Определённый интеграл 📐

Два предыдущих урока были про одну и ту же вещь: как по производной восстановить функцию. Мы искали первообразную, писали $+C$, разбирались с таблицей и заменой переменной. Всё это время ответом был класс функций — бесконечное семейство кривых, сдвинутых по вертикали.

Сегодня мы начинаем с абсолютно другого места. Забудь на время про производные. Вопрос дня звучит так: как измерить площадь фигуры, у которой хотя бы одна сторона кривая?

Площадь прямоугольника — это произведение сторон, и так определяют площадь ещё в начальной школе. Площадь треугольника выводится из прямоугольника разрезанием, площадь трапеции — из треугольников, площадь любого многоугольника — разбиением на треугольники. Дальше эта конструкция упирается в стену. Что такое площадь фигуры под параболой? Не «чему она равна», а что это вообще за число, откуда оно берётся, каким определением задаётся? У прямоугольника есть формула, а у криволинейной фигуры нет ни формулы, ни, строго говоря, определения — до тех пор, пока мы его не построим.

И задача эта не про геометрию. Ровно та же конструкция отвечает на вопросы: какой путь прошло тело, если его скорость всё время менялась; сколько энергии потратил сервер, если мощность колебалась; какова вероятность, что случайная величина попадёт в интервал; какова средняя награда агента в обучении с подкреплением; чему равна площадь под ROC-кривой. Все эти величины — «сумма бесконечного числа бесконечно малых вкладов», и им нужен один общий математический объект.

Этот объект называется определённым интегралом. И вот что важно понять с самого начала: определённый интеграл — это число, а не функция. Не семейство. Не «функция плюс константа». Одно конкретное число, которое получается предельным переходом из обычных конечных сумм. К первообразной оно, на первый взгляд, не имеет никакого отношения — мы его построим, ни разу не продифференцировав ничего.

А потом, в уроке 148, выяснится, что эти два сюжета — восстановление функции по производной и измерение площади — на самом деле один и тот же сюжет. Это самый большой сюрприз в школьном курсе математики, и чтобы он сработал как сюрприз, сегодня мы честно считаем всё «руками»: через суммы, через геометрию, через симметрию. Никаких коротких путей. Ты увидишь, какой это труд, — и тогда подарок следующего урока будет выглядеть тем, чем он на самом деле является: одним из главных результатов в истории науки.

🎯 Ты узнаешь:

• Как древние греки измеряли площадь круга без формулы $\pi R^2$ и почему их метод исчерпания — прямой предок интеграла
• Что такое интегральная сумма: разбиение отрезка, отмеченные точки, диаметр разбиения — и как из предела этих сумм рождается определение $\int_a^b f(x)\,dx$
• Как честно посчитать $\int_0^1 x\,dx$ и $\int_0^1 x^2\,dx$ прямо по определению, через суммы $1+2+\dots+n$ и $1^2+2^2+\dots+n^2$
• Какие функции интегрируемы, а какие нет, и почему функция Дирихле ломает всю конструкцию
• Все свойства определённого интеграла: линейность, аддитивность по отрезку, смена ориентации, монотонность и двусторонняя оценка
• Почему интеграл — это площадь со знаком, а не площадь, и как эта разница портит половину решений
• Что такое среднее значение функции на отрезке и почему для непрерывной функции оно всегда достигается в какой-то точке
• Как считают интегралы численно — прямоугольниками, трапециями, методом Симпсона — и почему в машинном обучении этим занимается метод Монте-Карло

История: откуда это взялось?

История определённого интеграла старше истории производной примерно на две тысячи лет. Задача о площади возникла раньше задачи о касательной, и решать её начали задолго до появления алгебры.

Евдокс Книдский, около 370 года до н. э., придумал приём, который позже назовут методом исчерпания. Идея: чтобы измерить криволинейную фигуру, впиши в неё многоугольник, потом многоугольник с бо́льшим числом сторон, потом ещё бо́льшим — и покажи, что разница между фигурой и многоугольником может быть сделана меньше любой наперёд заданной величины. Евдокс так доказал, что объёмы конуса и пирамиды равны трети объёма цилиндра и призмы соответственно.

Архимед (287–212 до н. э.) довёл метод до виртуозности. В работе «Квадратура параболы» он доказал, что площадь сегмента параболы составляет ровно $\dfrac43$ площади вписанного в него треугольника — и получил этот результат, суммируя бесконечную геометрическую прогрессию $1 + \frac14 + \frac1{16} + \dots = \frac43$. В трактате «Об измерении круга» он зажал число $\pi$ между $3\frac{10}{71}$ и $3\frac17$, вписывая и описывая правильные 96-угольники. Обрати внимание на конструкцию: вписанный многоугольник даёт оценку снизу, описанный — сверху, истина зажата между ними. Через две тысячи триста лет мы назовём эти оценки нижней и верхней суммами и построим на них определение интеграла. Архимед уже всё сделал, у него просто не было обозначений.

Дальше — почти две тысячи лет паузы. В XVII веке задача вернулась. Бонавентура Кавальери в 1635 году выпустил «Геометрию неделимых»: фигура мысленно нарезалась на бесконечно тонкие полоски, и площади сравнивались по полоскам. Пьер Ферма около 1636 года нашёл площадь под кривой $y = x^n$ для любого целого $n$, разбивая отрезок не на равные части, а на части, длины которых образуют геометрическую прогрессию — трюк, позволивший ему просуммировать ряд. Джон Валлис в «Арифметике бесконечных» (1656) получил тот же результат для дробных $n$ и попутно вывел свою знаменитую формулу для $\pi$. Блез Паскаль считал «суммы синусов» и подошёл к результату так близко, что Лейбниц позже писал: Паскаль держал ответ в руках и не увидел его.

Увидели, как известно, Исаак Ньютон (около 1666) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (около 1675), независимо друг от друга. Именно Лейбниц 29 октября 1675 года написал вытянутую $S$ — знак интеграла от латинского summa. Обозначение $\int_a^b$ с указанием пределов появилось заметно позже: его ввёл Жозеф Фурье в 1822 году, в «Аналитической теории тепла».

Но вот что стоит отметить особо. Двести лет — от Ньютона до середины XIX века — интегралом пользовались, не имея его определения. Считали, что интеграл «это площадь», а площадь — «это интеграл», и круг замыкался. Первым разорвал круг Огюстен Луи Коши в «Résumé des leçons» (1823): он определил интеграл как предел сумм вида $\sum f(x_{i-1})\Delta x_i$ для непрерывной функции — то есть по левым концам отрезков разбиения. Бернхард Риман в 1854 году в габилитационной работе о тригонометрических рядах снял ограничение непрерывности: он разрешил брать точку $\xi_i$ где угодно внутри отрезка разбиения и назвал интегрируемыми те функции, для которых предел существует независимо от выбора. Именно эта конструкция сегодня носит имя интеграла Римана и изучается в этом уроке. Гастон Дарбу в 1875 году переформулировал её через нижние и верхние суммы — то есть, по сути, вернулся к схеме Архимеда, только строго.

Финальный поворот: в 1902 году Анри Лебег в докторской диссертации построил другой интеграл — он разбивал не ось $x$, а ось $y$. Его собственная метафора: чтобы пересчитать кучу монет, можно идти по порядку (Риман), а можно сначала разложить их по номиналам и умножить (Лебег). Интеграл Лебега умеет то, чего не умеет риманов, и вся современная теория вероятностей построена на нём. Но начинать надо с Римана — и потому, что он проще, и потому, что на нём стоят все численные методы.

Задача о площади криволинейной трапеции

Интуиция: зажать неизвестное между двумя известными

Возьмём функцию $f(x) \geqslant 0$, непрерывную на отрезке $[a; b]$. Фигура, ограниченная снизу осью $Ox$, сверху графиком $y = f(x)$, а с боков вертикальными прямыми $x = a$ и $x = b$, называется криволинейной трапецией. Название честное: если бы верхняя граница была прямой, вышла бы обычная трапеция.

Вопрос: чему равна её площадь?

Пока у нас нет ни одного инструмента, чтобы даже начать. Формулы для такой фигуры нет. Но есть приём Архимеда, и он работает всегда.

Разрежем отрезок $[a; b]$ на $n$ равных кусочков вертикальными линиями. Над каждым кусочком получилась узкая вертикальная полоска — тоже криволинейная трапеция, только маленькая. Её площадь мы по-прежнему не знаем. Но если полоска узкая, функция на ней меняется мало, и полоску можно приблизить прямоугольником.

Причём приблизить можно двумя честными способами:

• взять высоту прямоугольника равной наименьшему значению $f$ на кусочке — тогда прямоугольник целиком помещается внутри полоски, и его площадь не больше истинной;
• взять высоту равной наибольшему значению $f$ на кусочке — тогда прямоугольник накрывает полоску целиком, и его площадь не меньше истинной.

Сложив все прямоугольники первого типа, получим число $s_n$ — нижнюю сумму. Сложив все прямоугольники второго типа, получим $S_n$ — верхнюю сумму. Какова бы ни была искомая площадь $A$, она обязана удовлетворять неравенству

Это и есть архимедово зажатие. Теперь ключевой момент: что происходит, когда $n$ растёт? Нижние суммы растут (мелкое разбиение обнаруживает больше площади внутри), верхние убывают, а зазор $S_n - s_n$ сжимается. Если он сжимается до нуля, то остаётся ровно одно число, зажатое между всеми нижними и всеми верхними суммами. Вот его мы и объявляем площадью.

Обрати внимание на логику: мы не вычислили площадь — мы её определили. До этого момента у фигуры с кривой границей площади не было вовсе, как у слова, которого нет в словаре, нет значения. Мы придумали процедуру, показали, что она даёт единственное число, и назвали это число площадью. Так строится половина современной математики.

Считаем зазор

Посмотрим, почему зазор действительно сжимается. Пусть на $i$-м кусочке наименьшее значение равно $m_i$, наибольшее — $M_i$, а ширина кусочка равна $\Delta x = \dfrac{b-a}{n}$. Тогда

Для монотонной функции это выражение считается совсем просто. Если $f$ возрастает, то на $i$-м кусочке $m_i = f(x_{i-1})$, а $M_i = f(x_i)$, и сумма разностей телескопически сворачивается:

В числителе стоит фиксированное число, в знаменателе — растущее $n$. Зазор стремится к нулю как $\frac1n$. Для убывающей функции всё симметрично. Для произвольной непрерывной функции доказательство сложнее (там нужна равномерная непрерывность, это университетский материал), но результат тот же.

Полезная геометрическая картинка для монотонного случая: сдвинь все «верхние» прямоугольники горизонтально в одну колонку — они сложатся ровно в один прямоугольник шириной $\Delta x$ и высотой $f(b) - f(a)$. Вся разница между верхней и нижней оценкой помещается в этот единственный тонкий прямоугольник, и она стремится к нулю просто потому, что прямоугольник становится всё уже.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Функция $f(x) = x$ на отрезке $[0; 1]$. Найди нижнюю и верхнюю суммы при $n = 5$ и оцени площадь.

Ширина кусочка $\Delta x = 0{,}2$. Функция возрастает, поэтому на каждом кусочке минимум — в левом конце, максимум — в правом.

Нижняя сумма:

Верхняя сумма:

Значит $0{,}4 \leqslant A \leqslant 0{,}6$. А площадь мы тут знаем и без всякой теории: это прямоугольный треугольник с катетами $1$ и $1$, его площадь равна $0{,}5$. Действительно попала в вилку, ровно посередине.

Зазор: $S_5 - s_5 = 0{,}2$. Формула даёт $\frac{(1-0)(1-0)}{5} = 0{,}2$ ✅ Чтобы прижать зазор до $0{,}001$, понадобится $n = 1000$ кусочков. Сходимость есть, но медленная — запомни это, к вопросу скорости мы вернёмся в разделе про численные методы.

Пример 2 (средний). Та же схема для $f(x) = x^2$ на $[0; 1]$ при $n = 4$.

Ширина $\Delta x = 0{,}25$, узлы: $0;\ 0{,}25;\ 0{,}5;\ 0{,}75;\ 1$. Функция возрастает.

Вилка: $0{,}21875 \leqslant A \leqslant 0{,}46875$. Она широкая, и её середина $0{,}34375$ уже неплохо приближает истинное значение $\frac13 \approx 0{,}3333$, которое мы получим честно чуть ниже.

Пример 3 (сложный). Функция $f(x) = \sqrt{1-x^2}$ на $[0;1]$ — четверть единичной окружности. Оцени её площадь при $n = 4$ и сравни с известным ответом.

Функция здесь убывает, поэтому минимум на кусочке — в правом конце, максимум — в левом. Значения: $f(0)=1$, $f(0{,}25)=\sqrt{0{,}9375}\approx 0{,}9682$, $f(0{,}5)=\sqrt{0{,}75}\approx 0{,}8660$, $f(0{,}75)=\sqrt{0{,}4375}\approx 0{,}6614$, $f(1)=0$.

Площадь четверти круга радиуса $1$ равна $\frac{\pi}{4} \approx 0{,}7854$ — она внутри вилки ✅ Зазор $0{,}25$ равен $\Delta x\cdot(f(0)-f(1)) = 0{,}25\cdot 1$, как и предсказывает формула для монотонной функции.

Заметь побочный результат: эта конструкция даёт способ вычислять $\pi$. Взяв $n = 10^6$, получишь вилку шириной $10^{-6}$ вокруг $\frac\pi4$. Архимед делал ровно это, только многоугольниками.

Почему это важно

Метод зажатия — не подготовительный трюк, который потом выбрасывают. Это рабочая схема, которая повторяется во всей вычислительной математике: строим приближение снизу, приближение сверху, доказываем, что зазор стремится к нулю, — и получаем гарантированную оценку ответа с контролем погрешности. Численное интегрирование, интервальная арифметика, доказательные вычисления с плавающей точкой, оценки в теории алгоритмов — везде одна и та же идея. И, в отличие от «посчитали и надеемся», она даёт гарантию: ответ точно лежит между двумя явными числами.

Интегральная сумма Римана и определение интеграла

Интуиция: зачем понадобилось обобщение

В предыдущем разделе мы брали на каждом кусочке либо минимум функции, либо максимум. Это удобно для теории (получается зажатие), но неудобно на практике: чтобы найти минимум и максимум на кусочке, надо решать отдельную задачу оптимизации, а это работа из уроков 141–142.

На практике поступают проще: берут любую точку кусочка и подставляют в неё функцию. Например, левый конец. Или правый. Или середину. Или случайную точку — так делает метод Монте-Карло, о котором пойдёт речь в разделе про ML.

Риман заметил главное: если функция достаточно приличная, то выбор точки не влияет на предел. Как бы ты ни тыкал внутрь кусочков, при измельчении разбиения все суммы сходятся к одному и тому же числу. Это и стало определением.

Конструкция: четыре шага

Пусть функция $f$ задана на отрезке $[a; b]$.

Шаг 1. Разбиение. Выберем точки

Они режут отрезок на $n$ частей. Длину $i$-й части обозначим $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$. Части не обязаны быть равными — это важно для теории, хотя на практике почти всегда берут равные.

Шаг 2. Отмеченные точки. На каждом кусочке $[x_{i-1}; x_i]$ выберем произвольную точку $\xi_i$ (читается «кси»). Никаких требований, кроме $x_{i-1} \leqslant \xi_i \leqslant x_i$.

Шаг 3. Интегральная сумма. Составим сумму

Каждое слагаемое — площадь прямоугольника с основанием $\Delta x_i$ и высотой $f(\xi_i)$. Если $f$ где-то отрицательна, соответствующее слагаемое отрицательно — это понадобится нам позже, и очень скоро.

Шаг 4. Измельчение. Введём диаметр разбиения (его же называют рангом или мелкостью):

— длину самого длинного кусочка. Именно эту величину устремляют к нулю, а не $n$ к бесконечности, и вот почему: можно взять миллион точек, но столпить их все у левого конца, а справа оставить один кусок длиной в половину отрезка. Тогда $n$ огромно, а приближение никудышное. Условие $\lambda \to 0$ автоматически влечёт $n \to \infty$ и гарантирует, что мельчает всё разбиение.

Определение: число $I$ называется определённым интегралом функции $f$ по отрезку $[a; b]$, если интегральные суммы стремятся к $I$ при $\lambda \to 0$ независимо от способа разбиения и от выбора отмеченных точек:

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\,\Delta x_i.$$

Функция, для которой такой предел существует, называется интегрируемой по Риману на $[a;b]$.

Разбираем обозначение по частям

Запись $\int_a^b f(x)\,dx$ — это буквально стенограмма конструкции, которую мы только что построили:

• $\int$ — вытянутая $S$ Лейбница, «сумма»; заменяет знак $\sum$, когда слагаемых становится бесконечно много, а каждое — бесконечно мало;
• $a$ и $b$ — пределы интегрирования: $a$ нижний, $b$ верхний. Они говорят, по какому отрезку идёт суммирование;
• $f(x)$ — подынтегральная функция, высота прямоугольника;
• $dx$ — след от $\Delta x_i$, ширина прямоугольника, ставшая бесконечно малой;
• всё вместе $f(x)\,dx$ — площадь одного бесконечно тонкого прямоугольника, а $\int$ их складывает.

Теперь самое важное отличие от прошлого урока, и его надо проговорить жёстко.

Неопределённый интеграл $\int f(x)\,dx$ — это множество функций. Определённый интеграл $\int_a^b f(x)\,dx$ — это число. Один-единственный вещественный результат. У него нет $+C$, нет аргумента, нет графика. У него есть значение.

Отсюда следствие, которое поначалу кажется странным: переменная интегрирования — немая. Записи

обозначают одно и то же число $\frac13$. Буква под интегралом живёт только внутри него и наружу не выходит — ровно как счётчик цикла в программе: for i in range(n) и for k in range(n) дают одинаковый результат, а после цикла переменная никому не нужна. Если после вычисления интеграла у тебя в ответе осталось $x$ — где-то ошибка.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Запиши интегральную сумму для $f(x) = x^2$ на $[0; 2]$ при равномерном разбиении на $n$ частей с отмеченными точками в правых концах.

