Применение интегралов в физике ⚙️

Восемнадцать уроков назад, в уроке 133, ты впервые посчитал производную. Дальше был длинный путь: физический смысл производной и цепочка «координата → скорость → ускорение» (урок 135), правила и таблица, монотонность и экстремумы, построение графиков. Потом стрелка развернулась — урок 145 научил восстанавливать функцию по её производной, урок 146 дал этому имя и технику, урок 147 показал, что определённый интеграл — это предел сумм, урок 148 связал два мира формулой Ньютона-Лейбница, а урок 149 научил считать площади и объёмы.

Техника у тебя теперь есть вся. Ты умеешь брать интеграл, знаешь замену переменной и интегрирование по частям, не путаешься в подстановке пределов. Чего пока нет — так это ответа на вопрос, который умный человек задаёт первым: откуда в задаче вообще берётся интеграл? Площадь под кривой — понятно, интеграл там по построению. А работа? А масса? А давление воды на плотину? Почему все эти совершенно разные величины считаются одним и тем же значком?

Ответ на этот вопрос — единственная содержательная мысль сегодняшнего урока, и она стоит того, чтобы сформулировать её сразу. Везде, где величина накапливается при непрерывно меняющейся интенсивности, ответ — интеграл. Если сила постоянна, работа равна $F \cdot s$ — умножению. Если сила меняется от точки к точке, умножать нечего: какое из значений силы брать? Тогда отрезок пути режут на маленькие кусочки, на каждом кусочке силу считают почти постоянной, умножают, складывают — и устремляют размер кусочка к нулю. Получается интеграл. Схема одна и та же для пути, работы, заряда, массы, давления, энергии и ещё десятка величин, и научиться узнавать её — важнее, чем помнить любую конкретную формулу.

Эта идея старше самого анализа. Именно так Архимед считал площади и объёмы за девятнадцать веков до Ньютона, именно так Ньютон в «Началах» получал законы движения планет, и именно так сегодня физический движок игры считает траекторию мяча, а профилировщик считает энергию, потраченную на обучение нейросети. Знак $\int$ — это записанное одной строкой «нарежь, посчитай на куске, сложи».

И ещё одно. Этот урок — последний в школьном разделе курса. Дальше, с урока 151, начинается университетский блок, и начинается он с векторов — потому что реальная физика двумерна и трёхмерна, а всё, что мы делали до сих пор, жило на одной прямой. Так что сегодня мы не просто разбираем ещё одну тему: мы забираем из школьной математики её главный прикладной результат и упаковываем его так, чтобы им можно было пользоваться дальше.

🎯 Ты узнаешь:

• Универсальную схему «разбей → посчитай на куске → сложи → устреми шаг к нулю», из которой рождается любой физический интеграл, и как применять её к незнакомой задаче
• Как считать путь и перемещение по скорости — и почему это две разные величины, различающиеся ровно одним модулем
• Как считать работу переменной силы: пружина, подъём на орбиту с переменным $g$, откачка воды из резервуара по слоям
• Электрические приложения: заряд как интеграл тока, энергия как интеграл мощности и вывод знаменитого множителя $\frac{1}{\sqrt2}$ в действующем значении переменного тока
• Геометрию масс: масса стержня с переменной плотностью, центр масс и момент инерции — и почему ответ зависит от выбора оси
• Давление жидкости на вертикальную стенку и среднее значение физической величины за интервал
• Размерность как рабочий инструмент самопроверки: как поймать неверно поставленный интеграл, не считая его
• Где накопление величин работает в машинном обучении: momentum, PID-регуляторы, Neural ODE, симуляция физики в RL и энергопотребление обучения модели

История: откуда это взялось?

Первым человеком, который посчитал физическую величину суммированием бесконечно малых кусочков, был Архимед из Сиракуз (около 287-212 до н. э.). В трактате «О равновесии плоских фигур» он находил центры тяжести треугольника, параболического сегмента и других фигур, мысленно разрезая их на тонкие полоски и уравновешивая на воображаемом рычаге. В «Методе механических теорем» — тексте, который считался утраченным и был найден только в 1906 году на пергаменте, поверх которого монахи записали молитвенник, — Архимед прямым текстом объясняет, что механические соображения помогают ему угадать ответ, а строгое доказательство он строит потом методом исчерпывания. То есть две с лишним тысячи лет назад человек уже пользовался схемой «разрежь и сложи» и честно отдавал себе отчёт в её нестрогости.

Дальше была долгая пауза. Симон Стевин в 1586 году решил задачу о давлении жидкости на вертикальную стенку — фактически посчитал интеграл, не имея понятия интеграла, — и заодно обнаружил гидростатический парадокс: сила давления на дно не зависит от формы сосуда. Галилей в 1638 году в «Беседах» получил закон равноускоренного движения, складывая «моменты скорости» по треугольнику на графике: площадь под графиком скорости — это путь. Он не называл это интегрированием, но делал именно его.

Затем всё сошлось в одно десятилетие. Роберт Гук в 1660 году открыл закон упругости и, по обычаю того времени, опубликовал его в 1676-м в виде анаграммы ceiiinosssttuv, а расшифровку дал только в 1678 году: ut tensio, sic vis — «каково растяжение, такова и сила». Христиан Гюйгенс в «Horologium Oscillatorium» (1673) ввёл понятие момента инерции, решая задачу о центре качания физического маятника: он честно суммировал вклады отдельных частей тела, то есть считал интеграл $\int x^2\,dm$ до того, как этот знак появился. А Исаак Ньютон в «Математических началах натуральной философии» (1687) построил на этой технике всю механику, включая вывод закона всемирного тяготения из законов Кеплера. Показательно, что писал он «Начала» геометрическим языком, не своим анализом: боялся, что современники не примут метод.

Последний персонаж этой истории появился гораздо позже. Когда в 1880-х годах разгорелась «война токов» между Эдисоном с его постоянным током и Вестингаузом с переменным, встал практический вопрос: какое число писать на приборе, если ток десятки раз в секунду меняет знак и его среднее значение равно нулю? Ответ — действующее (среднеквадратичное) значение: тот постоянный ток, который выделял бы на том же сопротивлении столько же тепла. Считается оно через интеграл от квадрата, и именно поэтому в розетке «220 вольт», хотя амплитуда напряжения там больше трёхсот. Инженерную математику переменного тока привёл в порядок Чарльз Протеус Штейнмец в 1893 году, и с тех пор на каждом вольтметре мира стоит результат интегрирования.

Универсальная схема: почему в физике всё время получается интеграл

Интуиция: умножение, которое сломалось

Начнём с самого простого случая, где никакого интеграла не нужно.

Машина едет с постоянной скоростью $60$ км/ч в течение $2$ часов. Путь равен $60 \cdot 2 = 120$ км. Здесь работает умножение: интенсивность × длительность = накопленная величина.

Груз тянут постоянной силой $50$ Н на расстояние $3$ м. Работа равна $50 \cdot 3 = 150$ Дж. Та же схема: сила × перемещение.

Через проводник течёт постоянный ток $2$ А в течение $10$ с. Прошедший заряд равен $2 \cdot 10 = 20$ Кл. Снова умножение.

Стержень однородный, линейная плотность $0{,}5$ кг/м, длина $4$ м. Масса равна $0{,}5 \cdot 4 = 2$ кг. Опять.

Во всех четырёх задачах структура одинаковая: есть интенсивность (сколько величины приходится на единицу чего-то) и есть протяжённость (сколько этого «чего-то» набралось). Перемножили — получили ответ.

А теперь сломаем схему. Скорость машины меняется: в пробке $10$ км/ч, на трассе $110$. Сила растёт по мере растяжения пружины. Ток пульсирует. Стержень неоднородный — с одного конца плотнее. Что теперь умножать на что? Значений интенсивности бесконечно много, и ни одно из них не является «тем самым».

Схема из четырёх шагов

Выход придумали ещё Архимед с Галилеем, а строго оформили Ньютон с Лейбницем. Он состоит в том, чтобы вернуть себе постоянство ценой измельчения.

