Отбор корней в тригонометрических уравнениях 🎯

У тригонометрического уравнения почти всегда бесконечно много корней. Уравнение $\sin x = \frac12$ выполняется при $x = \frac{\pi}{6}$, при $x = \frac{5\pi}{6}$, при $x = \frac{13\pi}{6}$, при $x = -\frac{7\pi}{6}$ — и так без конца в обе стороны числовой прямой. Поэтому ответ записывают сериями: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Одна строчка вмещает бесконечное множество чисел.

А теперь представь, что тебе нужны не все корни, а только те, что лежат, скажем, на отрезке $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$. Именно так устроено задание 14 профильного ЕГЭ: в пункте а) нужно решить уравнение, в пункте б) — выбрать корни на заданном отрезке. Задание стоит 2 первичных балла, и его реально решить почти каждому, кто знает простейшие уравнения. Но баллы теряют массово: пропускают серию, берут лишний корень за границей отрезка, забывают про ОДЗ, пишут ответ так, что эксперт не может проверить отбор.

Этот урок — про пункт б) и про всё, что с ним связано. Здесь не будет новых формул тригонометрии: всё, что нужно для пункта а), ты уже знаешь из уроков про простейшие уравнения и методы решения. Будет техника: как аккуратно превратить бесконечный ответ в конечный список и оформить это так, чтобы получить оба балла.

Ты узнаешь:

🎯 Как записывать ответ пункта а): когда серии объединять, когда нет и чем опасна формула с $(-1)^k$

🎯 Три способа отбора корней — единичная окружность, двойное неравенство для $k$, перебор значений $k$ — и какой когда выбирать

🎯 Где в задании 14 прячутся посторонние корни: знаменатели, тангенс, корни чётной степени, логарифмы

🎯 Как выглядит решение на 2 балла и что эксперты считают недочётом

История: откуда это взялось? 📜

Долгое время тригонометрия была наукой о треугольниках, а у треугольника углы от $0°$ до $180°$. Вопроса «какой угол из бесконечного множества выбрать» просто не возникало. Всё изменил Леонард Эйлер. В книге «Введение в анализ бесконечно малых» (1748) он стал рассматривать синус и косинус как функции числа — длины дуги единичной окружности. Отсюда естественно следовало, что аргумент может быть любым, в том числе больше $2\pi$ и отрицательным, а значения повторяются с периодом $2\pi$. Эйлер же закрепил обозначения $\sin$, $\cos$, $\mathrm{tg}$ в близком к современному виде.

Как только функции стали периодическими, у уравнений появились серии решений. Астрономы и механики XVIII–XIX веков сталкивались с этим постоянно. Колебания маятника, движение планет, приливы — всё периодично. Физику нужен не «какой-нибудь» момент, когда маятник проходит через нижнюю точку, а конкретный: первый после запуска, или все моменты за первую минуту. Это и есть отбор корней на отрезке, только отрезок — промежуток времени.

В российской школе формулировка «решите уравнение; найдите все корни, принадлежащие отрезку» стала массовой вместе с ЕГЭ. В первых вариантах экзамена эта задача называлась C1 и открывала вторую часть, после нескольких реформ она стала заданием 14. Сегодня та же логика живёт в программировании: когда планировщик вычисляет, в какие моменты периодическая задача сработает в заданном окне времени, или когда обработчик сигнала ищет пики синусоиды внутри буфера, он делает ровно то, что ты сделаешь в пункте б) — перебирает целые $k$ и проверяет попадание в интервал.

Блок 1: Пункт а) — решаем уравнение и правильно записываем серии

Давай разберёмся с интуицией

Пункт б) не бывает лучше пункта а). Если в а) потеряна серия, в б) потеряются корни. Если в а) не учтена ОДЗ, в б) появится посторонний корень. Поэтому начнём с того, как записывать ответ пункта а), чтобы по нему было удобно отбирать.

Почти любое уравнение задания 14 сводится к одному или нескольким простейшим: $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\mathrm{tg}\, x = a$. Напомним их решения в той форме, которая удобнее всего для отбора:

Формулы простейших уравнений (в «раздельной» форме):

$\sin x = a$, $|a| \le 1$: $\quad x = \arcsin a + 2\pi k$ или $x = \pi - \arcsin a + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

$\cos x = a$, $|a| \le 1$: $\quad x = \pm\arccos a + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

$\mathrm{tg}\, x = a$: $\quad x = \mathrm{arctg}\, a + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Частные случаи: $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k$; $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k$; $\sin x = \pm 1$ и $\cos x = \pm 1$ дают одну серию с шагом $2\pi$.

Для синуса есть и компактная формула $x = (-1)^k \arcsin a + \pi k$. Она верная, но для отбора неудобна: знак зависит от чётности $k$, и при переборе легко ошибиться. На экзамене разумно записать две серии с шагом $2\pi$ — так каждая серия соответствует одной точке на единичной окружности.

