Как доказывать в геометрии: признаки, свойства и оформление решения 🧩

Задачу на вычисление можно решить «на авось». С доказательством так не выйдет. В задании 24 ОГЭ и в пункте а) планиметрической задачи профильного ЕГЭ нет числа, которое можно угадать. Проверяющий читает твой текст и задаёт себе один вопрос: следует ли каждая строчка из предыдущих? Если хотя бы один переход держится на «ну это же видно по рисунку», балл снимают.

Хорошая новость: доказательства в школьной геометрии — это не озарение гения, а ремесло. Почти все экзаменационные задачи «докажите, что…» решаются пятью-шестью стандартными ходами: равные треугольники, подобные треугольники, углы при параллельных прямых, вписанные углы, дополнительное построение. Знаешь ходы и умеешь записать цепочку — задача 24 превращается из лотереи в гарантированные 2 балла.

Есть и взрослая причина разобраться. Доказательство — это то, что программисты называют корректностью алгоритма: тесты проверяют программу на десятке входов, а доказательство гарантирует результат для всех входов. Геометрия — самый наглядный полигон, где учатся так рассуждать.

Ты узнаешь:

🎯 Как устроено доказательство: «Дано», «Доказать», цепочка шагов с обоснованиями — и на что можно ссылаться, не доказывая заново

🎯 Чем признак отличается от свойства и почему путаница между ними — главная логическая ошибка школьников

🎯 Пять типовых схем: через равенство треугольников, подобие, параллельность, вписанные углы и дополнительное построение

🎯 Как оформить решение на ОГЭ и ЕГЭ так, чтобы эксперту не к чему было придраться

История: откуда это взялось? 📜

Египтяне и вавилоняне умели считать площади полей за тысячу лет до греков — но у них были рецепты, а не доказательства. Перелом случился в VI веке до н. э., когда купец и путешественник Фалес Милетский начал задавать неудобный вопрос: почему это верно? Традиция приписывает ему первые доказательства: вертикальные углы равны, углы при основании равнобедренного треугольника равны, диаметр делит круг пополам. Важно было не содержание, а жанр: утверждение принимается, только если выведено из более простых.

Около 300 года до н. э. Евклид в Александрии собрал всё накопленное в 13 книг «Начал». Он начал с 5 постулатов и нескольких «общих понятий» и из них по цепочке вывел сотни теорем — каждую только из уже доказанных. Структура «аксиомы → теоремы → следствия» живёт в твоём школьном учебнике, и когда ты пишешь «по первому признаку равенства», ты делаешь то же, что Евклид.

В 1899 году Давид Гильберт в «Основаниях геометрии» показал, что даже у Евклида некоторые шаги держались на наглядности чертежа, и дописал недостающие аксиомы. Геометрия стала полностью формальной — а отсюда прямой путь к системам компьютерной проверки доказательств (Lean, Coq, Isabelle) и к AlphaGeometry, которая в 2024 году решила 25 из 30 олимпиадных геометрических задач и выдавала решения проверяемыми цепочками шагов, как на экзамене.

Блок 1: Анатомия доказательства — дано, доказать, цепочка шагов

Давай разберёмся с интуицией

Любое утверждение в задаче «докажите» имеет вид «если A, то B». A — это условие (что дано), B — заключение (что нужно доказать). Доказательство — это мост от A к B, где каждая доска — либо данное условие, либо уже известная теорема, либо определение, либо то, что ты сам вывел на предыдущем шаге.

Представь придирчивого, но честного собеседника. Он верит только трём вещам:

1. Условию задачи — это «дано».
2. Определениям (что такое параллелограмм, биссектриса, вписанный угол).
3. Теоремам школьного курса — признакам равенства и подобия треугольников, свойствам параллельных прямых, теореме о вписанном угле, теореме Пифагора и т. д.

Всё остальное — «на рисунке видно», «это же понятно», «так всегда бывает» — он не принимает. Именно так читает твоё решение эксперт ОГЭ и ЕГЭ.

Аналогия

Доказательство похоже на программу со строгой типизацией. Каждая переменная (отрезок, угол) должна быть объявлена (дано или построено). Каждая функция, которую ты вызываешь (теорема), должна существовать в стандартной библиотеке (школьный курс) — и её аргументы должны подходить по типу. Нельзя вызвать признак_равенства_по_двум_сторонам_и_углу(a, b, угол), если угол не между этими сторонами: компилятор (эксперт) выдаст ошибку типа. А фраза «видно по рисунку» — это # TODO вместо кода. Три нарисованных примера — это юнит-тесты: они помогают найти идею, но не гарантируют результат для всех треугольников.

