Признаки равенства и подобия треугольников 🔁

Сделай фото на телефон, а потом открой его на ноутбуке. На экране ноутбука картинка стала в несколько раз больше — но ты мгновенно узнаёшь на ней те же лица, те же предметы. Почему? Потому что при масштабировании сохраняются все углы и все пропорции. Изменился только размер. В геометрии такие фигуры называются подобными, и на этой идее держится огромная часть мира: карты, чертежи, модели самолётов в аэродинамической трубе, фотоаппарат и даже нейросети, которые узнают кошку на фото независимо от того, крупно её сняли или издалека.

А если фигуры совпадают не только формой, но и размером — их называют равными. Треугольник «жёсткий»: его форму и размер полностью определяют всего три элемента, если выбрать их правильно. Какие именно три — об этом и говорят признаки равенства. Это главный инструмент доказательства в школьной геометрии: почти каждое доказательство в 7–9 классе сводится к фразе «эти треугольники равны по такому-то признаку, значит…».

В этом уроке мы соберём полный набор инструментов: признаки равенства, признаки подобия, волшебный «коэффициент $k$», который по-разному действует на длины и площади, свойство биссектрисы и среднюю линию. Это задания 23–25 ОГЭ (те самые, где нужно доказывать и решать с полным объяснением) и задание 18 ЕГЭ базового уровня по планиметрии.

Ты узнаешь:

🎯 По каким трём наборам данных треугольник восстанавливается однозначно (и почему «две стороны и угол не между ними» — ловушка)

🎯 Как устроено подобие: почему площади меняются в $k^2$ раз, а не в $k$, и как Фалес измерил пирамиду тенью

🎯 Как биссектриса делит сторону и что такое средняя линия — два быстрых инструмента для задач ОГЭ

История: откуда это взялось? 📜

Самая известная история о подобии — про Фалеса Милетского (VI век до н.э.). По рассказу, который передают Плутарх и Диоген Лаэртский, египетские жрецы спросили заезжего грека, может ли он узнать высоту Великой пирамиды. Залезть на неё с верёвкой было нельзя. Фалес воткнул в песок палку и дождался момента, когда длина тени палки стала равна её высоте. В этот момент и тень пирамиды (от центра основания) была равна её высоте — оставалось только измерить тень шагами. Солнечные лучи параллельны, поэтому треугольник «палка — тень» и треугольник «пирамида — тень» подобны. Никакой тригонометрии — только пропорция.

Признаки равенства треугольников систематизировал Евклид в «Началах» (около 300 года до н.э.): первый признак (две стороны и угол между ними) — предложение 4 первой книги, третий (три стороны) — предложение 8. Интересно, что доказывал Евклид их «наложением» — мысленно перекладывая один треугольник на другой. Через две тысячи лет Давид Гильберт заметил, что это не вполне строго, и в своих «Основаниях геометрии» (1899) просто принял первый признак за аксиому.

Мостик в сегодня: подобие — это математика масштабирования. Когда ты уменьшаешь картинку с 4000×3000 пикселей до 1000×750, количество пикселей уменьшается не в 4, а в 16 раз — это ровно правило $k^2$ для площадей. А камера телефона (и любая модель «камеры-обскуры» в компьютерном зрении) проецирует мир на матрицу по законам подобных треугольников.

Блок 1: Признаки равенства треугольников

Давай разберёмся с интуицией

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением — у них соответственно равны все стороны и все углы. Шесть равенств. Но проверять все шесть не нужно: треугольник — жёсткая фигура, и его полностью определяют три правильно выбранных элемента.

Представь, что ты собираешь треугольник из деталей конструктора.

• Тебе дали две палки и шарнир, зафиксированный на определённом угле, — палки прикрепляются к шарниру. Концы палок жёстко определены, третья сторона просто соединяет их. Другого треугольника не соберёшь. Это первый признак.
• Тебе дали одну палку и два «транспортира» на её концах — от каждого конца луч уходит под заданным углом. Два луча пересекаются в единственной точке. Это второй признак.
• Тебе дали три палки. Треугольник из них складывается одним-единственным способом (с точностью до переворачивания). Именно поэтому треугольная рама жёсткая, а четырёхугольная — нет. Это третий признак.

Признаки равенства треугольников. Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны, если:

1. По двум сторонам и углу между ними (СУС): $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, $\angle A = \angle A_1$.
2. По стороне и двум прилежащим к ней углам (УСУ): $AB = A_1B_1$, $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$.
3. По трём сторонам (ССС): $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$.

