Как выразить величину из формулы 🧮

Мощность чайника 2200 Вт, напряжение в розетке 220 В. Какое сопротивление у нагревательного элемента? Формулу $P = \frac{U^2}{R}$ знает каждый, кто открывал учебник физики. Но в ней $R$ стоит в знаменателе, а нам нужно $R = \ldots$ Школьники на этом месте часто подставляют числа наугад и получают 10 Ом вместо 22. Хотя действие здесь одно: «перевернуть» формулу.

Умение выражать величину из формулы — одно из самых «переносимых» в математике. Оно нужно в физике (всегда), в химии (часто), в экономике, в программировании, в Excel. На экзаменах ему посвящены отдельные задания: задание 12 ОГЭ (расчёты по формулам) и задание 10 профильного ЕГЭ (задачи с прикладным содержанием: торможение автомобиля, разгон, конденсатор, маятник, брошенный мяч). Формула в условии всегда дана. Проверяется только одно — сумеешь ли ты аккуратно довести её до числа.

Хорошая новость: для этого не нужен ни один новый закон. Выразить величину из формулы — это решить уравнение, в котором неизвестная — нужная буква, а все остальные буквы — просто числа, которые ещё не подставили. Всё, что ты знаешь про уравнения, работает.

Ты узнаешь:

🎯 Как выражать переменную «слой за слоем», снимая операции в обратном порядке

🎯 Что делать, когда нужная величина в квадрате, под корнем или в знаменателе

🎯 Как не потерять единицы измерения и проверять ответ размерностью

🎯 Как решать задания ЕГЭ 10 про торможение, падение и разгон — и при чём здесь нормировка признаков в ML

История: откуда это взялось? 📜

Ещё 400 лет назад формул в современном смысле не было. Математики записывали правила словами: «квадрат, сложенный с десятью корнями, равен тридцати девяти» — так аль-Хорезми в IX веке формулировал уравнение $x^2 + 10x = 39$. Вывести из такого текста новую формулу было почти невозможно — это как программировать на естественном языке.

Прорыв сделал французский юрист и математик Франсуа Виет в 1591 году. Он первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и известные величины (параметры): гласными — неизвестные, согласными — данные. Это кажется мелочью, но именно благодаря этому появилась возможность записать общее правило «для любых чисел» и преобразовывать его как объект. Рене Декарт в 1637 году придал обозначениям привычный вид: $x, y, z$ — неизвестные, $a, b, c$ — данные. С этого момента физика и математика заговорили на одном языке: $F = ma$, $E = mc^2$.

Вторая половина истории — единицы измерения. В 1822 году Жан Батист Жозеф Фурье в «Аналитической теории тепла» сформулировал принцип размерности: в правильной формуле обе части должны измеряться в одних и тех же единицах. Это простое правило стало мощнейшим инструментом проверки. А пренебрежение им обходится дорого: в 1999 году зонд NASA Mars Climate Orbiter стоимостью около 125 млн долларов сгорел в атмосфере Марса, потому что одна команда считала импульс в фунт-силах на секунду, а другая — в ньютонах на секунду. Формулы были верные. Единицы — нет.

Блок 1: Как выражать величину — «слой за слоем»

Давай разберёмся с интуицией

Посмотри, как формула «собирает» ответ из переменной. Возьмём $P = I^2 R$ и нас интересует $R$. Что с $R$ сделали? Умножили на $I^2$. Чтобы «освободить» $R$, надо сделать обратное действие — поделить обе части на $I^2$:

В общем случае переменная может быть «упакована» в несколько слоёв: её умножили, потом прибавили, потом взяли корень. Распаковывать нужно в обратном порядке — как снимать одежду: сначала куртку, потом свитер, потом рубашку. То, что сделали с переменной последним, снимаем первым.

Пары обратных действий:

Алгоритм «выразить величину».

1. Найди, где в формуле стоит нужная буква.
2. Определи порядок операций, которые с ней сделаны (как при вычислении).
3. Снимай операции в обратном порядке, каждый раз делая одно и то же с обеими частями равенства.
4. Проверь: подставь выраженную величину обратно или проверь размерность.

