Практические задачи ОГЭ 1–5: план участка, квартира, шины, тарифы 🏡

Первые пять заданий ОГЭ — это не пять отдельных задач, а одна история. Тебе дают текст про дачный участок, квартиру, автомобильные шины, тарифы на связь или печь для бани — и пять вопросов к нему. Математика там уровня 5–7 класса: площади, проценты, масштаб, перевод единиц. Но именно здесь теряют больше всего «лёгких» баллов: не дочитал условие, перепутал клетку плана с метром, округлил не в ту сторону, забыл, что упаковку плитки нельзя купить частично.

Эти 5 баллов — самые дешёвые на экзамене. Их можно набрать, ничего нового не выучив: нужно только научиться внимательно читать и раскладывать текст на таблицу. Этим навыком ты будешь пользоваться всю жизнь: при выборе тарифа мобильной связи, ремонте квартиры, покупке шин или сравнении двух предложений по ипотеке. А в Data Science первый шаг любой задачи — ровно такой же: взять «сырое» описание и превратить его в аккуратную таблицу признаков.

В этом уроке мы разберём три главных сюжета: план участка или квартиры, маркировку шин, тарифы. Картинок не будет — планы и схемы мы описываем словами и таблицами. Это даже полезно: на экзамене рисунок есть, но чтобы решить задачу, ты всё равно переводишь его в числа.

Ты узнаешь:

🎯 Как читать план по клеткам и масштабу, считать площади помещений и нужное количество материалов с учётом упаковок

🎯 Как расшифровать маркировку шины вида 205/55 R16 и найти диаметр колеса в миллиметрах

🎯 Как сравнивать тарифы на связь, такси и электричество, находить точку безубыточности и выбирать выгодный вариант

История: откуда это взялось? 📜

Практическая математика старше теоретической. В Древнем Египте каждый год разливался Нил и смывал границы полей. Чтобы заново разметить участки и правильно взять налог с площади, существовали специальные землемеры — «натягиватели верёвки» (гарпедонапты). Слово «геометрия» по-гречески и означает «землемерие». Задачи из папируса Ринда (около 1650 года до н. э.) очень похожи на задания 1–5: найти площадь поля, объём зернохранилища, разделить хлеб между работниками.

Дюйм, который живёт в маркировке шин, — ещё более старая мера. В Англии XIV века его официально определяли как длину трёх ячменных зёрен, положенных в ряд. Сегодня дюйм определён точно: $1$ дюйм $= 25{,}4$ мм (международное соглашение 1959 года). Поэтому шина с маркировкой 205/55 R16 — это смесь двух систем: ширина в миллиметрах, диаметр диска в дюймах. Буква R, кстати, означает не «радиус», а радиальную конструкцию шины — нити корда в ней идут от центра, как спицы.

Тарифы появились вместе с массовыми услугами. Многотарифные счётчики электроэнергии существуют больше ста лет: электростанциям было выгодно, чтобы люди включали приборы ночью, когда нагрузка мала. Сегодня та же идея работает в тарифах такси (повышающий коэффициент в час пик), в облачных вычислениях (spot-инстансы дешевле ночью) и в любых подписках. А задача «выбрать самый выгодный вариант» — это простейшая задача оптимизации, с которой начинается весь курс оптимизации и машинного обучения.

Блок 1: План участка и квартиры — клетки, масштаб, площади

Давай разберёмся с интуицией

В задании обычно есть план: вид сверху на участок или квартиру, расчерченный на клетки. В тексте сказано, чему равна одна клетка, например «сторона клетки — 2 м». Это и есть масштаб. Все расстояния на плане переводятся в реальные умножением на размер клетки.

С площадями есть ловушка. Если прямоугольник на плане занимает $5 \times 4$ клетки, а клетка — квадрат $2 \times 2$ м, то реальные размеры $10 \times 8$ м и площадь $80$ м². А не $5 \cdot 4 \cdot 2 = 40$! Площадь одной клетки — $2 \cdot 2 = 4$ м², и $20$ клеток дают $80$ м².

Правило масштаба: если длины увеличиваются в $k$ раз, то площади увеличиваются в $k^2$ раз, а объёмы — в $k^3$ раз. Масштаб $1 : 200$ означает, что $1$ см на плане соответствует $200$ см $= 2$ м на местности.