📌 Раз сумма углов треугольника $180°$, второй признак можно ослабить: достаточно стороны и любых двух углов (если известны два угла, третий тоже известен). А для прямоугольных треугольников есть свои удобные признаки: по двум катетам, по катету и острому углу, по гипотенузе и острому углу, по гипотенузе и катету.

⚠️ Ловушка: «две стороны и угол НЕ между ними» — не признак! Пусть $AC = 9$, $BC = 7$ и $\angle A = 40°$ (угол не между этими сторонами). Оказывается, существуют два разных треугольника с такими данными: у одного третья сторона $AB \approx 10{,}84$, у другого — $AB \approx 2{,}95$. Представь: от вершины $C$ «стрелка» длиной $7$ может дотянуться до луча из $A$ в двух разных точках. Подробно этот «неоднозначный случай» разобран в уроке про теорему синусов.

Точно так же три угла — не признак равенства: маленький и большой равносторонние треугольники имеют одинаковые углы, но не равны. Три угла определяют только форму — а это уже подобие (блок 2).

Как оформлять доказательство. Шаблон, который работает в 90% задач ОГЭ:

1. Выбери два треугольника, в которых лежат нужные отрезки или углы.
2. Найди три пары равных элементов (из условия, общая сторона, вертикальные углы, накрест лежащие углы при параллельных).
3. Назови признак.
4. Сделай вывод: «в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны» (соответственные элементы равны).

Аналогия

Признаки равенства — это как проверка пароля по хэшу вместо полного сравнения. Чтобы убедиться, что два файла одинаковые, не обязательно сравнивать их байт за байтом — достаточно сравнить правильно выбранную «сводку». Для треугольника такая сводка — три элемента в правильной конфигурации. Но если выбрать «плохую» сводку (например, две стороны и угол не между ними), возможна «коллизия»: два разных треугольника дадут одинаковые данные.

Пример 1 (лёгкий): вертикальные углы и первый признак

Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, которая является серединой каждого из них. $AC = 7$. Найди $BD$.

Чертёж словами: два отрезка перекрещиваются буквой «Х»; точка $O$ в центре; вершины по кругу: $A$ слева сверху, $C$ справа сверху, $B$ справа снизу, $D$ слева снизу. Соединены $A$ с $C$ и $B$ с $D$.

Решение:

Разберём по шагам. Рассмотрим треугольники $AOC$ и $BOD$:

• $AO = OB$ — так как $O$ середина $AB$;
• $CO = OD$ — так как $O$ середина $CD$;
• $\angle AOC = \angle BOD$ — вертикальные углы.

Треугольники равны по первому признаку (СУС). Значит, соответствующие стороны равны: $BD = AC = 7$.

Ответ: $7$.

Кстати, из равенства треугольников следует и $\angle OAC = \angle OBD$ — а это накрест лежащие углы при прямых $AC$ и $BD$ и секущей $AB$. Значит, $AC \parallel BD$: четырёхугольник $ACBD$ — параллелограмм. Так из одного признака «вытекает» признак параллелограмма.

Пример 2 (средний): серединный перпендикуляр

Прямая $m$ проходит через середину $M$ отрезка $AB$ перпендикулярно ему. Точка $P$ лежит на прямой $m$. Докажи, что $PA = PB$. Найди периметр треугольника $APB$, если $PA = 13$, $AB = 10$.

Решение:

Шаг 1. Рассмотрим треугольники $PMA$ и $PMB$:

• $AM = MB$ — $M$ середина;
• $\angle PMA = \angle PMB = 90°$ — прямая $m$ перпендикулярна $AB$;
• $PM$ — общая сторона.

Равны по первому признаку, значит $PA = PB$. ✅

Шаг 2. $P = PA + PB + AB = 13 + 13 + 10 = 36$.

Ответ: $36$.

Этот факт — «каждая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка» — основа построения центра описанной окружности. А в ML на нём держится классификатор «ближайший центр»: граница между двумя классами с центрами $A$ и $B$ — это ровно серединный перпендикуляр к $AB$, все точки на нём одинаково далеки от обоих центров.

Пример 3 (сложный): почему медиана равнобедренного треугольника — это и биссектриса, и высота

В треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC$, $BM$ — медиана. Докажи, что $BM$ — биссектриса и высота. Найди $\angle ABM$ и $\angle BMA$, если $\angle ABC = 70°$.

Решение:

Шаг 1. Сравним треугольники $ABM$ и $CBM$:

• $AB = CB$ — по условию;
• $AM = CM$ — $BM$ медиана;
• $BM$ — общая сторона.

Равны по третьему признаку (ССС).

