Кусочные функции и графики: задание 22 ОГЭ 📈
Задание 22 — последнее алгебраическое задание ОГЭ и единственное, где нужно рисовать. Условие почти всегда выглядит так: «Постройте график функции ... и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки». Формула бывает страшной: дробь четвёртой степени, модуль, фигурная скобка из двух-трёх строчек. Но после первого шага от этого страха почти ничего не остаётся — под формулой прячутся знакомые прямая, парабола или гипербола. Задание стоит 2 балла, и теряют их обычно не на сложной математике, а на одной забытой выколотой точке или неучтённом стыке двух кусков графика.
Давай разберёмся, как устроены такие функции. Вообще-то кусочные функции окружают тебя постоянно. Тариф такси: первые 5 км по одной цене, дальше по другой. Налоговая шкала: до определённого дохода одна ставка, выше — другая. Скидка в магазине: «при покупке от 3000 рублей — 10%». Каждый раз правило меняется в какой-то точке, и функция «склеивается» из нескольких кусков. А в нейросетях самая популярная функция активации ReLU — это ровно кусочная функция: $0$ при $x < 0$ и $x$ при $x \geq 0$. Сеть из тысяч нейронов с ReLU — это одна огромная кусочно-линейная функция.
В этом уроке мы пройдём весь путь: от чтения фигурной скобки до полного решения задания 22 в том виде, в котором его ждёт эксперт.
Ты узнаешь:
🎯 Как строить кусочно-заданную функцию и что происходит на стыке кусков (непрерывный стык или «скачок»)
🎯 Как упрощать дробь, находить выколотые точки и почему именно они решают исход задания
🎯 Как раскрывать модуль внутри функции, как «водить» прямую $y = m$ или $y = kx$ по графику и считать общие точки
🎯 Как оформить решение, чтобы получить полные 2 балла
История: откуда это взялось? 📜
Долгое время слово «функция» означало только формулу. Леонард Эйлер в XVIII веке называл функцией «аналитическое выражение», то есть одну формулу вроде $x^2 + 3x$. Кривую, склеенную из кусков разных формул, он считал «смешанной» и не вполне законной. Спор разгорелся из-за колеблющейся струны: Даламбер, Эйлер и Даниил Бернулли выясняли, какую форму может иметь натянутая струна в начальный момент. Если оттянуть струну пальцем за одну точку, она принимает форму «галочки» — двух отрезков прямых. Формулы одной строчкой для такой формы нет, а струна-то существует и звучит!
Спор закончил Петер Лежён-Дирихле в 1837 году. Он предложил определение, которым мы пользуемся до сих пор: функция — это правило, по которому каждому $x$ ставится в соответствие ровно одно $y$. Каким способом задано правило — одной формулой, двумя, таблицей или словами, — неважно. Дирихле даже придумал знаменитую «функцию Дирихле»: $1$ для рациональных $x$ и $0$ для иррациональных. Её график нарисовать невозможно, но функция вполне законная.
Сегодня кусочные функции — рабочий инструмент инженеров и программистов. Любой if в коде, который возвращает число, задаёт кусочную функцию. Сплайны в компьютерной графике (плавные кривые в Figma и шрифтах) склеены из кусков многочленов. А функции ReLU, Leaky ReLU и hard sigmoid, на которых обучаются современные нейросети, — это кусочно-линейные функции, ровно такие, как в задании 22.
Блок 1: Кусочно-заданная функция — как читать и строить
Давай разберёмся с интуицией
Кусочная функция задаётся фигурной скобкой:
$$ y = \begin{cases} x^2 - 4x + 3, & x \geq 1, \\ x - 1, & x < 1. \end{cases} $$Читается это так: «если $x \geq 1$, считай по первой формуле, а если $x < 1$ — по второй». Для каждого $x$ работает ровно одна строчка. Это важно: области, указанные справа, не пересекаются и вместе покрывают всю область определения.
Строится график в три шага:
- Нарисуй каждую формулу целиком тонким карандашом (прямую, параболу).
- Обрежь каждую кривую по своему условию: оставь от первой только часть при $x \geq 1$, от второй — только часть при $x < 1$.
- Проверь стык: посчитай значение каждой формулы в граничной точке. Если значения совпали — куски соединяются без разрыва. Если нет — получается «скачок», и нужно аккуратно отметить, какая точка закрашена, а какая выколота.
Закрашенная точка (жирная) — точка принадлежит графику. Выколотая (пустой кружок) — точка графику не принадлежит, кривая подходит к ней вплотную, но саму точку не включает. Правило простое: если в условии стоит нестрогое неравенство ($\geq$, $\leq$), конец куска закрашен; если строгое ($>$, $<$) — выколот.
Аналогия
Представь игру, где у персонажа разные режимы движения: по дороге он бежит со скоростью 10, по болоту — со скоростью 3. Скорость как функция от типа поверхности — кусочная. На границе дороги и болота важно договориться, какой режим действует ровно на линии, иначе персонаж «зависнет» между правилами. Фигурная скобка — это именно такой договор: знак $\geq$ говорит, что граница относится к первому режиму.
А теперь главная идея задания 22. Прямая $y = m$ — горизонтальная. Представь, что это лазерный луч, который ты двигаешь снизу вверх по экрану. На каждой высоте луч «цепляет» какое-то число точек графика. Задача: найти все высоты, на которых точек ровно столько, сколько просят. Число общих точек меняется только на особых высотах: вершинах парабол, уровнях стыков, уровнях выколотых точек. Их-то и надо найти.
Определение: Функция называется кусочно-заданной, если её область определения разбита на промежутки и на каждом промежутке функция задана своей формулой. Число общих точек графика с прямой $y = m$ равно числу решений уравнения $f(x) = m$, где каждое решение проверяется на принадлежность «своему» промежутку.
Пример 1 (лёгкий): «галочка» из прямой и параболы
Построй график функции
$$ y = \begin{cases} -x, & x < 0, \\ x^2, & x \geq 0 \end{cases} $$и определи, сколько общих точек у него с прямой $y = m$ при разных $m$.
Решение:
Шаг 1. Левый кусок: прямая $y = -x$ при $x < 0$. Точки: $(-1; 1)$, $(-2; 2)$, $(-3; 3)$. Это луч, идущий вверх-влево. При $x \to 0$ значение стремится к $0$, но сама точка $(0; 0)$ по этой строчке не берётся.
Шаг 2. Правый кусок: парабола $y = x^2$ при $x \geq 0$ — правая ветка. Точки: $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(2; 4)$.
Шаг 3. Стык в $x = 0$: левая формула даёт $-0 = 0$, правая $0^2 = 0$. Значения совпали — график непрерывный, точка $(0; 0)$ закрашена (её даёт правая строчка).
[ГРАФИК: слева луч из начала координат вверх-влево под углом 45°, справа правая ветвь параболы. Всё целиком лежит в верхней полуплоскости, самая нижняя точка — $(0; 0)$.]
Шаг 4. Водим прямую $y = m$:
- $m < 0$: прямая ниже всего графика — $0$ точек;
- $m = 0$: касается в точке $(0; 0)$ — $1$ точка;
- $m > 0$: одна точка на луче ($x = -m$) и одна на параболе ($x = \sqrt{m}$) — $2$ точки.
Ответ: $0$ точек при $m < 0$, одна при $m = 0$, две при $m > 0$.
Пример 2 (средний): формат ОГЭ
Построй график функции
$$ y = \begin{cases} x^2 - 4x + 3, & x \geq 1, \\ x - 1, & x < 1 \end{cases} $$и определи, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение:
Шаг 1. Парабола при $x \geq 1$. Вершина: $x_0 = -\frac{-4}{2} = 2$, $y_0 = 4 - 8 + 3 = -1$. Вершина $(2; -1)$. Нули: $x^2 - 4x + 3 = 0$, $x = 1$ и $x = 3$. Значение на границе: при $x = 1$ получаем $0$ — точка $(1; 0)$ закрашена. Контрольная точка: $x = 4$, $y = 3$.
