Задачи с параметром: графический и аналитический метод 🎛️
Обычное уравнение — это один вопрос: при каких $x$ выполняется равенство? Уравнение с параметром — это бесконечно много вопросов сразу. Запись $x^2 - 6x + a = 0$ — не одно уравнение, а целое семейство: при $a = 5$ это $x^2 - 6x + 5 = 0$ с корнями $1$ и $5$, при $a = 9$ — уравнение с единственным корнем $3$, при $a = 10$ — уравнение без корней. Задача с параметром спрашивает: как ведёт себя всё семейство и при каких значениях $a$ получается нужное поведение — ровно два корня, корни больше единицы, единственное решение системы.
Задание 19 профильного ЕГЭ — задача с параметром. Оно стоит до 4 первичных баллов и считается одним из самых сложных в варианте. Но у него есть важная особенность: баллы ставят по шагам. Верно найденная часть ответа, правильно построенный график с верным обоснованием, ответ, отличающийся от верного только граничной точкой, — всё это приносит баллы. Поэтому браться за параметр стоит всем, кто нацелен на высокий результат.
Если ты работаешь с ML, параметр тебе знаком лучше, чем кажется. Гиперпараметр модели — это ровно параметр: при каждом значении learning rate ты получаешь «свою» задачу обучения, и тебя интересует, при каких значениях процесс сходится. Анализ «как меняется число решений при изменении $a$» — это анализ чувствительности, одна из базовых инженерных процедур.
Ты узнаешь:
🎯 Что такое параметр и как не потерять «особые» значения — когда старший коэффициент обнуляется или уравнение превращается в тождество
🎯 Как без формулы корней понять, где лежат корни квадратного трёхчлена: условия на дискриминант, вершину и значение в точке
🎯 Как работает графический метод: семейства прямых, окружностей, «уголков» модуля и плоскость $(x; a)$
🎯 Как записывать ответ в виде множества значений $a$ и не терять граничные точки
История: откуда это взялось? 📜
Идея параметра старше самой буквенной алгебры. Но систематически буквы для «известных, но произвольных» величин ввёл Франсуа Виет в конце XVI века. До него каждое квадратное уравнение решали отдельно, с конкретными числами, а правила формулировали словами. Виет стал обозначать неизвестные гласными буквами, а известные коэффициенты — согласными. Так появилась возможность решить сразу все уравнения вида «квадрат плюс коэффициент на корень равно числу» — то есть исследовать семейство уравнений. Отсюда же знаменитая теорема Виета: связь корней с коэффициентами верна при любых значениях параметров.
Следующий шаг сделал Рене Декарт (1637): он связал уравнения с кривыми на плоскости. Как только уравнение превратилось в линию, параметр превратился в движение: меняешь $a$ — прямая поворачивается, окружность раздувается, парабола едет вверх. Число решений — это число точек пересечения. Весь графический метод этого урока стоит на идее Декарта.
В XIX–XX веках исследование семейств уравнений стало отдельной наукой — теорией бифуркаций. Анри Пуанкаре изучал, как меняется поведение механической системы при плавном изменении параметра, и обнаружил, что в особых точках (бифуркациях) картина меняется скачком: было два положения равновесия — стало ноль. Это ровно то, что ты увидишь в задачах этого урока: при $a < 9$ у уравнения два корня, при $a = 9$ — один, при $a > 9$ — ни одного. Сегодня бифуркационный анализ используют и в физике, и в экономике, и при исследовании динамики обучения нейросетей.
Блок 1: Параметр, линейные и квадратные уравнения
Давай разберёмся с интуицией
Параметр $a$ — это число, которое фиксировано, но неизвестно. Решая уравнение с параметром, ты мысленно говоришь: «пусть $a$ — какое-то число; что тогда с $x$?». И ответ зависит от $a$.
Главная ловушка: некоторые действия допустимы не при всех $a$. Разделить на $a$ можно, только если $a \ne 0$. Назвать уравнение квадратным можно, только если старший коэффициент не равен нулю. Поэтому решение почти всегда начинается с поиска особых значений параметра — тех, где уравнение меняет тип.
Определение: Решить уравнение с параметром $a$ — значит для каждого допустимого значения $a$ указать множество всех решений уравнения. Найти значения параметра, при которых выполняется условие (например, «ровно два корня»), — значит указать множество всех таких $a$ и доказать, что при остальных $a$ условие не выполняется.
Линейное уравнение $kx = b$ (где $k$ и $b$ зависят от $a$):
- $k \ne 0$: единственный корень $x = \frac{b}{k}$;
- $k = 0$, $b = 0$: $0 \cdot x = 0$ — любое $x$ (бесконечно много корней);
- $k = 0$, $b \ne 0$: $0 \cdot x = b$ — корней нет.
Уравнение вида $A x^2 + Bx + C = 0$ с коэффициентами, зависящими от $a$:
- $A = 0$: уравнение линейное, разбираем отдельно;
- $A \ne 0$: квадратное, число корней определяет $D = B^2 - 4AC$.
Аналогия
Представь игру с настройкой сложности. Параметр $a$ — ползунок. При разных положениях ползунка это разные игры: на лёгкой сложности уровень проходится двумя способами, на средней — одним, на хардкоре — никак. Задача с параметром просит составить полную карту: для каждого положения ползунка сказать, сколько путей прохождения. И на такой карте особенно интересны переключения — положения ползунка, где число путей меняется. Эти точки и есть граничные значения параметра в ответе.
Пример 1 (лёгкий): линейное уравнение
Реши уравнение $ax = a^2$ при всех значениях $a$.
Решение:
Шаг 1. Особое значение — то, при котором коэффициент при $x$ равен нулю: $a = 0$.
Шаг 2. $a = 0$: уравнение $0 \cdot x = 0$ верно при любом $x$.
Шаг 3. $a \ne 0$: делим на $a$, получаем $x = a$.
Ответ: при $a = 0$ — $x$ любое; при $a \ne 0$ — $x = a$.
Если бы ты сразу разделил на $a$, ответ «$x = a$» при $a = 0$ дал бы $x = 0$ — единственный корень. А на самом деле корень — любое число. Одно пропущенное особое значение полностью меняет ответ.
Пример 2 (средний): старший коэффициент с параметром
Найди число корней уравнения $(a - 1)x^2 - 2ax + a + 2 = 0$ при всех значениях $a$.
Решение:
Шаг 1. Особый случай $a = 1$. Уравнение становится линейным: $-2x + 3 = 0$, $x = \frac32$. Один корень.
Шаг 2. $a \ne 1$. Уравнение квадратное. Коэффициент при $x$ чётный, считаем $\frac{D}{4}$:
$$\frac{D}{4} = a^2 - (a - 1)(a + 2) = a^2 - (a^2 + a - 2) = 2 - a.$$- $2 - a > 0$, то есть $a < 2$ (и $a \ne 1$): два корня;
- $a = 2$: один корень;
- $a > 2$: корней нет.
Проверим наш ответ: при $a = 0$ уравнение $-x^2 + 2 = 0$, корни $\pm\sqrt2$ — два, сходится. При $a = 3$: $2x^2 - 6x + 5 = 0$, $D = 36 - 40 < 0$ — корней нет, сходится.
