Системы нелинейных уравнений и оформление задания 20 ОГЭ 🧮

Задание 20 открывает вторую часть ОГЭ. Впервые за экзамен нужно не вписать число в клеточки, а показать решение целиком. Алгебра здесь честная, уровня 8–9 класса: система из двух уравнений, дробное уравнение, неравенство или уравнение высокой степени. И всё же многие получают за него $0$ или $1$ балл вместо $2$. Причина почти всегда одна из трёх: потерян корень, не проверено ограничение знаменателя, ответ записан без обоснования.

Системы уравнений — это язык, на котором описывают любую ситуацию с несколькими неизвестными и несколькими условиями. Прямоугольный участок, у которого известны площадь и диагональ. Два тарифа, у которых нужно найти точку, где они равны. Робот-пылесос, который едет по прямой и должен понять, где пересечёт границу зоны покрытия Wi-Fi. В линейной системе всё просто: два уравнения первой степени, одна точка пересечения прямых. Но стоит появиться квадрату или произведению $xy$ — и начинаются интересные вещи: решений может быть два, четыре или ни одного.

В машинном обучении «решить систему» — это ежедневная работа. Обучение модели — поиск параметров, при которых выполнены условия (например, производная функции потерь равна нулю по каждому параметру). Для линейной регрессии это линейная система, но стоит добавить нелинейность, и мы оказываемся в мире, где у системы несколько решений, и нужно понимать, какое из них настоящее.

Ты узнаешь:

🎯 Как решать нелинейные системы подстановкой, сложением и разложением на множители — и как не потерять ни одной пары решений

🎯 Как делать замену переменных и почему симметричные системы решаются через теорему Виета за пару строк

🎯 Как решать дробно-рациональные уравнения, неравенства и их системы в формате задания 20

🎯 Как оформить решение, чтобы получить полные 2 балла

История: откуда это взялось? 📜

Нелинейные системы старше, чем алгебра с буквами. На вавилонских глиняных табличках, которым почти 4000 лет, есть задачи вроде: «Длину и ширину я сложил — получилось столько-то, длину на ширину умножил — получилась площадь поля. Найди длину и ширину». Это ровно система $x + y = a$, $xy = b$. Вавилонские писцы решали её рецептом: возьми половину суммы, возведи в квадрат, отними площадь, извлеки корень, прибавь и отними от половины суммы. Если перевести на современный язык, это формула корней квадратного уравнения.

Греческий математик Диофант Александрийский (III век) в «Арифметике» решал такие системы изящной заменой: если $x + y = 20$, положи $x = 10 + t$, $y = 10 - t$ — тогда произведение $xy = 100 - t^2$, и задача сводится к одному неизвестному. Это первое систематическое использование замены переменных, которую ты увидишь в Блоке 2.

А связь между суммой и произведением корней и коэффициентами уравнения в общем виде записал Франсуа Виет в конце XVI века. Он был юристом и тайным советником короля Франции, расшифровывал испанскую переписку, а в свободное время придумал буквенную алгебру. Благодаря ему симметричную систему «сумма и произведение» сегодня решают в одну строчку. Сейчас системы нелинейных уравнений решают численно — методом Ньютона, в ML — градиентным спуском, но идеи подстановки, замены и симметрии остаются основой: любой численный метод работает лучше, если систему сначала упростить руками.

Блок 1: Подстановка, сложение и разложение на множители

Давай разберёмся с интуицией

У линейной системы две прямые пересекаются в одной точке. У нелинейной на плоскости живут кривые: окружности, параболы, гиперболы. Прямая и окружность могут пересечься в двух точках, коснуться в одной или разминуться. Две окружности — тоже до двух точек. Парабола и окружность — до четырёх. Поэтому решение нелинейной системы — это набор пар $(x; y)$, и главная опасность — потерять одну из них.

Основных приёмов три:

1. Подстановка. Из одного уравнения выражаем одну переменную (лучше из линейного) и подставляем в другое. Получаем уравнение с одной переменной.
2. Сложение (вычитание). Складываем или вычитаем уравнения так, чтобы одна переменная или неудобное слагаемое исчезли.
3. Разложение на множители. Если одно уравнение раскладывается как $A \cdot B = 0$, система распадается на две более простые: с $A = 0$ и с $B = 0$.