Шаг 2. Прямая при $x < 1$. $y = x - 1$: точки $(0; -1)$, $(-1; -2)$. При $x \to 1$ значение стремится к $0$, точка $(1; 0)$ этой строчкой не берётся — но её уже взяла парабола.
Шаг 3. Стык. Обе формулы в точке $x = 1$ дают $0$ — график непрерывный.
[ГРАФИК: слева луч прямой, поднимающийся к точке $(1; 0)$; от неё парабола спускается к вершине $(2; -1)$, поднимается через $(3; 0)$ и уходит вверх. Особые высоты: $y = -1$ (вершина) и $y = 0$ (стык).]
Шаг 4. Водим прямую $y = m$.
| $m$ | точки на прямой ($x<1$) | точки на параболе ($x \geq 1$) | всего |
|---|---|---|---|
| $m < -1$ | 1 | 0 | 1 |
| $m = -1$ | 1 ($x = 0$) | 1 (вершина) | 2 |
| $-1 < m < 0$ | 1 | 2 | 3 |
| $m = 0$ | 0 | 2 ($x = 1$, $x = 3$) | 2 |
| $m > 0$ | 0 | 1 | 1 |
Почему при $m > 0$ на параболе только одна точка? Левая ветвь параболы обрезана условием $x \geq 1$, выше уровня $0$ она не поднимается. А прямая при $x < 1$ даёт только значения меньше $0$.
Проверим наш ответ при $m = -0{,}5$: прямая $x - 1 = -0{,}5$ даёт $x = 0{,}5 < 1$ ✓; парабола $x^2 - 4x + 3{,}5 = 0$ даёт $x = 2 \pm \sqrt{0{,}5}$, оба корня больше $1$ ✓. Итого $3$ точки — как в таблице.
Ответ: $m = -1$; $m = 0$.
Пример 3 (сложный): стык со скачком
Построй график функции
$$ y = \begin{cases} x^2 - 6x + 8, & x \geq 1, \\ 2x - 1, & x < 1 \end{cases} $$и определи, при каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение:
Шаг 1. Парабола. Вершина $x_0 = 3$, $y_0 = 9 - 18 + 8 = -1$. Нули: $x = 2$ и $x = 4$. На границе $x = 1$: $1 - 6 + 8 = 3$, точка $(1; 3)$ закрашена.
Шаг 2. Прямая. $y = 2x - 1$ при $x < 1$. На границе: $2 \cdot 1 - 1 = 1$, точка $(1; 1)$ выколота. Прямая идёт от $-\infty$ вверх до выколотой точки $(1; 1)$.
Шаг 3. Стык. $3 \neq 1$ — скачок. В точке $x = 1$ график «прыгает» с уровня $1$ (выколото) на уровень $3$ (закрашено).
[ГРАФИК: слева луч прямой, упирающийся в пустой кружок $(1; 1)$; над ним, в той же вертикали, жирная точка $(1; 3)$, из которой парабола спускается до вершины $(3; -1)$ и уходит вверх через $(4; 0)$, $(5; 3)$. Особые высоты: $-1$, $1$, $3$.]
Шаг 4. Таблица.
| $m$ | прямая | парабола | всего |
|---|---|---|---|
| $m < -1$ | 1 | 0 | 1 |
| $m = -1$ | 1 | 1 | 2 |
| $-1 < m < 1$ | 1 | 2 | 3 |
| $m = 1$ | 0 (точка выколота) | 2 | 2 |
| $1 < m \leq 3$ | 0 | 2 | 2 |
| $m > 3$ | 0 | 1 | 1 |
Почему при $m = 3$ на параболе две точки? $x^2 - 6x + 8 = 3$ даёт $x = 1$ и $x = 5$. Точка $x = 1$ удовлетворяет условию $x \geq 1$, она закрашена — значит, считается. А при $m$ чуть больше $3$ корень, который был в $x = 1$, уходит левее единицы и «отваливается».
Ответ: $m = -1$ или $1 \leq m \leq 3$, то есть $m \in \{-1\} \cup [1; 3]$.
Почему это важно
Ты только что увидел весь алгоритм задания 22: построить куски, проверить стыки, выписать особые высоты и пройтись по ним таблицей. Таблица — лучший друг на экзамене: она не даёт пропустить граничный случай. Заметь, что ответ в Примере 3 — не отдельные числа, а целый отрезок. Так бывает, когда на графике есть «горизонтальная полоса», где число точек не меняется. Эксперт проверит, закрыл ли ты концы отрезка правильно: $m = 1$ включено (одна из точек выколота, но две другие есть), $m = 3$ включено (закрашенная граница параболы).
В программировании то же самое: граничные условия (< или <=) — классический источник багов. Тестировщики специально проверяют значения ровно на границе (boundary testing), потому что именно там ломается логика.
Блок 2: Дробно-рациональные функции и выколотые точки
Давай разберёмся с интуицией
Вторая любимая форма задания 22 — дробь, которая «на самом деле» проще, чем выглядит:
$$ y = \frac{x^2 - 4}{x - 2}. $$Числитель раскладывается: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$. Сокращаем на $x - 2$ и получаем $y = x + 2$. Но есть нюанс: исходная формула не определена при $x = 2$ (на ноль делить нельзя). Сокращение эту информацию «стирает» из формулы, но не из функции! Поэтому правильно писать:
$$ y = x + 2, \quad x \neq 2. $$График — прямая $y = x + 2$ с выколотой точкой $(2; 4)$. Вторая координата выколотой точки считается по упрощённой формуле: $2 + 2 = 4$. Подставлять $x = 2$ в исходную дробь бессмысленно — там получится $\frac{0}{0}$.
Аналогия
Представь дорогу, в которой в одном месте вырезан люк. Дорога выглядит сплошной, машина по ней едет, но ровно в одной точке асфальта нет. Если лазерный луч $y = m$ попадёт ровно в люк, пересечения на этом куске дороги не будет. Именно поэтому в ответах задания 22 так часто появляются «странные» значения $m$ — это высоты люков.
В ML есть похожая ситуация: признак, который в одной точке не определён (деление на ноль при нормализации, $\log 0$). Библиотека выдаёт NaN, и если не обработать эту точку явно, модель «не увидит» объект. Выколотая точка — это математический NaN.
Правило: При сокращении дроби выпиши все значения $x$, при которых исходный знаменатель равен нулю. Каждое из них — выколотая точка графика (если функция в окрестности определена). Её вторую координату находи по упрощённой формуле. Прямая $y = m$, проходящая через выколотую точку, теряет одну общую точку.
Пример 1 (лёгкий): прямая с люком
При каких $m$ прямая $y = m$ не имеет общих точек с графиком $y = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$?
Решение:
Шаг 1. ОДЗ: $x \neq 2$.
Шаг 2. Упрощаем: $y = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2$, $x \neq 2$.
Шаг 3. Выколотая точка: $x = 2$, $y = 4$, точка $(2; 4)$.
Шаг 4. Прямая $y = x + 2$ без «люка» пересекает каждую горизонталь ровно один раз. Горизонталь $y = 4$ пересекала бы её в точке $x = 2$, но эта точка выколота. Значит, при $m = 4$ общих точек нет, при остальных $m$ — одна.
Ответ: $m = 4$.
Пример 2 (средний): парабола с двумя люками
Построй график функции
$$ y = \frac{x^4 - 13x^2 + 36}{(x - 3)(x + 2)} $$и определи, при каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение:
Шаг 1. ОДЗ: $x \neq 3$, $x \neq -2$.