Второй типичный вопрос — сколько купить материала: плитки, ламината, сетки для забора. Здесь две вещи:

1. Считаем, сколько нужно штук или квадратных метров, с учётом запаса, если он указан.
2. Переводим в упаковки и округляем вверх: $19{,}2$ упаковки — это $20$ упаковок, потому что $0{,}2$ упаковки в магазине не продают.

Аналогия

План с клетками — это как карта в стратегии или пиксельная картинка. Каждая клетка карты — это, скажем, $2 \times 2$ метра игрового мира. Персонаж, прошедший $5$ клеток, прошёл $10$ метров. А «площадь базы» в $20$ клеток — это $80$ квадратных метров мира. В компьютерном зрении так же: у снимка со спутника каждый пиксель соответствует, например, $0{,}5 \times 0{,}5$ м земли, и площадь поля в м² — это число пикселей, умноженное на $0{,}25$.

Пример 1 (лёгкий): площадь дома по клеткам

На плане участка сторона каждой клетки равна $2$ м. Дом занимает на плане прямоугольник $5 \times 4$ клетки. Найди площадь, которую занимает дом, в квадратных метрах.

Решение:

Шаг 1. Переводим размеры в метры: $5 \cdot 2 = 10$ м, $4 \cdot 2 = 8$ м.

Шаг 2. Площадь: $10 \cdot 8 = 80$ м².

Проверим наш ответ другим способом: клеток $5 \cdot 4 = 20$, площадь одной $2 \cdot 2 = 4$ м², итого $20 \cdot 4 = 80$ м² ✓.

Ответ: $80$.

Пример 2 (средний): масштаб и плитка

План участка нарисован в масштабе $1 : 200$. Теплица на плане — прямоугольник $3 \times 2{,}5$ см. От теплицы к дому ведёт дорожка шириной $1$ м и длиной $12$ м, которую выкладывают квадратной плиткой $25 \times 25$ см. Плитка продаётся упаковками по $10$ штук. Найди площадь теплицы и число упаковок плитки.

Решение:

Шаг 1. Теплица. $1$ см на плане — $200$ см $= 2$ м. Реальные размеры: $3 \cdot 2 = 6$ м и $2{,}5 \cdot 2 = 5$ м. Площадь $6 \cdot 5 = 30$ м².

Шаг 2. Плитки. Площадь дорожки $1 \cdot 12 = 12$ м². Площадь одной плитки $0{,}25 \cdot 0{,}25 = 0{,}0625$ м². Нужно $12 : 0{,}0625 = 192$ плитки.

Можно проще: по ширине $1$ м помещается $1 : 0{,}25 = 4$ плитки, по длине $12 : 0{,}25 = 48$ плиток, всего $4 \cdot 48 = 192$.

Шаг 3. Упаковки. $192 : 10 = 19{,}2$ — округляем вверх: $20$ упаковок.

Ответ: теплица $30$ м²; $20$ упаковок.

Пример 3 (сложный): квартира и ламинат

План квартиры описан таблицей (все помещения прямоугольные):

Найди: а) общую площадь квартиры; б) какой процент площади занимает кухня (округли до целых); в) сколько будет стоить ламинат для гостиной и спальни, если нужен запас $10\%$ на подрезку, в упаковке $2{,}4$ м² ламината, а упаковка стоит $1250$ рублей.

Решение:

Шаг 1. Площади помещений.

Шаг 2. Доля кухни. $\frac{14}{62} \cdot 100\% \approx 22{,}58\% \approx 23\%$.

Шаг 3. Ламинат. Площадь гостиной и спальни: $20 + 14 = 34$ м². С запасом $10\%$: $34 \cdot 1{,}1 = 37{,}4$ м².

Упаковки: $37{,}4 : 2{,}4 \approx 15{,}58$ — округляем вверх до $16$.

Стоимость: $16 \cdot 1250 = 20\,000$ рублей.

Ответ: а) $62$ м²; б) $\approx 23\%$; в) $20\,000$ рублей.