Аналогия

Представь карусель, которая делает полный оборот за $2\pi$ секунд. Серия $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ — это все моменты, когда определённая лошадка проходит мимо тебя. Серия с шагом $\pi$ — это две лошадки на противоположных концах карусели: мимо тебя кто-то из них проезжает каждые полоборота. А ответ пункта а) — это список всех лошадок, которые тебе нужны. Если забыл одну, в пункте б) ты не увидишь её ни в каком промежутке времени.

Отсюда полезное правило: серия с шагом $2\pi$ — одна точка окружности, серия с шагом $\pi$ — две диаметрально противоположные точки, серия с шагом $\frac{\pi}{2}$ — четыре точки, и так далее. Если ты видишь на окружности точки, и их можно описать одной формулой, серии можно объединить. Но делать это не обязательно: эксперт засчитает и объединённую, и раздельную запись, лишь бы множество было то же самое.

Пример 1 (лёгкий): квадратное уравнение относительно синуса

Реши уравнение $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$.

Решение:

Шаг 1. Замена $t = \sin x$, где $-1 \le t \le 1$:

Получаем $t_1 = 1$ и $t_2 = \frac12$. Оба значения лежат в $[-1; 1]$, оба подходят.

Шаг 2. Возвращаемся к $x$.

$\sin x = 1$: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

$\sin x = \frac12$: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим наш ответ: на отрезке $[0; 2\pi]$ получаются точки $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{6}$. Подставим $x = \frac{\pi}{6}$: $2 \cdot \frac14 - \frac32 + 1 = 0$ — верно.

Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$; $\frac{\pi}{6} + 2\pi k$; $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Пример 2 (средний): разложение на множители и две разные серии

Реши уравнение $\sin 2x = \sin x$.

Решение:

Шаг 1. Раскрываем синус двойного угла и переносим всё в одну сторону:

Делить на $\sin x$ нельзя — так теряются корни $\sin x = 0$. Раскладываем на множители.

Шаг 2. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю (и оба имеют смысл — здесь смысл есть всегда):

$\sin x = 0$: $x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

$\cos x = \frac12$: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Шаг 3. Можно ли объединить серии? На окружности это точки $0$, $\pi$, $\frac{\pi}{3}$, $-\frac{\pi}{3}$. Они не образуют правильный многоугольник, так что одной формулой их не описать. Оставляем две серии.

Ответ: $\pi k$; $\pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Пример 3 (сложный): дробь и потеря «половины» серии

Реши уравнение $\dfrac{2\cos x + 1}{\mathrm{tg}\, x - \sqrt{3}} = 0$.

Решение:

Шаг 1. ОДЗ. Тангенс должен существовать: $\cos x \ne 0$. Знаменатель не равен нулю: $\mathrm{tg}\, x \ne \sqrt{3}$.

Шаг 2. Числитель. $2\cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac12 \Rightarrow x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$.

Шаг 3. Проверяем ОДЗ для каждой серии отдельно. Разберём по шагам: у двух точек окружности разные тангенсы.

• $x = \frac{2\pi}{3}$: $\cos x = -\frac12$, $\sin x = \frac{\sqrt3}{2}$, $\mathrm{tg}\, x = -\sqrt3 \ne \sqrt3$. Подходит.
• $x = -\frac{2\pi}{3}$: $\cos x = -\frac12$, $\sin x = -\frac{\sqrt3}{2}$, $\mathrm{tg}\, x = \sqrt3$. Знаменатель обращается в ноль — не подходит.

Значит, из двух серий остаётся одна.

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Вот почему «раздельная» запись серий так полезна: каждая серия — одна точка окружности, и её можно проверить на ОДЗ целиком, подставив одно значение.

Почему это важно

По критериям ЕГЭ за задание 14 ставят 1 балл, если верно решён только пункт а) или если получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов. Пункт а) — фундамент: без него пункт б) не засчитают вовсе. Поэтому стоит потратить лишнюю минуту на проверку: подставить по одной точке каждой серии в исходное уравнение и убедиться, что всё сходится и никакая точка не выпала из ОДЗ.

Блок 2: Три способа отбора корней на отрезке

Давай разберёмся с интуицией

Итак, у тебя есть серии, и нужно найти все их члены на отрезке $[a; b]$. Есть три рабочих способа.

Способ 1. Единичная окружность. Отмечаешь на окружности дугу, соответствующую отрезку $[a; b]$, и точки серий. Точки, попавшие на дугу, — искомые корни; их координаты считаешь, отталкиваясь от концов дуги. Способ наглядный и быстрый, если отрезок не длиннее одного-полутора оборотов.