Шаг 2. Разложим числитель. Это биквадратный трёхчлен: пусть $t = x^2$, тогда $t^2 - 13t + 36 = 0$, $t = 4$ или $t = 9$. Значит,
$$x^4 - 13x^2 + 36 = (x^2 - 4)(x^2 - 9) = (x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3).$$Шаг 3. Сокращаем:
$$y = \frac{(x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)} = (x - 2)(x + 3) = x^2 + x - 6, \quad x \neq 3,\ x \neq -2.$$Шаг 4. Парабола. Вершина: $x_0 = -\frac{1}{2}$, $y_0 = \frac14 - \frac12 - 6 = -6{,}25$. Нули $x = 2$ и $x = -3$. Ветви вверх.
Шаг 5. Выколотые точки: при $x = 3$: $y = 9 + 3 - 6 = 6$, точка $(3; 6)$; при $x = -2$: $y = 4 - 2 - 6 = -4$, точка $(-2; -4)$.
[ГРАФИК: парабола с вершиной $(-0{,}5; -6{,}25)$, проходящая через $(-3; 0)$ и $(2; 0)$. На левой ветви пустой кружок $(-2; -4)$, на правой — пустой кружок $(3; 6)$.]
Шаг 6. Считаем. Обычная парабола даёт одну точку только в вершине. Но каждая выколотая точка «отнимает» одно пересечение у своей горизонтали:
- $m = -6{,}25$: вершина — $1$ точка;
- $m = -4$: уравнение $x^2 + x - 6 = -4$, то есть $x^2 + x - 2 = 0$, $x = -2$ (выколота) или $x = 1$ — остаётся $1$ точка;
- $m = 6$: $x^2 + x - 12 = 0$, $x = 3$ (выколота) или $x = -4$ — остаётся $1$ точка.
При остальных $m > -6{,}25$ точек две, при $m < -6{,}25$ — ни одной.
Ответ: $m = -6{,}25$; $m = -4$; $m = 6$.
Пример 3 (сложный): гипербола и прямая $y = kx$
Построй график функции $y = \dfrac{x - 3}{x^2 - 3x}$ и определи, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение:
Шаг 1. ОДЗ: $x^2 - 3x = x(x - 3) \neq 0$, то есть $x \neq 0$, $x \neq 3$.
Шаг 2. Упрощаем: $y = \dfrac{x - 3}{x(x - 3)} = \dfrac{1}{x}$, $x \neq 3$ (и $x \neq 0$, но при $x = 0$ гипербола и так не определена).
Шаг 3. Выколотая точка: $\left(3; \frac13\right)$ на правой ветви гиперболы.
Шаг 4. Прямая $y = kx$ проходит через начало координат, $k$ — её наклон. Ищем общие точки: $\dfrac1x = kx$, откуда $x^2 = \dfrac1k$.
- $k \leq 0$: решений нет (при $k = 0$ уравнение $\frac1x = 0$ не имеет решений, при $k < 0$ правая часть отрицательна). Геометрически: прямая с отрицательным наклоном проходит через II и IV четверти, а гипербола $y = \frac1x$ живёт в I и III.
- $k > 0$: две точки $x = \pm \dfrac{1}{\sqrt k}$, симметричные относительно начала координат.
Шаг 5. Учитываем выколотую точку. Одна точка «пропадает», если $\frac{1}{\sqrt k} = 3$, то есть прямая проходит через $\left(3; \frac13\right)$: $k = \dfrac{1/3}{3} = \dfrac19$. Тогда вторая точка $x = -3$ остаётся.
Проверим наш ответ: при $k = \frac19$ уравнение $x^2 = 9$ даёт $x = \pm 3$; $x = 3$ выколото, остаётся $x = -3$, $y = -\frac13$. Ровно одна точка ✓.
Ответ: $k = \dfrac19$.
Почему это важно
Выколотая точка — главный «капкан» задания 22. Если её не отметить на графике, эксперт снимает балл даже при правильном ответе. Если забыть про неё при подсчёте — ответ неполный. Запомни связку: ОДЗ → разложение → сокращение → выколотые точки → особые значения параметра. Прямая через выколотую точку — всегда кандидат в ответ.
Для прямой $y = kx$ полезно думать о параметре $k$ как о «повороте» прямой вокруг начала координат. Особые значения $k$ — это наклоны прямых, проходящих через выколотые точки, через стыки кусков и касательных к кривым. Наклон прямой через начало координат и точку $(x_0; y_0)$ равен $k = \frac{y_0}{x_0}$.
Блок 3: Модуль в функции, прямая $y = kx$ и оформление на 2 балла
Давай разберёмся с интуицией
Модуль — это тоже кусочная функция, просто записанная компактно:
$$|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0, \\ -x, & x < 0. \end{cases}$$Поэтому любая функция с модулем превращается в фигурную скобку. Например,
$$ y = x^2 - 4|x| + 3 = \begin{cases} x^2 - 4x + 3, & x \geq 0, \\ x^2 + 4x + 3, & x < 0. \end{cases} $$Есть и хитрость. Если модуль стоит на $x$ так, что $f(-x) = f(x)$ (функция чётная), график симметричен относительно оси $Oy$. Достаточно построить правую половину и отразить её. В функции $x^2 - 4|x| + 3$ так и есть: $(-x)^2 - 4|-x| + 3 = x^2 - 4|x| + 3$.
Второе важное умение — работа с прямой $y = kx$. В отличие от горизонтальной $y = m$, она не двигается параллельно, а вращается вокруг начала координат. Особые положения прямой:
- проходит через «угол» графика (стык, выколотую точку) — наклон $k = y_0 / x_0$;
- касается параболы — ищется через дискриминант: уравнение $f(x) = kx$ должно иметь один корень, $D = 0$;
- параллельна лучу графика — тогда они не пересекаются.
Аналогия
Функция ReLU из нейросетей: $\text{ReLU}(x) = \max(0, x)$. Её можно записать через модуль: $\text{ReLU}(x) = \dfrac{x + |x|}{2}$. Проверь: при $x \geq 0$ получаем $\frac{2x}{2} = x$, при $x < 0$ — $\frac{0}{2} = 0$. И наоборот, модуль — это сумма двух ReLU: $|x| = \text{ReLU}(x) + \text{ReLU}(-x)$. Так что, строя графики с модулями, ты фактически разбираешь, как нейрон с ReLU «ломает» прямую в точке. Нейросеть с одним скрытым слоем ReLU-нейронов умеет приблизить любую непрерывную функцию ломаной — это одна из версий теоремы об универсальной аппроксимации.
Правило раскрытия модуля: найди, где выражение под модулем равно нулю. Эти точки делят прямую на промежутки. На каждом промежутке модуль раскрывается со своим знаком: $|A| = A$, если $A \geq 0$, и $|A| = -A$, если $A < 0$. Получается кусочная функция.
Пример 1 (лёгкий): «W-образный» график
При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком $y = x^2 - 4|x| + 3$ ровно три общие точки?
Решение:
Шаг 1. Функция чётная, строим при $x \geq 0$: $y = x^2 - 4x + 3$. Вершина $(2; -1)$, нули $x = 1$ и $x = 3$, при $x = 0$ значение $3$.
Шаг 2. Отражаем относительно $Oy$: левая половина с вершиной $(-2; -1)$ и нулями $-1$, $-3$.
[ГРАФИК: буква «W»: две «ямки» с дном на уровне $-1$ в точках $x = \pm 2$, между ними «горбик» с верхушкой $(0; 3)$ — это стык двух парабол, угловая точка. Особые высоты: $-1$ и $3$.]
