Кредиты и вклады: аннуитетные и дифференцированные платежи 💳

Ты берёшь в банке миллион на три года под 20% годовых. Сколько придётся отдать? Первая мысль — «миллион плюс 20% три раза, то есть 1,6 миллиона». Неверно. Если платить равными суммами, отдашь около 1,42 миллиона. Если гасить долг равными частями — 1,4 миллиона. А если три года ничего не платить и вернуть всё в конце — 1,728 миллиона. Сумма одна, ставка одна, а переплата отличается на треть. Разница — в том, как устроен график платежей.

Банковские проценты живут по простому правилу: проценты начисляются на текущий остаток. Вклад растёт, потому что проценты начисляются на проценты. Долг уменьшается медленно, потому что первые платежи в основном уходят на проценты. Всё это считается одной и той же таблицей: «было → начислили → заплатили → стало». Разобравшись с ней, ты сможешь проверить любой кредитный договор и любое «выгодное предложение» по вкладу.

С 2027 года финансовые задачи стоят в задании 13 профильного ЕГЭ: краткий ответ, 1 балл, считать нужно быстро и без оформления. Большая экономическая задача из второй части ушла, а её идеи переехали сюда в компактном виде: кредит на 2–4 года, равные или дифференцированные платежи, вклад с пополнением.

Ты узнаешь:

🎯 Как работают сложные проценты и почему $1{,}1^3 \ne 1{,}3$

🎯 Как считать аннуитет (равные платежи) — по таблице и по формуле через геометрическую прогрессию

🎯 Как устроен дифференцированный кредит и почему его переплата считается через арифметическую прогрессию

🎯 Как всё это выглядит в коде банковского калькулятора

История: откуда это взялось? 📜

Кредит старше денег. Шумерские глиняные таблички XVIII века до н. э. фиксируют займы зерна и серебра под проценты, а законы Хаммурапи ограничивали ставку: 33⅓% годовых для зерна и 20% для серебра. Вавилонские писцы уже решали задачу «за сколько лет долг удвоится», хотя логарифмов у них не было — перебирали год за годом, как мы в таблице.

В Европе финансовую математику «продвинул» Леонардо Пизанский (Фибоначчи). В «Книге абака» (1202) он разбирал задачи купцов: сколько получит компаньон через несколько лет, если прибыль реинвестируется. Итальянские банкиры XIV–XV веков (Медичи, Барди) вели счета именно так, как мы будем вести таблицу: каждый период — начисление, взнос, остаток. В 1613 году англичанин Ричард Уитт издал «Арифметические вопросы» — первые напечатанные таблицы сложных процентов.

Главный теоретический шаг сделал Якоб Бернулли в 1683 году. Он спросил: что будет, если начислять проценты всё чаще — раз в месяц, раз в день, каждую секунду? При ставке 100% годовых вклад растёт не бесконечно, а стремится к $2{,}71828\ldots$ — так появилось число $e$. А Эдмонд Галлей (тот самый, с кометой) в 1693 году рассчитал цену пожизненной ренты — регулярных равных выплат. Это прямой предок аннуитета. Сегодня тот же расчёт выполняет функция PMT в Excel и любой ипотечный калькулятор в приложении банка.

Блок 1: Сложные проценты и вклады

Давай разберёмся с интуицией

Положил 100 000 рублей под 10% годовых. Через год банк начислил 10% от 100 000 — это 10 000, на счёте 110 000. Во второй год 10% начисляются уже на 110 000 — это 11 000, на счёте 121 000. В третий — 12 100, итого 133 100. Каждый год прибавка больше предыдущей, потому что проценты начисляются и на прошлые проценты. Это сложные проценты (капитализация).

Если бы проценты каждый год начислялись только на исходные 100 000 (простые проценты), было бы $100\,000 + 3 \cdot 10\,000 = 130\,000$. Разница 3100 — «проценты на проценты».

