Многогранники: призма, параллелепипед, пирамида — объёмы и площади поверхности 🧊

Открой любую 3D-игру, и всё, что ты видишь, — от персонажа до травинки — сделано из многогранников. Движок не знает, что такое «сфера» или «лицо»: он хранит тысячи треугольных граней, соединённых рёбрами. Когда физический движок считает, утонет ли ящик в воде, он считает объём многогранника. Когда 3D-принтер оценивает, сколько пластика уйдёт на деталь, он делает то же самое. А когда нейросеть вроде NeRF или генератор 3D-моделей выдаёт сетку, одна из первых проверок качества — замкнута ли она и какой у неё объём.

На ЕГЭ профильного уровня многогранники живут в задании 3 — это та самая «быстрая» стереометрия первой части, где ответ — одно число. Задачи там однотипные, но коварные: «ребро увеличили в 3 раза — во сколько раз увеличился объём?», «вода из одного сосуда перелита в другой — на какой высоте уровень?», «найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые)». Если понимать, откуда берутся формулы, каждая такая задача решается за 2–3 минуты.

В этом уроке мы соберём всю «многогранную» часть задания 3: куб и прямоугольный параллелепипед, призмы (прямые, правильные, наклонные) и пирамиды (с апофемой, высотой и отсечёнными частями). Главная идея, которая пройдёт через весь урок: объём растёт как куб линейного размера, а площадь — как квадрат. Это одна мысль, но она закрывает добрую треть задач.

Ты узнаешь:

🎯 Почему объём призмы — «площадь основания на высоту», а пирамиды — ровно треть этого

🎯 Как считать площадь поверхности составных многогранников без утомительного перебора граней

🎯 Что такое апофема правильной пирамиды и как через неё быстро найти боковую поверхность

🎯 Как меняются объём и площадь при растяжении в $k$ раз — и как это связано с вокселями и 3D-моделями

История: откуда это взялось? 📜

Первые формулы объёмов придумали не философы, а хозяйственники. В Московском математическом папирусе (Египет, около 1850 года до н. э.; сейчас он хранится в ГМИИ имени Пушкина в Москве) есть задача 14: вычислить объём усечённой пирамиды с квадратными основаниями. Писцу нужно было знать, сколько камня или зерна поместится в сооружение такой формы. Египетская формула была точной — но без всякого объяснения, почему она верна.

Объяснение появилось у греков. По свидетельству Архимеда, Демокрит (V век до н. э.) первым заметил, что объём пирамиды — треть объёма призмы с тем же основанием и высотой, а Евдокс Книдский строго доказал это «методом исчерпывания» — предшественником интегралов. Интересно, что простого «разрезать и переложить» доказательства тут нет: в 1900 году Давид Гильберт включил этот вопрос в свой знаменитый список проблем (третья проблема), и в том же году его ученик Макс Ден доказал, что правильный тетраэдр нельзя разрезать на конечное число кусков и сложить из них куб. Поэтому для объёма пирамиды без предельного перехода (или принципа Кавальери) не обойтись.

Современная глава этой истории — компьютерная графика. Формула Эйлера В − Р + Г = 2 (вершины минус рёбра плюс грани, 1750-е годы) сегодня используется для проверки корректности полигональных сеток, а объём сетки считают, разбивая её на тетраэдры и складывая их «знаковые» объёмы. Так работает, например, функция подсчёта объёма в Blender, в слайсерах 3D-принтеров и в библиотеках вроде trimesh на Python.

Блок 1: Куб и прямоугольный параллелепипед

Давай разберёмся с интуицией

Прямоугольный параллелепипед — это «коробка»: шесть граней-прямоугольников, все углы прямые. У него три измерения — длина $a$, ширина $b$, высота $c$. Куб — частный случай, когда $a = b = c$.

Объём — это сколько единичных кубиков $1 \times 1 \times 1$ помещается внутрь. Представь, что ты укладываешь кубики слоями: в одном слое $a \cdot b$ кубиков, слоёв $c$. Итого $a \cdot b \cdot c$.