Шаг 3. Водим горизонталь:
- $m < -1$: $0$ точек;
- $m = -1$: $2$ точки (две вершины);
- $-1 < m < 3$: $4$ точки (по две на каждой «ямке»);
- $m = 3$: $3$ точки — $x = 0$ и $x = \pm 4$ (проверь: $16 - 16 + 3 = 3$ ✓);
- $m > 3$: $2$ точки.
Ответ: $m = 3$.
Пример 2 (средний): модуль-множитель
Построй график функции $y = x|x| - 2|x| - 3x$ и определи, при каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение:
Шаг 1. Раскрываем модуль.
При $x \geq 0$: $|x| = x$, $y = x^2 - 2x - 3x = x^2 - 5x$.
При $x < 0$: $|x| = -x$, $y = -x^2 + 2x - 3x = -x^2 - x$.
$$ y = \begin{cases} x^2 - 5x, & x \geq 0, \\ -x^2 - x, & x < 0. \end{cases} $$Шаг 2. Правый кусок: парабола ветвями вверх, вершина $(2{,}5; -6{,}25)$, нули $0$ и $5$.
Шаг 3. Левый кусок: парабола ветвями вниз, вершина $x_0 = -\frac{-1}{2 \cdot (-1)} = -0{,}5$, $y_0 = -0{,}25 + 0{,}5 = 0{,}25$. Нули $x = 0$ (не входит, $x < 0$) и $x = -1$. Стык в $x = 0$: обе формулы дают $0$, график непрерывный.
[ГРАФИК: слева «горбик» с вершиной $(-0{,}5; 0{,}25)$, пересекающий ось в $x = -1$ и приходящий в начало координат; справа «ямка» с дном $(2{,}5; -6{,}25)$, выходящая из начала координат и пересекающая ось в $x = 5$. Похоже на кубическую параболу. Особые высоты: $-6{,}25$ и $0{,}25$.]
Шаг 4. Считаем:
| $m$ | левый кусок | правый кусок | всего |
|---|---|---|---|
| $m < -6{,}25$ | 1 | 0 | 1 |
| $m = -6{,}25$ | 1 | 1 | 2 |
| $-6{,}25 < m < 0$ | 1 | 2 | 3 |
| $m = 0$ | 1 ($x = -1$) | 2 ($x = 0$, $x = 5$) | 3 |
| $0 < m < 0{,}25$ | 2 | 1 | 3 |
| $m = 0{,}25$ | 1 | 1 | 2 |
| $m > 0{,}25$ | 0 | 1 | 1 |
Ответ: $-6{,}25 < m < 0{,}25$.
Пример 3 (сложный): вращаем прямую $y = kx$
Построй график функции
$$y = \begin{cases} x^2 + 4, & x \geq 0, \\ 4, & x < 0 \end{cases}$$и определи, при каких $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение:
Шаг 1. График. Слева — горизонтальный луч $y = 4$ (при $x < 0$), справа — правая ветвь параболы $y = x^2 + 4$ с вершиной $(0; 4)$. Стык непрерывный.
Шаг 2. Луч $y = 4$, $x < 0$. Уравнение $kx = 4$: при $k = 0$ решений нет; при $k \neq 0$ $x = \frac4k$, и это отрицательное число только при $k < 0$. Значит, луч даёт одну точку при $k < 0$.
Шаг 3. Парабола, $x \geq 0$. Уравнение $x^2 + 4 = kx$, то есть $x^2 - kx + 4 = 0$. Дискриминант $D = k^2 - 16$.
- $D < 0$ ($-4 < k < 4$): корней нет.
- $D = 0$ ($k = \pm 4$): один корень $x = \frac{k}{2}$. При $k = 4$ $x = 2 \geq 0$ ✓ — касание в точке $(2; 8)$. При $k = -4$ $x = -2$ — не входит в кусок.
- $D > 0$: по теореме Виета произведение корней $4 > 0$, сумма $k$. При $k > 4$ оба корня положительны — $2$ точки; при $k < -4$ оба отрицательны — $0$ точек.
Шаг 4. Сводим:
| $k$ | луч | парабола | всего |
|---|---|---|---|
| $k < 0$ | 1 | 0 | 1 |
| $0 \leq k < 4$ | 0 | 0 | 0 |
| $k = 4$ | 0 | 1 | 1 |
| $k > 4$ | 0 | 2 | 2 |
Ответ: $k < 0$ или $k = 4$.
Как оформить задание 22 на 2 балла
Эксперт ставит 2 балла, если график построен верно и верно найдены искомые значения параметра. 1 балл — если график построен верно, но значения параметра найдены неверно или не полностью. Если график неверный — $0$ баллов, даже если ответ случайно совпал. Значит, график — это обязательная половина работы, и на нём должно быть видно всё, что ты использовал в рассуждении.
Шаблон решения:
- ОДЗ (если есть дробь): «$x \neq \ldots$».
- Упрощение / раскрытие модуля с фигурной скобкой.
- Характеристики кусков: вершина параболы, нули, граничные значения, выколотые точки с координатами.
- Чертёж: оси с подписями и единичным отрезком, каждая кривая, закрашенные и выколотые точки, подписанные координаты ключевых точек.
- Обоснование для параметра: «прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки при ..., так как ...» — одна-две фразы или таблица.
- Ответ в явном виде.
Минимальный текст к Примеру 2 из Блока 2, которого достаточно для полного балла:
ОДЗ: $x \neq 3$, $x \neq -2$. $y = \frac{(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+2)} = x^2 + x - 6$ при $x \neq 3$, $x \neq -2$. Графиком является парабола с вершиной $(-0{,}5; -6{,}25)$ с выколотыми точками $(-2; -4)$ и $(3; 6)$. [Чертёж.] Прямая $y = m$ имеет с графиком одну общую точку, если проходит через вершину параболы или через одну из выколотых точек. Ответ: $-6{,}25$; $-4$; $6$.
Почему это важно
Раскрытие модуля и работа с $y = kx$ закрывают все типовые формы задания 22. Если ты уверенно делаешь три вещи — строишь куски, отмечаешь выколотые точки и составляешь таблицу по особым значениям параметра, — задание становится механической процедурой. А навык «найти все значения параметра, при которых меняется число решений» пригодится в ЕГЭ (задание 18 с параметром) и в анализе устойчивости моделей: там тоже ищут значения параметра, при которых поведение системы качественно меняется.
Практика: 30 заданий
Базовые (задания 1–10)
Задание 1: Функция задана так: $f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x < 1, \\ x^2, & x \geq 1. \end{cases}$ Найди $f(-2)$, $f(1)$, $f(3)$.
Решение:
$x = -2 < 1$ — первая строчка: $f(-2) = 2 \cdot (-2) + 1 = -3$.
$x = 1$ — условие $x \geq 1$, вторая строчка: $f(1) = 1^2 = 1$.
$x = 3 \geq 1$: $f(3) = 9$.
Ответ: $-3$; $1$; $9$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 2: Упрости функцию $y = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ и найди координаты выколотой точки.
Решение:
ОДЗ: $x \neq 3$. $y = \dfrac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3$, $x \neq 3$.
Выколотая точка: $x = 3$, $y = 3 + 3 = 6$.
Ответ: $y = x + 3$, $x \neq 3$; выколотая точка $(3; 6)$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 3: При каком $m$ прямая $y = m$ не имеет общих точек с графиком $y = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$?
Решение:
Из задания 2 график — прямая $y = x + 3$ без точки $(3; 6)$. Горизонталь $y = m$ пересекает наклонную прямую ровно в одной точке, кроме случая, когда эта точка выколота: $m = 6$.
Ответ: $m = 6$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 4: При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком $y = |x|$ ровно две общие точки?