Ответ: два корня при $a \in (-\infty; 1) \cup (1; 2)$; один корень при $a = 1$ и при $a = 2$; нет корней при $a > 2$.
Пример 3 (сложный): система линейных уравнений
При каких $a$ система $\begin{cases} x + ay = 1, \\ ax + 4y = 2 \end{cases}$ имеет единственное решение, бесконечно много решений, не имеет решений?
Решение:
Шаг 1. Система двух линейных уравнений имеет единственное решение, когда прямые не параллельны. Алгебраически: определитель $\begin{vmatrix} 1 & a \\ a & 4 \end{vmatrix} = 4 - a^2 \ne 0$, то есть $a \ne \pm 2$.
Шаг 2. $a = 2$. Система $x + 2y = 1$, $2x + 4y = 2$. Второе уравнение — это первое, умноженное на $2$. Прямые совпадают — бесконечно много решений.
Шаг 3. $a = -2$. Система $x - 2y = 1$, $-2x + 4y = 2$. Второе после деления на $-2$: $x - 2y = -1$. Прямые параллельны и различны — решений нет.
Ответ: единственное решение при $a \ne \pm 2$; бесконечно много при $a = 2$; нет решений при $a = -2$.
Почему это важно
Почти в каждой задаче 19 есть момент, где уравнение «меняет природу» при конкретном значении параметра: обнуляется старший коэффициент, знаменатель, выражение под корнем. Эксперт внимательно смотрит, рассмотрены ли эти случаи. Пропуск особого значения — самая частая причина, почему верный по идее ответ теряет граничную точку и балл. Привычка начинать с вопроса «при каких $a$ мои действия незаконны?» окупается в каждой задаче.
Блок 2: Расположение корней квадратного трёхчлена
Давай разберёмся с интуицией
Многие задачи спрашивают не «сколько корней», а «где корни»: оба больше единицы, по разные стороны от двойки, ровно один на интервале. Можно найти корни по формуле и решать иррациональные неравенства — это долго и чревато ошибками. Гораздо проще посмотреть на параболу.
Возьмём $f(x) = x^2 + px + q$ (старший коэффициент положителен, ветви вверх). Её график полностью определяется тремя вещами:
- Дискриминант — пересекает ли парабола ось $x$ (есть ли корни).
- Вершина $x_0 = -\frac{p}{2}$ — корни симметричны относительно неё, значит, она всегда между ними.
- Значение $f(M)$ в точке $M$ — если $f(M) < 0$, точка $M$ лежит между корнями (там парабола ниже оси); если $f(M) > 0$, точка $M$ лежит вне отрезка между корнями.
Определение (условия расположения корней), для $f(x) = Ax^2 + Bx + C$, $A > 0$, $x_0 = -\frac{B}{2A}$:
- Оба корня (различных) больше $M$: $\;D > 0,\; x_0 > M,\; f(M) > 0$.
- Оба корня (различных) меньше $M$: $\;D > 0,\; x_0 < M,\; f(M) > 0$.
- Число $M$ лежит строго между корнями: $\;f(M) < 0$ (одного условия достаточно!).
- Оба корня (различных) в интервале $(M; N)$: $\;D > 0,\; M < x_0 < N,\; f(M) > 0,\; f(N) > 0$.
- Ровно один корень в интервале $(M; N)$: если $f(M)\cdot f(N) < 0$ — точно да; случаи $f(M) = 0$, $f(N) = 0$ и $D = 0$ проверяются отдельно.
При $A < 0$ во всех условиях знак $f(M)$ меняется на противоположный; универсальная запись — через $A \cdot f(M)$.
Почему в третьем пункте хватает одного условия? Если $f(M) < 0$ при ветвях вверх, парабола опускается ниже оси, а потом обязана подняться выше неё с обеих сторон. Значит, корни существуют и один левее $M$, другой правее. Дискриминант проверять не нужно.
Аналогия
Представь корни как двух охранников, стоящих у ворот, а вершину — как середину ворот между ними. Чтобы понять, стоят ли оба охранника правее столба $M$, не нужно знать их точные координаты. Достаточно трёх наблюдений: охранники вообще есть ($D > 0$), середина ворот правее столба ($x_0 > M$), и сам столб стоит снаружи ворот ($f(M) > 0$). Если середина правее, а столб снаружи — столб левее обоих охранников.
Пример 1 (лёгкий): когда корни находятся явно
При каких $a$ оба корня уравнения $x^2 - 2ax + a^2 - 4 = 0$ положительны?
Решение:
Шаг 1. Прежде чем включать тяжёлую артиллерию, посмотри на уравнение: $x^2 - 2ax + a^2 = (x - a)^2$. Значит, уравнение — это $(x - a)^2 = 4$, откуда $x = a \pm 2$.
Шаг 2. Оба корня положительны, если меньший из них положителен: $a - 2 > 0$, то есть $a > 2$.
Ответ: $a \in (2; +\infty)$.
Лайфхак: если дискриминант — полный квадрат (здесь $\frac{D}{4} = a^2 - (a^2 - 4) = 4$), корни находятся явно, и задача превращается в линейные неравенства.
Пример 2 (средний): оба корня больше 1
При каких $a$ уравнение $x^2 - 2ax + 3a - 2 = 0$ имеет два различных корня, каждый из которых больше $1$?
Решение:
Пусть $f(x) = x^2 - 2ax + 3a - 2$, ветви вверх, $x_0 = a$.
Условие 1: $D > 0$. $\frac{D}{4} = a^2 - 3a + 2 = (a - 1)(a - 2) > 0 \Rightarrow a < 1$ или $a > 2$.
Условие 2: $x_0 > 1$. $a > 1$.
Условие 3: $f(1) > 0$. $f(1) = 1 - 2a + 3a - 2 = a - 1 > 0 \Rightarrow a > 1$.
Пересечение: $a > 2$.
Проверим наш ответ: при $a = 3$ уравнение $x^2 - 6x + 7 = 0$, корни $3 \pm \sqrt2 \approx 1{,}59$ и $4{,}41$ — оба больше $1$. При $a = 1{,}5$ дискриминант отрицателен: $\frac{D}{4} = 2{,}25 - 4{,}5 + 2 = -0{,}25$ — корней нет. Всё сходится.
Ответ: $a \in (2; +\infty)$.
Пример 3 (сложный): ровно один корень на интервале — ловушки на границах
При каких $a$ уравнение $x^2 - ax + 2 = 0$ имеет ровно один корень на интервале $(1; 3)$?
Решение:
$f(x) = x^2 - ax + 2$, $f(1) = 3 - a$, $f(3) = 11 - 3a$.
Шаг 1. Основной случай: $f(1)\cdot f(3) < 0$. Тогда на концах интервала значения разного знака: один корень внутри, другой снаружи.
$$(3 - a)(11 - 3a) < 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 3 < a < \frac{11}{3}.$$Шаг 2. Граница $f(1) = 0$, то есть $a = 3$. Уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$, корни $1$ и $2$. Корень $1$ не входит в интервал $(1; 3)$, а корень $2$ — входит. Ровно один корень — $a = 3$ подходит.