Схема накопления (запомни её как алгоритм):

1. Разбей область накопления на $n$ маленьких кусочков. Кусочек — это малый отрезок времени $dt$, малый участок пути $dx$, тонкий слой жидкости, короткий отрезок стержня, малое приращение заряда.
2. Считай интенсивность постоянной на кусочке. Если функция непрерывна, а кусочек мал, ошибка от такой замены мала.
3. Умножь и сложи: вклад одного кусочка $\approx f(\xi_i)\Delta x_i$, вся величина $\approx \sum f(\xi_i)\Delta x_i$.
4. Устреми размер кусочка к нулю. Предел интегральных сумм (урок 147) и есть точный ответ: $$\text{Величина} = \int_a^b f(x)\,dx.$$

Обрати внимание: пункты 1-3 — это ровно определение интегральной суммы из урока 147, а пункт 4 — переход к пределу. Всё, что мы делаем в этом уроке, было построено там; сегодня мы только учимся узнавать эту конструкцию в физических задачах.

На практике шаги 1-3 сворачивают в одну строчку, которую физики называют «записать элемент». Выглядит это так:

Читается это буквально: «работа на малом перемещении $dx$ равна силе, умноженной на это перемещение; полная работа — сумма таких вкладов». Ход мысли всегда один: скажи, что взято за малый кусок, и посчитай вклад одного куска. Дальше знак интеграла ставится автоматически.

Три вопроса, на которые надо ответить в любой задаче

Когда перед тобой незнакомая физическая задача на накопление, ответь себе на три вопроса — и интеграл выпишется сам.

Вопрос 1: что накапливается? Путь, работа, заряд, масса, энергия, сила давления. Это и есть ответ задачи, размерность у него известна заранее.

Вопрос 2: по какой переменной идёт накопление? По времени, по координате, по глубине, по заряду. Эта переменная станет переменной интегрирования, и её пределы станут пределами интеграла.

Вопрос 3: чему равен вклад одного малого куска? Здесь вся физика задачи. На малом куске всё считается по школьной формуле для постоянных величин: путь $= v\,dt$, работа $= F\,dx$, заряд $= i\,dt$, масса $= \rho\,dx$.

Если на все три вопроса ответ есть — задача решена, осталась техника из урока 148.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Насос качает воду с переменной производительностью $q(t) = 2 + 0{,}5t$ литров в секунду. Сколько воды он накачает за первые $10$ секунд?

Отвечаем на три вопроса. Накапливается объём воды. Накопление идёт по времени, от $0$ до $10$ с. Вклад малого промежутка $dt$: за него производительность практически постоянна, значит натекло $q(t)\,dt$ литров.

Проверка здравым смыслом: производительность росла от $2$ до $7$ л/с, среднее значение $4{,}5$ л/с, за $10$ секунд — $45$ л. Совпало, потому что функция линейная и среднее совпадает с полусуммой концов. Ответ: $45$ литров.

Пример 2 (средний). Стержень длиной $2$ м имеет линейную плотность $\rho(x) = 1 + x$ кг/м, где $x$ — расстояние от левого конца. Найди массу.

Накапливается масса, накопление по координате $x$ от $0$ до $2$. Вклад кусочка $dx$: он настолько короткий, что плотность на нём постоянна, значит $dm = \rho(x)\,dx$.

Контроль: плотность меняется от $1$ до $3$ кг/м, однородный стержень с такой длиной весил бы от $2$ до $6$ кг. Ответ $4$ кг лежит внутри вилки ✅ Ответ: $4$ кг.

Пример 3 (сложный). Почему в этой схеме нельзя «просто взять среднюю интенсивность и умножить»?

Иногда можно, и это стоит понимать точно. Если интенсивность линейна, среднее значение равно полусумме значений на концах, и умножение работает — как в примере 1. Но стоит функции стать нелинейной, и приём ломается.

Возьмём скорость $v(t) = 3t^2$ м/с на промежутке от $0$ до $4$ с. Полусумма концов: $\frac{v(0)+v(4)}{2} = \frac{0 + 48}{2} = 24$ м/с, что дало бы путь $96$ м. Честный интеграл:

Ошибка в полтора раза. Настоящая средняя скорость равна $\frac{64}{4} = 16$ м/с, а не $24$. Причина простая: график $3t^2$ выпуклый вниз (урок 143), он лежит ниже хорды, соединяющей концы, поэтому и площадь под ним меньше площади трапеции. Полусумма концов — это формула трапеций, приближённый метод, а не точный ответ.

Мораль: среднее значение функции определяется через интеграл, а не наоборот. К этому мы вернёмся в отдельном разделе.

Почему это важно

Схема «разбей — посчитай на куске — сложи — устреми к нулю» — это не приём для решения задач из учебника, а способ, которым устроена вся прикладная математика. В численных методах её выполняют буквально: разбивают на конечное число кусков и складывают, не переходя к пределу, — так работают методы прямоугольников, трапеций и Симпсона. В физическом движке игры интервал времени между кадрами и есть тот самый $dt$, только он равен $\frac{1}{60}$ секунды, а не бесконечно малой величине. В обучении нейросети накопленная награда, накопленный градиент и накопленное энергопотребление считаются той же суммой.

Когда ты научишься видеть эту схему, интеграл перестанет быть «формулой из справочника» и станет тем, чем является: записью здравого смысла на языке, который умеет обращаться с непрерывностью.

Кинематика: путь и перемещение

Интуиция: спидометр и одометр

В машине два прибора, и они меряют разное. Спидометр показывает мгновенную скорость $v(t)$ — интенсивность. Одометр накапливает пройденное расстояние — интеграл от этой интенсивности. Одометр буквально считает интеграл: каждую долю секунды он прибавляет $v \cdot dt$.

В уроке 135 мы шли в другую сторону: по закону движения $s(t)$ находили скорость $v(t) = s'(t)$. Значит $s$ — первообразная для $v$, и по формуле Ньютона-Лейбница (урок 148)

Справа стоит изменение координаты, то есть перемещение. Это первая из двух формул раздела.

Перемещение (изменение координаты) за промежуток от $t_1$ до $t_2$:

$$\Delta s = \int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt.$$

Путь (длина пройденной траектории) за тот же промежуток:

$$S = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt.$$

Почему модуль: та же история, что с площадью

Если ты помнишь урок 149, различие тебе уже знакомо. Там интеграл от функции, уходящей под ось, давал площадь со знаком минус, и для честной геометрической площади приходилось брать модуль. Здесь ровно то же самое, только физика другая.

Отрицательная скорость означает движение назад. Интеграл от $v$ засчитывает такое движение со знаком минус — и правильно делает: тело действительно вернулось назад, координата уменьшилась. А вот одометр минусов не знает: он крутится вперёд независимо от направления движения. Поэтому путь — интеграл от модуля.

Алгоритм вычисления пути:

1. Найди корни уравнения $v(t) = 0$ внутри промежутка — это моменты разворота.
2. Разбей промежуток этими точками.
3. На каждом куске определи знак $v$.
4. Посчитай интеграл на каждом куске и сложи модули результатов.

Если тело всё время движется в одну сторону, знак $v$ не меняется, и путь равен модулю перемещения. Различие возникает ровно там, где есть разворот.

Скорость по ускорению

Второй этаж той же лестницы. Ускорение — производная скорости, значит скорость — первообразная ускорения:

Полная цепочка урока 135, прочитанная справа налево, теперь выглядит так:

Каждое интегрирование требует одного начального условия — это в точности бухгалтерия констант из урока 145: два интегрирования — две константы — два условия ($v(0)$ и $s(0)$).

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Тело движется со скоростью $v(t) = 3t^2 + 2$ м/с. Найди перемещение за первые $4$ секунды.

Скорость положительна всегда (сумма неотрицательного и двойки), значит путь и перемещение совпадают.

Ответ: $72$ м.

Пример 2 (средний). Тело движется со скоростью $v(t) = 6 - 2t$ м/с. Найди перемещение и путь за первые $5$ секунд.

Сначала перемещение — интеграл без всяких оговорок:

Теперь путь. Ищем разворот: $6 - 2t = 0$ при $t = 3$ с. До трёх секунд скорость положительна, после — отрицательна, тело поехало назад. Разбиваем:

Путь — сумма модулей: $S = 9 + 4 = 13$ м. Перемещение — алгебраическая сумма: $9 - 4 = 5$ м ✅ сходится с прямым счётом.