Почему это важно

Здесь нет сложной математики, но есть три «капкана», из-за которых теряют баллы: перепутать клетку с метром, забыть возвести масштаб в квадрат для площади и округлить упаковки по правилам арифметики, а не по смыслу. Главный приём — таблица: выпиши все размеры, переведи в метры и посчитай площади. Таблица заодно отвечает на все пять вопросов сюжета, потому что они почти всегда используют одни и те же данные. В программировании это называется «сначала нормализуй данные, потом считай», в Data Science — предобработка.

Блок 2: Маркировка шин и диаметр колеса

Давай разберёмся с интуицией

На боковине любой автомобильной шины есть надпись вида 205/55 R16. Она расшифровывается так:

Колесо в разрезе устроено так: в центре диск, сверху и снизу от него — боковины шины. Поэтому полный диаметр колеса — это диаметр диска плюс две высоты боковины:

Высота боковины $h = \frac{B \cdot H}{100}$ мм — это $H\%$ от ширины. А $1$ дюйм $= 25{,}4$ мм.

Аналогия

Представь бублик, надетый на тарелку. Тарелка — это диск, бублик — шина. Чтобы узнать общий размер, нужно к диаметру тарелки прибавить толщину бублика сверху и снизу. Ширина бублика (насколько он «толстый» вбок) на диаметр не влияет напрямую, но высота боковины задана в процентах от ширины — поэтому ширина входит в формулу. Это как у изображений: высоту картинки иногда задают через ширину и соотношение сторон (aspect ratio). Профиль шины — это её «aspect ratio».

Формула диаметра колеса: для шины с маркировкой $B/H\ \text{R}d$:

$$D = 25{,}4\,d + \frac{2BH}{100} \text{ мм}.$$

Если диаметр колеса меняется, меняется и показание спидометра: при том же числе оборотов колесо большего диаметра проходит больше пути. Реальная скорость $= $ показание $\cdot \dfrac{D_{\text{новое}}}{D_{\text{заводское}}}$.

Пример 1 (лёгкий): диаметр колеса

Найди диаметр колеса с шиной 205/55 R16.

Решение:

Шаг 1. Диск: $16 \cdot 25{,}4 = 406{,}4$ мм.

Шаг 2. Высота боковины: $205 \cdot 0{,}55 = 112{,}75$ мм.

Шаг 3. Диаметр: $406{,}4 + 2 \cdot 112{,}75 = 406{,}4 + 225{,}5 = 631{,}9$ мм.

Ответ: $631{,}9$ мм.

Пример 2 (средний): замена шин и спидометр

На заводе автомобиль комплектуют шинами 195/65 R15. Владелец поставил шины 205/55 R16. На сколько миллиметров изменился диаметр колеса? Какую скорость будет реально развивать машина, когда спидометр показывает $100$ км/ч? Ответ округли до десятых.

Решение:

Шаг 1. Заводское колесо. $15 \cdot 25{,}4 = 381$ мм; боковина $195 \cdot 0{,}65 = 126{,}75$ мм; $D_1 = 381 + 253{,}5 = 634{,}5$ мм.

Шаг 2. Новое колесо. Из Примера 1: $D_2 = 631{,}9$ мм.

Шаг 3. Разница: $634{,}5 - 631{,}9 = 2{,}6$ мм — диаметр уменьшился.

Шаг 4. Спидометр. Он считает обороты колеса и умножает на «заводскую» длину окружности. Новое колесо меньше, за оборот проходит меньше. Реальная скорость:

Ответ: уменьшился на $2{,}6$ мм; реальная скорость $\approx 99{,}6$ км/ч.

Пример 3 (сложный): таблица допустимых размеров

Производитель разрешает для модели автомобиля такие шины (в клетке — допустимый профиль):

Какой наименьший диаметр колеса можно получить из разрешённых вариантов? Какой наибольший?

Решение:

Шаг 1. Считаем все шесть вариантов. Диск R15 — $381$ мм, R16 — $406{,}4$ мм.

Шаг 2. Наименьший — $606{,}5$ мм (205/55 R15), наибольший — $628{,}4$ мм (185/60 R16).

Заметь: самая широкая шина дала самое маленькое колесо. Причина — низкий профиль: процент берётся от ширины, но сам процент упал сильнее, чем выросла ширина.