Главное техническое действие: увеличить на $p\%$ — значит умножить на $1 + \frac{p}{100}$. Удобно обозначить множитель буквой:

При 10% $k = 1{,}1$, при 20% $k = 1{,}2$, при 1% в месяц $k = 1{,}01$. Уменьшить на $p\%$ — умножить на $1 - \frac{p}{100}$.

Формула сложных процентов. Сумма $S_0$ под $p\%$ за период через $n$ периодов превращается в

$$S_n = S_0 \cdot k^n, \qquad k = 1 + \frac{p}{100}.$$

Простые проценты (проценты только на исходную сумму): $S_n = S_0 \left(1 + \frac{np}{100}\right)$.

Если на вклад что-то добавляют или снимают, общей формулы нет — считаем по шагам: «умножили на $k$, прибавили/вычли взнос». Это и есть таблица.

Аналогия

Сложные проценты — как снежный ком. Катишь его по снегу: чем он больше, тем больше снега налипает за один оборот. Маленький ком растёт медленно, большой — быстро. Простые проценты — это как если бы к кому каждый раз прилипала одна и та же горсть снега, какого бы размера он ни был.

В программировании это разница между x += 10 и x *= 1.1 в цикле: первая даёт арифметическую прогрессию, вторая — геометрическую. На коротком горизонте они близки, на длинном геометрическая уходит далеко вперёд.

Пример 1 (лёгкий): вклад на три года

Вклад 200 000 рублей под 10% годовых с капитализацией раз в год. Сколько будет через 3 года?

Решение.

Проверим наш ответ по годам: $220\,000 \to 242\,000 \to 266\,200$ ✅.

Ответ: 266 200 рублей.

Пример 2 (средний): вклад с пополнением

Вклад 100 000 рублей под 10% годовых. В конце первого и второго года, сразу после начисления процентов, вкладчик пополняет счёт на 50 000 рублей. Сколько будет на счёте в конце третьего года?

Решение. Формулу $S_0 k^n$ применить нельзя — суммы меняются. Ведём таблицу:

Проверим другим способом: каждое вложение растёт отдельно. Первые 100 000 лежат 3 года: $133\,100$. Первое пополнение лежит 2 года: $50\,000 \cdot 1{,}21 = 60\,500$. Второе — 1 год: $55\,000$. Сумма: $133\,100 + 60\,500 + 55\,000 = 248\,600$ ✅.

Ответ: 248 600 рублей.

Пример 3 (сложный): как часто начислять проценты

Банк А даёт 12% годовых с начислением раз в год. Банк Б — 12% годовых с ежеквартальной капитализацией (каждый квартал начисляется $12 / 4 = 3\%$). Сколько будет через год на 100 000 рублей в каждом банке?

Решение.

Банк А: $100\,000 \cdot 1{,}12 = 112\,000$.

Банк Б: четыре начисления по 3%:

Если бы капитализация была ежемесячной (12 раз по 1%), получилось бы $100\,000 \cdot 1{,}01^{12} \approx 112\,682{,}50$.

Ответ: А — 112 000 рублей, Б — примерно 112 550,88 рубля.

Поэтому банки пишут в рекламе две ставки: номинальную (12%) и эффективную (у Б — около 12,55%). Сравнивать вклады нужно по эффективной.

Почему это важно

Сложные проценты — это та же геометрическая прогрессия, которую ты знаешь из алгебры, со знаменателем $k$. Отсюда всё остальное: формула аннуитета, время удвоения, эффективная ставка. На ЕГЭ самая частая ошибка — складывать проценты вместо того, чтобы перемножать множители: «+20%, потом −20%» — это не «вернулись к исходному», а $1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$, минус 4%.

Блок 2: Аннуитет — кредит с равными платежами

Давай разберёмся с интуицией

Кредит работает как вклад наоборот. Ты должен банку $S$. Каждый год:

1. долг увеличивается на $p\%$ (умножается на $k$);
2. ты вносишь платёж $x$, и долг уменьшается на $x$.

