Случайная величина и математическое ожидание 🎲

Ты покупаешь лотерейный билет за 100 рублей. Главный приз — миллион. Выгодно? Интуиция молчит: с одной стороны, миллион — это очень много, с другой — шанс его выиграть ничтожен. Казино, страховые компании и букмекеры отвечают на такой вопрос одним числом, и это число они считают для каждой ставки, каждого полиса и каждого розыгрыша. Оно называется математическое ожидание. Если оно для тебя отрицательное, то на длинной дистанции ты проигрываешь, как бы тебе ни везло в отдельные вечера.

До сих пор в теории вероятностей ты отвечал на вопрос «с какой вероятностью?». Теперь появляется второй вопрос: «сколько в среднем?». Сколько очков в среднем выпадает на кубике, сколько рублей в среднем приносит билет, сколько попаданий в среднем делает стрелок из десяти выстрелов. Чтобы на него ответить, нужен новый объект: случайная величина, то есть число, которое зависит от исхода опыта.

С 2027 года эта тема стала отдельным заданием 6 профильного ЕГЭ: по таблице распределения нужно найти математическое ожидание, дисперсию или стандартное отклонение, посчитать средний выигрыш в лотерее или воспользоваться свойствами матожидания. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь. Хорошая новость: техника здесь проще, чем в задачах на сложные события. Нужны таблица, умножение и сложение.

Ты узнаешь:

🎯 Что такое случайная величина и как составить её закон распределения (таблицу «значение — вероятность»)

🎯 Как считать математическое ожидание и почему $M(X + Y) = M(X) + M(Y)$ экономит часы вычислений

🎯 Что показывают дисперсия и стандартное отклонение, и как в две строки посчитать всё для схемы Бернулли

🎯 Почему функция потерь в машинном обучении и «награда» в reinforcement learning — это математическое ожидание

История: откуда это взялось? 📜

В 1654 году французский аристократ и заядлый игрок шевалье де Мере принёс Блезу Паскалю задачу, над которой бились уже лет сто. Двое играют до трёх побед, ставки одинаковые. Игру пришлось прервать при счёте 2:1. Как честно поделить банк? Поровну нельзя — первый ближе к победе. В пропорции 2:1 тоже нельзя — это не учитывает, что до конца оставалось. Паскаль начал переписку с Пьером Ферма, и в этих письмах родилась идея: делить банк нужно пропорционально тому, сколько каждый получил бы в среднем, если бы игра продолжилась. По сути это и есть математическое ожидание выигрыша. Ответ, кстати, 3:1 в пользу лидера.

Через три года голландец Христиан Гюйгенс издал книгу «О расчётах в азартных играх» (1657) — первый учебник теории вероятностей. Там появилось понятие «ценность шанса»: сколько стоит право участвовать в игре. Если ты получаешь $a$ с вероятностью $p$ и $b$ с вероятностью $q$, ценность равна $ap + bq$. Это ровно наша формула матожидания. Позже Якоб Бернулли доказал закон больших чисел: если повторять опыт много раз, среднее арифметическое результатов приближается к математическому ожиданию. Именно поэтому матожидание — не абстракция, а то, что реально получаешь «в среднем за много попыток».

Дальше всё пошло в практику. В XVIII веке на матожидании построили страхование жизни: страховщик назначает взнос чуть выше ожидаемой выплаты — и разница становится прибылью. В XIX веке Пафнутий Чебышёв придумал, как оценивать разброс вокруг среднего, и дисперсия стала рабочим инструментом. А сегодня фраза «минимизируем ожидаемую ошибку» — это описание обучения почти любой нейросети, от линейной регрессии до GPT.

Блок 1: Случайная величина и закон распределения

Давай разберёмся с интуицией

Бросаем кубик. Исходов шесть: выпала грань с одной точкой, с двумя и так далее. Теперь давай каждому исходу поставим в соответствие число — количество очков. Получилась величина, которая принимает значения $1, 2, 3, 4, 5, 6$, и какое именно — решает случай. Это и есть случайная величина.

Одному и тому же опыту можно сопоставить разные случайные величины. Бросаем монету три раза. Можно считать число орлов (от 0 до 3), можно — длину самой длинной серии одинаковых результатов, можно — выигрыш в игре «за каждый орёл 10 рублей». Опыт один, величины разные.

Случайные величины обозначают большими латинскими буквами: $X$, $Y$, $Z$. Их конкретные значения — маленькими: $x_1, x_2, \ldots$

Чтобы полностью описать случайную величину (в школьной задаче она принимает конечное число значений), нужно знать две вещи: какие значения она может принять и с какой вероятностью каждое. Эту информацию записывают в таблицу — закон распределения:

Определение. Случайная величина $X$ — это число, значение которого определяется исходом случайного опыта. Закон распределения — таблица, в которой перечислены все возможные значения $x_1, \ldots, x_n$ и вероятности $p_i = P(X = x_i)$.