Шаг 3. Граница $f(3) = 0$, то есть $a = \frac{11}{3}$. Корни: $3$ и $\frac23$ (произведение корней равно $2$). Ни один не лежит в $(1; 3)$ — не подходит.
Шаг 4. Кратный корень: $D = a^2 - 8 = 0$, $a = \pm 2\sqrt2$. Корень $x = \frac{a}{2}$. При $a = 2\sqrt2$: $x = \sqrt2 \approx 1{,}41 \in (1; 3)$ — подходит. При $a = -2\sqrt2$: $x = -\sqrt2$ — не подходит.
Шаг 5. Могут ли быть оба корня внутри? Тогда корней на интервале два, это нам не нужно. Такие $a$ в ответ не попадают автоматически: при них $f(1) > 0$ и $f(3) > 0$, и мы их нигде не взяли.
Ответ: $a \in \{2\sqrt2\} \cup \left[3; \frac{11}{3}\right)$.
Посмотри, сколько всего добавилось к «очевидному» ответу $\left(3; \frac{11}{3}\right)$: одна изолированная точка и один включённый конец. Именно на таких деталях эксперты снимают баллы.
Почему это важно
Расположение корней — это инструмент, который используется в огромном числе задач 19: после замены $t = 2^x$, $t = \sin x$, $t = |x|$ задача почти всегда превращается в вопрос «где лежат корни квадратного уравнения относительно $t$». Например, $t = 2^x$ даёт условие $t > 0$, $t = \sin x$ — условие $t \in [-1; 1]$. Кто уверенно владеет тремя условиями (дискриминант, вершина, значение в точке), тот решает эти задачи без громоздких вычислений.
Блок 3: Графический метод, модуль и системы
Давай разберёмся с интуицией
Самый мощный приём для задания 19 — нарисовать. Есть два основных варианта.
Вариант 1. Разделение параметра: $g(x) = a$. Если параметр удаётся «отделить» — записать уравнение как $g(x) = a$, — то число решений равно числу точек пересечения графика $y = g(x)$ с горизонтальной прямой $y = a$. Прямую двигаешь снизу вверх и считаешь пересечения. Это и есть работа в плоскости $(x; a)$: по горизонтали $x$, по вертикали $a$.
Вариант 2. Семейство кривых. Если отделить параметр нельзя, смотрим, какую геометрическую фигуру задаёт каждая часть уравнения. Типичные семейства:
- $y = kx + a$ — параллельные прямые, «ездят» вверх-вниз;
- $y = a(x - x_0) + y_0$ — пучок прямых через точку $(x_0; y_0)$, «вращаются»;
- $y = |x - a|$ — «уголок», едет вдоль оси $x$;
- $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ — окружности, у которых движется центр или меняется радиус.
Число решений системы — число общих точек фигур. Особые положения — касание и прохождение через «угол» или конец кривой.
Определение (графический метод): Уравнение $f(x, a) = 0$ задаёт множество точек в плоскости $(x; a)$. Для фиксированного $a = a_0$ решения уравнения — это абсциссы точек пересечения этого множества с горизонтальной прямой $a = a_0$. Количество решений меняется только при тех $a$, где прямая проходит через особые точки множества: вершины, точки касания, точки самопересечения, концы.
Аналогия
Представь сканер, который построчно проходит изображение сверху вниз. Изображение — это график в плоскости $(x; a)$, а каждая строка — одно значение параметра. Сканер на каждой строке считает, сколько пикселей закрашено. Ответ задачи — список строк, где закрашенных пикселей ровно столько, сколько нужно. Между «особыми» строками число не меняется, поэтому достаточно проверить сами особые строки и по одной строке в каждом промежутке между ними.
Пример 1 (лёгкий): отделяем параметр
Сколько корней имеет уравнение $x^2 - 4|x| + 3 = a$ в зависимости от $a$?
Решение:
Шаг 1. Параметр уже отделён: $g(x) = x^2 - 4|x| + 3$. Функция чётная, строим для $x \ge 0$ и отражаем.
При $x \ge 0$: $g(x) = x^2 - 4x + 3 = (x - 2)^2 - 1$ — парабола с вершиной $(2; -1)$, $g(0) = 3$.
По симметрии при $x < 0$ вершина $(-2; -1)$. Получается фигура в форме буквы W: локальный максимум $(0; 3)$, минимумы $(\pm2; -1)$.
a
3 ─────────●────────── a = 3: три корня (0 и ±4)
\ /\ /
\ / \ / -1 < a < 3: четыре корня
-1 ────●────────●──── a = -1: два корня (±2)
-2 0 2 x
Шаг 2. Двигаем прямую $y = a$ снизу вверх:
- $a < -1$: прямая ниже минимумов — $0$ корней;
- $a = -1$: касается в двух вершинах — $2$ корня ($\pm2$);
- $-1 < a < 3$: пересекает каждую «ложбинку» дважды — $4$ корня;
- $a = 3$: проходит через $(0; 3)$ и пересекает внешние ветви — $3$ корня ($0$ и $\pm4$);
- $a > 3$: только внешние ветви — $2$ корня.
Ответ: $0$ корней при $a < -1$; $2$ корня при $a = -1$ и при $a > 3$; $4$ корня при $-1 < a < 3$; $3$ корня при $a = 3$.
Пример 2 (средний): пучок прямых и модуль
При каких $a$ уравнение $|x + 1| = ax$ имеет ровно два корня?
Решение:
Шаг 1. Геометрия. Левая часть — уголок $y = |x + 1|$ с вершиной $(-1; 0)$, ветви с угловыми коэффициентами $+1$ (справа) и $-1$ (слева). Правая часть — прямая $y = ax$, проходящая через начало координат. При изменении $a$ прямая вращается вокруг точки $O(0; 0)$.
Начало координат лежит под уголком: $|0 + 1| = 1 > 0$.
Шаг 2. Особые положения прямой:
- через вершину уголка $(-1; 0)$: $a = 0$;
- параллельно правой ветви: $a = 1$;
- параллельно левой ветви: $a = -1$.
Шаг 3. Считаем пересечения на каждом промежутке.
- $a > 1$: прямая круче правой ветви, догоняет её справа — $1$ корень.
- $0 < a \le 1$: прямая справа всегда ниже правой ветви (растёт не быстрее, а стартует ниже), слева уходит в отрицательную область, где уголок положителен — $0$ корней.
- $a = 0$: прямая $y = 0$ касается вершины — $1$ корень $x = -1$.
- $-1 < a < 0$: прямая поднимается влево, но положе левой ветви. Она пересекает правую ветвь (на отрезке $-1 < x < 0$) и левую ветвь — $2$ корня.
- $a = -1$: прямая параллельна левой ветви (пересечения нет), с правой ветвью пересекается в точке $x = -\frac12$ — $1$ корень.
- $a < -1$: прямая круче левой ветви, пересекает только правую — $1$ корень.
Шаг 4. Проверка алгеброй при $-1 < a < 0$. Правая ветвь: $x + 1 = ax \Rightarrow x = \frac{1}{a - 1} \in \left(-1; -\frac12\right)$, условие $x \ge -1$ выполнено. Левая ветвь: $-x - 1 = ax \Rightarrow x = -\frac{1}{a + 1} < -1$, условие $x < -1$ выполнено. Два различных корня.
