Стереометрия: прямые и плоскости, углы и расстояния, сечения 🧊

Открой любую 3D-игру. Персонаж бежит по полу, камера следит за ним сверху-сбоку, свет падает из окна и отбрасывает тени, пуля летит по прямой и должна «понять», попала она в стену или нет. Под капотом движка (Unity, Unreal, Godot — неважно) в каждом кадре решаются одни и те же задачи: где прямая пересекает плоскость, под каким углом луч света падает на поверхность, на каком расстоянии точка находится от стены. Ровно эти задачи стоят в задании 15 профильного ЕГЭ — только там вместо уровня игры куб или пирамида, а вместо видеокарты — ты с карандашом.

Многие боятся стереометрии, потому что «не вижу картинку в голове». Хорошая новость: видеть всё не нужно. Почти каждая задача про углы и расстояния в пространстве сводится к одному-двум плоским треугольникам, а если и их не видно — к арифметике с координатами. У тебя будет два инструмента: классический (найти нужный треугольник, доказать перпендикулярность, посчитать) и координатный (ввести оси, записать точки, подставить в формулы). Первый быстрее и красивее, второй надёжнее и почти не требует пространственного воображения.

А ещё в конце урока выяснится, что формула расстояния от точки до плоскости — это буквально то, как работает классический алгоритм машинного обучения SVM. Он ищет плоскость (гиперплоскость), которая разделяет два класса объектов, а «уверенность» модели в ответе — это расстояние от точки до этой плоскости.

Ты узнаешь:

🎯 Как устроены прямые и плоскости в пространстве: когда они параллельны, когда перпендикулярны и как это доказывать — включая главный инструмент, теорему о трёх перпендикулярах

🎯 Как находить угол между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями, а также расстояние от точки до плоскости и между скрещивающимися прямыми

🎯 Как строить сечения многогранников методом следов

🎯 Как решать всё то же самое координатным методом — вектор нормали, уравнение плоскости и четыре формулы, которые закрывают почти всё задание 15

История: откуда это взялось? 📜

Систематическую стереометрию записал Евклид около 300 года до н. э.: XI книга «Начал» целиком посвящена прямым и плоскостям в пространстве. Там уже есть признак перпендикулярности прямой и плоскости («если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна плоскости») — тот самый, которым ты будешь пользоваться в каждой задаче. Греки решали вполне практическую проблему: как строить храмы, у которых колонны строго вертикальны, а крыша правильно опирается на стены, и как вычислять объёмы амбаров и пирамид.

Следующий рывок сделали инженеры. В конце XVIII века французский математик Гаспар Монж придумал начертательную геометрию — способ изображать трёхмерные детали на плоском чертеже двумя проекциями (вид сверху и вид спереди). Метод считался военной тайной: по нему рассчитывали укрепления так, чтобы ни один участок крепости не простреливался. Проекции, перпендикуляры, следы плоскостей — всё, что ты встретишь в этом уроке, Монж использовал для фортификации. Кстати, «метод следов» для сечений — прямой потомок его идей.

Параллельно развивалась идея Рене Декарта (1637): каждой точке сопоставить числа — координаты, и тогда геометрия превращается в алгебру. Для пространства её довели до конца Эйлер и Лагранж в XVIII веке: появились уравнение плоскости и вектор нормали. Сегодня это рабочий язык компьютерной графики: каждая полигональная модель в игре — это набор треугольников, у каждого хранится нормаль, и по углу между нормалью и лучом света шейдер решает, насколько ярко закрасить пиксель.

Блок 1: Прямые и плоскости — параллельность, перпендикулярность, сечения

Давай разберёмся с интуицией

На плоскости две прямые либо пересекаются, либо параллельны. В пространстве появляется третий вариант — скрещивающиеся прямые: они не пересекаются и не параллельны. Представь развязку: одна дорога идёт по земле, другая — по эстакаде над ней в другом направлении. Машины на них никогда не столкнутся, но и «параллельными» дороги не назовёшь. Формально: прямые скрещиваются, если не лежат в одной плоскости.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (нижнее основание $ABCD$, верхнее $A_1B_1C_1D_1$, боковые рёбра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$) примеры такие:

• $AB$ и $DC$ — параллельны (лежат в плоскости нижней грани и не пересекаются);
• $AB$ и $BC$ — пересекаются в точке $B$;
• $AB$ и $CC_1$ — скрещиваются (одна «внизу слева направо», другая «вертикально справа сзади»).

Для прямой и плоскости вариантов тоже три: прямая лежит в плоскости, пересекает её в одной точке или параллельна ей. Для двух плоскостей — два: пересекаются по прямой или параллельны.

Вот ключевые утверждения, на которых держится вся стереометрия. Их стоит знать наизусть, потому что в задании 15 каждое «докажите» опирается на одно из них.

Признак параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-нибудь прямой этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Признак параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна плоскости (а значит, и любой прямой этой плоскости).

Признак перпендикулярности плоскостей: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Слово «пересекающимся» в третьем признаке критично. Если прямая перпендикулярна двум параллельным прямым плоскости, это ничего не гарантирует: представь карандаш, лежащий на столе поперёк линеек, — он перпендикулярен обеим линейкам, но плоскости стола вовсе не перпендикулярен.

Аналогия

Перпендикуляр к плоскости — это отвес строителя. Если нитка с грузиком перпендикулярна двум непараллельным доскам пола, то пол горизонтален, и нитка перпендикулярна вообще любой линии на полу, которую ты можешь провести мелом. Проверять все линии не нужно — хватает двух пересекающихся. Это как проверка камеры в игре: чтобы понять, что камера смотрит строго вниз, достаточно проверить два направления на полу, а не все.

