Вероятность для школьников: классическое определение и задачи ОГЭ/ЕГЭ 🎲

Ты открываешь лутбокс в игре, и там написано: «шанс легендарного предмета 2%». Прогноз погоды обещает «вероятность дождя 70%». Нейросеть смотрит на фото и сообщает: «кошка — 0,93, собака — 0,05, лиса — 0,02». Во всех трёх случаях говорят на одном языке — языке вероятностей. И на ОГЭ (задание 10), и на ЕГЭ (задание 4) проверяют как раз базу этого языка: умеешь ли ты честно посчитать, насколько возможно событие.

Хорошая новость: для экзаменационных задач нужна одна-единственная формула — $P = \frac{m}{n}$. Плохая: почти все ошибки делаются не в формуле, а в подсчёте $m$ и $n$. Забыл, что у двух монет четыре исхода, а не три. Посчитал «качественные сумки» не от того количества. Перепутал «хотя бы один» и «ровно один». Этот урок как раз про то, как считать исходы без ошибок.

Ты узнаешь:

🎯 Что такое опыт, исход и благоприятный исход, и почему формула $P = \frac mn$ работает только для равновозможных исходов

🎯 Как без ошибок перебирать исходы для монет и кубиков — деревом, таблицей и правилом умножения

🎯 Как пользоваться противоположным событием ($P(\bar A) = 1 - P(A)$), чем частота отличается от вероятности и как это связано с A/B-тестами и нейросетями

История: откуда это взялось? 📜

Теория вероятностей родилась за игорным столом. В 1654 году французский аристократ и страстный игрок шевалье де Мере задал математику Блезу Паскалю вопрос, который мучил его давно: как честно поделить ставку, если игру пришлось прервать на середине? И ещё один: почему ставка «хотя бы одна шестёрка за 4 броска кубика» выгодна, а ставка «хотя бы один дубль шестёрок за 24 броска пары кубиков» — нет, хотя «по пропорции» они выглядят одинаково? Паскаль завёл переписку с Пьером Ферма, и в этих письмах впервые появилась идея: перечислить все равновозможные исходы и посчитать долю тех, что нам подходят.

Век спустя, в 1812 году, Пьер-Симон Лаплас записал это чётко: вероятность — это отношение числа благоприятных случаев к числу всех возможных, если все случаи равновозможны. Это и есть «классическое определение», которое сегодня стоит в школьном учебнике. А строгий фундамент под всю теорию подвёл советский математик Андрей Николаевич Колмогоров в 1933 году — его аксиомы используются во всём мире до сих пор.

От костей и карт до наших дней путь короткий. Страховые компании считают вероятность аварии, врачи — вероятность осложнений, а нейросеть, которая распознаёт лица в твоём телефоне, на последнем слое буквально выдаёт вероятности. Язык, придуманный для игроков XVII века, стал рабочим языком искусственного интеллекта.

Блок 1: Исходы и классическое определение вероятности

Давай разберёмся с интуицией

Любая задача на вероятность начинается с опыта (эксперимента) — действия, результат которого заранее неизвестен: бросок монеты, вытягивание билета, выбор дежурного по жребию. Каждый возможный результат опыта называется элементарным исходом. Для одного кубика исходов шесть: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Событие — это то, что может произойти или не произойти в опыте: «выпало чётное число», «достался билет с вопросом про грибы». Событие состоит из некоторых исходов — их называют благоприятными. Для события «выпало чётное» благоприятные исходы: 2, 4, 6.

Если все исходы равновозможны (у честного кубика ни одна грань не «тяжелее»), то естественно считать шанс события долей благоприятных исходов среди всех.

Определение (классическое): если опыт имеет $n$ равновозможных исходов и $m$ из них благоприятствуют событию $A$, то вероятность события

$$P(A) = \frac{m}{n}.$$

Обозначения:

• $n$ — число всех равновозможных исходов опыта;
• $m$ — число исходов, благоприятных событию $A$;
• $P(A)$ — вероятность события $A$, число от 0 до 1.

Отсюда сразу три свойства:

• $0 \le P(A) \le 1$, потому что $0 \le m \le n$;
• невозможное событие (выпало 7 на кубике) имеет вероятность 0;
• достоверное событие (выпало число от 1 до 6) — вероятность 1.