Физическая картина: тело проехало $9$ метров вперёд, остановилось, вернулось на $4$ метра. Одометр показал $13$, а от старта тело оказалось в пяти метрах. Ответ: перемещение $5$ м, путь $13$ м.

Пример 3 (сложный). Автомобиль тормозит: $v(t) = 20 - 4t$ м/с. Найди тормозной путь и проверь ответ школьной формулой.

Ловушка здесь в пределах интегрирования. Автомобиль останавливается при $20 - 4t = 0$, то есть при $t = 5$ с, и дальше не едет назад — тормоза не разгоняют машину в обратную сторону. Значит интегрировать надо до момента остановки, а не до какого-то заданного времени.

Проверка известной формулой равнозамедленного движения: $S = \dfrac{v_0^2}{2a} = \dfrac{400}{8} = 50$ м ✅

Если бы кто-то механически подставил, скажем, $t$ от $0$ до $8$, интеграл дал бы $160 - 128 = 32$ м — меньше реального тормозного пути, потому что формула честно «поехала бы назад» после остановки. Физика в задачу входит не только через подынтегральную функцию, но и через пределы. Ответ: $50$ м.

Почему это важно

Пара «путь / перемещение» — первый случай, когда одна и та же математическая конструкция отвечает на два разных вопроса, и правильный ответ выбирается физикой, а не формулой. Инерциальная навигация в смартфоне, в дроне и в подводной лодке устроена ровно на этой цепочке: акселерометр меряет $a$, процессор интегрирует дважды и получает координату. Именно поэтому такая навигация «плывёт»: маленькая систематическая ошибка в $a$ после двойного интегрирования растёт как $t^2$, и через несколько минут положение уезжает на десятки метров. Двойной интеграл усиливает шум — это одна из главных практических неприятностей всей прикладной кинематики.

Работа переменной силы

Интуиция: почему нельзя просто умножить

Работа постоянной силы, направленной вдоль перемещения, равна $A = F\cdot s$. Но силы в природе редко постоянны. Пружина сопротивляется тем сильнее, чем больше растянута. Сила тяготения слабеет с высотой. Сила давления газа в цилиндре двигателя меняется с ходом поршня.

Применяем схему. Разобьём путь от $x_1$ до $x_2$ на малые отрезки $dx$. На таком отрезке сила почти не меняется, работа равна $dA = F(x)\,dx$. Складываем:

Работа переменной силы вдоль прямой:

$$A = \int_{x_1}^{x_2} F(x)\,dx.$$

Геометрически это площадь под графиком силы (урок 149). Постоянная сила даёт прямоугольник, сила Гука — треугольник, произвольная сила — криволинейную трапецию.

Пружина: откуда берётся $\frac{kx^2}{2}$

Закон Гука: $F(x) = kx$, где $x$ — деформация, $k$ — жёсткость (Н/м). Считаем работу по растяжению пружины от нуля до $x_0$:

Полученное выражение совпадает с формулой потенциальной энергии упругой деформации $E_p = \frac{kx^2}{2}$, которую в школьной физике дают готовой. И это не совпадение, а определение: потенциальная энергия — это и есть работа, которую надо совершить, чтобы привести систему в данное состояние. Формула не «придумана», она проинтегрирована.

Проверим на числах. Пружина с $k = 200$ Н/м, растягиваем на $10$ см $= 0{,}1$ м:

А теперь тонкость, которая ломает интуицию новичка. Растянем ту же пружину со второго дециметра на третий, то есть от $0{,}1$ до $0{,}2$ м:

Тот же десятисантиметровый ход, а работа втрое больше. Причина в том, что во второй раз пружина уже натянута, и сила на всём участке больше. Наблюдение «одинаковое растяжение стоит разной работы» — чисто интегральное: важна не длина хода, а разность квадратов деформаций.

Подъём на большую высоту: переменное $g$

Формула $A = mgh$ верна, пока $g$ можно считать постоянной. На высоте нескольких сотен километров это уже неправда. Закон всемирного тяготения даёт

где $r$ — расстояние от центра Земли, $GM \approx 3{,}986\cdot10^{14}$ м³/с², радиус Земли $R \approx 6371$ км.

Работа по подъёму груза массой $m$ с поверхности на высоту $h$:

Считаем для спутника массой $m = 1000$ кг и высоты МКС $h = 400$ км:

Сравним с наивной оценкой $mgh = 1000 \cdot 9{,}8 \cdot 4\cdot10^5 = 3{,}92\cdot10^9$ Дж. Формула $mgh$ завысила ответ примерно на $6\%$ — потому что она считает, будто $g$ всю дорогу равно $9{,}8$, а на четырёхстах километрах оно уже $8{,}69$ м/с². На таких высотах шестью процентами ещё можно пренебречь в прикидке, но для расчёта топлива — нельзя.

Откачка воды: самый поучительный пример

Эта задача учит главному навыку темы — выбору того, что считать малым куском. Здесь малый кусок — не отрезок пути одного тела, а тонкий горизонтальный слой жидкости. Разные слои поднимают на разную высоту, и именно поэтому получается интеграл.

Пусть цилиндрический бак радиуса $R = 1$ м и высоты $H = 4$ м полон воды, и её надо выкачать через верхний край. Плотность воды $\rho = 1000$ кг/м³.

Введём координату $y$ — высоту над дном. Рассмотрим слой на высоте $y$ толщиной $dy$:

• его объём $dV = S\,dy$, где $S = \pi R^2$ — площадь дна;
• его масса $dm = \rho S\,dy$;
• поднять его надо на высоту $(H - y)$ — от его текущего уровня до края;
• работа по подъёму этого слоя $dA = \rho g S (H-y)\,dy$.

Складываем по всем слоям:

Численно: $A = 1000\cdot 9{,}8\cdot \pi\cdot 1^2\cdot \frac{16}{2} \approx 246{\,}300$ Дж $\approx 246$ кДж.

Красивая проверка результата: $\rho S H = m$ — вся масса воды, а $\frac{H}{2}$ — высота середины бака. Значит $A = mg\cdot\frac{H}{2}$: работа такая, как будто вся вода сосредоточена в центре масс и поднята оттуда. Это общий физический факт, и интеграл его подтвердил.

Что происходит, если бак не цилиндрический? Меняется только площадь сечения: она становится функцией $S(y)$, и интеграл принимает вид $A = \rho g\int_0^H S(y)(H-y)\,dy$. Вся физика по-прежнему в одной строчке «вклад слоя».

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Сила $F(x) = 6x^2$ Н действует вдоль оси. Найди работу на участке от $x=0$ до $x=2$ м.

Контроль порядка величины: сила меняется от $0$ до $24$ Н на двух метрах, максимально возможная работа $24\cdot2 = 48$ Дж, минимально возможная $0$. Ответ $16$ Дж внутри вилки ✅ Ответ: $16$ Дж.

Пример 2 (средний). Пружину жёсткостью $k$ растянули на $x_0$. Какую долю всей работы составила работа на первой половине растяжения?

Полная работа $\frac{kx_0^2}{2}$. Работа на первой половине:

Отношение $\dfrac{A_1}{A} = \dfrac{kx_0^2/8}{kx_0^2/2} = \dfrac14$.

Ответ: четверть. Первая половина хода стоит $25\%$ работы, вторая — $75\%$. Именно поэтому эспандер «идёт легко» вначале и тяжело в конце: работа растёт как квадрат деформации.

Пример 3 (сложный). Прямоугольный бассейн $4 \times 5$ м, глубина $2$ м, полон воды. Найди работу по откачиванию всей воды через край.

Слой на высоте $y$ от дна: площадь $S = 20$ м² постоянна, поднять надо на $(2-y)$.

Проверка через центр масс: масса воды $m = 1000\cdot 40 = 40{\,}000$ кг, центр масс на высоте $1$ м, поднять его надо на $1$ м: $A = 40{\,}000\cdot 9{,}8\cdot 1 = 392{\,}000$ Дж ✅ Ответ: $392$ кДж.