Главное свойство: события $X = x_1$, $X = x_2$, …, $X = x_n$ несовместны и покрывают все исходы, поэтому

$$p_1 + p_2 + \ldots + p_n = 1.$$

Сумма вероятностей, равная единице, — это твой встроенный контроль. Составил таблицу, сложил вероятности — не получилась единица? Значит, пропущено значение или ошибка в подсчёте.

Аналогия

Представь инвентарь в RPG: сундук после босса. Разработчик прописал в коде таблицу дропа: 70% — 10 золотых, 25% — 50 золотых, 5% — легендарный меч стоимостью 1000 золотых. Вот это и есть закон распределения случайной величины «сколько золота в сундуке». Игрок видит только результат одного открытия, а разработчик видит всю таблицу и по ней рассчитывает экономику игры. В задачах ЕГЭ ты играешь роль разработчика: либо тебе дают таблицу, либо её надо собрать из условия.

И как в коде игры, сумма шансов обязана давать 100%. Если в таблице дропа 70% + 25% + 3%, значит, 2% куда-то делись — это баг.

Пример 1 (лёгкий): кубик

Бросаем правильный игральный кубик. $X$ — число выпавших очков. Составь закон распределения и найди $P(X \geq 5)$.

Решение.

Шаг 1. Значения: $1, 2, 3, 4, 5, 6$. Кубик правильный, все грани равновероятны, каждая вероятность $\frac{1}{6}$:

Шаг 2. Проверка: $6 \cdot \frac{1}{6} = 1$ ✅.

Шаг 3. Событие $X \geq 5$ означает «выпало 5 или 6». Складываем вероятности этих значений:

Ответ: $P(X \geq 5) = \frac{1}{3}$.

Такое распределение, где все значения равновероятны, называют равномерным.

Пример 2 (средний): три броска монеты

Монету бросают три раза. $X$ — число выпавших орлов. Составь закон распределения.

Решение.

Шаг 1. Выпишем все исходы. Каждый бросок даёт О или Р, всего $2^3 = 8$ равновозможных исходов:

ООО → 3        ОРР → 1
ООР → 2        РОР → 1
ОРО → 2        РРО → 1
РОО → 2        РРР → 0

Шаг 2. Считаем, сколько исходов даёт каждое значение: $X = 0$ — один исход, $X = 1$ — три, $X = 2$ — три, $X = 3$ — один.

Шаг 3. Делим на 8:

Шаг 4. Проверка: $\frac{1 + 3 + 3 + 1}{8} = 1$ ✅.

Ответ: $P(X{=}0) = 0{,}125$, $P(X{=}1) = 0{,}375$, $P(X{=}2) = 0{,}375$, $P(X{=}3) = 0{,}125$.

Заметь: числа $1, 3, 3, 1$ — это строка треугольника Паскаля, то есть $C_3^0, C_3^1, C_3^2, C_3^3$. Это не совпадение, к нему мы вернёмся в блоке 3.

Пример 3 (сложный): неизвестная вероятность в таблице

Закон распределения случайной величины $X$ задан таблицей:

Найди $a$ и вероятность $P(X \geq 2)$.

Решение.

Шаг 1. Единственное, что мы знаем про $a$, — сумма всех вероятностей равна 1:

Шаг 2. Таблица целиком: вероятности $0{,}1$; $0{,}2$; $0{,}3$; $0{,}4$. Проверка: сумма $1$ ✅. Все вероятности от 0 до 1 ✅ — это тоже нужно проверять: если бы получилось $a = -0{,}1$, такого распределения не существовало бы.

Шаг 3. $P(X \geq 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 0{,}3 + 0{,}4 = 0{,}7$.

Ответ: $a = 0{,}2$; $P(X \geq 2) = 0{,}7$.

Почему это важно

Закон распределения — это «паспорт» случайной величины. Всё, что будет дальше (матожидание, дисперсия, стандартное отклонение), считается по этой таблице механически. Поэтому 80% успеха в задании 6 — правильно собрать таблицу. Типичная ловушка — забыть какое-то значение (например, нулевой выигрыш в лотерее: большинство билетов ничего не выигрывают, и это тоже строка таблицы). Контроль «сумма вероятностей равна 1» спасает от таких ошибок.