Ширина каждого кусочка: $\Delta x = \frac{2-0}{n} = \frac2n$. Узлы: $x_i = \frac{2i}{n}$, $i = 0, 1, \dots, n$. Правый конец $i$-го кусочка — это $x_i$, значит $\xi_i = \frac{2i}{n}$.

Вся содержательная работа свелась к сумме квадратов первых $n$ чисел. Так будет всегда: вычисление по определению = сведение к известной сумме.

Пример 2 (средний). Для $f(x) = 5$ (константа) на $[a; b]$ найди интегральную сумму при произвольном разбиении и произвольных отмеченных точках.

Здесь $f(\xi_i) = 5$ при любом выборе $\xi_i$, поэтому

потому что сумма длин всех кусочков — это длина всего отрезка. Сумма не зависит ни от $n$, ни от разбиения, ни от точек, значит и предел равен тому же:

Это первый интеграл, посчитанный строго по определению, и он совпадает с площадью прямоугольника — как и должно быть. Общий случай: $\int_a^b c\,dx = c(b-a)$.

Пример 3 (сложный). Покажи, что для $f(x) = x$ на $[0;1]$ выбор отмеченных точек действительно не влияет на предел: посчитай суммы по левым концам, по правым концам и по серединам при равномерном разбиении.

Ширина $\Delta x = \frac1n$, узлы $x_i = \frac{i}{n}$.

Левые концы, $\xi_i = \frac{i-1}{n}$:

Правые концы, $\xi_i = \frac{i}{n}$:

Середины, $\xi_i = \frac{2i-1}{2n}$:

Все три при $n \to \infty$ дают $\frac12$ ✅ Причём суммы по серединам попали в точку сразу, при любом $n$: недобор на левой половине кусочка в точности компенсируется перебором на правой. Это не случайность, а свойство метода средних прямоугольников, к которому мы вернёмся в разделе про численные методы.

И заметь красивую деталь: левая сумма всегда меньше ответа на $\frac{1}{2n}$, правая — больше ровно на столько же. Их среднее арифметическое равно $\frac12$ точно. Отсюда естественно вырастает метод трапеций.

Почему это важно

Определение через интегральные суммы — это не «формальность для строгости». Это единственное место, где написано, что такое интеграл. Всё остальное — свойства, формулы, методы — выводится отсюда. И именно эта форма определения переносится дальше: заменишь длину $\Delta x_i$ на вероятность — получишь математическое ожидание, заменишь на меру — получишь интеграл Лебега, заменишь регулярную сетку на случайные точки — получишь Монте-Карло, на котором стоит половина вычислительной статистики. Готовые формулы, которые появятся дальше в курсе, — прекрасный инструмент, но каждая из них покрывает лишь часть случаев. Определение работает всегда.

Считаем интеграл честно, по определению

Теперь самое трудоёмкое и самое ценное в уроке. Мы вычислим два интеграла, не пользуясь ничем, кроме определения и школьных формул сумм. Приготовься: это долго. Так и задумано.

Нам понадобятся две формулы из темы прогрессий:

Первый: $\int_0^1 x\,dx$

Шаг 1. Разбиение. Делим $[0;1]$ на $n$ равных частей: $\Delta x = \frac1n$, узлы $x_i = \frac in$.

Шаг 2. Отмеченные точки. Берём правые концы: $\xi_i = \frac in$. Мы имеем на это право — предел не зависит от выбора, а правые концы удобнее всего.

Шаг 3. Интегральная сумма.

Шаг 4. Предел при $\lambda = \frac1n \to 0$, то есть при $n \to \infty$. Делим числитель и знаменатель на $n$ (стандартный приём из урока 130):

Контроль. Фигура под графиком $y = x$ над отрезком $[0;1]$ — прямоугольный треугольник с катетами $1$ и $1$. Его площадь равна $\frac{1\cdot 1}{2} = \frac12$ ✅ Определение согласуется с элементарной геометрией — это обязательная проверка любого нового определения: оно не должно противоречить тому, что мы уже умели.

Второй: $\int_0^1 x^2\,dx$

Здесь площадь фигуры элементарной геометрией не считается вообще. Это первый по-настоящему новый результат.

Шаг 1–2. Разбиение и точки те же: $\Delta x = \frac1n$, $\xi_i = \frac in$.

Шаг 3. Интегральная сумма.

Раскроем скобки в числителе: $n(n+1)(2n+1) = n(2n^2 + 3n + 1) = 2n^3 + 3n^2 + n$. Значит

Шаг 4. Предел. При $n\to\infty$ дроби $\frac3n$ и $\frac{1}{n^2}$ стремятся к нулю:

Контроль. В разделе про зажатие мы получили вилку $0{,}21875 \leqslant A \leqslant 0{,}46875$ при $n=4$. Число $\frac13 \approx 0{,}3333$ внутри ✅ Численная проверка интегратором даёт $0{,}333333\ldots$ ✅

Давай отдельно оценим, что здесь произошло. Мы посчитали площадь под параболой — задачу, которую решал Архимед, потратив на неё отдельный трактат. И потратили на это полстраницы. Но обрати внимание, чего это стоило: понадобилась формула суммы квадратов. Для $\int_0^1 x^3\,dx$ понадобилась бы формула суммы кубов $\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ — она даёт $\frac14$. Для $\int_0^1 x^4\,dx$ — формула суммы четвёртых степеней, которую наизусть не помнит почти никто. Для $\int_0^1 \sin x\,dx$ пришлось бы суммировать $\sin\frac1n + \sin\frac2n + \dots$, а это уже требует отдельного тригонометрического трюка с умножением на $\sin\frac{1}{2n}$. Для $\int_0^1 e^{-x^2}dx$ никакой замкнутой формулы для суммы нет вовсе.

Вот честная картина: определение работает, но считать по нему можно ровно то, для чего есть формула суммы. Это тупик, и он ощущается физически. Держи это чувство — оно понадобится в следующем уроке.

Обобщение: $\int_0^b x^2\,dx$

Тот же расчёт на произвольном отрезке $[0; b]$, $b > 0$. Теперь $\Delta x = \frac bn$, $\xi_i = \frac{bi}{n}$:

Проверим на $b=1$: получаем $\frac13$ ✅ При $b = 3$: $\frac{27}{3} = 9$. Численная проверка подтверждает: $\int_0^3 x^2\,dx = 9$ ✅

Точно так же выводится $\int_0^b x\,dx = \frac{b^2}{2}$ и $\int_0^b x^3\,dx = \frac{b^4}{4}$. Три результата подряд, у всех одинаковый узор: степень поднялась на единицу и поделилась на новую степень. Ферма заметил эту закономерность в 1636 году и доказал её для всех $n$; настоящее объяснение того, почему узор именно такой, ждёт нас совсем скоро.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Вычисли $\int_2^6 4\,dx$ по определению.

Функция постоянна, поэтому любая интегральная сумма равна $4\cdot(6-2) = 16$ независимо от разбиения. Предел постоянной последовательности равен ей самой.

Ответ: $16$. Геометрический контроль: прямоугольник высотой $4$ и шириной $4$, площадь $16$ ✅

Пример 2 (средний). Вычисли $\int_0^1 (3x + 2)\,dx$ по определению, через сумму по правым концам.

Ответ: $3{,}5$. Контроль геометрией: фигура — прямая трапеция с основаниями $f(0)=2$ и $f(1)=5$ и высотой $1$, площадь $\frac{2+5}{2}\cdot 1 = 3{,}5$ ✅

Пример 3 (сложный). Вычисли $\int_1^3 x^2\,dx$, опираясь на уже доказанное $\int_0^b x^2\,dx = \frac{b^3}{3}$.

Прямой расчёт по определению на отрезке, не начинающемся в нуле, потребовал бы возиться с суммой $\sum\left(1 + \frac{2i}{n}\right)^2$. Обойдём это соображением о площадях: фигура над $[1;3]$ — это фигура над $[0;3]$ без фигуры над $[0;1]$.

Ответ: $\frac{26}{3} \approx 8{,}667$. Численная проверка: $8{,}66667$ ✅

Использованное свойство — аддитивность по отрезку, и в следующем разделе мы сформулируем его аккуратно. А приём стоит запомнить: интеграл по неудобному отрезку часто получается вычитанием двух удобных.

Почему это важно

Этот раздел — прививка от магического мышления. Через два урока ты будешь вычислять такие интегралы в одну строку и рискуешь начать считать, что так было всегда. Не было. Между определением и удобной формулой лежит теорема, которую человечество искало две тысячи лет, и стоило это ровно тех страданий, которые ты сейчас пережил на двух простейших функциях. Плюс практическая польза: когда формула не сработает — а она не сработает, например, для $e^{-x^2}$ или для функции, заданной таблицей измерений, — ты вернёшься сюда, к суммам, и посчитаешь численно. Это не запасной путь, а основной способ, которым интегралы считаются в реальном коде.

Какие функции интегрируемы

Интуиция: где конструкция ломается

Определение через предел требует осторожности: предел может не существовать. Значит, не всякая функция интегрируема, и полезно понимать, где проходит граница.

Начнём с необходимого условия, которое видно сразу.

Необходимое условие: если функция интегрируема на $[a;b]$, то она ограничена на этом отрезке.

Причина простая. Пусть $f$ не ограничена — скажем, уходит в $+\infty$ около какой-то точки. Тогда при любом разбиении найдётся кусочек, содержащий эту точку, и внутри него можно выбрать отмеченную точку $\xi_i$ со сколь угодно большим значением $f(\xi_i)$. Слагаемое $f(\xi_i)\Delta x_i$ станет сколь угодно большим, а вместе с ним и вся сумма. Никакого предела, не зависящего от выбора точек, тут быть не может.

Пример: $f(x) = \frac1x$ на $(0; 1]$, доопределённая нулём в нуле. Функция не ограничена около нуля, и интеграл в смысле Римана не существует. Такие случаи изучают отдельно под названием несобственных интегралов — это университетская тема, здесь мы её только называем.

Ограниченности, впрочем, мало. Вот функция, которая ограничена, но не интегрируема.

Функция Дирихле: контрпример, который стоит увидеть

Определим на отрезке $[0;1]$:

Функция ограничена: все её значения лежат между $0$ и $1$. Нарисовать её нельзя — это не кривая, а два «облака» точек на высотах $0$ и $1$, каждое всюду плотное.

Теперь возьмём любое разбиение $[0;1]$ и посчитаем интегральную сумму двумя способами.

Способ А. На каждом кусочке выберем $\xi_i$ рациональной. Это всегда возможно: между любыми двумя числами есть рациональное. Тогда все $f(\xi_i) = 1$, и

Способ Б. На каждом кусочке выберем $\xi_i$ иррациональной. Это тоже всегда возможно. Тогда все $f(\xi_i) = 0$, и

Одно и то же разбиение, разный выбор точек — суммы $1$ и $0$. И так при любом, сколь угодно мелком разбиении: зазор не сжимается никогда. Предела, не зависящего от выбора, не существует, значит функция Дирихле не интегрируема по Риману.

Причина неудачи ровно одна: разрывов слишком много. Функция Дирихле разрывна в каждой точке отрезка. Интеграл Лебега, кстати, с ней справляется и даёт ответ $0$ — иррациональных чисел «подавляюще больше», — но это уже другая конструкция.

Достаточные условия: что можно интегрировать спокойно

Хорошая новость: всё, с чем ты встретишься в этом курсе и в подавляющем большинстве прикладных задач, интегрируемо.

Теорема 1. Если $f$ непрерывна на отрезке $[a;b]$, то она интегрируема на нём.

Это главный рабочий факт. Многочлены, синусы, косинусы, экспоненты, логарифмы и корни на тех отрезках, где они определены и непрерывны, — все интегрируемы, вопрос закрыт. Доказательство опирается на равномерную непрерывность (теорема Кантора) и лежит за рамками школьного курса, но формулировку надо знать точно.

Теорема 2. Если $f$ ограничена на $[a;b]$ и имеет там конечное число точек разрыва, то она интегрируема.

Разрывы первого рода — «ступеньки» — интегрированию не мешают. Интуиция прямая: каждая точка разрыва портит только те кусочки разбиения, которые её содержат, а суммарная длина таких кусочков стремится к нулю вместе с $\lambda$. Портится вклад нулевой суммарной ширины — на предел это не влияет.

Практический вывод: кусочно-заданные функции интегрируются нормально. Ступенчатый тариф, сигнал с переключениями, кусочно-постоянная политика — всё это законные подынтегральные функции.

Теорема 3. Если $f$ монотонна и ограничена на $[a;b]$, то она интегрируема — даже если точек разрыва бесконечно много.

Это следствие того телескопического расчёта из первого раздела: для монотонной функции зазор между верхней и нижней суммой равен $\frac{(b-a)|f(b)-f(a)|}{n}$ и всегда стремится к нулю.

И ещё одно замечание, полезное на практике: значение интеграла не меняется, если изменить функцию в конечном числе точек. Ты можешь переопределить $f$ в десяти точках как угодно — интеграл останется прежним. Точки не имеют ширины, вклада не дают. Поэтому вопрос «а чему равно значение на границе кусочков» в задачах на кусочные функции не имеет значения для ответа.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Интегрируема ли $f(x) = x^3 - 4x + 1$ на $[-2; 5]$?

Многочлен непрерывен на всей числовой прямой, значит непрерывен и на этом отрезке. По теореме 1 интегрируем. Да.

Пример 2 (средний). Интегрируема ли на $[0;3]$ функция

Функция ограничена: на $[0;3]$ её значения не выходят за $[0; 9]$. Разрыв ровно один — в точке $x = 1$, где левый предел равен $1$, правый равен $1$, а значение равно $5$. Это устранимый разрыв, то есть разрыв первого рода. По теореме 2 функция интегрируема, и значение в точке $x=1$ на ответ не влияет вообще: интеграл будет таким же, как если бы там стояло $1$. Да, интегрируема.

Пример 3 (сложный). Интегрируема ли на $[0;1]$ функция $f(x) = \sin\frac1x$ при $x \neq 0$ и $f(0) = 0$?

Здесь бесконечно много разрывов? Нет — разрыв ровно один, в нуле, но зато очень скверный: около нуля функция бесконечно много раз пробегает от $-1$ до $1$, предела не имеет. Зато она ограничена: $|f| \leqslant 1$ везде.

Одной точки разрыва (пусть и второго рода) при ограниченности достаточно: испорченными оказываются только кусочки разбиения, накрывающие ноль, а их суммарная длина стремится к нулю. Формально это следует из критерия Лебега: ограниченная функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда множество её точек разрыва имеет нулевую меру, а одна точка — это множество нулевой меры.

Да, интегрируема. Численный расчёт даёт $\int_0^1 \sin\frac1x\,dx \approx 0{,}5041$. Сравни с функцией Дирихле: там разрывов было континуум, и всё сломалось. Здесь разрыв один — конструкция выдержала.

Почему это важно

Знание границ применимости — это разница между инженером и человеком, который подставляет в формулу. Когда scipy.integrate.quad возвращает предупреждение о том, что интеграл, возможно, расходится, за этим стоит ровно то, что мы обсудили: подынтегральная функция где-то не ограничена или слишком дико себя ведёт. И когда в статистике говорят, что у распределения Коши не существует математического ожидания, речь ровно о том же — интеграл, который должен был бы его определять, не существует. Не «мы не смогли посчитать», а не существует.

Свойства определённого интеграла

Все свойства ниже доказываются одинаково: пишем интегральную сумму, применяем к ней школьное свойство конечных сумм, переходим к пределу. Предел суммы равен сумме пределов (урок 131), поэтому переход законен.

Линейность

Свойство 1 (аддитивность по функции):

$$\int_a^b \big(f(x) + g(x)\big)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx.$$

Свойство 2 (вынесение константы):

$$\int_a^b k\,f(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx.$$

Доказательство первого. Интегральная сумма для $f+g$ разбивается на две:

Разбиение и точки одни и те же для обеих сумм, поэтому при $\lambda\to0$ каждая стремится к своему интегралу, а сумма — к сумме. $\blacksquare$

Второе доказывается вынесением $k$ за знак конечной суммы. Вместе эти два свойства называют линейностью интеграла, и записывают одной формулой:

Осторожно: линейность — это всё, что есть. Интеграл произведения не равен произведению интегралов, интеграл частного — не равен частному. Проверить легко: $\int_0^1 x\cdot x\,dx = \frac13$, а $\left(\int_0^1 x\,dx\right)^2 = \frac14$. Не совпадает.

Аддитивность по отрезку

Свойство 3: если $c$ — точка отрезка, то

$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx.$$

Геометрически это очевидная вещь: разрезали фигуру вертикальной линией — площади сложились. Формально: возьмём разбиения, среди точек которых обязательно есть $c$ (это законно, предел от выбора разбиения не зависит), и разорвём сумму в этом месте на две.

Свойство удобно в обе стороны. Слева направо — разрезаем сложный интеграл на простые (например, там, где функция меняет знак или задана другой формулой). Справа налево — склеиваем два известных в один. Приём из третьего примера прошлого раздела ($\int_1^3 = \int_0^3 - \int_0^1$) — это то же свойство, переписанное вычитанием.

Ориентация: интеграл помнит направление

Пока что мы всегда считали, что $a < b$. А если наоборот?

Свойство 4 (соглашение об ориентации):

$$\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx, \qquad \int_a^a f(x)\,dx = 0.$$

Формально это соглашение, но не произвольное. Если идти по отрезку справа налево, то приращения $\Delta x_i$ становятся отрицательными, и каждое слагаемое интегральной суммы меняет знак — значит меняет знак и вся сумма. А $\int_a^a = 0$ получается потому, что отрезок нулевой длины, все $\Delta x_i$ равны нулю.

Ради чего это соглашение принято? Ради того, чтобы аддитивность по отрезку работала всегда, при любом расположении точек $a$, $b$, $c$ — не только когда $c$ лежит между ними. Проверим на примере: пусть $a=0$, $b=1$, $c=3$, то есть $c$ снаружи отрезка. Тогда

Формула $\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$ выполняется и здесь — благодаря соглашению о знаке. Одно правило вместо разбора трёх случаев.