Ответ: $606{,}5$ мм и $628{,}4$ мм.

Почему это важно

Шинная задача проверяет три навыка сразу: перевод единиц (дюймы в миллиметры), проценты (профиль) и внимательность (две боковины, а не одна). Это уже инженерный расчёт: так на самом деле подбирают шины, и ошибка на $2$–$3\%$ диаметра означает, что спидометр врёт, а ABS и ESP получают неверные данные о скорости. В ML-терминах: если датчик откалиброван под одни условия, а работает в других, все последующие вычисления сдвигаются — это классическая проблема сдвига данных (data drift).

Блок 3: Тарифы, проценты и выбор выгодного варианта

Давай разберёмся с интуицией

Задачи про тарифы — это сравнение нескольких формул стоимости. Обычно стоимость устроена так:

Это линейная функция $y = kx + b$! Фиксированная часть — абонентская плата, посадка в такси, стоимость установки оборудования; цена за единицу — рубли за минуту, километр, киловатт-час. Иногда внутри есть «включённый объём»: $300$ минут входят в абонентскую плату, а сверх — по отдельной цене. Тогда функция становится кусочной — как в уроке про задание 22.

Как выбирать выгодный вариант:

1. Для конкретного объёма (например, $450$ минут) — посчитать стоимость каждого тарифа и выбрать минимальную.
2. Для вопроса «при каком объёме тариф A выгоднее» — найти точку, где стоимости равны (точка безубыточности), и посмотреть, какой тариф дешевле по разные стороны от неё.
3. Для вопроса «через сколько окупится» — разделить дополнительные разовые затраты на ежемесячную экономию и округлить вверх.

Аналогия

Представь выбор облачного сервера для обучения нейросети. Вариант A: платишь $0$ рублей в месяц и $30$ рублей за час работы GPU. Вариант B: $15\,000$ рублей в месяц за выделенный сервер без почасовой оплаты. Если обучаешь модель $100$ часов в месяц — A выйдет $3000$, выгоднее. Если $1000$ часов — A выйдет $30\,000$, выгоднее B. Точка безубыточности — $500$ часов. Это ровно задача о тарифах из ОГЭ, и её решают инженеры каждый день.

Точка безубыточности: для двух тарифов $y_1 = k_1 x + b_1$ и $y_2 = k_2 x + b_2$ стоимости равны при

$$x^* = \frac{b_2 - b_1}{k_1 - k_2}.$$

При $x < x^*$ выгоднее тариф с меньшей фиксированной частью, при $x > x^*$ — тариф с меньшей ценой за единицу.

Пример 1 (лёгкий): два такси

Такси A: посадка $120$ рублей и $28$ рублей за километр. Такси B: без платы за посадку, $38$ рублей за километр. Какое такси выгоднее для поездки на $10$ км? При какой длине поездки стоимость одинакова?

Решение:

Шаг 1. A: $120 + 28 \cdot 10 = 400$ рублей. B: $38 \cdot 10 = 380$ рублей. Выгоднее B.

Шаг 2. Равенство: $120 + 28x = 38x$, $10x = 120$, $x = 12$ км.

Вывод: до $12$ км дешевле B, после $12$ км — A.

Ответ: B ($380$ рублей); $12$ км.

Пример 2 (средний): тарифы мобильной связи

Абонент разговаривает $450$ минут в месяц. Какой тариф ему выгоднее и сколько он заплатит?

Решение:

Шаг 1. «Базовый»: $450 \cdot 2{,}5 = 1125$ рублей.

Шаг 2. «Комфорт»: сверх пакета $450 - 300 = 150$ минут. $350 + 150 \cdot 1{,}5 = 350 + 225 = 575$ рублей.

Шаг 3. «Безлимит»: $600$ рублей.

Шаг 4. Минимум — $575$ рублей, тариф «Комфорт».

Проверим наш ответ на здравый смысл: «Безлимит» дороже «Комфорта» всего на $25$ рублей. Если абонент начнёт говорить чуть больше — ещё $17$ минут сверх, — выгоднее станет «Безлимит». Точка равенства: $350 + 1{,}5(t - 300) = 600$, $t \approx 466{,}7$ минуты.

Ответ: «Комфорт», $575$ рублей.