Решение:
График $y = |x|$ — «галочка» с вершиной $(0; 0)$. Горизонталь выше вершины пересекает обе стороны: $x = \pm m$. При $m = 0$ точка одна, при $m < 0$ — ни одной.
Ответ: $m > 0$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 5: Найди нули функции $y = \begin{cases} x + 3, & x < -1, \\ x^2 - 1, & x \geq -1. \end{cases}$
Решение:
Первый кусок: $x + 3 = 0$, $x = -3$; условие $-3 < -1$ выполнено ✓.
Второй кусок: $x^2 - 1 = 0$, $x = \pm 1$; оба удовлетворяют $x \geq -1$ ✓ (граница $x = -1$ входит).
Ответ: $-3$; $-1$; $1$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 6: В каких точках график функции $y = \dfrac{x^2 + 5x}{x}$ пересекает оси координат?
Решение:
ОДЗ: $x \neq 0$. $y = \dfrac{x(x + 5)}{x} = x + 5$, $x \neq 0$.
С осью $Ox$: $x + 5 = 0$, $x = -5$ — точка $(-5; 0)$.
С осью $Oy$: нужно $x = 0$, но эта точка выколота — $(0; 5)$ графику не принадлежит. Пересечения с $Oy$ нет.
Ответ: только $(-5; 0)$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 7: Найди $f(-3)$ и наименьшее значение функции $f(x) = x^2 - 6|x| + 5$.
Решение:
$f(-3) = 9 - 6 \cdot 3 + 5 = -4$.
При $x \geq 0$: $f = x^2 - 6x + 5$, вершина $x = 3$, $f(3) = -4$. Функция чётная, поэтому слева минимум тот же в точке $x = -3$.
Ответ: $f(-3) = -4$; наименьшее значение $-4$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 8: График — прямая $y = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$. При каком $k$ прямая $y = kx$ проходит через выколотую точку этого графика? Сколько общих точек у прямой и графика при этом $k$?
Решение:
$y = x + 2$, $x \neq 2$; выколотая точка $(2; 4)$. Наклон прямой через начало координат и $(2; 4)$: $k = \frac42 = 2$.
Общие точки $y = 2x$ и $y = x + 2$: $2x = x + 2$, $x = 2$ — выколота. Других решений нет.
Ответ: $k = 2$; общих точек нет ($0$).
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 9: Дана функция $y = \begin{cases} x^2, & x \leq 2, \\ 4, & x > 2. \end{cases}$ Сколько общих точек у графика с прямой $y = 1$? С прямой $y = 4$?
Решение:
$y = 1$: на параболе $x = \pm 1$ (оба $\leq 2$ ✓), на луче $4 \neq 1$. Итого $2$ точки.
$y = 4$: на параболе $x = -2$ и $x = 2$; а луч $y = 4$ при $x > 2$ целиком лежит на прямой $y = 4$. Общих точек бесконечно много.
Ответ: $2$; бесконечно много.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 10: При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком $y = |x - 3|$ ровно одну общую точку?
Решение:
График — «галочка» $y = |x|$, сдвинутая на $3$ вправо, вершина $(3; 0)$. Одна точка — только при касании вершины.
Ответ: $m = 0$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Средние (задания 11–20)
Задание 11: Построй график функции $y = \begin{cases} 4 - x^2, & x \geq -1, \\ x + 4, & x < -1 \end{cases}$ и определи, при каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение:
Парабола $y = 4 - x^2$ при $x \geq -1$: вершина $(0; 4)$, ветви вниз, на границе $f(-1) = 3$ — точка $(-1; 3)$ закрашена.
Прямая $y = x + 4$ при $x < -1$: при $x \to -1$ значение стремится к $3$ — стык непрерывный. Значения прямой: все числа меньше $3$.
Подсчёт:
- $m > 4$: $0$;
- $m = 4$: вершина — $1$;
- $3 \leq m < 4$: на параболе $x = \pm\sqrt{4 - m}$, оба $\geq -1$ — $2$; прямая значения $\geq 3$ не принимает;
- $m < 3$: на параболе остаётся только $x = \sqrt{4 - m}$ (второй корень $< -1$), на прямой одна точка — $2$.
Ответ: $m = 4$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 12: Построй график функции $y = \dfrac{x^3 - 4x}{x - 2}$ и определи, при каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение:
ОДЗ: $x \neq 2$. $x^3 - 4x = x(x - 2)(x + 2)$, поэтому $y = x(x + 2) = x^2 + 2x$, $x \neq 2$.
Парабола: вершина $(-1; -1)$. Выколотая точка: $x = 2$, $y = 4 + 4 = 8$ — $(2; 8)$.
Одна общая точка:
- через вершину: $m = -1$;
- через выколотую точку: $m = 8$. Проверка: $x^2 + 2x - 8 = 0$, $x = 2$ (выколота) или $x = -4$ — одна точка ✓.
Ответ: $m = -1$; $m = 8$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 13: Построй график функции $y = \dfrac{x^4 - 5x^2 + 4}{(x - 1)(x + 2)}$ и определи, при каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение:
ОДЗ: $x \neq 1$, $x \neq -2$. Числитель: $(x^2 - 1)(x^2 - 4) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)$. После сокращения $y = (x + 1)(x - 2) = x^2 - x - 2$.
Вершина: $x_0 = 0{,}5$, $y_0 = 0{,}25 - 0{,}5 - 2 = -2{,}25$.
Выколотые точки: $x = 1$: $y = 1 - 1 - 2 = -2$ — $(1; -2)$; $x = -2$: $y = 4 + 2 - 2 = 4$ — $(-2; 4)$.
Проверки: при $m = -2$ уравнение $x^2 - x = 0$ даёт $x = 0$ и $x = 1$ (выколота) — одна точка. При $m = 4$: $x^2 - x - 6 = 0$, $x = 3$ и $x = -2$ (выколота) — одна точка.
Ответ: $m = -2{,}25$; $m = -2$; $m = 4$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 14: При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком $y = x^2 - 2|x| - 3$ ровно три общие точки?
Решение:
Функция чётная. При $x \geq 0$: $y = x^2 - 2x - 3$, вершина $(1; -4)$, $f(0) = -3$. Отражаем — получаем «W» с ямками на уровне $-4$ и угловой точкой $(0; -3)$.
Три точки — только на уровне угловой точки: $m = -3$. Проверка: $x^2 - 2|x| = 0$, $|x|(|x| - 2) = 0$, $x = 0$, $x = \pm 2$ — три точки ✓.
Ответ: $m = -3$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 15: Построй график функции $y = |x|(x - 4)$ и определи, при каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение:
$x \geq 0$: $y = x^2 - 4x$, вершина $(2; -4)$, нули $0$ и $4$.
$x < 0$: $y = -x(x - 4) = -x^2 + 4x$. На промежутке $x < 0$ эта функция возрастает (вершина $x = 2$ правее), её значения — все отрицательные числа.
Подсчёт:
- $m > 0$: только правая ветка — $1$;
- $m = 0$: $x = 0$ и $x = 4$ — $2$;
- $-4 < m < 0$: правая ямка даёт $2$, левый кусок $1$ — 3;
- $m = -4$: вершина и левый кусок — $2$;
- $m < -4$: только левый кусок — $1$.
Ответ: $-4 < m < 0$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 16: Построй график функции $y = \dfrac{2x + 4}{x^2 + 2x}$ и определи, при каких $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек.
Решение:
ОДЗ: $x(x + 2) \neq 0$, $x \neq 0$, $x \neq -2$. $y = \dfrac{2(x + 2)}{x(x + 2)} = \dfrac2x$, $x \neq -2$.
Гипербола $y = \frac2x$ принимает все значения, кроме $0$. Выколотая точка: $x = -2$, $y = -1$.