Монотонность и оценка интеграла

Свойство 5 (монотонность): если $f(x) \leqslant g(x)$ на $[a;b]$ и $a $$\int_a^b f(x)\,dx \leqslant \int_a^b g(x)\,dx.$$

Доказательство: в интегральных суммах каждое слагаемое слева не больше соответствующего справа (длины $\Delta x_i$ положительны), значит и суммы упорядочены, а нестрогие неравенства сохраняются при предельном переходе.

Частный случай при $g \equiv 0$: если $f \geqslant 0$, то и интеграл неотрицателен. Обратное, кстати, неверно — интеграл может быть равен нулю у функции, которая местами положительна, а местами отрицательна.

Свойство 6 (двусторонняя оценка): если $m \leqslant f(x) \leqslant M$ на $[a;b]$, то

$$m(b-a) \;\leqslant\; \int_a^b f(x)\,dx \;\leqslant\; M(b-a).$$

Это прямое следствие монотонности: интегрируем неравенство $m \leqslant f \leqslant M$ и пользуемся тем, что $\int_a^b m\,dx = m(b-a)$.

Геометрический смысл нагляден: фигура под графиком содержит прямоугольник высоты $m$ и содержится в прямоугольнике высоты $M$. Практический смысл ещё важнее: это способ получить оценку интеграла, вообще не умея его вычислять. Функция может быть какой угодно жуткой — если ты знаешь её минимум и максимум, ты знаешь вилку для интеграла. А разрезав отрезок на несколько частей и оценив на каждой отдельно, вилку можно сузить сколь угодно (это ровно нижние и верхние суммы из первого раздела).

Свойство 7 (оценка модуля):

$$\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \leqslant \int_a^b |f(x)|\,dx \quad (a

Неравенство треугольника для интегралов: модуль суммы не превосходит суммы модулей, и это сохраняется в пределе. Слева площадь со знаком, справа — площадь без знака.

Симметрия: чётность и нечётность

Свойство 8: пусть отрезок симметричен: $[-a; a]$. Тогда

• если $f$ нечётна ($f(-x) = -f(x)$), то $\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0$;
• если $f$ чётна ($f(-x) = f(x)$), то $\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$.

Почему так. Разрежем интеграл в нуле: $\int_{-a}^a = \int_{-a}^0 + \int_0^a$. Возьмём симметричные разбиения левой и правой половины — то есть такие, где узлы левой части получаются из узлов правой отражением. Тогда каждому слагаемому $f(\xi)\Delta x$ справа соответствует слагаемое $f(-\xi)\Delta x$ слева. Для нечётной функции $f(-\xi) = -f(\xi)$, и слагаемые попарно уничтожаются: сумма тождественно равна нулю при любом $n$, значит и предел равен нулю. Для чётной функции слагаемые попарно равны, и левая половина даёт ровно столько же, сколько правая. $\blacksquare$

Это свойство — один из самых мощных инструментов урока, потому что оно даёт точный ответ без единого вычисления. Увидел нечётную функцию на симметричном отрезке — пиши ноль.

Список нечётных функций, которые стоит узнавать в лицо: $x$, $x^3$, $x^5$, любая нечётная степень; $\sin x$, $\operatorname{tg} x$, $\arcsin x$, $\operatorname{arctg} x$; $\frac{x}{1+x^2}$, $x\cos x$, $x^3 e^{-x^2}$. Общее правило: нечётная функция, умноженная на чётную, даёт нечётную; произведение двух нечётных — чётная.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Известно, что $\int_0^4 f(x)\,dx = 10$ и $\int_0^4 g(x)\,dx = -3$. Найди $\int_0^4 (2f(x) - 5g(x) + 1)\,dx$.

Линейность плюс интеграл от константы:

$$2\cdot 10 - 5\cdot(-3) + 1\cdot(4-0) = 20 + 15 + 4 = 39.$$

Ответ: $39$.

Пример 2 (средний). Вычисли $\int_{-5}^{5}\left(x^7 - 3x^3 + \operatorname{arctg} x\right)dx$.

Проверим каждое слагаемое на нечётность: $x^7$ нечётна, $-3x^3$ нечётна, $\operatorname{arctg} x$ нечётна. Сумма нечётных функций нечётна, отрезок симметричен.

Ответ: $0$. Численная проверка подтверждает: интегратор возвращает величину порядка $10^{-16}$, то есть машинный ноль ✅

Пример 3 (сложный). Оцени $\int_0^2 \dfrac{dx}{1 + x^3}$ сверху и снизу двумя способами: грубо и разбив отрезок пополам.

Функция $\frac{1}{1+x^3}$ убывает на $[0;2]$, поэтому её наибольшее значение в левом конце, наименьшее — в правом.

Грубая оценка. $M = f(0) = 1$, $m = f(2) = \frac19 \approx 0{,}1111$. Длина отрезка $2$:

$$0{,}2222 \leqslant \int_0^2 \frac{dx}{1+x^3} \leqslant 2.$$

Вилка чудовищно широкая — почти в девять раз.

Оценка с разбиением. Разрежем в точке $1$. На $[0;1]$: $M_1 = f(0) = 1$, $m_1 = f(1) = \frac12$. На $[1;2]$: $M_2 = f(1) = \frac12$, $m_2 = f(2) = \frac19$.

$$\text{снизу: } 1\cdot\frac12 + 1\cdot\frac19 = 0{,}6111, \qquad \text{сверху: } 1\cdot 1 + 1\cdot\frac12 = 1{,}5.$$

Вилка $0{,}6111 \leqslant I \leqslant 1{,}5$ — уже втрое у́же. Истинное значение (численно) $\approx 1{,}0900$ ✅ попадает в обе вилки.

Ответ: $0{,}61 \leqslant I \leqslant 1{,}5$; дальнейшее измельчение сужает вилку сколь угодно.

Почему это важно

Свойства — это то, чем реально пользуются. В большинстве прикладных задач интеграл не берут «в лоб»: его разрезают на куски по аддитивности, из него выносят константы по линейности, у него убивают нечётные части по симметрии, а остаток оценивают неравенством. Каждое такое преобразование — снятая работа. И тот же набор ходов используется в теории вероятностей, в физике и в оценках сложности алгоритмов: линейность математического ожидания, аддитивность работы по участкам пути, разбиение интеграла ошибки на слагаемые. Это один и тот же инструмент, применённый в разных областях.

---

Площадь со знаком: главное недоразумение темы

Интуиция: минус берётся из определения, а не «откуда-то»

Пора сказать то, что обычно говорят слишком поздно и слишком тихо.

Определённый интеграл — это не площадь. Это площадь со знаком.

Вернёмся к определению. Интегральная сумма — это $\sum f(\xi_i)\Delta x_i$. При $a < b$ все $\Delta x_i$ положительны. А вот множитель $f(\xi_i)$ может быть каким угодно. Если функция на кусочке отрицательна, слагаемое отрицательно, и в общую сумму оно входит со знаком минус.

Отсюда правило, которое надо выучить как таблицу умножения:

• участок, где $f(x) > 0$, вносит в интеграл плюс площадь фигуры между графиком и осью;
• участок, где $f(x) < 0$, вносит минус площадь;
• итоговый интеграл — алгебраическая сумма этих вкладов.

Самая честная формулировка звучит так: интеграл считает не площадь, а накопленную величину. Если $f$ — скорость с учётом направления, интеграл даёт перемещение, а не пройденный путь: проехал сто метров вперёд и сто назад — перемещение ноль, путь двести. Если $f$ — прибыль в единицу времени, интеграл даёт финансовый результат, а не оборот: заработал миллион и потерял миллион — результат ноль. Знак не баг, а содержательная часть ответа.

Классические примеры, на которых ловятся все

Синус за полный период. Возьмём $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx$. На $[0;\pi]$ синус положителен, на $[\pi; 2\pi]$ отрицателен, и по симметрии эти два куска дают равные по модулю вклады с разными знаками:

$$\int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0.$$

Численная проверка возвращает величину порядка $10^{-16}$ — машинный ноль ✅ А площадь фигуры, ограниченной синусоидой и осью на этом отрезке, равна $4$: две одинаковые «горки» площадью $2$ каждая (значение $\int_0^\pi \sin x\,dx = 2$ мы проверим численно, а строго получим в следующем уроке). Ноль и четыре — разница между интегралом и площадью в чистом виде.

Линейная функция, пересекающая ось. $\int_0^3 (x-1)\,dx$. График — прямая, пересекающая ось в точке $x=1$.

На $[0;1]$ функция отрицательна, фигура — треугольник с катетами $1$ и $1$, площадь $0{,}5$, вклад $-0{,}5$. На $[1;3]$ функция положительна, треугольник с катетами $2$ и $2$, площадь $2$, вклад $+2$.

$$\int_0^3 (x-1)\,dx = -0{,}5 + 2 = 1{,}5.$$

Численная проверка: $1{,}5$ ✅ А площадь фигуры между графиком и осью равна $0{,}5 + 2 = 2{,}5$.

Запомни этот пример: два числа, $1{,}5$ и $2{,}5$, отвечают на два разных вопроса. «Чему равен интеграл» — $1{,}5$. «Чему равна площадь» — $2{,}5$. Если в задаче спрашивают площадь, а функция меняет знак, интеграл в лоб даст неверный ответ.

Как считать площадь, когда функция меняет знак

Алгоритм из трёх шагов:

1. Найти точки, где $f(x) = 0$ внутри отрезка — то есть решить уравнение.
2. Разрезать отрезок этими точками по аддитивности.
3. На каждом куске взять интеграл по модулю и сложить.

Формально: $\text{Площадь} = \displaystyle\int_a^b |f(x)|\,dx$, и модуль раскрывается по кускам постоянного знака.

Разница между $\left|\int f\right|$ и $\int |f|$ — это ровно свойство 7 из прошлого раздела. Неравенство $\left|\int f\right| \leqslant \int|f|$ превращается в равенство только тогда, когда функция не меняет знак.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Вычисли $\int_{-1}^{2} x\,dx$ и отдельно площадь фигуры между графиком $y=x$ и осью на этом отрезке.

Интеграл: на $[-1;0]$ треугольник с катетами $1$ и $1$ ниже оси, вклад $-0{,}5$; на $[0;2]$ треугольник с катетами $2$ и $2$ выше оси, вклад $+2$.

$$\int_{-1}^2 x\,dx = -0{,}5 + 2 = 1{,}5.$$

Численная проверка: $1{,}5$ ✅

Площадь: $0{,}5 + 2 = 2{,}5$.

Ответ: интеграл $1{,}5$, площадь $2{,}5$.

Пример 2 (средний). Известно, что $\int_0^5 f(x)\,dx = 3$, а функция $f$ отрицательна ровно на $(2;5)$, где $\int_2^5 f(x)\,dx = -4$. Найди площадь фигуры между графиком и осью на $[0;5]$.

По аддитивности $\int_0^2 f = \int_0^5 f - \int_2^5 f = 3 - (-4) = 7$. На $[0;2]$ функция неотрицательна, значит площадь этой части равна $7$. На $[2;5]$ функция отрицательна, площадь равна $|-4| = 4$.

$$\text{Площадь} = 7 + 4 = 11.$$

Ответ: $11$. Обрати внимание: интеграл был $3$, а площадь $11$ — почти вчетверо больше. Знаковая компенсация может съесть сколь угодно много.

Пример 3 (сложный). Функция $f$ нечётна и $\int_0^3 f(x)\,dx = 6$, причём $f(x) > 0$ при $x>0$. Найди: а) $\int_{-3}^{3} f(x)\,dx$; б) $\int_{-3}^{0} f(x)\,dx$; в) площадь фигуры между графиком и осью на $[-3;3]$.

а) Нечётная функция на симметричном отрезке: интеграл равен $0$.

б) По аддитивности $\int_{-3}^0 f = \int_{-3}^3 f - \int_0^3 f = 0 - 6 = -6$.

в) Площадь считается по модулю на каждом куске: $|-6| + |6| = 12$.

Ответ: а) $0$; б) $-6$; в) $12$.

Проверим на конкретной функции: возьмём $f(x) = \frac{2x}{3}$, для неё $\int_0^3 f = \frac{2}{3}\cdot\frac{9}{2} = 3$ — не $6$, но структура та же; при $f(x)=\frac{4x}{3}$ получится ровно $6$, и площадь двух треугольников равна $6+6=12$ ✅

Почему это важно

Это самая частая ошибка во всей теме интегралов, и она стоит баллов на экзамене и багов в коде. В следующих уроках, где считают площади между кривыми и объёмы, знаковая история становится ещё коварнее: там надо не только заметить смену знака, но и правильно определить, какая кривая выше на каждом куске. Заведи привычку: прежде чем считать площадь, найди нули подынтегральной функции на отрезке. Тридцать секунд работы, которые снимают целый класс ошибок. И в прикладных задачах вопрос «мне нужна накопленная величина или суммарная величина по модулю» надо задавать себе всегда: перемещение или путь, финансовый результат или оборот, суммарная ошибка или сумма модулей ошибок — это разные метрики, и в машинном обучении путаница между ними приводит к моделям, которые «в среднем не ошибаются», ошибаясь при этом чудовищно в обе стороны.

---

Среднее значение функции

Интуиция: какой прямоугольник равновелик фигуре

Среднее арифметическое конечного набора чисел — вещь понятная: сложили и поделили на количество. А что такое среднее значение функции на отрезке? Значений бесконечно много, складывать и делить не получится.

Правильный путь — приблизиться дискретно. Возьмём $n$ равноотстоящих точек $\xi_1, \dots, \xi_n$ на отрезке $[a;b]$ и усредним значения в них:

$$\bar f_n = \frac{f(\xi_1) + \dots + f(\xi_n)}{n}.$$

Так как точки равноотстоящие, $\Delta x = \frac{b-a}{n}$, то есть $\frac1n = \frac{\Delta x}{b-a}$. Подставим:

$$\bar f_n = \frac{1}{b-a}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\,\Delta x.$$

Внутри стоит интегральная сумма. При $n \to \infty$ она превращается в интеграл, и мы получаем определение.

Определение: средним значением функции $f$ на отрезке $[a;b]$ называется число

$$\bar f = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

Геометрическая интерпретация лучшая из возможных: $\bar f$ — это высота прямоугольника с основанием $[a;b]$, площадь которого равна площади криволинейной трапеции. Если бы фигуру можно было «разгладить», сохранив площадь и ширину, её высота стала бы равна $\bar f$. Из формулы это видно прямо: $\int_a^b f = \bar f\cdot(b-a)$, площадь = высота × ширина.

Иначе: срежь у фигуры все горбы и засыпь ими все впадины — получится прямоугольник высоты $\bar f$.

Теорема о среднем значении

Возникает естественный вопрос: а достигается ли это среднее? Есть ли на отрезке точка, где функция принимает в точности своё среднее значение?

Теорема о среднем: если $f$ непрерывна на $[a;b]$, то найдётся точка $c \in [a;b]$ такая, что

$$\int_a^b f(x)\,dx = f(c)\,(b-a), \qquad \text{то есть}\qquad f(c) = \bar f.$$

Доказательство. Непрерывная на отрезке функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений (это факт из теории непрерывных функций, теорема Вейерштрасса). Обозначим их $M$ и $m$. По свойству двусторонней оценки

$$m(b-a) \leqslant \int_a^b f(x)\,dx \leqslant M(b-a).$$

Разделим всё на $b-a > 0$:

$$m \leqslant \bar f \leqslant M.$$

Итак, число $\bar f$ лежит между минимальным и максимальным значениями функции. А непрерывная функция принимает все промежуточные значения между своими крайними (теорема о промежуточном значении, она же теорема Больцано–Коши). Значит найдётся точка $c$, в которой $f(c) = \bar f$. $\blacksquare$

Две оговорки, обе важные.

Непрерывность обязательна. Для разрывной функции теорема ломается. Пример: $f(x) = 0$ на $[0;1)$ и $f(x)=1$ на $[1;2]$. Интеграл равен $1$, длина отрезка $2$, среднее $\bar f = 0{,}5$. А значения функции — только $0$ и $1$. Значения $0{,}5$ функция не принимает нигде, точки $c$ не существует. Функция при этом прекрасно интегрируема — просто теорема о среднем требует большего.

Точка $c$ не обязана быть единственной. Для $f(x) = \sin x$ на $[0; 2\pi]$ среднее равно нулю, и точек, где синус равен нулю, на отрезке три.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Найди среднее значение $f(x) = 3x$ на отрезке $[0;4]$ и точку $c$, в которой оно достигается.

Интеграл — площадь треугольника с катетами $4$ и $f(4)=12$:

$$\int_0^4 3x\,dx = \frac{4\cdot 12}{2} = 24.$$

Среднее: $\bar f = \frac{24}{4-0} = 6$. Точка: $3c = 6$, откуда $c = 2$ — середина отрезка, как и должно быть для линейной функции.

Ответ: $\bar f = 6$, $c = 2$. Численная проверка интеграла: $24$ ✅

Пример 2 (средний). Найди среднее значение $f(x) = x^2$ на $[0;1]$ и точку $c$.

Интеграл мы посчитали по определению: $\frac13$. Длина отрезка $1$, значит $\bar f = \frac13$.

Точка: $c^2 = \frac13$, $c = \frac{1}{\sqrt3} \approx 0{,}5774$.

Ответ: $\bar f = \frac13$, $c = \frac{1}{\sqrt3}\approx 0{,}577$.

Обрати внимание: точка $c$ левее середины отрезка. Логично — парабола растёт медленно вначале и быстро в конце, поэтому «типичное» значение достигается раньше середины.

Пример 3 (сложный). Найди среднее значение $f(x) = \sqrt{1-x^2}$ на $[-1;1]$ и все точки $c$.

Интеграл — площадь полукруга радиуса $1$:

$$\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{\pi\cdot 1^2}{2} = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}5708.$$

Длина отрезка равна $2$, значит

$$\bar f = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}\approx 0{,}7854.$$

Точки: $\sqrt{1-c^2} = \frac\pi4$, отсюда $1 - c^2 = \frac{\pi^2}{16} \approx 0{,}61685$, $c^2 \approx 0{,}38315$, $c \approx \pm 0{,}6190$. Две точки — функция чётная, теорема гарантирует хотя бы одну.