Ключевое правило: с обеими частями равенства всегда делаем одно и то же. Это то же правило, что и при решении любого уравнения.

Когда подставлять числа? Два подхода:

• Сначала выразить, потом подставить. Надёжнее, меньше арифметики с громоздкими числами, видна структура ответа. Хорош для ЕГЭ 10 и для физики.
• Сначала подставить, потом решать уравнение. Быстрее для простых формул в ОГЭ 12: остаётся линейное уравнение с одним неизвестным.

Оба подхода дают одинаковый ответ. Выбирай по ситуации.

Аналогия

Формула — это функция в программе. $P = I^2 R$ — это функция power(I, R), которая по току и сопротивлению возвращает мощность. Выразить $R$ — значит написать обратную функцию resistance(P, I), которая по мощности и току возвращает сопротивление. Внутри она делает обратные операции в обратном порядке. Если «прямая» функция сначала возводила $I$ в квадрат, а потом умножала на $R$, «обратная» делит $P$ на $I^2$.

Ещё одна аналогия — посылка в нескольких коробках. Кто-то положил подарок в коробку, коробку в пакет, пакет обернул плёнкой. Распаковываешь ты в обратном порядке: плёнка, пакет, коробка.

Пример 1 (лёгкий): мощность тока

Мощность $P = I^2 R$, где $I$ — сила тока (А), $R$ — сопротивление (Ом). Найди $R$, если $P = 180$ Вт, $I = 3$ А.

Решение.

Шаг 1. $R$ умножили на $I^2$. Делим обе части на $I^2$:

Шаг 2. Подставляем:

Проверим наш ответ: $3^2 \cdot 20 = 180$ ✅.

Ответ: 20 Ом.

Пример 2 (средний): градусы Фаренгейта

Температура по Фаренгейту: $t_F = 1{,}8 \, t_C + 32$. Найди температуру по Цельсию, если $t_F = -4$.

Решение.

Шаг 1. С $t_C$ сделали: умножили на 1,8, потом прибавили 32. Снимаем в обратном порядке — сначала вычитаем 32, потом делим на 1,8:

Шаг 2. Подставляем:

Проверим: $1{,}8 \cdot (-20) + 32 = -36 + 32 = -4$ ✅.

Ответ: $-20$ °C.

Частая ошибка — сначала делить на 1,8, а потом вычитать 32. Получится $-4 / 1{,}8 - 32 \approx -34{,}2$. Порядок имеет значение!

Пример 3 (сложный): переменная в знаменателе

При параллельном соединении двух резисторов общее сопротивление $R$ находится из формулы

Выразим $R_2$ и найдём его при $R = 6$ Ом, $R_1 = 10$ Ом.

Решение.

Шаг 1. Оставим слагаемое с $R_2$ одно:

Шаг 2. «Перевернём» обе части (если равны дроби, равны и обратные к ним):

Шаг 3. Подставим:

Проверим: $\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3 + 2}{30} = \frac{1}{6}$ ✅.

Ответ: 15 Ом.

Внимание: переворачивать можно только обе части целиком. Из $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ не следует $R = R_1 + R_2$ — это одна из самых популярных ошибок.

Почему это важно

Каждая физическая формула — это на самом деле несколько формул сразу: $U = IR$ одновременно содержит $I = \frac{U}{R}$ и $R = \frac{U}{I}$. Учить их по отдельности (как в «треугольнике закона Ома») бессмысленно, если умеешь выражать. Одно умение заменяет сотни формул в шпаргалке.

Блок 2: Квадраты, корни и подстановка значений

Давай разберёмся с интуицией

Самые интересные формулы — те, где нужная величина стоит в квадрате или под корнем. Кинетическая энергия $E = \frac{mv^2}{2}$, период маятника $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$, путь при равноускоренном движении $s = v_0 t + \frac{at^2}{2}$.

Квадрат снимаем корнем. Из $v^2 = 100$ следует $v = 10$ или $v = -10$. В физических задачах почти всегда нужна положительная величина (скорость по модулю, длина, время), поэтому берём $v = \sqrt{100} = 10$. Но проверять, имеет ли смысл отрицательный корень, нужно всегда.