Пример 3 (сложный): двухтарифный счётчик и окупаемость

Семья платит за электричество по одноставочному тарифу $5{,}40$ руб./кВт·ч. При двухтарифном счётчике днём цена $6{,}20$ руб./кВт·ч, ночью — $3{,}10$ руб./кВт·ч. За месяц семья тратит днём $220$ кВт·ч, ночью $130$ кВт·ч. Установка нового счётчика стоит $3500$ рублей. Выгодно ли его ставить и через сколько месяцев окупится установка? Сколько процентов от прежней оплаты составляет экономия?

Решение:

Шаг 1. Сейчас: $(220 + 130) \cdot 5{,}40 = 350 \cdot 5{,}40 = 1890$ рублей в месяц.

Шаг 2. С новым счётчиком: $220 \cdot 6{,}20 + 130 \cdot 3{,}10 = 1364 + 403 = 1767$ рублей.

Шаг 3. Экономия: $1890 - 1767 = 123$ рубля в месяц.

Шаг 4. Окупаемость: $3500 : 123 \approx 28{,}46$. Через $28$ месяцев экономия составит $28 \cdot 123 = 3444 < 3500$ — ещё не окупилось; через $29$ месяцев — $3567 \geq 3500$. Значит, 29 месяцев.

Шаг 5. Процент экономии: $\frac{123}{1890} \cdot 100\% \approx 6{,}5\%$.

⚠️ Заметь: дневной тариф дороже одноставочного. Если бы семья потребляла ночью совсем мало, двухтарифный счётчик оказался бы невыгодным. Выгода зависит от доли ночного потребления.

Ответ: выгодно; окупится через $29$ месяцев; экономия $\approx 6{,}5\%$.

Почему это важно

Выбор тарифа — это самая простая задача оптимизации: из нескольких вариантов выбрать тот, при котором функция стоимости минимальна. В ML обучение модели — тоже оптимизация, только вариантов бесконечно много, и ищут их градиентным спуском. А в инженерии облачных систем решение «платить за резерв или по факту» принимается ровно по точке безубыточности. Главное правило экзамена здесь: считай каждый вариант полностью и не полагайся на интуицию «безлимит всегда выгоднее» — в Примере 2 это не так.

Практика: 30 заданий

Условие для заданий 1–5 и 30. Участок имеет форму прямоугольника $24 \times 20$ м. На плане сторона клетки равна $2$ м, участок занимает $12 \times 10$ клеток. Объекты на плане (все прямоугольные):

Въезд на участок — ворота шириной $4$ м на короткой стороне.

Базовые (задания 1–10)

Задание 1: Найди площадь, которую занимает дом, в м².

Задание 2: Найди площадь участка и какой процент его площади занимает дом. Процент округли до целых.

Задание 3: Пол в бане выкладывают плиткой $20 \times 20$ см. Сколько плиток понадобится?

Задание 4: Огород огораживают сеткой по периметру. Сетка продаётся рулонами по $10$ м. Сколько рулонов нужно купить?

Задание 5: Хозяин перерисовал план в масштабе $1 : 200$. Какой длины будет на новом плане длинная сторона дома (в см)?

Задание 6: Найди диаметр колеса с шиной 215/60 R16 (в мм).

Задание 7: Шина имеет маркировку 185/65 R15. Найди ширину шины и высоту её боковины в миллиметрах.

Задание 8: Поездка на такси стоит $150$ рублей за посадку плюс $30$ рублей за каждый километр. Сколько стоит поездка на $12$ км?

Задание 9: Тариф на электроэнергию был $5{,}50$ руб./кВт·ч и вырос на $8\%$. Каким стал тариф?

Задание 10: На карте масштаба $1 : 50\,000$ расстояние между деревнями $3{,}4$ см. Каково расстояние на местности в километрах?

Средние (задания 11–20)

Задание 11: Дорожку шириной $1$ м и длиной $14$ м выкладывают плиткой $50 \times 50$ см. В упаковке $6$ плиток. Сколько упаковок нужно купить?

Задание 12: Квартира состоит из помещений: гостиная $5{,}2 \times 4$ м, кухня $3{,}5 \times 3$ м, спальня $4 \times 3{,}6$ м, коридор $6 \times 1{,}4$ м, ванная $2{,}2 \times 1{,}8$ м. Найди общую площадь квартиры.