Площадь поверхности — это сколько «обёрточной бумаги» нужно, чтобы обклеить коробку без нахлёстов. Граней шесть, они разбиваются на три пары одинаковых: $ab$, $bc$, $ac$.

Диагональ — отрезок из вершины в противоположную вершину через внутренность. Её находят двойным Пифагором: сначала диагональ основания $\sqrt{a^2 + b^2}$, потом диагональ всего параллелепипеда — гипотенуза треугольника с катетами $\sqrt{a^2+b^2}$ и $c$.

Формулы прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a, b, c$:

$$V = abc, \qquad S = 2(ab + bc + ac), \qquad d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}.$$

Для куба с ребром $a$: $V = a^3$, $S = 6a^2$, $d = a\sqrt{3}$.

Правило масштаба: если все линейные размеры тела увеличить в $k$ раз, то площадь поверхности увеличится в $k^2$ раз, а объём — в $k^3$ раз.

Аналогия

Представь воксельную игру вроде Minecraft. Постройка $a \times b \times c$ блоков — это ровно $abc$ блоков материала (объём), а чтобы покрасить её снаружи, нужно столько банок краски, сколько видимых квадратиков на поверхности, — $2(ab + bc + ac)$. Если ты увеличишь постройку вдвое по каждой оси, блоков станет в 8 раз больше, а краски понадобится в 4 раза больше. Именно поэтому большие здания в игре так «дорого» строить: объём растёт быстрее поверхности.

Та же закономерность объясняет, почему слон не может быть «увеличенной мышью»: масса (∼ объём) растёт как $k^3$, а прочность костей (∼ площадь сечения) — как $k^2$.

Пример 1 (лёгкий): коробка $3 \times 4 \times 12$

Найди объём, площадь поверхности и длину диагонали прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $3$, $4$, $12$.

Решение.

Шаг 1. Объём: $V = 3 \cdot 4 \cdot 12 = 144$.

Шаг 2. Площадь поверхности: пары граней — $3 \cdot 4 = 12$, $4 \cdot 12 = 48$, $3 \cdot 12 = 36$.

Шаг 3. Диагональ:

Проверим наш ответ двойным Пифагором: диагональ основания $3 \times 4$ равна $5$, а $\sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ — сходится.

Ответ: $V = 144$, $S = 192$, $d = 13$.

Пример 2 (средний): ребро куба увеличили в 3 раза

Объём куба равен $8$. Каждое ребро увеличили в 3 раза. Найди новый объём и новую площадь поверхности.

Решение.

Шаг 1. Исходное ребро: $a^3 = 8 \Rightarrow a = 2$. Исходная площадь поверхности: $S = 6 \cdot 4 = 24$.

Шаг 2. Через правило масштаба: $k = 3$, объём вырастет в $k^3 = 27$ раз, площадь — в $k^2 = 9$ раз:

Шаг 3. Проверка напрямую: новое ребро $6$, $V' = 6^3 = 216$, $S' = 6 \cdot 36 = 216$. Совпадение численных значений объёма и площади у куба с ребром $6$ — забавная случайность (при ребре 6 величины $a^3$ и $6a^2$ равны), но размерности разные: кубические и квадратные единицы.

Ответ: $V' = 216$, $S' = 216$.

Пример 3 (сложный): составной многогранник

Из прямоугольного параллелепипеда $6 \times 4 \times 5$ (5 — высота) вырезали по всей высоте угловую «колонну» с основанием $2 \times 2$. Найди объём и площадь поверхности получившегося многогранника (все двугранные углы прямые).

Решение.

Шаг 1. Объём — просто вычитание:

Шаг 2. Площадь исходного параллелепипеда:

Шаг 3. Что изменилось на поверхности? Разберём по шагам:

• с верхней и нижней граней исчезли квадраты $2 \times 2$: $-2 \cdot 4 = -8$;
• с двух боковых граней, между которыми был угол, исчезли полосы $2 \times 5$: $-2 \cdot 10 = -20$;
• внутри выреза появились две новые грани $2 \times 5$: $+20$.