Корень снимаем квадратом. Из $\sqrt{x} = 3$ следует $x = 9$. Важно: сначала «уедини» корень (оставь его одного в одной части), и только потом возводи в квадрат. Иначе появится лишнее слагаемое $2ab$ из формулы квадрата суммы.

Если переменная входит дважды, например $s = v_0 t + \frac{at^2}{2}$ и нужно найти $t$, — это уже квадратное уравнение. На ЕГЭ 10 такое случается регулярно: «найдите, сколько секунд мяч находился на высоте не менее 4 метров».

Типовые «развороты» формул:

$$E = \frac{mv^2}{2} \;\Longrightarrow\; v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$$$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \;\Longrightarrow\; \frac{T}{2\pi} = \sqrt{\frac{l}{g}} \;\Longrightarrow\; \frac{T^2}{4\pi^2} = \frac{l}{g} \;\Longrightarrow\; l = \frac{gT^2}{4\pi^2}$$$$s = v_0 t + \frac{at^2}{2} \;\Longrightarrow\; a = \frac{2(s - v_0 t)}{t^2}$$

Аналогия

Корень и квадрат — как zip-архив и распаковка. Если файл запаковали (взяли корень), а тебе нужен исходный — распакуй (возведи в квадрат). Но сначала надо вытащить архив из папки, где он лежит вместе с другими файлами, — то есть уединить корень. Распаковывать папку целиком вместе с соседями бессмысленно: получится мешанина.

А квадрат — это «архив с потерей»: по $v^2 = 100$ ты не знаешь, было $v = 10$ или $v = -10$. Знак восстанавливается по смыслу задачи.

Пример 1 (лёгкий): скорость по энергии

Тело массой 5 кг имеет кинетическую энергию 250 Дж. Найди его скорость по формуле $E = \frac{mv^2}{2}$.

Решение.

Шаг 1. Выражаем: $v^2$ умножили на $m$ и поделили на 2. Снимаем: умножаем на 2, делим на $m$, берём корень:

Шаг 2. $v = \sqrt{\frac{2 \cdot 250}{5}} = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: 10 м/с.

Пример 2 (средний): длина маятника

Период колебаний маятника $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$. Найди длину нити $l$ (в метрах), если $T = 3$ с. Прими $g = 10$ м/с², $\pi^2 = 10$.

Решение.

Шаг 1. По формуле из рамки: $l = \frac{gT^2}{4\pi^2}$.

Шаг 2. Подставляем:

Ответ: 2,25 м.

Заметь, как удобно $g = \pi^2 = 10$: формула превращается в $l = \frac{T^2}{4}$. Кстати, это не случайное совпадение: в XVII веке метр чуть было не определили как длину маятника с периодом 2 с. Для такого маятника $l = \frac{g \cdot 4}{4\pi^2} = \frac{g}{\pi^2} \approx 1$ м — поэтому $g \approx \pi^2$.

Пример 3 (сложный): ускорение по пути

Автомобиль, имея начальную скорость 5 м/с, за 10 с проехал 100 м с постоянным ускорением. Найди ускорение по формуле $s = v_0 t + \frac{at^2}{2}$.

Решение.

Шаг 1. Нужно $a$. Сначала уберём слагаемое без $a$:

Шаг 2. Умножим на 2 и поделим на $t^2$:

Шаг 3. Подставляем:

Проверим: $5 \cdot 10 + \frac{1 \cdot 100}{2} = 50 + 50 = 100$ ✅.

Ответ: 1 м/с².

Почему это важно

Квадраты и корни в формулах — не прихоть физиков. Энергия пропорциональна квадрату скорости, поэтому при удвоении скорости тормозной путь растёт вчетверо. Период маятника пропорционален корню из длины, поэтому, чтобы замедлить часы вдвое, маятник удлиняют вчетверо. Понимая, как величина «сидит» в формуле, ты начинаешь видеть эти зависимости без вычислений.