Ответ: $\bar f = \frac\pi4 \approx 0{,}785$; $c \approx \pm 0{,}619$. Численная проверка интеграла даёт $1{,}570796$ ✅

Полезный контроль здравого смысла: средняя высота полукруга радиуса $1$ равна $0{,}785$, а максимальная — $1$. Правдоподобно: полукруг «толстый» в середине и тонкий по краям, так что среднее должно быть заметно ниже максимума, но не вдвое.

Почему это важно

Среднее значение функции — это то, что в реальных задачах спрашивают чаще, чем сам интеграл. Средняя скорость на участке, средняя мощность за период, средняя температура за сутки, средняя нагрузка на сервер за час, средний размер очереди — все они определяются этой формулой. В статистике то же самое становится математическим ожиданием, а в обучении с подкреплением — средней наградой на шаг. И у формулы есть тонкость, которую полезно понимать заранее: среднее значение функции — это среднее по времени (или по длине), и оно, вообще говоря, не равно среднему арифметическому значений в каких-то выбранных точках, если точки распределены неравномерно. Об этом спотыкаются, когда усредняют метрики по батчам разного размера.

---

Численное интегрирование: когда формулы нет

Интуиция: это те же интегральные суммы, только конечные

Определение интеграла — это предел сумм. Но предел брать необязательно: можно остановиться на конечном $n$ и получить приближённое значение. Именно так интегралы считаются в реальном коде, и именно так они считались до появления компьютеров — вручную, по таблицам.

Все методы численного интегрирования устроены одинаково: отрезок режется на $n$ равных частей ширины $h = \frac{b-a}{n}$, и на каждой части функция заменяется чем-то простым, что легко проинтегрировать. Различаются методы только тем, чем именно заменяют.

Метод прямоугольников

Функция на кусочке заменяется константой. В зависимости от того, откуда берётся эта константа, получаются три варианта:

• левые прямоугольники: $\displaystyle I \approx h\big(f(x_0) + f(x_1) + \dots + f(x_{n-1})\big)$;
• правые прямоугольники: $\displaystyle I \approx h\big(f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_n)\big)$;
• средние прямоугольники: $\displaystyle I \approx h\sum_{i=1}^{n} f\!\left(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\right)$.

Первые два — буквально интегральные суммы по левым и правым концам. Погрешность у них порядка $h$: уменьшил шаг вдвое — погрешность упала вдвое. Это медленно.

А вот метод средних неожиданно хорош: его погрешность порядка $h^2$. Причина в компенсации, которую мы видели в примере с $f(x)=x$: на левой половине кусочка прямоугольник недобирает, на правой перебирает, и ошибки гасят друг друга. Для линейной функции гасят полностью, для гладкой — почти полностью.

Метод трапеций

Функция на кусочке заменяется не константой, а отрезком прямой, соединяющим точки графика на концах. Площадь получившейся трапеции равна $h\cdot\frac{f(x_{i-1})+f(x_i)}{2}$. Складываем:

$$I \approx h\left(\frac{f(x_0)}{2} + f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_{n-1}) + \frac{f(x_n)}{2}\right).$$

Обрати внимание на структуру: крайние значения входят с половинным весом, внутренние — с полным. Это ровно среднее арифметическое левой и правой прямоугольных сумм — и мы уже видели в примере с $f(x)=x$, что оно даёт точный ответ там, где каждая из них ошибается.

Погрешность метода трапеций — порядка $h^2$. Уменьшил шаг вдвое — погрешность упала вчетверо.

Метод Симпсона

Следующий логичный шаг: заменить функцию на кусочке не прямой, а параболой. Парабола проводится через три точки — два конца и середину, — поэтому отрезок режут на чётное число частей $n$ и работают с парами кусочков.

$$I \approx \frac{h}{3}\Big(f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \dots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)\Big).$$

Правило коэффициентов простое: крайние — единицы, нечётные узлы — четвёрки, чётные внутренние — двойки. Сумма всех коэффициентов равна $3n$, и деление на $3$ с умножением на $h$ даёт правильный масштаб (проверь на константе: получится $\frac h3\cdot 3n\cdot c = c\cdot nh = c(b-a)$ ✅).

Погрешность Симпсона — порядка $h^4$. Уменьшил шаг вдвое — погрешность упала в шестнадцать раз. И бонус: метод точен для всех многочленов степени не выше третьей. Для парабол это ожидаемо (мы ими и приближаем), а для кубических парабол — приятный сюрприз: лишние члены погрешности сокращаются по симметрии.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Посчитай $\int_1^2 \frac{dx}{x}$ методом левых и правых прямоугольников при $n = 4$ и объясни, почему истинное значение между ними.

Шаг $h = 0{,}25$, узлы $1;\ 1{,}25;\ 1{,}5;\ 1{,}75;\ 2$. Значения $f = \frac1x$: $1;\ 0{,}8;\ 0{,}6\overline{6};\ 0{,}5714;\ 0{,}5$.

$$L = 0{,}25\,(1 + 0{,}8 + 0{,}6667 + 0{,}5714) = 0{,}25\cdot 3{,}0381 = 0{,}7595.$$$$R = 0{,}25\,(0{,}8 + 0{,}6667 + 0{,}5714 + 0{,}5) = 0{,}25\cdot 2{,}5381 = 0{,}6345.$$

Функция убывает, поэтому на каждом кусочке левое значение — наибольшее, правое — наименьшее. Значит $L$ — верхняя сумма, $R$ — нижняя, и по построению $R \leqslant I \leqslant L$.

Истинное значение (численно) $\approx 0{,}6931$ ✅ действительно внутри.

Пример 2 (средний). Посчитай $\int_0^1 \frac{4\,dx}{1+x^2}$ методом трапеций при $n=4$ и оцени погрешность, зная, что точное значение равно $\pi$.

Значения $f(x) = \frac{4}{1+x^2}$ в узлах $0;\ 0{,}25;\ 0{,}5;\ 0{,}75;\ 1$:

$$4;\quad 3{,}764706;\quad 3{,}2;\quad 2{,}56;\quad 2.$$$$T_4 = 0{,}25\left(\frac{4}{2} + 3{,}764706 + 3{,}2 + 2{,}56 + \frac{2}{2}\right) = 0{,}25\cdot 12{,}524706 = 3{,}131176.$$

Погрешность: $3{,}131176 - 3{,}141593 = -0{,}010416$.

Ответ: $T_4 \approx 3{,}1312$, погрешность около $-0{,}0104$.

Контроль порядка сходимости: при $n = 8$ метод трапеций даёт $3{,}138988$ с погрешностью $-0{,}002604$. Отношение погрешностей $\frac{0{,}010416}{0{,}002604} = 4{,}00$ ✅ Ровно вчетверо, как и обещает порядок $h^2$.

Пример 3 (сложный). Тот же интеграл методом Симпсона при $n=4$. Во сколько раз он точнее трапеций?

$$S_4 = \frac{0{,}25}{3}\big(4 + 4\cdot 3{,}764706 + 2\cdot 3{,}2 + 4\cdot 2{,}56 + 2\big).$$

Считаем скобку: $4 + 15{,}058824 + 6{,}4 + 10{,}24 + 2 = 37{,}698824$. Умножаем на $\frac{0{,}25}{3} = 0{,}083333$:

$$S_4 = 3{,}141569.$$

Погрешность: $3{,}141569 - 3{,}141593 = -0{,}000024$.

Сравнение: $\frac{0{,}010416}{0{,}000024} \approx 434$.

Ответ: $S_4 \approx 3{,}14157$; метод Симпсона точнее трапеций примерно в $430$ раз при том же числе вычислений функции.

Вот это и есть главный практический вывод раздела: при одинаковых затратах методы дают радикально разную точность. Пять вычислений функции — и три верных знака $\pi$ вместо одного.

Почему это важно

Численное интегрирование — это не «запасной вариант на случай, если не получилось». Это основной способ, которым интегралы считаются в инженерной и научной практике. Причин три: у большинства функций нет удобной формулы для точного вычисления; данные часто заданы таблицей измерений, а не формулой; и даже когда формула есть, численный метод бывает быстрее. В Python за это отвечает модуль scipy.integrate: quad для одномерных интегралов (адаптивный алгоритм на квадратурах Гаусса–Кронрода), trapezoid и simpson для данных на сетке. В PyTorch есть torch.trapz, работающий на тензорах и поддерживающий автоматическое дифференцирование. И, что важно для самопроверки: любой аналитический ответ можно за пять секунд проверить численно. Привыкай это делать — то же самое делал я, готовя каждое число в этом уроке.

---

Определённый интеграл в машинном обучении и статистике

Если производная в ML — это про обучение (градиенты, шаги оптимизатора), то определённый интеграл — про оценку. Всё, что в машинном обучении называется «средним», «ожиданием», «вероятностью» или «площадью под кривой», при внимательном взгляде оказывается определённым интегралом. А поскольку посчитать его точно почти никогда нельзя, вся практика сводится к тому, чтобы посчитать его хорошо приближённо. Этим и займёмся.

Математическое ожидание и дисперсия — это интегралы

Непрерывная случайная величина $X$ задаётся плотностью $p(x)$. Про связь плотности и функции распределения речь шла в уроке 145; теперь добавим числовые характеристики.

Математическое ожидание — среднее значение величины:

$$E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x\,p(x)\,dx.$$

Дисперсия — средний квадрат отклонения от среднего:

$$D[X] = E\big[(X - E[X])^2\big] = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - E[X])^2\,p(x)\,dx.$$

Вероятность попадания в интервал:

$$P(a \leqslant X \leqslant b) = \int_a^b p(x)\,dx.$$

Посмотри на первую формулу как на интегральную сумму. Дискретный аналог — это $E[X] = \sum x_k\,P(x_k)$: каждое значение взвешено своей вероятностью. Непрерывный вариант — то же самое, только вместо вероятности отдельного значения стоит $p(x)\,dx$ — вероятность попасть в бесконечно узкую полоску. Определение через суммы переносится один в один, меняется только смысл веса: вместо ширины $\Delta x_i$ — вероятностная масса кусочка.

Конкретный расчёт. Равномерное распределение на $[0; 4]$: плотность $p(x) = \frac14$ на отрезке и ноль вне.

$$E[X] = \int_0^4 \frac{x}{4}\,dx = \frac14\int_0^4 x\,dx = \frac14\cdot\frac{4\cdot 4}{2} = 2$$

(интеграл — площадь треугольника с катетами $4$ и $4$). Ожидание равно середине отрезка, как и должно быть.

$$E[X^2] = \int_0^4 \frac{x^2}{4}\,dx = \frac14\cdot\frac{4^3}{3} = \frac{16}{3},$$

здесь использована формула $\int_0^b x^2dx = \frac{b^3}{3}$, выведенная нами по определению. Тогда

$$D[X] = E[X^2] - \big(E[X]\big)^2 = \frac{16}{3} - 4 = \frac43 \approx 1{,}333.$$

Численная проверка: $E[X] = 2{,}0$, $D[X] = 1{,}33333$ ✅ Общая формула для равномерного распределения на $[a;b]$ даёт $\frac{(b-a)^2}{12} = \frac{16}{12} = \frac43$ ✅ Сходится.

Заметь: пределы интегрирования тут бесконечные. Это несобственный интеграл — конструкция, выходящая за рамки школьного курса, но идея та же: считаем по конечному отрезку и смотрим, к чему стремится результат при расширении отрезка. Для плотностей, которые быстро убывают, предел существует. Для распределения Коши $p(x) = \frac{1}{\pi(1+x^2)}$ — не существует, и поэтому у него нет математического ожидания.

Монте-Карло: интегральная сумма со случайными точками

Это главный сюжет раздела, и он прямо продолжает определение интеграла.

Вернёмся к интегральной сумме на отрезке $[a;b]$ с равными кусочками:

$$\int_a^b f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\,\frac{b-a}{n} = (b-a)\cdot\frac{f(\xi_1) + \dots + f(\xi_n)}{n}.$$

В правой части стоит длина отрезка, умноженная на среднее арифметическое значений функции в выбранных точках. Определение Римана требует, чтобы предел не зависел от выбора точек $\xi_i$. Значит их можно брать не по сетке, а случайно и равномерно на отрезке.

Это и есть метод Монте-Карло:

$$\int_a^b f(x)\,dx \approx (b-a)\cdot\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N} f(u_k), \qquad u_k \sim \text{Uniform}[a;b].$$

Никакой новой математики — та же самая интегральная сумма, просто точки выбраны бросанием кубика вместо линейки. Работает же оно по закону больших чисел: среднее $N$ независимых значений $f(u_k)$ сходится к математическому ожиданию $E[f(U)]$, а оно равно $\frac{1}{b-a}\int_a^b f$ — то есть среднему значению функции из предыдущего раздела.

Скорость сходимости. Здесь начинается интересное. Стандартное отклонение среднего $N$ независимых величин равно $\frac{\sigma}{\sqrt N}$. Значит погрешность Монте-Карло ведёт себя как

$$\varepsilon \sim \frac{1}{\sqrt N}.$$

Это очень медленно. Чтобы улучшить ответ на один десятичный знак, нужно в $100$ раз больше точек. Сравни с методом Симпсона, где погрешность падает как $h^4 \sim N^{-4}$: там для лишнего знака хватает увеличения $N$ примерно в $1{,}8$ раза.

Проверим на живом эксперименте. Считаем $\int_0^1 \frac{4\,dx}{1+x^2} = \pi$ методом Монте-Карло, повторяя опыт по $200$ раз для каждого $N$ и глядя на разброс оценок:

$N$	среднее по 200 запускам	стандартное отклонение
$100$	$3{,}1357$	$0{,}067$
$10\,000$	$3{,}1414$	$0{,}0062$
$1\,000\,000$	$3{,}14156$	$0{,}00063$

Каждое стократное увеличение $N$ уменьшает разброс ровно в десять раз ✅ — в точности закон $\frac{1}{\sqrt N}$. И обрати внимание на масштаб: миллион случайных точек даёт три верных знака $\pi$, а метод Симпсона выдал столько же на пяти точках. В одномерном случае Монте-Карло проигрывает разгромно.

Почему в ML побеждает всё-таки Монте-Карло

А теперь ключевой поворот. Посмотрим, что происходит при переходе к нескольким переменным.

Пусть интеграл берётся не по отрезку, а по $d$-мерному кубу. Сеточные методы (прямоугольники, трапеции, Симпсон) требуют сетки: если по каждой оси взять $m$ узлов, всего узлов будет $m^d$. При $m = 10$ и $d = 10$ это уже $10^{10}$ вычислений функции. При $d = 100$ — число, у которого сто нулей. Физически невозможно.

Это и есть проклятие размерности: стоимость сеточных методов растёт экспоненциально по числу измерений. Причём точность на этом фоне падает: погрешность трапеций в $d$ измерениях ведёт себя как $N^{-2/d}$, и при $d = 10$ показатель равен $-0{,}2$ — хуже, чем у Монте-Карло.

А у Монте-Карло погрешность равна $\frac{\sigma}{\sqrt N}$ при любом $d$. Размерность в эту формулу просто не входит. Она влияет на константу $\sigma$, но не на скорость. Поэтому картина такая:

• в одном-двух измерениях сеточные методы бьют Монте-Карло с огромным запасом;
• примерно с четырёх-пяти измерений они сравниваются;
• дальше Монте-Карло выигрывает, и чем больше $d$, тем безнадёжнее отрыв.

Задачи машинного обучения живут в размерностях от сотен до миллиардов. Поэтому в ML любое интегрирование — это Монте-Карло: сэмплирование из апостериорного распределения, вариационный вывод, дропаут как приближённое байесовское усреднение, оценка градиента в policy gradient, диффузионные модели. Везде интеграл заменён средним по случайным сэмплам.

Батч — это оценка интеграла по распределению данных

Самое частое применение Монте-Карло в ML настолько привычно, что его перестают замечать. Функция потерь на всём распределении данных — это интеграл:

$$\mathcal{L} = E_{x \sim p_{\text{data}}}\big[\ell(f_\theta(x), y)\big] = \int \ell\big(f_\theta(x), y\big)\,p_{\text{data}}(x)\,dx.$$

Посчитать его точно нельзя: истинное распределение данных неизвестно, а известна лишь выборка. Что делают на практике? Берут батч из $B$ примеров и усредняют потери:

$$\hat{\mathcal{L}} = \frac1B\sum_{k=1}^{B}\ell\big(f_\theta(x_k), y_k\big).$$

Это ровно оценка интеграла методом Монте-Карло. Отсюда сразу два следствия, которые обычно объясняют интуитивно, а на самом деле они выводятся из формулы $\frac{\sigma}{\sqrt B}$:

• шум оценки лосса и градиента падает как $\frac{1}{\sqrt B}$. Увеличение батча вчетверо снижает шум вдвое — а стоит вчетверо дороже. Отсюда закон убывающей отдачи от больших батчей;
• оценка несмещённая: среднее по случайному батчу в среднем даёт правильное значение интеграла, поэтому SGD сходится, несмотря на шум.

AUC-ROC — это буквально площадь под кривой

Один из самых употребимых показателей качества классификатора называется AUC — Area Under Curve. И это не метафора: ROC-кривая строится в координатах «доля ложноположительных» по горизонтали и «доля истинноположительных» по вертикали, а AUC — площадь фигуры под ней, то есть

$$\text{AUC} = \int_0^1 \text{TPR}\big(\text{FPR}\big)\,d(\text{FPR}).$$

На практике кривая задана конечным набором точек (по одной на каждый порог), и площадь считают методом трапеций — тем самым, который мы разобрали выше. Функция sklearn.metrics.auc внутри вызывает np.trapz. Заодно понятен смысл крайних случаев: AUC $=1$ — фигура заполняет весь единичный квадрат, идеальный классификатор; AUC $=0{,}5$ — площадь под диагональю, случайное угадывание. Похожая история с PR-AUC и со средней точностью.