Ответ: $a \in (-1; 0)$.
Пример 3 (сложный): окружность и уголок — система
При каких $a$ система $\begin{cases} y = |x|, \\ x^2 + (y - a)^2 = 2 \end{cases}$ имеет ровно три решения? ровно четыре?
Решение:
Шаг 1. Геометрия. $y = |x|$ — уголок с вершиной в начале координат. Второе уравнение — окружность радиуса $\sqrt2$ с центром $(0; a)$ на оси $y$. При изменении $a$ окружность ездит вверх-вниз. Картинка симметрична относительно оси $y$.
Шаг 2. Алгебра через замену. Пусть $t = |x| \ge 0$, тогда $y = t$ и $x^2 = t^2$:
$$t^2 + (t - a)^2 = 2 \quad\Longleftrightarrow\quad 2t^2 - 2at + a^2 - 2 = 0.$$Каждый положительный корень $t$ даёт два решения системы ($x = \pm t$), корень $t = 0$ — одно решение (начало координат).
Шаг 3. Анализ квадратного уравнения относительно $t$. $\frac{D}{4} = a^2 - 2(a^2 - 2) = 4 - a^2$. Сумма корней $t_1 + t_2 = a$, произведение $t_1 t_2 = \frac{a^2 - 2}{2}$.
- $|a| > 2$: корней нет — $0$ решений.
- $a = 2$: $t = 1$ (двойной) — $2$ решения (окружность касается обеих ветвей в точках $(\pm1; 1)$).
- $\sqrt2 < a < 2$: $D > 0$, произведение $> 0$, сумма $> 0$ — оба корня положительны, $4$ решения.
- $a = \sqrt2$: произведение $= 0$, корни $t = 0$ и $t = \sqrt2$ — $1 + 2 = 3$ решения. Окружность проходит через вершину уголка.
- $-\sqrt2 < a < \sqrt2$: произведение $< 0$, один положительный корень — $2$ решения.
- $a = -\sqrt2$: корни $0$ и $-\sqrt2$ — $1$ решение (только начало координат).
- $-2 \le a < -\sqrt2$: оба корня отрицательны (или двойной отрицательный) — $0$ решений.
Ответ: ровно три решения при $a = \sqrt2$; ровно четыре — при $a \in (\sqrt2; 2)$.
Почему это важно
Графический метод даёт то, чего не даёт чистая алгебра: видно, где искать особые значения. Касание, прохождение через вершину, параллельность ветви — всё это точки, где меняется число решений. Но картинка — не доказательство. На экзамене рисунок должен сопровождаться алгебраическим подтверждением ключевых моментов: найти значение $a$ касания через дискриминант или расстояние от центра до прямой, проверить принадлежность точки нужной ветви. Связка «рисунок + вычисление особых точек + проверка на каждом промежутке» — это и есть полное решение на 4 балла.
Практика: 30 заданий
Ответ в каждом задании — множество значений параметра. А теперь попробуй сам: сначала найди особые значения, потом проверь каждый промежуток.
Базовые (задания 1–10)
Задание 1: Реши уравнение $ax = 3$ при всех $a$.
Решение:
Особое значение: $a = 0$. Тогда $0 \cdot x = 3$ — решений нет.
При $a \ne 0$: $x = \frac{3}{a}$.
Ответ: при $a = 0$ решений нет; при $a \ne 0$ — $x = \frac3a$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 2: При каких $a$ уравнение $(a - 2)x = a^2 - 4$ имеет бесконечно много решений? единственное решение?
Решение:
$a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$.
$a = 2$: $0 \cdot x = 0$ — любое $x$, бесконечно много решений.
$a \ne 2$: делим на $a - 2$, $x = a + 2$ — единственное решение.
Случая «нет решений» здесь не бывает: при обнулении коэффициента обнуляется и правая часть.
Ответ: бесконечно много при $a = 2$; единственное ($x = a + 2$) при $a \ne 2$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 3: При каких $a$ уравнение $x^2 - 6x + a = 0$ имеет два различных корня?
Решение:
$\frac{D}{4} = 9 - a > 0 \Rightarrow a < 9$.
Ответ: $a \in (-\infty; 9)$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 4: При каких $a$ уравнение $ax^2 + 4x + 1 = 0$ имеет ровно один корень?
Решение:
Случай $a = 0$: $4x + 1 = 0$, $x = -\frac14$ — один корень. Подходит.
Случай $a \ne 0$: квадратное уравнение имеет один корень при $D = 0$: $16 - 4a = 0$, $a = 4$ (корень $x = -\frac12$).
Ответ: $a \in \{0; 4\}$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 5: При каких $a$ уравнение $x^2 + ax + 4 = 0$ не имеет действительных корней?
Решение:
$D = a^2 - 16 < 0 \Leftrightarrow -4 < a < 4$.
Ответ: $a \in (-4; 4)$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 6: При каких $a$ уравнение $|x| = a - 1$ имеет ровно два корня?
Решение:
График $y = |x|$ и горизонтальная прямая $y = a - 1$. Два пересечения, когда прямая выше вершины уголка: $a - 1 > 0$.
(При $a = 1$ — один корень $x = 0$; при $a < 1$ — ни одного.)
Ответ: $a \in (1; +\infty)$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 7: При каких $a$ оба корня уравнения $x^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0$ положительны?
Решение:
$(x - a)^2 = 1 \Rightarrow x = a \pm 1$. Корни различны при любом $a$.
Оба положительны $\Leftrightarrow$ меньший положителен: $a - 1 > 0$.
Ответ: $a \in (1; +\infty)$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 8: При каких $a$ уравнение $x^2 - (a + 3)x + 3a = 0$ имеет ровно один корень?
Решение:
Разложим: $x^2 - (a + 3)x + 3a = (x - 3)(x - a)$ (по теореме Виета: сумма корней $a + 3$, произведение $3a$).
Корни $3$ и $a$. Ровно один корень — когда они совпадают: $a = 3$.
Ответ: $a = 3$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 9: Исследуй систему $\begin{cases} ax + y = 1, \\ x + ay = 1 \end{cases}$ при всех $a$.
Решение:
Определитель $\begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} = a^2 - 1$.
$a \ne \pm1$: единственное решение. (Можно найти: вычтем уравнения, $(a - 1)(x - y) = 0 \Rightarrow x = y$, тогда $x = y = \frac{1}{a + 1}$.)
$a = 1$: оба уравнения $x + y = 1$ — бесконечно много решений.
$a = -1$: $-x + y = 1$ и $x - y = 1$, то есть $x - y = -1$ и $x - y = 1$ — решений нет.
Ответ: единственное решение при $a \ne \pm1$; бесконечно много при $a = 1$; нет решений при $a = -1$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 10: При каких $a$ уравнение $x^2 = a$ имеет ровно один корень на отрезке $[-1; 2]$?