После последнего платежа долг должен стать ровно нулём. В ЕГЭ это описывают так: «каждый январь долг увеличивается на $p\%$ по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом».

Аннуитет — схема, где все платежи одинаковые. Выпишем долг после каждого года:

• после 1-го платежа: $Sk - x$;
• после 2-го: $(Sk - x)k - x = Sk^2 - xk - x$;
• после 3-го: $Sk^3 - xk^2 - xk - x$;
• после $n$-го: $Sk^n - x(k^{n-1} + \ldots + k + 1)$.

Приравниваем к нулю. В скобках — сумма геометрической прогрессии: $\frac{k^n - 1}{k - 1}$. Получаем:

Формула аннуитетного платежа. Кредит $S$ на $n$ периодов, ставка $p\%$ за период, $k = 1 + \frac{p}{100}$:

$$x = \frac{S \cdot k^n \cdot (k - 1)}{k^n - 1}.$$

Для двух лет удобнее частный случай: $Sk^2 = x(k + 1)$, откуда $x = \dfrac{Sk^2}{k + 1}$.

Обратная задача (известен платёж — найти сумму кредита): каждый платёж «приводим» к моменту выдачи, деля на $k$ столько раз, сколько лет до него:

$$S = \frac{x}{k} + \frac{x}{k^2} + \ldots + \frac{x}{k^n}.$$

Переплата $= n \cdot x - S$.

Формулу не обязательно помнить наизусть: её всегда можно вывести за минуту из цепочки «долг × $k$ − $x$». На экзамене с 2–3 годами проще записать цепочку сразу.

Аналогия

Представь бассейн, из которого ты откачиваешь воду насосом с постоянной мощностью, а в бассейн всё время подтекает вода, причём тем сильнее, чем больше в нём воды. Сначала почти вся работа насоса уходит на то, чтобы компенсировать подтекание (проценты), и уровень падает медленно. К концу воды мало, подтекает чуть-чуть, и уровень падает быстро. Так и в аннуитете: в первых платежах большая доля процентов, в последних — почти всё идёт в погашение долга.

Пример 1 (лёгкий): кредит на два года

Взяли кредит 2,1 млн рублей на 2 года под 10% годовых, платежи равные. Найди платёж и переплату.

Решение.

Шаг 1. Цепочка: $(2{,}1 \cdot 1{,}1 - x) \cdot 1{,}1 - x = 0$, то есть $2{,}1 \cdot 1{,}21 = x \cdot (1{,}1 + 1)$.

Шаг 2. $2{,}541 = 2{,}1x$, откуда $x = 1{,}21$ млн.

Шаг 3. Переплата: $2 \cdot 1{,}21 - 2{,}1 = 0{,}32$ млн.

Проверим наш ответ таблицей:

Ответ: платёж 1 210 000 рублей, переплата 320 000 рублей.

Пример 2 (средний): три года, таблица целиком

Кредит 728 000 рублей на 3 года под 20% годовых, равные платежи. Найди платёж и переплату.

Решение.

Шаг 1. $k = 1{,}2$, $k^3 = 1{,}728$.

Числа подобраны так, что $728\,000 / 0{,}728 = 1\,000\,000$ — на ЕГЭ так обычно и бывает: если арифметика не сокращается, стоит перепроверить.

Шаг 2. Таблица:

Шаг 3. Переплата: $3 \cdot 345\,600 - 728\,000 = 308\,800$.

Посмотри, как устроены платежи: в первом из 345 600 на проценты ушло 145 600, а долг уменьшился только на 200 000. В третьем на проценты ушло 57 600, на долг — 288 000.

Ответ: платёж 345 600 рублей, переплата 308 800 рублей.

Пример 3 (сложный): обратная задача

Кредит взят на 4 года под 10% годовых. Платёж каждый год одинаковый и равен 1 464 100 рублей. Какая сумма была взята?

Решение.