Аналогия

Представь, что ты ищешь человека по двум приметам: «живёт на улице Ленина» и «на расстоянии 5 км от вокзала». Улица — прямая, «5 км от вокзала» — окружность. Подходящие дома — точки пересечения, их может быть два. Подстановка — это как пойти вдоль улицы и в каждом доме проверять расстояние: одна переменная (номер дома) вместо двух координат. Если нашёл первый подходящий дом и ушёл — ты потерял второй. Это ровно та ошибка, за которую снимают балл.

Определение: Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными — это пара чисел $(x; y)$, которая обращает в верное равенство каждое уравнение системы. Решить систему — найти все такие пары или доказать, что их нет. После подстановки вторую координату нужно найти для каждого найденного значения первой.

Пример 1 (лёгкий): прямая и окружность

Реши систему $\begin{cases} y = x + 1, \\ x^2 + y^2 = 25. \end{cases}$

Решение:

Шаг 1. Первое уравнение уже выражает $y$. Подставляем во второе:

Шаг 2. Раскрываем скобки: $x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25$, то есть $2x^2 + 2x - 24 = 0$, или $x^2 + x - 12 = 0$.

Шаг 3. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -1$, $x_1 x_2 = -12$, откуда $x_1 = 3$, $x_2 = -4$.

Шаг 4. Для каждого $x$ находим $y$: при $x = 3$ $y = 4$; при $x = -4$ $y = -3$.

Проверим наш ответ: $3^2 + 4^2 = 25$ ✓, $(-4)^2 + (-3)^2 = 25$ ✓.

Геометрически: прямая $y = x + 1$ пересекает окружность радиуса $5$ с центром в начале координат в двух точках — $(3; 4)$ и $(-4; -3)$.

Ответ: $(3; 4)$, $(-4; -3)$.

Пример 2 (средний): метод сложения

Реши систему $\begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ x^2 - y^2 = 5. \end{cases}$

Решение:

Шаг 1. Складываем уравнения: $2x^2 = 18$, $x^2 = 9$.

Шаг 2. Вычитаем второе из первого: $2y^2 = 8$, $y^2 = 4$.

Шаг 3. $x = \pm 3$, $y = \pm 2$. Уравнения содержат только квадраты, поэтому подходят все комбинации знаков — это $4$ пары.

Ответ: $(3; 2)$, $(3; -2)$, $(-3; 2)$, $(-3; -2)$.

Частая ошибка — записать только $(3; 2)$ и $(-3; -2)$. Геометрически: окружность и гипербола $x^2 - y^2 = 5$ пересекаются в четырёх точках, по одной в каждой четверти.

Пример 3 (сложный): однородное уравнение и разложение на множители

Реши систему $\begin{cases} x^2 - 3xy + 2y^2 = 0, \\ x^2 + y^2 = 20. \end{cases}$

Решение:

Шаг 1. Первое уравнение однородное: все слагаемые второй степени. Такое уравнение раскладывается как квадратный трёхчлен относительно $x$:

Проверь: $(x - y)(x - 2y) = x^2 - 2xy - xy + 2y^2 = x^2 - 3xy + 2y^2$ ✓.

Шаг 2. Произведение равно нулю — система распадается на две:

Случай 1: $x = y$. Тогда $2y^2 = 20$, $y = \pm\sqrt{10}$. Пары: $(\sqrt{10}; \sqrt{10})$, $(-\sqrt{10}; -\sqrt{10})$.

Случай 2: $x = 2y$. Тогда $4y^2 + y^2 = 20$, $y^2 = 4$, $y = \pm 2$. Пары: $(4; 2)$, $(-4; -2)$.

Проверим: $16 - 24 + 8 = 0$ ✓, $16 + 4 = 20$ ✓.

Ответ: $(4; 2)$, $(-4; -2)$, $(\sqrt{10}; \sqrt{10})$, $(-\sqrt{10}; -\sqrt{10})$.

Почему это важно

Три приёма — подстановка, сложение, разложение — покрывают большинство систем задания 20. Выбор между ними — это «посмотри на систему, прежде чем решать»: есть линейное уравнение — подставляй; одинаковые неудобные слагаемые — складывай или вычитай; однородное уравнение или произведение — раскладывай. В программировании это похоже на выбор алгоритма: можно решать всё перебором, но правильный приём сокращает работу в разы и уменьшает шанс ошибки.