Определение. Доказательство — последовательность утверждений, каждое из которых является условием задачи, определением, аксиомой, ранее доказанной теоремой или логически следует из предыдущих утверждений. Последнее утверждение последовательности — то, что требовалось доказать.

Признак и свойство — не одно и то же. Это самое важное различие урока.

Свойство фигуры: «ЕСЛИ фигура — параллелограмм, ТО его диагонали точкой пересечения делятся пополам». Мы знаем, что фигура — параллелограмм, и получаем факт о ней.

Признак фигуры: «ЕСЛИ диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, ТО это параллелограмм». Мы знаем факт и получаем, что фигура — параллелограмм.

Свойство и признак — прямое и обратное утверждения, и верны они не всегда оба. Свойство «у ромба диагонали перпендикулярны» верно, а обратное «диагонали перпендикулярны — значит, ромб» неверно (контрпример — дельтоид, «воздушный змей»).

На что можно ссылаться, не доказывая заново. На любую теорему или следствие из школьного учебника — назвав её явно: признаки равенства и подобия треугольников (включая признаки для прямоугольных), свойства и признаки параллельных прямых, сумму углов и внешний угол треугольника, свойства и признаки параллелограмма, ромба, прямоугольника, равнобедренной трапеции, теорему о вписанном угле и её следствия, свойства вписанного и описанного четырёхугольника, свойства касательной, теоремы Пифагора, Фалеса, о средней линии, о пропорциональных отрезках, свойство биссектрисы, теоремы синусов и косинусов.

Что нельзя: использовать то, что требуется доказать (порочный круг); опираться на чертёж («точка лежит внутри», «прямые пересекаются» — если это не следует из условия); применять признак, когда выполнено не всё его условие; ссылаться на «известную задачу» без названия и формулировки (опорные задачи уровня олимпиад на ОГЭ лучше передоказать в две строчки).

Пример 1 (лёгкий): первое доказательство по всем правилам

В четырёхугольнике $ABCD$ противоположные стороны попарно равны: $AB = CD$, $BC = AD$. Докажи, что $\angle B = \angle D$.

Решение. Разберём по шагам — именно так, как это нужно записать на экзамене.

Дано: $ABCD$ — четырёхугольник, $AB = CD$, $BC = AD$.

Доказать: $\angle ABC = \angle CDA$.

Доказательство. Проведём диагональ $AC$. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDA$:

1. $AB = CD$ — по условию;
2. $BC = DA$ — по условию;
3. $AC$ — общая сторона.

Значит, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по трём сторонам. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы: угол $B$ лежит против стороны $AC$ в первом треугольнике, угол $D$ — против той же стороны $AC$ во втором. Следовательно, $\angle ABC = \angle CDA$. Что и требовалось доказать.

Мы явно сказали, какие углы соответствуют друг другу («против общей стороны $AC$»), и записали вершины в соответствующем порядке.

Пример 2 (средний): признак работает на нас

$ABCD$ — параллелограмм, $O$ — точка пересечения его диагоналей. На диагонали $BD$ отмечены точки $E$ и $F$ так, что $BE = DF$ (точка $E$ лежит между $B$ и $O$, точка $F$ — между $O$ и $D$). Докажи, что $AECF$ — параллелограмм.

Решение.

Короткий путь — признак параллелограмма через диагонали: покажем, что диагонали $AC$ и $EF$ четырёхугольника $AECF$ делятся точкой пересечения пополам.

Шаг 1. По свойству параллелограмма $ABCD$ его диагонали точкой пересечения делятся пополам: $AO = OC$ и $BO = OD$.

Шаг 2. Точка $E$ лежит на отрезке $BO$, поэтому $OE = BO - BE$. Точка $F$ лежит на отрезке $OD$, поэтому $OF = OD - DF$. Так как $BO = OD$ и $BE = DF$, получаем $OE = OF$.

Шаг 3. Отрезки $AC$ и $EF$ пересекаются в точке $O$, и $O$ — середина каждого из них. По признаку параллелограмма (если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм) $AECF$ — параллелограмм. Что и требовалось доказать.

Посмотри на структуру: в шаге 1 мы использовали свойство (знаем, что $ABCD$ — параллелограмм, получаем факт), а в шаге 3 — признак (знаем факт, получаем, что $AECF$ — параллелограмм). Свойство одной фигуры «заряжает» признак другой — типичный ход.