Если в ответе получилось $1{,}2$ или $-0{,}3$ — где-то ошибка, проверяй подсчёт.

Аналогия

Представь плейлист из 50 треков в режиме «перемешать», и 12 из них — твои любимые. Первым заиграет любой трек с одинаковым шансом. Какова вероятность, что это будет любимый? Треков всего $n = 50$, «хороших» $m = 12$, значит $P = \frac{12}{50} = 0{,}24$. Весь смысл классического определения — это «доля хороших вариантов в перемешанной колоде».

Но заметь слово «перемешать». Если плеер «умный» и чаще ставит то, что ты слушал недавно, исходы перестают быть равновозможными — и формула $\frac mn$ перестаёт работать. Именно поэтому в задачах пишут «монета симметричная», «кубик правильный», «порядок определяется жребием»: это сигнал, что исходы равновозможны.

Пример 1 (лёгкий): жребий в классе

В классе 25 учеников, из них 10 девочек. Дежурного выбирают жребием. Найди вероятность того, что дежурным окажется мальчик.

Решение:

Шаг 1. Опыт — выбор одного ученика. Все 25 учеников могут быть выбраны с равным шансом: $n = 25$.

Шаг 2. Благоприятные исходы — мальчики: $m = 25 - 10 = 15$.

Шаг 3.

Проверим наш ответ: вероятность, что выберут девочку, $\frac{10}{25} = 0{,}4$, в сумме $0{,}6 + 0{,}4 = 1$ — так и должно быть, ведь кто-то точно будет выбран.

Ответ: $0{,}6$.

Пример 2 (средний): ловушка с «качественными сумками»

Фабрика шьёт сумки. В среднем на 190 качественных сумок приходится 10 сумок со скрытыми дефектами. Найди вероятность того, что купленная сумка окажется качественной.

Решение:

Шаг 1 — внимательно читаем. «На 190 качественных приходится 10 с дефектами» — значит, в каждой партии $190 + 10 = 200$ сумок. Это и есть $n$. Самая частая ошибка — взять $n = 190$.

Шаг 2. $m = 190$.

Шаг 3.

Ответ: $0{,}95$.

Сравни с формулировкой «из 200 сумок 10 с дефектами» — ответ тот же, $0{,}95$. А при формулировке «из 190 сумок 10 с дефектами» было бы $\frac{180}{190} \approx 0{,}947$. Слова «на» и «из» меняют $n$.

Пример 3 (сложный): конференция и порядок докладов

Научная конференция длится 3 дня, всего запланировано 50 докладов: в первый день 20, остальные поровну распределены между вторым и третьим днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найди вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланирован на последний день.

Решение:

Шаг 1. Во второй и третий день вместе $50 - 20 = 30$ докладов, поровну — по 15.

Шаг 2. Жеребьёвка распределяет «слоты» случайно: доклад профессора с равным шансом может попасть в любой из 50 слотов. $n = 50$.

Шаг 3. Благоприятные слоты — те, что в третий день: $m = 15$.

Шаг 4.

Почему так происходит? Может показаться, что надо учитывать порядок внутри дня, других докладчиков и так далее. Но нас интересует только, куда попадёт один конкретный доклад, — и для него все 50 мест равноправны. Этот приём «смотри на одного» решает огромное количество задач про жребий, выступления спортсменов и рейсы вертолёта.

Ответ: $0{,}3$.

Почему это важно

Формула $\frac mn$ — фундамент, на котором строится всё остальное: сложение и умножение вероятностей, условная вероятность, статистика, машинное обучение. В ОГЭ задание 10 почти всегда решается ровно в одно действие по этой формуле — но только если правильно определить $n$ и $m$. В ЕГЭ задание 4 добавляет монеты, кубики и хитрые формулировки. Главный навык этого блока: перед любыми вычислениями ответить на два вопроса — что считается одним исходом и сколько их всего.

Блок 2: Монеты, кубики и перебор исходов

Давай разберёмся с интуицией

Когда бросают одну монету, всё просто: два исхода, орёл (О) или решка (Р). А если две монеты? Сколько исходов? Интуиция часто говорит «три: два орла, две решки, по одному». Это ошибка, на которой спотыкался даже великий Даламбер в XVIII веке.