В машинном обучении классификатор выдаёт именно закон распределения: «кошка — 0,7; собака — 0,25; хомяк — 0,05». Слой softmax устроен так, чтобы выходы были неотрицательны и в сумме давали 1 — то самое главное свойство из определения.

Блок 2: Математическое ожидание и его свойства

Давай разберёмся с интуицией

Представь, что ты бросил кубик 600 раз. Примерно 100 раз выпадет единица, 100 раз двойка, …, 100 раз шестёрка. Сумма очков будет около

а среднее за бросок — $2100 / 600 = 3{,}5$. Теперь заметь: мы делили на 600, а 100 из 600 — это как раз вероятность $\frac16$. Значит, среднее равно

Это и есть математическое ожидание: каждое значение умножаем на его вероятность и всё складываем. Это взвешенное среднее, где весами служат вероятности. Число $3{,}5$ никогда не выпадет на кубике, и это нормально: матожидание — не «самое вероятное значение», а центр тяжести распределения, то, к чему стремится среднее при многократном повторении.

Определение. Математическое ожидание случайной величины $X$ с законом распределения $x_1, \ldots, x_n$; $p_1, \ldots, p_n$ — это число

$$M(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \ldots + x_n p_n.$$

Встречаются обозначения $M(X)$, $E(X)$, $EX$, $\mu$ — это одно и то же.

Свойства (их проверяют на ЕГЭ отдельно):

1. $M(c) = c$ — матожидание постоянной равно ей самой.
2. $M(cX) = c \cdot M(X)$ — множитель выносится.
3. $M(X + c) = M(X) + c$ — сдвиг переносится.
4. $M(X + Y) = M(X) + M(Y)$ — матожидание суммы равно сумме матожиданий. Всегда, даже если $X$ и $Y$ зависят друг от друга.

Вместе 2–4 дают рабочую формулу: $M(aX + bY + c) = aM(X) + bM(Y) + c$.

Почему свойство 4 так важно? Потому что распределение суммы часто сложно выписать (попробуй составить таблицу для суммы очков на трёх кубиках — там 216 исходов), а матожидание суммы получается сложением готовых чисел.

Аналогия

Матожидание — это как средний чек в кофейне. Владелец не знает, сколько потратит следующий гость: кто-то возьмёт эспрессо за 150, кто-то капучино с десертом за 600. Но если средний чек 320 рублей и за день приходит 200 человек, выручка будет около 64 000. Средний чек бесполезен для предсказания одной покупки и очень полезен для планирования на много покупок вперёд.

А свойство $M(X + Y) = M(X) + M(Y)$ — это как бюджет на месяц: средние траты на еду плюс средние траты на транспорт дают средние траты на еду и транспорт вместе. Неважно, что в дождливые дни ты чаще ездишь на такси и реже ходишь в кафе — среднее суммы всё равно равно сумме средних.

Пример 1 (лёгкий): лотерея

Выпущено 2000 лотерейных билетов. Один билет выигрывает 10 000 рублей, 10 билетов — по 1000 рублей, 100 билетов — по 100 рублей, остальные ничего не выигрывают. Билет стоит 50 рублей. Найди математическое ожидание выигрыша на один билет и ожидаемый чистый результат покупки.

Решение.

Шаг 1. Составим закон распределения выигрыша $X$. Не забываем билеты без выигрыша: их $2000 - 1 - 10 - 100 = 1889$.

Шаг 2. Считаем:

Строка с нулём ничего не добавляет в сумму, но в таблице она нужна для проверки суммы вероятностей.

Шаг 3. Чистый результат — выигрыш минус цена билета: $M(X - 50) = 15 - 50 = -35$.

Ответ: ожидаемый выигрыш 15 рублей; в среднем покупатель теряет 35 рублей на каждом билете.

Лайфхак: для лотерей матожидание — это просто «весь призовой фонд, делённый на число билетов». Здесь $30\,000 / 2000 = 15$.

Пример 2 (средний): кубик

Найди математическое ожидание числа очков при броске правильного кубика.

Решение.

Ответ: $3{,}5$.

Проверим наш ответ через симметрию: распределение симметрично относительно середины между 1 и 6, то есть относительно $3{,}5$. Для любого равномерного распределения на отрезке целых чисел матожидание — середина: $\frac{1 + 6}{2}$.

Пример 3 (сложный): сумма двух кубиков и линейное преобразование

Бросают два кубика, $X$ — сумма очков. Найди $M(X)$ и $M(3X - 2)$.

Решение.

Способ «в лоб» — составить таблицу из 11 значений (от 2 до 12) с вероятностями $\frac{1}{36}, \frac{2}{36}, \ldots, \frac{6}{36}, \ldots, \frac{1}{36}$ и перемножить. Долго.