Шаг 2. Из равенства: $\angle ABM = \angle CBM$ — значит, $BM$ биссектриса. И $\angle AMB = \angle CMB$; но эти углы смежные, их сумма $180°$, поэтому каждый равен $90°$ — $BM$ высота. ✅

Заодно получаем $\angle A = \angle C$ — строгое доказательство равенства углов при основании, которое в прошлом уроке мы показывали сгибанием бумаги.

Шаг 3. $\angle ABM = 70° : 2 = 35°$, $\angle BMA = 90°$.

Ответ: $\angle ABM = 35°$, $\angle BMA = 90°$.

Почему это важно

Признаки равенства — это «язык доказательств» школьной геометрии. Задание 24 ОГЭ почти всегда решается фразой «треугольники равны по признаку, значит…». Кроме того, они объясняют, почему в инженерии так любят треугольники: третий признак (ССС) — это математическая формулировка жёсткости. Мост из треугольных ферм не деформируется, пока не изменились длины балок. А в компьютерной графике и робототехнике признак ССС — основа трилатерации: зная расстояния от точки до трёх известных точек, можно однозначно найти её положение (так работает, например, позиционирование по Wi-Fi-точкам).

Блок 2: Подобие треугольников

Давай разберёмся с интуицией

Подобные фигуры — это одинаковые по форме, но, возможно, разные по размеру. Представь, что ты открыл фото в редакторе и потянул за угол с зажатым Shift — картинка растягивается, не искажаясь. Все длины умножились на одно и то же число $k$, а все углы остались прежними.

Определение: Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны ($\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$), если их углы соответственно равны, а сходственные стороны пропорциональны:

$$\angle A = \angle A_1,\ \angle B = \angle B_1,\ \angle C = \angle C_1, \qquad \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC} = k$$

Число $k$ называется коэффициентом подобия. Сходственные стороны — это стороны, лежащие против равных углов.

И снова проверять всё не нужно — хватает меньшего набора:

Признаки подобия треугольников:

1. По двум углам (УУ): если два угла одного треугольника равны двум углам другого, треугольники подобны.
2. По двум сторонам и углу между ними: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между ними равны.
3. По трём сторонам: если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого.

Первый признак — самый ходовой. Почему двух углов хватает? Потому что третий угол определяется автоматически (сумма $180°$), а три угла задают форму треугольника полностью.

Самая частая конструкция. Если прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$, то $\triangle DBE \sim \triangle ABC$. Почему? $\angle B$ — общий, а $\angle BDE = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых. Признак УУ.

Что происходит с периметром и площадью. Вот ключевая идея урока:

Если треугольники подобны с коэффициентом $k$, то:

• отношение любых соответствующих длин (сторон, высот, медиан, биссектрис, периметров) равно $k$;
• отношение площадей равно $k^2$:

$$\frac{S_1}{S} = k^2$$

Почему квадрат? Площадь треугольника — это $\dfrac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. При подобии и основание, и высота умножаются на $k$, значит площадь умножается на $k \cdot k = k^2$. Это верно не только для треугольников, а для любых подобных фигур: увеличил квадрат в $3$ раза по стороне — площадь выросла в $9$ раз. (А объём подобных тел меняется в $k^3$ раз — поэтому пицца диаметром $40$ см выгоднее двух пицц по $20$ см: у неё площадь в $4$ раза больше, а не в $2$.)

Аналогия

Подобие — это «Zoom» в фоторедакторе. Нажал «увеличить в 2 раза» — все отрезки стали вдвое длиннее, углы не изменились. А количество пикселей, которые занимает картинка, стало в 4 раза больше — потому что увеличилась и ширина, и высота. Вот тебе $k$ для длин и $k^2$ для площадей в одном действии.

Кстати, это прямо связано с нейросетями для распознавания изображений. Объект на фото может быть крупным или мелким — это подобные изображения с разными $k$. Поэтому при обучении сверточных сетей используют аугментацию масштабом: показывают модели одни и те же картинки, уменьшенные и увеличенные, чтобы она научилась узнавать форму независимо от $k$.

Пример 1 (лёгкий): метод Фалеса

Человек ростом $1{,}8$ м отбрасывает тень длиной $1{,}2$ м. В тот же момент тень дерева равна $8$ м. Найди высоту дерева.

Решение:

Шаг 1. Солнечные лучи параллельны, человек и дерево стоят вертикально. Треугольники «человек — тень — луч» и «дерево — тень — луч» прямоугольные и имеют равный угол наклона луча к земле. Подобны по двум углам.

Шаг 2. Отношение высоты к тени одинаково:

Ответ: $12$ м.

Пример 2 (средний): прямая, параллельная стороне

В треугольнике $ABC$ точка $D$ лежит на $AB$, точка $E$ — на $BC$, причём $DE \parallel AC$. $BD = 4$, $DA = 6$, $DE = 5$. Найди $AC$.