Пример 3 (сложный): доказательство от противного

Докажи, что две различные окружности не могут иметь больше двух общих точек.

Решение.

«Не могут иметь» — утверждение о несуществовании. Для таких удобен приём от противного: предполагаем обратное и выводим противоречие.

Шаг 1. Предположим противное: две различные окружности имеют три общие точки $A$, $B$, $C$ (если общих точек больше, возьмём любые три).

Шаг 2. Точки $A$, $B$, $C$ не лежат на одной прямой. Почему так происходит? Прямая пересекает окружность не более чем в двух точках (центр окружности равноудалён от точек пересечения, а на прямой есть не больше двух точек на данном расстоянии от данной точки). Значит, $A$, $B$, $C$ — вершины треугольника.

Шаг 3. Каждая из двух окружностей проходит через все три вершины треугольника $ABC$, то есть является описанной около него. Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, и такая точка единственна; радиус — расстояние от неё до вершины, тоже определён однозначно. Значит, около треугольника можно описать только одну окружность.

Шаг 4. Получается, что наши две окружности совпадают — а по предположению они различны. Противоречие. Следовательно, предположение неверно, и две различные окружности имеют не больше двух общих точек. Что и требовалось доказать.

Схема «от противного»: сформулировать отрицание → вывести следствия → найти противоречие → явно написать «значит, предположение неверно». Последний шаг часто пропускают — и теряют балл.

Почему это важно

Любое экзаменационное доказательство держится на трёх вещах из этого блока: правильная постановка, корректные ссылки (признак или свойство — с выполненными условиями) и цепочка без пропусков. Идея в ОГЭ 24 почти всегда простая — сложность в том, чтобы записать её честно.

Блок 2: Типовые схемы доказательств

Давай разберёмся с интуицией

Когда перед тобой условие «докажите, что…», самый полезный вопрос — что именно требуется доказать, по типу? Равенство отрезков? Равенство углов? Параллельность? Перпендикулярность? Отношение? Принадлежность точек окружности? У каждого типа — свой набор инструментов.

Не знаешь, с чего начать, — найди строку своего типа и пробуй инструменты по очереди.

Аналогия

Программист, видя задачу «найти кратчайший путь», сразу думает: «граф, Дейкстра» — он узнаёт паттерн. С доказательствами так же: «произведение отрезков» → почти наверняка подобие, потому что $AP \cdot PC = BP \cdot PD \iff \dfrac{AP}{BP} = \dfrac{PD}{PC}$, а отношения сторон дают подобные треугольники.

Схема «равные треугольники». Чтобы доказать равенство отрезков или углов: (1) найди два треугольника, содержащих эти элементы как соответственные; (2) набери три пары равных элементов, подходящих под один из признаков; (3) сошлись на признак; (4) выведи нужное равенство как равенство соответственных элементов.

Схема «подобие». Чтобы доказать пропорцию или произведение: перепиши нужное равенство в виде $\dfrac{x}{y} = \dfrac{z}{w}$, найди треугольники со сторонами $x, z$ и $y, w$ соответственно, докажи их подобие (чаще всего по двум углам).

Схема «параллельность». Параллельные прямые порождают равные углы (накрест лежащие, соответственные), а равные углы порождают равнобедренные треугольники. Обратно: равные углы дают параллельность.

Пример 1 (лёгкий): равные треугольники

На одной стороне угла с вершиной $O$ отложены точки $A$ и $C$, на другой — точки $B$ и $D$, причём $OA = OB$ и $OC = OD$. Докажи, что $AD = BC$.

Решение.

Дано: $\angle O$; $A, C$ на одной стороне; $B, D$ на другой; $OA = OB$, $OC = OD$.

Доказать: $AD = BC$.

Доказательство. Отрезок $AD$ входит в треугольник $OAD$, отрезок $BC$ — в треугольник $OBC$. Сравним их:

1. $OA = OB$ — по условию;
2. $OD = OC$ — по условию;
3. $\angle AOD = \angle BOC$ — это один и тот же угол $O$.

Угол $O$ лежит между сторонами $OA$ и $OD$ в первом треугольнике и между $OB$ и $OC$ во втором. Значит, $\triangle OAD = \triangle OBC$ по двум сторонам и углу между ними. Стороны $AD$ и $BC$ лежат против равных углов (против угла $O$) — они соответственные, поэтому $AD = BC$. Что и требовалось доказать.