Способ через свойства. $X = X_1 + X_2$, где $X_1$, $X_2$ — очки на каждом кубике. По свойству 4:

Дальше по свойствам 2 и 3:

Ответ: $M(X) = 7$; $M(3X - 2) = 19$.

Вот как это работает на экзамене: там, где таблица заняла бы полстраницы, свойства дают ответ в одну строку.

Почему это важно

Матожидание — основа любого решения в условиях неопределённости. Страховая компания продаёт полис за 3000 рублей, вероятность страхового случая 2%, выплата 100 000 рублей. Ожидаемая выплата $0{,}02 \cdot 100\,000 = 2000$, ожидаемая прибыль с полиса — 1000 рублей. Каждый конкретный клиент либо приносит 3000, либо съедает 97 000, но на десятках тысяч клиентов компания стабильно зарабатывает около 1000 на полис. Казино, букмекеры, лотереи — та же арифметика: их матожидание положительное, твоё — отрицательное.

Игра называется честной (или безобидной), если матожидание чистого выигрыша равно нулю. Это полезный критерий для задач вида «какой должна быть ставка, чтобы игра была честной».

Блок 3: Дисперсия, стандартное отклонение и схема Бернулли

Давай разберёмся с интуицией

Два способа заработать. Способ А: в половине случаев получаешь 90 рублей, в половине — 110. Способ Б: в половине случаев 50, в половине 150. Матожидание в обоих случаях 100. Но ощущаются они совсем по-разному: способ Б гораздо рискованнее. Матожидание говорит, где центр, но ничего не говорит о том, насколько сильно результаты разбросаны вокруг центра.

Для разброса есть отдельная характеристика. Идея такая: посмотрим, насколько каждое значение отклоняется от среднего, $x_i - M(X)$. Усреднять сами отклонения бесполезно — плюсы и минусы взаимно уничтожатся, и всегда получится ноль. Поэтому отклонения возводят в квадрат (все становятся неотрицательными) и уже потом усредняют. Это дисперсия.

Определение. Дисперсия случайной величины $X$:

$$D(X) = M\big((X - M(X))^2\big) = \sum_i (x_i - M(X))^2 \, p_i.$$

Рабочая формула (считать удобнее):

$$D(X) = M(X^2) - \big(M(X)\big)^2, \qquad M(X^2) = x_1^2 p_1 + \ldots + x_n^2 p_n.$$

Стандартное (среднеквадратическое) отклонение: $\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$.

Зачем корень? Дисперсия измеряется в «квадратных» единицах: если $X$ в рублях, то $D(X)$ в рублях в квадрате. Корень возвращает нас в рубли, и $\sigma$ можно сравнивать с самой величиной: «в среднем 100 рублей, разброс около 10».

Свойства дисперсии:

1. $D(X) \geq 0$; $D(c) = 0$ — у постоянной разброса нет.
2. $D(X + c) = D(X)$ — сдвиг не меняет разброс.
3. $D(cX) = c^2 D(X)$ — множитель выносится в квадрате. Отсюда $\sigma(cX) = |c| \cdot \sigma(X)$.
4. Если $X$ и $Y$ независимы, то $D(X + Y) = D(X) + D(Y)$. Внимание: и для разности тоже плюс: $D(X - Y) = D(X) + D(Y)$.

Схема Бернулли — частый сюжет. Проводим $n$ независимых одинаковых испытаний, в каждом «успех» наступает с вероятностью $p$ и не наступает с вероятностью $q = 1 - p$. $X$ — число успехов. Тогда

Откуда $M(X) = np$? Число успехов — это сумма $n$ величин «успех в $i$-м испытании» (1 или 0). У каждой матожидание $1 \cdot p + 0 \cdot q = p$, а матожидание суммы равно сумме: $p + p + \ldots + p = np$. Дисперсия каждого слагаемого: $M(X_i^2) - p^2 = p - p^2 = pq$; слагаемые независимы, значит, дисперсии складываются: $npq$.

Аналогия

Стандартное отклонение — это «ширина коридора», в котором обычно гуляет величина. Два навигатора обещают доехать в среднем за 40 минут. Первый ошибается обычно на 3 минуты в любую сторону ($\sigma = 3$), второй — на 15. Средние одинаковые, но на собеседование ты поедешь с первым.

В финансах $\sigma$ доходности называют волатильностью и прямо используют как меру риска. Облигации: низкое матожидание, низкая $\sigma$. Акции стартапов: высокое матожидание, огромная $\sigma$. Выбор инвестора — компромисс между этими двумя числами.