Чертёж словами: треугольник $ABC$, вершина $B$ сверху; отрезок $DE$ — «горизонтальная полочка» внутри треугольника, параллельная основанию $AC$, ближе к вершине $B$.

Решение:

Шаг 1. $\triangle DBE \sim \triangle ABC$ (угол $B$ общий, $\angle BDE = \angle BAC$ — соответственные при $DE \parallel AC$).

Шаг 2. Коэффициент подобия ищем по сходственным сторонам $BD$ и $BA$. Важно: $BA = BD + DA = 4 + 6 = 10$, а не $6$!

Шаг 3.

Ответ: $12{,}5$.

Пример 3 (сложный): площади и периметры

Треугольники подобны с коэффициентом $\dfrac{3}{5}$ (меньший к большему). Площадь меньшего равна $18$, периметр большего — $40$. Найди площадь большего и периметр меньшего.

Решение:

Шаг 1. Площади относятся как $k^2 = \dfrac{9}{25}$:

Шаг 2. Периметры относятся как $k = \dfrac{3}{5}$:

Проверим логику: площадь выросла в $\dfrac{50}{18} = \dfrac{25}{9} \approx 2{,}78$ раза, а периметр — в $\dfrac{40}{24} = \dfrac{5}{3} \approx 1{,}67$ раза. $1{,}67^2 \approx 2{,}78$ ✅.

Ответ: $S = 50$, $P = 24$.

Бонус: камера-обскура. Вся геометрия фотоаппарата — это подобные треугольники. Свет от верхушки объекта высотой $H$ на расстоянии $Z$ проходит через отверстие (объектив) и попадает на матрицу на расстоянии $f$ (фокусное расстояние) за ним. Треугольники «объект — отверстие» и «изображение — отверстие» подобны, поэтому высота изображения:

Человек ростом $1{,}7$ м в $10$ м от камеры с $f = 50$ мм даст изображение высотой $h = \dfrac{50 \cdot 1{,}7}{10} = 8{,}5$ мм. Именно эту формулу (в матричной форме) используют в компьютерном зрении, чтобы по размеру объекта на снимке оценить расстояние до него — например, беспилотник оценивает дистанцию до пешехода.

Почему это важно

Подобие — это математика масштаба. Карты (масштаб $1 : 100\,000$ — это $k$), чертежи, макеты, фото и видео, 3D-графика (перспективная проекция — это подобные треугольники с вершиной в «глазу» камеры). Правило $k^2$ объясняет, почему при уменьшении картинки вдвое по каждой стороне файл «худеет» примерно вчетверо, почему большие животные устроены массивнее мелких (вес растёт как $k^3$, а сечение костей — как $k^2$), и почему в задачах ОГЭ площадь «отрезанного» треугольника почти всегда ищут через квадрат коэффициента.

Блок 3: Свойство биссектрисы и средняя линия треугольника

Давай разберёмся с интуицией

Два быстрых инструмента, которые экономят массу времени на экзамене.

Средняя линия — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Если $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $BC$, то $MN$ — средняя линия.

Почему она особенная? Треугольник $MBN$ подобен треугольнику $ABC$: у них общий угол $B$, а стороны, прилежащие к нему, вдвое меньше ($BM = \dfrac{1}{2} BA$, $BN = \dfrac{1}{2} BC$) — второй признак подобия с $k = \dfrac{1}{2}$. Значит, $MN = \dfrac{1}{2} AC$, и $\angle BMN = \angle BAC$ — соответственные углы равны, поэтому $MN \parallel AC$.

Теорема о средней линии: Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине:

$$MN \parallel AC, \qquad MN = \frac{1}{2} AC$$

Следствия:

• три средние линии делят треугольник на четыре равных треугольника, каждый подобен исходному с $k = \dfrac{1}{2}$;
• периметр треугольника из средних линий — половина периметра исходного, а площадь — четверть ($k^2 = \dfrac{1}{4}$);
• средняя линия отсекает от треугольника треугольник площадью $\dfrac{1}{4}$ исходного и трапецию площадью $\dfrac{3}{4}$.

Свойство биссектрисы. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону не пополам (это делает медиана!), а в отношении прилежащих сторон.