Теорема о трёх перпендикулярах

Теперь главное оружие. Пусть из точки $S$ вне плоскости опущен перпендикуляр $SO$ на плоскость и проведена наклонная $SA$. Отрезок $OA$ — проекция наклонной на плоскость (как тень от палки, когда солнце в зените).

Теорема о трёх перпендикулярах (ТТП): прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции этой наклонной.

«Три перпендикуляра» — это $SO \perp$ плоскости, прямая $\perp$ проекции, прямая $\perp$ наклонной. Два дают третий.

Почему так происходит? Разберём по шагам. Пусть прямая $l$ лежит в плоскости и $l \perp OA$. Кроме того, $l \perp SO$, потому что $SO$ перпендикулярна всей плоскости. Значит, $l$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $SO$ и $OA$ плоскости $SOA$. По признаку $l \perp$ плоскости $SOA$, а значит, $l \perp SA$. Обратное утверждение доказывается так же, только начинаем с $l \perp SA$ и $l \perp SO$.

Практический смысл: вместо того чтобы проверять перпендикулярность «кривой» наклонной, проверяй перпендикулярность её тени — а тень лежит в плоскости, где работает обычная планиметрия.

Сечения многогранников: метод следов

Сечение — это многоугольник, по которому плоскость режет многогранник. Представь, что режешь кусок сыра-куб одним движением ножа: срез и есть сечение. Чтобы его построить, нужно найти отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани.

Два правила, которые делают почти всю работу:

1. Если две точки секущей плоскости лежат в одной грани, соединяй их — это сторона сечения.
2. Если секущая плоскость пересекает две параллельные грани, то отрезки сечения на них параллельны (параллельные плоскости третья плоскость режет по параллельным прямым).

Когда ни одно правило не помогает, включается метод следов. След — это прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость какой-нибудь грани (обычно основания). Алгоритм:

1. Найди две точки секущей плоскости, лежащие в плоскости основания (часто — продолжая рёбра до пересечения с прямыми, уже лежащими в секущей плоскости).
2. Проведи через них след.
3. Продолжи рёбра основания до пересечения со следом — получишь «опорные» точки.
4. Соединяй опорные точки с известными точками сечения на боковых гранях — эти прямые режут рёбра, давая новые вершины сечения.

Звучит абстрактно, поэтому сразу пример.

Пример 1 (лёгкий): доказываем перпендикулярность через ТТП

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ докажи, что диагональ $B_1D$ перпендикулярна диагонали основания $AC$.

Решение:

Шаг 1. Прямая $B_1D$ — наклонная к плоскости $ABC$. Ребро $BB_1$ перпендикулярно основанию (куб прямой), поэтому проекция точки $B_1$ на основание — точка $B$, а проекция всей наклонной $B_1D$ — отрезок $BD$.

Шаг 2. $AC$ и $BD$ — диагонали квадрата $ABCD$, а они перпендикулярны: $AC \perp BD$.

Шаг 3. Прямая $AC$ лежит в плоскости основания и перпендикулярна проекции $BD$. По теореме о трёх перпендикулярах $AC \perp B_1D$.

Проверим наш ответ координатами. Пусть ребро равно 4, $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $D(0;4;0)$, $B_1(4;0;4)$, $C(4;4;0)$. Тогда $\vec{B_1D} = (-4;4;-4)$, $\vec{AC} = (4;4;0)$, скалярное произведение: $-16 + 16 + 0 = 0$. Перпендикулярны ✅

Ответ: $B_1D \perp AC$, что и требовалось доказать.

Пример 2 (средний): простое сечение и его площадь

Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 4. Точка $M$ — середина ребра $CC_1$. Построй сечение плоскостью $BDM$ и найди его площадь.

Решение:

Шаг 1 — построение. Точки $B$ и $D$ лежат в нижней грани — соединяем, это сторона $BD$. Точки $B$ и $M$ лежат в грани $BCC_1B_1$ — соединяем. Точки $D$ и $M$ лежат в грани $DCC_1D_1$ — соединяем. Получился треугольник $BDM$, и больше плоскость куб не режет (все три вершины сечения мы нашли, а остальные рёбра она не задевает — вершина $C$ «отрезана» маленькой пирамидкой $MBCD$).

Шаг 2 — стороны. $BD = 4\sqrt{2}$ (диагональ квадрата). $BM = DM = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20}$ (гипотенуза треугольника с катетами «ребро 4» и «полребра 2»). Треугольник равнобедренный.

Шаг 3 — высота. Пусть $O$ — центр квадрата $ABCD$, середина $BD$. В равнобедренном треугольнике медиана $MO$ является высотой. Найдём её из прямоугольного треугольника $MCO$ (угол $C$ прямой, так как $MC \perp$ основанию): $CO = \frac{1}{2}AC = 2\sqrt{2}$, $MC = 2$, значит

Шаг 4 — площадь.

Ответ: $4\sqrt6$.

Пример 3 (сложный): сечение методом следов

Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 6. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $BC$. Построй сечение плоскостью $MND_1$ и найди, в каком отношении оно делит ребро $AA_1$.

Решение:

Шаг 1. $M$ и $N$ лежат в нижней грани — отрезок $MN$ сторона сечения. Но $D_1$ находится наверху, с $M$ и $N$ в одной грани не лежит. Нужны следы.