Представь, что монеты разного цвета — золотая и серебряная. Тогда «орёл на золотой и решка на серебряной» (ОР) и «решка на золотой и орёл на серебряной» (РО) — это явно разные исходы. Честных равновозможных исходов четыре: ОО, ОР, РО, РР. Исход «по одному орлу и решке» состоит из двух элементарных исходов, поэтому вдвое вероятнее, чем «два орла».

Монеты не обязательно разного цвета, но мысленно различать их (первая и вторая, или первый бросок и второй) нужно всегда. Это главное правило перебора.

Правило умножения: если первый этап опыта имеет $n_1$ исходов, второй — $n_2$ исходов, ..., то всего исходов $n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots$

• $k$ бросков монеты: $2^k$ исходов ($2, 4, 8, 16, \ldots$).
• Два броска кубика: $6 \cdot 6 = 36$ исходов.
• Три броска кубика: $6^3 = 216$ исходов.

Аналогия

Перебор исходов — как пароль. Двухзначный PIN из цифр 0–9 имеет $10 \cdot 10 = 100$ вариантов, и «12» и «21» — разные пароли. С монетами и кубиками то же самое: «1 на первом кубике, 2 на втором» и «2 на первом, 1 на втором» — разные исходы. Хакер, который забудет про порядок, переберёт вдвое меньше паролей и не взломает систему. Ученик, который забудет про порядок, получит неверную вероятность.

Инструменты перебора

Дерево — удобно для монет. Каждый бросок раздваивает ветки:

Бросок 1:        О                    Р
               /   \                /   \
Бросок 2:     О     Р              О     Р
             / \   / \            / \   / \
Бросок 3:   О   Р О   Р          О   Р О   Р

Исходы:   ООО ООР ОРО ОРР      РОО РОР РРО РРР

Таблица 6×6 — для двух кубиков. Строка — первый кубик, столбец — второй, в клетке — сумма:

      1   2   3   4   5   6
  1   2   3   4   5   6   7
  2   3   4   5   6   7   8
  3   4   5   6   7   8   9
  4   5   6   7   8   9  10
  5   6   7   8   9  10  11
  6   7   8   9  10  11  12

Одинаковые суммы идут по диагоналям. Сумма 7 встречается чаще всех — 6 раз; суммы 2 и 12 — по одному разу. Количество клеток с суммой $s$ растёт от 1 (сумма 2) до 6 (сумма 7) и снова падает до 1 (сумма 12).

Пример 1 (лёгкий): две монеты

Симметричную монету бросают дважды. Найди вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.

Решение:

Шаг 1. Все исходы: ОО, ОР, РО, РР — $n = 4$.

Шаг 2. Ровно один орёл: ОР, РО — $m = 2$.

Шаг 3. $P = \frac24 = 0{,}5$.

Ответ: $0{,}5$.

Пример 2 (средний): сумма на двух кубиках

Игральный кубик бросают дважды. Найди вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округли до сотых.

Решение:

Шаг 1. $n = 36$.

Шаг 2. Выпишем пары (первый; второй) с суммой 8: (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2). $m = 5$. Обрати внимание: (4;4) — одна пара, а не две, потому что «поменять местами» четвёрки нельзя — получится тот же исход.

Шаг 3.

Ответ: $0{,}14$.

Пример 3 (сложный): три монеты

Монету бросают три раза. Найди вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Решение:

Шаг 1. По правилу умножения $n = 2^3 = 8$ (все они на дереве выше).

Шаг 2. Ровно два орла — это исходы с одной решкой: ООР, ОРО, РОО. $m = 3$. Удобно думать так: «решка может стоять на одном из трёх мест».

Шаг 3.

Проверим наш ответ через симметрию: вероятности «0, 1, 2, 3 орла» равны $\frac18, \frac38, \frac38, \frac18$ — в сумме $\frac88 = 1$ ✅

Ответ: $0{,}375$.

Почему это важно

Монеты и кубики — это модель любой ситуации, где несколько независимых случайных «этапов». Две монеты — это два пользователя, каждый из которых кликнет или не кликнет по кнопке. Три броска — три бита случайного числа. Когда программист пишет генератор случайных паролей или тестирует рандомизатор лута в игре, он думает ровно так: сколько всего комбинаций и сколько из них подходят. А таблица 6×6 — прообраз того, как в статистике строят распределение суммы случайных величин.