Вот как это работает: боковые полосы «переехали» внутрь выреза и не изменили площадь; потерялись только верх и низ колонны.

Ответ: $V = 100$, $S = 140$.

Почему это важно

Прямоугольный параллелепипед — это ограничивающий бокс (bounding box) в компьютерной графике и компьютерном зрении. Детектор объектов (YOLO и его родственники) рисует вокруг найденного объекта прямоугольник, а 3D-детекторы для беспилотников — именно прямоугольный параллелепипед. Проверка «пересекаются ли два бокса» и метрика IoU в 3D — это вычисление объёмов пересечения параллелепипедов. А правило $k^2$ / $k^3$ объясняет, почему при удвоении разрешения воксельной сетки память растёт в 8 раз.

Блок 2: Призмы — прямые, правильные, наклонные

Давай разберёмся с интуицией

Призма — многогранник, у которого две грани (основания) — равные многоугольники в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы. Прямоугольный параллелепипед — призма с прямоугольным основанием.

Представь стопку одинаковых листов бумаги, вырезанных по форме основания. Толщина стопки — высота $h$. Объём стопки — площадь листа, умноженная на высоту. Если сдвинуть листы наискосок (как колоду карт), получится наклонная призма — но количество бумаги не изменится! Это принцип Кавальери: тела с одинаковыми площадями сечений на каждой высоте имеют одинаковые объёмы.

Объём любой призмы (прямой или наклонной):

$$V = S_{\text{осн}} \cdot h,$$

где $h$ — высота, то есть расстояние между плоскостями оснований (а не длина бокового ребра!).

Прямая призма — боковые рёбра перпендикулярны основанию, высота равна боковому ребру. Площадь боковой поверхности:

$$S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h, \qquad S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}}.$$

Правильная призма — прямая призма, в основании которой правильный многоугольник.

Полезные площади оснований: правильный треугольник со стороной $a$ — $\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$; правильный шестиугольник — $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2$ (шесть правильных треугольников).

Почему $S_{\text{бок}} = P \cdot h$? Разрежь боковую поверхность прямой призмы по одному ребру и разверни на столе: получится один прямоугольник с высотой $h$ и шириной, равной периметру основания.

Аналогия

Призма — это «экструзия» в 3D-редакторах. В Blender, Fusion 360 или SketchUp ты рисуешь плоский контур и вытягиваешь его вверх на расстояние $h$ — это ровно операция построения прямой призмы. Объём полученного тела программа считает как площадь контура на длину вытягивания. А если вытягивать под углом — получится наклонная призма с тем же объёмом при той же вертикальной высоте.

Пример 1 (лёгкий): прямая треугольная призма

Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами $6$ и $8$, боковое ребро равно $10$. Найди объём и площадь полной поверхности.

Решение.

Шаг 1. Площадь основания: $S_{\text{осн}} = \frac12 \cdot 6 \cdot 8 = 24$.

Шаг 2. Объём: $V = 24 \cdot 10 = 240$.

Шаг 3. Гипотенуза основания $\sqrt{36+64} = 10$, периметр $6 + 8 + 10 = 24$. Боковая поверхность: $S_{\text{бок}} = 24 \cdot 10 = 240$.

Шаг 4. Полная поверхность: $S_{\text{полн}} = 240 + 2 \cdot 24 = 288$.

Ответ: $V = 240$, $S_{\text{полн}} = 288$.

Пример 2 (средний): переливаем воду

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду до уровня $80$ см. Её перелили в другой такой же по форме сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше. На какой высоте окажется уровень воды?

Решение.

Шаг 1. Объём воды не меняется: $V = S_1 \cdot h_1 = S_2 \cdot h_2$.

Шаг 2. Основания — подобные треугольники с коэффициентом $4$, значит, площади относятся как $4^2 = 16$: $S_2 = 16 S_1$.

Шаг 3. $S_1 \cdot 80 = 16 S_1 \cdot h_2 \Rightarrow h_2 = \dfrac{80}{16} = 5$ см.