Теорема (свойство биссектрисы): Если $BL$ — биссектриса треугольника $ABC$, то

$$\frac{AL}{LC} = \frac{AB}{BC}$$

Вот как это работает. Биссектриса «тянется» к более короткой стороне: к короткой прилежащей стороне примыкает и более короткий отрезок. Доказательство через подобие: проведём через $C$ прямую, параллельную $BL$, до пересечения с продолжением $AB$ в точке $K$. Тогда $\angle BKC = \angle ABL$ (соответственные) и $\angle BCK = \angle LBC$ (накрест лежащие), а $\angle ABL = \angle LBC$. Значит, треугольник $BCK$ равнобедренный: $BK = BC$. Треугольники $ABL$ и $AKC$ подобны (общий угол $A$, $BL \parallel KC$), поэтому $\dfrac{AL}{LC} = \dfrac{AB}{BK} = \dfrac{AB}{BC}$. ✅

Есть и доказательство через площади: треугольники $ABL$ и $CBL$ имеют общую высоту из $B$, поэтому их площади относятся как $AL : LC$. А с другой стороны, точка $L$ на биссектрисе равноудалена от сторон $BA$ и $BC$, поэтому площади относятся как $AB : BC$.

Аналогия

Средняя линия — это «уменьшенная копия основания на полпути к вершине». Представь пирамиду из стаканчиков: на середине высоты ряд стаканчиков ровно вдвое короче нижнего.

Биссектриса — как справедливый делёж пиццы «по вкладу»: два друга скинулись на пиццу $6$ и $9$ рублями — значит, и делить её нужно в отношении $6 : 9$. Биссектриса делит сторону пропорционально «вкладам» — длинам прилежащих сторон.

Пример 1 (лёгкий): средние линии

Стороны треугольника равны $8$, $10$ и $14$. Найди периметр треугольника, вершинами которого служат середины сторон данного треугольника.

Решение:

Каждая сторона нового треугольника — средняя линия, равная половине соответствующей стороны: $4$, $5$ и $7$.

Или короче: периметр вдвое меньше исходного, $(8 + 10 + 14) : 2 = 16$.

Ответ: $16$.

Пример 2 (средний): биссектриса делит сторону

В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 6$, $BC = 9$, $AC = 10$. $BL$ — биссектриса. Найди $AL$ и $LC$.

Решение:

Шаг 1. По свойству биссектрисы $AL : LC = AB : BC = 6 : 9 = 2 : 3$.

Шаг 2. Сторона $AC = 10$ делится на $2 + 3 = 5$ частей, одна часть — $2$:

Проверим: $4 + 6 = 10$ ✅; $4 : 6 = 6 : 9$ ✅. Больший отрезок $LC$ примыкает к большей стороне $BC$ — всё логично.

Ответ: $AL = 4$, $LC = 6$.

Пример 3 (сложный): середины сторон четырёхугольника

Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равны $10$ и $14$. Найди периметр четырёхугольника, вершины которого — середины сторон $ABCD$.

Чертёж словами: четырёхугольник $ABCD$ с проведёнными диагоналями $AC$ и $BD$; на каждой стороне отмечена середина: $K$ на $AB$, $L$ на $BC$, $M$ на $CD$, $N$ на $DA$; соединены по кругу $K$–$L$–$M$–$N$.

Решение:

Шаг 1. В треугольнике $ABC$ отрезок $KL$ — средняя линия, поэтому $KL \parallel AC$ и $KL = \dfrac{1}{2} AC$.

Шаг 2. В треугольнике $ADC$ отрезок $NM$ — средняя линия, $NM \parallel AC$, $NM = \dfrac{1}{2} AC$.

Шаг 3. Аналогично в треугольниках $ABD$ и $CBD$: $KN = LM = \dfrac{1}{2} BD$.

Шаг 4. Противоположные стороны $KLMN$ попарно равны и параллельны — это параллелограмм (его называют параллелограммом Вариньона). Периметр:

Ответ: $24$.

Почему это важно

Средняя линия и свойство биссектрисы — это «готовые подобия», которые не нужно каждый раз доказывать: видишь середины сторон — сразу пиши «половина и параллельно», видишь биссектрису и стороны — сразу пиши пропорцию. В задачах ОГЭ 25 и ЕГЭ эти два факта встречаются постоянно. А в компьютерной графике середины сторон используют при подразделении сетки: чтобы сделать модель более гладкой, каждый треугольник делят средними линиями на четыре маленьких (так работает, например, схема подразделения Loop) — ровно четыре равных треугольника, о которых мы говорили выше.

Практика: 30 заданий

Базовые (задания 1–10)

Задание 1: Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны с коэффициентом $3$ (второй больше первого). $AB = 5$. Найди $A_1B_1$.

Задание 2: В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$. $AC = 18$. Найди $MN$.

Задание 3: Периметр треугольника равен $30$. Найди периметр треугольника, образованного его средними линиями.