Решение:
Построим $y = x^2$ на отрезке $[-1; 2]$: от точки $(-1; 1)$ вниз до $(0; 0)$, потом вверх до $(2; 4)$. Двигаем горизонтальную прямую $y = a$:
- $a < 0$: нет корней;
- $a = 0$: один корень $x = 0$;
- $0 < a \le 1$: два корня $\pm\sqrt a$ (оба в отрезке, так как $\sqrt a \le 1$);
- $1 < a \le 4$: только $x = \sqrt a \in (1; 2]$, а $-\sqrt a < -1$ — один корень;
- $a > 4$: нет корней.
Ответ: $a \in \{0\} \cup (1; 4]$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Средние (задания 11–20)
Задание 11: При каких $a$ уравнение $x^2 - 2ax + a + 6 = 0$ имеет два различных корня, каждый из которых больше $1$?
Решение:
$f(x) = x^2 - 2ax + a + 6$, ветви вверх, $x_0 = a$.
-
$\frac{D}{4} = a^2 - a - 6 = (a - 3)(a + 2) > 0 \Rightarrow a < -2$ или $a > 3$.
-
$x_0 = a > 1$.
-
$f(1) = 1 - 2a + a + 6 = 7 - a > 0 \Rightarrow a < 7$.
Пересечение: $3 < a < 7$.
Ответ: $a \in (3; 7)$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 12: При каких $a$ корни уравнения $x^2 + (a - 3)x + a = 0$ лежат по разные стороны от числа $2$?
Решение:
Число $2$ между корнями $\Leftrightarrow f(2) < 0$ (ветви вверх):
$f(2) = 4 + 2(a - 3) + a = 3a - 2 < 0 \Rightarrow a < \frac23$.
Дискриминант проверять не нужно: если $f(2) < 0$, корни существуют автоматически.
Ответ: $a \in \left(-\infty; \frac23\right)$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 13: При каких $a$ уравнение $x^2 - ax + 1 = 0$ имеет ровно один корень на интервале $(0; 1)$?
Решение:
$f(0) = 1 > 0$, $f(1) = 2 - a$.
Если $f(0)f(1) < 0$, то есть $a > 2$, — ровно один корень в $(0; 1)$.
Граница $f(1) = 0$, $a = 2$: $(x - 1)^2 = 0$, корень $1 \notin (0; 1)$ — не подходит.
Могут ли быть оба корня в $(0; 1)$? Произведение корней равно $1$ (Виет), а произведение двух чисел из $(0; 1)$ меньше $1$ — нельзя. Кратный корень $D = 0$: $a = \pm2$, корни $\pm1$ — не в интервале.
Ответ: $a \in (2; +\infty)$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 14: При каких $a$ уравнение $ax^2 - (a + 1)x + 1 = 0$ имеет ровно один корень?
Решение:
При $a = 0$: $-x + 1 = 0$, $x = 1$ — один корень.
При $a \ne 0$: разложим $ax^2 - (a + 1)x + 1 = (ax - 1)(x - 1)$. Корни $1$ и $\frac1a$. Один корень, если они совпадают: $a = 1$.
Ответ: $a \in \{0; 1\}$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 15: При каких $a$ уравнение $|x^2 - 4x| = a$ имеет ровно четыре корня?
Решение:
График $y = x^2 - 4x$ — парабола с вершиной $(2; -4)$ и нулями $0$ и $4$. Модуль отражает часть под осью вверх: получается «горбик» с вершиной $(2; 4)$ между $0$ и $4$ и две внешние ветви.
Горизонтальная прямая $y = a$:
- $a < 0$: $0$ корней; $a = 0$: $2$ корня ($0$ и $4$);
- $0 < a < 4$: две точки на горбике и две на внешних ветвях — $4$ корня;
- $a = 4$: вершина горбика и две точки на ветвях — $3$ корня;
- $a > 4$: $2$ корня.
Ответ: $a \in (0; 4)$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 16: При каких $a$ уравнение $|x - 1| = ax + 1$ имеет ровно два корня?
Решение:
Прямая $y = ax + 1$ вращается вокруг точки $(0; 1)$. Уголок $y = |x - 1|$ с вершиной $(1; 0)$, и точка $(0; 1)$ лежит на его левой ветви.
Левая ветвь ($x < 1$): $1 - x = ax + 1 \Rightarrow x(a + 1) = 0$. При $a \ne -1$ — корень $x = 0$ (всегда подходит). При $a = -1$ прямая совпадает с левой ветвью — бесконечно много корней.
Правая ветвь ($x \ge 1$): $x - 1 = ax + 1 \Rightarrow x(1 - a) = 2$. При $a < 1$: $x = \frac{2}{1 - a}$, условие $x \ge 1 \Leftrightarrow 2 \ge 1 - a \Leftrightarrow a \ge -1$. При $a \ge 1$ корня нет.
Итог: $a \in (-1; 1)$ — два корня ($0$ и $\frac{2}{1 - a} \ge 1$); $a = -1$ — бесконечно много; иначе — один.
Ответ: $a \in (-1; 1)$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 17: При каких $a$ система $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x + a \end{cases}$ имеет единственное решение?
Решение:
Прямая касается окружности радиуса $2$ с центром в начале координат, когда расстояние от центра до прямой $x - y + a = 0$ равно $2$:
$$\frac{|a|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = 2 \quad\Longrightarrow\quad |a| = 2\sqrt2.$$Проверка алгеброй: подстановка даёт $2x^2 + 2ax + a^2 - 4 = 0$, $\frac{D}{4} = a^2 - 2(a^2 - 4) = 8 - a^2 = 0 \Leftrightarrow a = \pm2\sqrt2$.
Ответ: $a \in \{-2\sqrt2; 2\sqrt2\}$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 18: При каких $a$ уравнение $\sqrt{x + 2} = x + a$ имеет ровно два корня?
Решение:
Замена $t = \sqrt{x + 2} \ge 0$, $x = t^2 - 2$. Уравнение: $t = t^2 - 2 + a \Leftrightarrow t^2 - t + (a - 2) = 0$.
Каждому корню $t \ge 0$ соответствует ровно один $x$. Нужно ровно два неотрицательных корня.
- $D = 1 - 4(a - 2) = 9 - 4a > 0 \Rightarrow a < \frac94$;
- сумма корней $1 > 0$;
- произведение $a - 2 \ge 0 \Rightarrow a \ge 2$ (при $a = 2$ корни $0$ и $1$, оба неотрицательны).
Ответ: $a \in \left[2; \frac94\right)$.
Графически: полупарабола $y = \sqrt{x + 2}$ и параллельные прямые $y = x + a$. При $a = 2$ прямая проходит через начало полупараболы $(-2; 0)$, при $a = \frac94$ — касается её.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 19: При каких $a$ уравнение $4^x - (a + 1)\cdot 2^x + a = 0$ имеет ровно один корень?
Решение:
$t = 2^x > 0$: $t^2 - (a + 1)t + a = (t - 1)(t - a) = 0$.
$t = 1$ даёт $x = 0$ — корень есть всегда.
$t = a$ даёт новый корень $x = \log_2 a$, только если $a > 0$ и $a \ne 1$.
Значит, ровно один корень, когда второго нет: $a \le 0$ или $a = 1$.