Задание 13: В квартире из задания 12 кладут ламинат в гостиной и спальне с запасом $10\%$. В упаковке $2{,}2$ м², цена упаковки $1400$ рублей. Сколько стоит ламинат?

Задание 14: Заводские шины 195/65 R15 заменили на 205/55 R16. На сколько миллиметров изменился диаметр колеса?

Задание 15: Колёса с шинами 205/55 R16 заменили на 225/50 R17. Спидометр показывает $100$ км/ч. С какой скоростью реально едет машина? Округли до десятых.

Задание 16: Тарифы мобильного интернета: A — $250$ руб./мес., включено $10$ ГБ, сверх — $60$ руб. за ГБ; B — $400$ руб./мес., включено $25$ ГБ; C — $550$ руб./мес., безлимит. Абонент тратит $18$ ГБ в месяц. Какой тариф выгоднее и сколько он будет платить?

Задание 17: Одноставочный тариф $4{,}90$ руб./кВт·ч; двухтарифный: днём $5{,}80$, ночью $2{,}90$ руб./кВт·ч. Потребление: днём $180$ кВт·ч, ночью $120$ кВт·ч в месяц. Сколько рублей в месяц экономит двухтарифный счётчик?

Задание 18: Такси A: посадка $90$ руб. + $25$ руб./км. Такси B: посадка $150$ руб. + $20$ руб./км. При какой длине поездки стоимость одинакова? Какое такси выгоднее для поездки на $20$ км?

Задание 19: Кроссовки стоят $2400$ рублей. На них скидка $15\%$, а по промокоду — ещё $10\%$ от цены со скидкой. Сколько стоят кроссовки? Равносильно ли это скидке $25\%$?

Задание 20: На плане масштаба $1 : 100$ комната — прямоугольник $4{,}5 \times 3{,}2$ см. Найди площадь комнаты в м². Во сколько раз реальная площадь больше площади на плане?

Продвинутые (задания 21–30)

Задание 21: Для автомобиля разрешены шины (в клетке — профиль):

Найди наибольший возможный диаметр колеса. На сколько миллиметров изменится диаметр, если шины 175/70 R14 заменить на 195/55 R15?

Задание 22: Для бани выбирают печь. Газовая: оборудование $24\,000$ руб., монтаж $16\,000$ руб., расход газа $1{,}2$ м³/ч, газ $7$ руб./м³. Электрическая: оборудование $20\,000$ руб., монтаж $8000$ руб., мощность $5$ кВт, электроэнергия $5$ руб./кВт·ч. Через сколько часов работы газовая печь окупит более дорогую установку?

Задание 23: Домашний интернет на год: A — $590$ руб./мес.; B — $6000$ руб. один раз за год; C — первые $3$ месяца по $99$ руб., затем $690$ руб./мес. Какой вариант выгоднее на год и сколько он экономит по сравнению с A?

Задание 24: Двое едут на машине за $540$ км. Расход бензина $7{,}5$ л на $100$ км, бензин стоит $58{,}40$ руб./л. Билет на поезд стоит $1250$ рублей на человека. Что дешевле и на сколько?

Задание 25: Комната $4 \times 3{,}5$ м, высота потолка $2{,}6$ м. В ней окно $1{,}5 \times 1{,}4$ м и дверь $0{,}9 \times 2{,}0$ м. Рулон обоев имеет размер $10{,}05 \times 0{,}53$ м. Сколько рулонов нужно, если считать только по площади стен (без учёта подгонки рисунка)?

Задание 26: Такси: $99$ рублей за первые $3$ км, далее $29$ руб./км. Ночью ко всей стоимости применяется коэффициент $1{,}2$. Сколько стоит ночная поездка на $15$ км?

Задание 27: Цена телефона $5000$ рублей сначала выросла на $20\%$, а потом снизилась на $20\%$. Какой стала цена? На сколько процентов она изменилась по сравнению с исходной?

Задание 28 (оптимизация): Тариф A: $300$ руб./мес., $200$ минут включено, сверх — $2$ руб./мин. Тариф B: $500$ руб./мес. без ограничений. Запиши стоимость тарифа A как функцию числа минут $t$ и найди, при каком числе минут A выгоднее B.