Пример 2 (средний): параллельность и равнобедренные треугольники

Биссектрисы углов $B$ и $C$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I$. Через $I$ проведена прямая, параллельная $BC$; она пересекает $AB$ в точке $M$ и $AC$ в точке $N$. Докажи, что $MN = BM + CN$.

Решение.

Разберём по шагам. Отрезок $MN$ точка $I$ делит на $MI$ и $IN$. Значит, достаточно доказать $MI = BM$ и $IN = CN$ — а равенство двух сторон треугольника — это равнобедренный треугольник. Ищем равные углы.

Шаг 1. $\angle MBI = \angle IBC$, так как $BI$ — биссектриса угла $B$.

Шаг 2. $\angle MIB = \angle IBC$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $MN$ и $BC$ и секущей $BI$.

Шаг 3. Из шагов 1 и 2: $\angle MBI = \angle MIB$. Значит, треугольник $BMI$ равнобедренный с основанием $BI$ (углы при основании равны — признак равнобедренного треугольника), и $BM = MI$.

Шаг 4. Совершенно аналогично для вершины $C$: $\angle NCI = \angle ICB$ (биссектриса), $\angle NIC = \angle ICB$ (накрест лежащие при $MN \parallel BC$ и секущей $CI$), поэтому $\angle NCI = \angle NIC$ и $CN = NI$.

Шаг 5. Точка $I$ лежит на отрезке $MN$, поэтому $MN = MI + IN = BM + CN$. Что и требовалось доказать.

Запомни как готовый блок: биссектриса угла и параллель к одной из его сторон отсекают равнобедренный треугольник.

Пример 3 (сложный): подобие и вписанные углы

Из точки $M$ вне окружности проведены касательная $MA$ ($A$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $B$ и $C$ ($B$ между $M$ и $C$). Докажи, что $MA^2 = MB \cdot MC$.

Решение.

Шаг 1. Перепишем цель. $MA^2 = MB \cdot MC \iff \dfrac{MA}{MB} = \dfrac{MC}{MA}$. Отношения сторон — значит, подобие. Нужны треугольники со сторонами $MA, MB$ и $MC, MA$: это $\triangle MAB$ и $\triangle MCA$.

Шаг 2. Общий угол. $\angle AMB = \angle CMA$ — это один и тот же угол при вершине $M$ (точки $B$ и $C$ лежат на одном луче).

Шаг 3. Второй угол. Угол $MAB$ — угол между касательной $MA$ и хордой $AB$. По теореме об угле между касательной и хордой он равен половине дуги $AB$, заключённой внутри этого угла. Вписанный угол $ACB$ опирается на ту же дугу $AB$ и тоже равен её половине. Значит, $\angle MAB = \angle MCA$.

Шаг 4. $\triangle MAB \sim \triangle MCA$ по двум углам (соответствие вершин: $M \leftrightarrow M$, $A \leftrightarrow C$, $B \leftrightarrow A$). Из подобия:

Что и требовалось доказать.

Обрати внимание: в шаге 3 названа теорема, а в шаге 4 выписано соответствие вершин — без него пропорция легко получается перевёрнутой.

Почему это важно

Схемы превращают творческую задачу в перебор с короткой очередью: не сработал первый маршрут за 3–4 минуты — переходи ко второму. Так устроена и AlphaGeometry: символьный движок перебирает стандартные правила вывода, а нейросеть подсказывает только какое дополнительное построение сделать, когда перебор застрял.

Блок 3: Вписанные углы, дополнительные построения и оформление на экзамене

Давай разберёмся с интуицией

Окружность — «генератор равных углов»: заметил, что четыре точки лежат на одной окружности, — получил несколько пар равных углов бесплатно.

Где взять окружность, если её нет в условии? Три источника:

1. Два прямых угла, опирающихся на один отрезок. Если $\angle AXB = \angle AYB = 90°$, то $X$ и $Y$ лежат на окружности с диаметром $AB$.
2. Сумма противоположных углов четырёхугольника равна $180°$ — признак вписанного четырёхугольника.
3. Равные углы, опирающиеся на один отрезок с одной стороны от него: если $\angle ABD = \angle ACD$ и $B$, $C$ лежат по одну сторону от $AD$, то $A$, $B$, $C$, $D$ — на одной окружности.

Аналогия

Вписанный четырёхугольник — как кэш в программе: один раз доказал, что точки на окружности, и дальше каждая пара равных вписанных углов достаётся за $O(1)$.