Площадь основания никто не называл — и она не нужна. В задании 3 это типичная ловушка: кажется, что данных не хватает, а на деле всё сокращается.

Ответ: $5$ см.

Пример 3 (сложный): наклонный параллелепипед

Основание наклонного параллелепипеда — квадрат со стороной $4$. Боковое ребро равно $10$ и наклонено к плоскости основания под углом $30°$. Найди объём.

Решение.

Шаг 1. Где высота? Опустим перпендикуляр из верхнего конца бокового ребра на плоскость основания. Получаем прямоугольный треугольник: гипотенуза — боковое ребро $10$, угол при основании $30°$, высота — катет против этого угла.

Шаг 2. $S_{\text{осн}} = 16$, $V = 16 \cdot 5 = 80$.

Почему так происходит? Если бы мы взяли $h = 10$ (длину ребра), получили бы $160$ — вдвое больше. Наклон «съедает» высоту, а объём зависит только от высоты.

Ответ: $80$.

Почему это важно

Идея «площадь сечения × длина» — это дискретный вариант интеграла $V = \int S(x)\,dx$, который ты встретишь в уроке про определённый интеграл. В инженерных симуляциях так считают объём трубопроводов, балок и профилей: сложный профиль вытягивается вдоль оси. А принцип Кавальери лежит в основе метода Монте-Карло для объёмов: сравниваем тела по «срезам», не заботясь о форме.

Блок 3: Пирамиды — высота, апофема, отношения объёмов

Давай разберёмся с интуицией

Пирамида — многогранник, у которого одна грань (основание) — многоугольник, а остальные грани — треугольники с общей вершиной. Высота пирамиды — перпендикуляр из вершины на плоскость основания.

Главная формула — объём пирамиды равен трети объёма призмы с тем же основанием и высотой. Откуда тройка? Самая наглядная иллюстрация: куб можно разрезать на три равные пирамиды с общей вершиной в одной из вершин куба, основаниями которых служат три грани куба, не содержащие эту вершину. У каждой пирамиды основание — грань $a \times a$, высота — $a$, и все три одинаковы, поэтому каждая имеет объём $\frac13 a^3$.

Объём любой пирамиды:

$$V = \frac13 S_{\text{осн}} \cdot h.$$

Правильная пирамида — в основании правильный многоугольник, а вершина проецируется в его центр. Её боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

Апофема $l$ — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из вершины пирамиды. Тогда

$$S_{\text{бок}} = \frac12 P_{\text{осн}} \cdot l.$$

Связь элементов правильной пирамиды (высота $h$, апофема $l$, боковое ребро $b$, радиус вписанной в основание окружности $r$, радиус описанной $R$):

$$l^2 = h^2 + r^2, \qquad b^2 = h^2 + R^2.$$

Отсечение подобной пирамиды: если плоскость, параллельная основанию, отсекает от пирамиды меньшую пирамиду с коэффициентом подобия $k$ (например, проходит через середины боковых рёбер — $k = \frac12$), то $V_{\text{мал}} = k^3 V$.

Два прямоугольных треугольника внутри правильной пирамиды — главный инструмент: (высота, $r$, апофема) и (высота, $R$, боковое ребро). Для квадрата со стороной $a$: $r = \frac a2$, $R = \frac{a\sqrt2}{2}$. Для правильного треугольника: $r = \frac{a}{2\sqrt3}$, $R = \frac{a}{\sqrt3}$. Для правильного шестиугольника: $R = a$, $r = \frac{a\sqrt3}{2}$.

Аналогия

Пирамида — это «конус с углами». Если представить, что из вершины пирамиды светит точечный источник, то каждое горизонтальное сечение — это «тень» основания, уменьшенная пропорционально расстоянию до вершины. Площадь сечения на расстоянии $x$ от вершины равна $S \cdot (x/h)^2$ — и если сложить (проинтегрировать) эти площади по всем $x$ от $0$ до $h$, получится $\frac13 S h$. Тройка в знаменателе — это та же тройка, что в $\int_0^h x^2\,dx = \frac{h^3}{3}$.