Средняя награда и дисконтированный возврат в RL

В обучении с подкреплением целевая функция агента — это интеграл или сумма по времени. В непрерывном времени дисконтированный возврат записывается как

$$J = \int_0^{\infty} e^{-\rho t}\,r(t)\,dt,$$

в дискретном — как $\sum_{t} \gamma^t r_t$, где $\gamma$ играет роль $e^{-\rho}$. А критерий «средней награды» — это ровно среднее значение функции из предыдущего раздела:

$$\bar r = \lim_{T\to\infty}\frac1T\int_0^T r(t)\,dt.$$

Обе величины оценивают по траекториям, то есть опять методом Монте-Карло: прогнали агента $N$ раз, усреднили. И медленная сходимость $\frac{1}{\sqrt N}$ — прямая причина того, почему RL так дорого обучать: чтобы уменьшить шум оценки вдесятеро, нужно в сто раз больше эпизодов.

Инструменты: что вызывать в коде

Короткая справка, что где лежит.

• scipy.integrate.quad(f, a, b) — адаптивное одномерное интегрирование; возвращает пару «значение, оценка погрешности». Внутри — квадратуры Гаусса–Кронрода: узлы и веса подобраны так, чтобы формула была точна для многочленов максимально высокой степени при фиксированном числе точек. Это тот же принцип, что у Симпсона, доведённый до предела.
• scipy.integrate.trapezoid(y, x) и simpson(y, x) — для данных, заданных таблицей, когда функции как формулы нет вовсе.
• numpy.trapezoid (в версиях до numpy 2.0 — numpy.trapz) — то же самое в numpy; на нём стоит расчёт AUC в scikit-learn.
• torch.trapz — версия для тензоров, дифференцируемая: интеграл можно вставить внутрь модели и пропускать через него градиенты.
• scipy.integrate.quad_vec, nquad — векторные и многомерные варианты; последний быстро упирается в проклятие размерности, и дальше начинается Монте-Карло руками.

Почему это важно

Определённый интеграл в машинном обучении — это способ сказать «в среднем по всем возможным случаям». Ожидание, вероятность, риск, награда, качество классификатора — все ключевые величины определены как интегралы, потому что данные приходят из распределения, а не по одному. И поскольку эти интегралы почти никогда не вычисляются точно, вся практическая работа — это работа с их оценками: батч вместо полного датасета, сэмплы вместо распределения, трапеции вместо кривой. Понимание того, что за каждой такой оценкой стоит интегральная сумма со своей скоростью сходимости, — это разница между «увеличим батч, вроде помогает» и расчётом, во сколько раз именно упадёт шум и стоит ли оно вычислительных денег.

---

Практика: 30 заданий

Все задания решаются средствами этого урока: геометрией, свойствами интеграла, интегральными суммами и численными методами. Ни одно из них не требует техники следующих уроков.

Базовые (задания 1-10)

Задание 1: Вычисли $\int_1^6 3\,dx$.

Показать решение 👇

Решение:

Подынтегральная функция постоянна, значит фигура под графиком — прямоугольник. Его ширина равна длине отрезка $6 - 1 = 5$, высота равна $3$.

$$\int_1^6 3\,dx = 3\cdot(6-1) = 15.$$

Тот же ответ получается прямо из определения: при любом разбиении и любом выборе отмеченных точек интегральная сумма равна

$$\sum_{i=1}^n 3\,\Delta x_i = 3\sum_{i=1}^n \Delta x_i = 3\cdot 5 = 15,$$

потому что длины всех кусочков в сумме дают длину отрезка. Последовательность постоянна, её предел равен той же величине.

Численная проверка интегратором: $15{,}0$ ✅

Ответ: $15$.

---

Задание 2: Вычисли $\int_0^4 (2x+1)\,dx$, пользуясь геометрией.

Показать решение 👇

Решение:

График $y = 2x+1$ — прямая. На отрезке $[0;4]$ функция положительна: $f(0) = 1$, $f(4) = 9$.

Фигура под графиком — прямоугольная трапеция. Её параллельные стороны (это вертикальные отрезки на концах) равны $1$ и $9$, а расстояние между ними равно $4$.

$$S = \frac{a+b}{2}\cdot h = \frac{1+9}{2}\cdot 4 = 5\cdot 4 = 20.$$

Контроль по свойству двусторонней оценки: на отрезке $m = 1$, $M = 9$, значит интеграл лежит между $1\cdot 4 = 4$ и $9\cdot 4 = 36$. Число $20$ внутри ✅

Численная проверка: $20{,}0$ ✅

Ответ: $20$.

---

Задание 3: Вычисли $\int_{-3}^{3}\sqrt{9-x^2}\,dx$.

Показать решение 👇

Решение:

Разберёмся, что за кривая задана. Пусть $y = \sqrt{9-x^2}$. Тогда $y \geqslant 0$ и $y^2 = 9 - x^2$, то есть

$$x^2 + y^2 = 9.$$

Это окружность радиуса $3$ с центром в начале координат, а условие $y \geqslant 0$ оставляет от неё верхнюю половину.

Отрезок интегрирования $[-3;3]$ — это в точности диаметр. Значит фигура под графиком — полукруг радиуса $3$:

$$\int_{-3}^{3}\sqrt{9-x^2}\,dx = \frac{\pi R^2}{2} = \frac{9\pi}{2} \approx 14{,}1372.$$

Численная проверка: $14{,}137167$ ✅

Приём стоит запомнить: корень вида $\sqrt{R^2 - x^2}$ всегда означает полуокружность, и интеграл от него берётся геометрией, без всякой техники.

Ответ: $\dfrac{9\pi}{2} \approx 14{,}14$.

---

Задание 4: Вычисли $\int_0^2 (x-1)\,dx$. Отдельно найди площадь фигуры, ограниченной графиком $y = x-1$, осью $Ox$ и прямыми $x=0$, $x=2$.

Показать решение 👇

Решение:

Функция обращается в ноль при $x = 1$; левее она отрицательна, правее положительна. Разрежем отрезок в этой точке по аддитивности.

Кусок $[0;1]$. Здесь график ниже оси. Фигура — прямоугольный треугольник с катетами $1$ (по горизонтали) и $|{-1}| = 1$ (по вертикали), площадь $\frac{1\cdot1}{2} = 0{,}5$. Вклад в интеграл отрицателен: $-0{,}5$.

Кусок $[1;2]$. График выше оси. Треугольник с катетами $1$ и $1$, площадь $0{,}5$. Вклад $+0{,}5$.

$$\int_0^2 (x-1)\,dx = -0{,}5 + 0{,}5 = 0.$$

Численная проверка даёт величину порядка $10^{-18}$, то есть машинный ноль ✅

Площадь считается по модулю на каждом куске:

$$S = 0{,}5 + 0{,}5 = 1.$$

Ответ: интеграл равен $0$, площадь равна $1$.

---

Задание 5: Вычисли $\int_{-2}^{2}(x^3 - 5x)\,dx$.

Показать решение 👇

Решение:

Проверим функцию на чётность. Подставим $-x$:

$$f(-x) = (-x)^3 - 5(-x) = -x^3 + 5x = -\big(x^3 - 5x\big) = -f(x).$$

Функция нечётна, а отрезок $[-2;2]$ симметричен относительно нуля. По свойству симметрии интеграл равен нулю.

Причина наглядна: часть фигуры на $[0;2]$ лежит ниже оси (при малых $x>0$ слагаемое $-5x$ перевешивает), симметричная ей часть на $[-2;0]$ лежит выше и имеет ту же площадь — вклады взаимно уничтожаются.

Численная проверка: $0{,}0$ ✅

Ответ: $0$.

---

Задание 6: Известно, что $\int_1^4 f(x)\,dx = 7$ и $\int_4^9 f(x)\,dx = -2$. Найди: а) $\int_1^9 f(x)\,dx$; б) $\int_9^1 f(x)\,dx$; в) $\int_4^4 f(x)\,dx$.

Показать решение 👇

Решение:

а) Аддитивность по отрезку: точка $4$ лежит между $1$ и $9$, поэтому

$$\int_1^9 f = \int_1^4 f + \int_4^9 f = 7 + (-2) = 5.$$

б) Смена ориентации меняет знак:

$$\int_9^1 f = -\int_1^9 f = -5.$$

в) Отрезок нулевой длины: все $\Delta x_i$ в интегральной сумме равны нулю, значит и сумма равна нулю при любом разбиении:

$$\int_4^4 f = 0.$$

Ответ: а) $5$; б) $-5$; в) $0$.

---

Задание 7: Известно, что $\int_0^2 f(x)\,dx = 5$ и $\int_0^2 g(x)\,dx = 3$. Найди: а) $\int_0^2 \big(3f(x) - 2g(x)\big)\,dx$; б) $\int_0^2 \big(f(x) + 4\big)\,dx$.

Показать решение 👇

Решение:

а) Линейность: константы выносятся, интеграл суммы равен сумме интегралов.

$$\int_0^2 (3f - 2g) = 3\int_0^2 f - 2\int_0^2 g = 3\cdot 5 - 2\cdot 3 = 15 - 6 = 9.$$

б) Второе слагаемое — константа, её интеграл равен произведению на длину отрезка:

$$\int_0^2 (f + 4) = \int_0^2 f + \int_0^2 4\,dx = 5 + 4\cdot(2-0) = 5 + 8 = 13.$$

Типичная ошибка в пункте б — прибавить $4$ вместо $8$, забыв домножить на длину отрезка. Константа под интегралом — это прямоугольник, а не число.

Ответ: а) $9$; б) $13$.

---

Задание 8: Вычисли $\int_0^3 |x-1|\,dx$.

Показать решение 👇

Решение:

Модуль раскрывается по кускам. Выражение под модулем меняет знак в точке $x = 1$:

$$|x-1| = \begin{cases} 1-x, & 0 \leqslant x \leqslant 1,\\ x-1, & 1 \leqslant x \leqslant 3.\end{cases}$$

Разрежем отрезок в этой точке.

Кусок $[0;1]$. График — отрезок прямой от точки $(0;1)$ до точки $(1;0)$. Фигура под ним — прямоугольный треугольник с катетами $1$ и $1$:

$$\int_0^1 (1-x)\,dx = \frac{1\cdot 1}{2} = 0{,}5.$$

Кусок $[1;3]$. График идёт от $(1;0)$ до $(3;2)$. Треугольник с катетами $2$ и $2$:

$$\int_1^3 (x-1)\,dx = \frac{2\cdot 2}{2} = 2.$$

Складываем — оба вклада положительны, потому что модуль неотрицателен:

$$\int_0^3 |x-1|\,dx = 0{,}5 + 2 = 2{,}5.$$

Численная проверка: $2{,}5$ ✅

Ответ: $2{,}5$.

---

Задание 9: Не вычисляя интеграл, оцени $\int_1^2 \dfrac{dx}{x}$ сверху и снизу. Затем проверь, попадает ли в вилку численное значение $0{,}6931$.

Показать решение 👇

Решение:

Функция $f(x) = \frac1x$ убывает на $[1;2]$, поэтому её наибольшее значение достигается в левом конце, наименьшее — в правом:

$$M = f(1) = 1, \qquad m = f(2) = \frac12.$$

Длина отрезка равна $1$. Применяем двустороннюю оценку $m(b-a) \leqslant I \leqslant M(b-a)$:

$$\frac12\cdot 1 \;\leqslant\; \int_1^2\frac{dx}{x} \;\leqslant\; 1\cdot 1,$$

то есть $0{,}5 \leqslant I \leqslant 1$.

Численное значение $0{,}6931$ действительно лежит внутри вилки ✅

Вилка широковата. Сузить её можно разбиением: разрежем отрезок в точке $1{,}5$. На $[1;1{,}5]$ имеем $m_1 = \frac{1}{1{,}5} = 0{,}6667$, $M_1 = 1$; на $[1{,}5;2]$ имеем $m_2 = 0{,}5$, $M_2 = 0{,}6667$.

$$\text{снизу: } 0{,}5\,(0{,}6667 + 0{,}5) = 0{,}5833, \qquad \text{сверху: } 0{,}5\,(1 + 0{,}6667) = 0{,}8333.$$

Новая вилка $0{,}5833 \leqslant I \leqslant 0{,}8333$ — вдвое у́же, и значение $0{,}6931$ по-прежнему внутри ✅

Ответ: $0{,}5 \leqslant I \leqslant 1$ (после разбиения пополам: $0{,}583 \leqslant I \leqslant 0{,}833$); численное значение попадает в обе оценки.

---

Задание 10: Найди среднее значение функции $f(x) = 2x$ на отрезке $[0;3]$ и точку $c$, в которой оно достигается.

Показать решение 👇

Решение:

Шаг 1. Интеграл. График $y = 2x$ на $[0;3]$ — отрезок от $(0;0)$ до $(3;6)$. Фигура под ним — прямоугольный треугольник с катетами $3$ и $6$:

$$\int_0^3 2x\,dx = \frac{3\cdot 6}{2} = 9.$$

Шаг 2. Среднее значение.

$$\bar f = \frac{1}{b-a}\int_a^b f = \frac{1}{3-0}\cdot 9 = 3.$$

Шаг 3. Точка $c$. Решаем $f(c) = \bar f$:

$$2c = 3 \;\Longrightarrow\; c = 1{,}5.$$

Точка попала ровно в середину отрезка — так всегда бывает для линейной функции: её среднее значение равно значению в середине.

Численная проверка интеграла: $9{,}0$ ✅ Контроль по геометрии среднего: прямоугольник высоты $3$ и ширины $3$ имеет площадь $9$ — столько же, сколько треугольник ✅

Ответ: $\bar f = 3$, $c = 1{,}5$.

---

Средние (задания 11-20)

Задание 11: Вычисли $\int_0^2 x\,dx$ строго по определению, через интегральные суммы по правым концам.

Показать решение 👇

Решение:

Шаг 1. Разбиение. Делим $[0;2]$ на $n$ равных частей: $\Delta x = \frac2n$, узлы $x_i = \frac{2i}{n}$, $i = 0,\dots,n$.

Шаг 2. Отмеченные точки. Правые концы: $\xi_i = x_i = \frac{2i}{n}$.

Шаг 3. Интегральная сумма.

$$\sigma_n = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\,\Delta x = \sum_{i=1}^{n}\frac{2i}{n}\cdot\frac{2}{n} = \frac{4}{n^2}\sum_{i=1}^{n} i.$$

Подставляем формулу суммы арифметической прогрессии $\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$:

$$\sigma_n = \frac{4}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} = \frac{2(n+1)}{n} = 2 + \frac2n.$$

Шаг 4. Предел. Диаметр разбиения $\lambda = \frac2n \to 0$ равносильно $n\to\infty$:

$$\int_0^2 x\,dx = \lim_{n\to\infty}\left(2 + \frac2n\right) = 2.$$

Контроль геометрией. Треугольник с катетами $2$ и $2$ имеет площадь $\frac{2\cdot2}{2} = 2$ ✅ Численная проверка: $2{,}0$ ✅

Обрати внимание на структуру ответа $2 + \frac2n$: сумма по правым концам всегда завышает результат для возрастающей функции, и величина завышения $\frac2n$ явно видна.

Ответ: $2$.

---

Задание 12: Вычисли $\int_0^3 x^2\,dx$ строго по определению.

Показать решение 👇

Решение:

Шаг 1–2. Равномерное разбиение: $\Delta x = \frac3n$, узлы $x_i = \frac{3i}{n}$; отмеченные точки — правые концы.

Шаг 3. Интегральная сумма.

$$\sigma_n = \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{3i}{n}\right)^2\cdot\frac3n = \frac{27}{n^3}\sum_{i=1}^{n} i^2.$$

Формула суммы квадратов: $\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. Раскроем произведение в числителе: $n(n+1)(2n+1) = 2n^3 + 3n^2 + n$.

$$\sigma_n = \frac{27}{n^3}\cdot\frac{2n^3+3n^2+n}{6} = \frac{27\left(2 + \frac3n + \frac{1}{n^2}\right)}{6}.$$

Шаг 4. Предел. Дроби $\frac3n$ и $\frac{1}{n^2}$ стремятся к нулю:

$$\int_0^3 x^2\,dx = \frac{27\cdot 2}{6} = 9.$$

Контроль. Общая формула $\int_0^b x^2dx = \frac{b^3}{3}$ при $b=3$ даёт $\frac{27}{3} = 9$ ✅ Численная проверка: $9{,}0$ ✅

Дополнительный контроль здравого смысла: на $[0;3]$ функция меняется от $0$ до $9$, значит интеграл заведомо между $0$ и $27$. Значение $9$ — это ровно треть от прямоугольника $3\times 9$, что для параболы правдоподобно.

Ответ: $9$.

---

Задание 13: Для функции $f(x) = x^3$ на отрезке $[0;1]$ построй нижнюю и верхнюю суммы при $n = 4$. Проверь, что известное значение $\int_0^1 x^3\,dx = \frac14$ попадает в вилку, и найди ширину зазора.

Показать решение 👇

Решение:

Ширина кусочка $\Delta x = 0{,}25$, узлы: $0;\ 0{,}25;\ 0{,}5;\ 0{,}75;\ 1$. Значения функции в узлах:

$$0;\quad 0{,}015625;\quad 0{,}125;\quad 0{,}421875;\quad 1.$$

Функция возрастает на $[0;1]$, поэтому на каждом кусочке наименьшее значение — в левом конце, наибольшее — в правом.

Нижняя сумма (левые концы):

$$s_4 = 0{,}25\,(0 + 0{,}015625 + 0{,}125 + 0{,}421875) = 0{,}25\cdot 0{,}5625 = 0{,}140625.$$

Верхняя сумма (правые концы):

$$S_4 = 0{,}25\,(0{,}015625 + 0{,}125 + 0{,}421875 + 1) = 0{,}25\cdot 1{,}5625 = 0{,}390625.$$

Вилка: $0{,}140625 \leqslant I \leqslant 0{,}390625$. Значение $0{,}25$ внутри ✅

Зазор:

$$S_4 - s_4 = 0{,}390625 - 0{,}140625 = 0{,}25.$$

Формула для монотонной функции подтверждает: $\frac{(b-a)(f(b)-f(a))}{n} = \frac{1\cdot(1-0)}{4} = 0{,}25$ ✅

Чтобы прижать зазор до $0{,}01$, понадобилось бы $n = 100$; до $0{,}001$ — уже $n = 1000$. Сходимость как $\frac1n$ — самая медленная из всех, что мы обсуждали.

