}$ — это расстояние от точки до прямой, которое в ML прячется в методе опорных векторов (SVM): алгоритм ищет прямую, максимально удалённую от ближайших точек обоих классов, и считает эти «высоты» миллионы раз.

Практика: 30 заданий

Базовые (задания 1–10)

Задание 1: Катеты прямоугольного треугольника равны $5$ и $12$. Найди гипотенузу.

Задание 2: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $17$, один катет — $8$. Найди другой катет.

Задание 3: Является ли треугольник со сторонами $9$, $40$, $41$ прямоугольным?

Задание 4: В треугольнике $ABC$ угол $C = 90°$, $BC = 7$, $AB = 25$. Найди $\sin A$.

Задание 5: В треугольнике $ABC$ угол $C = 90°$, $AC = 4$, $BC = 3$. Найди $\operatorname{tg} A$.

Задание 6: В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $18$, один из острых углов — $30°$. Найди катет, лежащий против этого угла.

Задание 7: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $14$. Найди медиану, проведённую к гипотенузе.

Задание 8: Сторона квадрата равна $5$. Найди его диагональ.

Задание 9: Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна $8\sqrt{2}$. Найди катет.

Задание 10: В треугольнике $ABC$ угол $C = 90°$, $AB = 20$, $\cos A = 0{,}8$. Найди $AC$.

Средние (задания 11–20)

Задание 11: В треугольнике $ABC$ угол $C = 90°$, $BC = 9$, $\operatorname{tg} A = 0{,}75$. Найди $AB$.

Задание 12: Угол $A$ острый, $\sin A = \dfrac{5}{13}$. Найди $\cos A$.

Задание 13: Стороны прямоугольника равны $20$ и $21$. Найди его диагональ.

Задание 14: Основание равнобедренного треугольника равно $16$, боковая сторона — $17$. Найди площадь треугольника.

Задание 15: Катеты прямоугольного треугольника равны $9$ и $12$. Найди высоту, проведённую к гипотенузе.

Задание 16: Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, делит её на отрезки $2$ и $8$. Найди эту высоту.

Задание 17: Лестница длиной $5$ м приставлена к стене. Нижний конец лестницы находится в $1{,}4$ м от стены. На какой высоте верхний конец касается стены?

Задание 18: Диагонали ромба равны $10$ и $24$. Найди сторону ромба.

Задание 19: Найди высоту равностороннего треугольника со стороной $6$.

Задание 20: В треугольнике $ABC$ угол $C = 90°$, угол $A = 60°$, $AC = 5$. Найди $AB$ и $BC$.

Продвинутые (задания 21–30)

Задание 21: Два объекта в рекомендательной системе описаны векторами признаков $u = (1; 4; 2; 3)$ и $v = (3; 0; 3; 1)$. Найди евклидово расстояние между ними.

Задание 22: В треугольнике $ABC$ угол $C = 90°$, $CH$ — высота, $AH = 9$, $AB = 25$. Найди $AC$, $BC$ и $CH$.

Задание 23: Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна $6{,}5$, один из катетов — $5$. Найди площадь треугольника.

Задание 24: Основания равнобедренной трапеции равны $7$ и $19$, боковая сторона — $10$. Найди площадь трапеции.

Задание 25: В треугольнике $ABC$ угол $C = 90°$, $CH$ — высота, $CH = 12$, $\sin A = 0{,}6$. Найди $AB$.

Задание 26: Сгенерируй пифагорову тройку по формуле Евклида для $m = 5$, $n = 2$ и проверь её.

Задание 27: В игре персонаж стоит в точке $(0; 0)$, радиус взрыва гранаты — $10$. Враги стоят в точках $(6; 8)$, $(7; 7)$, $(9; 5)$. Кого заденет взрыв (считаем, что задевает, если расстояние не больше $10$)? Реши без извлечения корней.

Задание 28: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $10$, площадь — $24$. Найди периметр.

Задание 29: Стороны прямоугольника равны $4\sqrt{3}$ и $4$. Найди угол между диагональю и большей стороной и длину диагонали.

Задание 30: Из точки $A$ вершина башни видна под углом $30°$ к горизонту. Подойдя к башне на $20$ м (по прямой, ведущей к её основанию), наблюдатель видит вершину под углом $45°$. Найди высоту башни (рост наблюдателя не учитываем).

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: складывают квадраты, когда нужно вычитать

Неправильно: «Гипотенуза $17$, катет $8$, другой катет $\sqrt{17^2 + 8^2}$».

Правильно: катет находится вычитанием: $\sqrt{17^2 - 8^2} = 15$. Сложение — только для гипотенузы.