Шаг 2 — опорные точки. Прямая $MN$ лежит и в секущей плоскости, и в плоскости основания — это и есть след. Продолжим $MN$ до пересечения с прямыми $DA$ и $DC$ (они тоже в основании):

• $MN \cap DA = X$,
• $MN \cap DC = Y$.

Сколько это в длинах? Треугольник $MBN$ равнобедренный прямоугольный ($MB = BN = 3$). Прямая $MN$ идёт под углом $45°$ к сторонам, поэтому треугольник $XAM$ тоже равнобедренный прямоугольный: $XA = AM = 3$. Аналогично $CY = CN = 3$.

Шаг 3 — режем боковые рёбра. Точки $X$ и $D_1$ лежат в секущей плоскости и обе — в плоскости грани $ADD_1A_1$. Проведём $XD_1$: она пересечёт ребро $AA_1$ в точке $K$. Аналогично $YD_1$ пересечёт $CC_1$ в точке $L$.

Шаг 4 — считаем $AK$. Треугольники $XAK$ и $XDD_1$ подобны (у них общий угол при $X$, а $AK \parallel DD_1$). Коэффициент подобия:

Значит, $AK = 2$, $KA_1 = 4$, $AK : KA_1 = 1 : 2$. По симметрии $CL = 2$.

Шаг 5 — итог. Сечение — пятиугольник $MNLD_1K$.

Проверим наш ответ координатами: $A(0;0;0)$, $B(6;0;0)$, $C(6;6;0)$, $D(0;6;0)$, $D_1(0;6;6)$. $M(3;0;0)$, $N(6;3;0)$. Прямая $MN$: $x - y = 3$; при $x=0$ получаем $X(0;-3;0)$. На отрезке от $D_1(0;6;6)$ до $X(0;-3;0)$ точка с $y=0$ соответствует $2/3$ пути, её высота $z = 6 - \frac23 \cdot 6 = 2$. То есть $K(0;0;2)$ ✅

Ответ: $AK : KA_1 = 1 : 2$; сечение — пятиугольник.

Почему это важно

В задании 15 почти всегда два пункта: а) доказать и б) вычислить. Пункт «а» — это ровно признаки из этого блока и ТТП. Эксперты ставят балл только за доказательство со ссылками на теоремы, а не за «видно из рисунка». Сечения нужны, чтобы вообще увидеть фигуру, о которой спрашивают: часто в пункте «б» просят площадь сечения или расстояние до плоскости сечения. В 3D-графике то же самое называется clipping — отсечение геометрии плоскостью камеры: движок в каждом кадре «режет» модели плоскостями пирамиды видимости, и это ровно построение сечения.

Блок 2: Углы и расстояния — классический метод

Давай разберёмся с интуицией

Главная идея блока: любой угол и любое расстояние в пространстве определяются так, чтобы в итоге получился плоский объект. Разберём все пять величин.

1. Угол между скрещивающимися прямыми. Прямые не пересекаются — как мерить угол? Переносим одну из них параллельно, пока она не пересечёт вторую. Угол между пересекающимися копиями и есть угол между скрещивающимися прямыми. Он всегда от $0°$ до $90°$.

2. Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией на плоскость. Если прямая перпендикулярна плоскости, угол $90°$; если параллельна — $0°$.

3. Угол между плоскостями (и двугранный угол). Берём линию пересечения плоскостей и в каждой плоскости проводим перпендикуляр к ней из одной точки. Угол между этими перпендикулярами — линейный угол двугранного угла. Угол между плоскостями берут от $0°$ до $90°$.

4. Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Это самое короткое из всех расстояний от точки до точек плоскости.

5. Расстояние между скрещивающимися прямыми — длина их общего перпендикуляра (отрезка, перпендикулярного обеим прямым, с концами на них). Удобно искать иначе: построить плоскость через одну прямую параллельно второй, тогда искомое расстояние равно расстоянию от любой точки второй прямой до этой плоскости.

Аналогия

Угол между прямой и плоскостью — это угол между палкой, воткнутой в землю наклонно, и её тенью в полдень. Солнце прямо над головой — лучи перпендикулярны земле, тень ровно под палкой — это и есть проекция. Если палка стоит вертикально, тень превращается в точку, а угол $90°$.

Двугранный угол — раскрытая книга. Корешок — линия пересечения, страницы — полуплоскости. Чтобы измерить раскрытие, нельзя мерить «по диагонали страницы» — нужно взять линии, перпендикулярные корешку (например, нижние края страниц, если книга стоит на столе). Именно поэтому в линейном угле обе стороны перпендикулярны ребру.

Расстояние между скрещивающимися прямыми — минимальное расстояние между самолётами на двух эшелонах, летящими разными курсами. Диспетчеру важна именно эта величина: насколько близко траектории подходят друг к другу.

Полезные формулы классического метода:

• Угол между прямой и плоскостью: $\sin\varphi = \dfrac{h}{l}$, где $l$ — длина отрезка наклонной, $h$ — расстояние от его конца до плоскости.
• Метод объёмов для расстояния от точки до плоскости: если $V$ — объём пирамиды с вершиной в точке и основанием-треугольником площади $S$ в плоскости, то $d = \dfrac{3V}{S}$.
• «Прямоугольный угол» (три взаимно перпендикулярных ребра длины $a$, $b$, $c$ из одной вершины): расстояние от этой вершины до плоскости через концы рёбер находится из формулы $\dfrac{1}{d^2} = \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2}$.

Последняя формула — аналог формулы высоты прямоугольного треугольника $\frac{1}{h^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$, только в пространстве. Её можно вывести тем же методом объёмов.