Ответ: $a \in (-\infty; 0] \cup \{1\}$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 20: При каких $a$ неравенство $(a - 1)x^2 - 2ax + 3a - 2 > 0$ выполняется при всех $x$?
Решение:
$a = 1$: $-2x + 1 > 0$ — не при всех $x$.
$a \ne 1$: квадратный трёхчлен положителен при всех $x$ $\Leftrightarrow$ ветви вверх и корней нет:
$a - 1 > 0$ и $\frac{D}{4} = a^2 - (a - 1)(3a - 2) < 0$.
$a^2 - (3a^2 - 5a + 2) = -2a^2 + 5a - 2 < 0 \Leftrightarrow 2a^2 - 5a + 2 > 0 \Leftrightarrow a < \frac12$ или $a > 2$.
С условием $a > 1$: $a > 2$.
Ответ: $a \in (2; +\infty)$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Продвинутые (задания 21–30)
Задание 21: При каких $a$ уравнение $x|x - 2| = a$ имеет ровно три корня?
Решение:
$g(x) = x|x - 2|$.
При $x \ge 2$: $g(x) = x^2 - 2x$ — возрастает от $0$ до $+\infty$.
При $x < 2$: $g(x) = 2x - x^2 = 1 - (x - 1)^2$ — парабола ветвями вниз с вершиной $(1; 1)$, $g(0) = 0$, $g(2) = 0$, при $x \to -\infty$ уходит в $-\infty$.
Горизонтальная прямая $y = a$:
- $a < 0$: только левая ветвь — $1$ корень;
- $a = 0$: $x = 0$ и $x = 2$ — $2$ корня;
- $0 < a < 1$: два корня на «горбике» между $0$ и $2$ и один при $x > 2$ — $3$ корня;
- $a = 1$: $x = 1$ и $x = 1 + \sqrt2$ — $2$ корня;
- $a > 1$: только правая ветвь — $1$ корень.
Ответ: $a \in (0; 1)$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 22: При каких $a$ система $\begin{cases} |x| + |y| = 2, \\ x^2 + y^2 = a^2 \end{cases}$ имеет ровно восемь решений?
Решение:
$|x| + |y| = 2$ — квадрат («ромб») с вершинами $(\pm2; 0)$, $(0; \pm2)$. Второе уравнение — окружность с центром в начале координат радиуса $|a|$ (при $a = 0$ — точка $(0; 0)$, не лежащая на квадрате).
Расстояние от центра до стороны $x + y = 2$: $\frac{2}{\sqrt2} = \sqrt2$. Расстояние до вершин: $2$.
- $|a| < \sqrt2$: окружность внутри квадрата — $0$ решений;
- $|a| = \sqrt2$: касание всех четырёх сторон — $4$ решения;
- $\sqrt2 < |a| < 2$: каждую сторону пересекает дважды — $8$ решений;
- $|a| = 2$: проходит через четыре вершины — $4$ решения;
- $|a| > 2$: $0$ решений.
Ответ: $a \in (-2; -\sqrt2) \cup (\sqrt2; 2)$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 23: Сколько решений имеет система $\begin{cases} (x - a)^2 + y^2 = 1, \\ y = |x| \end{cases}$ в зависимости от $a$?
Решение:
Подставим $y = |x|$: так как $y^2 = x^2$, получаем $(x - a)^2 + x^2 = 1$, то есть
$$2x^2 - 2ax + a^2 - 1 = 0.$$Каждый корень $x$ даёт ровно одно решение $(x; |x|)$ — условие $y \ge 0$ выполняется автоматически.
$\frac{D}{4} = a^2 - 2(a^2 - 1) = 2 - a^2$.
- $|a| < \sqrt2$: два корня — $2$ решения;
- $|a| = \sqrt2$: один корень — $1$ решение (окружность касается ветви уголка);
- $|a| > \sqrt2$: $0$ решений.
Ответ: $2$ решения при $a \in (-\sqrt2; \sqrt2)$; $1$ решение при $a = \pm\sqrt2$; нет решений при $|a| > \sqrt2$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 24: При каких $a$ оба корня уравнения $x^2 - (2a + 1)x + a^2 + a - 2 = 0$ принадлежат интервалу $(-1; 4)$?
Решение:
$D = (2a + 1)^2 - 4(a^2 + a - 2) = 4a^2 + 4a + 1 - 4a^2 - 4a + 8 = 9$ — полный квадрат.
$x = \frac{2a + 1 \pm 3}{2}$: $x_1 = a + 2$, $x_2 = a - 1$ (различны при любом $a$).
Оба в $(-1; 4)$: $a - 1 > -1$ и $a + 2 < 4$ (меньший больше левого конца, больший меньше правого), то есть $0 < a < 2$.
Ответ: $a \in (0; 2)$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 25: При каких $a$ уравнение $x^2 - 2ax + 2a + 3 = 0$ имеет два различных корня, каждый из которых меньше $2$?
Решение:
$f(x) = x^2 - 2ax + 2a + 3$, $x_0 = a$.
-
$\frac{D}{4} = a^2 - 2a - 3 = (a - 3)(a + 1) > 0 \Rightarrow a < -1$ или $a > 3$.
-
$x_0 < 2 \Rightarrow a < 2$.
-
$f(2) = 4 - 4a + 2a + 3 = 7 - 2a > 0 \Rightarrow a < \frac72$.
Пересечение: $a < -1$.
Проверим: $a = -2$: $x^2 + 4x - 1 = 0$, корни $-2 \pm \sqrt5 \approx 0{,}24$ и $-4{,}24$ — оба меньше $2$. ✅
Ответ: $a \in (-\infty; -1)$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 26: При каких $a$ уравнение $|x^2 - 1| = x + a$ имеет ровно четыре корня?
Решение:
Отделим параметр: $a = g(x) = |x^2 - 1| - x$.
При $|x| \ge 1$: $g(x) = x^2 - x - 1$. На $x \le -1$ убывает от $+\infty$ до $g(-1) = 1$; на $x \ge 1$ возрастает от $g(1) = -1$ до $+\infty$.
При $|x| < 1$: $g(x) = 1 - x^2 - x = \frac54 - \left(x + \frac12\right)^2$. Возрастает от $g(-1) = 1$ до максимума $g\left(-\frac12\right) = \frac54$, затем убывает до $g(1) = -1$.
Горизонтальная прямая $y = a$:
- $a < -1$: $0$ корней; $a = -1$: $1$ корень ($x = 1$);
- $-1 < a < 1$: по одному корню на убывающем участке $\left(-\frac12; 1\right)$ и на $x > 1$ — $2$ корня;
- $a = 1$: $x = -1$, корень на $\left(-\frac12; 1\right)$, корень на $x > 1$ — $3$ корня;
- $1 < a < \frac54$: корень на $x < -1$, на $\left(-1; -\frac12\right)$, на $\left(-\frac12; 1\right)$ и на $x > 1$ — $4$ корня;
- $a = \frac54$: $x = -\frac12$ и по корню на крайних ветвях — $3$ корня;
- $a > \frac54$: $2$ корня.
Ответ: $a \in \left(1; \frac54\right)$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 27: При каких $a$ система $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ (x - a)^2 + (y - a)^2 = 2 \end{cases}$ имеет единственное решение?