Нет общих точек: при $m = 0$ (асимптота) и при $m = -1$ (единственная точка $x = -2$ выколота).
Ответ: $m = 0$; $m = -1$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 17: Построй график функции $y = \dfrac{(x^2 + 4)(x - 1)}{1 - x}$ и определи, при каких $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение:
ОДЗ: $x \neq 1$. Так как $\frac{x - 1}{1 - x} = -1$, получаем $y = -(x^2 + 4) = -x^2 - 4$, $x \neq 1$. Выколотая точка $(1; -5)$.
Уравнение $-x^2 - 4 = kx$, то есть $x^2 + kx + 4 = 0$, $D = k^2 - 16$.
- Касание: $D = 0$, $k = \pm 4$. Точки касания $x = -\frac k2 = \mp 2$, не совпадают с $x = 1$ ✓.
- Два корня, один из которых выколот: подставим $x = 1$: $1 + k + 4 = 0$, $k = -5$. Тогда по Виета второй корень $\frac41 = 4$ — одна точка ✓.
Ответ: $k = -5$; $k = -4$; $k = 4$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 18: Построй график функции $y = \begin{cases} x + 5, & x < -2, \\ x^2 - 1, & -2 \leq x \leq 2, \\ 5 - x, & x > 2 \end{cases}$ и определи, при каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки. Какое наибольшее число общих точек возможно?
Решение:
Стыки: в $x = -2$: $-2 + 5 = 3$ и $4 - 1 = 3$ — непрерывно; в $x = 2$: $4 - 1 = 3$ и $5 - 2 = 3$ — непрерывно. Вершина параболы $(0; -1)$.
График: луч поднимается к $(-2; 3)$, парабола спускается к $(0; -1)$ и поднимается к $(2; 3)$, затем луч идёт вниз. Похоже на букву «М».
- $m > 3$: $0$;
- $m = 3$: $2$ ($x = \pm 2$);
- $-1 < m < 3$: левый луч $1$ + парабола $2$ + правый луч $1$ = $4$;
- $m = -1$: $1 + 1 + 1 = 3$;
- $m < -1$: $2$ (только лучи).
Ответ: ровно три — при $m = -1$; наибольшее число общих точек — $4$ (при $-1 < m < 3$).
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 19: При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком $y = |x^2 - 2x - 3|$ ровно три общие точки?
Решение:
Парабола $y = x^2 - 2x - 3$ имеет вершину $(1; -4)$ и нули $-1$, $3$. Модуль отражает часть под осью $Ox$ вверх: между $-1$ и $3$ появляется «горбик» с верхушкой $(1; 4)$.
Три точки — на уровне верхушки горбика: $m = 4$. Проверка: $x^2 - 2x - 3 = 4$ даёт $x = 1 \pm 2\sqrt2$ (две точки), $x^2 - 2x - 3 = -4$ даёт $(x - 1)^2 = 0$, $x = 1$. Итого $3$ ✓.
Ответ: $m = 4$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 20: Построй график функции $y = \begin{cases} 1 - x, & x < 0, \\ x^2 - 4x, & x \geq 0 \end{cases}$ и определи, при каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение:
Прямая $y = 1 - x$ при $x < 0$: значения больше $1$, точка $(0; 1)$ выколота.
Парабола $y = x^2 - 4x$ при $x \geq 0$: $(0; 0)$ закрашена, вершина $(2; -4)$, нули $0$ и $4$. Стык со скачком: $1 \neq 0$.
- $m < -4$: $0$;
- $m = -4$: вершина — $1$;
- $-4 < m \leq 0$: парабола $2$, прямая $0$ — $2$;
- $0 < m \leq 1$: парабола $1$ (корень правее $4$; левый корень ушёл в $x < 0$), прямая $0$ (при $m = 1$ её точка выколота) — $1$;
- $m > 1$: парабола $1$, прямая $1$ — $2$.
Ответ: $m = -4$ или $0 < m \leq 1$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Продвинутые (задания 21–30)
Задание 21: При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком $y = x^2 - 6|x| + 8$ ровно четыре общие точки?
Решение:
При $x \geq 0$: $y = x^2 - 6x + 8$, вершина $(3; -1)$, $f(0) = 8$. График чётный: «W» с ямками на уровне $-1$ и угловой точкой $(0; 8)$.
Четыре точки — когда горизонталь пересекает обе ямки по два раза, то есть лежит строго между дном ямок и угловой точкой.
Проверка: $m = -1$ — 2 точки, $m = 8$ — 3 точки ($x = 0$, $x = \pm 6$), $m = 0$ — 4 точки ($\pm 2$, $\pm 4$).
Ответ: $-1 < m < 8$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 22: Построй график функции $y = \dfrac{|x|(x^2 - 9)}{x - 3}$. При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки? При каких — ни одной?
Решение:
ОДЗ: $x \neq 3$. $y = |x|(x + 3)$, $x \neq 3$.
$x \geq 0$: $y = x^2 + 3x$ — возрастает от $0$; выколотая точка $x = 3$, $y = 18$.
$x < 0$: $y = -x^2 - 3x$ — горбик с вершиной $(-1{,}5; 2{,}25)$, нули $-3$ и $0$.
- $m < 0$: левый кусок $1$ ($x < -3$), правый $0$ — $1$;
- $m = 0$: $x = -3$ и $x = 0$ — 2;
- $0 < m < 2{,}25$: горбик $2$ + правый $1$ — $3$;
- $m = 2{,}25$: вершина + правый — 2;
- $m > 2{,}25$, $m \neq 18$: только правый — $1$;
- $m = 18$: правый даёт $x = 3$ (выколота), левый: $x^2 + 3x + 18 = 0$, $D < 0$ — 0.
Ответ: две точки — при $m = 0$ и $m = 2{,}25$; ни одной — при $m = 18$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 23: Построй график функции $y = \begin{cases} x^2 + 1, & x \geq 1, \\ 2, & x < 1 \end{cases}$ и определи, при каких $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение:
Стык: $1 + 1 = 2$ — непрерывно, точка $(1; 2)$.
Луч $y = 2$, $x < 1$: $kx = 2$, $x = \frac2k$. Нужно $\frac2k < 1$: это верно при $k < 0$ и при $k > 2$.
Парабола при $x \geq 1$: $x^2 - kx + 1 = 0$, $D = k^2 - 4$. Произведение корней $1$.
- $k = 2$: $x = 1$ — касание ровно на стыке, $1$ точка;
- $k > 2$: корни положительны, их произведение $1$, значит один больше $1$, другой меньше — $1$ точка;
- $k \leq -2$: корни отрицательны — $0$; $-2 < k < 2$: корней нет.
Сводим: $k < 0$: $1 + 0 = 1$; $0 \leq k < 2$: $0$; $k = 2$: луч даёт $x = 1$ — не входит, парабола $1$ — итого $1$; $k > 2$: $1 + 1 = 2$.
Ответ: $k < 0$ или $k = 2$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 24: Построй график функции $y = \begin{cases} \dfrac4x, & x \geq 1, \\ x + 3, & x < 1 \end{cases}$ и определи, при каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение:
Гипербола при $x \geq 1$: от $(1; 4)$ убывает, приближаясь к оси $Ox$; значения $(0; 4]$.
Прямая при $x < 1$: значения $(-\infty; 4)$, точка $(1; 4)$ по этой строчке не берётся — но её берёт гипербола, стык непрерывный.
- $m \leq 0$: прямая $1$, гипербола $0$ — $1$;
- $0 < m < 4$: $1 + 1 = 2$;
- $m = 4$: только точка $(1; 4)$ — $1$;
- $m > 4$: $0$.