Почему важно: катет не может быть длиннее гипотенузы. Если получилось больше — ты сложил вместо вычитания.

❌ Ошибка 2: путают противолежащий и прилежащий катеты

Неправильно: «$\sin A = \dfrac{AC}{AB}$» при $\angle C = 90°$.

Правильно: $AC$ — сторона угла $A$, то есть прилежащий катет, и $\dfrac{AC}{AB} = \cos A$. Противолежащий катет — тот, что «напротив» угла $A$, не касается вершины $A$: это $BC$.

Почему важно: это главная ошибка задания 15 ОГЭ. Проверка: противолежащий катет не содержит букву угла.

❌ Ошибка 3: $\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$

Неправильно: $\sqrt{6^2 + 8^2} = 6 + 8 = 14$.

Правильно: $\sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$. Корень из суммы не равен сумме корней.

Почему важно: это нарушило бы неравенство треугольника: гипотенуза не может быть равна сумме катетов.

❌ Ошибка 4: используют теорему Пифагора в непрямоугольном треугольнике

Неправильно: «Стороны треугольника $5$ и $7$, угол между ними $60°$, третья сторона $\sqrt{25 + 49}$».

Правильно: Пифагор верен только при прямом угле. Для произвольного угла нужна теорема косинусов — «исправленный Пифагор».

Почему важно: в задачах часто есть «почти прямые» углы на чертеже — верь условию, а не картинке.

❌ Ошибка 5: путают табличные значения $\sin 30°$ и $\sin 60°$

Неправильно: $\sin 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Правильно: $\sin 30° = \dfrac{1}{2}$ — маленькому углу соответствует маленький синус. Против угла $30°$ лежит самый короткий катет, равный половине гипотенузы.

Почему важно: синус острого угла растёт вместе с углом, косинус — убывает. Это простой способ проверки.

❌ Ошибка 6: высота к гипотенузе — «половина гипотенузы»

Неправильно: путают высоту и медиану, проведённые из прямого угла: «$CH = \dfrac{AB}{2}$».

Правильно: половине гипотенузы равна медиана $CM$. Высота $CH = \dfrac{ab}{c}$ и всегда не больше медианы (равны они только в равнобедренном прямоугольном треугольнике).

Почему важно: в задачах часто проведены обе, и перепутать их — значит решить другую задачу.

Главное запомнить

📝 Ключевые понятия

✅ Теорема Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$; гипотенуза — сложение, катет — вычитание.

✅ Обратная теорема: если $c^2 = a^2 + b^2$, треугольник прямоугольный; $c^2 > a^2 + b^2$ — тупоугольный; $c^2 < a^2 + b^2$ — остроугольный ($c$ — наибольшая сторона).

✅ Пифагоровы тройки: $3, 4, 5$; $5, 12, 13$; $8, 15, 17$; $7, 24, 25$; $20, 21, 29$ — и их кратные.

✅ Синус — противолежащий катет / гипотенуза; косинус — прилежащий катет / гипотенуза; тангенс — противолежащий / прилежащий.

✅ Тождества: $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$; $\operatorname{tg} A = \dfrac{\sin A}{\cos A}$; $\sin A = \cos B$ для острых углов прямоугольного треугольника.

✅ Табличные значения: $\sin 30° = \cos 60° = \dfrac{1}{2}$; $\sin 45° = \cos 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$; $\sin 60° = \cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$; $\operatorname{tg} 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$, $\operatorname{tg} 45° = 1$, $\operatorname{tg} 60° = \sqrt{3}$.

✅ Катет против угла $30°$ равен половине гипотенузы.

✅ Высота из прямого угла: $h^2 = a_c \cdot b_c$; $a^2 = c \cdot a_c$, $b^2 = c \cdot b_c$; $h = \dfrac{ab}{c}$.

✅ Медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы; середина гипотенузы — центр описанной окружности.

✅ Евклидово расстояние $\sqrt{\sum (u_i - v_i)^2}$ — теорема Пифагора в $n$ измерениях, основа метрик в ML.

Связь с другими темами курса

Что нужно было знать до этого урока:

• Признаки равенства и подобия треугольников — подобие объясняет, почему синус зависит только от угла, и даёт соотношения с высотой
• Треугольники: виды, углы, медиана, биссектриса, высота — сумма углов и свойства равнобедренного треугольника
• Квадратный корень — без него не найти сторону по Пифагору
• Формулы сокращённого умножения — $(a + b)^2$ в доказательстве теоремы и в задании 28

Что изучить дальше:

• Определение синуса и косинуса — синус и косинус любого угла через единичную окружность
• Применение тригонометрии в геометрии, теорема синусов и теорема косинусов — решение произвольных треугольников
• Скалярное произведение и евклидово пространство — длина вектора, угол между векторами и Пифагор в $n$ измерениях
• Метод k ближайших соседей — алгоритм, который целиком держится на евклидовом расстоянии

Экзамены: ОГЭ, задание 15 и ОГЭ, задание 16, ЕГЭ, задание 1.