Задание 4: Треугольники подобны с коэффициентом $2$. Площадь меньшего равна $7$. Найди площадь большего.

Задание 5: Столб высотой $3$ м отбрасывает тень длиной $2$ м. Тень здания в тот же момент — $14$ м. Найди высоту здания.

Задание 6: В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 4$, $BC = 6$, $AC = 5$. $BL$ — биссектриса. Найди $AL$.

Задание 7: Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ — середине каждого из них. $AC = 11$. Найди $BD$.

Задание 8: Углы одного треугольника $40°$ и $60°$, углы другого — $60°$ и $80°$. Подобны ли треугольники?

Задание 9: Стороны одного треугольника $3$, $4$, $6$, другого — $9$, $12$, $18$. Подобны ли они? Если да, найди коэффициент подобия.

Задание 10: Площади двух подобных треугольников относятся как $9 : 25$. Периметр большего равен $40$. Найди периметр меньшего.

Средние (задания 11–20)

Задание 11: В треугольнике $ABC$ отрезок $DE$ параллелен $AC$, $D$ лежит на $AB$, $E$ — на $BC$. $BD = 3$, $DA = 5$, $AC = 16$. Найди $DE$.

Задание 12: Площадь треугольника равна $48$. Средняя линия отсекает от него треугольник. Найди площадь оставшейся трапеции.

Задание 13: В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 12$, $BC = 8$, $AC = 15$. $BL$ — биссектриса. Найди $AL$ и $LC$.

Задание 14: Биссектриса $BL$ треугольника $ABC$ делит сторону $AC$ на отрезки $AL = 6$ и $LC = 4$. $AB + BC = 25$. Найди $AB$ и $BC$.

Задание 15: В трапеции $ABCD$ основания $BC = 4$ и $AD = 10$. Диагонали пересекаются в точке $O$, $BO = 3$. Найди $OD$.

Задание 16: Камера смартфона с фокусным расстоянием $35$ мм снимает человека ростом $1{,}75$ м, стоящего в $5$ м. Какой высоты будет его изображение на матрице (модель камеры-обскуры)?

Задание 17: Периметр треугольника равен $60$, стороны относятся как $3 : 4 : 5$. Найди среднюю линию, параллельную наибольшей стороне.

Задание 18: Площади двух подобных треугольников равны $50$ и $32$. Сторона большего треугольника равна $15$. Найди сходственную сторону меньшего.

Задание 19: Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, делит его на треугольник и трапецию, площади которых относятся как $1 : 3$ (треугольник у вершины $B$ меньше). $AC = 20$. Найди длину отрезка этой прямой внутри треугольника.

Задание 20: В треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC$, $BM$ — медиана, $\angle ABM = 34°$. Найди угол $BAC$.

Продвинутые (задания 21–30)

Задание 21: Фото размером $4000 \times 3000$ пикселей уменьшили до $1000 \times 750$. Во сколько раз уменьшилось число пикселей? Сколько пикселей в новой картинке?

Задание 22: Диагонали выпуклого четырёхугольника равны $12$ и $18$. Найди периметр четырёхугольника, вершины которого — середины сторон данного.

Задание 23: Основания трапеции равны $6$ и $15$, высота — $6$. Боковые стороны продолжены до пересечения в точке $P$. Найди расстояние от $P$ до меньшего основания.

Задание 24: В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 10$, $BC = 15$. Биссектриса $BL$ отсекает на стороне $AC$ отрезок $AL = 4$. Найди периметр треугольника $ABC$.

Задание 25: В треугольник с основанием $12$ и высотой $8$ вписан квадрат так, что одна его сторона лежит на основании, а две вершины — на боковых сторонах. Найди сторону квадрата.

Задание 26: В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Известно, что $BA_1 : AB = 3 : 5$ и $AC = 15$. Найди $A_1C_1$.

Задание 27: Основание треугольника равно $10$. Прямая, параллельная основанию, делит треугольник на две части равной площади. Найди длину отрезка этой прямой внутри треугольника.

Задание 28: В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 8$, $AC = 12$, $BC = 10$. $AL$ — биссектриса, $AM$ — медиана. Найди $LM$.

Задание 29: Нейросеть-детектор на видео с камеры видит пешехода высотой $60$ пикселей, когда он в $20$ м от камеры. На каком расстоянии его изображение будет высотой $40$ пикселей?

Задание 30: Диагонали трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) пересекаются в точке $O$. Площадь треугольника $BOC$ равна $9$, $BC : AD = 3 : 7$. Найди площадь трапеции.

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: «две стороны и угол» — без проверки, что угол между ними

Неправильно: «$AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $\angle A = \angle A_1$, значит треугольники равны».