Ответ: $m \leq 0$ или $m = 4$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 25: Построй график функции $y = |x + 2| + |x - 2|$ и определи, при каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение:
Нули подмодульных выражений: $-2$ и $2$.
- $x < -2$: $y = -(x + 2) - (x - 2) = -2x$;
- $-2 \leq x \leq 2$: $y = (x + 2) - (x - 2) = 4$;
- $x > 2$: $y = 2x$.
График — «корыто»: горизонтальное дно на уровне $4$ от $x = -2$ до $x = 2$, по краям лучи вверх.
$m < 4$: $0$ точек; $m = 4$: бесконечно много (весь отрезок дна); $m > 4$: по одной на каждом луче — $2$.
Ответ: $m > 4$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 26: Построй график функции $y = \dfrac{3x + 6}{x^2 + 2x}$ и определи, при каких $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение:
ОДЗ: $x \neq 0$, $x \neq -2$. $y = \dfrac{3(x + 2)}{x(x + 2)} = \dfrac3x$, $x \neq -2$. Выколотая точка $(-2; -1{,}5)$.
$\frac3x = kx \Rightarrow x^2 = \frac3k$. При $k \leq 0$ решений нет, при $k > 0$ — два: $x = \pm\sqrt{3/k}$.
Одна точка — если прямая проходит через выколотую: $k = \frac{-1{,}5}{-2} = 0{,}75$. Тогда $x^2 = 4$, $x = 2$ (подходит) и $x = -2$ (выколота).
Ответ: $k = 0{,}75$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 27 (ML): Нейрон-«шапочка» из трёх ReLU: $h(x) = \text{ReLU}(x) - 2\,\text{ReLU}(x - 1) + \text{ReLU}(x - 2)$, где $\text{ReLU}(t) = \max(0, t)$. Найди $h(0{,}5)$, $h(1{,}5)$, $h(3)$, запиши $h$ кусочно и определи, при каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение:
$h(0{,}5) = 0{,}5 - 0 + 0 = 0{,}5$; $h(1{,}5) = 1{,}5 - 2 \cdot 0{,}5 + 0 = 0{,}5$; $h(3) = 3 - 4 + 1 = 0$.
Кусочно: $x \leq 0$: $0$; $0 < x \leq 1$: $x$; $1 < x \leq 2$: $x - 2(x - 1) = 2 - x$; $x > 2$: $x - 2x + 2 + x - 2 = 0$.
График: ось $Ox$ слева и справа, между $0$ и $2$ — «шапочка»-треугольник с вершиной $(1; 1)$.
$m = 0$: бесконечно много точек; $0 < m < 1$: две; $m = 1$: одна (вершина); $m < 0$ или $m > 1$: ни одной.
Ответ: $0{,}5$; $0{,}5$; $0$; одна общая точка при $m = 1$.
Такие «шапочки» — кирпичики, из которых ReLU-сеть собирает любую ломаную: сдвигай и масштабируй их — и получишь кусочно-линейное приближение нужной функции.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 28: Построй график функции $y = x|x| - 2|x| - 8$ и определи, при каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Решение:
$x \geq 0$: $y = x^2 - 2x - 8$, вершина $(1; -9)$, $f(0) = -8$, нули $x = 4$ (и $x = -2$ — не входит).
$x < 0$: $y = -x^2 + 2x - 8$; на промежутке $x < 0$ функция возрастает, значения меньше $-8$.
- $m > -8$: правый кусок $1$, левый $0$ — $1$;
- $m = -8$: $x = 0$ и $x = 2$ — $2$;
- $-9 < m < -8$: правый $2$, левый $1$ — 3;
- $m = -9$: $1 + 1 = 2$;
- $m < -9$: только левый — $1$.
Ответ: $-9 < m < -8$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 29 (найди ошибку): Ученик решал задачу «При каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком $y = \dfrac{(x^2 - 1)(x + 3)}{x + 3}$ ровно одну общую точку?» и написал: «$y = x^2 - 1$, это парабола с вершиной $(0; -1)$, одна точка при $m = -1$. Ответ: $-1$». Сколько баллов он получит? Найди ошибку и дай верный ответ.
Решение:
Ученик потерял ОДЗ: $x \neq -3$. График — парабола $y = x^2 - 1$ с выколотой точкой $(-3; 8)$.
При $m = 8$: $x^2 = 9$, $x = 3$ или $x = -3$ (выколота) — одна точка. Значит, $m = 8$ тоже в ответе.
Ученик не отметил выколотую точку — график построен неверно, поэтому по критериям это $0$ баллов.
Ответ: $m = -1$; $m = 8$. Ошибка — пропущена выколотая точка.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Задание 30: Построй график функции $y = |x - 2| + 1$ и определи, при каких $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Решение:
«Галочка» с вершиной $(2; 1)$: при $x \geq 2$ $y = x - 1$ (наклон $1$), при $x < 2$ $y = 3 - x$ (наклон $-1$).
Особые наклоны: через вершину $k = \frac12$; параллельно правому лучу $k = 1$; параллельно левому $k = -1$.
Правый луч: $kx = x - 1$, $x = \frac{1}{1 - k}$ (при $k \neq 1$); нужно $x \geq 2$: $\frac{1}{1 - k} \geq 2 \Leftrightarrow \frac12 \leq k < 1$.
Левый луч: $kx = 3 - x$, $x = \frac{3}{k + 1}$ (при $k \neq -1$); нужно $x < 2$: при $k > -1$ это $k + 1 > 1{,}5$, то есть $k > \frac12$; при $k < -1$ $x < 0 < 2$ — всегда.
Две точки — когда работают оба луча: $\frac12 < k < 1$.
Проверка при $k = 0{,}75$: $x = 4$ и $x = \frac{3}{1{,}75} \approx 1{,}71$ — две точки ✓.
Ответ: $\frac12 < k < 1$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Частые ошибки
❌ Ошибка 1: Сократили дробь и забыли про выколотую точку Неправильно: $y = \frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2$ — «прямая, одна точка при любом $m$». Правильно: $y = x + 2$ при $x \neq 2$, точка $(2; 4)$ выколота, при $m = 4$ общих точек нет. Почему важно: график без выколотой точки считается построенным неверно — это $0$ баллов за всё задание.
❌ Ошибка 2: Ордината выколотой точки посчитана по исходной дроби Неправильно: «подставлю $x = 2$ в $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$» — получается $\frac00$, ученик пишет «$y = 0$». Правильно: ординату считают по упрощённой формуле: $y = 2 + 2 = 4$. Почему важно: неверная высота люка даёт неверное значение $m$ в ответе.
❌ Ошибка 3: Не обрезали кусок по условию Неправильно: в Примере 2 Блока 1 считать, что при $m > 0$ парабола даёт две точки. Правильно: левый корень параболы при $m > 0$ меньше $1$, а парабола задана только при $x \geq 1$ — точка одна. Почему важно: это самая частая причина лишних значений параметра в ответе.
❌ Ошибка 4: Перепутали закрашенный и выколотый конец на стыке Неправильно: в Примере 3 Блока 1 считать точку $(1; 3)$ выколотой, а $(1; 1)$ закрашенной. Правильно: $x \geq 1$ относится к параболе, значит закрашена $(1; 3)$; на прямой ($x < 1$) конец $(1; 1)$ выколот. Почему важно: от этого зависит, включать ли концы промежутка в ответ ($1 \leq m \leq 3$ или $1 < m < 3$).
❌ Ошибка 5: Для $y = kx$ искали касание, но не проверили точку касания Неправильно: в Примере 3 Блока 3 записать в ответ $k = -4$, потому что $D = 0$. Правильно: при $k = -4$ точка касания $x = -2$ лежит вне куска $x \geq 0$ — касания с графиком нет. Почему важно: касание «формальное», с частью параболы, которой нет на графике, — лишнее значение в ответе.