Пример 1 (лёгкий): дисперсия по таблице

Найди $M(X)$, $D(X)$ и $\sigma(X)$.

Решение.

Шаг 1. $M(X) = 0 \cdot 0{,}2 + 1 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}3 = 1{,}1$.

Шаг 2. $M(X^2) = 0^2 \cdot 0{,}2 + 1^2 \cdot 0{,}5 + 2^2 \cdot 0{,}3 = 0{,}5 + 1{,}2 = 1{,}7$.

Шаг 3. $D(X) = 1{,}7 - 1{,}1^2 = 1{,}7 - 1{,}21 = 0{,}49$.

Шаг 4. $\sigma(X) = \sqrt{0{,}49} = 0{,}7$.

Проверим наш ответ по определению: $(0 - 1{,}1)^2 \cdot 0{,}2 + (1 - 1{,}1)^2 \cdot 0{,}5 + (2 - 1{,}1)^2 \cdot 0{,}3 = 0{,}242 + 0{,}005 + 0{,}243 = 0{,}49$ ✅.

Ответ: $M(X) = 1{,}1$; $D(X) = 0{,}49$; $\sigma(X) = 0{,}7$.

Пример 2 (средний): одинаковое среднее, разный риск

Сравни разброс способов А ($90$ или $110$ с вероятностями по $0{,}5$) и Б ($50$ или $150$ по $0{,}5$).

Решение.

Оба матожидания равны 100. Отклонения от среднего: у А $\pm 10$, у Б $\pm 50$.

Ответ: $\sigma_A = 10$, $\sigma_B = 50$: разброс Б в 5 раз больше при том же среднем.

Заметь: $Б - 100 = 5 \cdot (А - 100)$, поэтому по свойству 3 дисперсия выросла в $5^2 = 25$ раз: $2500 = 25 \cdot 100$ ✅.

Пример 3 (сложный): стрелок и схема Бернулли

Стрелок попадает в мишень с вероятностью $0{,}8$ и делает 5 независимых выстрелов. $X$ — число попаданий. Найди $M(X)$, $D(X)$ и $P(X = 4)$.

Решение.

Шаг 1. Это схема Бернулли: $n = 5$, $p = 0{,}8$, $q = 0{,}2$.

Шаг 2. $M(X) = np = 5 \cdot 0{,}8 = 4$.

Шаг 3. $D(X) = npq = 5 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}2 = 0{,}8$.

Шаг 4. Ровно 4 попадания из 5: выбираем, какие 4 выстрела удачные ($C_5^4 = 5$ способов), у каждого варианта вероятность $0{,}8^4 \cdot 0{,}2$:

Ответ: $M(X) = 4$; $D(X) = 0{,}8$; $P(X = 4) = 0{,}4096$.

Интересно: самое вероятное число попаданий совпало с матожиданием. Так бывает не всегда (у кубика матожидание $3{,}5$ вообще не принимается), но для схемы Бернулли, когда $np$ — целое, это верно.

Почему это важно

Дисперсия отвечает на вопрос «насколько можно доверять среднему». Производитель деталей следит не только за средним размером, но и за разбросом: деталь со средним диаметром ровно 20 мм и $\sigma = 0{,}5$ мм — брак через раз. В социологии стандартное отклонение определяет погрешность опроса. В ML дисперсия предсказаний — половина знаменитого компромисса bias–variance: модель с маленьким смещением, но огромной дисперсией, переобучается.

Строгий, вузовский взгляд на эти понятия (непрерывные величины, моменты, основные распределения) — в курсе ML: уроки Случайные величины, Математическое ожидание и Дисперсия и стандартное отклонение.

Практика: 30 заданий

Базовые (задания 1–10)

Задание 1: Случайная величина $X$ принимает значения $1, 2, 3, 4$ с вероятностями $0{,}1$; $0{,}2$; $0{,}3$ и $p$. Найди $p$.

Задание 2: Найди математическое ожидание $X$:

Задание 3: В лотерее 500 билетов. Два билета выигрывают по 1000 рублей, 10 билетов — по 200 рублей, остальные без выигрыша. Найди математическое ожидание выигрыша на один билет.

Задание 4: Известно, что $M(X) = 3$. Найди $M(2X + 5)$.

Задание 5: $M(X) = 4$, $M(Y) = -1{,}5$. Найди $M(X - 3Y)$.

Задание 6: В настольной игре бросают кубик-тетраэдр с гранями $1, 2, 3, 4$ (все равновероятны). Найди математическое ожидание выпавшего числа.

Задание 7: Дисперсия случайной величины равна $2{,}25$. Найди её стандартное отклонение.