Способ 2. Двойное неравенство. Для каждой серии $x = x_0 + T k$ решаешь неравенство $a \le x_0 + Tk \le b$ относительно целого $k$. Способ чисто алгебраический, работает для любых серий, в том числе с неудобным шагом вроде $\frac{\pi k}{3}$, и для любых длинных отрезков.

Способ 3. Перебор (и график). Подставляешь в серию $k = 0, \pm1, \pm2, \dots$ и смотришь, какие значения попали в отрезок. Остановиться можно, когда значения ушли за обе границы. Сюда же относится отбор по графику: рисуешь синусоиду на отрезке и горизонтальную прямую, считаешь точки пересечения.

Определение (отбор корней): Пусть множество решений уравнения есть объединение серий $x = x_i + T_i k$, $k \in \mathbb{Z}$. Отобрать корни на отрезке $[a; b]$ — значит для каждой серии найти все целые $k$, при которых $a \le x_i + T_i k \le b$, и выписать соответствующие значения $x$. Любой из трёх способов — окружность, двойное неравенство, перебор — законен, если из решения видно, почему взяты именно эти значения $k$ и почему остальные не подходят.

Главные опасности везде одни и те же: забыть серию, забыть конец отрезка (он включается!), перепутать направление обхода окружности на отрицательной дуге.

Аналогия

Представь бегуна на круговом стадионе длиной $2\pi$. Отрезок $[a; b]$ — это кусок его забега от отметки $a$ до отметки $b$ по счётчику пройденной дистанции. Серии — это флажки, стоящие в фиксированных местах стадиона. Вопрос пункта б): мимо каких флажков и на каких отметках счётчика бегун пробежит за этот кусок?

• Окружность: смотришь на схему стадиона и прикидываешь, какие флажки попадут в пройденную дугу.
• Двойное неравенство: вычисляешь по формуле, на каком круге бегун окажется у флажка.
• Перебор: просто записываешь отметки счётчика у флажка — круг 0, круг 1, круг −1 — пока не выйдешь за пределы куска.

Пример 1 (лёгкий): отбор с помощью единичной окружности

Найди корни уравнения $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$ (из Блока 1) на отрезке $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$.

Решение:

Шаг 1. Серии: $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.

Шаг 2. Отмечаем дугу. Точка $-2\pi$ на окружности совпадает с $0$ (правая точка). Точка $-\frac{\pi}{2}$ — нижняя. Двигаясь от $-2\pi$ к $-\frac{\pi}{2}$, мы идём против часовой стрелки (числа растут): от правой точки через верхнюю и левую к нижней. Это три четверти окружности.

            -3π/2 (верх)
               •
   -7π/6 •          • -11π/6
 -π •                   • -2π (старт)
          
               •
            -π/2 (финиш)

Шаг 3. Какие точки серий лежат на дуге? Все три точки ($\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{6}$) лежат в верхней полуокружности, а она целиком входит в нашу дугу. Считаем их координаты, отталкиваясь от старта $-2\pi$:

Проверим наш ответ: все три числа между $-2\pi = -\frac{12\pi}{6}$ и $-\frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{6}$. Да.

Ответ: $-\frac{11\pi}{6}$; $-\frac{3\pi}{2}$; $-\frac{7\pi}{6}$.

Пример 2 (средний): отбор через двойное неравенство

Найди корни уравнения $\sin 2x = \sin x$ на отрезке $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$.

Решение:

Серии из Блока 1: $x = \pi k$; $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$; $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$.

Серия 1: $\frac{5\pi}{2} \le \pi k \le 4\pi$. Делим на $\pi > 0$: $2{,}5 \le k \le 4$. Целые $k$: $3$ и $4$. Корни: $3\pi$, $4\pi$.

Серия 2: $\frac{5\pi}{2} \le \frac{\pi}{3} + 2\pi k \le 4\pi$. Делим на $\pi$ и вычитаем $\frac13$:

То есть $1{,}08\ldots \le k \le 1{,}83\ldots$ — целых чисел нет. Корней из этой серии на отрезке нет.

Серия 3: $\frac{5\pi}{2} \le -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le 4\pi$:

То есть $1{,}41\ldots \le k \le 2{,}16\ldots$, подходит $k = 2$: $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3}$.

Ответ: $3\pi$; $\frac{11\pi}{3}$; $4\pi$.

Обрати внимание: концы отрезка $4\pi$ — корень. Отрезок включает концы, поэтому неравенства нестрогие.

Пример 3 (сложный): много серий с разным шагом — перебор

Реши уравнение $\sin 4x = \cos 2x$ и найди его корни на отрезке $[-\pi; 0]$.

Решение:

а) $\sin 4x = 2\sin 2x\cos 2x$, поэтому

$\cos 2x = 0$: $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.