Блок 3: Единицы измерения, размерность и задачи ЕГЭ 10

Давай разберёмся с интуицией

Формула работает правильно, только если все величины подставлены в согласованных единицах. Обычно это СИ: метры, килограммы, секунды, амперы, кельвины. Скорость в км/ч, ёмкость в микрофарадах, площадь в мм² — всё это надо перевести, если формула рассчитана на СИ. На ЕГЭ единицы часто указывают прямо в условии («$v$ — скорость в км/ч»), и тогда переводить не нужно — подставляешь в тех единицах, которые сказаны.

Полезные переводы:

• $1$ м/с $= 3{,}6$ км/ч, то есть км/ч → м/с: делим на 3,6;
• $1$ мкФ $= 10^{-6}$ Ф; $1$ мФ $= 10^{-3}$ Ф;
• $1$ мм² $= 10^{-6}$ м², $1$ см² $= 10^{-4}$ м²;
• $1$ л $= 10^{-3}$ м³;
• $T(\text{К}) = t(°\text{C}) + 273$.

Проверка размерностью. В правильной формуле единицы в левой и правой части совпадают. Выразил $v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$? Проверь: $\frac{\text{Дж}}{\text{кг}} = \frac{\text{кг} \cdot \text{м}^2/\text{с}^2}{\text{кг}} = \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}$, корень — м/с ✅. Если бы вместо этого получилось $v = \sqrt{2Em}$, размерность была бы $\text{кг} \cdot \text{м}/\text{с}$ — это не скорость, значит, где-то ошибка.

Принцип размерности. Обе части любого физического равенства имеют одинаковую размерность. Складывать и вычитать можно только величины одной размерности. Под знаками $\sin$, $\log$, $e^x$ стоят безразмерные величины.

Как устроено задание ЕГЭ 10. Дана формула, описывающая процесс (движение, нагрев, колебания). Спрашивают: при каком значении одной величины другая достигнет заданного уровня? Или: сколько времени величина будет не меньше заданной? Алгоритм:

1. Подставь в формулу всё известное.
2. Получи уравнение (или неравенство) относительно искомой величины.
3. Реши его, отбери корни по смыслу (время неотрицательно, наименьшее/наибольшее).
4. Проверь единицы: в каких единицах спрашивают ответ.

Аналогия

Единицы измерения — как типы данных в программировании. Нельзя сложить строку и число без явного преобразования: "5" + 3 — либо ошибка, либо чепуха "53". Так и в физике: «5 км + 300 м» надо сначала привести к одному типу. А проверка размерности — это проверка типов перед запуском: компилятор не даст присвоить строку переменной типа int, и физика «не даст» приравнять килограммы к секундам.

Пример 1 (лёгкий): тормозной путь

Тормозной путь $s = \frac{v^2}{2a}$, где $v$ — скорость в м/с, $a$ — модуль замедления в м/с². Автомобиль ехал со скоростью 72 км/ч и тормозил с замедлением 5 м/с². Найди тормозной путь в метрах.

Решение.

Шаг 1. Переводим скорость: $72 / 3{,}6 = 20$ м/с.

Шаг 2. $s = \frac{20^2}{2 \cdot 5} = \frac{400}{10} = 40$.

Размерность: $\frac{(\text{м}/\text{с})^2}{\text{м}/\text{с}^2} = \frac{\text{м}^2 \cdot \text{с}^2}{\text{с}^2 \cdot \text{м}} = \text{м}$ ✅.

Ответ: 40 м.

Если забыть перевод и подставить 72, получится $\frac{5184}{10} = 518{,}4$ м — полкилометра. Здравый смысл сразу подсказывает, что это неправда.

Пример 2 (средний): напряжение на конденсаторе

Энергия заряженного конденсатора $W = \frac{CU^2}{2}$. Конденсатор ёмкостью 20 мкФ запасает энергию 0,4 Дж. Найди напряжение в вольтах.

Решение.

Шаг 1. Выражаем $U$: $U = \sqrt{\frac{2W}{C}}$.

Шаг 2. Переводим ёмкость: $20$ мкФ $= 20 \cdot 10^{-6} = 2 \cdot 10^{-5}$ Ф.