Ответ: $s_4 = 0{,}140625$, $S_4 = 0{,}390625$, зазор $0{,}25$; истинное значение $0{,}25$ внутри вилки.

---

Задание 14: Вычисли $\int_{-2}^{3}(x+2)\,dx$.

Показать решение 👇

Решение:

Функция $f(x) = x+2$ обращается в ноль при $x = -2$ — это в точности левый конец отрезка. Правее ноль не встречается, и на всём $[-2;3]$ функция неотрицательна: $f(-2) = 0$, $f(3) = 5$. Значит знаковых сложностей нет.

График — прямая. Фигура под ней — прямоугольный треугольник: одна вершина в точке $(-2;0)$, катет по оси длиной $3-(-2) = 5$, вертикальный катет высотой $f(3) = 5$.

$$\int_{-2}^{3}(x+2)\,dx = \frac{5\cdot 5}{2} = 12{,}5.$$

Численная проверка: $12{,}5$ ✅

Контроль двусторонней оценкой: $m = 0$, $M = 5$, длина $5$, значит $0 \leqslant I \leqslant 25$. Ответ внутри ✅

Ответ: $12{,}5$.

---

Задание 15: Вычисли $\int_{-4}^{4}\big(x^3\cos x + 3\big)\,dx$.

Показать решение 👇

Решение:

Отрезок симметричен, поэтому первым делом разбираем подынтегральную функцию на чётную и нечётную части. По линейности:

$$\int_{-4}^{4}\big(x^3\cos x + 3\big)dx = \int_{-4}^{4} x^3\cos x\,dx + \int_{-4}^{4} 3\,dx.$$

Первое слагаемое. Проверяем чётность произведения: $x^3$ нечётна, $\cos x$ чётна. Произведение нечётной и чётной функций нечётно:

$$(-x)^3\cos(-x) = -x^3\cos x.$$

Функция нечётна, отрезок симметричен — интеграл равен нулю.

Второе слагаемое. Константа:

$$\int_{-4}^{4} 3\,dx = 3\cdot\big(4 - (-4)\big) = 3\cdot 8 = 24.$$

Итого $0 + 24 = 24$.

Численная проверка: $24{,}0$ ✅

Отдельно стоит оценить, чего мы избежали: интеграл от $x^3\cos x$ прямыми методами потребовал бы серьёзной работы, а соображение о симметрии закрыло его одной строкой. Всегда проверяй симметрию первым делом — на симметричном отрезке это иногда решает всю задачу.

Ответ: $24$.

---

Задание 16: Вычисли $\int_0^2 \sqrt{4-x^2}\,dx$.

Показать решение 👇

Решение:

Кривая $y = \sqrt{4-x^2}$ при $y\geqslant 0$ равносильна $x^2 + y^2 = 4$, $y \geqslant 0$ — это верхняя половина окружности радиуса $2$ с центром в начале координат.

Отрезок интегрирования $[0;2]$ покрывает правую половину этой полуокружности. Значит фигура под графиком — четверть круга радиуса $2$:

$$\int_0^2\sqrt{4-x^2}\,dx = \frac{\pi R^2}{4} = \frac{\pi\cdot 4}{4} = \pi \approx 3{,}1416.$$

Численная проверка: $3{,}141593$ ✅

Контроль через симметрию и уже посчитанное: по чётности $\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^2}dx = 2\int_0^2\sqrt{4-x^2}dx$, а слева стоит площадь полукруга радиуса $2$, равная $\frac{\pi\cdot 4}{2} = 2\pi$. Делим на $2$ — получаем $\pi$ ✅

Ответ: $\pi \approx 3{,}142$.

---

Задание 17: Функция задана кусочно:

$$f(x) = \begin{cases} x, & 0 \leqslant x \leqslant 2,\\ 2, & 2 < x \leqslant 5.\end{cases}$$

Вычисли $\int_0^5 f(x)\,dx$ и найди среднее значение $f$ на $[0;5]$.

Показать решение 👇

Решение:

Функция ограничена и имеет не более одной точки разрыва, значит интегрируема (и, кстати, разрыва тут нет вовсе: слева от $2$ функция стремится к $2$, справа равна $2$ — она непрерывна).

Разрезаем интеграл по аддитивности в точке $x = 2$:

$$\int_0^5 f = \int_0^2 x\,dx + \int_2^5 2\,dx.$$

Первый кусок. Треугольник с катетами $2$ и $2$:

$$\int_0^2 x\,dx = \frac{2\cdot 2}{2} = 2.$$

Второй кусок. Прямоугольник высотой $2$ и шириной $5-2 = 3$:

$$\int_2^5 2\,dx = 2\cdot 3 = 6.$$

Итого:

$$\int_0^5 f(x)\,dx = 2 + 6 = 8.$$

Среднее значение:

$$\bar f = \frac{1}{5-0}\cdot 8 = 1{,}6.$$

Численная проверка интеграла: $8{,}0$ ✅

Проверка правдоподобия: функция принимает значения от $0$ до $2$, и бо́льшую часть отрезка держится на уровне $2$. Среднее $1{,}6$ ближе к максимуму, чем к минимуму, — согласуется.

Ответ: интеграл равен $8$, среднее значение равно $1{,}6$.

---

Задание 18: График функции $f$ на отрезке $[0;6]$ — ломаная, проходящая через точки $(0;0)$, $(2;4)$, $(4;4)$, $(6;0)$, причём между этими точками график состоит из отрезков прямых. Найди $\int_0^6 f(x)\,dx$ и среднее значение функции.

Показать решение 👇

Решение:

Функция неотрицательна на всём отрезке, значит интеграл равен площади фигуры под ломаной. Фигура — трапеция: нижнее основание лежит на оси и имеет длину $6$, верхнее основание — горизонтальный участок от $(2;4)$ до $(4;4)$ длиной $2$, высота равна $4$.

$$\int_0^6 f(x)\,dx = \frac{6+2}{2}\cdot 4 = 4\cdot 4 = 16.$$

Проверим разрезанием на три части по аддитивности:

• $[0;2]$ — треугольник с катетами $2$ и $4$, площадь $\frac{2\cdot4}{2} = 4$;
• $[2;4]$ — прямоугольник $2\times 4$, площадь $8$;
• $[4;6]$ — треугольник с катетами $2$ и $4$, площадь $4$.

Сумма: $4 + 8 + 4 = 16$ ✅ Оба способа согласуются.

Среднее значение:

$$\bar f = \frac{1}{6-0}\cdot 16 = \frac{16}{6} = \frac83 \approx 2{,}667.$$

Геометрический контроль: прямоугольник шириной $6$ и высотой $\frac83$ имеет площадь $16$ — ровно площадь трапеции ✅

Ответ: $\int_0^6 f = 16$, $\bar f = \frac83 \approx 2{,}67$.

---

Задание 19: Пользуясь результатом задания 12, найди среднее значение функции $f(x) = x^2$ на отрезке $[0;3]$ и точку $c$, в которой оно достигается.

Показать решение 👇

Решение:

Шаг 1. Интеграл известен: $\int_0^3 x^2\,dx = 9$.

Шаг 2. Среднее значение.

$$\bar f = \frac{1}{3-0}\cdot 9 = 3.$$

Шаг 3. Точка $c$. Функция $f$ непрерывна на отрезке, значит по теореме о среднем такая точка существует. Решаем уравнение:

$$c^2 = 3 \;\Longrightarrow\; c = \sqrt3 \approx 1{,}732$$

(второй корень $-\sqrt3$ отброшен: он не принадлежит отрезку $[0;3]$).

Проверка правдоподобия. Значения функции на отрезке меняются от $0$ до $9$, среднее $3$ лежит между ними ✅ Точка $c \approx 1{,}73$ оказалась правее середины отрезка. Так и должно быть: в середине $f(1{,}5) = 2{,}25 < 3$, то есть до середины парабола ещё не добирает до своего среднего, и уравнять баланс она успевает только за счёт быстрого роста в правой части ✅

Ответ: $\bar f = 3$, $c = \sqrt3 \approx 1{,}73$.

---

Задание 20: Оцени $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ сверху и снизу, разбив отрезок на две равные части. Сравни с численным значением $0{,}7468$.

Показать решение 👇

Решение:

Функция $f(x) = e^{-x^2}$ убывает на $[0;1]$: показатель $-x^2$ убывает, а экспонента возрастает как функция показателя. Значит на каждом кусочке максимум — в левом конце, минимум — в правом.

Считаем значения в узлах $0;\ 0{,}5;\ 1$:

$$f(0) = 1, \qquad f(0{,}5) = e^{-0{,}25} \approx 0{,}7788, \qquad f(1) = e^{-1} \approx 0{,}3679.$$

Нижняя сумма (минимумы, то есть правые концы), ширина кусочка $0{,}5$:

$$s_2 = 0{,}5\,(0{,}7788 + 0{,}3679) = 0{,}5\cdot 1{,}1467 = 0{,}5733.$$

Верхняя сумма (максимумы, левые концы):

$$S_2 = 0{,}5\,(1 + 0{,}7788) = 0{,}5\cdot 1{,}7788 = 0{,}8894.$$

Вилка: $0{,}5733 \leqslant I \leqslant 0{,}8894$. Численное значение $0{,}7468$ внутри ✅

Для сравнения — грубая оценка без разбиения: $m = 0{,}3679$, $M = 1$, длина $1$, вилка $0{,}3679 \leqslant I \leqslant 1$. Одно разбиение пополам сократило её ширину с $0{,}632$ до $0{,}316$, то есть ровно вдвое, как и предсказывает закон $\frac1n$ для монотонной функции.

Отдельно отметим: у функции $e^{-x^2}$ нет удобного точного выражения для этого интеграла (об этом шла речь в уроке 145), поэтому численные оценки здесь — не упрощение, а единственный доступный путь.

Ответ: $0{,}573 \leqslant \int_0^1 e^{-x^2}dx \leqslant 0{,}889$; численное значение $0{,}7468$ лежит внутри.

---

Продвинутые (задания 21-30)

Задание 21: Вычисли $\int_0^1 \dfrac{4\,dx}{1+x^2}$ методом средних прямоугольников при $n = 4$. Точное значение равно $\pi$. Сравни погрешность с методом трапеций, у которого при том же $n$ она равна $-0{,}010416$.

Показать решение 👇

Решение:

Шаг $h = \frac{1-0}{4} = 0{,}25$. Кусочки: $[0;0{,}25]$, $[0{,}25;0{,}5]$, $[0{,}5;0{,}75]$, $[0{,}75;1]$. Их середины:

$$0{,}125;\quad 0{,}375;\quad 0{,}625;\quad 0{,}875.$$

Значения $f(x) = \frac{4}{1+x^2}$ в серединах:

$$f(0{,}125) = \frac{4}{1{,}015625} = 3{,}938462, \qquad f(0{,}375) = \frac{4}{1{,}140625} = 3{,}506849,$$$$f(0{,}625) = \frac{4}{1{,}390625} = 2{,}876404, \qquad f(0{,}875) = \frac{4}{1{,}765625} = 2{,}265487.$$

Сумма значений: $3{,}938462 + 3{,}506849 + 2{,}876404 + 2{,}265487 = 12{,}587202$.

$$M_4 = h\sum f(\text{середин}) = 0{,}25\cdot 12{,}587202 = 3{,}146801.$$

Погрешность: $3{,}146801 - 3{,}141593 = +0{,}005208$.

Сравнение с трапециями. У трапеций погрешность $-0{,}010416$. Отношение модулей:

$$\frac{0{,}010416}{0{,}005208} = 2{,}00.$$

Метод средних вдвое точнее и промахивается в другую сторону. Это не совпадение: для выпуклой функции трапеция всегда лежит выше графика (недооценка снизу становится переоценкой сверху и наоборот), а средний прямоугольник — ниже, причём ровно вдвое ближе. Отсюда, кстати, растёт идея метода Симпсона: комбинация $\frac{2M + T}{3}$ гасит главный член погрешности. Проверим: $\frac{2\cdot 3{,}146801 + 3{,}131176}{3} = 3{,}141593$ — совпадает с $\pi$ до шести знаков ✅

Ответ: $M_4 \approx 3{,}146801$, погрешность $+0{,}0052$ — вдвое меньше, чем у трапеций, и противоположна по знаку.

---

Задание 22: Вычисли $\int_1^2 \dfrac{dx}{x}$ методом трапеций при $n = 4$ и найди погрешность, зная численное значение $0{,}693147$.

Показать решение 👇

Решение:

Шаг $h = 0{,}25$, узлы $1;\ 1{,}25;\ 1{,}5;\ 1{,}75;\ 2$. Значения $f(x) = \frac1x$:

$$1;\quad 0{,}8;\quad 0{,}666667;\quad 0{,}571429;\quad 0{,}5.$$

Формула трапеций — крайние с половинным весом, внутренние с полным:

$$T_4 = h\left(\frac{f(x_0) + f(x_4)}{2} + f(x_1) + f(x_2) + f(x_3)\right).$$$$T_4 = 0{,}25\left(\frac{1 + 0{,}5}{2} + 0{,}8 + 0{,}666667 + 0{,}571429\right) = 0{,}25\,(0{,}75 + 2{,}038095) = 0{,}25\cdot 2{,}788095.$$$$T_4 = 0{,}697024.$$

Погрешность: $0{,}697024 - 0{,}693147 = +0{,}003877$.

Контроль. В разделе про численные методы мы считали для этого же интеграла левую и правую прямоугольные суммы: $L = 0{,}759524$ и $R = 0{,}634524$. Их среднее арифметическое:

$$\frac{0{,}759524 + 0{,}634524}{2} = 0{,}697024$$

— в точности $T_4$ ✅ Метод трапеций и есть полусумма левой и правой сумм.

Относительная погрешность: $\frac{0{,}003877}{0{,}693147} \approx 0{,}56\%$ — на четырёх кусочках это уже неплохо.

Ответ: $T_4 \approx 0{,}697024$, погрешность $+0{,}00388$.

---

Задание 23: Вычисли тот же интеграл $\int_1^2 \dfrac{dx}{x}$ методом Симпсона при $n = 4$. Во сколько раз он точнее трапеций из задания 22?

Показать решение 👇

Решение:

Число кусочков чётное, метод применим. Шаг $h = 0{,}25$, коэффициенты по схеме $1,\ 4,\ 2,\ 4,\ 1$:

$$S_4 = \frac{h}{3}\big(f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + f(x_4)\big).$$

Подставляем значения $1;\ 0{,}8;\ 0{,}666667;\ 0{,}571429;\ 0{,}5$:

$$4f(x_1) = 3{,}2, \qquad 2f(x_2) = 1{,}333333, \qquad 4f(x_3) = 2{,}285714.$$

Скобка: $1 + 3{,}2 + 1{,}333333 + 2{,}285714 + 0{,}5 = 8{,}319048$.

$$S_4 = \frac{0{,}25}{3}\cdot 8{,}319048 = 0{,}083333\cdot 8{,}319048 = 0{,}693254.$$

Погрешность: $0{,}693254 - 0{,}693147 = +0{,}000107$.

Сравнение:

$$\frac{0{,}003877}{0{,}000107} \approx 36.$$

Метод Симпсона примерно в $36$ раз точнее трапеций — при том же наборе из пяти вычислений функции. Разница целиком в весах: вместо равномерного усреднения точки взвешены так, чтобы формула была точна для многочленов третьей степени.

Относительная погрешность Симпсона: $0{,}015\%$.

Ответ: $S_4 \approx 0{,}693254$, погрешность $+0{,}000107$, что примерно в $36$ раз точнее метода трапеций.

---

Задание 24: Докажи по определению, что $\int_0^b x^3\,dx = \dfrac{b^4}{4}$, и проверь на примере $b=2$, что метод Симпсона при $n=2$ даёт точный ответ.

Показать решение 👇

Решение:

Часть 1. Вычисление по определению.

Равномерное разбиение отрезка $[0;b]$: $\Delta x = \frac bn$, узлы $x_i = \frac{bi}{n}$, отмеченные точки — правые концы.

$$\sigma_n = \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{bi}{n}\right)^3\cdot\frac bn = \frac{b^4}{n^4}\sum_{i=1}^{n} i^3.$$

Формула суммы кубов: $\sum_{i=1}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$. Подставляем:

$$\sigma_n = \frac{b^4}{n^4}\cdot\frac{n^2(n+1)^2}{4} = \frac{b^4(n+1)^2}{4n^2} = \frac{b^4}{4}\left(1 + \frac1n\right)^2.$$

При $n\to\infty$ скобка стремится к $1$:

$$\int_0^b x^3\,dx = \frac{b^4}{4}. \quad \blacksquare$$

При $b = 2$ получаем $\frac{16}{4} = 4$.

Часть 2. Метод Симпсона при $n = 2$.

Шаг $h = \frac{2-0}{2} = 1$, узлы $0;\ 1;\ 2$, значения $f = x^3$: $0;\ 1;\ 8$. Коэффициенты $1,\ 4,\ 1$:

$$S_2 = \frac{1}{3}\big(0 + 4\cdot 1 + 8\big) = \frac{12}{3} = 4.$$

Совпало с точным значением ровно, погрешность нулевая ✅

Почему так вышло. Метод Симпсона приближает функцию параболой, а мы интегрировали кубическую функцию — казалось бы, приближение должно быть грубым. Но погрешность формулы Симпсона содержит только производные четвёртого порядка и выше, а у многочлена третьей степени четвёртая производная тождественно равна нулю. Поэтому метод точен для всех многочленов степени не выше третьей — в том числе для кубических, которые он вроде бы приблизить не должен.

Численная проверка: интегратор даёт $4{,}0$ ✅

Ответ: $\int_0^b x^3dx = \frac{b^4}{4}$; при $b=2$ и Симпсон, и точное значение дают $4$, погрешность нулевая.