$\sin 2x = \frac12$: $2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, то есть $x = \frac{\pi}{12} + \pi k$ или $x = \frac{5\pi}{12} + \pi k$.

б) Серий три, шаги разные ($\frac{\pi}{2}$ и $\pi$), отрезок длиной $\pi$. Здесь удобнее всего перебор. Составим таблицу — переведём всё в двенадцатые доли $\pi$, отрезок: от $-\frac{12\pi}{12}$ до $0$.

Для первой серии $k = -3$ даёт $-\frac{15\pi}{12} < -\pi$, дальше значения только уменьшаются. Для $k \ge 1$ всё положительное. Перебор закончен.

Упорядочим корни: $-\frac{11\pi}{12} < -\frac{9\pi}{12} < -\frac{7\pi}{12} < -\frac{3\pi}{12}$.

Ответ: а) $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$; $\frac{\pi}{12} + \pi k$; $\frac{5\pi}{12} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{11\pi}{12}$; $-\frac{3\pi}{4}$; $-\frac{7\pi}{12}$; $-\frac{\pi}{4}$.

Лайфхак внутри примера: приведение всех дробей к общему знаменателю ($\frac{\pi}{12}$) превращает отбор в сравнение целых чисел. $-11, -9, -7, -3$ в диапазоне $[-12; 0]$ — ошибиться уже почти невозможно.

Почему это важно

Все три способа дают один и тот же ответ, и эксперт примет любой, если отбор обоснован. Проблема не в выборе способа, а в неряшливости: «угадал» корни и выписал без объяснения — отбор не обоснован. Выбирай по ситуации:

• отрезок до полутора оборотов, серии «табличные» — окружность;
• серий много или шаг дробный — перебор с таблицей;
• отрезок длинный или в серии стоит $\arccos\frac13$ и подобные «некрасивые» числа — двойное неравенство (оценка $\arccos\frac13$ между $\frac{\pi}{3}$ и $\frac{\pi}{2}$ легко вставляется в неравенство).

Навык перебора по целому параметру пригодится далеко за пределами тригонометрии. Когда программист пишет цикл «для всех $k$ таких, что момент $t_0 + kT$ попадает в окно $[a; b]$», он решает то же двойное неравенство: $k$ от $\lceil (a - t_0)/T \rceil$ до $\lfloor (b - t_0)/T \rfloor$.

Блок 3: ОДЗ, посторонние корни и оформление на 2 балла

Давай разберёмся с интуицией

Самые обидные потери баллов в задании 14 — посторонние корни. Их источник всегда один: преобразование, которое расширяет область определения. Типичные ситуации:

1. Знаменатель. Корень числителя, на котором знаменатель равен нулю, — не корень.
2. Тангенс и котангенс. Если в уравнении есть $\mathrm{tg}\, x$, точки $\cos x = 0$ исключены, даже если после преобразований уравнение там «выполняется».
3. Корень чётной степени. $f(x)\cdot\sqrt{g(x)} = 0$ равносильно системе: ($f = 0$ и $g \ge 0$) или $g = 0$.
4. Логарифм. $\log_a g(x)$ существует только при $g(x) > 0$.
5. Возведение в квадрат обеих частей — добавляет корни уравнения $f = -g$.

Определение (равносильность при отборе): Уравнение $f(x)\cdot g(x) = 0$ равносильно совокупности $f(x) = 0$ или $g(x) = 0$ при условии, что оба множителя определены. Поэтому сначала выписывают ОДЗ, затем решают совокупность, затем каждую серию проверяют на принадлежность ОДЗ. Удобнее всего проверять на единичной окружности: серия с шагом $2\pi$ — это одна точка, и достаточно посмотреть на знак синуса, косинуса или тангенса в этой точке.

Как выглядит решение на 2 балла. Эксперт проверяет три вещи: верно ли решено уравнение, обоснован ли отбор, верны ли ответы. Хорошее решение выглядит так:

1. ОДЗ (если она есть) — одной строкой.
2. Преобразования с краткими пояснениями: какая формула применена.
3. Серии пункта а) с указанием $k \in \mathbb{Z}$.
4. Проверка серий на ОДЗ с явным «подходит / не подходит».
5. Отбор: рисунок окружности с отмеченной дугой или двойные неравенства или перебор, но так, чтобы было видно, почему взяты именно эти $k$.
6. Ответ в две строки: «а) …; б) …».

Аналогия

ОДЗ — это фейсконтроль у входа в клуб. Внутри (в преобразованиях) может происходить что угодно, но корень, который не прошёл фейсконтроль, в ответ не попадает. Типичная ошибка школьника — поставить фейсконтроль у выхода и забыть про него: решил уравнение, получил серии, а проверить их у входа забыл. В итоге в ответе оказывается $x = \frac{\pi}{2}$ в уравнении с $\mathrm{tg}\, x$, и эксперт ставит 0 за пункт.