Шаг 3. $U = \sqrt{\frac{2 \cdot 0{,}4}{2 \cdot 10^{-5}}} = \sqrt{0{,}4 \cdot 10^5} = \sqrt{40\,000} = 200$.

Ответ: 200 В.

Пример 3 (сложный): мяч в воздухе — формат ЕГЭ 10

Мяч подбросили вверх, его высота в метрах меняется по закону $h(t) = 1{,}6 + 8t - 5t^2$, где $t$ — время в секундах. Сколько секунд мяч находился на высоте не менее 4 метров?

Решение.

Шаг 1. Неравенство: $1{,}6 + 8t - 5t^2 \geq 4$, то есть $5t^2 - 8t + 2{,}4 \leq 0$.

Шаг 2. Корни уравнения $5t^2 - 8t + 2{,}4 = 0$:

Шаг 3. Ветви параболы вверх, неравенство $\leq 0$ выполняется между корнями: $0{,}4 \leq t \leq 1{,}2$.

Шаг 4. Длительность: $1{,}2 - 0{,}4 = 0{,}8$ с.

Ответ: 0,8.

Подвох этой задачи — спрашивают не «когда», а «сколько времени». Ответ — разность корней, а не один из них.

Почему это важно

Задание ЕГЭ 10 почти всегда можно было бы решить за минуту, если бы не единицы и не выбор корня. Большинство потерянных баллов — не из-за незнания формулы (она дана), а из-за подстановки км/ч вместо м/с или ответа «0,4» вместо «0,8». Проверка размерности и здравый смысл («может ли тормозной путь легковушки быть 518 метров?») — самые дешёвые способы поймать ошибку.

Практика: 30 заданий

Базовые (задания 1–10)

Задание 1: Мощность $P = I^2 R$. Найди силу тока $I$ (в амперах), если $P = 150$ Вт, $R = 6$ Ом.

Задание 2: Второй закон Ньютона $F = ma$. Найди ускорение (м/с²), если $F = 24$ Н, $m = 8$ кг.

Задание 3: Количество теплоты $Q = cm\Delta t$. Найди, на сколько градусов нагрелась вода ($c = 4200$ Дж/(кг·°C)) массой 2 кг, если она получила 84 000 Дж.

Задание 4: Длина окружности $C = 2\pi R$. Найди радиус, если $C = 31{,}4$, $\pi = 3{,}14$.

Задание 5: $t_F = 1{,}8 \, t_C + 32$. Найди $t_C$, если $t_F = 95$.

Задание 6: $E = \frac{mv^2}{2}$. Найди массу (кг), если $E = 900$ Дж, $v = 6$ м/с.

Задание 7: Закон Ома $U = IR$. Найди силу тока (А), если $U = 220$ В, $R = 44$ Ом.

Задание 8: Давление $p = \frac{F}{S}$. Найди силу (Н), если $p = 2000$ Па, $S = 0{,}3$ м².

Задание 9: Плотность $\rho = \frac{m}{V}$. Найди объём (м³) алюминиевой детали массой 5,4 кг, если $\rho = 2700$ кг/м³.

Задание 10: Стоимость поездки в такси (руб.) $C = 150 + 12s$, где $s$ — расстояние в км. Поездка стоила 510 рублей. Сколько километров проехали?

Средние (задания 11–20)

Задание 11: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$. Найди длину нити (м), если $T = 1{,}2$ с, $g = 10$ м/с², $\pi^2 = 10$.

Задание 12: $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$. Найди $R_2$ (Ом), если $R = 4{,}8$ Ом, $R_1 = 8$ Ом.

Задание 13: Тормозной путь $s = \frac{v^2}{2a}$, $a = 5$ м/с². Какой была скорость автомобиля в км/ч, если тормозной путь 62,5 м?

Задание 14: Автомобиль массой 1500 кг имеет кинетическую энергию 300 000 Дж. Найди его скорость в км/ч ($E = \frac{mv^2}{2}$).

Задание 15: Центростремительное ускорение $a = \frac{v^2}{R}$. Найди скорость (м/с), если $a = 4$ м/с², $R = 100$ м.