---

Задание 25: Метод Монте-Карло при $N = 10^4$ случайных точек даёт погрешность порядка $0{,}02$. а) Сколько точек нужно, чтобы погрешность упала до $0{,}002$? б) Почему в задаче размерности $d = 8$ этот метод предпочтительнее метода трапеций?

Показать решение 👇

Решение:

а) Погрешность Монте-Карло убывает как $\varepsilon \sim \frac{C}{\sqrt N}$. Найдём константу из данных:

$$0{,}02 = \frac{C}{\sqrt{10^4}} = \frac{C}{100} \;\Longrightarrow\; C = 2.$$

Требуем $\varepsilon = 0{,}002$:

$$0{,}002 = \frac{2}{\sqrt N} \;\Longrightarrow\; \sqrt N = 1000 \;\Longrightarrow\; N = 10^6.$$

Проще рассуждать пропорциями: уменьшить погрешность в $10$ раз означает увеличить $\sqrt N$ в $10$ раз, то есть $N$ — в $100$ раз. Было $10^4$, стало $10^6$.

б) Сравним скорости в размерности $d$.

Метод трапеций на регулярной сетке с $m$ узлами по каждой оси использует $N = m^d$ точек, а его погрешность ведёт себя как $h^2 = \left(\frac1m\right)^2 = N^{-2/d}$. При $d = 8$:

$$\varepsilon_{\text{трап}} \sim N^{-2/8} = N^{-0{,}25}.$$

У Монте-Карло погрешность равна $N^{-0{,}5}$ независимо от размерности.

Сравниваем показатели: $-0{,}5 < -0{,}25$, значит при росте $N$ погрешность Монте-Карло падает быстрее. Численно: чтобы уменьшить погрешность вдесятеро, Монте-Карло нужно в $100$ раз больше точек, а сетке — в $10^4$ раз больше. Плюс чисто практическое ограничение: сетка $10\times 10\times\ldots\times 10$ в восьми измерениях — это $10^8$ вычислений функции, а в тридцати измерениях сетка невозможна физически.

Ответ: а) $N = 10^6$; б) погрешность Монте-Карло $N^{-1/2}$ не зависит от размерности, а у сеточных методов она равна $N^{-2/d}$ и при $d = 8$ хуже: $N^{-0{,}25}$ против $N^{-0{,}5}$.

---

Задание 26: Вычисли $\int_0^{2\pi}\sin^2 x\,dx$, не вычисляя ни одной интегральной суммы, и найди среднее значение $\sin^2 x$ за период.

Показать решение 👇

Решение:

Обозначим $A = \int_0^{2\pi}\sin^2x\,dx$ и $B = \int_0^{2\pi}\cos^2x\,dx$.

Первое соотношение — основное тригонометрическое тождество. Складываем интегралы по линейности:

$$A + B = \int_0^{2\pi}\big(\sin^2x + \cos^2 x\big)dx = \int_0^{2\pi} 1\,dx = 2\pi.$$

Второе соотношение — симметрия. Графики $y = \sin^2 x$ и $y = \cos^2 x$ получаются друг из друга сдвигом на $\frac\pi2$: действительно, $\cos^2 x = \sin^2\!\left(x + \frac\pi2\right)$. Обе функции имеют период $\pi$, а интегрирование идёт по промежутку длиной $2\pi$ — это целое число периодов. Сдвиг подынтегральной функции на любую величину не меняет интеграла по целому числу периодов: сдвинутый кусок графика уходит справа и ровно такой же приходит слева. Значит

$$A = B.$$

Решаем систему. Из $A + B = 2\pi$ и $A = B$ получаем $2A = 2\pi$, то есть

$$A = \pi \approx 3{,}1416.$$

Численная проверка: $3{,}141593$ ✅

Среднее значение за период:

$$\overline{\sin^2} = \frac{1}{2\pi - 0}\cdot\pi = \frac12.$$

Результат физически известный: средняя мощность переменного тока равна половине пиковой, и отсюда же берётся коэффициент $\frac{1}{\sqrt2}$ в определении действующего напряжения ($220$ В при амплитуде около $311$ В).

Ответ: $\int_0^{2\pi}\sin^2x\,dx = \pi$; среднее значение равно $\frac12$.

---

Задание 27: Случайная величина $X$ распределена равномерно на отрезке $[0;6]$: её плотность равна $p(x) = \frac16$ на этом отрезке и нулю вне его. Найди $E[X]$, $E[X^2]$ и дисперсию $D[X]$.

Показать решение 👇

Решение:

Проверка нормировки. Полная вероятность должна равняться единице:

$$\int_0^6 \frac16\,dx = \frac16\cdot 6 = 1 \ ✅$$

Математическое ожидание.

$$E[X] = \int_0^6 x\cdot\frac16\,dx = \frac16\int_0^6 x\,dx.$$

Интеграл $\int_0^6 x\,dx$ — площадь треугольника с катетами $6$ и $6$, равная $\frac{6\cdot 6}{2} = 18$. Значит

$$E[X] = \frac{18}{6} = 3.$$

Логично: для равномерного распределения среднее — середина отрезка.

Второй момент. Пользуемся доказанной формулой $\int_0^b x^2dx = \frac{b^3}{3}$:

$$E[X^2] = \int_0^6 \frac{x^2}{6}\,dx = \frac16\cdot\frac{6^3}{3} = \frac16\cdot 72 = 12.$$

Дисперсия.

$$D[X] = E[X^2] - \big(E[X]\big)^2 = 12 - 9 = 3.$$

Контроль. Известная формула дисперсии равномерного распределения на $[a;b]$: $\frac{(b-a)^2}{12} = \frac{36}{12} = 3$ ✅ Численная проверка обоих интегралов подтверждает: $E[X] = 3{,}0$, $E[X^2] = 12{,}0$ ✅

Стандартное отклонение: $\sqrt3 \approx 1{,}73$ — примерно $29\%$ от длины отрезка, что для равномерного распределения нормально.

Ответ: $E[X] = 3$, $E[X^2] = 12$, $D[X] = 3$.

---

Задание 28: ROC-кривая классификатора задана ломаной через точки $(0;0)$, $(0{,}2;0{,}6)$, $(0{,}5;0{,}9)$, $(1;1)$. Найди AUC методом трапеций и сравни со случайным классификатором.

Показать решение 👇

Решение:

AUC — это площадь под кривой, то есть $\int_0^1 \text{TPR}\,d(\text{TPR}\text{-аргумента})$. Кривая задана ломаной, значит фигура под ней состоит из трёх трапеций, и площадь каждой считается по формуле $\frac{y_{\text{лев}} + y_{\text{прав}}}{2}\cdot\text{ширина}$.

Трапеция 1, от $x = 0$ до $x = 0{,}2$, ширина $0{,}2$:

$$\frac{0 + 0{,}6}{2}\cdot 0{,}2 = 0{,}3\cdot 0{,}2 = 0{,}06.$$

Трапеция 2, от $0{,}2$ до $0{,}5$, ширина $0{,}3$:

$$\frac{0{,}6 + 0{,}9}{2}\cdot 0{,}3 = 0{,}75\cdot 0{,}3 = 0{,}225.$$

Трапеция 3, от $0{,}5$ до $1$, ширина $0{,}5$:

$$\frac{0{,}9 + 1}{2}\cdot 0{,}5 = 0{,}95\cdot 0{,}5 = 0{,}475.$$$$\text{AUC} = 0{,}06 + 0{,}225 + 0{,}475 = 0{,}76.$$

Сравнение. У случайного классификатора ROC-кривая — диагональ квадрата, площадь под ней равна $0{,}5$. У идеального — вся площадь квадрата, $1$. Наш результат $0{,}76$ лежит между: модель заметно лучше случайной, но далека от идеальной.

Численная проверка тем же способом, каким это делает numpy.trapezoid (прежнее имя — np.trapz) на тех же четырёх точках: $0{,}76$ ✅

Заметь, что метод трапеций здесь не приближение, а точный ответ: кривая по условию и есть ломаная, а трапеция под отрезком прямой считается точно. Именно поэтому sklearn.metrics.auc не пытается использовать ничего сложнее.

Ответ: $\text{AUC} = 0{,}76$ против $0{,}5$ у случайного классификатора.

---

Задание 29: Покажи, что функция

$$g(x) = \begin{cases} x, & x \text{ рационально},\\ 0, & x \text{ иррационально}\end{cases}$$

не интегрируема на отрезке $[0;1]$.

Показать решение 👇

Решение:

Функция ограничена ($0 \leqslant g(x) \leqslant 1$ на отрезке), так что необходимое условие выполнено — ломаться будет не на нём. Проверяем само определение: предел интегральных сумм должен существовать и не зависеть от выбора отмеченных точек. Возьмём произвольное разбиение $0 = x_0 < \dots < x_n = 1$ и посчитаем сумму двумя способами.

Способ А: все отмеченные точки иррациональны. На каждом кусочке иррациональная точка найдётся (иррациональные числа плотны). Тогда $g(\xi_i) = 0$ для всех $i$, и

$$\sigma_A = \sum_{i=1}^n 0\cdot\Delta x_i = 0.$$

Предел таких сумм равен $0$ при любом измельчении.

Способ Б: все отмеченные точки рациональны. Рациональная точка тоже найдётся на любом кусочке. Тогда $g(\xi_i) = \xi_i$, и

$$\sigma_B = \sum_{i=1}^n \xi_i\,\Delta x_i.$$

А это в точности интегральная сумма для функции $f(x) = x$ на $[0;1]$ — с теми же кусочками и теми же отмеченными точками. Функция $x$ непрерывна, значит интегрируема, и её суммы сходятся к $\int_0^1 x\,dx = \frac12$ независимо от выбора точек. Следовательно $\sigma_B \to \frac12$.

Вывод. При одном и том же измельчении разбиения суммы сходятся к $0$ по одному способу выбора точек и к $\frac12$ по другому. Предел, не зависящий от выбора, не существует, значит функция $g$ не интегрируема по Риману на $[0;1]$. $\blacksquare$

Обрати внимание на структуру рассуждения: чтобы доказать существование предела, нужно проверить все способы выбора; чтобы доказать отсутствие — достаточно предъявить два способа с разными пределами. Это общая асимметрия доказательств существования и несуществования.

Ответ: не интегрируема; суммы по рациональным точкам стремятся к $\frac12$, по иррациональным — к $0$.

---

Задание 30: Не вычисляя интегралы, сравни

$$P = \int_0^1 \frac{dx}{1+x^4} \qquad\text{и}\qquad Q = \int_0^1\frac{dx}{1+x^2}.$$

Затем оцени оба сверху и снизу.

Показать решение 👇

Решение:

Часть 1. Сравнение. Сравним подынтегральные функции на отрезке $[0;1]$.

При $0 \leqslant x \leqslant 1$ выполнено $x^4 \leqslant x^2$ — четвёртая степень числа из отрезка $[0;1]$ не превосходит его квадрата (равенство только при $x=0$ и $x=1$). Прибавим единицу:

$$1 + x^4 \leqslant 1 + x^2.$$

Обе части положительны, поэтому при переходе к обратным величинам неравенство переворачивается:

$$\frac{1}{1+x^4} \geqslant \frac{1}{1+x^2}.$$

По свойству монотонности интеграла (при $a $$P \geqslant Q.$$

Причём неравенство строгое: подынтегральные функции различаются во всех внутренних точках отрезка.

Часть 2. Оценки. Обе функции убывают на $[0;1]$.

Для $P$: $M = f(0) = 1$, $m = f(1) = \frac12$, длина $1$, значит $0{,}5 \leqslant P \leqslant 1$.

Для $Q$ вилка ровно такая же: $M = 1$, $m = \frac12$, то есть $0{,}5 \leqslant Q \leqslant 1$. Грубая оценка их не различает — потому и понадобилось сравнение через монотонность.

Уточним $P$ разбиением пополам. Значения: $f(0) = 1$, $f(0{,}5) = \frac{1}{1{,}0625} = 0{,}941176$, $f(1) = 0{,}5$.

$$\text{снизу: } 0{,}5\,(0{,}941176 + 0{,}5) = 0{,}720588, \qquad \text{сверху: } 0{,}5\,(1 + 0{,}941176) = 0{,}970588.$$

Численный контроль. Интегратор даёт $P \approx 0{,}866973$ и $Q \approx 0{,}785398$ (второе — это $\frac\pi4$). Действительно $P > Q$ ✅ И $P$ лежит внутри уточнённой вилки $[0{,}7206;\ 0{,}9706]$ ✅

Ответ: $P > Q$; обе величины лежат в $[0{,}5; 1]$, уточнённая оценка для $P$ — $[0{,}721; 0{,}971]$; численно $P \approx 0{,}867$, $Q \approx 0{,}785$.

---

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: считать, что интеграл — это всегда площадь

Неправильно: «$\int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0$, значит площадь под синусоидой равна нулю».

Правильно: интеграл равен нулю, а площадь фигуры между графиком и осью равна $4$. Интеграл — площадь со знаком: участки ниже оси входят с минусом.

💡 Почему важно: это ошибка номер один во всей теме, и она стоит баллов на каждом экзамене. Лечится ритуалом: перед вычислением площади найди нули подынтегральной функции на отрезке и посмотри, меняет ли она знак. Если меняет — считай по кускам и складывай модули. Если в задаче написано «вычисли интеграл», знак сохраняем; если «найди площадь» — берём модули.

---

❌ Ошибка 2: писать $+C$ в ответе или оставлять переменную

Неправильно: «$\int_0^2 x\,dx = \frac{x^2}{2} + C$».

Правильно: $\int_0^2 x\,dx = 2$. Определённый интеграл — это число.

💡 Почему важно: путаница между определённым и неопределённым интегралом видна сразу по форме ответа. Если в ответе осталась переменная $x$ — где-то потерян переход к числу. Переменная интегрирования немая: она существует только внутри знака интеграла, как счётчик цикла существует только внутри цикла. Записи $\int_0^1 x^2dx$ и $\int_0^1 t^2dt$ обозначают одно и то же число $\frac13$.

---

❌ Ошибка 3: путать $\left|\int f\right|$ и $\int |f|$

Неправильно: «площадь равна $\left|\int_0^3 (x-1)\,dx\right| = |1{,}5| = 1{,}5$».

Правильно: площадь равна $\int_0^3 |x-1|\,dx = 2{,}5$. Модуль надо ставить под интеграл, а не снаружи.

💡 Почему важно: снаружи модуль ставится после того, как положительные и отрицательные вклады уже съели друг друга, — спасать поздно. Внутри он превращает каждый отрицательный кусок в положительный до суммирования. Связь между этими величинами — неравенство $\left|\int f\right| \leqslant \int|f|$, и равенство в нём достигается только когда функция не меняет знак.

---

❌ Ошибка 4: интегрируя константу, забыть про длину отрезка

Неправильно: $\int_2^7 5\,dx = 5$.

Правильно: $\int_2^7 5\,dx = 5\cdot(7-2) = 25$.

💡 Почему важно: под интегралом константа задаёт не число, а прямоугольник: высота $5$, ширина $5$. Эта же ошибка всплывает в задачах со свойствами: «$\int_0^2 (f(x)+4)dx = \int_0^2 f + 4$» — нет, будет $\int_0^2 f + 8$. Проверяй себя размерностью: если $f$ — скорость в м/с, а $dx$ — время в секундах, то интеграл измеряется в метрах, и число без умножения на время метрами быть не может.

---

❌ Ошибка 5: считать, что интеграл произведения равен произведению интегралов

Неправильно: $\int_0^1 x\cdot x\,dx = \left(\int_0^1 x\,dx\right)^2 = \frac14$.

Правильно: $\int_0^1 x^2dx = \frac13$, а не $\frac14$.

💡 Почему важно: у интеграла есть только линейность: сумма разбивается, константа выносится. Произведение, частное, композиция, корень, модуль — ничего из этого через интегралы сомножителей не выражается. Соблазн особенно велик в теории вероятностей, где $E[XY] = E[X]E[Y]$ выполняется — но только для независимых величин, и это отдельная теорема, а не свойство интеграла.

---

❌ Ошибка 6: переставить пределы и не поменять знак

Неправильно: «$\int_5^2 f(x)dx = \int_2^5 f(x)dx$, ведь отрезок один и тот же».

Правильно: $\int_5^2 f = -\int_2^5 f$. Интеграл помнит направление обхода.

💡 Почему важно: соглашение о знаке принято не из вредности: оно делает аддитивность $\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$ верной при любом расположении точек, а не только когда $c$ между $a$ и $b$. Практический сигнал тревоги: если ты получил отрицательную площадь у заведомо положительной функции — скорее всего, пределы стоят в обратном порядке.

---

❌ Ошибка 7: думать, что «много точек» = «хорошее приближение»

Неправильно: «взял $n = 10^6$ точек разбиения, значит сумма близка к интегралу».

Правильно: к нулю должен стремиться диаметр разбиения $\lambda = \max\Delta x_i$, а не просто расти $n$.

💡 Почему важно: можно набрать миллион точек, столпив их все у левого конца, и оставить справа один кусок в половину отрезка — приближение будет никудышным при огромном $n$. Именно поэтому в определении стоит $\lambda \to 0$. На практике это выливается в реальную проблему: адаптивные алгоритмы (scipy.integrate.quad) мельчат сетку там, где функция резко меняется, и не тратят точки там, где она гладкая, — но следят, чтобы нигде не осталось грубых участков.

---

❌ Ошибка 8: применять формулу Симпсона при нечётном числе кусочков

Неправильно: взять $n = 5$ и расставить коэффициенты $1,4,2,4,2,1$.

Правильно: метод Симпсона требует чётного $n$: узлы группируются тройками, парабола проводится через каждые три подряд.

💡 Почему важно: при нечётном $n$ схема коэффициентов не замыкается, и формула даёт неверный ответ без всякого предупреждения — это молчаливый баг. Быстрая проверка правильности расстановки: сумма всех коэффициентов должна равняться $3n$. Для $n=4$: $1+4+2+4+1 = 12 = 3\cdot 4$ ✅ Если сумма не сошлась — расстановка неверна.