Почему это важно

Работа — величина, ради которой интеграл был изобретён в физике. Через неё определяются все виды энергии: потенциальная энергия пружины, гравитационная энергия, энергия конденсатора, работа газа в термодинамическом цикле (площадь внутри цикла на $PV$-диаграмме — это буквально интеграл). Инженер, считающий двигатель, лифт, катапульту или насос, каждый раз ставит один и тот же интеграл $\int F\,dx$, меняя только вид $F$.

И отдельно стоит запомнить приём с горизонтальными слоями. Он работает не только для откачки: так же считают энергию, нужную для подъёма грунта в карьере, теплоту нагрева неоднородного тела и работу по втягиванию свисающего каната. Каждый раз ключ один — правильно назвать малый кусок.

Электричество: заряд, энергия и действующее значение

Интуиция: ток — это скорость заряда

Определение силы тока: $i = \dfrac{dq}{dt}$ — скорость, с которой заряд протекает через сечение. То есть ток — производная заряда по времени, а заряд — первообразная тока:

Заряд, прошедший за время от $t_1$ до $t_2$:

$$q = \int_{t_1}^{t_2} i(t)\,dt.$$

Полная копия кинематической цепочки, только вместо координаты — заряд, вместо скорости — ток. Это типично: физика переиспользует одну математическую конструкцию в десятке разных мест.

Аналогично с энергией. Мощность — скорость передачи энергии, $P = \dfrac{dW}{dt}$, значит

Энергия (работа тока) за промежуток:

$$W = \int_{t_1}^{t_2} P(t)\,dt.$$

Если мощность постоянна, получается школьное $W = Pt$. Именно так считает счётчик электроэнергии: киловатт-час — это интеграл мощности по времени за месяц.

Разбор: заряд при затухающем токе

Пусть через цепь идёт затухающий ток $i(t) = 2e^{-t/5}$ А (разряд конденсатора через резистор). Заряд за первые $10$ секунд:

Здесь работает линейная подстановка из урока 145: первообразная для $e^{-t/5}$ равна $-5e^{-t/5}$.

Обрати внимание на структуру ответа: если бы мы ждали бесконечно долго, множитель $(1-e^{-2})$ стал бы $(1-0) = 1$ и заряд составил бы ровно $10$ Кл. За два «времени релаксации» протекло $86{,}5\%$ от всего возможного заряда — знакомая любому электронщику цифра.

Энергия конденсатора: снова «половина квадрата»

Красивая перекличка с пружиной. Напряжение на конденсаторе связано с зарядом: $u = \frac{q}{C}$. Чтобы перенести на обкладку следующую малую порцию заряда $dq$, нужна работа $dW = u\,dq = \frac{q}{C}\,dq$. Здесь малый кусок — приращение заряда, а не времени и не расстояния.

Та же структура, что у пружины ($\frac{kx^2}{2}$), и по той же причине: интенсивность растёт линейно с накопленной величиной. Заряжать пустой конденсатор легко, почти заряженный — трудно, ровно как растягивать пружину.

Действующее значение переменного тока: откуда $\frac{1}{\sqrt2}$

Это самый содержательный сюжет раздела. В розетке ток меняется по синусоиде:

где $T = 0{,}02$ с (частота $50$ Гц). Среднее значение такого тока за период равно нулю: половину периода он течёт в одну сторону, половину в другую, и интеграл сокращается. Но лампочка при этом греется, и утюг работает — значит энергия передаётся. Как её измерить?

Ключ — в том, что тепловая мощность зависит от квадрата тока: $P = i^2R$. Квадрат уничтожает знак, и отрицательные полуволны греют так же хорошо, как положительные. Считаем среднюю мощность за период по схеме накопления: полная выделенная энергия — интеграл мощности, средняя мощность — эта энергия, делённая на период.

Ключевой интеграл берётся понижением степени (формула из урока 99, техника из урока 146):

Второе слагаемое обнулилось: $2\omega T = 4\pi$, а синус от $4\pi$ равен нулю, как и от нуля. Остаётся ровно половина периода. Значит

Теперь определение. Действующим (среднеквадратичным, RMS) значением называют такой постоянный ток $I$, который выделял бы на том же сопротивлении ту же среднюю мощность: $I^2R = \frac{I_0^2R}{2}$, откуда

Общая формула под корнем и есть определение RMS: корень из среднего значения квадрата. Множитель $\frac{1}{\sqrt2}$ — не универсальная константа, а результат конкретно для синусоиды; у прямоугольного сигнала он равен $1$, у треугольного $\frac{1}{\sqrt3}$.

Практическое следствие, которое стоит помнить. Когда говорят «в розетке 220 вольт», имеют в виду действующее значение. Амплитуда там

и изоляцию приборов рассчитывают именно на триста с лишним вольт, а не на двести двадцать.

Ещё одна деталь для полноты картины. Среднее значение модуля тока (то, что меряет простой выпрямительный прибор) равно

и это не то же самое, что $0{,}707\,I_0$. Отношение $\frac{\pi}{2\sqrt2} \approx 1{,}111$ называется коэффициентом формы, и дешёвые мультиметры домножают на него измеренное среднее, чтобы показать «действующее» — а на несинусоидальном сигнале честно врут.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Ток меняется по закону $i(t) = 3t^2$ А. Какой заряд пройдёт за первые $2$ секунды?

Ответ: $8$ Кл.

Пример 2 (средний). Амплитуда переменного тока $I_0 = 10$ А, сопротивление нагрузки $R = 20$ Ом. Найди действующее значение тока и среднюю мощность.

Действующее значение: $I = \frac{10}{\sqrt2} \approx 7{,}07$ А.

Средняя мощность: $\bar P = I^2R = 50\cdot 20 = 1000$ Вт.

Проверка второй формулой: $\bar P = \frac{I_0^2R}{2} = \frac{100\cdot20}{2} = 1000$ Вт ✅

Ответ: $7{,}07$ А и $1$ кВт. Заметь: если бы кто-то подставил в мощность амплитуду вместо действующего значения, получилось бы $2$ кВт — ошибка ровно вдвое.

Пример 3 (сложный). Мощность прибора убывает по закону $P(t) = 500e^{-t/20}$ Вт. Сколько энергии он потребит за первую минуту и какова средняя мощность за это время?

Численно: $e^{-3} \approx 0{,}0498$, значит $W \approx 10{\,}000\cdot0{,}9502 \approx 9502$ Дж.

Средняя мощность: $\bar P = \frac{W}{60} \approx 158{,}4$ Вт.

Контроль: мощность падала от $500$ до $500e^{-3} \approx 25$ Вт, средняя обязана лежать между ними ✅ И она заметно ближе к нижнему концу, потому что экспонента падает быстро в самом начале.

Ответ: $\approx 9{,}5$ кДж, средняя мощность $\approx 158$ Вт.

Почему это важно

Электротехника — область, где интеграл встроен в приборы. Счётчик электроэнергии интегрирует мощность. Кулонметр интегрирует ток. Индикатор заряда батареи в ноутбуке и телефоне работает методом «кулоновского счёта»: он непрерывно интегрирует ток, входящий и выходящий из аккумулятора, — и накопленная ошибка интегрирования как раз та причина, по которой индикатор со временем начинает врать и его приходится калибровать полным циклом заряд-разряд.

А действующее значение — редкий пример того, как интеграл от квадрата попадает в бытовой обиход. Число «220» на розетке получено интегрированием, и почти никто об этом не задумывается.

Масса, центр масс и момент инерции

Интуиция: неоднородное тело как набор тонких кусков

Однородный стержень: масса $= \rho L$, где $\rho$ — линейная плотность в кг/м. Неоднородный: плотность своя в каждой точке, умножать нечего. Схема накопления даёт немедленный ответ — режем стержень на короткие отрезки $dx$, на каждом плотность постоянна:

Масса стержня с линейной плотностью $\rho(x)$ на отрезке $[a;b]$:

$$m = \int_a^b \rho(x)\,dx.$$

Это самый прозрачный интеграл в физике: плотность — «масса на единицу длины», умножаем на длину кусочка, складываем.