Правильно: в первом признаке угол должен быть между равными сторонами. Здесь между $AB$ и $BC$ лежит угол $B$, а не $A$. Такой набор — не признак (см. пример с двумя треугольниками в блоке 1).

Почему важно: в задании 24 ОГЭ неверно названный признак — это ноль баллов за доказательство.

❌ Ошибка 2: площади меняются в $k$ раз

Неправильно: «$k = 2$, площадь меньшего $7$, значит большего — $14$».

Правильно: площади относятся как $k^2$: $7 \cdot 4 = 28$.

Почему важно: это самая частая ошибка в задачах на подобие. Запомни: длины — $k$, площади — $k^2$, объёмы — $k^3$.

❌ Ошибка 3: коэффициент подобия по отрезку, а не по целой стороне

Неправильно: «$DE \parallel AC$, $BD = 4$, $DA = 6$, значит $\dfrac{DE}{AC} = \dfrac{4}{6}$».

Правильно: сходственная сторона для $BD$ — это вся сторона $BA = BD + DA = 10$. $\dfrac{DE}{AC} = \dfrac{4}{10}$.

Почему важно: отношение $\dfrac{BD}{DA}$ — это не коэффициент подобия, а отношение частей стороны.

❌ Ошибка 4: путают, какая сторона какой соответствует

Неправильно: в подобных треугольниках сопоставляют стороны «по порядку букв» или «по расположению на чертеже».

Правильно: сходственные стороны лежат против равных углов. Сначала выпиши равные углы, потом по ним — пары сторон (особенно в «перевёрнутых» конфигурациях, как в задании 26).

Почему важно: перепутанные пары дают неправильный $k$, а значит и неверный ответ, хотя вся арифметика правильная.

❌ Ошибка 5: биссектриса делит сторону пополам

Неправильно: «$BL$ — биссектриса, значит $AL = LC$».

Правильно: пополам сторону делит медиана. Биссектриса делит сторону в отношении прилежащих сторон: $AL : LC = AB : BC$.

Почему важно: совпадают они только в равнобедренном треугольнике (к основанию).

❌ Ошибка 6: думают, что прямая, делящая площадь пополам, — средняя линия

Неправильно: «Прямая параллельна основанию и делит площадь пополам, значит отрезок равен половине основания».

Правильно: средняя линия отсекает $\dfrac{1}{4}$ площади. Чтобы отсечь половину, нужно $k = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ (задание 27).

Почему важно: это прямое следствие правила $k^2$ — и хорошая проверка, понял ли ты его.

Главное запомнить

📝 Ключевые понятия

✅ Признаки равенства: СУС (две стороны и угол между ними), УСУ (сторона и два прилежащих угла), ССС (три стороны).

✅ Не признаки: две стороны и угол не между ними; три угла.

✅ В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы и наоборот — так из равенства треугольников получают равенство отрезков и углов.

✅ Признаки подобия: по двум углам; по двум пропорциональным сторонам и углу между ними; по трём пропорциональным сторонам.

✅ Прямая, параллельная стороне, отсекает треугольник, подобный данному.

✅ Коэффициент подобия $k$: длины (стороны, высоты, медианы, периметры) — в $k$ раз, площади — в $k^2$ раз.

✅ Средняя линия: параллельна третьей стороне и равна её половине; отсекает четверть площади.

✅ Свойство биссектрисы: $\dfrac{AL}{LC} = \dfrac{AB}{BC}$ — больший отрезок у большей стороны.

✅ Середины сторон любого четырёхугольника образуют параллелограмм с периметром, равным сумме диагоналей.

✅ Камера-обскура: $h = \dfrac{fH}{Z}$ — подобие треугольников в фотоаппарате и компьютерном зрении.

Связь с другими темами курса

Что нужно было знать до этого урока:

• Треугольники: виды, углы, медиана, биссектриса, высота — определения элементов треугольника и сумма углов, на которых строятся все доказательства
• Пропорция — любая задача на подобие сводится к пропорции
• Прямая и обратная пропорциональность — размер изображения обратно пропорционален расстоянию до объекта (задание 29)

Что изучить дальше:

• Прямоугольный треугольник: теорема Пифагора, синус, косинус и тангенс — подобие прямоугольных треугольников и есть причина, почему синус угла не зависит от размера треугольника
• Теорема синусов — там подробно о «неоднозначном случае», из-за которого «две стороны и угол не между ними» — не признак
• Линейные преобразования — подобие как частный случай линейного отображения (масштабирование матрицей $kI$)
• Свёрточные нейронные сети — как сети учатся узнавать объекты независимо от масштаба

Экзамены: ОГЭ, задание 24 и ОГЭ, задание 25 (доказательства и сложная планиметрия), ЕГЭ, задание 1 (планиметрия).