Пример 1 (лёгкий): угол между скрещивающимися прямыми

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найди угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

Решение:

Шаг 1. Прямые скрещиваются. Перенесём $BC_1$ параллельно: четырёхугольник $ABC_1D_1$ — прямоугольник (у него $AB \parallel D_1C_1$ и $AB = D_1C_1$), поэтому $BC_1 \parallel AD_1$. Значит, искомый угол равен углу между $AB_1$ и $AD_1$, то есть углу $B_1AD_1$.

Шаг 2. Рассмотрим треугольник $AB_1D_1$. Все три его стороны — диагонали граней куба: $AB_1 = AD_1 = B_1D_1 = a\sqrt2$. Треугольник равносторонний, все углы по $60°$.

Ответ: $60°$.

Пример 2 (средний): угол между прямой и плоскостью и двугранный угол

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна $4\sqrt2$, боковое ребро $SA = 5$. Найди тангенс угла между ребром $SA$ и основанием, а также тангенс угла между боковой гранью $SAB$ и основанием.

Решение:

Шаг 1. У правильной пирамиды вершина проектируется в центр основания $O$ — точку пересечения диагоналей квадрата. $AC = 4\sqrt2 \cdot \sqrt2 = 8$, поэтому $OA = 4$.

Шаг 2. Треугольник $SOA$ прямоугольный: $SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{25 - 16} = 3$. Проекция $SA$ на основание — отрезок $OA$, значит, угол между $SA$ и основанием — это $\angle SAO$:

Шаг 3. Для двугранного угла при ребре $AB$ нужен линейный угол. Пусть $H$ — середина $AB$. Тогда $OH \perp AB$ (в квадрате отрезок от центра к середине стороны перпендикулярен стороне), $OH = \frac12 \cdot 4\sqrt2 = 2\sqrt2$. По ТТП и $SH \perp AB$ (или проще: $SH$ — медиана равнобедренного треугольника $SAB$, значит, высота). Обе прямые перпендикулярны ребру $AB$, поэтому $\angle SHO$ — линейный угол.

Шаг 4.

Ответ: $0{,}75$ и $\dfrac{3\sqrt2}{4}$.

Пример 3 (сложный): расстояние от точки до плоскости методом объёмов

Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 6. Найди расстояние от вершины $A$ до плоскости $A_1BD$.

Решение:

Шаг 1 — идея. Строить перпендикуляр из $A$ на плоскость $A_1BD$ неудобно: неясно, куда он падает. Зато тетраэдр $AA_1BD$ очень удобен: его объём легко посчитать двумя способами.

Шаг 2 — объём «снизу». Возьмём основанием треугольник $ABD$ (прямоугольный, катеты 6 и 6, площадь 18), высотой — ребро $AA_1 = 6$:

Шаг 3 — объём «сбоку». Теперь основание — треугольник $A_1BD$. Его стороны — диагонали граней, все равны $6\sqrt2$, треугольник равносторонний:

Высота к этому основанию — ровно искомое расстояние $d$: $V = \frac13 \cdot S \cdot d$.

Шаг 4.

Проверим наш ответ формулой «прямоугольного угла»: из вершины $A$ выходят три взаимно перпендикулярных ребра длины 6, их концы — $B$, $D$, $A_1$. $\frac{1}{d^2} = \frac1{36}+\frac1{36}+\frac1{36} = \frac1{12}$, $d = \sqrt{12} = 2\sqrt3$ ✅

Ответ: $2\sqrt3$.

Любопытно: диагональ куба $AC_1 = 6\sqrt3$, а найденное расстояние ровно в три раза меньше. Это не совпадение: диагональ $AC_1$ перпендикулярна плоскости $A_1BD$ и делится ею (и параллельной плоскостью $CB_1D_1$) на три равные части.

Почему это важно

Классический метод — это мышление, а не только техника. Он приучает искать «правильный» треугольник и доказывать, почему угол в нём прямой. На ЕГЭ он часто даёт решение в три строки там, где координаты требуют страницы. В графике те же понятия живут под другими именами: угол между лучом света и поверхностью определяет яркость (закон Ламберта: яркость пропорциональна косинусу угла между лучом и нормалью), а расстояние до плоскости — это проверка «прошёл ли персонаж сквозь стену».

Блок 3: Координатный метод — векторы, нормаль, формулы

Давай разберёмся с интуицией

Когда треугольник не находится или доказательство перпендикулярности не придумывается, включаем «тяжёлую артиллерию»: вводим систему координат. Тогда каждая точка — тройка чисел, каждая прямая — точка плюс направляющий вектор, каждая плоскость — уравнение $ax + by + cz + d = 0$. Геометрия превращается в арифметику, а арифметику можно проверить.

Ключевой герой — вектор нормали $\vec n = (a; b; c)$. Это вектор, перпендикулярный плоскости. Коэффициенты при $x$, $y$, $z$ в уравнении плоскости — это и есть координаты нормали. Почему? Если точки $M_1$ и $M_2$ лежат в плоскости, то, вычтя их уравнения, получим $a(x_2-x_1) + b(y_2-y_1) + c(z_2-z_1) = 0$, то есть $\vec n \cdot \vec{M_1M_2} = 0$: нормаль перпендикулярна любому вектору внутри плоскости.