В 3D-графике этот образ совершенно буквален: область видимости камеры (view frustum) — это усечённая пирамида, вершина которой — глаз камеры. Всё, что попадает внутрь, рендерится.

Пример 1 (лёгкий): правильная четырёхугольная пирамида

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $6$, высота равна $4$. Найди апофему, площадь полной поверхности и объём.

Решение.

Шаг 1. Апофема. Вершина проецируется в центр квадрата; расстояние от центра до стороны $r = 3$. Треугольник (высота, $r$, апофема) прямоугольный:

Шаг 2. $S_{\text{бок}} = \frac12 \cdot P \cdot l = \frac12 \cdot 24 \cdot 5 = 60$; $S_{\text{полн}} = 60 + 36 = 96$.

Шаг 3. $V = \frac13 \cdot 36 \cdot 4 = 48$.

Ответ: $l = 5$, $S_{\text{полн}} = 96$, $V = 48$.

Пример 2 (средний): что отсекает плоскость

Объём треугольной пирамиды $SABC$ равен $48$. Плоскость проходит через середины рёбер $SA$, $SB$, $SC$. Найди объём отсечённой пирамиды и объём оставшейся части. А затем — отдельная задача: найди объём пирамиды $ABDA_1$, вершины которой — вершины куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $6$.

Решение.

Часть 1. Плоскость через середины боковых рёбер параллельна основанию (по теореме о средней линии каждая сторона сечения параллельна стороне основания). Отсечённая пирамида подобна исходной с $k = \frac12$:

Часть 2. В пирамиде $ABDA_1$ за основание удобно взять треугольник $ABD$ — половину грани куба: $S = \frac12 \cdot 36 = 18$. Высота — ребро $AA_1 = 6$ (оно перпендикулярно основанию).

Запомни: такая «угловая» пирамида — шестая часть куба (и вообще шестая часть любого параллелепипеда).

Ответ: $6$ и $42$; $36$.

Пример 3 (сложный): правильная шестиугольная пирамида

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна $2$, боковое ребро равно $4$. Найди высоту, объём и апофему.

Решение.

Шаг 1. Высота. У правильного шестиугольника $R = a = 2$. Треугольник (высота, $R$, боковое ребро):

Шаг 2. Площадь основания: $S = \dfrac{3\sqrt3}{2} \cdot 2^2 = 6\sqrt3$.

Шаг 3. Объём:

Корни сократились — так авторы задач ЕГЭ и делают данные «под целый ответ».

Шаг 4. Апофема двумя способами. Через основание: $r = \frac{a\sqrt3}{2} = \sqrt3$, $l = \sqrt{12 + 3} = \sqrt{15}$. Через боковую грань (равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $4$ и основанием $2$): $l = \sqrt{16 - 1} = \sqrt{15}$. Проверим наш ответ — совпало.

Ответ: $h = 2\sqrt3$, $V = 12$, $l = \sqrt{15}$.

Почему это важно

Тетраэдр (треугольная пирамида) — атом объёмной геометрии в компьютере. Объём любого замкнутого полигонального меша считают как сумму знаковых объёмов тетраэдров «начало координат + треугольная грань», а объём тетраэдра с вершиной в начале координат и векторами $\vec a, \vec b, \vec c$ равен $\frac16 |(\vec a, \vec b, \vec c)|$ — модулю смешанного произведения, делённому на 6. Та же «шестая часть параллелепипеда», что в примере 2! Например, тетраэдр с вершинами $(0,0,0)$, $(3,0,0)$, $(0,4,0)$, $(0,0,5)$ имеет объём $\frac{3 \cdot 4 \cdot 5}{6} = 10$. Методы конечных элементов (FEM) в инженерных симуляциях разбивают деталь на миллионы тетраэдров, и в каждом решают уравнения упругости или теплопроводности.

Практика: 30 заданий

Ответы — числа, как в задании 3 ЕГЭ.