❌ Ошибка 6: Модуль раскрыли с одним знаком Неправильно: $x|x| - 3x = x^2 - 3x$ для всех $x$. Правильно: при $x < 0$ $|x| = -x$, и $x|x| = -x^2$. Почему важно: получится совсем другая кривая, и весь график неверен.
❌ Ошибка 7: Ответ записан не на тот вопрос Неправильно: в задаче про «ровно две точки» выписать значения, где точек три. Правильно: составь таблицу «значение параметра → число точек» и выбери строки с нужным числом. Почему важно: на экзамене от волнения это случается чаще, чем кажется.
Главное запомнить
📝 Ключевые понятия
✅ Кусочная функция: на каждом промежутке своя формула; для каждого $x$ работает ровно одна строчка.
✅ Стык: посчитай обе формулы в граничной точке. Совпали — график непрерывный, не совпали — скачок. Нестрогое неравенство — точка закрашена, строгое — выколота.
✅ Дробь: сначала ОДЗ, потом разложение и сокращение. Каждый «сокращённый» ноль знаменателя — выколотая точка.
✅ Ордината выколотой точки считается по упрощённой формуле.
✅ Модуль: $|A| = A$ при $A \geq 0$ и $-A$ при $A < 0$. Функция с $|x|$ часто чётная — строй правую половину и отражай.
✅ Прямая $y = m$ горизонтальная. Особые $m$: вершины, уровни стыков, уровни выколотых точек, горизонтальные участки.
✅ Прямая $y = kx$ вращается вокруг начала координат. Особые $k$: $k = y_0/x_0$ через угловые и выколотые точки, касание ($D = 0$ с проверкой точки касания), параллельность лучам.
✅ Таблица «параметр → число точек» по всем особым значениям и промежуткам между ними не даёт потерять случай.
✅ Оценка: 2 балла — верный график и верный ответ; 1 балл — верный график, ответ неполный; неверный график — 0.
✅ Связь с ML: ReLU $= \max(0, x) = \frac{x + |x|}{2}$ — кусочная функция; нейросеть с ReLU — огромная кусочно-линейная функция.
Связь с другими темами курса
Что нужно было знать до этого урока:
- График функции — что такое график и как строить его по точкам
- Линейная функция — прямые и лучи, угловой коэффициент $k$
- Квадратичная функция — вершина параболы, нули, направление ветвей
- Модуль числа и обобщённое понятие модуля — раскрытие модуля по знаку
- Разложение многочлена и формулы сокращённого умножения — чтобы сокращать дроби
- Теорема Виета — знаки корней без их вычисления
Что изучить дальше:
- Системы нелинейных уравнений и задание 20 ОГЭ — следующий урок: алгебраическая часть второй части ОГЭ
- Преобразования графиков — сдвиги, отражения и модуль как операции над графиком
- Разбор задания 22 ОГЭ — формат задания и ещё примеры
- Функции активации — ReLU, Leaky ReLU и их роль в нейросетях
Где это нужно в жизни:
- 💰 В финансах: прогрессивная шкала налога, тарифы такси и мобильной связи — кусочные функции, «стык» каждого куска — порог тарифа.
- 💻 В программировании: каждый
ifс возвратом числа — кусочная функция; граничные значения (<против<=) — главный источник багов. - 🤖 В ML/AI: ReLU-сети строят кусочно-линейные функции; число «изломов» растёт с числом нейронов.
- 🎮 В играх: кривые урона, опыта и цен в магазине часто задаются кусками: до 10-го уровня одна формула, после — другая.
Интересные факты
💡 Спор о струне — Эйлер и Даламбер в XVIII веке спорили, может ли форма струны задаваться «разными формулами на разных участках». Сегодня ответ очевиден любому школьнику, решившему задание 22, а тогда это был вопрос о самом понятии функции.
💡 ReLU победила сигмоиду — в 2010–2012 годах исследователи заметили, что сети с простейшей кусочной функцией $\max(0, x)$ обучаются в разы быстрее, чем с плавной сигмоидой. Кусочная функция оказалась лучше «красивой».
💡 Сплайны — слово пришло от гибких реек, которыми корабелы и чертёжники проводили плавные кривые. Математические сплайны — кусочные многочлены, склеенные гладко; на них построены шрифты на твоём экране.
💡 Выколотая точка — не экзотика — функция $\frac{\sin x}{x}$ не определена в нуле, но её график выглядит сплошным. На этом построен один из «замечательных пределов» математического анализа.
Лайфхаки и полезные трюки
1. Сначала особые высоты, потом таблица Выпиши все $y$-координаты вершин, стыков и выколотых точек, упорядочь их — получишь точки, в которых меняется ответ. Проверь каждую и по одной точке между ними. Пример: в Примере 3 Блока 1 особые высоты $-1$, $1$, $3$ — четыре промежутка и три точки, всего семь проверок.
2. Проверяй число точек подстановкой Не уверен? Возьми конкретное $m$ из промежутка, реши уравнение и проверь каждый корень на принадлежность куску. Это 30 секунд, которые спасают балл.
3. Чётность экономит половину работы Если в функции $x$ входит только как $|x|$ или $x^2$ — функция чётная. Строй при $x \geq 0$ и отражай относительно $Oy$.
4. Наклон через точку — одна дробь Прямая $y = kx$ через точку $(x_0; y_0)$ имеет $k = \frac{y_0}{x_0}$. Для каждой угловой и выколотой точки посчитай этот наклон — это готовые кандидаты в ответ.
5. Виета вместо корней Чтобы понять, сколько корней квадратного уравнения попадает на кусок $x \geq 0$, не обязательно их находить: знаки корней видны по произведению $c/a$ и сумме $-b/a$. Пример: $x^2 - kx + 4 = 0$ при $k > 4$: произведение $4 > 0$, сумма $k > 0$ — оба корня положительны.
6. Проверь себя в Python
import numpy as np
# куски: (коэффициенты многочлена, условие на x)
pieces = [([1, -6, 8], lambda x: x >= 1), # x^2 - 6x + 8 при x >= 1
([2, -1], lambda x: x < 1)] # 2x - 1 при x < 1
def count(m):
pts = set()
for coef, cond in pieces:
c = np.array(coef, dtype=float)
c[-1] -= m # решаем f(x) - m = 0
for r in np.roots(c):
if abs(r.imag) < 1e-6 and cond(round(r.real, 6)):
pts.add(round(r.real, 6))
return len(pts)
for m in [-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4]:
print(m, count(m)) # 1, 2, 3, 2, 2, 2, 1 — как в таблице Примера 3
Код делает ровно то же, что ты на бумаге: решает уравнение на каждом куске и оставляет только корни, попавшие в «свой» промежуток. Наивный подход «посчитать смены знака $f(x) - m$ на сетке» здесь обманет: на скачке функция меняет знак без пересечения, и код насчитает лишнюю точку. Численная проверка не заменит решения на экзамене, но дома помогает поймать ошибку в таблице.
💡 Совет: реши 5–6 заданий подряд в формате экзамена с полным оформлением и чертежом на клетчатой бумаге. После этого задание 22 перестанет быть «последним страшным» и станет самым предсказуемым во второй части.
Дальше: Системы нелинейных уравнений и задание 20 ОГЭ — вторая половина алгебраических 2 баллов.
Остались вопросы по теме?
Профессор Квасич разберёт любую задачу из урока по шагам и подберёт тренировку под твои ошибки.
Разобрать в Telegram5 вопросов в день бесплатно. Безлимит и подробные разборы — Квасич Pro, 200 Stars за 30 дней →