Блок 2: Замена переменных и симметричные системы

Давай разберёмся с интуицией

Иногда в системе повторяется одно и то же выражение: $x + y$, $xy$, $x^2 - 3x$. Тогда его выгодно обозначить новой буквой — и сложная система превращается в простую. Это замена переменных.

Особенно красиво это работает для симметричных систем — таких, где $x$ и $y$ можно поменять местами, и система не изменится. Любое симметричное выражение выражается через две «базовые» величины:

Полезные формулы:

А когда $u$ и $v$ найдены, $x$ и $y$ — это корни квадратного уравнения $t^2 - ut + v = 0$ (теорема Виета «наоборот»).

Аналогия

В ML есть понятие feature engineering — придумывание новых признаков. Иногда модель плохо работает на «сырых» данных $(x, y)$, но отлично — на признаках $(x + y, xy)$. Например, чтобы отличить квадратное поле от вытянутого, удобнее смотреть на периметр и площадь, чем на длину и ширину по отдельности. Замена переменных — тот же приём: переходим в координаты, где задача становится простой, решаем её, а потом возвращаемся обратно.

Правило (теорема, обратная теореме Виета): если $x + y = u$ и $xy = v$, то $x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - ut + v = 0$. Если корни $t_1$ и $t_2$, то решения системы — пары $(t_1; t_2)$ и $(t_2; t_1)$. Если дискриминант отрицателен — действительных решений нет.

Пример 1 (лёгкий): сумма и произведение

Реши систему $\begin{cases} x + y = 5, \\ xy = 6. \end{cases}$

Решение:

Шаг 1. $x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$.

Шаг 2. $t_1 = 2$, $t_2 = 3$ (сумма $5$, произведение $6$).

Шаг 3. Пары: $(2; 3)$ и $(3; 2)$. Не забываем, что $x$ и $y$ можно поменять местами.

Ответ: $(2; 3)$, $(3; 2)$.

Пример 2 (средний): сумма квадратов

Реши систему $\begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ x + y = 4. \end{cases}$

Решение:

Шаг 1. $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$, поэтому $16 - 2xy = 10$, $xy = 3$.

Шаг 2. $t^2 - 4t + 3 = 0$, $t = 1$ или $t = 3$.

Проверим: $1 + 9 = 10$ ✓, $1 + 3 = 4$ ✓.

Ответ: $(1; 3)$, $(3; 1)$.

Пример 3 (сложный): двойная замена

Реши систему $\begin{cases} x + y + xy = 11, \\ x^2 y + x y^2 = 30. \end{cases}$

Решение:

Шаг 1. Замена: $u = x + y$, $v = xy$. Тогда $x^2 y + x y^2 = xy(x + y) = uv$. Система:

Шаг 2. Это снова сумма и произведение! $u$ и $v$ — корни $s^2 - 11s + 30 = 0$: $s = 5$ или $s = 6$. Значит, $(u; v) = (5; 6)$ или $(6; 5)$.

Шаг 3. Возвращаемся к $x$, $y$.

Случай $u = 5$, $v = 6$: $t^2 - 5t + 6 = 0$, $t = 2$ или $3$ — пары $(2; 3)$, $(3; 2)$.

Случай $u = 6$, $v = 5$: $t^2 - 6t + 5 = 0$, $t = 1$ или $5$ — пары $(1; 5)$, $(5; 1)$.

Проверим $(1; 5)$: $x + y + xy = 1 + 5 + 5 = 11$ ✓; $x^2 y + x y^2 = 1 \cdot 5 + 1 \cdot 25 = 30$ ✓.

Ответ: $(2; 3)$, $(3; 2)$, $(1; 5)$, $(5; 1)$.

Почему это важно

Замена — самый мощный приём второй части ОГЭ. В задании 20 она встречается и в уравнениях: $(x^2 - 2x)^2 - 2(x^2 - 2x) - 3 = 0$ решается заменой $t = x^2 - 2x$ за минуту, а «в лоб» превращается в уравнение четвёртой степени. Главное правило замены — всегда возвращаться к исходной переменной и решать все получившиеся уравнения. Ответ в терминах $t$ — не ответ.