Шаг 1. Приводим каждый платёж к моменту выдачи:

Шаг 2. Число $1\,464\,100 = 1{,}4641 \cdot 1\,000\,000$ делится на все знаменатели:

Проверим по формуле: $x = \frac{4\,641\,000 \cdot 1{,}4641 \cdot 0{,}1}{0{,}4641} = 1\,000\,000 \cdot 1{,}4641 = 1\,464\,100$ ✅.

Ответ: 4 641 000 рублей.

Почему это важно

Почти все потребительские кредиты и ипотеки в России — аннуитетные. Банку так удобно (платёж фиксирован), заёмщику тоже (легко планировать бюджет). Но у аннуитета есть цена: долг в начале гасится медленно, и переплата выше, чем у дифференцированной схемы. Если ты понимаешь цепочку «долг × $k$ − $x$», ты можешь сам посчитать, сколько сэкономит досрочное погашение, и не верить менеджеру на слово.

Блок 3: Дифференцированные платежи

Давай разберёмся с интуицией

В дифференцированной схеме договариваются не о платеже, а о долге: он уменьшается каждый период на одну и ту же сумму. Кредит $S$ на $n$ лет — значит, после каждого платежа долг становится меньше на $\frac{S}{n}$:

Каждый платёж состоит из двух частей: погашение основного долга $\frac{S}{n}$ (всегда одно и то же) и проценты на текущий остаток (с каждым разом меньше). Поэтому платежи убывают: первый самый большой, последний самый маленький.

Проценты по годам: $S \cdot r$, $\left(S - \frac{S}{n}\right) r$, …, $\frac{S}{n} \cdot r$, где $r = \frac{p}{100}$. Это арифметическая прогрессия! Остатки долга до начисления — $S, \frac{(n-1)S}{n}, \ldots, \frac{S}{n}$ — в сумме дают $\frac{S}{n} (n + (n-1) + \ldots + 1) = \frac{S(n+1)}{2}$.

Дифференцированный кредит. Кредит $S$ на $n$ периодов, ставка $r = \frac{p}{100}$ за период, долг уменьшается равномерно.

Платёж в $i$-м периоде: $x_i = \dfrac{S}{n} + r \cdot \dfrac{(n - i + 1) S}{n}$.

Переплата (сумма всех процентов):

$$\Pi = S \cdot r \cdot \frac{n + 1}{2}.$$

Общая сумма выплат: $S + \Pi = S\left(1 + r \cdot \frac{n+1}{2}\right)$.

Смысл формулы переплаты: в среднем ты должен банку половину суммы (чуть больше, $\frac{n+1}{2n}$ от $S$), и платишь проценты с этого среднего долга все $n$ периодов.

Аналогия

Представь, что вы с друзьями вскладчину купили приставку за 40 000 рублей, и ты должен другу. Договорились: каждый месяц возвращаешь 10 000 «тела» плюс 1% «за терпение» от того, что ещё должен. В первый месяц ты должен 40 000 — отдаёшь 10 000 + 400. Во второй — 10 000 + 300. Потом 10 000 + 200, потом 10 000 + 100. Доля «за терпение» тает, потому что тает сам долг. Это и есть дифференцированный платёж.

Пример 1 (лёгкий): кредит на 4 года

Кредит 1,2 млн рублей на 4 года под 10% годовых, долг уменьшается равными частями. Найди платежи и переплату.

Решение.

Шаг 1. Каждый год долг уменьшается на $1\,200\,000 / 4 = 300\,000$.

Шаг 2. Таблица:

Шаг 3. Переплата: $120 + 90 + 60 + 30 = 300$ тыс. По формуле: $1\,200\,000 \cdot 0{,}1 \cdot \frac{5}{2} = 300\,000$ ✅.

Ответ: платежи 420, 390, 360 и 330 тысяч рублей, переплата 300 000 рублей.