---

❌ Ошибка 9: считать, что ограниченности достаточно для интегрируемости

Неправильно: «функция принимает значения только $0$ и $1$, она ограничена, значит интеграл существует».

Правильно: функция Дирихле ограничена и не интегрируема по Риману. Ограниченность необходима, но не достаточна.

💡 Почему важно: граница проходит по количеству разрывов. Конечное число разрывов — интегрируема; разрывы в каждой точке — нет. Практический вывод для кода: прежде чем звать численный интегратор, стоит посмотреть, нет ли у функции особенностей — полюсов, скачков, осцилляций с растущей частотой. Численный метод не сообщит «функция неинтегрируема»: он молча вернёт какое-то число.

---

❌ Ошибка 10: применять теорему о среднем к разрывной функции

Неправильно: «среднее значение равно $0{,}5$, значит где-то на отрезке функция принимает значение $0{,}5$».

Правильно: это верно только для непрерывной функции. У ступенчатой функции, равной $0$ на $[0;1)$ и $1$ на $[1;2]$, среднее равно $0{,}5$, а значения $0{,}5$ она не принимает нигде.

💡 Почему важно: теорема о среднем опирается на теорему о промежуточном значении, а та без непрерывности неверна. Это классический пример того, как «среднее» не обязано быть достижимым: средняя семья с $1{,}7$ ребёнка не существует, средняя нагрузка сервера в $0{,}5$ запроса не наблюдалась ни в одну секунду. Среднее — характеристика распределения, а не отдельного наблюдения.

---

Главное запомнить

✅ Определённый интеграл — это число, предел интегральных сумм: $\int_a^b f(x)\,dx = \lim\limits_{\lambda\to0}\sum f(\xi_i)\Delta x_i$. Не функция, не семейство, никакого $+C$.

✅ Конструкция состоит из четырёх шагов: разбиение отрезка точками $a = x_0 < \dots < x_n = b$; произвольный выбор отмеченных точек $\xi_i$ внутри кусочков; сумма $\sum f(\xi_i)\Delta x_i$; предел при $\lambda = \max\Delta x_i \to 0$. К нулю стремится именно диаметр разбиения, а не «$n$ к бесконечности».

✅ Идея зажатия: нижняя сумма (по минимумам) $\leqslant$ истинное значение $\leqslant$ верхняя сумма (по максимумам). Для монотонной функции зазор равен $\frac{(b-a)|f(b)-f(a)|}{n}$ и стремится к нулю как $\frac1n$. Это метод Архимеда и рабочий способ получить гарантированную вилку.

✅ По определению честно считается немногое. $\int_0^b x\,dx = \frac{b^2}{2}$, $\int_0^b x^2dx = \frac{b^3}{3}$, $\int_0^b x^3dx = \frac{b^4}{4}$ — и всё это требует формул сумм $\sum i$, $\sum i^2$, $\sum i^3$. Для синуса или экспоненты этот путь становится непроходимым.

✅ Интегрируемость: ограниченность необходима; непрерывность достаточна; конечное число разрывов не мешает; монотонность достаточна. Функция Дирихле ограничена, но не интегрируема — разрывов слишком много.

✅ Свойства: линейность $\int(\alpha f + \beta g) = \alpha\int f + \beta\int g$; аддитивность $\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$; ориентация $\int_a^b = -\int_b^a$ и $\int_a^a = 0$; монотонность; оценка $m(b-a)\leqslant\int_a^b f\leqslant M(b-a)$; неравенство $\left|\int f\right|\leqslant\int|f|$.

✅ Симметрия решает задачи целиком. Нечётная функция на симметричном отрезке: интеграл равен нулю. Чётная: $\int_{-a}^a f = 2\int_0^a f$. Проверяй симметрию первым делом.

✅ Интеграл — площадь со знаком. Ниже оси — минус. Площадь фигуры равна $\int_a^b |f(x)|\,dx$ и считается разрезанием отрезка по нулям функции.

✅ Геометрия закрывает многое без всякой техники: прямая даёт трапецию или треугольник, константа — прямоугольник, $\sqrt{R^2-x^2}$ — полукруг, модуль — набор треугольников.

✅ Среднее значение функции на отрезке: $\bar f = \frac{1}{b-a}\int_a^b f$. Геометрически это высота равновеликого прямоугольника. Теорема о среднем: для непрерывной $f$ найдётся точка $c$, где $f(c) = \bar f$. Без непрерывности теорема неверна.

✅ Численные методы — это оборванные интегральные суммы. Прямоугольники (левые и правые) дают погрешность порядка $h$; средние прямоугольники и трапеции — $h^2$; Симпсон — $h^4$ и точен для многочленов до третьей степени включительно. Симпсон требует чётного числа кусочков.

✅ В ML интеграл — это «в среднем по распределению»: $E[X] = \int x\,p(x)dx$, вероятность попадания в интервал, AUC как площадь под ROC-кривой, средняя награда агента, лосс по распределению данных. Считается это методом Монте-Карло — той же интегральной суммой со случайными точками.

✅ Скорость Монте-Карло — $\frac{1}{\sqrt N}$, и она не зависит от размерности. В одном измерении это очень медленно, зато в сотнях измерений сеточные методы просто невозможны: их стоимость растёт как $m^d$. Батч в обучении — это ровно такая оценка, и шум в ней падает как $\frac{1}{\sqrt B}$.

---

Связь с другими темами курса

Что нужно было знать до этого урока:

• Уроки 129–132, пределы — определение интеграла целиком построено на предельном переходе; приёмы вычисления пределов вида $\frac{n+1}{2n}$ и $\frac{2n^3+3n^2+n}{6n^3}$ взяты оттуда.
• Прогрессии и формулы сумм — без $\sum i = \frac{n(n+1)}{2}$, $\sum i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ и $\sum i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ ни один интеграл по определению не считается.
• Планиметрия: площади треугольника, трапеции, круга — весь урок опирался на них, потому что все точные ответы получались геометрией.
• Чётность и нечётность функций — свойство симметрии превращает целый класс задач в однострочные.
• Непрерывность функций и её свойства — теорема о промежуточном значении и теорема Вейерштрасса о достижении наибольшего и наименьшего значений понадобились для доказательства теоремы о среднем.
• Уроки 141–142, наибольшее и наименьшее значения — их находят, когда строят нижние и верхние суммы и когда применяют двустороннюю оценку.
• Уроки 145–146, первообразная и неопределённый интеграл — формально в этом уроке они не использовались ни разу, но именно с ними определённый интеграл свяжется в следующем.

Что изучить дальше:

• Урок 148, формула Ньютона–Лейбница — тот самый мост. Оказывается, что $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$, где $F$ — первообразная. Две задачи, которые весь этот урок выглядели чужими друг другу — восстановление функции по производной и измерение площади, — сливаются в одну. Все интегралы, которые мы сегодня добывали через суммы, вилки и геометрию, будут считаться в строку. Это главная теорема анализа, и после сегодняшнего дня ты понимаешь, от какого труда она избавляет.
• Урок 149, вычисление площадей — площадь между двумя кривыми, фигуры со сменой знака, объёмы тел вращения.
• Урок 150, применение интегралов в физике — работа переменной силы, путь по скорости, масса стержня по плотности, центр тяжести, давление жидкости.
• Университетский блок — несобственные интегралы (бесконечные пределы и неограниченные функции, чем и определяются $E[X]$ для распределений на всей прямой), кратные интегралы, интеграл Лебега, теория меры и вероятностные пространства, численные методы высокого порядка и квадратуры Гаусса.

Где это нужно в жизни:

💻 В программировании: scipy.integrate.quad и simpson для расчётов, numpy.trapz в метриках качества, интегрирование уравнений движения в игровых физических движках (методы Эйлера и Верле — это те же интегральные суммы по времени), обработка сигналов, вычисление накопленных счётчиков в мониторинге.

🤖 В ML/AI: математическое ожидание и дисперсия как интегралы, Монте-Карло-оценки в байесовском выводе и вариационных методах, оценка градиента в policy gradient, дисконтированный возврат в RL, AUC-ROC и PR-AUC, батч-усреднение лосса, диффузионные модели, где сэмплирование — это численное интегрирование стохастического процесса.

📊 В Data Science: площадь под кривой удержания как суммарное время жизни пользователя, интегральные метрики нагрузки, расчёт квантилей и доверительных интервалов через площади под плотностью, коэффициент Джини как площадь между кривой Лоренца и диагональю.

🔬 В науке и инженерии: работа переменной силы, заряд по току, доза по мощности излучения, теплота по теплоёмкости, среднеквадратичное значение переменного сигнала, расход по расходомеру, аэродинамические нагрузки как интеграл давления по поверхности.

💰 В финансах и экономике: приведённая стоимость денежного потока как дисконтированный интеграл, накопленная доходность по мгновенной ставке, ожидаемые потери в риск-менеджменте, средняя цена исполнения крупной заявки, потребительский излишек как площадь под кривой спроса.

---

Интересные факты

💡 Главная работа Архимеда полторы тысячи лет была стёрта. В трактате «Метод механических теорем» Архимед объяснял, как он находил свои результаты — мысленно взвешивая фигуры на рычаге и складывая их из бесконечно тонких срезов. Это было ближе к интегральным суммам, чем всё, что появилось до XVII века. В X веке текст скопировали на пергамент, а в XIII веке рукопись отмыли и записали поверх молитвенник. Палимпсест обнаружил датский филолог Йохан Хейберг в Константинополе в 1906 году. Потом рукопись исчезла на десятилетия, всплыла на аукционе Christie's в 1998-м и ушла за два миллиона долларов анонимному покупателю, который отдал её на исследование в музей Уолтерса. Текст читали рентгеновским синхротронным излучением до 2008 года.

💡 Знак интеграла и его пределы придумали разные люди с разницей в полтора века. Вытянутую $S$ Лейбниц написал 29 октября 1675 года. А привычная запись с пределами $\int_a^b$ появилась только в 1822 году: её ввёл Жозеф Фурье в «Аналитической теории тепла». Полторы сотни лет математики указывали границы интегрирования словами.

💡 Определение, которое ты сегодня изучил, Риман написал ради совсем другой задачи. В 1854 году он готовил габилитационную работу о представлении функций тригонометрическими рядами, и ему понадобилось точно понимать, для каких функций интеграл вообще имеет смысл. Определение через суммы с произвольным выбором точек было в этой работе вспомогательным инструментом. Работа пролежала неопубликованной до 1868 года — Риман умер в 1866-м, — а её «вспомогательный инструмент» стал стандартом преподавания на следующие полтора столетия.

💡 Метод Симпсона придумал не Симпсон. Формулу опубликовал Томас Симпсон в 1743 году, но она встречается у Бонавентуры Кавальери ещё в 1639-м и у Джеймса Грегори в 1668-м. Это учебниковый случай закона эпонимии Стиглера: научное открытие никогда не называют именем настоящего первооткрывателя. Сам закон Стиглер, разумеется, приписал не себе, а Роберту Мертону.

💡 Метод Монте-Карло назвали в честь казино, а первый эксперимент поставили иголкой. Идею оценивать интегралы случайными бросками сформулировали Станислав Улам и Джон фон Нейман в Лос-Аламосе в 1946–1947 годах для расчёта диффузии нейтронов; считали на ЭНИАКе. Название предложил Николас Метрополис — дядя Улама регулярно ездил играть в казино Монте-Карло. Но самый первый опыт такого рода поставил Жорж-Луи Леклерк де Бюффон в 1777 году: он бросал иголку на разлинованный пол и по доле пересечений линий оценивал число $\pi$. Это буквально Монте-Карло за сто семьдесят лет до Монте-Карло.

---

Лайфхаки и полезные трюки

1. Первым делом нарисуй график и найди нули

Половина задач этого урока решается по картинке, а вторая половина без картинки решается неправильно. Тридцать секунд на эскиз показывают, где функция меняет знак, какая геометрическая фигура получилась и не спрятана ли там симметрия.

Пример: в $\int_{-1}^{2} x\,dx$ эскиз мгновенно показывает два треугольника — один под осью, другой над ней. Ответ $-0{,}5 + 2 = 1{,}5$ пишется без вычислений.

---

2. На симметричном отрезке первым делом проверяй нечётность

Если пределы имеют вид $[-a; a]$, разложи подынтегральную функцию на слагаемые и выкинь все нечётные — они дают ноль. Часто после этого остаётся константа или что-то совсем простое.

Пример: $\int_{-4}^{4}(x^3\cos x + 3)dx$. Первое слагаемое нечётно (нечётная на чётную), даёт ноль. Остаётся $3\cdot 8 = 24$. Ни одного вычисления интеграла.

---

3. Узнавай геометрические фигуры в подынтегральном выражении

Небольшой словарь, который закрывает многие задачи без всякой техники:

• $c$ — прямоугольник, интеграл равен $c(b-a)$;
• $kx + b$ — трапеция или треугольник, считается по школьной формуле;
• $\sqrt{R^2 - x^2}$ — полуокружность, интеграл по $[-R;R]$ равен $\frac{\pi R^2}{2}$, по $[0;R]$ — четверть круга;
• $|x - c|$ — пара треугольников, стыкующихся в точке $c$;
• кусочно-линейная ломаная — набор трапеций.

Пример: $\int_{-5}^{5}\sqrt{25-x^2}\,dx = \frac{\pi\cdot 25}{2} \approx 39{,}27$ — задача решается узнаванием, а не вычислением.

---

4. Всегда прикидывай вилку $m(b-a) \leqslant I \leqslant M(b-a)$

Это тридцатисекундная проверка любого ответа, включая численный. Найди грубые минимум и максимум функции на отрезке, умножь на длину — и посмотри, попал ли твой результат внутрь. Промах означает ошибку, и обычно грубую.

Пример: посчитал $\int_0^2\frac{dx}{1+x^3}$ и получил $3{,}5$. Проверка: функция не превосходит $1$, длина отрезка $2$, значит интеграл не больше $2$. Ответ невозможен, ищи ошибку.

---

5. Разрезай отрезок, чтобы сузить вилку

Одна и та же двусторонняя оценка на всём отрезке даёт грубый результат, а применённая к каждому куску по отдельности — во столько раз более узкий, сколько кусков. Это ровно нижние и верхние суммы, и они работают для любой функции, даже неберущейся.

Пример: для $\int_0^1 e^{-x^2}dx$ грубая вилка $[0{,}368;\ 1]$ шириной $0{,}632$; после разбиения пополам — $[0{,}573;\ 0{,}889]$ шириной $0{,}316$; после четырёх кусков ширина станет около $0{,}158$.

---

6. Пользуйся правилом Рунге для оценки погрешности численного метода

Не зная точного ответа, погрешность всё равно можно оценить: посчитай методом трапеций при $n$ и при $2n$. Тогда погрешность более точного результата приблизительно равна $\frac{I_{2n} - I_n}{3}$ (тройка берётся из того, что погрешность падает вчетверо: $4 - 1 = 3$).

Пример: для $\int_0^1\frac{4dx}{1+x^2}$ трапеции дают $I_4 = 3{,}131176$ и $I_8 = 3{,}138988$. Оценка погрешности: $\frac{3{,}138988 - 3{,}131176}{3} = 0{,}002604$. Истинная погрешность $I_8$ равна $3{,}141593 - 3{,}138988 = 0{,}002604$ — совпадение до последнего знака ✅

---

7. Проверяй любой ответ численно в две строки кода

Аналитический результат стоит подтверждать численным. Это занимает секунды и ловит арифметические промахи, которые глазами не видны.

Пример: from scipy.integrate import quad; quad(lambda x: x**2, 0, 3) вернёт (9.000000000000002, 9.99e-14) — значение и оценка погрешности. Для данных на сетке: numpy.trapezoid(y, x). Для тензоров в PyTorch: torch.trapz(y, x).

---

8. Держи в голове, что переменная интегрирования немая

Если после вычисления определённого интеграла в ответе осталась переменная интегрирования — ответ неверен по форме, независимо от арифметики. Это самый быстрый способ поймать смешение определённого и неопределённого интеграла.

Пример: ответ «$\int_0^2 3x\,dx = \frac{3x^2}{2}$» неверен уже потому, что справа стоит функция от $x$, а слева — число. Правильно: $6$ (треугольник с катетами $2$ и $6$).

---

💡 Совет: решая задачу на определённый интеграл, задавай себе три вопроса подряд. Первый — симметричен ли отрезок и нет ли нечётности (тогда ответ может быть нулём). Второй — меняет ли функция знак на отрезке (тогда площадь и интеграл — разные числа). Третий — не является ли фигура под графиком чем-то знакомым: прямоугольником, трапецией, куском круга. Три вопроса занимают минуту и закрывают большинство школьных задач без единой формулы интегрирования.

Ты только что построил объект с нуля. Взял фигуру, у которой не было площади, нарезал её на полоски, зажал между двумя оценками, доказал, что зазор схлопывается, — и получил число. Потом честно посчитал два интеграла по определению, через суммы, и увидел, во что это обходится: на $x^2$ ушла формула суммы квадратов, на $x^3$ — формула суммы кубов, а на $\sin x$ или $e^{-x^2}$ этот путь уже не ведёт никуда. Дальше пришлось выкручиваться геометрией, симметрией, свойствами и численными методами. Всё это — настоящая работа, и до XVII века другой не было.

А в следующем уроке — 148, формула Ньютона–Лейбница — напряжение снимут одной строкой. Выяснится, что если $F$ — первообразная функции $f$, то

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a),$$

и всё, чем мы сегодня мучились, превращается в подстановку двух чисел. Задача о касательной и задача о площади, которые две тысячи лет считались разными, окажутся двумя сторонами одного факта. Именно за это открытие Ньютона и Лейбница помнят как создателей анализа — и теперь ты понимаешь, что именно они создали и от чего избавили всех остальных. Переходи, там будет красиво.

Понял тему? Закрепи в боте! 🚀

Попрактикуйся на задачах и получи персональные рекомендации от AI

💪 Начать тренировку

💬 Нашёл ошибку или есть вопрос по уроку? Написать в Telegram →