Блок 3: Задание 20: дробные уравнения, неравенства и оформление на 2 балла

Давай разберёмся с интуицией

Задание 20 бывает трёх видов:

1. Уравнение: высокой степени (разложение, замена), дробно-рациональное (ОДЗ!), биквадратное.
2. Неравенство или система неравенств: квадратичное, с иррациональным числом вроде $\sqrt3$, дробное с постоянным числителем.
3. Система уравнений — всё, что было в Блоках 1 и 2.

Для дробно-рациональных уравнений алгоритм такой: найти ОДЗ (знаменатели $\neq 0$), умножить на общий знаменатель, решить полученное уравнение, отбросить корни, не входящие в ОДЗ. Умножение на выражение с переменной может добавить «посторонние» корни — ровно те, где знаменатель обнуляется.

Для неравенств главный инструмент — метод интервалов: разложить на множители, отметить нули на прямой, определить знаки на промежутках.

Аналогия

ОДЗ — это как валидация входных данных в программе. Функция divide(a, b) сначала проверяет b != 0, и только потом делит. Если пропустить проверку, программа упадёт или вернёт мусор. Дробное уравнение без ОДЗ — функция без валидации: иногда работает, а иногда выдаёт «корень», которого нет.

Критерии задания 20 (как оценивают): 2 балла — обоснованно получен верный ответ. 1 балл — решение доведено до конца, но допущена вычислительная ошибка или описка, и с её учётом дальнейшие шаги выполнены верно. 0 баллов — во всех остальных случаях. Ответ без решения не засчитывается. «Обоснованно» значит, что каждый переход виден и понятен: откуда взялось уравнение, почему отброшен корень, как получены знаки.

Пример 1 (лёгкий): дробное уравнение с посторонним корнем

Реши уравнение $\dfrac{x}{x - 3} - \dfrac{4}{x + 3} = \dfrac{18}{x^2 - 9}$.

Решение:

Шаг 1. ОДЗ. $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$, поэтому $x \neq 3$, $x \neq -3$.

Шаг 2. Умножаем обе части на $(x - 3)(x + 3)$:

Шаг 3. $x^2 + 3x - 4x + 12 - 18 = 0$, $x^2 - x - 6 = 0$, $x = 3$ или $x = -2$.

Шаг 4. Проверка по ОДЗ: $x = 3$ не входит (знаменатель обнуляется) — посторонний корень. $x = -2$ подходит.

Ответ: $-2$.

Пример 2 (средний): неравенство с иррациональным числом

Реши неравенство $(x - 5)^2 < \sqrt3\,(x - 5)$.

Решение:

Шаг 1. Переносим всё влево: $(x - 5)^2 - \sqrt3(x - 5) < 0$.

Шаг 2. Выносим общий множитель: $(x - 5)(x - 5 - \sqrt3) < 0$.

Шаг 3. Нули множителей: $x = 5$ и $x = 5 + \sqrt3$. Это парабола ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ равен $1$), отрицательна между корнями.

Шаг 4. $5 < x < 5 + \sqrt3$.

⚠️ Делить обе части на $x - 5$ нельзя: мы не знаем его знак. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется, и половина решений теряется.

Ответ: $(5; 5 + \sqrt3)$.

Пример 3 (сложный): замена в уравнении четвёртой степени

Реши уравнение $(x^2 - 2x)^2 - 2(x^2 - 2x) - 3 = 0$.

Решение:

Шаг 1. Замена $t = x^2 - 2x$: $t^2 - 2t - 3 = 0$, $t = 3$ или $t = -1$.

Шаг 2. Обратная замена.

$x^2 - 2x = 3$: $x^2 - 2x - 3 = 0$, $x = 3$ или $x = -1$.

$x^2 - 2x = -1$: $x^2 - 2x + 1 = 0$, $(x - 1)^2 = 0$, $x = 1$.

Проверим $x = 1$: $t = 1 - 2 = -1$, $1 + 2 - 3 = 0$ ✓.

Ответ: $-1$; $1$; $3$.

Как оформить задание 20 на 2 балла

Образец полного решения для Примера 1 — то, что стоит написать в бланке:

$\dfrac{x}{x - 3} - \dfrac{4}{x + 3} = \dfrac{18}{x^2 - 9}$. ОДЗ: $x \neq \pm 3$.