Пример 1 (лёгкий): образец полного решения на 2 балла

Задание. а) Реши уравнение $4\sin^2 x - 4\cos x - 1 = 0$. б) Найди все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$.

Решение (так и пиши в бланке):

а) Используем $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

Пусть $t = \cos x$, $|t| \le 1$. Тогда $4t^2 + 4t - 3 = 0$, $D = 16 + 48 = 64$, $t = \dfrac{-4 \pm 8}{8}$, то есть $t = \frac12$ или $t = -\frac32$.

$\cos x = -\frac32$ — решений нет, так как $|\cos x| \le 1$.

$\cos x = \frac12 \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) Отберём корни с помощью единичной окружности. Отрезку $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$ соответствует дуга от правой точки ($2\pi$) против часовой стрелки до нижней точки ($\frac{7\pi}{2}$) — три четверти окружности, через верх и через левую точку. Точка $\frac{\pi}{3}$ (первая четверть) лежит на дуге, точка $-\frac{\pi}{3}$ (четвёртая четверть) — нет.

                 • 2π + π/3 = 7π/3  ✅
        (верх)
  (лево)              • 2π (старт)
        
                 • -π/3: вне дуги ❌
          (низ) 7π/2 — финиш

Получаем $x = 2\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{3}$.

Ответ: а) $\pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{7\pi}{3}$.

Что здесь есть: каждое преобразование понятно, отброшенный корень $t = -\frac32$ отброшен с причиной, отбор проиллюстрирован. Это и есть решение на 2 балла.

Пример 2 (средний): корень чётной степени

а) Реши уравнение $\sqrt{-\sin x}\cdot\left(2\cos x + \sqrt2\right) = 0$. б) Найди корни на отрезке $[0; 2\pi]$.

Решение:

ОДЗ: $-\sin x \ge 0$, то есть $\sin x \le 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю при соблюдении ОДЗ.

Первый множитель: $\sqrt{-\sin x} = 0 \Rightarrow \sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k$. ОДЗ выполнена ($\sin x = 0 \le 0$).

Второй множитель: $\cos x = -\frac{\sqrt2}{2} \Rightarrow x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ или $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$.

Проверяем ОДЗ для каждой точки:

• $\frac{3\pi}{4}$: $\sin\frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{2} > 0$ — не подходит (под корнем отрицательное число).
• $-\frac{3\pi}{4}$: $\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt2}{2} < 0$ — подходит.

Итог а): $x = \pi k$; $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) Перебор. Серия $\pi k$ на $[0; 2\pi]$: $k = 0, 1, 2$ — это $0$, $\pi$, $2\pi$. Серия $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$: $k = 0$ даёт $-\frac{3\pi}{4} < 0$, $k = 1$ даёт $\frac{5\pi}{4}$ — подходит, $k = 2$ даёт $\frac{13\pi}{4} > 2\pi$.

Ответ: а) $\pi k$; $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$; б) $0$; $\pi$; $\frac{5\pi}{4}$; $2\pi$.

Пример 3 (сложный): тангенс в знаменателе

Для уравнения $\dfrac{2\cos x + 1}{\mathrm{tg}\, x - \sqrt{3}} = 0$ из Блока 1 найди корни на отрезке $[-3\pi; -\pi]$.

Решение:

В Блоке 1 мы получили: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ (серия $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ отброшена по ОДЗ).

Двойное неравенство:

То есть $-1{,}83\ldots \le k \le -0{,}83\ldots$, подходит $k = -1$: $x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3}$.

Заметь, что если бы мы забыли про ОДЗ, серия $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ дала бы ещё $-\frac{8\pi}{3}$ (при $k = -1$). Это посторонний корень: $\mathrm{tg}\left(-\frac{8\pi}{3}\right) = \mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt3$, знаменатель равен нулю.

Ответ: $-\frac{4\pi}{3}$.

Почему это важно

По критериям ФИПИ за задание 14 можно получить 2 балла (обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах), 1 балл (обоснованно получен верный ответ в пункте а, или получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов) или 0. Посторонний корень в ответе — это не «вычислительная ошибка», а ошибка в логике решения. Поэтому ОДЗ — не формальность, а условие получения даже одного балла. А хорошо оформленный отбор страхует от спорных ситуаций: эксперт видит, что ты сделал, и не может снять балл за «необоснованность».

Практика: 30 заданий

Во всех заданиях: а) реши уравнение; б) найди его корни на указанном отрезке. Если в задании спрашивают только пункт б), серии всё равно нужно получить. А теперь попробуй сам — и сверяйся с решениями.

Базовые (задания 1–10)

Задание 1: $\cos x = \frac12$, отрезок $[-2\pi; \pi]$.