Задание 29: Владелец хочет поставить шины шириной $225$ мм на диск R17 так, чтобы диаметр колеса был как можно ближе к заводскому 205/55 R16. Профили выпускаются с шагом $5$ ($40$, $45$, $50$...). Какой профиль выбрать и какой получится разница диаметров?

Задание 30: Участок из условия для заданий 1–5 огораживают забором по всему периметру, кроме ворот. Забор продаётся секциями по $2{,}5$ м, секция стоит $1850$ рублей, ворота — $12\,000$ рублей. Сколько стоит забор с воротами?

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Клетку плана приняли за метр Неправильно: «дом $5 \times 4$ клетки — площадь $20$ м²». Правильно: при клетке $2$ м площадь $10 \cdot 8 = 80$ м². Почему важно: все пять заданий сюжета опираются на размеры с плана; одна ошибка тянет за собой несколько.

❌ Ошибка 2: Масштаб для площади не возвели в квадрат Неправильно: «на плане $1 : 100$ комната $14{,}4$ см², значит в жизни $1440$ см²». Правильно: площадь увеличивается в $100^2 = 10\,000$ раз: $144\,000$ см² $= 14{,}4$ м². Почему важно: ответ ошибается в $100$ раз.

❌ Ошибка 3: Упаковки округлили по правилам арифметики Неправильно: «$19{,}2$ упаковки — это $19$». Правильно: купить можно только целые упаковки, и их должно хватить: $20$. Почему важно: ОГЭ проверяет понимание смысла, а не правило «до $0{,}5$ вниз».

❌ Ошибка 4: В шине учли одну боковину Неправильно: $D = 406{,}4 + 112{,}75 = 519{,}15$ мм. Правильно: боковины две — сверху и снизу от диска: $D = 406{,}4 + 2 \cdot 112{,}75 = 631{,}9$ мм.

❌ Ошибка 5: Профиль приняли за миллиметры Неправильно: в 205/55 R16 высота боковины $55$ мм. Правильно: $55\%$ от ширины: $205 \cdot 0{,}55 = 112{,}75$ мм.

❌ Ошибка 6: Последовательные проценты сложили Неправильно: «скидка $15\%$ и ещё $10\%$ — это $25\%$»; «$+20\%$, потом $-20\%$ — цена не изменилась». Правильно: проценты умножаются: $0{,}85 \cdot 0{,}9 = 0{,}765$; $1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$. Почему важно: это любимая ловушка составителей экзамена и маркетологов.

❌ Ошибка 7: Окупаемость округлили вниз Неправильно: «$3500 : 123 \approx 28{,}46$ — окупится за $28$ месяцев». Правильно: за $28$ месяцев сэкономлено $3444 < 3500$; нужно $29$ месяцев.

❌ Ошибка 8: Включённый пакет посчитали платным Неправильно: «Комфорт»: $350 + 450 \cdot 1{,}5$. Правильно: платными являются только минуты сверх пакета: $350 + (450 - 300) \cdot 1{,}5$.

Главное запомнить

📝 Ключевые понятия

✅ План: длина на плане × размер клетки = реальная длина. Площадь клетки = (размер клетки)².

✅ Масштаб $1 : n$: длины в $n$ раз больше, площади — в $n^2$, объёмы — в $n^3$.

✅ Материалы: нужное количество (с запасом) → деление на размер упаковки → округление вверх.

✅ Шина $B/H\ \text{R}d$: $B$ — ширина в мм, $H$ — высота боковины в % от $B$, $d$ — диск в дюймах.

✅ Диаметр колеса: $D = 25{,}4\,d + 2 \cdot \frac{BH}{100}$ мм.

✅ Спидометр: реальная скорость $=$ показание $\cdot \frac{D_{\text{новое}}}{D_{\text{заводское}}}$.

✅ Тариф: стоимость $=$ фиксированная часть $+$ цена за единицу $\cdot$ количество (сверх пакета).

✅ Точка безубыточности: приравняй стоимости двух тарифов и реши линейное уравнение.

✅ Окупаемость: дополнительные затраты : экономия за период → округление вверх.