Умножим обе части на $(x - 3)(x + 3) \neq 0$: $x(x + 3) - 4(x - 3) = 18$; $x^2 - x - 6 = 0$; $x_1 = 3$, $x_2 = -2$.

$x = 3$ не удовлетворяет ОДЗ. Ответ: $-2$.

Чек-лист перед сдачей:

1. ОДЗ записано явно, если есть дроби.
2. Каждый переход — одна понятная строка: перенос, вынос множителя, замена с обратной заменой.
3. Все корни найдены и проверены по ОДЗ; при потере корня (деление на выражение с переменной) — стоп.
4. Для систем — пары $(x; y)$, найденные для каждого случая.
5. Для неравенств — метод интервалов или рассуждение о параболе, промежутки со скобками правильного типа.
6. Ответ выписан отдельной строкой в той форме, о которой спрашивают.

Почему это важно

Задание 20 проверяет не «умеешь ли ты решать уравнения» (это было в первой части), а умеешь ли ты доказывать, что нашёл все решения и не добавил лишних. Это та же культура, что в программировании: код без тестов граничных случаев может «работать», пока не встретит $x = 3$. Эксперт ОГЭ — это тестировщик: он проверит, обработал ли ты деление на ноль, потерю корней и обратную замену.

Практика: 30 заданий

Базовые (задания 1–10)

Задание 1: Реши систему $\begin{cases} y = x - 1, \\ x^2 + y^2 = 13. \end{cases}$

Задание 2: Реши систему $\begin{cases} x + y = 7, \\ xy = 12. \end{cases}$

Задание 3: Реши систему $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ x - y = 1. \end{cases}$

Задание 4: Реши систему $\begin{cases} x^2 + y^2 = 20, \\ x^2 - y^2 = 12. \end{cases}$

Задание 5: Найди координаты точек пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = 2x + 3$.

Задание 6: Реши уравнение $\dfrac{6}{x - 1} = x$.

Задание 7: Реши уравнение $\dfrac{x^2 - x - 6}{x - 3} = 0$.

Задание 8: Реши неравенство $x^2 - 4x < 0$.

Задание 9: Реши систему неравенств $\begin{cases} 2x - 4 \geq 0, \\ x^2 < 16. \end{cases}$

Задание 10: Реши систему $\begin{cases} x - y = 2, \\ xy = 15. \end{cases}$

Средние (задания 11–20)

Задание 11: Реши систему $\begin{cases} x^2 + y^2 = 17, \\ xy = 4. \end{cases}$

Задание 12: Реши систему $\begin{cases} x^2 + xy = 12, \\ xy + y^2 = 4. \end{cases}$

Задание 13: Реши систему $\begin{cases} x^2 + y = 7, \\ x - y = -1. \end{cases}$

Задание 14: Реши уравнение $\dfrac{x}{x + 2} + \dfrac{2}{x - 2} = \dfrac{8}{x^2 - 4}$.

Задание 15: Реши уравнение $(x^2 - 3x)^2 - 14(x^2 - 3x) + 40 = 0$.

Задание 16: Реши уравнение $x^4 - 5x^2 - 36 = 0$.

Задание 17: Реши неравенство $(x - 2)^2 < \sqrt5\,(x - 2)$.

Задание 18: Реши систему неравенств $\begin{cases} x^2 - 7x + 10 \leq 0, \\ 3 - x < 0. \end{cases}$

Задание 19: Реши уравнение $x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0$.

Задание 20: Реши систему $\begin{cases} x + y + xy = 5, \\ xy(x + y) = 6. \end{cases}$

Продвинутые (задания 21–30)

Задание 21: Реши систему $\begin{cases} \dfrac1x + \dfrac1y = \dfrac34, \\ x + y = 6. \end{cases}$

Задание 22: Реши систему $\begin{cases} x^2 - 2xy - 3y^2 = 0, \\ x^2 + y^2 = 10. \end{cases}$

Задание 23: Реши уравнение $x^4 = (3x - 10)^2$.

Задание 24: Реши уравнение $(x^2 - 25)^2 + (x^2 + 3x - 10)^2 = 0$.

Задание 25: Реши неравенство $x^2(-x^2 - 9) \leq 9(-x^2 - 9)$.

Задание 26: Реши неравенство $\dfrac{-11}{(x - 2)^2 - 3} \geq 0$.