Решение:
Две окружности: радиус $R = 2$ с центром $O(0; 0)$ и радиус $r = \sqrt2$ с центром $C(a; a)$. Расстояние между центрами $d = |a|\sqrt2$.
Единственная общая точка — касание:
- внешнее: $d = R + r = 2 + \sqrt2 \Rightarrow |a| = \frac{2 + \sqrt2}{\sqrt2} = \sqrt2 + 1$;
- внутреннее: $d = R - r = 2 - \sqrt2 \Rightarrow |a| = \frac{2 - \sqrt2}{\sqrt2} = \sqrt2 - 1$.
При $a = 0$ окружности концентричны и не пересекаются.
Ответ: $a \in \{-\sqrt2 - 1; \; 1 - \sqrt2; \; \sqrt2 - 1; \; \sqrt2 + 1\}$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 28: При каких $a$ неравенство $x^2 - ax + 4 > 0$ выполняется при всех $x \in [1; 3]$?
Решение:
На $[1; 3]$ число $x$ положительно, делим: $a < x + \frac4x$ для всех $x \in [1; 3]$.
Значит, $a$ меньше минимума функции $h(x) = x + \frac4x$ на $[1; 3]$. По неравенству о средних $x + \frac4x \ge 2\sqrt{4} = 4$, равенство при $x = 2 \in [1; 3]$. Минимум равен $4$.
$a < 4$. При $a = 4$ неравенство нарушается в точке $x = 2$: $4 - 8 + 4 = 0$.
Ответ: $a \in (-\infty; 4)$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 29: При каких $a$ уравнение $(x - 2a)(x + a - 3)\sqrt{x} = 0$ имеет ровно три различных корня?
Решение:
ОДЗ: $x \ge 0$. Корни: $x = 0$ (всегда), $x = 2a$ (если $2a \ge 0$), $x = 3 - a$ (если $3 - a \ge 0$).
В плоскости $(x; a)$ это: прямая $x = 0$, луч $a = \frac{x}{2}$ и луч $a = 3 - x$ в полуплоскости $x \ge 0$. Считаем, сколько различных точек даёт горизонталь.
Совпадения: $2a = 0 \Leftrightarrow a = 0$; $3 - a = 0 \Leftrightarrow a = 3$; $2a = 3 - a \Leftrightarrow a = 1$.
- $a < 0$: $2a < 0$ отпадает — корни $0$, $3 - a$: два;
- $a = 0$: корни $0$, $3$: два;
- $0 < a < 1$: $0$, $2a$, $3 - a$ — различны: три;
- $a = 1$: $0$, $2$: два;
- $1 < a < 3$: три;
- $a = 3$: $0$, $6$: два;
- $a > 3$: $3 - a < 0$ отпадает — $0$, $2a$: два.
Ответ: $a \in (0; 1) \cup (1; 3)$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 30: При каких $a$ уравнение $(x^2 - 4x + a)\sqrt{x - 1} = 0$ имеет ровно два различных корня?
Решение:
ОДЗ: $x \ge 1$. Корень $x = 1$ есть всегда (второй множитель равен нулю).
Первый множитель: $a = 4x - x^2$. В плоскости $(x; a)$ это парабола ветвями вниз с вершиной $(2; 4)$; берём её часть при $x \ge 1$: от точки $(1; 3)$ вверх до вершины $(2; 4)$ и вниз до $-\infty$.
Горизонталь $a = \text{const}$ пересекает эту дугу:
- $a > 4$: нет точек — всего $1$ корень ($x = 1$);
- $a = 4$: $x = 2$ — всего $2$ корня;
- $3 < a < 4$: две точки с $x \in (1; 3)$ — всего $3$ корня;
- $a = 3$: $x = 1$ (совпадает с уже имеющимся) и $x = 3$ — всего $2$ корня;
- $a < 3$: одна точка с $x > 3$ (вторая точка параболы при $x < 1$ вне ОДЗ) — всего $2$ корня.
Ответ: $a \in (-\infty; 3] \cup \{4\}$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Частые ошибки
❌ Ошибка 1: Забывают случай нулевого старшего коэффициента
Неправильно: «Уравнение $ax^2 + 4x + 1 = 0$ имеет один корень, когда $D = 0$, то есть $a = 4$».
Правильно: при $a = 0$ уравнение линейное и тоже имеет один корень. Ответ $\{0; 4\}$.
Почему важно: потерянное значение параметра — неполный ответ. По критериям это стоит минимум одного балла.
❌ Ошибка 2: Используют условие $D > 0$ там, где хватает $f(M) < 0$ — и наоборот
Неправильно: для «корни по разные стороны от $M$» пишут систему из трёх условий с вершиной — и получают неверное множество.
Правильно: точка между корнями $\Leftrightarrow A\cdot f(M) < 0$. А вот для «оба корня больше $M$» нужны все три условия: $D$, вершина, $f(M)$.
Почему важно: лишнее условие сужает ответ, недостающее — расширяет. В обоих случаях ответ неверен.
❌ Ошибка 3: Не проверяют граничные значения
Неправильно: в задаче «ровно один корень в $(1; 3)$» пишут только $f(1)f(3) < 0$.
Правильно: отдельно проверить $f(1) = 0$, $f(3) = 0$ и $D = 0$ — там может оказаться, что условие выполнено (как $a = 3$ и $a = 2\sqrt2$ в примере Блока 2).
Почему важно: в задании 19 ответ, отличающийся от верного конечным числом точек, — стандартная ситуация для частичного балла. Проверка границ превращает её в полный балл.
❌ Ошибка 4: Считают точки пересечения по рисунку «на глаз»
Неправильно: «из рисунка видно, что прямая касается окружности при $a = 3$».
Правильно: значение касания вычисляется: через расстояние от центра до прямой или через $D = 0$ после подстановки.
Почему важно: рисунок показывает, где искать, но не доказывает. Эксперт принимает только вычисленные особые значения.
❌ Ошибка 5: Путают число корней по $t$ с числом корней по $x$
Неправильно: после замены $t = |x|$ считают, что каждый корень $t$ даёт один $x$.
Правильно: $t > 0$ даёт два значения $x = \pm t$, $t = 0$ — одно, $t < 0$ — ни одного. Аналогично для $t = x^2$, $t = \sin x$ (на отрезке) и других замен.
Почему важно: это классическая ловушка в системах с $|x|$ и чётными функциями (Пример 3 Блока 3).
❌ Ошибка 6: Записывают ответ не для $a$, а для $x$
Неправильно: в задаче «найдите все $a$» пишут «$x = 2$» или «$x \in (1; 3)$».
Правильно: ответ — множество значений параметра: «$a \in (0; 1) \cup (1; 3)$».
Почему важно: ответ на другой вопрос — это неверный ответ.
Главное запомнить
📝 Ключевые понятия
✅ Параметр — фиксированное, но произвольное число. Решить задачу с параметром — описать поведение уравнения при всех значениях $a$.
✅ Особые значения ищутся первыми: где обнуляется старший коэффициент, знаменатель, где уравнение становится тождеством.
✅ Линейное $kx = b$: $k \ne 0$ — один корень; $k = b = 0$ — бесконечно много; $k = 0$, $b \ne 0$ — нет корней.