Блок 3: Противоположное событие и частота

Давай разберёмся с интуицией

Иногда посчитать благоприятные исходы трудно, а неблагоприятные — легко. Например, «при четырёх бросках монеты выпадет хотя бы один орёл». Благоприятных исходов много: один орёл, два, три, четыре... А неблагоприятный — ровно один: РРРР.

Противоположное событие $\bar A$ («не $A$») происходит тогда и только тогда, когда не происходит $A$. Исходы делятся на две группы: благоприятные для $A$ ($m$ штук) и для $\bar A$ ($n - m$ штук). Поэтому

Вероятность противоположного события:

$$P(\bar A) = 1 - P(A).$$

Используй её всегда, когда в условии есть слова «хотя бы один», «не», «ни разу», «не менее».

Теперь о частоте. В реальной жизни мы редко знаем $n$ и $m$ заранее. Никто не знает, «сколько исходов» у рождения ребёнка или поломки насоса. Зато можно провести много наблюдений.

Определение: если в $N$ испытаниях событие $A$ произошло $M$ раз, то относительная частота события

$$W(A) = \frac{M}{N}.$$

Частота — это экспериментальная оценка вероятности. Если монету бросить 1000 раз, орёл выпадет не ровно 500 раз, а, скажем, 486 или 532. Но чем больше бросков, тем ближе частота к вероятности $0{,}5$ — это закон больших чисел. На ОГЭ и ЕГЭ часто пишут «в среднем из 1000 насосов 5 подтекают» — это частота, которую по умолчанию принимают за вероятность.

Аналогия

Противоположное событие — как проверка «всё ли в порядке» в коде. Проверять, что каждый из тысячи тестов прошёл по-своему, долго. Проще поймать единственное «всё упало». Так же и тут: считаем «плохой» сценарий и вычитаем из 1.

Частота — это рейтинг в интернет-магазине. «92% покупателей довольны» — это не вероятность, данная свыше, а подсчёт по отзывам. У товара с 5 отзывами «100% довольных» стоит меньше, чем «94%» у товара с 3000 отзывов: маленькая выборка может сильно отличаться от истинной вероятности.

Пример 1 (лёгкий): насосы

В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найди вероятность того, что случайно выбранный насос не подтекает.

Решение:

Шаг 1. $P(\text{подтекает}) = \frac{5}{1000} = 0{,}005$.

Шаг 2. Противоположное событие:

Ответ: $0{,}995$.

Пример 2 (средний): хотя бы один орёл

Монету бросают 4 раза. Найди вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз.

Решение:

Шаг 1. $n = 2^4 = 16$.

Шаг 2. Противоположное событие — «ни одного орла», то есть РРРР. Такой исход один: $P(\bar A) = \frac{1}{16}$.

Шаг 3.

Проверим наш ответ прямым подсчётом: исходов с 1, 2, 3, 4 орлами соответственно 4, 6, 4, 1, всего $15$ ✅

Ответ: $0{,}9375$.

Пример 3 (сложный): частота, вероятность и A/B-тест

Интернет-магазин тестирует две версии кнопки «Купить». Версию A увидели 2000 посетителей, купили 90. Версию B увидели 2500 посетителей, купили 120. Найди частоту покупки для каждой версии и разницу между ними.

Решение:

Шаг 1.

Шаг 2. Разница: $0{,}048 - 0{,}045 = 0{,}003$, то есть 0,3 процентного пункта.

Шаг 3 — что это значит. Частоты — лишь оценки настоящих вероятностей покупки. Разница в 0,3 п. п. при нескольких тысячах посетителей может оказаться случайной — как 486 орлов вместо 500. Чтобы решить, действительно ли B лучше, аналитики проверяют статистическую значимость (это тема урока про проверку гипотез). Но первый шаг любого A/B-теста — ровно то, что мы сделали: посчитать частоты.

Ответ: $0{,}045$ и $0{,}048$; разница $0{,}003$ в пользу B.