Пример 2 (средний): найти сумму кредита по переплате

Кредит взят на 15 месяцев; каждый месяц долг сначала увеличивается на 1%, затем вносится платёж так, что долг уменьшается на одну и ту же величину. Переплата составила 240 000 рублей. Найди сумму кредита.

Решение.

Шаг 1. $r = 0{,}01$, $n = 15$:

Шаг 2. $0{,}08 \, S = 240\,000$, $S = 3\,000\,000$.

Ответ: 3 000 000 рублей.

Заметь: при 15 платежах по 1% переплата — 8% от кредита, а не 15%. Потому что в среднем долг примерно вдвое меньше исходного.

Пример 3 (сложный): какая схема выгоднее

Сравни переплату по кредиту 2,1 млн рублей на 2 года под 10% годовых при аннуитетной и дифференцированной схемах.

Решение.

Аннуитет (пример 1 блока 2): переплата 320 000.

Дифференцированная: долг уменьшается на 1,05 млн в год.

• год 1: проценты $210\,000$, платёж $1\,050\,000 + 210\,000 = 1\,260\,000$;
• год 2: проценты $105\,000$, платёж $1\,155\,000$.

Переплата: $210\,000 + 105\,000 = 315\,000$.

Ответ: дифференцированная схема дешевле на 5000 рублей.

Почему так всегда? В дифференцированной схеме долг с самого начала гасится быстрее (в первый год на 1,05 млн против 1 млн у аннуитета), а проценты платятся с остатка. Меньше средний долг — меньше процентов. Цена этой выгоды — большой первый платёж, который банк может не одобрить по доходу.

Почему это важно

Дифференцированная схема — это задачи, где ключевая идея — арифметическая прогрессия. На ЕГЭ часто дают не саму формулу, а условие вида «долг на 15-е число каждого месяца должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца» — узнавай в этой фразе дифференцированный кредит. А сравнение двух схем — один из самых полезных в жизни навыков из всего школьного курса.

Практика: 30 заданий

Базовые (задания 1–10)

Задание 1: Вклад 50 000 рублей положили на год под 6% годовых. Сколько рублей будет на счёте через год?

Задание 2: 100 000 рублей положили под 10% годовых с ежегодной капитализацией на 2 года. Сколько рублей будет на счёте?

Задание 3: Наушники стоили 5000 рублей. Цену подняли на 20%, а через месяц снизили на 20%. Сколько рублей стоят наушники теперь?

Задание 4: Кредит 500 000 рублей взят на 1 год под 12% годовых и возвращается одним платежом в конце года. Найди размер платежа в рублях.

Задание 5: На сколько рублей больше будет на вкладе 200 000 рублей через 3 года при 10% годовых с капитализацией, чем при простых 10% годовых?

Задание 6: Кредит 600 000 рублей взят на 3 года под 10% годовых. Долг уменьшается каждый год на одну и ту же сумму. Найди первый платёж в рублях.

Задание 7: Для кредита из задания 6 найди переплату в рублях.

Задание 8: Кредит 550 000 рублей взят на 2 года под 20% годовых. Платежи в оба года одинаковые. Найди размер платежа в рублях.

Задание 9: 160 000 рублей положили на 4 года под 5% годовых с ежегодной капитализацией. Сколько рублей будет на счёте?

Задание 10: Долг по кредитной карте 300 000 рублей. В начале месяца банк начисляет 1% на долг, затем заёмщик вносит 50 000 рублей. Каким станет долг?

Средние (задания 11–20)

Задание 11: Вклад 300 000 рублей под 10% годовых. В конце первого и второго года после начисления процентов вклад пополняют на 100 000 рублей. Сколько рублей будет на счёте в конце третьего года?

Задание 12: Вклад 400 000 рублей под 10% годовых. В конце первого и второго года после начисления процентов со счёта снимают 40 000 рублей. Сколько рублей будет на счёте в конце третьего года?

Задание 13: Кредит 3 310 000 рублей на 3 года под 10% годовых, платежи равные. Найди платёж в рублях.