Центр масс: интеграл, делённый на интеграл

Центр масс — точка, в которой тело уравновешивается. Для двух грузиков на невесомой линейке школьная формула выглядит так:

В числителе — сумма произведений «масса × координата» (эти произведения называются статическими моментами), в знаменателе — полная масса. Для непрерывного тела суммы превращаются в интегралы:

Центр масс стержня:

$$x_c = \frac{\displaystyle\int_a^b x\,\rho(x)\,dx}{\displaystyle\int_a^b \rho(x)\,dx}.$$

Первая проверка любой такой формулы — однородный случай. Пусть $\rho = \text{const}$ на $[0;L]$. Тогда

Середина стержня, как и обязано быть ✅ Плотность сократилась — центр масс однородного тела от плотности не зависит, только от геометрии.

Теперь неоднородный. Стержень длиной $2$ м с $\rho(x) = 1+x$ кг/м (массу мы уже считали, $m = 4$ кг):

Середина стержня — $1$ м, а центр масс сместился к $1{,}17$ м, то есть вправо, к более плотному концу ✅ Физика подтверждает арифметику.

Момент инерции: почему в формуле квадрат

Момент инерции — мера «нежелания» тела раскручиваться, вращательный аналог массы. Для точечной массы на расстоянии $r$ от оси $I = mr^2$; для протяжённого тела складываем вклады кусочков:

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через начало координат перпендикулярно стержню:

$$I = \int x^2 \rho(x)\,dx.$$

Квадрат расстояния — принципиальная деталь. Он означает, что удалённые от оси части вносят непропорционально большой вклад: кусок вдвое дальше от оси считается вчетверо весомее. Отсюда конструкция маховиков (всю массу выносят на обод) и трюк фигуриста, который прижимает руки и ускоряет вращение.

Ось через край. Однородный стержень длины $L$, масса $m$, линейная плотность $\rho = \frac{m}{L}$. Ось на левом конце:

Ось через центр. Ставим начало координат в середину, интегрируем от $-\frac{L}{2}$ до $\frac{L}{2}$:

Оба результата — классика, которую в справочниках дают готовой. И они отличаются в четыре раза: $\frac{mL^2}{3}$ против $\frac{mL^2}{12}$.

Почему момент инерции вообще зависит от оси? Потому что в определении стоит расстояние до оси, а оно у каждой точки своё при каждом выборе оси. Масса — свойство тела; момент инерции — свойство пары «тело + ось». Раскрутить стержень за конец вчетверо труднее, чем за середину, и это ощущается физически: молоток удобно крутить в руке около центра и почти невозможно — держа за самый край.

Между двумя ответами есть точная связь. Разность равна

то есть $m$, умноженная на квадрат расстояния между осями. Это частный случай теоремы Гюйгенса-Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен моменту относительно параллельной оси через центр масс плюс $md^2$. Проверим на числах: $m = 3$ кг, $L = 2$ м. Через центр: $\frac{3\cdot4}{12} = 1$ кг·м². Через край: $\frac{3\cdot4}{3} = 4$ кг·м². По теореме: $1 + 3\cdot1^2 = 4$ ✅

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Стержень длиной $3$ м имеет плотность $\rho(x) = 2x$ кг/м. Найди массу.

Ответ: $9$ кг. Контроль: средняя плотность такого стержня равна $\frac{0+6}{2} = 3$ кг/м (плотность линейна), масса $3\cdot3 = 9$ кг ✅

Пример 2 (средний). Для того же стержня найди центр масс.

Ответ: $2$ м от лёгкого конца, то есть на двух третях длины. Общий результат для линейно растущей от нуля плотности: центр масс всегда на $\frac{2}{3}L$ — там же, где центр тяжести треугольника, и это не случайность: график плотности здесь и есть треугольник.

Пример 3 (сложный). Стержень длиной $2$ м имеет плотность $\rho(x) = x^2$ кг/м. Найди массу, центр масс и момент инерции относительно левого конца.

Масса:

Статический момент и центр масс:

Момент инерции:

Проверки. Центр масс $1{,}5$ м лежит правее середины ($1$ м) — верно, плотность растёт вправо ✅ Момент инерции: если бы вся масса $2{,}67$ кг сидела в центре масс, вышло бы $2{,}67\cdot1{,}5^2 = 6$ кг·м², а честный ответ $6{,}4$ — чуть больше. Так и должно быть: разброс массы вокруг центра всегда добавляет к моменту инерции ✅

Ответ: $m = \frac83$ кг, $x_c = 1{,}5$ м, $I = 6{,}4$ кг·м².

Почему это важно

Геометрия масс — это то, из чего состоит инженерный расчёт любой вращающейся или изгибаемой конструкции. Момент инерции определяет, как раскручивается маховик, вал, колесо, ротор турбины; его аналог для сечения балки (там интегрируется площадь, а не масса) определяет жёсткость на изгиб — по той же причине двутавровая балка выносит материал подальше от центральной оси. Центр масс определяет устойчивость: автомобиль с высоким центром масс опрокидывается, самолёт с центровкой за допустимой границей неуправляем.

И ещё одно, важное для тех, кто идёт в ML. Формула $x_c = \frac{\int x\rho\,dx}{\int \rho\,dx}$ — это в точности формула математического ожидания: если $\rho$ считать плотностью вероятности (а знаменатель тогда равен единице после нормировки из урока 145), то $x_c = \mathbb{E}[X]$. А момент инерции относительно центра масс — в точности дисперсия. Механика и теория вероятностей пользуются одними и теми же интегралами и даже одним и тем же словом «момент». Это не аналогия, а совпадение конструкций.

Давление жидкости на вертикальную стенку

Интуиция: почему нельзя умножить давление на площадь

Гидростатическое давление на глубине $x$ равно $p = \rho g x$: чем глубже, тем сильнее давит столб жидкости. На горизонтальное дно давление одинаково во всех точках, и сила равна $p\cdot S$ — обычное умножение.

А на вертикальной стенке давление разное на разной глубине: у поверхности оно нулевое, у дна максимальное. Умножать нечего — и появляется интеграл. Малый кусок здесь — горизонтальная полоска стенки на глубине $x$ толщиной $dx$: внутри неё глубина практически постоянна, значит и давление постоянно.

Пусть ширина стенки на глубине $x$ равна $b(x)$. Тогда:

• площадь полоски $dS = b(x)\,dx$;
• давление на этой глубине $p = \rho g x$;
• сила на полоску $dF = \rho g x\, b(x)\,dx$.

Сила давления жидкости на вертикальную стенку:

$$F = \rho g\int_0^H x\,b(x)\,dx,$$

где $H$ — глубина, $b(x)$ — ширина стенки на глубине $x$.

Прямоугольный шлюз

Ширина постоянна: $b(x) = b$. Тогда

Численно для $b = 3$ м и $H = 4$ м:

Двадцать четыре тонны силы на щит три на четыре метра.

Обрати внимание на структуру ответа: сила растёт как квадрат глубины. Углубление шлюза вдвое учетверяет нагрузку — вот почему плотины делают клиновидными, толстыми у основания.

Полезная перекличка с предыдущим разделом: разделим и умножим на $bH$ (площадь стенки):

где $p_{\text{ср}} = \rho g \frac{H}{2}$ — давление на глубине центра стенки. Для прямоугольника интеграл эквивалентен «взять давление в центре и умножить на площадь». Для стенки другой формы это уже неверно, потому что центр площади и «центр давления» расходятся.

Кстати, о точке приложения. Она находится там, где сосредоточен момент силы, и считается той же дробью, что и центр масс:

Для нашего шлюза это $\frac{8}{3} \approx 2{,}67$ м — не середина, а две трети глубины. Петли и упоры ставят с учётом именно этой точки.

Треугольный шлюз

Здесь ширина зависит от глубины, и задача становится по-настоящему интегральной. Пусть шлюз имеет форму треугольника основанием $b_0 = 6$ м на поверхности воды и вершиной внизу, на глубине $H = 3$ м. Ширина линейно убывает с глубиной:

Проверим краевые значения: при $x=0$ ширина $6$ м ✅, при $x = 3$ ширина $0$ ✅

В скобках: $\frac92 - \frac{27}{9} = 4{,}5 - 3 = 1{,}5$. Итого

Если развернуть тот же треугольник вершиной вверх (основание $b_0$ на дне), ответ будет другим — большая часть площади окажется на большой глубине, и сила вырастет. Это разбирается в задании 24, и разница получается ровно двукратной: та же площадь, та же глубина, разная сила. Форма стенки решает.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Аквариум шириной $1{,}2$ м заполнен водой на глубину $0{,}5$ м. Найди силу давления на боковую стенку.