Аналогия

Представь, что плоскость — это экран телефона, а нормаль — направление, куда экран «смотрит». Чтобы описать положение экрана в пространстве, не нужно перечислять все его точки: достаточно сказать, куда он смотрит, и одну точку, через которую он проходит. В 3D-моделях у каждого треугольника хранится именно нормаль — по ней видеокарта решает, повернут ли полигон к камере (иначе его можно не рисовать вовсе — это называется back-face culling).

Как ввести систему координат

• Куб и прямоугольный параллелепипед: начало в вершине $A$, оси вдоль $AB$, $AD$, $AA_1$. Все вершины получают координаты из нулей и длин рёбер.
• Правильная четырёхугольная пирамида: начало в вершине основания, оси вдоль двух сторон основания, вершина $S$ — над центром, $S\left(\frac a2; \frac a2; h\right)$. Или начало в центре $O$.
• Правильная треугольная призма/пирамида: начало в вершине $A$, ось $x$ вдоль $AB$, ось $y$ в плоскости основания перпендикулярно $AB$. Тогда $B(a;0;0)$, $C\left(\frac a2; \frac{a\sqrt3}{2}; 0\right)$, центр основания $O\left(\frac a2; \frac{a\sqrt3}{6}; 0\right)$.

Как найти уравнение плоскости по трём точкам

Ищем нормаль $\vec n = (a; b; c)$, перпендикулярную двум векторам плоскости $\vec u$ и $\vec v$: решаем систему $\vec n \cdot \vec u = 0$, $\vec n \cdot \vec v = 0$ (одну координату нормали выбираем удобно, например $1$). Потом подставляем одну из точек, чтобы найти $d$. Для плоскостей, отсекающих на осях отрезки $p$, $q$, $r$, работает быстрый вариант — уравнение в отрезках: $\dfrac{x}{p} + \dfrac{y}{q} + \dfrac{z}{r} = 1$.

Четыре формулы координатного метода ($\vec u$, $\vec v$ — направляющие векторы прямых, $\vec n$, $\vec n_1$, $\vec n_2$ — нормали плоскостей):

$$\cos\varphi_{\text{прямые}} = \frac{|\vec u \cdot \vec v|}{|\vec u|\,|\vec v|}, \qquad \sin\varphi_{\text{прямая, плоскость}} = \frac{|\vec u \cdot \vec n|}{|\vec u|\,|\vec n|},$$$$\cos\varphi_{\text{плоскости}} = \frac{|\vec n_1 \cdot \vec n_2|}{|\vec n_1|\,|\vec n_2|}, \qquad d\big(M_0, \text{плоскость}\big) = \frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.$$

Расстояние между скрещивающимися прямыми: проводим через первую прямую плоскость с нормалью $\vec n$, перпендикулярной обоим направляющим векторам ($\vec n \cdot \vec u = 0$, $\vec n \cdot \vec v = 0$), и считаем расстояние от любой точки второй прямой до этой плоскости.

Обрати внимание на синус во второй формуле. Угол между $\vec u$ и нормалью дополняет угол между прямой и плоскостью до $90°$, а $\cos(90° - \varphi) = \sin\varphi$. Модули везде нужны, потому что углы между прямыми и плоскостями по определению не больше $90°$.

Пример 1 (лёгкий): расстояние от точки до плоскости по формуле

Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 2. Найди расстояние от вершины $C_1$ до плоскости $A_1BD$.

Решение:

Шаг 1 — координаты. $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $D(0;2;0)$, $A_1(0;0;2)$, $C_1(2;2;2)$.

Шаг 2 — уравнение плоскости. Плоскость $A_1BD$ отсекает на осях отрезки 2, 2, 2. Уравнение в отрезках: $\frac x2 + \frac y2 + \frac z2 = 1$, или $x + y + z - 2 = 0$. Нормаль $\vec n = (1;1;1)$.

Шаг 3 — формула.

Проверим наш ответ: диагональ $AC_1 = 2\sqrt3$, от $A$ до плоскости — треть диагонали, то есть $\frac{2\sqrt3}{3}$; от $C_1$ — две трети: $\frac{4\sqrt3}{3}$ ✅ (сравни с примером 3 блока 2).

Ответ: $\dfrac{4\sqrt3}{3}$.

Пример 2 (средний): угол между плоскостями

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найди тангенс угла между плоскостями $AB_1C$ и $ABC$.

Решение:

Шаг 1. Пусть ребро 1: $A(0;0;0)$, $B_1(1;0;1)$, $C(1;1;0)$.

Шаг 2 — нормаль к $AB_1C$. Ищем $\vec n = (a;b;c)$ с условиями $\vec n \cdot \vec{AB_1} = a + c = 0$ и $\vec n \cdot \vec{AC} = a + b = 0$. Возьмём $a = -1$: тогда $c = 1$, $b = 1$. $\vec n = (-1;1;1)$. Плоскость проходит через начало координат, уравнение $-x + y + z = 0$.

Шаг 3 — нормаль к основанию $ABC$: это плоскость $z = 0$, $\vec n_2 = (0;0;1)$.

Шаг 4.

Проверим наш ответ классикой: линия пересечения плоскостей — $AC$. Линейный угол — $\angle B_1OB$, где $O$ — центр квадрата ($BO \perp AC$, и по ТТП $B_1O \perp AC$). $\operatorname{tg}\angle B_1OB = \frac{BB_1}{BO} = \frac{1}{\sqrt2/2} = \sqrt2$ ✅

Ответ: $\sqrt2$.