Базовые (задания 1–10)

Задание 1: Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны $2$, $3$ и $6$. Найди его объём и длину диагонали.

Задание 2: Площадь поверхности куба равна $150$. Найди его объём.

Задание 3: Каждое ребро куба увеличили в 2 раза. Во сколько раз увеличился объём? Во сколько раз — площадь поверхности?

Задание 4: Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами $5$ и $12$, боковое ребро равно $8$. Найди объём и площадь полной поверхности призмы.

Задание 5: Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна $10$, высота — $12$. Найди объём и площадь боковой поверхности.

Задание 6: Объём пирамиды равен $30$, площадь основания — $9$. Найди высоту пирамиды.

Задание 7: Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна $3$, боковое ребро — $7$. Найди площадь боковой поверхности.

Задание 8: Диагональ куба равна $4\sqrt3$. Найди объём куба.

Задание 9: Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны $4$ и $5$, объём равен $100$. Найди площадь поверхности.

Задание 10: Сторона основания правильной треугольной призмы равна $4$, высота — $9$. Найди площадь боковой поверхности.

Средние (задания 11–20)

Задание 11: В сосуд в форме правильной треугольной призмы налили воду до уровня $36$ см. Воду перелили в сосуд той же формы, у которого сторона основания втрое больше. На какой высоте будет уровень воды?

Задание 12: В аквариум в форме прямоугольного параллелепипеда с дном $20 \times 15$ см налита вода. После погружения детали уровень воды поднялся на $4$ см (вода не перелилась, деталь полностью под водой). Найди объём детали в см³.

Задание 13: Из угла прямоугольного параллелепипеда $5 \times 5 \times 4$ вырезали кубик с ребром $2$. Найди объём и площадь поверхности оставшейся фигуры.

Задание 14: Высоту правильной четырёхугольной пирамиды увеличили в 4 раза, а сторону основания уменьшили в 2 раза. Во сколько раз изменился объём?

Задание 15: Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $6$. Найди объём четырёхугольной пирамиды $A_1ABCD$.

Задание 16: В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно $10$, диагональ основания — $12$. Найди объём.

Задание 17: Объём треугольной пирамиды равен $40$. Плоскость проходит через середины трёх боковых рёбер. Найди объём отсечённой пирамиды.

Задание 18: Основание прямой призмы — ромб с диагоналями $6$ и $8$, боковое ребро равно $10$. Найди площадь полной поверхности и объём.

Задание 19: Площадь основания наклонной призмы равна $12$, боковое ребро равно $10$ и наклонено к плоскости основания под углом $30°$. Найди объём.

Задание 20: Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна $3$, боковое ребро — $5$. Найди $\dfrac{V}{\sqrt3}$.

Продвинутые (задания 21–30)

Задание 21: Объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $60$. Найди объём треугольной пирамиды $ABDA_1$.

Задание 22: Объём правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равен $36$. Найди объём пирамиды $A_1ABC$ и объём четырёхугольной пирамиды $A_1BCC_1B_1$.

Задание 23: Многогранник-«ступенька» (все двугранные углы прямые) составлен из двух прямоугольных параллелепипедов: нижнего $6 \times 4 \times 2$ и верхнего $3 \times 4 \times 2$, поставленного на нижний так, что их задние, передние и одна боковая грани лежат в одних плоскостях. Найди объём и площадь поверхности.

Задание 24: Каждое ребро куба уменьшили на $20\%$. На сколько процентов уменьшился объём?

Задание 25: Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен $48$, сторона основания — $6$. Найди площадь боковой поверхности.

Задание 26: Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна $6$, высота равна $1$. Найди площадь боковой поверхности.

Задание 27: Центры граней куба с ребром $6$ являются вершинами октаэдра. Найди объём октаэдра.

Задание 28: От куба с ребром $3$ плоскостью, проходящей через три вершины, соседние с одной вершиной, отрезали пирамиду. Найди объём оставшейся части.