Где это нужно в жизни:

• 🎮 В играх: расстояние до врага, радиус взрыва, коллизии — сумма квадратов разностей координат
• 🏗️ В строительстве: правило $3$–$4$–$5$ для проверки прямого угла, расчёт длины стропил и лестниц
• 🤖 В ML: евклидово расстояние и L2-норма, косинусное сходство эмбеддингов
• 🖥️ В компьютерной графике: поворот объекта на угол — это синусы и косинусы; скорость под углом раскладывается как $v\cos A$ и $v\sin A$
• 📱 В телефоне: диагональ экрана в дюймах — гипотенуза треугольника «ширина — высота»

Интересные факты

💡 Более 400 доказательств. Американский учитель Элиша Лумис собрал в книге «Пифагорово предложение» (второе издание, 1940) 367 доказательств теоремы. С тех пор их стало ещё больше, в том числе придуманные школьниками.

💡 Президент-геометр. Джеймс Гарфилд, будущий 20-й президент США, в 1876 году придумал доказательство через трапецию из двух одинаковых прямоугольных треугольников и опубликовал его в журнале для учителей.

💡 Великая теорема Ферма родилась из Пифагора. Уравнение $a^2 + b^2 = c^2$ имеет бесконечно много решений в натуральных числах, а $a^n + b^n = c^n$ при $n \ge 3$ — ни одного. Ферма заявил об этом в 1637 году, а доказал Эндрю Уайлс только в 1994-м.

💡 Слово «синус» — ошибка переводчика. Санскритское «джива» (тетива лука) превратилось в арабское «джиб», которое прочитали как «джайб» (пазуха, изгиб) и перевели на латынь как sinus — «изгиб, пазуха».

💡 Почему в играх не извлекают корень. Корень — сравнительно «дорогая» операция. Чтобы проверить, ближе ли враг, чем $10$ метров, достаточно сравнить $dx^2 + dy^2$ со $100$ — так и делают в игровых движках, и так же в ML ускоряют поиск ближайших соседей.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Сначала ищи пифагорову тройку

Прежде чем считать корень, проверь, не тройка ли это (или кратная ей): $9$ и $12$ → это $3 \cdot (3, 4)$ → гипотенуза $15$.

Пример: катет $10$ и гипотенуза $26$ → это $2 \cdot (5, 12, 13)$ → второй катет $24$.

2. Разность квадратов для катета

$\sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{(c - a)(c + a)}$ — считать проще.

Пример: $\sqrt{41^2 - 40^2} = \sqrt{1 \cdot 81} = 9$.

3. Треугольник $30°$–$60°$–$90°$: стороны $1 : \sqrt{3} : 2$

Против $30°$ — самый короткий катет $x$, гипотенуза $2x$, второй катет $x\sqrt{3}$. Треугольник $45°$–$45°$–$90°$: стороны $1 : 1 : \sqrt{2}$.

4. Как не перепутать синус и косинус

Косинус — коснувшийся (прилежащий) катет. Синус — противолежащий. И проверка: синус растёт с углом, косинус убывает.

5. Высота к гипотенузе — через площадь

$h = \dfrac{ab}{c}$: «произведение катетов делить на гипотенузу». Вывод за 5 секунд: площадь дважды — $\dfrac{ab}{2} = \dfrac{ch}{2}$.

6. Сравнивай квадраты, а не корни

Чтобы понять, какая точка ближе или лежит ли точка внутри круга, сравнивай $dx^2 + dy^2$ с $R^2$. Меньше вычислений — меньше ошибок (задание 27).

7. Нарисуй треугольник, если дан один синус

Дан $\sin A = \dfrac{8}{17}$? Рисуй треугольник с катетом $8$ и гипотенузой $17$, достраивай второй катет ($15$) — и все остальные функции читаются с чертежа.

💡 Совет: выучи наизусть пять пифагоровых троек и таблицу для $30°$, $45°$, $60°$ — но не зубри, а выведи их сам пару раз из квадрата и равностороннего треугольника. После этого половина заданий 15 ОГЭ будет решаться устно.

Дальше — четырёхугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб, трапеция. Теорема Пифагора и подобие треугольников будут работать там на каждом шагу.