Задание 2: $\sin x = -\frac{\sqrt2}{2}$, отрезок $[\pi; 3\pi]$.

Задание 3: $\mathrm{tg}\, x = \sqrt{3}$, отрезок $[-\pi; 2\pi]$.

Задание 4: $\cos 2x = 0$, отрезок $[0; \pi]$.

Задание 5: $\sin x = 0$, отрезок $\left[-\frac{5\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$.

Задание 6: $2\cos^2 x - \cos x = 0$, отрезок $\left[-\frac{\pi}{2}; \pi\right]$.

Задание 7: $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$, отрезок $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\right]$.

Задание 8: $\sin 3x = 1$, отрезок $[0; 2\pi]$.

Задание 9: $\mathrm{tg}\, 2x = 1$, отрезок $[0; \pi]$.

Задание 10: $\sqrt2\cos x = 1$, отрезок $[-3\pi; -\pi]$.

Средние (задания 11–20)

Задание 11: $\cos 2x + \sin x = 0$, отрезок $[-\pi; \pi]$.

Задание 12: $\sin 2x = \sqrt3\cos x$, отрезок $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$.

Задание 13: $(2\sin x - 1)\sqrt{-\cos x} = 0$, отрезок $[\pi; 3\pi]$.

Задание 14: $\dfrac{2\cos^2 x + 3\cos x + 1}{\sin x} = 0$, отрезок $[-3\pi; -\pi]$.

Задание 15: $4^{\cos x} - 3\cdot 2^{\cos x} + 2 = 0$, отрезок $\left[-\pi; \frac{3\pi}{2}\right]$.

Задание 16: $\cos x + \cos 3x = 0$, отрезок $[0; \pi]$.

Задание 17: $\sqrt3\sin x + \cos x = 1$, отрезок $[-2\pi; \pi]$.

Задание 18: $\sin^2 x - 3\sin x\cos x + 2\cos^2 x = 0$, отрезок $\left[-\pi; \frac{\pi}{2}\right]$.

Задание 19: $(2\cos x - \sqrt3)\log_3(\sin x) = 0$, отрезок $[2\pi; 4\pi]$.

Задание 20: $2\sin^2 x = \sqrt3\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$, отрезок $\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$.

Продвинутые (задания 21–30)

Задание 21: $\cos 2x = 1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$, отрезок $\left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\right]$.

Задание 22: $\sin 2x + 2\sin x = \cos x + 1$, отрезок $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$.

Задание 23: $\log_5(\cos x - \sin 2x + 25) = 2$, отрезок $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$.

Задание 24: $9^{\sin x} + 9^{-\sin x} = \frac{10}{3}$, отрезок $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$.

Задание 25: $\dfrac{\sin 2x - \cos x}{\sqrt{-\sin x}} = 0$, отрезок $[-3\pi; 0]$.

Задание 26: $\cos 2x - 3\cos x + 2 = 0$, отрезок $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$.

Задание 27: $6\sin^2 x + 5\cos x - 2 = 0$, отрезок $\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$.

Задание 28: $3\cos^2 x - 4\cos x + 1 = 0$, отрезок $\left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\right]$.

Задание 29: $\mathrm{tg}\, x + 3\,\mathrm{ctg}\, x = 4$, отрезок $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$.

Задание 30: $(2\sin^2 x - 3\sin x + 1)\sqrt{\mathrm{tg}\, x} = 0$, отрезок $\left[-2\pi; \frac{\pi}{2}\right]$.

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Не включают концы отрезка

Неправильно: в задании 5 решают $-\frac52 < k < \frac12$ и на всякий случай отбрасывают граничные значения, или в задании 12 теряют корень $\frac{7\pi}{2}$, потому что он «на краю».

Правильно: отрезок $[a; b]$ содержит концы, неравенства нестрогие. Если конец отрезка — корень, он входит в ответ.

Почему важно: концы отрезка в задании 14 очень часто выбирают именно так, чтобы они были корнями. Это проверка на внимательность.

❌ Ошибка 2: Путают направление обхода на отрицательной дуге

Неправильно: отрезок $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$ рисуют как дугу от правой точки по часовой стрелке к нижней (четверть окружности) и теряют верхнюю полуокружность.

Правильно: числа на окружности растут против часовой стрелки независимо от знака. От $-2\pi$ до $-\frac{\pi}{2}$ разница $\frac{3\pi}{2}$ — это три четверти окружности.

Почему важно: быстрая самопроверка: длина дуги равна $b - a$. Если на рисунке четверть, а $b - a = \frac{3\pi}{2}$, рисунок неверен.

❌ Ошибка 3: Проверяют ОДЗ только у серии целиком «на глаз»

Неправильно: в уравнении с $\sqrt{-\cos x}$ получают $\sin x = \frac12$ и оставляют обе серии $\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.