Критерии экспертов (упрощённо).

ОГЭ, задание 24 (2 балла). 2 балла — доказательство верное, все шаги обоснованы. 1 балл — доказательство в целом верное, но содержит неточности. 0 баллов — остальные случаи.

ЕГЭ, планиметрическая задача второй части (задание 18 ЕГЭ 2027, 3 балла; до 2026 года — № 17). Пункт а) — доказательство, пункт б) — вычисление. Верное доказательство только пункта а) уже приносит 1 балл, а пунктом а) можно пользоваться в пункте б), даже если сам пункт а) не доказан.

Вывод: пункт а) ЕГЭ — самый дешёвый балл второй части.

Как оформлять. Рабочий шаблон, который принимают эксперты:

1. Чертёж — аккуратный, крупный, с буквами из условия. Дополнительные построения выдели и опиши словами («проведём…», «продлим…», «отметим точку…»).
2. Дано / Доказать — на ОГЭ желательно, на ЕГЭ можно опустить, если условие ясно.
3. Цепочка шагов, в каждом — что утверждаем и почему (в скобках или через «так как»). Ссылка — название теоремы или её краткая формулировка.
4. Вывод — фраза, повторяющая требуемое: «Следовательно, $AK = KD$, что и требовалось доказать».

Пример 1 (лёгкий): ОГЭ-формат, черновик и чистовик

Биссектрисы углов $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $K$, лежащей на стороне $AD$. Докажи, что $K$ — середина $AD$.

Черновик (как НЕ надо): «Треугольники $ABK$ и $DCK$ равнобедренные, значит, $AK = AB = CD = DK$». Идея верная, но почему они равнобедренные? Максимум 1 балл.

Чистовик.

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $BK$ и $CK$ — биссектрисы углов $B$ и $C$, $K \in AD$.

Доказать: $AK = KD$.

Доказательство.

1. $\angle ABK = \angle KBC$, так как $BK$ — биссектриса угла $B$.
2. $\angle KBC = \angle AKB$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ (противоположные стороны параллелограмма) и секущей $BK$.
3. Значит, $\angle ABK = \angle AKB$, и треугольник $ABK$ равнобедренный с основанием $BK$. Поэтому $AB = AK$.
4. Аналогично: $\angle DCK = \angle KCB$ ($CK$ — биссектриса), $\angle KCB = \angle CKD$ (накрест лежащие при $BC \parallel AD$ и секущей $CK$). Значит, треугольник $CDK$ равнобедренный, и $CD = DK$.
5. $AB = CD$ как противоположные стороны параллелограмма.
6. Из пунктов 3, 4, 5: $AK = AB = CD = DK$. Значит, $K$ — середина $AD$. Что и требовалось доказать.

Шесть коротких строк, и в каждой есть «почему». Это и есть 2 балла.

Пример 2 (средний): окружность из двух прямых углов

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Докажи, что $\angle BA_1C_1 = \angle BAC$.

Решение.

Шаг 1. Находим окружность. $\angle AA_1C = 90°$ и $\angle AC_1C = 90°$ (это высоты). Оба прямых угла опираются на отрезок $AC$. Значит, точки $A_1$ и $C_1$ лежат на окружности с диаметром $AC$ (вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой; обратно — вершина прямого угла, опирающегося на отрезок, лежит на окружности с этим отрезком как диаметром).

Шаг 2. Вписанный четырёхугольник. Итак, $A$, $C_1$, $A_1$, $C$ лежат на одной окружности. Поскольку треугольник остроугольный, основания высот лежат на сторонах: $C_1$ — на $AB$, $A_1$ — на $BC$, и четырёхугольник $AC_1A_1C$ выпуклый. Сумма его противоположных углов $180°$:

Шаг 3. Смежные углы. Точка $A_1$ лежит на отрезке $BC$, поэтому углы $BA_1C_1$ и $C_1A_1C$ смежные: $\angle BA_1C_1 = 180° - \angle C_1A_1C$.

Шаг 4. Из шагов 2 и 3: $\angle BA_1C_1 = \angle C_1AC = \angle BAC$ (точка $C_1$ лежит на стороне $AB$). Что и требовалось доказать.

Ключевой вывод, который стоит запомнить отдельно: отрезок, соединяющий основания двух высот, отсекает от треугольника треугольник, подобный исходному ($\triangle A_1BC_1 \sim \triangle ABC$ — по общему углу $B$ и равенству $\angle BA_1C_1 = \angle BAC$).