Ответ: $1470$ Н, около $150$ килограмм-сил. Стекло аквариума держит на себе полтора центнера — поэтому оно такое толстое.

Пример 2 (средний). Во сколько раз вырастет сила давления на прямоугольную стенку, если уровень воды поднять с $2$ до $3$ метров?

Сила пропорциональна $H^2$, значит отношение равно $\left(\frac32\right)^2 = 2{,}25$.

Ответ: в $2{,}25$ раза. Полутораразовый подъём уровня даёт более чем двукратный рост нагрузки — типичный пример того, как квадратичная зависимость обманывает интуицию.

Пример 3 (сложный). Стенка имеет форму полукруга радиуса $R = 2$ м, диаметр лежит на поверхности воды, полукруг уходит вниз. Найди силу давления.

Ширина на глубине $x$ — это хорда полукруга: $b(x) = 2\sqrt{R^2 - x^2}$.

Замена переменной (урок 146): $u = R^2 - x^2$, тогда $du = -2x\,dx$, при $x=0$ имеем $u = R^2$, при $x=R$ имеем $u = 0$:

Итого $F = \rho g\frac{2R^3}{3} = 1000\cdot9{,}8\cdot\frac{16}{3} \approx 52{\,}267$ Н $\approx 52{,}3$ кН.

Ответ: $\approx 52{,}3$ кН. Проверка порядка: площадь полукруга $\frac{\pi R^2}{2} \approx 6{,}28$ м², среднее давление примерно на глубине $0{,}85$ м даёт около $8300$ Па, произведение $\approx 52$ кН ✅

Почему это важно

Расчёт гидростатической нагрузки — обязательная часть проектирования плотин, шлюзов, резервуаров, корпусов судов и подводных аппаратов, стенок бассейнов и аквариумов. Квадратичный рост силы с глубиной — причина, по которой глубоководный аппарат стоит на порядок дороже мелководного, и по которой прорыв плотины у основания катастрофичен, а перелив через гребень — нет.

Среднее значение физической величины

Интуиция: средняя скорость — это не среднее скоростей

Слово «средний» в быту и в физике значит разное, и путаница здесь стоит людям баллов на экзаменах и ошибок в расчётах.

Средняя скорость по определению — это весь путь, делённый на всё время. Через интеграл:

Это частный случай общего определения из урока 147:

Среднее значение функции $f$ на отрезке $[a;b]$:

$$\bar f = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

Геометрически: высота прямоугольника с основанием $[a;b]$, площадь которого равна площади под графиком.

Теорема о среднем, которую ты видел в уроке 147, утверждает, что для непрерывной функции это значение обязательно где-нибудь достигается: найдётся точка $c$, в которой $f(c) = \bar f$. Физически — если средняя скорость за поездку была $60$ км/ч, то был момент, когда спидометр показывал ровно $60$.

Теперь разница с «средним арифметическим значений». Вернёмся к $v(t) = 3t^2$ на $[0;4]$:

А полусумма начальной и конечной скоростей равна $\frac{0+48}{2} = 24$ м/с. Полтора раза разницы, и правильный ответ — шестнадцать. Причина в том, что тело провело много времени на малых скоростях и мало — на больших: медленные значения «весят» больше, потому что длились дольше.

Ещё резче различие проявляется в классической задаче: половину пути машина ехала со скоростью $60$ км/ч, вторую половину — со скоростью $40$. Средняя скорость равна не $50$, а

Медленный участок занял больше времени, поэтому он тянет среднее вниз. Правило простое: усредняй по той переменной, по которой идёт накопление. Средняя скорость усредняется по времени, а не по расстоянию.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Найди среднее значение функции $f(x) = x^2$ на отрезке $[0;3]$.

Ответ: $3$. Значение достигается в точке $x = \sqrt3 \approx 1{,}73$ — ближе к правому концу, потому что квадрат растёт с ускорением.

Пример 2 (средний). Мощность прибора меняется как $P(t) = 100 + 40t$ Вт в течение $10$ секунд. Найди потреблённую энергию и среднюю мощность.

Функция линейна, поэтому среднее совпало с полусуммой концов: $\frac{100+500}{2} = 300$ ✅ Ответ: $3$ кДж и $300$ Вт.

Пример 3 (сложный). Найди среднее значение мощности $P(t) = P_0\sin^2(\omega t)$ за период $T = \frac{2\pi}{\omega}$.

Именно эта функция описывает мгновенную мощность в цепи переменного тока. Интеграл мы уже брали в электрическом разделе:

Ответ: ровно половина амплитудного значения. Отсюда и вся история с $\frac{1}{\sqrt2}$: средний квадрат синуса равен $\frac12$, корень из него — $\frac{1}{\sqrt2}$. Красивый результат в одну строчку, который держит на себе всю энергетику переменного тока.

Почему это важно

Среднее по времени — это то, что показывают почти все измерительные приборы и почти все дашборды. Средняя нагрузка сервера, средняя скорость доставки, средняя температура за сутки, среднее энергопотребление — везде под капотом стоит $\frac{1}{T}\int f\,dt$. И везде ждёт одна и та же ловушка: усреднение по неправильной переменной. Средняя скорость по участкам пути, средняя цена по товарам вместо по объёму продаж, средняя задержка по серверам вместо по запросам — все эти ошибки одной природы, и все лечатся вопросом «а по чему, собственно, идёт накопление?».

Размерность как инструмент самопроверки

Интуиция: единицы измерения не врут

Есть способ проверить правильность поставленного интеграла, не вычисляя его. Он занимает пятнадцать секунд, ловит большинство структурных ошибок и работает всегда. Называется он проверкой размерности.

Основное наблюдение простое. Под интегралом всегда стоит произведение двух вещей:

и размерности этих двух множителей обязаны перемножиться в размерность ответа. Если не перемножились — интеграл поставлен неверно, и считать его бессмысленно.

Разберём таблицу всех формул урока с этой точки зрения.

Последнюю строчку стоит разобрать подробно, потому что она самая нагруженная:

Метры сократились ровно так, чтобы остался ньютон. Если бы кто-то забыл множитель $x$ (то есть перепутал давление с плотностью силы), метров осталось бы на один меньше, и ответ получил бы размерность Н/м — сразу видно, что это не сила.

Как этим пользоваться на практике

Правило 1: сначала размерность, потом вычисления. Записал интеграл — прогони единицы. Это дешевле, чем найти ошибку после трёх строк первообразной.

Правило 2: размерность ловит забытый или лишний множитель. Самые частые ошибки темы — забыть $\rho$, забыть $g$, забыть $x$ под интегралом давления, забыть площадь сечения в задаче про откачку. Каждая из них меняет размерность и потому обнаруживается.

Правило 3: размерность не ловит числовые коэффициенты. Если ты перепутал $\frac{H^2}{2}$ и $H^2$, размерность промолчит. Против таких ошибок работает другой инструмент — проверка предельных и частных случаев.

Правило 4: проверяй частные случаи. Формула для неоднородного тела обязана превращаться в школьную при $\rho = \text{const}$. Формула работы переменной силы — в $F\cdot s$ при $F = \text{const}$. Формула подъёма с переменным $g$ — в $mgh$ при малых $h$. Если предельный переход не работает, ошибка в общей формуле.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Студент записал массу стержня как $m = \int_0^L \rho(x)x\,dx$. Найди ошибку, не считая интеграл.

Размерность: $\frac{\text{кг}}{\text{м}}\cdot\text{м}\cdot\text{м} = \text{кг}\cdot\text{м}$. Это не килограммы, а килограмм-метры — размерность статического момента, а не массы.

Ответ: лишний множитель $x$; правильно $m = \int_0^L\rho(x)\,dx$. Ошибка нашлась за пять секунд, без единого вычисления.