Задание 14: Кредит 900 000 рублей на 9 месяцев. Каждый месяц долг увеличивается на 2%, затем вносится платёж так, что долг уменьшается на одну и ту же сумму. Найди общую сумму выплат в рублях.

Задание 15: Кредит взят на 2 года под 10% годовых. Платежи одинаковые и равны 605 000 рублей. Найди сумму кредита.

Задание 16: Под какой процент годовых (с капитализацией) нужно положить 250 000 рублей, чтобы через 2 года получить 302 500 рублей?

Задание 17: Кредит взят на 24 месяца. Каждый месяц долг увеличивается на 2%, долг уменьшается равномерно. Переплата составила 500 000 рублей. Найди сумму кредита.

Задание 18: Кредит взят на 2 года под 20% годовых, платежи одинаковые и равны 720 000 рублей. Найди переплату в рублях.

Задание 19: 100 000 рублей положили на 2 года под 20% годовых. Насколько больше получит вкладчик, если проценты начисляются раз в полгода по 10%, чем при начислении раз в год по 20%?

Задание 20: Кредит 1 000 000 рублей под 10% годовых взят на 3 года. Первые два года заёмщик платит только начисленные проценты, а в третий год гасит весь долг вместе с процентами. Найди переплату.

Продвинутые (задания 21–30)

Задание 21: Кредит 1 820 000 рублей на 3 года под 20% годовых, платежи равные. Найди платёж в рублях.

Задание 22: Кредит 1 000 000 рублей под 10% годовых. Каждый год после начисления процентов заёмщик платит 300 000 рублей (последний платёж может быть меньше — ровно остаток). За сколько лет будет погашен кредит?

Задание 23: Кредит взят на $n$ месяцев под 1% в месяц, долг уменьшается равномерно. Общая сумма выплат оказалась на 13% больше суммы кредита. Найди $n$.

Задание 24: Кредит на 10 месяцев, каждый месяц долг увеличивается на 2%, затем уменьшается равномерно. Первый (наибольший) платёж равен 240 000 рублей. Найди переплату.

Задание 25: В начале каждого года (три года подряд) на вклад под 10% годовых вносят 100 000 рублей. Проценты начисляются в конце года. Сколько рублей будет на счёте в конце третьего года?

Задание 26: Кредит 3 310 000 рублей на 3 года под 10% годовых. На сколько рублей переплата при равных платежах больше, чем при дифференцированных?

Задание 27: Кредит 1 000 000 рублей на 2 года под 10% годовых. В первый год заёмщик заплатил 400 000 рублей. Какой платёж нужно внести во второй год, чтобы полностью погасить кредит?

Задание 28 (IT): Программист тестирует банковский калькулятор. Кредит 20 100 рублей на 2 месяца под 1% в месяц, платежи равные. Какой платёж должен выдать калькулятор?

Задание 29: Вклад 100 000 рублей под 20% годовых с ежегодной капитализацией. Через какое наименьшее число лет сумма на счёте превысит 200 000 рублей?

Задание 30: Кредит 880 000 рублей взят на 2 года, платежи равные, каждый 576 000 рублей. Под какой процент годовых взят кредит?

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Складывают проценты вместо перемножения множителей

Неправильно: «10% за три года — это 30%».

Правильно: $1{,}1^3 = 1{,}331$, то есть рост на 33,1%.

Почему важно: на длинных сроках разница огромная: за 20 лет при 10% простые проценты дают ×3, сложные — ×6,7.

❌ Ошибка 2: Путают порядок «начисление — платёж»

Неправильно: сначала вычесть платёж, потом начислить проценты.

Правильно: читай условие. В стандартной формулировке ЕГЭ сначала «в январе долг увеличивается на $p\%$», потом «с февраля по июнь выплата». То есть $(\text{долг} \cdot k) - x$.

Почему важно: порядок меняет ответ, а в разных задачах он может быть разным.