Пример 3 (сложный): ЕГЭ-формат, пункт а)

Высоты $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Докажи, что $H$ — центр окружности, вписанной в треугольник $A_1B_1C_1$.

Решение.

Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис. Значит, достаточно доказать, что $A_1H$, $B_1H$, $C_1H$ — биссектрисы углов треугольника $A_1B_1C_1$. Докажем для $A_1H$; для остальных рассуждение такое же.

Шаг 1. $\angle BC_1H = \angle BA_1H = 90°$. Оба прямых угла опираются на отрезок $BH$, значит, $B$, $C_1$, $H$, $A_1$ лежат на окружности с диаметром $BH$.

Шаг 2. В этой окружности вписанные углы $HA_1C_1$ и $HBC_1$ опираются на одну дугу $HC_1$, поэтому $\angle HA_1C_1 = \angle HBC_1 = \angle B_1BA$.

Шаг 3. В прямоугольном треугольнике $ABB_1$ (угол $B_1$ прямой): $\angle B_1BA = 90° - \angle BAC$. Итак, $\angle HA_1C_1 = 90° - \angle A$.

Шаг 4. Аналогично: $\angle CB_1H = \angle CA_1H = 90°$, значит, $C$, $B_1$, $H$, $A_1$ лежат на окружности с диаметром $CH$, и $\angle HA_1B_1 = \angle HCB_1 = \angle C_1CA = 90° - \angle A$ (из прямоугольного треугольника $ACC_1$).

Шаг 5. $\angle HA_1C_1 = \angle HA_1B_1$, поэтому $A_1H$ — биссектриса угла $C_1A_1B_1$. Так же доказывается, что $B_1H$ и $C_1H$ — биссектрисы углов $B_1$ и $C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$. Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности, значит, $H$ — этот центр. Что и требовалось доказать.

Фразу «так же доказывается» принимают, только если это действительно та же цепочка с переименованием букв.

Почему это важно

Одна найденная окружность даёт сразу несколько пар равных углов, а грамотное оформление — это разница между «решил» и «получил баллы».

Практика: 30 заданий

Во всех заданиях нужно доказать утверждение. Сначала попробуй сам, потом сверь с образцом: он показывает, как оформить решение на полный балл.

Базовые (задания 1–10)

Задание 1: Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, которая является серединой каждого из них. Докажи, что $AC = BD$.

Задание 2: В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ проведены медианы $AM$ и $CN$ к боковым сторонам. Докажи, что $AM = CN$.

Задание 3: Диагонали четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам. Докажи, что $AB \parallel CD$ (не используя признак параллелограмма).

Задание 4: Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Докажи, что треугольник $ABK$ равнобедренный.

Задание 5: В параллелограмме $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $BC$ и $AD$ соответственно. Докажи, что $AMCN$ — параллелограмм.

Задание 6: $AB$ и $CD$ — равные хорды окружности с центром $O$. Докажи, что $\angle AOB = \angle COD$.

Задание 7: Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$. Докажи, что $\triangle MBN \sim \triangle ABC$.

Задание 8: В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагонали пересекаются в точке $O$. Докажи, что $\triangle BOC \sim \triangle DOA$.

Задание 9: $AA_1$ и $CC_1$ — высоты остроугольного треугольника $ABC$. Докажи, что $\angle BAA_1 = \angle BCC_1$.

Задание 10: Из точки $M$ к окружности с центром $O$ проведены касательные $MA$ и $MB$ ($A$, $B$ — точки касания). Докажи, что $MA = MB$ и что $MO$ — биссектриса угла $AMB$.

Средние (задания 11–20)

Задание 11: Докажи, что биссектрисы двух соседних углов параллелограмма перпендикулярны.

Задание 12: Докажи, что середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Задание 13: Диагонали трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) пересекаются в точке $O$. Докажи, что $S_{AOB} = S_{COD}$.

Задание 14: Точка $E$ — середина боковой стороны $CD$ трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$). Докажи, что площадь треугольника $ABE$ равна половине площади трапеции.

Задание 15: Около трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) описана окружность. Докажи, что трапеция равнобедренная.

Задание 16: $AA_1$ и $BB_1$ — высоты остроугольного треугольника $ABC$. Докажи, что $\triangle A_1B_1C \sim \triangle ABC$.

Задание 17: Хорды $AC$ и $BD$ окружности пересекаются в точке $P$. Докажи, что $AP \cdot PC = BP \cdot PD$.