Пример 3 (сложный): расстояние между скрещивающимися прямыми

В кубе с ребром 1 найди расстояние между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

Решение:

Шаг 1. $A(0;0;0)$, $B_1(1;0;1)$, $B(1;0;0)$, $C_1(1;1;1)$. Направляющие векторы: $\vec u = \vec{AB_1} = (1;0;1)$, $\vec v = \vec{BC_1} = (0;1;1)$.

Шаг 2 — нормаль, перпендикулярная обеим прямым. $\vec n = (a;b;c)$: $a + c = 0$, $b + c = 0$. Пусть $c = 1$: $\vec n = (-1;-1;1)$.

Шаг 3 — плоскость через прямую $AB_1$ с этой нормалью. Она проходит через $A(0;0;0)$: $-x - y + z = 0$. Прямая $BC_1$ ей параллельна (её направляющий вектор перпендикулярен нормали).

Шаг 4 — расстояние от точки $B(1;0;0)$ второй прямой до этой плоскости:

Ответ: $\dfrac{\sqrt3}{3}$.

Классически эту задачу решают так: $BC_1 \parallel AD_1$, значит, $BC_1 \parallel$ плоскости $AB_1D_1$, и ответ — расстояние от $B$ до плоскости $AB_1D_1$. А это снова «треть диагонали куба» — $\frac{\sqrt3}{3}$ при ребре 1. Два метода, один ответ.

Почему это важно: SVM и 3D-движки

Формула расстояния от точки до плоскости — одна из самых «рабочих» в машинном обучении. Метод опорных векторов (SVM) решает задачу классификации так: каждый объект — точка в пространстве признаков (например, $x$ — длина письма, $y$ — число ссылок, $z$ — доля заглавных букв), и нужно найти плоскость $w_1x + w_2y + w_3z + b = 0$, которая разделяет два класса («спам» и «не спам»). Для нового объекта считается значение $w_1x_0 + w_2y_0 + w_3z_0 + b$:

• знак говорит, по какую сторону плоскости точка — это и есть предсказанный класс;
• модуль, делённый на $|\vec w|$, — расстояние до плоскости, то есть «уверенность» модели.

SVM выбирает ту плоскость, у которой расстояние до ближайших точек обоих классов (зазор, margin) максимально. Ближайшие точки называются опорными векторами — отсюда название метода. В признаковом пространстве размерности 1000 это уже гиперплоскость, но формула та же: $\frac{|\vec w \cdot \vec x_0 + b|}{|\vec w|}$.

А в 3D-движках плоскость в виде «нормаль + $d$» — основной тип данных: знак выражения $ax + by + cz + d$ мгновенно отвечает, по какую сторону стены находится персонаж, а отражение мяча от стены — это разворот скорости относительно нормали.

Практика: 30 заданий

Обозначения: в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ нижнее основание $ABCD$, рёбра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$ вертикальны. В правильной пирамиде $SABCD$ (или $SABC$) вершина $S$ проектируется в центр основания $O$.

Базовые (задания 1–10)

Задание 1: Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 5. Найди расстояние между прямыми $AB$ и $C_1D_1$.

Задание 2: Найди угол между прямыми $AA_1$ и $BD$ в кубе.

Задание 3: Найди угол между прямой $A_1B$ и плоскостью $ABC$ в кубе.

Задание 4: Найди угол между прямыми $AD_1$ и $B_1C$ в кубе.

Задание 5: Измерения прямоугольного параллелепипеда $AB = 3$, $AD = 4$, $AA_1 = 12$. Найди длину диагонали $B_1D$ и синус угла между ней и плоскостью основания.

Задание 6: Точка $S$ удалена от плоскости на 12. Наклонная $SA$ равна 13. Найди длину проекции наклонной на плоскость.

Задание 7: Из точки $M$ к плоскости проведены перпендикуляр $MO = 6$ и наклонная $MA = 10$. Найди расстояние от $O$ до $A$ и синус угла между наклонной и плоскостью.

Задание 8: $ABCD$ — прямоугольник, $AB = 3$, $BC = 4$. Отрезок $SA$ перпендикулярен плоскости прямоугольника, $SA = 4$. Докажи, что $SB \perp BC$, и найди расстояние от $S$ до прямой $BC$.

Задание 9: Даны точки $A(1;2;3)$ и $B(3;-1;9)$. Найди длину отрезка $AB$.

Задание 10: Плоскость задана уравнением $2x - y + 2z - 3 = 0$. Найди расстояние от начала координат и от точки $M(3;0;3)$ до этой плоскости.

Средние (задания 11–20)

Задание 11: Ребро куба равно 3. Найди расстояние от вершины $B$ до плоскости $AB_1C$.

Задание 12: Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ равны 2. Найди угол между боковым ребром и плоскостью основания.

Задание 13: В той же пирамиде (все рёбра равны 2) найди угол между прямыми $SA$ и $CD$.

Задание 14: Найди тангенс угла между плоскостями $A_1BD$ и $ABC$ в кубе.

Задание 15: В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна 6, боковое ребро 3. Найди угол между плоскостями $A_1BC$ и $ABC$.

Задание 16: Ребро куба равно 6. Постройте сечение плоскостью, проходящей через середины рёбер $AB$, $AD$ и $AA_1$, и найди его площадь.

Задание 17: Ребро куба равно 4, точка $M$ — середина $B_1C_1$. Построй сечение плоскостью $ACM$ и найди его площадь.

Задание 18: Ребро куба равно 1. Найди косинус угла между диагоналями куба $AC_1$ и $BD_1$.

Задание 19: Ребро куба равно 6. Найди расстояние между прямыми $AA_1$ и $BD_1$.