Почему это важно: вероятности в ML

Классификатор изображений на последнем слое выдаёт вектор вероятностей — например, «кошка 0,5; собака 0,2; лиса 0,15; енот 0,15». Эти числа неотрицательны и в сумме дают 1, ровно как вероятности исходов в нашем опыте. «Вероятность, что на фото не кошка» модель считает так же, как мы: $1 - 0{,}5 = 0{,}5$. А обучается модель на частотах: если в датасете из 10 000 писем 2000 — спам, её «априорная» вероятность спама — это частота $0{,}2$. Всё машинное обучение — это аккуратная работа с частотами и вероятностями, а начинается она с $\frac mn$ и $1 - P(A)$.

Практика: 30 заданий

Во всех заданиях монеты симметричные, кубики правильные (шестигранные), а жребий честный. Ответ записывай десятичной дробью, если не сказано иначе.

Базовые (задания 1–10)

Задание 1: Игральный кубик бросают один раз. Найди вероятность того, что выпадет чётное число очков.

Задание 2: В лотерее 500 билетов, из них 15 выигрышных. Найди вероятность выигрыша при покупке одного билета.

Задание 3: В команде по киберспорту 25 участников, 10 из них играют за поддержку, остальные — за атаку. Капитана на турнир выбирают жребием. Найди вероятность, что капитаном станет игрок атаки.

Задание 4: В таксопарке 40 машин: 12 жёлтых, 20 белых, остальные чёрные. На вызов выезжает случайная машина. Найди вероятность, что приедет чёрная.

Задание 5: В пакете 30 одинаковых на вид пирожков: 9 с мясом, 15 с капустой и 6 с вишней. Найди вероятность, что случайно взятый пирожок окажется с вишней.

Задание 6: В сборнике 60 билетов по биологии, в 15 из них встречается вопрос о грибах. Найди вероятность, что в случайном билете вопроса о грибах не будет.

Задание 7: Из натуральных чисел от 1 до 50 случайно выбирают одно. Найди вероятность, что оно делится на 4.

Задание 8: Монету бросают дважды. Найди вероятность, что оба раза выпадет орёл.

Задание 9: Из 800 ручек, проверенных контролёром, 12 оказались бракованными. Найди частоту появления бракованной ручки.

Задание 10: Вероятность того, что новый смартфон прослужит больше трёх лет, равна $0{,}37$. Найди вероятность того, что он не прослужит больше трёх лет.

Средние (задания 11–20)

Задание 11: Кубик бросают дважды. Найди вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Ответ округли до сотых.

Задание 12: Кубик бросают дважды. Найди вероятность того, что в сумме выпадет 9 очков. Ответ округли до сотых.

Задание 13: Монету бросают три раза. Найди вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.

Задание 14: Монету бросают четыре раза. Найди вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Задание 15: В соревнованиях по прыжкам в воду участвуют 50 спортсменов: 14 из Бразилии, 11 из Мексики, остальные из Японии. Порядок выступлений определяется жребием. Найди вероятность того, что последним будет выступать спортсмен из Японии.

Задание 16: Фестиваль короткометражек длится 3 дня, показывают 50 фильмов: в первый день 20, остальные поровну во второй и третий. Порядок показа определяется жребием. Найди вероятность, что фильм студии «Ракурс» покажут в третий день.

Задание 17: Перед турниром 16 команд делят на 4 группы по 4 команды с помощью карточек с номерами групп: в коробке лежат 4 карточки «1», 4 карточки «2», 4 карточки «3» и 4 карточки «4». Капитаны по очереди тянут карточки. Найди вероятность того, что команда «Метеор» окажется в третьей группе.

Задание 18: Завод выпускает наушники. В среднем на 190 исправных пар приходится 10 пар с браком. Найди вероятность, что купленная пара исправна.

Задание 19: Кубик бросают дважды. Найди вероятность того, что произведение выпавших чисел будет чётным.

Задание 20: Группу из 30 туристов перебрасывают в горы на вертолёте в несколько рейсов по 6 человек. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найди вероятность того, что турист К. полетит первым рейсом.

Продвинутые (задания 21–30)

Задание 21: В кружке робототехники 16 человек: 10 девочек и 6 мальчиков. Жребием выбирают двоих для поездки на олимпиаду. Найди вероятность того, что поедут две девочки.

Задание 22: 26 участников хакатона случайным образом делят на две команды по 13 человек. Найди вероятность того, что два друга, Петя и Вася, окажутся в одной команде.