Задание 18: $AA_1$ и $BB_1$ — высоты остроугольного треугольника $ABC$. Докажи, что точки $A$, $B$, $A_1$, $B_1$ лежат на одной окружности.

Задание 19: В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина стороны $AB$, и $MC = MA$. Докажи, что $\angle ACB = 90°$.

Задание 20: В параллелограмме $ABCD$ точка $K$ — середина стороны $AB$. Отрезок $DK$ пересекает диагональ $AC$ в точке $O$. Докажи, что $AO : OC = 1 : 2$.

Продвинутые (задания 21–30)

Задание 21: Две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ касаются внешним образом в точке $K$. Прямая, проходящая через $K$, повторно пересекает первую окружность в точке $A$, вторую — в точке $B$. Докажи, что касательные к окружностям в точках $A$ и $B$ параллельны.

Задание 22: Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ повторно пересекает описанную окружность в точке $W$. Докажи, что $WB = WC$.

Задание 23: В условиях задания 22 точка $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Докажи, что $WB = WI$ (лемма о трезубце).

Задание 24: Диагонали равнобедренной трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) перпендикулярны. Докажи, что её высота равна полусумме оснований.

Задание 25: $H$ — точка пересечения высот остроугольного треугольника $ABC$. Докажи, что точка $H'$, симметричная $H$ относительно прямой $BC$, лежит на окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Задание 26: Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Через $A$ проведена прямая, пересекающая $\omega_1$ в точке $C$ и $\omega_2$ в точке $D$, причём $A$ лежит между $C$ и $D$. Докажи, что величина угла $CBD$ не зависит от выбора такой прямой.

Задание 27: Точка $M$ лежит внутри параллелограмма $ABCD$. Докажи, что $S_{AMB} + S_{CMD} = \frac12 S_{ABCD}$.

Задание 28: В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ выполнено $\angle ABD = \angle ACD$. Докажи, что $\angle BAC = \angle BDC$.

Задание 29: В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ проведена высота $CH$. Докажи, что $CH^2 = AH \cdot HB$.

Задание 30: $AL$ — биссектриса треугольника $ABC$. Докажи, что $\dfrac{BL}{LC} = \dfrac{AB}{AC}$.

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: признак вместо свойства (и наоборот) Неправильно: «Диагонали четырёхугольника $ABCD$ перпендикулярны, значит, это ромб». Правильно: перпендикулярность диагоналей — свойство ромба, но не признак. Признак ромба: параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны. Сначала докажи, что $ABCD$ — параллелограмм. Почему важно: это логическая ошибка, за неё ставят 0.

❌ Ошибка 2: признак равенства с «не тем» углом Неправильно: «$AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $\angle A = \angle A_1$, значит, треугольники равны». Правильно: в первом признаке угол должен лежать между равными сторонами ($\angle B = \angle B_1$). Почему важно: две стороны и угол не между ними равенства не гарантируют (вспомни неоднозначный случай в теореме синусов).

❌ Ошибка 3: «видно по рисунку» Неправильно: «Точка $K$ лежит между $B$ и $C$, как видно из чертежа» — когда это не следует из условия. Правильно: обоснуй расположение (например, «треугольник остроугольный, поэтому основание высоты лежит на стороне») или разбери случаи. Почему важно: на неаккуратном чертеже конфигурация может оказаться другой.

❌ Ошибка 4: пропущенное «почему» Неправильно: «$\angle 1 = \angle 2$, $\angle 2 = \angle 3$, значит, $AB = BC$». Правильно: «$\angle 1 = \angle 2$ (биссектриса), $\angle 2 = \angle 3$ (накрест лежащие при $AD \parallel BC$), значит, треугольник равнобедренный и $AB = BC$». Почему важно: на ОГЭ это разница между 2 и 1 баллом.

❌ Ошибка 5: порочный круг Неправильно: в задаче «докажите, что $ABCD$ — параллелограмм» написать «так как $AB \parallel CD$ (противоположные стороны параллелограмма)…». Правильно: использовать только данные и уже доказанное. То, что требуется доказать, появляется только в последней строке. Почему важно: рассуждение по кругу ничего не доказывает.

Главное запомнить

📝 Ключевые понятия

✅ Доказательство — цепочка утверждений, каждое из которых — условие, определение, теорема школьного курса или следствие предыдущих.

✅ Свойство: «фигура такая ⇒ у неё есть факт». Признак: «есть факт ⇒ фигура такая». Не путай направления.