❌ Ошибка 3: Считают переплату дифференцированного кредита как $S \cdot r \cdot n$

Неправильно: кредит 1,2 млн на 4 года под 10% — переплата 480 000.

Правильно: проценты начисляются на убывающий долг: $\Pi = S r \frac{n+1}{2} = 300\,000$.

Почему важно: это вдвое завышает ответ.

❌ Ошибка 4: В аннуитете делят кредит на число лет

Неправильно: «2,1 млн на 2 года — платёж 1,05 млн плюс проценты».

Правильно: в аннуитете платёж находится из условия «долг после последнего платежа равен 0», а доля тела в платежах разная.

Почему важно: это смешивание двух схем; ответ получится как у дифференцированной, а не аннуитетной.

❌ Ошибка 5: Процент «за месяц» и «годовых» не различают

Неправильно: «12% годовых, 12 месяцев — каждый месяц умножаем на 1,12».

Правильно: 12% годовых с ежемесячным начислением — это 1% в месяц, множитель $1{,}01$.

Почему важно: ошибка в 12 раз.

❌ Ошибка 6: Округляют промежуточные результаты

Неправильно: $1{,}1^3 \approx 1{,}33$, потом умножают на миллион.

Правильно: в ЕГЭ числа подобраны так, что всё считается точно. Держи точные значения ($1{,}331$) и сокращай дроби.

Почему важно: ошибка в 1000 рублей — неверный ответ, балла нет.

Главное запомнить

📝 Ключевые понятия

✅ Множитель: увеличить на $p\%$ — умножить на $k = 1 + \frac{p}{100}$; уменьшить — на $1 - \frac{p}{100}$.

✅ Сложные проценты: $S_n = S_0 k^n$ — геометрическая прогрессия.

✅ Простые проценты: $S_n = S_0 (1 + \frac{np}{100})$ — арифметическая прогрессия.

✅ Таблица кредита: долг → ×$k$ → −платёж → новый долг. После последнего платежа долг равен 0.

✅ Аннуитет: $x = \dfrac{S k^n (k - 1)}{k^n - 1}$; для двух лет $x = \dfrac{S k^2}{k + 1}$.

✅ Обратная задача аннуитета: $S = \frac{x}{k} + \frac{x}{k^2} + \ldots + \frac{x}{k^n}$.

✅ Дифференцированный кредит: долг падает на $\frac{S}{n}$ за период, платежи убывают.

✅ Переплата дифференцированного: $\Pi = S r \frac{n+1}{2}$.

✅ Сравнение: при одинаковых $S$, $p$, $n$ дифференцированный кредит всегда дешевле аннуитета, но первый платёж больше.

✅ Капитализация: чем чаще начисляются проценты, тем больше итог при той же номинальной ставке.

Связь с другими темами курса

Что нужно было знать до этого урока:

• Задачи на проценты — процент от числа, увеличение и уменьшение на процент
• Геометрическая прогрессия — сумма $1 + k + \ldots + k^{n-1}$ в формуле аннуитета
• Арифметическая прогрессия — убывающие проценты в дифференцированной схеме

Что изучить дальше:

• Как выразить величину из формулы — задание 10 ЕГЭ: расчёты по готовым формулам
• Применение в задачах: рост и распад — непрерывные проценты и число $e$
• Число e — откуда берётся предел при бесконечно частой капитализации
• Задание 13 ЕГЭ — формат и алгоритм
• Случайная величина и математическое ожидание — ожидаемая доходность рискованных вложений

Где это нужно в жизни:

• 🏠 Ипотека и автокредит: проверить график платежей, посчитать выгоду досрочного погашения
• 💰 Вклады и накопительные счета: сравнить предложения по эффективной ставке
• 💻 В программировании: банковский калькулятор — это цикл по периодам:

def annuity(S, p, n):
    k = 1 + p / 100
    return S * k**n * (k - 1) / (k**n - 1)

def schedule(S, p, n):
    k, x, debt = 1 + p / 100, annuity(S, p, n), S
    for year in range(1, n + 1):
        debt = debt * k - x
        print(year, round(x, 2), round(debt, 2))

schedule(728_000, 20, 3)   # платёж 345600, остаток 528000 → 288000 → 0

В реальных банковских системах деньги хранят в копейках (целыми числами) или типом Decimal, а не float: 0.1 + 0.2 != 0.3 в двоичной арифметике, и на миллионах операций копейки накапливаются в заметные суммы.