Задание 20: Все рёбра правильной треугольной пирамиды (правильного тетраэдра) равны 6. Найди её высоту.

Продвинутые (задания 21–30)

Задание 21: (формат ЕГЭ) Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 6. а) Докажи, что прямая $BD_1$ перпендикулярна плоскости $AB_1C$. б) Найди расстояние от точки $D_1$ до плоскости $AB_1C$.

Задание 22: В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания 6, высота 4. Найди расстояние от точки $A$ до плоскости $SCD$.

Задание 23: Все рёбра правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равны 2. Найди косинус угла между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

Задание 24: В прямоугольном параллелепипеде $AB = AD = 4$, $AA_1 = 2$. Найди расстояние от точки $C$ до плоскости $BDC_1$.

Задание 25: Ребро куба равно 6. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $AD$. Построй сечение плоскостью $MNC_1$ методом следов и найди, в каком отношении оно делит ребро $BB_1$ (считая от $B$).

Задание 26: Ребро правильного тетраэдра $ABCD$ равно 4. Найди расстояние между скрещивающимися рёбрами $AB$ и $CD$.

Задание 27: Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ равны 2. Найди синус угла между прямой $SA$ и плоскостью $SBC$.

Задание 28: (формат ЕГЭ) Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 2, точка $M$ — середина ребра $CC_1$. а) Докажи, что $A_1M \perp BD$. б) Найди расстояние между прямыми $A_1M$ и $BD$.

Задание 29: (ML) Линейный классификатор в трёхмерном пространстве признаков задан плоскостью $2x - y + 2z - 6 = 0$: если $2x - y + 2z - 6 > 0$ — класс «+», иначе «−». Для объектов $P_1(3;0;3)$, $P_2(1;2;1)$, $P_3(0;0;0)$ найди класс и расстояние до разделяющей плоскости. В каком ответе модель наименее уверена?

Задание 30: (формат ЕГЭ) В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB = 6$, высота $SO = 6$. а) Докажи, что $SA \perp BC$. б) Найди расстояние между прямыми $SA$ и $BC$.

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: «Прямая перпендикулярна двум прямым плоскости — значит, перпендикулярна плоскости» Неправильно: проверить перпендикулярность двум параллельным прямым (например, $AB$ и $DC$) и сделать вывод. Правильно: две прямые в плоскости должны пересекаться. Почему важно: на ЕГЭ эксперт снимет балл за пункт «а», даже если ответ в «б» верный.

❌ Ошибка 2: Использовать косинус вместо синуса в формуле угла между прямой и плоскостью Неправильно: $\cos\varphi = \frac{|\vec u \cdot \vec n|}{|\vec u||\vec n|}$ — это угол с нормалью, а не с плоскостью. Правильно: $\sin\varphi = \frac{|\vec u \cdot \vec n|}{|\vec u||\vec n|}$. Почему важно: получишь дополнительный угол ($90° - \varphi$), и ответ будет неверным при идеальной арифметике.

❌ Ошибка 3: Линейный угол «на глаз» Неправильно: в задаче на угол между гранью и основанием пирамиды взять угол между боковым ребром и основанием. Правильно: стороны линейного угла обязаны быть перпендикулярны линии пересечения плоскостей (у пирамиды — апофема и отрезок $OH$ к середине стороны), и это нужно обосновать (часто по ТТП). Почему важно: угол $SAO$ и угол $SHO$ в примере 2 блока 2 дают $0{,}75$ и $1{,}06$ — совсем разные ответы.

❌ Ошибка 4: Забыть модуль и получить тупой угол Неправильно: $\cos\varphi = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec u||\vec v|} = -\frac13$, «угол тупой». Правильно: угол между прямыми (и между плоскостями) от $0°$ до $90°$, поэтому берём модуль: $\cos\varphi = \frac13$. Почему важно: отрицательный косинус в ответе к задаче про угол между прямыми — гарантированная потеря балла.

❌ Ошибка 5: Неверные координаты вершин правильного треугольника Неправильно: $C(3;3;0)$ для треугольника со стороной 6. Правильно: $C\left(3; 3\sqrt3; 0\right)$ — высота равностороннего треугольника $\frac{a\sqrt3}{2}$, а центр $O\left(3;\sqrt3;0\right)$ (треть высоты). Почему важно: одна неверная координата ломает все дальнейшие вычисления, причём ошибку трудно найти.

❌ Ошибка 6: В сечении соединять точки, лежащие в разных гранях Неправильно: в задаче $MND_1$ провести отрезок $MD_1$ прямо сквозь куб. Правильно: соединять можно только точки одной грани; если таких нет — искать следы. Почему важно: «сечение», проведённое сквозь тело, — не сечение, за построение ставят 0.

❌ Ошибка 7: Расстояние между скрещивающимися прямыми как расстояние между «какими-то» точками Неправильно: в задаче про $AA_1$ и $BD_1$ ответить $AB = 6$. Правильно: нужен общий перпендикуляр или плоскость через одну прямую, параллельная другой. Почему важно: любой другой отрезок длиннее общего перпендикуляра — ответ получится завышенным.

Главное запомнить

📝 Ключевые понятия

✅ Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости; угол между ними — угол между параллельными им пересекающимися прямыми.

✅ Признак перпендикулярности: прямая $\perp$ двум пересекающимся прямым плоскости $\Rightarrow$ прямая $\perp$ плоскости и любой прямой в ней.

✅ ТТП: прямая в плоскости перпендикулярна наклонной $\Leftrightarrow$ перпендикулярна её проекции.