Правильно: каждая серия с шагом $2\pi$ — одна точка. Подставь её и проверь знак: в $\frac{\pi}{6}$ косинус положителен, серия отпадает.

Почему важно: посторонний корень в ответе обнуляет пункт а) и, значит, всё задание.

❌ Ошибка 4: Используют формулу $(-1)^k$ и сбиваются при переборе

Неправильно: $x = (-1)^k\frac{\pi}{6} + \pi k$; при $k = -1$ пишут $\frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}$ вместо $-\frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{7\pi}{6}$.

Правильно: при $k = -1$ множитель $(-1)^{-1} = -1$, то есть $x = -\frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{7\pi}{6}$. А лучше сразу записать две серии: $\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.

Почему важно: ошибка знака даёт корень, который вообще не является решением. Подстановка $-\frac{5\pi}{6}$ в $\sin x = \frac12$ даёт $-\frac12$.

❌ Ошибка 5: Делят на выражение с переменной

Неправильно: в уравнении $\sin 2x = \sin x$ делят на $\sin x$ и получают только $\cos x = \frac12$.

Правильно: переносят всё в одну сторону и выносят $\sin x$ за скобку: $\sin x(2\cos x - 1) = 0$.

Почему важно: потеря серии $x = \pi k$ — потеря корней в пункте б), даже если отбор сделан идеально.

❌ Ошибка 6: Сравнивают «некрасивые» числа наугад

Неправильно: пишут, что $\pi + \mathrm{arctg}\, 3$ лежит на отрезке, без какой-либо оценки.

Правильно: оценить $\frac{\pi}{4} < \mathrm{arctg}\, 3 < \frac{\pi}{2}$ через монотонность тангенса и только потом сравнивать с концами.

Почему важно: эксперт засчитывает отбор, только если он обоснован. Оценка числа — часть обоснования.

Главное запомнить

📝 Ключевые понятия

✅ Задание 14: а) решить уравнение, б) отобрать корни на отрезке. 2 балла за оба пункта, 1 балл — за верный пункт а) или за верную последовательность шагов в обоих пунктах при вычислительной ошибке.

✅ Серия с шагом $2\pi$ — одна точка окружности, с шагом $\pi$ — две противоположные, с шагом $\frac{\pi}{2}$ — четыре.

✅ Для отбора удобнее записывать решения $\sin x = a$ двумя сериями $\arcsin a + 2\pi k$ и $\pi - \arcsin a + 2\pi k$, а не формулой с $(-1)^k$.

✅ Три способа отбора: единичная окружность (короткий отрезок, табличные углы), двойное неравенство (любые серии, длинные отрезки), перебор с таблицей (много серий).

✅ Двойное неравенство: $a \le x_0 + Tk \le b \Leftrightarrow \frac{a - x_0}{T} \le k \le \frac{b - x_0}{T}$ при $T > 0$.

✅ На окружности числа растут против часовой стрелки — и для положительных, и для отрицательных значений. Длина дуги отбора равна $b - a$.

✅ Концы отрезка входят в отрезок: неравенства нестрогие.

✅ ОДЗ — до решения, проверка каждой серии — после. Источники посторонних корней: знаменатель, тангенс/котангенс, корень чётной степени, логарифм, возведение в квадрат.

✅ Нельзя делить на выражение с переменной — только выносить за скобки.

✅ «Некрасивые» числа ($\arccos\frac13$, $\mathrm{arctg}\, 2$) оценивай между табличными углами через монотонность обратных функций.

Связь с другими темами курса

Что нужно было знать до этого урока:

• Единичная окружность — на ней строится самый наглядный способ отбора
• Простейшие тригонометрические уравнения — формулы серий, из которых собирается ответ пункта а)
• Методы решения тригонометрических уравнений — замена, разложение на множители, вспомогательный угол
• Однородные уравнения — задание 18 практики
• Обратные тригонометрические функции — оценки $\arccos a$ и $\mathrm{arctg}\, a$ при отборе

Что изучить дальше:

• Задание 14 ЕГЭ: карта темы — где это задание в экзамене и какие ещё уравнения там встречаются
• Показательные уравнения и логарифмические уравнения — комбинированные уравнения вида $4^{\cos x}$ и $\log_3(\sin x)$
• Тригонометрические неравенства — та же работа с дугами окружности, только ответ — промежутки
• Задачи с параметром — следующий урок: задание 19, где вместо отрезка по $x$ исследуется множество значений $a$

Где это нужно в жизни:

• 💻 В программировании: планировщики задач вычисляют моменты срабатывания периодического события в окне времени: $k$ от $\lceil (a - t_0)/T \rceil$ до $\lfloor (b - t_0)/T \rfloor$. Это буквально двойное неравенство из Блока 2.
• 🔊 В обработке сигналов: поиск пиков и нулей синусоиды внутри буфера отсчётов — отбор корней периодической функции на отрезке.
• 🤖 В ML: позиционные кодировки в трансформерах строятся из синусов и косинусов с разными периодами. Понимание того, когда $\sin(\omega t)$ повторяет значение, помогает видеть, почему для разных позиций используют набор частот.
• 🔬 В физике: моменты времени, когда колеблющееся тело проходит положение равновесия в течение заданного интервала, — прямая задача отбора.