Задание 16: Площадь трапеции $S = \frac{(a+b)h}{2}$. Найди $b$, если $S = 42$, $a = 5$, $h = 6$.

Задание 17: Уравнение состояния идеального газа $pV = \nu R T$. Найди температуру $T$ (К), если $p = 100\,000$ Па, $V = 0{,}0249$ м³, $\nu = 1$ моль, $R = 8{,}3$ Дж/(моль·К).

Задание 18: $s = v_0 t + \frac{at^2}{2}$. Найди начальную скорость $v_0$ (м/с), если $s = 50$ м, $a = 2$ м/с², $t = 5$ с.

Задание 19: Энергия конденсатора $W = \frac{q^2}{2C}$. Найди заряд $q$ (Кл), если $W = 0{,}25$ Дж, $C = 2$ мкФ.

Задание 20: Сопротивление провода $R = \frac{\rho l}{S}$, где $\rho = 0{,}017$ Ом·мм²/м (медь), $S$ — площадь сечения в мм², $l$ — длина в м. Какой длины медный провод сечением $0{,}85$ мм² имеет сопротивление 2 Ом?

Продвинутые (задания 21–30)

Задание 21: Высота мяча $h(t) = 1 + 14t - 5t^2$ (м, $t$ в секундах). Сколько секунд мяч находился на высоте не менее 9 метров?

Задание 22: Скорость автомобиля, разгоняющегося с места с постоянным ускорением $a$ (км/ч²), после прохождения пути $l$ (км) равна $v = \sqrt{2la}$ (км/ч). С каким наименьшим ускорением должен разгоняться автомобиль, чтобы, проехав 0,5 км, набрать скорость не менее 100 км/ч?

Задание 23: На далёкой планете маятник длиной 0,5 м совершает одно колебание за 2 с. Найди ускорение свободного падения на этой планете (м/с²). $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$, $\pi^2 = 10$.

Задание 24: Температура нагревательного элемента меняется по закону $T(t) = 20 + 30t - 0{,}5t^2$ (°C, $t$ в минутах). Прибор выходит из строя при температуре 420 °C, поэтому его отключают, как только температура достигнет этого значения. Через сколько минут после включения прибор отключат?

Задание 25: Формула тонкой линзы: $\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$. Фокусное расстояние $F = 0{,}2$ м, предмет на расстоянии $d = 0{,}3$ м. Найди расстояние до изображения $f$ (м).

Задание 26: Колонна массой $m = 1200$ кг опирается на круглое основание диаметром $D$ (м) и давит на опору с давлением $p = \frac{4mg}{\pi D^2}$ (Па). Опора выдерживает не более 400 000 Па. Найди наименьший допустимый диаметр основания в метрах. Прими $g = 10$ м/с², $\pi = 3$.

Задание 27: Путь при равноускоренном движении из состояния покоя выражается формулой $s = k \cdot a^x \cdot t^y$, где $k$ — безразмерное число, $a$ — ускорение (м/с²), $t$ — время (с). Найди $x + y$ из соображений размерности.

Задание 28 (ML): При стандартизации признака используют $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$. Рост людей в выборке: $\mu = 170$ см, $\sigma = 8$ см. Какой рост (см) соответствует $z = -1{,}5$?

Задание 29 (ML): Min-max нормировка: $x' = \frac{x - x_{\min}}{x_{\max} - x_{\min}}$. Возраст клиентов от 20 до 70 лет. Нормированное значение $x' = 0{,}36$. Найди исходный возраст.

Задание 30: Мяч бросили вертикально вверх. Максимальная высота подъёма $H = \frac{v_0^2}{2g}$, время подъёма $t = \frac{v_0}{g}$. Мяч поднялся на 20 м. Сколько секунд он был в полёте до возвращения в точку броска? $g = 10$ м/с², сопротивлением воздуха пренебречь.

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Снимают операции не в том порядке

Неправильно: из $t_F = 1{,}8t_C + 32$ сначала делят на 1,8: $t_C = \frac{t_F}{1{,}8} - 32$.

Правильно: последним к $t_C$ прибавили 32 — значит, первым его и вычитаем: $t_C = \frac{t_F - 32}{1{,}8}$.