✅ Проценты подряд умножаются, а не складываются.

Связь с другими темами курса

Что нужно было знать до этого урока:

• Проценты и задачи на проценты — скидки, подорожания, профиль шины
• Периметр, площадь, объём — площади помещений и участков
• Перевод единиц — дюймы, сантиметры, метры, квадратные метры
• Округление чисел — и когда округлять не по правилам
• Пропорция — масштаб и спидометр

Что изучить дальше:

• Разбор заданий 1–5 ОГЭ — формат блока и ещё примеры
• Системы нелинейных уравнений и задание 20 — вторая часть ОГЭ
• Кусочные функции и задание 22 — тарифы с пакетом — это кусочные функции
• Линейная функция — стоимость тарифа как $y = kx + b$
• Введение в оптимизацию — как выбор «лучшего варианта» превращается в математическую задачу

Где это нужно в жизни:

• 🏠 Ремонт и дача: сколько купить плитки, ламината, обоев, секций забора — ровно задания этого урока.
• 🚗 Автомобиль: подбор шин, пересчёт спидометра, расход топлива.
• 💰 Финансы: тарифы связи, счётчики, скидки, «выгодные» акции с последовательными процентами.
• 🤖 ML/Data Science: превращение текста в таблицу признаков, минимизация функции стоимости, подбор облачных ресурсов по точке безубыточности.

Интересные факты

💡 «R» — не радиус. В маркировке шины R означает радиальную конструкцию корда. Раньше выпускали диагональные шины (маркировка с «D» или «-»), где нити шли наискосок.

💡 Дюйм «переопределили» в 1959 году. До этого американский и британский дюймы немного различались — на несколько миллионных долей. Соглашение установило ровно $25{,}4$ мм.

💡 Спидометры специально «завышают». По правилам спидометр не должен показывать скорость ниже реальной, поэтому производители настраивают его с запасом в несколько процентов. Большие колёса этот запас «съедают».

💡 Ночной тариф и дата-центры. Крупные дата-центры запускают обучение нейросетей и резервное копирование ночью, когда электричество дешевле — это та же логика, что у двухтарифного счётчика.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Сразу переведи текст в таблицу Выпиши все размеры и цены из условия в таблицу. Пять вопросов сюжета почти всегда используют одни и те же числа.

2. Клетки → метры до всех вычислений Переведи размеры в метры в самом начале. Меньше шансов перепутать, что уже переведено, а что нет.

3. Считай плитки по сторонам Вместо деления площадей раздели каждую сторону на размер плитки: $4 : 0{,}2 = 20$, $20 \cdot 20 = 400$. Так сразу видно, если плитка не ложится целым числом и нужна подрезка. Пример: дорожка $1 \times 12$ м, плитка $25$ см: $4 \cdot 48 = 192$ плитки.

4. Для шин держи в голове «дюйм = 25,4» R14 $= 355{,}6$ мм, R15 $= 381$ мм, R16 $= 406{,}4$ мм, R17 $= 431{,}8$ мм. Проверка: каждый следующий дюйм добавляет $25{,}4$ мм.

5. Процент изменения — через множитель $+8\%$ — это $\cdot 1{,}08$, $-15\%$ — это $\cdot 0{,}85$. Цепочка изменений — произведение множителей.

6. Проверка ответа на смысл Диаметр легкового колеса — примерно $550$–$700$ мм, площадь комнаты — $5$–$40$ м², поездка на такси по городу — сотни рублей, а не десятки тысяч. Если ответ выпадает из этих рамок, ищи ошибку.

7. Тарифы — через Python за минуту

tariffs = {
    "Базовый":  lambda t: 2.5 * t,
    "Комфорт":  lambda t: 350 + 1.5 * max(0, t - 300),
    "Безлимит": lambda t: 600,
}
t = 450
best = min(tariffs, key=lambda name: tariffs[name](t))
print(best, tariffs[best](t))   # Комфорт 575.0

min по функции стоимости — это и есть оптимизация в одну строку.

💡 Совет: задания 1–5 выигрывают не умные, а внимательные. Прочитай весь текст сюжета до первого вопроса, подчеркни единицы измерения и в каждом ответе спроси себя: «Это реалистичное число?»