Задание 23: Кубик бросают дважды. Найди вероятность того, что наибольшее из двух выпавших чисел равно 5.

Задание 24: Монету бросают 4 раза. Найди вероятность того, что решка выпадет хотя бы один раз.

Задание 25: Кубик бросили дважды, и в сумме выпало 6 очков. Найди вероятность того, что хотя бы при одном броске выпала единица.

Задание 26: Случайно выбирают двузначное число. Найди вероятность того, что его цифра десятков больше цифры единиц.

Задание 27: A/B-тест: вариант письма A отправили 2000 подписчикам, по ссылке перешли 90; вариант B — 2500 подписчикам, перешли 120. Найди частоты переходов и их разность (B минус A).

Задание 28: Нейросеть распознаёт животное на фото и выдаёт вероятности четырёх классов: «кошка» — 0,5, «собака» — 0,2, «лиса» — 0,15, «енот» — неизвестно. Найди вероятность класса «енот» и вероятность того, что на фото не кошка.

Задание 29: В коробке 10 белых и 6 чёрных фишек. Не глядя, достают две. Найди вероятность того, что фишки окажутся разного цвета.

Задание 30: Кубик бросают три раза. Найди вероятность того, что сумма выпавших очков равна 10.

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Три исхода у двух монет Неправильно: «исходы — два орла, две решки, орёл и решка; $P(\text{два орла}) = \frac13$». Правильно: исходов четыре (ОО, ОР, РО, РР), $P = \frac14$. Почему важно: исходы «ОР» и «РО» разные; склеив их, ты нарушаешь равновозможность, и формула $\frac mn$ перестаёт работать.

❌ Ошибка 2: «На» против «из» Неправильно: «на 190 качественных приходится 10 бракованных» → $P = \frac{180}{190}$. Правильно: всего $190 + 10 = 200$, $P = \frac{190}{200} = 0{,}95$. Почему важно: это самая популярная ловушка задания 10 ОГЭ.

❌ Ошибка 3: Считать пару (4;4) дважды Неправильно: сумма 8 — это (2;6), (6;2), (3;5), (5;3), (4;4), (4;4) — 6 исходов. Правильно: (4;4) — один исход, всего 5. Почему важно: лишний исход — неверный ответ ($\frac{6}{36}$ вместо $\frac{5}{36}$).

❌ Ошибка 4: Не округлить или округлить не так Неправильно: записать в бланк $\frac{5}{36}$ или $0{,}1388$. Правильно: если в условии «округлите до сотых» — $0{,}14$. В бланк ЕГЭ пишется только десятичная дробь. Почему важно: ответ в неверном формате не засчитают.

❌ Ошибка 5: Усложнять задачи про жребий Неправильно: пытаться учитывать всех остальных спортсменов, все перестановки, дни. Правильно: смотри на одного участника: он с равным шансом попадает в любой слот. Почему важно: лишние рассуждения — лишние шансы ошибиться.

❌ Ошибка 6: Путать частоту и вероятность Неправильно: «монету бросили 10 раз, орёл выпал 7 раз, значит, вероятность орла 0,7». Правильно: 0,7 — частота в этой серии; вероятность у симметричной монеты 0,5. Частота приближается к вероятности только при большом числе испытаний. Почему важно: выводы по маленьким выборкам — главная ошибка в A/B-тестах и аналитике.

❌ Ошибка 7: Вероятность больше 1 Неправильно: получить $P = \frac{36}{6} = 6$, перепутав $m$ и $n$. Правильно: $m \le n$ всегда. Ответ вне отрезка $[0;1]$ — сигнал к проверке.

Главное запомнить

📝 Ключевые понятия

✅ Опыт → исходы → событие: событие — это набор благоприятных исходов.

✅ Классическое определение: $P(A) = \frac mn$, только для равновозможных исходов.

✅ Границы: $0 \le P(A) \le 1$; невозможное событие — 0, достоверное — 1.

✅ Монеты: $k$ бросков — $2^k$ исходов; монеты мысленно нумеруем.

✅ Кубики: два броска — 36 исходов (таблица 6×6), три — 216.

✅ Правило умножения: число исходов многоэтапного опыта — произведение чисел исходов этапов.