✅ Угол прямой и плоскости — угол с проекцией: $\sin\varphi = \frac{h}{l}$.

✅ Двугранный угол измеряется линейным углом: обе стороны перпендикулярны ребру.

✅ Расстояние от точки до плоскости: перпендикуляр, метод объёмов $d = \frac{3V}{S}$ или формула $\frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

✅ Расстояние между скрещивающимися — общий перпендикуляр, или расстояние от точки одной прямой до плоскости через другую, параллельной первой.

✅ Сечения: соединяй точки одной грани; параллельные грани режутся параллельно; иначе — метод следов.

✅ Координатный метод: нормаль $(a;b;c)$ — коэффициенты уравнения плоскости; угол прямой и плоскости через синус, остальные углы через косинус с модулем.

✅ Куб: диагональ $AC_1 \perp$ плоскости $A_1BD$, и эта плоскость отсекает треть диагонали.

✅ Прямоугольный угол: $\frac1{d^2} = \frac1{a^2} + \frac1{b^2} + \frac1{c^2}$.

Связь с другими темами курса

Что нужно было знать до этого урока:

• Многогранники — куб, призма, пирамида и их элементы; это «поле боя» задания 15.
• Тела вращения — цилиндр и конус тоже встречаются в задачах на сечения и углы (осевое сечение, угол образующей с основанием).
• Векторы на плоскости и в пространстве — координаты вектора, длина, действия.
• Скалярное произведение — основа всех формул углов и условия перпендикулярности.
• Теорема Пифагора и синус, косинус, тангенс — почти каждая задача заканчивается прямоугольным треугольником.
• Теорема косинусов — когда нужный треугольник не прямоугольный.

Что изучить дальше:

• Векторное произведение — быстрый способ получить нормаль к плоскости по двум векторам без решения системы.
• Смешанное произведение — объём тетраэдра по координатам, а значит, и метод объёмов «в числах».
• Задание 15 ЕГЭ — разбор формата и критериев оценивания.
• Вероятность для школьников — следующий урок серии.

Где это нужно в жизни:

• 🎮 В играх: проверка столкновений (по какую сторону стены персонаж), отражение мяча от поверхности, освещение по углу между лучом и нормалью.
• 🤖 В ML/AI: SVM и любой линейный классификатор — это гиперплоскость, а уверенность — расстояние до неё; в уроке про SVM эта идея развёрнута полностью.
• 🏗️ В инженерии и архитектуре: углы наклона кровли, расчёт уклонов пандусов, проекции в чертежах — наследие Монжа.
• 📷 В компьютерном зрении: оценка положения камеры относительно плоскости пола и стола — основа AR-приложений.

Интересные факты

💡 Начертательную геометрию засекретили. Метод Монжа долгие годы не разрешали публиковать: французские военные считали его стратегическим преимуществом в проектировании крепостей.

💡 Видеокарта считает миллиарды скалярных произведений в секунду. Для освещения каждого пикселя вычисляется $\vec n \cdot \vec l$ — скалярное произведение нормали и направления на источник света. Это прямая формула «косинус угла» из этого урока.

💡 Куб — идеальный тренажёр. В одном кубе есть все виды взаимного расположения прямых и плоскостей, все типы углов и расстояний, а сечениями куба можно получить треугольник, четырёхугольник, пятиугольник и даже правильный шестиугольник (плоскость через середины шести рёбер, перпендикулярная диагонали).

💡 SVM был королём ML до нейросетей. Идеи метода опорных векторов заложили Владимир Вапник и Алексей Червоненкис (советская школа!) ещё в 1960-е, а в 1990-е SVM на равных соперничал с нейросетями, например в распознавании рукописных цифр. Вся его геометрия — «найди плоскость, максимально удалённую от точек» — это расстояние от точки до плоскости.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Сначала проверь «треть диагонали». Если в кубе спрашивают расстояние от вершины до плоскости, проходящей через три соседние с ней вершины, ответ — $\frac{a\sqrt3}{3}$, а от противоположной вершины — $\frac{2a\sqrt3}{3}$. Пример: куб с ребром 6, расстояние от $A$ до $A_1BD$ — $2\sqrt3$.

2. Переноси точку вдоль параллельной прямой. Если прямая параллельна плоскости, все её точки одинаково удалены от плоскости. Выбирай ту, от которой считать удобнее (середина стороны, центр). Пример: задание 22 — вместо $A$ взяли середину $AB$.

3. Уравнение в отрезках. Если плоскость проходит через точки на осях $(p;0;0)$, $(0;q;0)$, $(0;0;r)$, её уравнение сразу $\frac xp + \frac yq + \frac zr = 1$ — никаких систем.

4. Проверяй нормаль подстановкой. Нашёл нормаль — умножь её скалярно на оба вектора плоскости: должно получиться 0 и 0. Десять секунд, а спасают от половины ошибок координатного метода.

5. Два метода — один ответ. В пункте «б» реши классически, а проверь координатами (или наоборот). В примерах этого урока это делалось постоянно — и каждый раз ловит арифметические ошибки.

6. Масштабируй куб. Углы не зависят от размера, поэтому в задачах на углы бери ребро 1 (или 2, если нужны середины рёбер) — дроби исчезнут.

💡 Совет: стереометрия учится руками. Возьми кубик Рубика или коробку и отметь на ней точки из задач — через неделю тренировок картинка начнёт строиться в голове сама. А когда не строится — есть координаты, и они не подведут.

Дальше: Вероятность для школьников: классическое определение и задачи ОГЭ/ЕГЭ.