Задание 8: $D(X) = 4$. Найди $D(3X - 7)$.

Задание 9: Монету бросают 4 раза. Найди математическое ожидание числа орлов.

Задание 10: Найди дисперсию:

Средние (задания 11–20)

Задание 11: Случайная величина $X$ принимает значения $1, 2, 3$ с вероятностями $a$, $0{,}5$ и $b$. Известно, что $M(X) = 2{,}1$. Найди $b$.

Задание 12: Найди дисперсию:

Задание 13: Бросают три игральных кубика. Найди математическое ожидание суммы выпавших очков.

Задание 14: Участие в игре стоит 20 рублей. Бросают две монеты. Если выпали два орла, игрок получает 60 рублей, если ровно один — 20 рублей, если ни одного — ничего. Найди математическое ожидание чистого выигрыша игрока (выплата минус плата за участие).

Задание 15: Выпущено 10 000 лотерейных билетов: один выигрыш 50 000 рублей, 20 выигрышей по 5000 рублей и 200 выигрышей по 500 рублей. Организатор хочет, чтобы средняя прибыль с одного билета составляла 15 рублей. По какой цене нужно продавать билет?

Задание 16: Баскетболист попадает трёхочковый с вероятностью $0{,}7$ и делает 10 независимых бросков. Найди дисперсию числа попаданий.

Задание 17: Монету бросают 5 раз. Найди вероятность того, что орёл выпадет ровно 3 раза.

Задание 18: В урне 3 белых и 2 чёрных шара. Наугад вынимают 2 шара одновременно. $X$ — число белых шаров среди вынутых. Найди $M(X)$.

Задание 19: Случайная величина $X$ принимает значения $0$, $5$, $10$ с вероятностями $0{,}18$; $0{,}64$; $0{,}18$. Найди стандартное отклонение величины $Y = 2X - 4$.

Задание 20: Страховая компания продаёт полис за 3000 рублей. Вероятность страхового случая в течение года $0{,}02$, выплата при нём 100 000 рублей. Найди математическое ожидание прибыли компании с одного полиса.

Продвинутые (задания 21–30)

Задание 21: Стрелок стреляет по мишени до первого попадания, но делает не более трёх выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле $0{,}6$. $X$ — число сделанных выстрелов. Найди $M(X)$.

Задание 22: Инвестор вкладывает 100 000 рублей в стартап. С вероятностью $0{,}1$ стартап «выстрелит» и инвестор получит 1 200 000 рублей, с вероятностью $0{,}3$ получит 200 000 рублей, иначе потеряет всё. Найди математическое ожидание чистой прибыли.

Задание 23: $M(X) = 2$, $D(X) = 3$. Найди $M\big((X + 1)^2\big)$.

Задание 24: $X$ и $Y$ независимы, $D(X) = 4$, $D(Y) = 9$. Найди стандартное отклонение величины $2X - Y$.

Задание 25: В тесте у каждого вопроса 5 вариантов ответа, один верный. За верный ответ дают 1 балл, за неверный снимают $x$ баллов. При каком $x$ математическое ожидание баллов за вопрос при случайном угадывании равно нулю?

Задание 26: Баскетболист забивает штрафной с вероятностью $0{,}9$. Он пробивает 4 штрафных. Найди вероятность того, что он забьёт не менее трёх.

Задание 27: Колесо в телешоу разделено на 20 равных секторов. Один сектор умножает ставку на 10 (игрок получает $10 \times$ ставку), три сектора — на 3, остальные сектора — проигрыш (игрок не получает ничего). Игрок ставит 100 рублей. Найди математическое ожидание его чистого выигрыша.

Задание 28: В партии 10 деталей, из них 2 бракованные. Контролёр наугад берёт 3 детали. $X$ — число бракованных среди взятых. Найди $M(X)$.

Задание 29 (ML): Сервис доставки предсказывает время доставки. Фактическое время $Y$: 25 минут с вероятностью $0{,}2$, 30 минут — $0{,}5$, 40 минут — $0{,}3$. Модель всегда предсказывает 30 минут. Ожидаемая квадратичная ошибка (MSE) — это $M\big((Y - 30)^2\big)$. На сколько уменьшится MSE, если вместо 30 предсказывать $M(Y)$?

Задание 30 (RL): Агент выбирает одно из двух действий. Действие A даёт награду 12 с вероятностью $0{,}4$ и штраф $-2$ с вероятностью $0{,}6$. Действие B гарантированно даёт награду 3. Агент выбирает действие с наибольшей ожидаемой наградой. Найди эту ожидаемую награду.