• 📊 В Data Science: модели кредитного скоринга предсказывают вероятность дефолта, а ожидаемые потери банка считаются как вероятность дефолта × сумма под риском × доля невозврата — матожидание из урока 366.

Интересные факты

💡 Правило 72. Чтобы узнать, за сколько лет вклад удвоится, раздели 72 на ставку в процентах. При 8% — примерно за 9 лет, при 12% — за 6. Правило описано ещё в «Сумме арифметики» Луки Пачоли (1494).

💡 Число $e$ родилось из банковской задачи. Якоб Бернулли считал, сколько даст вклад при 100% годовых, если начислять проценты $n$ раз в год: $(1 + \frac1n)^n$. При $n \to \infty$ получается $e \approx 2{,}718$.

💡 Эйнштейну приписывают фразу «сложные проценты — восьмое чудо света». Скорее всего, он её никогда не говорил, но мысль верная: 10 000 рублей под 10% за 50 лет превращаются в 1,17 млн.

💡 В аннуитетной ипотеке на 30 лет в первые годы больше половины каждого платежа уходит на проценты. Поэтому досрочное погашение в начале срока экономит гораздо больше, чем в конце.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Двухлетний аннуитет в одну строку

$x = \dfrac{S k^2}{k + 1}$. При 10% знаменатель $2{,}1$, при 20% — $2{,}2$. Числа в задачах подбирают так, чтобы $S$ делилось на $k + 1$.

Пример: $S = 2{,}1$ млн, 10%: $x = \frac{2{,}1}{2{,}1} \cdot 1{,}21 = 1{,}21$ млн.

2. Ищи «круглое» сокращение

В формуле аннуитета $\frac{S}{k^n - 1}$ почти всегда даёт круглое число: $728\,000 / 0{,}728$, $3\,310\,000 / 0{,}331$, $1\,820\,000 / 0{,}728$. Если не сокращается — перепроверь $k^n$.

3. Таблица степеней

Выучи: $1{,}1^2 = 1{,}21$, $1{,}1^3 = 1{,}331$, $1{,}1^4 = 1{,}4641$; $1{,}2^2 = 1{,}44$, $1{,}2^3 = 1{,}728$, $1{,}2^4 = 2{,}0736$; $1{,}05^2 = 1{,}1025$.

4. Переплата дифференцированного без таблицы

$\Pi = S \cdot r \cdot \frac{n+1}{2}$ — средний долг, умноженный на ставку и число периодов.

Пример: 15 месяцев, 1%: $\Pi = 8\%$ от кредита.

5. Проверка ответа таблицей

После вычисления платежа прогони 2–3 строки таблицы и убедись, что долг обнулился. Это 30 секунд, которые гарантируют балл.

6. Каждый взнос растёт отдельно

Во вкладах с пополнениями считай каждый взнос как отдельный вклад на своё число лет и складывай — без таблицы.

Пример: задание 25: $100\,000 \cdot (1{,}331 + 1{,}21 + 1{,}1)$.

💡 Совет: научись с закрытыми глазами строить одну строку таблицы «долг × $k$ − платёж». Все формулы урока — это просто сокращённая запись этой строки, повторённой $n$ раз. На ЕГЭ, если формула забылась, таблица на 2–3 года всегда спасёт.

Дальше: Как выразить величину из формулы — задания ОГЭ 12 и ЕГЭ 10, где формула уже дана, и нужно аккуратно довести расчёт до числа.