Пример 2 (средний). Проверь размерностью формулу работы по растяжению пружины $A = \frac{kx^2}{2}$.

Жёсткость измеряется в Н/м, деформация в метрах:

Ответ: размерность верна, это джоули. Заодно видно, почему в формуле именно квадрат: одного множителя $x$ не хватило бы до джоулей.

Пример 3 (сложный). Проверь, что формула $A = GMm\left(\frac1R - \frac{1}{R+h}\right)$ действительно даёт джоули, если $GM$ измеряется в м³/с².

Последний переход: $\text{Н} = \frac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{с}^2}$, поэтому $\frac{\text{кг}\cdot\text{м}^2}{\text{с}^2} = \text{Н}\cdot\text{м}$.

Ответ: формула размерно корректна. Дополнительная проверка частным случаем: при малом $h$ разность дробей приблизительно равна $\frac{h}{R^2}$, и выражение превращается в $\frac{GMm}{R^2}h = mgh$, поскольку $g = \frac{GM}{R^2}$ ✅ Обе проверки пройдены — формуле можно доверять.

Почему это важно

Анализ размерностей — стандартный рабочий инструмент физика и инженера, а не школьная формальность. На нём построен метод подобия, с помощью которого модель самолёта в аэродинамической трубе заменяет настоящий самолёт; на нём стоит знаменитая П-теорема Бэкингема. В программировании ту же идею воплощают библиотеки единиц измерения (pint в Python, типы-обёртки в физических движках): они не дают сложить метры с секундами на уровне типов. А самый известный урок на эту тему — потеря аппарата Mars Climate Orbiter в 1999 году: одна команда считала в фунт-силах, другая в ньютонах, проверки размерности между модулями не было, аппарат сгорел в атмосфере Марса. Ущерб — около $327$ миллионов долларов за пропущенную проверку единиц.

Накопление величин в машинном обучении

Физика в машинном обучении присутствует не метафорически, а буквально: половина оптимизаторов написана на языке механики, среды для обучения агентов численно интегрируют уравнения движения, а целый класс генеративных моделей устроен как восстановление траектории по известной скорости. Разберём это по частям.

Momentum: накопленный импульс градиентного спуска

Обычный градиентный спуск делает шаг против градиента: $\theta_{k+1} = \theta_k - \eta\nabla L(\theta_k)$. Метод с моментом добавляет память о прошлых шагах:

Здесь $v$ — накопленная «скорость», а $\beta \approx 0{,}9$ — коэффициент, играющий роль трения. Физическая интерпретация прямая: шарик катится по ландшафту функции потерь, градиент играет роль силы, $v$ — скорости, а обновление $\theta$ — интегрирования скорости по времени. Это ровно кинематическая цепочка из первого раздела урока, записанная в дискретном виде: сила → скорость → координата, два накопления подряд.

Раскроем рекурсию, чтобы увидеть интеграл:

Это взвешенная сумма всех прошлых градиентов с экспоненциально убывающими весами — дискретный аналог интеграла $\int_0^t e^{-(t-s)/\tau}\nabla L(s)\,ds$. Накопление с забыванием: старые вклады не исчезают мгновенно, а затухают. Практический эффект — сглаживание шума мини-батчей и способность проскакивать мелкие локальные ямки за счёт накопленной «инерции».

Adam устроен так же, только накапливает две величины: первый момент (среднее градиента) и второй момент (среднее квадрата градиента) — и обе с экспоненциальным забыванием. Второй момент здесь родственник RMS из электрического раздела: в названии RMSprop буквы RMS означают ровно то же самое, что на вольтметре, — root mean square, корень из среднего квадрата. Оптимизатор делит шаг на этот корень, чтобы уравнять масштабы разных параметров.

PID-регулятор: буква I — это интеграл

В системах управления (робототехника, дроны, термостаты, круиз-контроль, автопилоты) классический регулятор считает управляющий сигнал по ошибке $e(t)$ — расхождению между желаемым и текущим состоянием:

Три слагаемых: пропорциональное (реакция на текущую ошибку), интегральное (реакция на накопленную ошибку) и дифференциальное (реакция на скорость изменения ошибки). Интегральная часть нужна для устранения статической ошибки: если дрон висит чуть ниже заданной высоты, пропорциональный член даёт маленькую постоянную добавку тяги, которой не хватает, а интеграл этой маленькой ошибки со временем накапливается и дожимает систему до цели.

У этого есть и обратная сторона, знакомая любому, кто настраивал регуляторы: integral windup. Если исполнительный механизм упёрся в предел (мотор уже на максимуме), ошибка продолжает интегрироваться, накопленная сумма разрастается, и когда препятствие исчезает, система резко перелетает цель. Лечится это ограничением накопленного интеграла — на практике буквально clip на переменной-аккумуляторе.

Neural ODE и диффузионные модели: восстановление траектории

Обычная нейросеть — это набор дискретных слоёв: $h_{k+1} = h_k + f(h_k,\theta)$. Архитектура Neural ODE (Chen et al., 2018) замечает, что это в точности шаг численного интегрирования, и переходит к непрерывному пределу:

Сеть предсказывает скорость изменения скрытого состояния, а само состояние получается интегрированием. Прямой проход модели — вызов решателя scipy.integrate.solve_ivp или его аналога torchdiffeq.odeint. Это ровно то, чем мы занимались в разделе про кинематику: известна скорость, надо восстановить траекторию, и нужно начальное условие $h(0)$ — без него ответа нет, как и в уроке 145.

Диффузионные модели (Stable Diffusion, современные видеогенераторы) в их непрерывной формулировке устроены так же. Модель обучается предсказывать поле скоростей, которое переводит шум в изображение, а генерация картинки — численное интегрирование этого поля от $t=1$ (чистый шум) до $t=0$ (картинка). Количество шагов сэмплера, которое пользователь выкручивает в интерфейсе, — это число разбиений в схеме накопления из начала урока: больше шагов, точнее интеграл, дольше считается.

Симуляция физики в RL-средах: почему явный Эйлер взрывается

Среды вроде MuJoCo, Isaac Gym, PyBullet и Brax, на которых обучают роботов ходить и манипулировать предметами, внутри решают уравнения движения численно. Каждый тик симуляции — это шаг интегрирования с шагом $dt$ (типично $0{,}002$-$0{,}01$ с).

Простейшая схема — явный метод Эйлера:

Это буквально прямоугольники из схемы накопления, только шаг конечный. Проблема в том, что на колебательных системах (а любой сустав робота с пружиной и демпфером колебательный) явный Эйлер систематически завышает энергию: он берёт ускорение на левом конце шага и держит его весь шаг. Амплитуда колебаний растёт от шага к шагу, и симуляция «взрывается» — робот в MuJoCo улетает в бесконечность, координаты становятся NaN. Каждый, кто работал с физическими движками, это видел.

Лечится это лучшими схемами: полунеявный (симплектический) Эйлер, который использует уже обновлённую скорость и потому гораздо аккуратнее обходится с энергией; методы Рунге-Кутты, которые берут несколько промежуточных оценок производной внутри шага и складывают их с подобранными весами (классический RK4 имеет точность порядка $dt^4$ против $dt$ у Эйлера); неявные схемы для жёстких систем. Это те же самые методы численного интегрирования, что стоят за scipy.integrate.solve_ivp с параметром method='RK45' или 'Radau', — и выбор между ними в RL-среде напрямую влияет на то, сойдётся обучение или агент научится эксплуатировать баги симуляции.

Накопленная награда: интеграл в определении цели RL

Цель обучения с подкреплением формулируется как максимизация накопленной награды. В непрерывном времени это

а в дискретном — сумма $\sum_k \gamma^k r_k$. Дисконтирующий множитель $\gamma$ играет ту же роль, что коэффициент забывания в momentum и постоянная времени в PID: он придаёт близкому будущему больший вес. Функция ценности $V(s)$ — это ожидаемое значение такого интеграла, то есть та же конструкция «накопление интенсивности по времени», только под знаком математического ожидания.