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Забыли строку с нулевым выигрышем

Неправильно: в лотерее из 1000 билетов 10 выигрывают по 100 рублей. Ученик пишет таблицу из одной строки «100 с вероятностью 0,01» и удивляется, что сумма вероятностей не 1.

Правильно: добавить «0 с вероятностью 0,99». На матожидание это не влияет, но на дисперсию влияет сильно, а для проверки таблицы строка обязательна.

Почему важно: в задачах на дисперсию пропуск нулевой строки сразу даёт неверный ответ.

❌ Ошибка 2: $D(cX) = c \cdot D(X)$

Неправильно: $D(3X) = 3 \cdot 4 = 12$.

Правильно: $D(3X) = 9 \cdot 4 = 36$. Дисперсия — это среднее квадратов отклонений, поэтому множитель выходит в квадрате. А стандартное отклонение умножается на $|c|$.

Почему важно: это самая частая ошибка в заданиях на свойства дисперсии.

❌ Ошибка 3: $D(X - Y) = D(X) - D(Y)$

Неправильно: $D(X) = 4$, $D(Y) = 9$, значит $D(X - Y) = -5$.

Правильно: $D(X - Y) = D(X) + D(Y) = 13$ для независимых $X$ и $Y$. Отрицательной дисперсия быть не может, это сигнал тревоги.

Почему важно: вычитая случайные величины, ты не уменьшаешь неопределённость, а складываешь её.

❌ Ошибка 4: $M(X^2) = (M(X))^2$

Неправильно: $M(X) = 2$, значит $M(X^2) = 4$.

Правильно: $M(X^2) = D(X) + (M(X))^2 \geq (M(X))^2$. Равенство только когда $D(X) = 0$, то есть когда $X$ — постоянная.

Почему важно: на этом строятся задачи вроде задания 23.

❌ Ошибка 5: Матожидание — это самое вероятное значение

Неправильно: «у кубика $M = 3{,}5$, значит, чаще всего выпадает 3 или 4».

Правильно: матожидание — среднее при многократном повторении, а не мода. На кубике все значения равновероятны, а $3{,}5$ не выпадает никогда.

Почему важно: иначе задачи вида «найдите наиболее вероятное значение» и «найдите матожидание» сливаются в одну.

❌ Ошибка 6: Забыли вычесть цену участия

Неправильно: «матожидание выигрыша 25 рублей, значит, игра выгодная», хотя участие стоит 30.

Правильно: читай, что спрашивают: выигрыш (выплату) или чистую прибыль (выплата минус ставка). $M(X - c) = M(X) - c$.

Почему важно: на ЕГЭ формулировки «ожидаемый выигрыш» и «ожидаемая прибыль» дают разные ответы.

Главное запомнить

📝 Ключевые понятия

✅ Случайная величина — число, которое зависит от исхода опыта. Описывается законом распределения: таблицей значений и вероятностей.

✅ Контроль таблицы: $p_1 + \ldots + p_n = 1$, все $p_i \in [0; 1]$.

✅ Матожидание: $M(X) = \sum x_i p_i$ — среднее значение при многократном повторении опыта.

✅ Линейность: $M(aX + bY + c) = aM(X) + bM(Y) + c$, независимость не нужна.

✅ Лотерея: ожидаемый выигрыш на билет = призовой фонд / число билетов.

✅ Честная игра: матожидание чистого выигрыша равно нулю.

✅ Дисперсия: $D(X) = M(X^2) - (M(X))^2$ — средний квадрат отклонения от среднего.

✅ Стандартное отклонение: $\sigma = \sqrt{D}$, в тех же единицах, что и $X$.

✅ Свойства дисперсии: $D(aX + b) = a^2 D(X)$; для независимых $D(X \pm Y) = D(X) + D(Y)$.

✅ Схема Бернулли: $P(X = k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, $M = np$, $D = npq$.

Связь с другими темами курса

Что нужно было знать до этого урока:

• Сложные события — сложение и умножение вероятностей, без них не собрать закон распределения
• Классическое определение вероятности — считаем вероятности значений как «благоприятные / все»
• Элементы статистики — среднее арифметическое, из которого вырастает матожидание

Что изучить дальше:

• Кредиты и вклады — следующее задание ЕГЭ, тоже про деньги, но без случайности
• Схема Бернулли — подробно о повторных испытаниях
• Случайные величины, Математическое ожидание, Дисперсия и стандартное отклонение — вузовский уровень: непрерывные величины, плотность, интегралы
• Основные распределения — биномиальное, равномерное, нормальное
• Задание 6 ЕГЭ — формат задания и алгоритм

Где это нужно в жизни:

• 💰 В финансах: страхование, оценка инвестиций, ожидаемая доходность и риск ($\sigma$) портфеля
• 🎮 В играх: таблицы дропа, баланс экономики, шансы в гача-механиках
• 🤖 В ML: функция потерь — это матожидание ошибки. Обучая модель, мы минимизируем $M\big(L(y, \hat y)\big)$ по данным; MSE — ожидаемый квадрат ошибки (задание 29). Подробнее — Градиентный спуск и Метрики качества
• 🕹 В reinforcement learning: агент максимизирует ожидаемую суммарную награду; функция ценности $Q(s, a)$ — это матожидание награды после действия $a$ в состоянии $s$. См. Reinforcement Learning
• 📊 В Data Science: A/B-тесты сравнивают матожидания метрик двух групп, а дисперсия определяет, сколько пользователей нужно для надёжного вывода

Интересные факты

💡 Задача о разделе ставок решалась неправильно почти 150 лет. Лука Пачоли в 1494 году предлагал делить банк пропорционально выигранным партиям. Паскаль и Ферма показали, что надо смотреть не в прошлое, а в будущее — на ожидаемый исход.

💡 Санкт-петербургский парадокс. Монету бросают до первого орла; если он выпал на $k$-м броске, ты получаешь $2^k$ рублей. Матожидание выигрыша бесконечно: $2 \cdot \frac12 + 4 \cdot \frac14 + \ldots = 1 + 1 + \ldots$ Но никто не заплатит за участие даже 100 рублей. Даниил Бернулли, работавший в Петербургской академии, объяснил это в 1738 году: людям важна не сумма денег, а их «полезность», которая растёт медленнее. Так появилась теория ожидаемой полезности — основа экономики.

💡 Лотереи в России по закону должны отдавать на призы не менее половины выручки, и на практике призовой фонд часто близок к этой границе. Тогда матожидание выигрыша — примерно половина цены билета, и каждый купленный билет «в среднем» теряет около 50%.

💡 AlphaGo и шахматные движки оценивают позицию как матожидание результата партии (от 0 до 1). Нейросеть учится предсказывать именно это число, а поиск по дереву выбирает ход с максимальным ожиданием.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Лотерея за одно действие

Матожидание выигрыша = призовой фонд / число билетов. Таблица не нужна.

Пример: 1000 билетов, призы на 12 000 рублей → $M = 12$.

2. Симметрия — бесплатное матожидание

Если значения расположены симметрично относительно числа $c$ и симметричные значения имеют одинаковые вероятности, то $M(X) = c$.

Пример: значения $0, 5, 10$ с вероятностями $0{,}18; 0{,}64; 0{,}18$ → $M = 5$ без вычислений.

3. Разбей на сумму индикаторов

Нужно среднее «число чего-то»? Представь его как сумму величин вида «1, если $i$-й объект подходит, иначе 0». Матожидание каждой — вероятность, что объект подходит. Складываешь — готово.

Пример: среднее число белых шаров среди двух вынутых из урны с 3 белыми и 2 чёрными: $2 \cdot \frac35 = 1{,}2$.

4. Дисперсия величины с двумя значениями

Если $X$ принимает значения $a$ и $b$ с вероятностями $p$ и $q = 1 - p$, то $D(X) = (a - b)^2 pq$.

Пример: $0$ и $10$ с вероятностями $0{,}7$ и $0{,}3$: $D = 100 \cdot 0{,}21 = 21$.

5. Для дисперсии сдвигай значения

Прибавь или вычти удобное число ко всем значениям — дисперсия не изменится, а считать станет проще.

Пример: значения $1001, 1002, 1003$ → считай для $1, 2, 3$.

6. Проверка в Python

from fractions import Fraction as F

xs = [0, 1, 2]
ps = [F(2, 10), F(5, 10), F(3, 10)]
assert sum(ps) == 1

M = sum(x * p for x, p in zip(xs, ps))
D = sum(x**2 * p for x, p in zip(xs, ps)) - M**2
print(float(M), float(D))   # 1.1 0.49

Fraction считает точно, без ошибок округления вида 0.30000000000000004.

💡 Совет: в задании 6 почти всегда достаточно трёх шагов: собрать таблицу, проверить, что сумма вероятностей равна 1, посчитать по формуле. Большинство ошибок возникает на первом шаге, а не в арифметике. Реши задачи 1–20, пока не начнёшь делать это на автомате, а потом переходи к продвинутым.

Дальше: Кредиты и вклады: аннуитетные и дифференцированные платежи — задание 13 ЕГЭ, где вместо вероятностей проценты, а вместо таблицы распределения — таблица платежей.