Интересные факты

💡 Слово «синус» — результат ошибки перевода. Индийское «джива» (тетива лука) арабы записали как «джиба», а европейский переводчик прочитал это как «джайб» — «пазуха, изгиб» — и перевёл на латынь как sinus. Так появилось слово, которое сегодня пишут в каждом задании 14.

💡 Радиан нужен, чтобы серии были красивыми. Если бы углы измерялись в градусах, серия $\sin x = 0$ выглядела бы как $x = 180° k$, а производная синуса перестала бы быть косинусом — появился бы множитель $\frac{\pi}{180}$. Эйлер выбрал меру через длину дуги, и формулы стали чище.

💡 Отрезок отбора обычно короткий. В задании 14 отрезки, как правило, имеют длину от $\pi$ до $2\pi$ с небольшим. Поэтому отбор по окружности почти всегда возможен и не превращается в перебор десятков значений.

💡 Компьютер тоже «отбирает корни». Функция numpy.roots или любой численный решатель находит корни только на заданном интервале или вблизи начального приближения. Задача «найти все корни периодической функции на отрезке» в численных методах решается разбиением отрезка на куски и поиском смены знака — по сути, перебором.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Общий знаменатель превращает отбор в арифметику

Переведи и корни, и концы отрезка в одинаковые доли $\pi$ (шестые, двенадцатые). Сравнивать $-\frac{20\pi}{6}$ с $-\frac{21\pi}{6}$ проще, чем $-\frac{10\pi}{3}$ с $-\frac{7\pi}{2}$.

Пример: отрезок $\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right] = \left[-\frac{21\pi}{6}; -\frac{12\pi}{6}\right]$, серия $\frac{2\pi}{3} + 2\pi k = \frac{(4 + 12k)\pi}{6}$. Нужно $-21 \le 4 + 12k \le -12$ — это $k = -2$.

2. Отрезок длины ровно $2\pi$ — каждая точка один раз

Если $b - a = 2\pi$, каждая точка окружности (кроме точки-конца, которая встречается дважды) даёт ровно один корень. Не нужно ничего считать — только найти правильное представление.

Пример: на $[-\pi; \pi]$ бери главные значения из $(-\pi; \pi]$, а конец $-\pi$ проверь отдельно.

3. Проверка длины дуги

Прежде чем отмечать точки, посчитай $b - a$ и сравни с тем, что нарисовал. $\frac{3\pi}{2}$ — три четверти, $\frac{5\pi}{2}$ — оборот с четвертью. Это спасает от ошибки направления обхода.

4. Одна точка — одна проверка ОДЗ

Записывай серии с шагом $2\pi$ — тогда проверка ОДЗ сводится к подстановке одного значения. Серию $\pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ проверяй как две точки: $\frac{2\pi}{3}$ и $-\frac{2\pi}{3}$.

5. Подстановка ответа как контроль

Подставь хотя бы один найденный корень пункта б) в исходное уравнение. Это 20 секунд, которые ловят ошибки знака и лишние корни. В заданиях с ОДЗ обязательно проверь и ОДЗ для этого корня.

6. Быстрая проверка перебора кодом (для самоподготовки)

from math import pi, sin, isclose

def pick(x0, T, a, b):
    """Все члены серии x0 + T*k на отрезке [a, b]."""
    from math import ceil, floor
    k_min = ceil((a - x0) / T - 1e-12)
    k_max = floor((b - x0) / T + 1e-12)
    return [x0 + T * k for k in range(k_min, k_max + 1)]

# Задание 21: серии pi*k, pi/6 + 2pi*k, 5pi/6 + 2pi*k на [-5pi/2; -pi]
for x0, T in [(0, pi), (pi/6, 2*pi), (5*pi/6, 2*pi)]:
    print([round(x / pi, 4) for x in pick(x0, T, -5*pi/2, -pi)])

Скрипт печатает корни в долях $\pi$ — удобно сверять решения при подготовке.

💡 Совет: задание 14 — самые «дешёвые» 2 балла второй части. Прорешай все 30 заданий этого урока, каждый раз выбирая способ отбора осознанно, и оформляй так, будто решение будет читать эксперт: ОДЗ, серии, проверка, отбор, ответ.

Дальше — задачи с параметром: задание 19, где решают уже не уравнение, а целое семейство уравнений сразу.