Задание 27: Реши систему $\begin{cases} x + y = 1, \\ x^3 + y^3 = 19. \end{cases}$

Задание 28: Экран планшета — прямоугольник с диагональю $13$ дюймов и площадью $60$ квадратных дюймов. Найди его стороны.

Задание 29: Робот-пылесос едет по прямой $y = 2x - 5$ (единицы — метры). Роутер стоит в начале координат, зона уверенного приёма — круг радиуса $5$ м: $x^2 + y^2 \leq 25$. В каких точках робот пересечёт границу зоны?

Задание 30: Реши систему $\begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 18, \\ x^2 - y^2 + x - y = 6. \end{cases}$

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Нашли $x$, а $y$ посчитали только для одного корня Неправильно: «$x = 3$ или $x = -4$, $y = 4$. Ответ: $(3; 4)$». Правильно: для каждого $x$ своё $y$: $(3; 4)$ и $(-4; -3)$. Почему важно: потерянная пара — это неверный ответ, а значит максимум $0$ баллов.

❌ Ошибка 2: Не записали ОДЗ в дробном уравнении Неправильно: в Примере 1 Блока 3 ответ «$3$; $-2$». Правильно: $x = 3$ обнуляет знаменатель, ответ $-2$. Почему важно: посторонний корень в ответе — $0$ баллов.

❌ Ошибка 3: Деление на выражение с переменной Неправильно: $(x - 5)^2 < \sqrt3(x - 5)$ → «делим на $x - 5$»: $x - 5 < \sqrt3$. Правильно: перенести всё в одну часть и вынести общий множитель. Почему важно: при $x - 5 < 0$ знак неравенства меняется; ответ «$x < 5 + \sqrt3$» неверен.

❌ Ошибка 4: Забыли обратную замену или одну из её ветвей Неправильно: «$t = 3$ или $t = -1$. Ответ: $3$; $-1$». Правильно: решить $x^2 - 2x = 3$ и $x^2 - 2x = -1$. Почему важно: ответ в переменной $t$ — не ответ на вопрос задачи.

❌ Ошибка 5: Потеряли комбинации знаков Неправильно: в системе $x^2 + y^2 = 13$, $x^2 - y^2 = 5$ записать только $(3; 2)$ и $(-3; -2)$. Правильно: $x^2 = 9$ и $y^2 = 4$ независимы — четыре пары. Почему важно: две из четырёх пар — неполный ответ.

❌ Ошибка 6: В симметричной системе забыли поменять $x$ и $y$ местами Неправильно: $x + y = 5$, $xy = 6$ → «$(2; 3)$». Правильно: $(2; 3)$ и $(3; 2)$ — это разные пары. Почему важно: точка $(3; 2)$ на плоскости не совпадает с $(2; 3)$.

❌ Ошибка 7: Биквадратное уравнение — взяли отрицательное $t$ Неправильно: $x^2 = -4$ → «$x = \pm 2$». Правильно: $x^2 \geq 0$, значит $t = -4$ отбрасываем.

Главное запомнить

📝 Ключевые понятия

✅ Решение системы — пара $(x; y)$, подходящая в оба уравнения. Для каждого найденного $x$ находи свой $y$.

✅ Подстановка: выражай переменную из линейного уравнения.

✅ Сложение/вычитание: убирает одинаковые слагаемые ($x^2 + y^2$ и $x^2 - y^2$).

✅ Разложение: однородное уравнение $ax^2 + bxy + cy^2 = 0$ раскладывается на линейные множители — система распадается на случаи.

✅ Симметричная система: $u = x + y$, $v = xy$; $x^2 + y^2 = u^2 - 2v$, $x^3 + y^3 = u^3 - 3uv$; $x$, $y$ — корни $t^2 - ut + v = 0$.

✅ Замена в уравнении: повторяющееся выражение → новая буква → обязательная обратная замена.

✅ Дробное уравнение: ОДЗ → умножение на общий знаменатель → проверка корней по ОДЗ.

✅ Неравенство: всё в одну часть, разложение на множители, метод интервалов. Никогда не дели на выражение неизвестного знака.

✅ Критерии задания 20: 2 балла — обоснованный верный ответ; 1 балл — одна вычислительная ошибка при верном ходе; иначе 0.