Почему важно: ответ получается совсем другим, и подстановка обратно это сразу покажет.

❌ Ошибка 2: «Переворачивают» сумму дробей по частям

Неправильно: $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \Rightarrow R = R_1 + R_2$.

Правильно: сначала сложить дроби в одну, потом переворачивать: $R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$.

Почему важно: при параллельном соединении общее сопротивление меньше каждого, а ошибка даёт больше каждого.

❌ Ошибка 3: Забывают перевести единицы

Неправильно: в $s = \frac{v^2}{2a}$ подставляют $v = 72$ км/ч.

Правильно: если $a$ в м/с², то $v$ должна быть в м/с: $72 / 3{,}6 = 20$.

Почему важно: ошибка в квадрате: $3{,}6^2 \approx 13$ раз.

❌ Ошибка 4: Возводят в квадрат, не уединив корень

Неправильно: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \Rightarrow T^2 = 2\pi \cdot \frac{l}{g}$.

Правильно: возводится вся правая часть: $T^2 = 4\pi^2 \cdot \frac{l}{g}$. Или сначала разделить на $2\pi$, потом возводить.

Почему важно: множитель перед корнем тоже возводится в квадрат.

❌ Ошибка 5: Отвечают на другой вопрос

Неправильно: в задаче «сколько секунд мяч был выше 4 м» пишут $0{,}4$ — момент, когда мяч поднялся до 4 м.

Правильно: промежуток времени — разность корней: $1{,}2 - 0{,}4 = 0{,}8$.

Почему важно: в ЕГЭ 10 спрашивают то «когда», то «сколько», то «наибольшее», то «наименьшее». Перечитай вопрос перед записью ответа.

❌ Ошибка 6: Забывают про второй корень или берут не тот

Неправильно: в задаче о нагревателе отвечают 40 минут.

Правильно: прибор отключают при первом достижении температуры: 20 минут.

Почему важно: квадратное уравнение даёт два корня, но физический смысл обычно у одного.

Главное запомнить

📝 Ключевые понятия

✅ Выразить величину = решить уравнение относительно этой буквы, считая остальные буквы числами.

✅ Обратные операции в обратном порядке: что сделали с переменной последним, снимаем первым.

✅ Одно и то же с обеими частями — главное правило.

✅ Квадрат → корень: $v^2 = A \Rightarrow v = \sqrt{A}$ (для положительных физических величин).

✅ Корень → квадрат: сначала уедини корень, затем возводи.

✅ Переменная в знаменателе: умножь на знаменатель или переверни обе части целиком.

✅ Единицы: все величины — в согласованных единицах (обычно СИ или те, что указаны в условии). $1$ м/с $= 3{,}6$ км/ч, $1$ мкФ $= 10^{-6}$ Ф.

✅ Размерность: обе части формулы в одних единицах — проверка без вычислений.

✅ ЕГЭ 10: подставь → получи уравнение или неравенство → реши → отбери по смыслу → проверь, что спрашивают.

✅ Проверка: подставь ответ обратно в исходную формулу.

Связь с другими темами курса

Что нужно было знать до этого урока:

• Общие сведения об уравнениях — равносильные преобразования, «одно и то же с обеими частями»
• Замены в выражениях — подстановка чисел вместо букв
• Квадратный корень и Квадратное уравнение — для формул с квадратами и задач ЕГЭ 10
• Перевод единиц — км/ч, мкФ, мм²
• Степень с целым показателем — запись $10^{-6}$ и действия с ней

Что изучить дальше:

• Отбор корней в тригонометрии — следующий урок раздела
• Физический смысл производной — откуда берутся формулы движения
• Кредиты и вклады — формулы аннуитета тоже приходится «разворачивать»
• Задание 12 ОГЭ и Задание 10 ЕГЭ — формат и алгоритм

Где это нужно в жизни:

• 🔌 В быту: какой автомат ставить под чайник 2200 Вт? $I = P / U = 10$ А.
• 🚗 За рулём: тормозной путь растёт как квадрат скорости — при 90 км/ч он в 2,25 раза больше, чем при 60.
• 💻 В программировании: формула в коде — это функция, а выражение переменной — написание обратной функции. Типичный пример — перевод пикселей в сантиметры и обратно, конвертеры валют и единиц.
• 🤖 В ML: нормировка признаков $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ и обратное преобразование $x = \mu + z\sigma$ — это ровно «выразить величину из формулы». Так делают в каждом пайплайне: StandardScaler.inverse_transform в scikit-learn. Подробнее — Feature engineering.
• 🔬 В науке: анализ размерностей помогает угадать вид формулы ещё до эксперимента (задание 27).