✅ Противоположное событие: $P(\bar A) = 1 - P(A)$; ключевые слова — «хотя бы один», «не».

✅ Частота: $W = \frac MN$ — оценка вероятности по наблюдениям; при большом $N$ близка к вероятности.

✅ Жребий: смотри на одного участника — все места для него равновероятны.

✅ В ML: классификатор выдаёт вероятности классов, их сумма равна 1; A/B-тест начинается со сравнения частот.

Связь с другими темами курса

Что нужно было знать до этого урока:

• Действия с дробями — сокращение $\frac{190}{200}$, перевод в десятичную дробь.
• Проценты — вероятность 0,03 — это 3%, частота 0,045 — 4,5%.

Что изучить дальше:

• Сложение и умножение вероятностей — следующий урок: «и», «или», «хотя бы один», стрелки и автоматы, задание 5 ЕГЭ.
• Задание 10 ОГЭ и задание 4 ЕГЭ — разбор формата экзамена.
• Случайные события и классическое определение вероятности (вузовский уровень) — та же тема глубже: комбинаторика, аксиомы Колмогорова, связь с ML.

Где это нужно в жизни:

• 🎮 В играх: шансы дропа, лутбоксы, криты — всё это вероятности; разработчики обязаны их считать, а в ряде стран — публиковать.
• 📱 В технологиях: прогноз погоды, рекомендации, автодополнение текста — везде модель выдаёт вероятности.
• 💰 В финансах: страховка стоит столько, сколько стоит «средний ущерб», а он считается через вероятность события.
• 🤖 В ML: классификатор выдаёт вероятности классов, а A/B-тесты сравнивают частоты конверсии.

Интересные факты

💡 Даламбер ошибся на двух монетах. Великий французский учёный Жан Лерон Даламбер в статье для «Энциклопедии» утверждал, что вероятность выпадения хотя бы одного орла при двух бросках равна $\frac23$ — считал три исхода вместо четырёх. Правильный ответ $\frac34$.

💡 Бюффон бросал монету 4040 раз. В XVIII веке натуралист Жорж Бюффон подбросил монету 4040 раз, орёл выпал 2048 раз — частота 0,507. А статистик Карл Пирсон позже бросил 24 000 раз и получил 12 012 орлов — частота 0,5005. Закон больших чисел в действии.

💡 Сумма 7 — любимица казино. В игре «крэпс» ставки строятся вокруг суммы 7 на двух кубиках, потому что она самая вероятная ($\frac16$). Казино прекрасно знают таблицу 6×6.

💡 Softmax — это «превращатель в вероятности». Нейросеть выдаёт произвольные числа, а функция softmax превращает их в неотрицательные числа с суммой 1 — чтобы их можно было читать как вероятности классов.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Два вопроса перед решением. «Что такое один исход?» и «Сколько их всего?» Ответь на них письменно — и половина ошибок исчезнет.

2. Слово «хотя бы» — сразу противоположное. Пример: «хотя бы один орёл за 4 броска» → $1 - \frac1{16}$.

3. Жребий — смотри на одного. В задачах про выступления, рейсы и группы вероятность попасть в нужное множество мест — это просто доля этих мест. Пример: 6 мест в первом рейсе из 30 → $0{,}2$.

4. Таблица сумм кубиков по диагоналям. Число способов получить сумму $s$ на двух кубиках: $s - 1$ при $s \le 7$ и $13 - s$ при $s \ge 7$. Пример: сумма 9 → $13 - 9 = 4$ способа.

5. Проверка суммой. Посчитай вероятности всех вариантов (например, 0, 1, 2, 3 орла) — в сумме должна получиться 1.

6. Знаменатели «хороших» дробей. Для ОГЭ/ЕГЭ ответ — конечная десятичная дробь, а значит, знаменатель после сокращения содержит только двойки и пятёрки (2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 40, 50...). Если получилось $\frac{7}{30}$ и в условии нет «округлите», перепроверь подсчёт.

💡 Совет: реши 10 задач на жребий и 10 задач на монеты подряд — после этого задание 10 ОГЭ и задание 4 ЕГЭ станут для тебя «бесплатными» баллами.

Дальше: Сложение и умножение вероятностей: задачи ЕГЭ на сложные события.