Связь с другими темами курса

Что нужно было знать до этого урока:

• Системы линейных уравнений — подстановка и сложение впервые появились там
• Квадратное уравнение — почти каждая нелинейная система сводится к нему
• Теорема Виета — ключ к симметричным системам
• Разложение квадратного трёхчлена и разложение многочлена — для однородных уравнений и уравнений высших степеней
• Системы линейных неравенств — пересечение промежутков

Что изучить дальше:

• Практические задачи ОГЭ 1–5 — следующий урок: сюжетный блок первой части
• Кусочные функции и задание 22 — там число общих точек графиков — это число решений системы
• Разбор задания 20 ОГЭ — формат задания и дополнительные примеры
• Метод Гаусса — как решают большие линейные системы
• Метод Ньютона — численное решение нелинейных систем

Где это нужно в жизни:

• 📱 В технологиях: GPS-приёмник решает нелинейную систему из уравнений сфер (расстояний до спутников) — по сути это система $x^2 + y^2 + z^2 = \ldots$ в каждом телефоне.
• 🤖 В ML/AI: условие минимума функции потерь — система уравнений «все частные производные равны нулю». Для нейросети она нелинейная и решается градиентным спуском.
• 💰 В финансах: точка безубыточности, сравнение двух тарифов, расчёт процентной ставки по двум условиям.
• 🔬 В физике: столкновение шаров — система из закона сохранения импульса (линейное уравнение) и энергии (квадратичное) — ровно тип Блока 1.

Интересные факты

💡 Вавилонская «формула корней» — на табличке YBC 6967 (около 1800 года до н. э.) решается задача о двух числах с известной разностью и произведением. Рецепт писца — это наш дискриминант, только словами.

💡 Виет-криптограф — Франсуа Виет так успешно расшифровывал испанскую дипломатическую почту, что король Испании жаловался папе римскому: французы, мол, используют чёрную магию.

💡 Столкновение шаров в бильярде — при упругом ударе скорости шаров находятся из системы, где одно уравнение линейное, а другое квадратичное. Одно из двух решений — «шары прошли сквозь друг друга» — отбрасывается по смыслу. Точно как посторонний корень.

💡 Безу и число решений — теорема Безу (XVIII век) говорит, что две кривые степеней $m$ и $n$ пересекаются не более чем в $m \cdot n$ точках (если не имеют общих кусков). Окружность и гипербола — степени $2$ и $2$ — до $4$ точек, как в Примере 2 Блока 1.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Сначала посмотри на систему Есть линейное уравнение — подстановка. Одинаковые квадраты — сложение. Выражения $x + y$ и $xy$ — Виет. Однородное уравнение — раздели на множители.

2. Однородное уравнение — через $t = x/y$ Если не видишь разложения сразу, раздели $x^2 - 3xy + 2y^2 = 0$ на $y^2$ (при $y \neq 0$): $t^2 - 3t + 2 = 0$, $t = 1$ или $2$ — значит $x = y$ или $x = 2y$. Случай $y = 0$ проверь отдельно.

3. Проверка подстановкой — 30 секунд Подставь каждую найденную пару в оба уравнения. Эксперт не требует этого в бланке, но это лучший способ поймать ошибку до сдачи.

4. Неравенство вида $A^2 < c \cdot A$ Сразу пиши $A(A - c) < 0$, откуда $A$ между $0$ и $c$. Для $(x - 5)^2 < \sqrt3(x - 5)$: $0 < x - 5 < \sqrt3$.

5. Числитель — число В неравенстве $\frac{\text{отрицательное число}}{\text{выражение}} \geq 0$ знак дроби определяет только знаменатель, а равенство нулю невозможно. Решай «знаменатель $< 0$».

6. Проверка в Python

from sympy import symbols, solve, Eq

x, y = symbols('x y')
print(solve([Eq(x + y + x*y, 11), Eq(x**2*y + x*y**2, 30)], [x, y]))
# [(1, 5), (2, 3), (3, 2), (5, 1)]

sympy найдёт все пары, в том числе комплексные — действительные оставь, остальные отбрось.

💡 Совет: на экзамене задание 20 — это «подарок» для тех, кто аккуратен. Реши каждое задание из практики с полным оформлением, как в бланке, и сверяй не только ответ, но и то, записал ли ты ОДЗ и обратную замену.

Дальше: Практические задачи ОГЭ 1–5 — план участка, квартира, шины и тарифы.