Интересные факты

💡 Метр и маятник. В 1790-х годах французские учёные выбирали между двумя определениями метра: длина «секундного» маятника (период 2 с) или одна десятимиллионная часть четверти парижского меридиана. Выбрали меридиан, потому что период маятника зависит от $g$, а $g$ разное в разных местах Земли. Но длина секундного маятника $\frac{g}{\pi^2} \approx 0{,}994$ м — отсюда «совпадение» $g \approx \pi^2$.

💡 «Планёр из Гимли». В 1983 году у Boeing 767 авиакомпании Air Canada в полёте закончилось топливо: при заправке перепутали фунты и килограммы и залили примерно вдвое меньше, чем нужно. Пилоты чудом посадили самолёт без двигателей на заброшенную авиабазу. Причина — одна неправильная единица в формуле.

💡 Эйнштейн и размерность. Формула $E = mc^2$ проходит проверку размерностью: $\text{кг} \cdot (\text{м}/\text{с})^2 = \text{Дж}$. Физики часто используют размерность, чтобы с точностью до числового множителя угадать ответ ещё до строгого вывода.

💡 Символьные вычисления. Программы вроде SymPy и Wolfram Alpha выражают переменную из формулы по тем же правилам «обратных операций». Команда sympy.solve(sp.Eq(E, m*v**2/2), v) вернёт оба корня, $\pm\sqrt{2E/m}$, — а выбрать нужный по смыслу всё равно придётся тебе.

Лайфхаки и полезные трюки

1. «Прикрой ладонью»

Для формул-произведений вида $a = \frac{b}{c}$ удобен треугольник: $b$ сверху, $a$ и $c$ снизу. Прикрой нужную букву — остальное покажет формулу. Но это работает только для трёх множителей; для всего остального — алгоритм «слой за слоем».

Пример: $U = IR$: прикрыли $R$ — видно $\frac{U}{I}$.

2. Проверка подстановкой за 10 секунд

Получил ответ — подставь его в исходную формулу. Совпало — балл твой.

3. Числа-«подсказки»

Если в задаче $\pi^2 = 10$ и $g = 10$, они созданы, чтобы сократиться. Не подставляй $3{,}14$, пока не выразил величину в общем виде.

4. Проверка здравым смыслом

Тормозной путь легковушки — десятки метров, не сотни. Сопротивление чайника — десятки Ом. Масса человека — десятки килограммов. Если ответ выбивается на порядки, скорее всего, пропущен перевод единиц.

5. Сначала выразить, потом подставлять

Особенно при степенях десяти: $\sqrt{\frac{2 \cdot 0{,}4}{2 \cdot 10^{-5}}}$ считается в уме, а если сразу подставить и умножать десятичные дроби — легко потерять ноль.

6. Выражение в Python

import sympy as sp

T, l, g = sp.symbols('T l g', positive=True)
formula = sp.Eq(T, 2 * sp.pi * sp.sqrt(l / g))
print(sp.solve(formula, l))   # [T**2*g/(4*pi**2)]

Флаг positive=True говорит SymPy, что величины положительные, и отрицательные корни он не вернёт.

💡 Совет: не заучивай «перевёрнутые» формулы — заучи одну формулу и умей её разворачивать. Потренируйся на заданиях 1–20, проговаривая вслух: «что сделали с переменной последним?» Через десяток задач это станет автоматическим, и задания ОГЭ 12 и ЕГЭ 10 перестанут отнимать больше пары минут.

Дальше: Отбор корней в тригонометрии — следующая тема экзамена, где тоже важно не только найти корни, но и выбрать нужные.