✅ Структура записи: чертёж → дано → доказать → шаги «что + почему» → вывод «что и требовалось доказать».

✅ Равенство отрезков или углов → ищи два равных треугольника или равнобедренный треугольник.

✅ Произведение или отношение отрезков → перепиши в виде пропорции и ищи подобные треугольники.

✅ Два прямых угла на одном отрезке → четыре точки на окружности с этим отрезком как диаметром.

✅ Вписанные углы на одну дугу равны; у вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов $180°$.

✅ От противного: предположи обратное → выведи следствия → получи противоречие → явно напиши вывод.

✅ ЕГЭ: пункт а) даёт 1 балл отдельно, а его утверждением можно пользоваться в пункте б), даже если сам пункт а) не доказан.

Связь с другими темами курса

Что нужно было знать до этого урока:

• Равенство и подобие треугольников — главный инструмент большинства доказательств
• Четырёхугольники — признаки и свойства параллелограмма, ромба, трапеции
• Вписанные и описанные окружности — вписанные углы и вписанные четырёхугольники
• Теорема синусов и теорема косинусов — тоже законные ссылки в доказательствах пункта а) ЕГЭ

Что изучить дальше:

• Многогранники — в стереометрии доказательства строятся по тем же правилам, только фигуры объёмные
• Тела вращения — осевые сечения сводят пространственные задачи к плоским треугольникам
• Вычислительная геометрия — геометрические предикаты в коде

Где это нужно в жизни:

• 💻 В программировании: доказательство корректности алгоритма через инвариант цикла устроено как геометрическое: «дано» — предусловие, «доказать» — постусловие.
• 🤖 В ML/AI: AlphaGeometry, AlphaProof и системы формальной математики на Lean учатся строить проверяемые цепочки вывода.
• 🎮 В графике: триангуляция Делоне опирается на критерий «пустой окружности», корректность которого доказывается через вписанные углы.

Интересные факты

💡 Пятый постулат. Две тысячи лет математики пытались вывести пятый постулат Евклида (о параллельных) из остальных. Лобачевский в 1826–1829 годах построил геометрию, где он заменён отрицанием, — и она оказалась непротиворечивой. Значит, вывести постулат нельзя.

💡 Доказательство, которое проверял компьютер. Гипотеза Кеплера о самой плотной упаковке шаров была доказана Томасом Хейлзом в 1998 году, но рецензенты не смогли проверить сотни страниц вычислений. Тогда Хейлз с коллегами формализовал доказательство (проект Flyspeck), и в 2014 году компьютерные системы HOL Light и Isabelle подтвердили каждую строчку.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Начинай с конца Перепиши требуемое утверждение в удобную форму и спроси: «что достаточно доказать, чтобы это следовало?» Цепочка назад часто короче, чем вперёд. Пример: $MA^2 = MB \cdot MC$ → $\dfrac{MA}{MB} = \dfrac{MC}{MA}$ → нужны подобные треугольники $MAB$ и $MCA$.

2. Отмечай равные углы на чертеже дугами Одна дуга, две дуги, три дуги — как в учебнике. Часто после разметки равнобедренный треугольник или вписанный четырёхугольник «проступает» сам. Пример: в задаче про биссектрисы параллелограмма после разметки сразу видны два равнобедренных треугольника.

3. Рисуй большой «несимметричный» чертёж Не рисуй равнобедренный треугольник, если в условии он произвольный: правильный чертёж не подсказывает ложных равенств.

4. Не хватает равенства — сделай построение Стандартные построения: удвоить медиану; провести прямую, параллельную стороне или диагонали; продлить боковые стороны трапеции до пересечения; провести радиус в точку касания; продлить отрезок до пересечения с прямой (как в задании 14). Пример: перенос диагонали трапеции параллельно себе (задание 24) превращает трапецию в треугольник.

5. Шаблон фразы для каждого шага «[Утверждение], так как [причина]» или «[Утверждение] ([название теоремы])». Если в строке нет «так как» или скобки — перечитай её глазами эксперта.

6. На ЕГЭ пиши пункт а) даже если не решил б) Балл за пункт а) независим. И наоборот: если пункт а) не получился, всё равно используй его утверждение в пункте б) — это разрешено критериями.

💡 Совет: возьми пять заданий из практики, закрой решение, запиши доказательство по шаблону «что + почему» и сверь с образцом каждую строчку.

Дальше: многогранники — призма, параллелепипед, пирамида.