Задание 29: Объём треугольной пирамиды равен $54$. Плоскость, параллельная основанию, делит высоту в отношении $1 : 2$, считая от вершины. Найди объём части пирамиды, заключённой между этой плоскостью и основанием.

Задание 30: 3D-сканер представил деталь в виде воксельной модели: $1200$ вокселей — кубиков с ребром $0{,}5$ см. Найди объём детали в см³. Сколько примерно вокселей понадобится, если уменьшить ребро вокселя до $0{,}25$ см?

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: забыть $\frac13$ в объёме пирамиды Неправильно: $V = S \cdot h$ для пирамиды. Правильно: $V = \frac13 S h$. Формула без трети — это призма. Почему важно: ответ втрое больше — и задание 3 потеряно.

❌ Ошибка 2: путать высоту пирамиды, апофему и боковое ребро Неправильно: подставить апофему в формулу объёма или высоту — в формулу боковой поверхности. Правильно: объём — через высоту $h$; боковая поверхность — через апофему $l$; связь — треугольники $(h, r, l)$ и $(h, R, b)$. Почему важно: это три разных отрезка, и все три часто встречаются в одной задаче.

❌ Ошибка 3: боковое ребро вместо высоты в наклонной призме Неправильно: $V = S \cdot b$, где $b$ — боковое ребро. Правильно: $V = S \cdot h$, $h = b \sin\varphi$. Почему важно: объём завышается в $\frac{1}{\sin\varphi}$ раз.

❌ Ошибка 4: масштабирование «в $k$ раз» для объёма Неправильно: «рёбра увеличили в 3 раза — объём увеличился в 3 раза». Правильно: объём — в $k^3 = 27$ раз, площадь — в $k^2 = 9$ раз. Почему важно: это самая частая ловушка задания 3 — и в сосудах с водой тоже (площадь дна меняется в $k^2$ раз).

❌ Ошибка 5: «вырезали — значит, площадь уменьшилась» Неправильно: в составном многограннике вычитать площади граней вырезанного куска. Правильно: посмотри, какие грани исчезли и какие появились. При вырезании углового кубика площадь не меняется вовсе. Почему важно: составные тела — отдельный тип задач, и интуиция здесь подводит.

❌ Ошибка 6: неверный радиус для правильного треугольника Неправильно: для апофемы правильной треугольной пирамиды взять $R = \frac{a}{\sqrt3}$. Правильно: апофема — через $r = \frac{a}{2\sqrt3}$ (до стороны), боковое ребро — через $R = \frac{a}{\sqrt3}$ (до вершины). Почему важно: $R = 2r$ в правильном треугольнике, ошибка сразу искажает ответ.

Главное запомнить

📝 Ключевые понятия

✅ Прямоугольный параллелепипед: $V = abc$, $S = 2(ab+bc+ac)$, $d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

✅ Куб: $V = a^3$, $S = 6a^2$, $d = a\sqrt3$.

✅ Любая призма: $V = S_{\text{осн}} \cdot h$, где $h$ — расстояние между основаниями.

✅ Прямая призма: $S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h$, $S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}}$.

✅ Любая пирамида: $V = \frac13 S_{\text{осн}} \cdot h$.

✅ Правильная пирамида: $S_{\text{бок}} = \frac12 P_{\text{осн}} \cdot l$; $l^2 = h^2 + r^2$, $b^2 = h^2 + R^2$.

✅ Масштаб: линейные размеры $\times k$ ⇒ площади $\times k^2$, объёмы $\times k^3$.

✅ Угловая пирамида $ABDA_1$ — $\frac16$ параллелепипеда; пирамида $A_1ABCD$ — $\frac13$.

✅ Отсечённая подобная пирамида: $V_{\text{мал}} = k^3 V$.

✅ Составные тела: объём — сложение и вычитание, площадь — учёт исчезнувших и появившихся граней.