✅ Расположение корней (ветви вверх): оба больше $M$ — $D > 0$, $x_0 > M$, $f(M) > 0$; $M$ между корнями — только $f(M) < 0$.
✅ Ровно один корень на интервале — $f(M)f(N) < 0$ плюс отдельная проверка $f(M) = 0$, $f(N) = 0$, $D = 0$.
✅ Если $D$ — полный квадрат, найди корни явно: задача сведётся к линейным неравенствам.
✅ Отделение параметра: $g(x) = a$ — число корней равно числу пересечений графика с горизонталью.
✅ Семейства: $y = kx + a$ — сдвиг, $y = a(x - x_0) + y_0$ — вращение вокруг точки, $y = |x - a|$ — сдвиг уголка, окружности — изменение центра или радиуса.
✅ Касание прямой и окружности: расстояние от центра до прямой равно радиусу, $\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = r$.
✅ Касание окружностей: $d = R + r$ (внешнее) или $d = |R - r|$ (внутреннее).
✅ Замена переменной меняет подсчёт: $t = |x| > 0$ — два $x$; $t = 2^x$ — только $t > 0$.
Связь с другими темами курса
Что нужно было знать до этого урока:
- Квадратное уравнение — дискриминант, формула корней, число корней
- Теорема Виета — знаки корней по сумме и произведению (задания 13, 18 и Пример 3 Блока 3)
- Квадратичная функция — вершина параболы и знак трёхчлена, на них построены условия расположения корней
- Уравнения с модулем и метод интервалов для модуля — раскрытие модуля на промежутках
- Преобразования графиков — как строить $|f(x)|$, $f(|x|)$ и сдвиги
- Системы линейных уравнений — когда решение единственно, когда их нет или бесконечно много
Что изучить дальше:
- Задание 19 ЕГЭ: карта темы — место задачи в экзамене и дополнительные разборы
- Отбор корней в тригонометрических уравнениях — работа с условиями вида $t \in [-1; 1]$ после замены $t = \sin x$
- Числа и их свойства — следующий урок, задание 20: там тоже нужна логика «оценка плюс пример»
Где это нужно в жизни:
- 🤖 В ML: подбор гиперпараметров — это исследование семейства задач. Например, для градиентного спуска на квадратичной функции $f(w) = \frac{\lambda}{2}w^2$ шаг обновления $w \leftarrow (1 - \eta\lambda)w$ сходится при $|1 - \eta\lambda| < 1$, то есть при $0 < \eta < \frac{2}{\lambda}$. Это ровно задача «при каких значениях параметра выполняется условие».
- 🔬 В физике и инженерии: бифуркационный анализ — при каком значении нагрузки у конструкции появляется второе положение равновесия (потеря устойчивости).
- 💻 В программировании: анализ граничных случаев в тестах — те же «особые значения параметра», на которых алгоритм меняет поведение (деление на ноль, пустой массив, переполнение).
- 📊 В Data Science: анализ чувствительности модели — как меняется предсказание при изменении одного признака; графически это та же «горизонтальная прямая», пробегающая по графику.
Интересные факты
💡 Виет расшифровывал шифры. Франсуа Виет, давший алгебре буквенные параметры, работал при дворе Генриха IV и взломал шифр испанской переписки. Испанцы были уверены, что шифр нераскрываем, и жаловались папе римскому, что французы используют колдовство.
💡 Эйлер и сломанная колонна. В 1744 году Эйлер исследовал сжатый упругий стержень и нашёл критическую нагрузку: пока сила меньше неё, у уравнения изгиба есть только нулевое решение (стержень прямой), а при превышении появляется ненулевое — стержень выгибается. Это одна из первых задач с параметром, где смена числа решений означает реальное разрушение конструкции. Формулой Эйлера инженеры пользуются до сих пор.
💡 Параметры пришли в ЕГЭ со вступительных экзаменов. Задачи с параметром десятилетиями давали на письменных вступительных экзаменах в сильные вузы, в том числе в МГУ. Графический метод и работа в плоскости $(x; a)$ оттачивались именно там, а потом перешли в профильный ЕГЭ.
💡 Нейросеть — огромное уравнение с параметрами. Веса сети — это миллионы параметров, а обучение — поиск значений параметров, при которых «уравнение» (сеть) даёт нужные ответы на данных. Задачи этого урока — та же идея в миниатюре: подобрать $a$ так, чтобы выполнялось условие.
Лайфхаки и полезные трюки
1. Сначала посмотри, не раскладывается ли трёхчлен
Посчитай дискриминант. Если он получился полным квадратом ($9$, $(a - 1)^2$, $4$) — найди корни явно, и расположение корней превратится в линейные неравенства.
Пример: $x^2 - (2a + 1)x + a^2 + a - 2 = 0$, $D = 9$, корни $a + 2$ и $a - 1$ (задание 24).
2. Отделяй параметр, если он входит линейно
Если $a$ встречается один раз и без множителя с $x$, перенеси всё остальное в другую часть: $g(x) = a$. Дальше — горизонтальная прямая и график $g$.
Пример: $|x^2 - 1| = x + a \Leftrightarrow |x^2 - 1| - x = a$ (задание 26).
3. Точка внутри — одно условие
«$M$ между корнями» — это одно неравенство $A\cdot f(M) < 0$. Не нужно ни дискриминанта, ни вершины.
4. Таблица особых значений
Выпиши все особые значения $a$ по возрастанию, между ними — промежутки. Для каждого особого значения и для одной «пробной» точки в каждом промежутке посчитай число решений. Число решений внутри промежутка не меняется — таблица даёт полный ответ.
5. Численная проверка ответа (для самоподготовки)
import numpy as np
def count_roots(a):
# задание 21: x|x-2| = a
xs = np.linspace(-10, 10, 200001)
g = xs * np.abs(xs - 2) - a
return int(np.sum(np.sign(g[:-1]) != np.sign(g[1:])))
for a in [-0.5, 0, 0.3, 0.9, 1, 2]:
print(a, count_roots(a))
Смена знака на сетке — простой способ посчитать корни. Касания (двойные корни) так не ловятся, поэтому граничные значения всё равно проверяй вручную. Но для промежутков такая проверка отлично ловит ошибки.
6. Ответ проверяй «пробными» значениями
Возьми одно значение $a$ внутри ответа и одно — снаружи, подставь, реши получившееся уравнение с числами. Если внутри ответа условие выполнено, а снаружи — нет, ответ, скорее всего, верный.
💡 Совет: задание 19 не решается «за один присест». Разбей работу на этапы: особые значения, картинка, вычисление ключевых точек, таблица по промежуткам, ответ. Даже если на каком-то этапе застрял, записанные верные шаги приносят баллы.
Дальше — числа и их свойства: задание 20, где вместо графиков — делимость, остатки и конструкции «оценка плюс пример».
Остались вопросы по теме?
Профессор Квасич разберёт любую задачу из урока по шагам и подберёт тренировку под твои ошибки.
Разобрать в Telegram5 вопросов в день бесплатно. Безлимит и подробные разборы — Квасич Pro, 200 Stars за 30 дней →