Где это нужно в жизни:

• 🗺️ Карты и чертежи: масштаб — это коэффициент подобия; площадь на карте масштаба $1:1000$ в миллион раз меньше реальной
• 📷 Фотография и компьютерное зрение: модель камеры-обскуры — подобные треугольники; по ней оценивают расстояния до объектов
• 🖼️ Обработка изображений: уменьшение картинки в $k$ раз по стороне уменьшает число пикселей в $k^2$ раз
• 🏗️ Инженерия: жёсткость треугольных ферм — это признак ССС, а испытания моделей в аэродинамической трубе опираются на подобие

Интересные факты

💡 Фалес и пирамида. По преданию, Фалес измерил высоту Великой пирамиды, дождавшись момента, когда тень человека равна его росту. Хитрость в том, что тень нужно отсчитывать не от края основания, а от его центра — то есть прибавить к видимой тени половину стороны основания. Первоначальная высота пирамиды — около $146$ м: это была самая высокая постройка на Земле почти четыре тысячи лет.

💡 Гильберт «сдался» с первым признаком. В строгой аксиоматике Гильберта первый признак равенства треугольников почти целиком принят как аксиома — его нельзя доказать без понятия «наложения», которое Евклид использовал неформально.

💡 Фракталы — бесконечное подобие. Треугольник Серпинского строится так: соедини середины сторон (средние линии!), выкинь центральный треугольник, повтори с тремя оставшимися. Каждый кусок подобен целому с $k = \dfrac{1}{2}$ — и так до бесконечности.

💡 Почему у слонов толстые ноги. Если увеличить мышь в $50$ раз по всем размерам, её масса вырастет в $50^3 = 125\,000$ раз, а площадь сечения костей — только в $50^2 = 2500$ раз. Кости бы сломались. Поэтому крупные животные — не подобные копии мелких: у них непропорционально толстые ноги. Это закон «квадрата-куба», открытый ещё Галилеем.

💡 Разрешение экрана. 4K-экран ($3840 \times 2160$) имеет вдвое больше пикселей по каждой стороне, чем Full HD ($1920 \times 1080$), — и ровно в $4$ раза больше пикселей всего. Вот тебе $k = 2$ и $k^2 = 4$.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Правило «$k$ — $k^2$ — $k^3$»

Длины — в $k$ раз, площади — в $k^2$, объёмы — в $k^3$. Дано отношение площадей — извлеки корень, чтобы получить $k$.

Пример: площади $50$ и $32$ → $k = \sqrt{\dfrac{32}{50}} = \dfrac{4}{5}$.

2. Равные углы — сразу подобие

Увидел параллельные прямые — ищи подобные треугольники: соответственные и накрест лежащие углы дают признак УУ бесплатно. Типичные места: «прямая, параллельная стороне», «диагонали трапеции», «тень и столб».

3. Биссектриса: делим сторону на части

$AL : LC = AB : BC$ → сложи части отношения, раздели сторону на эту сумму, умножь.

Пример: $AB = 6$, $BC = 9$, $AC = 10$: части $2 + 3 = 5$, одна часть $2$, $AL = 4$, $LC = 6$.

4. Выписывай подобие «в правильном порядке»

Пиши $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$ так, чтобы на одинаковых местах стояли вершины с равными углами. Тогда сходственные стороны читаются прямо из записи: $AB \leftrightarrow A_1B_1$, $BC \leftrightarrow B_1C_1$.

5. Середины сторон — ищи средние линии

Если в условии есть две середины сторон одного треугольника — соедини их. Отрезок параллелен третьей стороне и равен её половине. Если середин четыре (у четырёхугольника) — получится параллелограмм с периметром, равным сумме диагоналей.

6. Трапеция с диагоналями: $k$, $k^2$ и «среднее геометрическое»

Если $S_{BOC} = s_1$, $S_{AOD} = s_2$, то боковые треугольники имеют площадь $\sqrt{s_1 s_2}$, а вся трапеция — $(\sqrt{s_1} + \sqrt{s_2})^2$.

Пример (задание 30): $(\sqrt{9} + \sqrt{49})^2 = (3 + 7)^2 = 100$ ✅.

💡 Совет: в следующий солнечный день измерь высоту своего дома или дерева методом Фалеса — нужна только рулетка и палка. Это лучший способ почувствовать, что подобие — не абстракция из учебника, а рабочий инструмент.

Дальше — прямоугольный треугольник: теорема Пифагора, синус, косинус и тангенс. Ты увидишь, что всё это — прямые следствия подобия.