Связь с другими темами курса

Что нужно было знать до этого урока:

• Периметр, площадь, объём — первые формулы для прямоугольника и коробки
• Прямоугольный треугольник — теорема Пифагора внутри каждой пирамиды
• Площади фигур — площади оснований: треугольники, ромбы, правильные многоугольники

Что изучить дальше:

• Тела вращения — цилиндр и конус как «круглые» призма и пирамида, те же $S \cdot h$ и $\frac13 S h$
• Стереометрия: углы и расстояния — следующая ступень: задачи второй части ЕГЭ
• Определённый интеграл — откуда на самом деле берётся $\frac13$
• Смешанное произведение — объём параллелепипеда и тетраэдра через координаты векторов
• Векторы на плоскости и в пространстве — координатный язык для многогранников

Где это нужно в жизни:

• 🎮 В играх: полигональные модели, коллайдеры-боксы, воксельные миры — всё это многогранники.
• 💻 В программировании: объём меша как сумма знаковых объёмов тетраэдров (trimesh, Blender, слайсеры 3D-принтеров).
• 🤖 В ML/AI: 3D-детекция объектов для беспилотников (3D bounding boxes и 3D IoU), воксельные нейросети, где память растёт как $k^3$.
• 🔬 В инженерии: метод конечных элементов разбивает деталь на тетраэдры; объём и масса — первое, что считает любая CAD-система.

Интересные факты

💡 Московский папирус. Одна из самых древних формул объёма — для усечённой пирамиды — хранится в Москве, в ГМИИ имени Пушкина. Её вычислил египетский писец почти 4000 лет назад.

💡 Третья проблема Гильберта решена быстрее всех из 23 — в том же 1900 году. Макс Ден доказал, что правильный тетраэдр нельзя разрезать на куски и сложить из них куб, а значит, у объёма многогранников есть инвариант посложнее, чем «сколько клеток».

💡 Формула Эйлера как юнит-тест. Для любого выпуклого многогранника В − Р + Г = 2: у куба $8 - 12 + 6 = 2$, у тетраэдра $4 - 6 + 4 = 2$. В 3D-программах похожей проверкой ловят «дырявые» и повреждённые сетки.

💡 Октаэдр в кубе. Октаэдр на центрах граней куба занимает ровно $\frac16$ его объёма (задание 27), а куб на центрах граней октаэдра — $\frac{2}{9}$ объёма октаэдра. Такие двойственные пары многогранников используют в 3D-графике для генерации сфероподобных сеток.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Правило «квадрат-куб» Площадь — $k^2$, объём — $k^3$. Если в задаче «во сколько раз», сначала найди $k$, а не сами величины. Пример: объём одной пирамиды в 8 раз больше, чем у подобной ей, — значит, рёбра больше в 2 раза, а поверхность — в 4 раза.

2. Неизвестная площадь основания сокращается В задачах с переливанием и погружением пиши уравнение $S_1 h_1 = S_2 h_2$ и не ищи площадь — она почти всегда сокращается. Пример: сторона основания в 4 раза больше → уровень в 16 раз ниже.

3. Угловые пирамиды: $\frac16$ и $\frac13$ Пирамида на трёх рёбрах из одной вершины параллелепипеда — $\frac16$ его объёма; пирамида с основанием-гранью и вершиной на противоположной грани — $\frac13$.

4. Составной многогранник: «сдвинь грани» Если все двугранные углы прямые, «выдвигай» ступеньки мысленно до ограничивающего параллелепипеда — площадь горизонтальных и вертикальных полос часто сохраняется, и остаётся учесть только «торцы».

5. Три треугольника правильной пирамиды Держи в голове: $(h, r, l)$, $(h, R, b)$ и боковую грань $(l, \frac a2, b)$. Любые два известных отрезка из пирамиды почти всегда лежат в одном из них.

6. Проверка ответа размерностью Объём — куб длины, площадь — квадрат. Если в формуле объёма у тебя получилось произведение двух длин — где-то потерян множитель.

💡 Совет: выучи не 15 формул, а 3 идеи — «площадь основания × высота», «пирамида — треть призмы» и «квадрат-куб». Всё остальное из них выводится за секунды.

Дальше: тела вращения — цилиндр, конус и шар, где те же идеи работают для круглых тел.