Энергопотребление обучения: интеграл мощности в отчётах о carbon footprint

Совершенно практическое приложение. Когда в статье пишут, что обучение модели потребовало столько-то мегаватт-часов и выбросило столько-то тонн CO₂, за этим числом стоит интеграл мощности по времени — та же формула $W = \int P(t)\,dt$, что в электрическом разделе урока. Инструменты вроде codecarbon и experiment-impact-tracker опрашивают nvidia-smi каждые несколько секунд, получают мгновенную мощность GPU в ваттах и численно интегрируют её методом прямоугольников или трапеций за всё время обучения. Дальше энергия умножается на углеродную интенсивность электросети региона — и получается тот самый показатель в отчёте.

Порядок величин: обучение большой языковой модели — это тысячи ускорителей, работающих неделями, и цифры в мегаватт-часах. Точность оценки напрямую зависит от частоты опроса: редкие замеры пропускают пики нагрузки, и интеграл получается заниженным — та же проблема, что у грубого разбиения в схеме накопления.

Почему это важно

Общий вывод раздела такой: инженер ML постоянно имеет дело с накоплением непостоянной интенсивности, даже когда слово «интеграл» в коде не встречается. Momentum накапливает градиенты, PID накапливает ошибку, сэмплер диффузионной модели накапливает шаги по полю скоростей, симулятор накапливает изменение состояния, RL накапливает награду, профилировщик накапливает энергию. Понимание того, что все эти конструкции — одна и та же схема, помогает переносить интуицию: например, догадаться, что integral windup в PID и накопление огромных значений в оптимизаторе лечатся одинаково (клиппингом), или что уменьшение шага сэмплера и уменьшение $dt$ в симуляторе улучшают точность по одной и той же причине.

Практика: 30 заданий

Базовые (задания 1-10)

Задание 1: Тело движется со скоростью $v(t) = 4t + 1$ м/с. Найди перемещение за первые $3$ секунды.

Задание 2: Скорость точки задана как $v(t) = t^2$ м/с. Найди путь, пройденный с $t = 1$ с до $t = 4$ с.

Задание 3: Тело движется с ускорением $a(t) = 6t$ м/с², начальная скорость $v(0) = 2$ м/с. Найди скорость в момент $t = 3$ с и путь за первые $3$ секунды.

Задание 4: Вдоль оси $Ox$ на тело действует сила $F(x) = 4x$ Н. Найди работу на участке от $x = 0$ до $x = 3$ м.

Задание 5: Пружина жёсткостью $k = 500$ Н/м растянута на $4$ см от положения равновесия. Какая работа была совершена?

Задание 6: Ток в цепи растёт по закону $i(t) = 0{,}4t$ А. Какой заряд протечёт за первые $5$ секунд?

Задание 7: Стержень длиной $3$ м имеет линейную плотность $\rho(x) = 2x$ кг/м. Найди его массу.

Задание 8: Однородный стержень массой $2$ кг и длиной $3$ м. Найди момент инерции относительно оси, проходящей через центр перпендикулярно стержню, и относительно оси через конец.

Задание 9: Скорость точки $v(t) = 6t$ м/с. Найди среднюю скорость за первые $4$ секунды.

Задание 10: Определи по размерности, какую физическую величину даёт каждый из интегралов: (а) $\int \rho(x)\,dx$, где $\rho$ в кг/м; (б) $\int P(t)\,dt$, где $P$ в ваттах; (в) $\int x\rho(x)\,dx$, где $\rho$ в кг/м.

Средние (задания 11-20)

Задание 11: Скорость тела задана как $v(t) = t^2 - 4t + 3$ м/с. Найди перемещение и путь за первые $4$ секунды.

Задание 12: Поезд тормозит по закону $v(t) = 25 - 5t$ м/с. Найди тормозной путь.

Задание 13: На тело действует сила $F(x) = x^2 + 2x$ Н вдоль направления движения. Найди работу на пути от $x=0$ до $x=3$ м.

Задание 14: Какую работу надо совершить, чтобы поднять груз массой $1$ кг с поверхности Земли на высоту, равную радиусу Земли? Прими $GM = 3{,}986\cdot10^{14}$ м³/с², $R = 6{,}371\cdot10^6$ м. Сравни с оценкой по формуле $mgh$.

Задание 15: Прямоугольный бассейн $4\times5$ м имеет глубину $2$ м и полностью заполнен водой. Найди работу, необходимую для откачки всей воды через верхний край. Плотность воды $1000$ кг/м³, $g = 9{,}8$ м/с².

Задание 16: Ток меняется по закону $i(t) = 5\sin\left(\frac{\pi t}{10}\right)$ А. Найди заряд, прошедший за первые $10$ секунд.

Задание 17: Амплитуда переменного тока $I_0 = 10$ А, нагрузка $R = 20$ Ом. Найди действующее значение тока и среднюю выделяемую мощность.

Задание 18: Стержень длиной $2$ м имеет линейную плотность $\rho(x) = x^2$ кг/м. Найди массу и положение центра масс.

Задание 19: Стержень длиной $2$ м имеет плотность $\rho(x) = x$ кг/м. Найди массу и момент инерции относительно оси, проходящей через левый конец перпендикулярно стержню.

Задание 20: Вертикальный прямоугольный щит шириной $5$ м перекрывает воду глубиной $3$ м. Найди силу давления воды на щит.

Продвинутые (задания 21-30)

Задание 21: Тело колеблется со скоростью $v(t) = 10\sin\left(\frac{\pi t}{4}\right)$ м/с. Найди перемещение и путь за первые $8$ секунд.

Задание 22: Пружину жёсткостью $300$ Н/м растягивают с $5$ см до $15$ см. Найди работу и сравни её с работой по растяжению с $0$ до $10$ см.

Задание 23: Полусферическая чаша радиуса $R = 2$ м доверху заполнена водой. Найди работу по откачке всей воды через край чаши.

Задание 24: Шлюз имеет форму треугольника: основание $4$ м лежит на дне, вершина находится на поверхности воды. Глубина $3$ м. Найди силу давления воды.

Задание 25: Стержень длиной $1$ м имеет плотность $\rho(x) = 1 + 3x^2$ кг/м. Найди массу и центр масс.

Задание 26: Однородный стержень массой $6$ кг и длиной $4$ м. Найди момент инерции относительно оси через центр и относительно оси через конец; проверь связь между ответами.

Задание 27: Конденсатор ёмкостью $C = 100$ мкФ заряжают до напряжения $12$ В. Считая, что при переносе очередной порции заряда $dq$ совершается работа $u\,dq$, где $u = \frac{q}{C}$, найди энергию, запасённую в конденсаторе.

Задание 28: Мощность устройства убывает по закону $P(t) = 500e^{-t/20}$ Вт. Найди энергию, потреблённую за первую минуту, и среднюю мощность за это время.

Задание 29: Канат длиной $20$ м и погонной массой $2$ кг/м свисает с крыши. Какую работу надо совершить, чтобы втянуть весь канат наверх?

Задание 30: Тело массой $2$ кг движется по прямой со скоростью $v(t) = 3t^2$ м/с. Найди: (а) путь за первые $3$ секунды; (б) действующую силу как функцию времени; (в) работу этой силы за первые $3$ секунды двумя способами — через мощность и через кинетическую энергию.

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: путь посчитан как интеграл от скорости без модуля

Неправильно: «$v(t) = 6-2t$, значит путь за $5$ секунд равен $\int_0^5(6-2t)dt = 5$ м».

Правильно: $5$ м — это перемещение. Путь равен $\int_0^5|6-2t|\,dt = 13$ м.

💡 Почему важно: после $t=3$ скорость отрицательна, тело едет назад, и интеграл засчитывает это движение со знаком минус. Одометр так не умеет — он крутится вперёд всегда. Признак ловушки: скорость меняет знак внутри промежутка. Первым делом всегда решай $v(t)=0$ и смотри, есть ли корни внутри.

❌ Ошибка 2: интегрирование продолжено за момент остановки

Неправильно: «$v(t) = 20-4t$, найти путь за $8$ секунд: $\int_0^8(20-4t)dt = 32$ м».

Правильно: машина останавливается при $t=5$ с и дальше стоит; тормозной путь равен $\int_0^5(20-4t)dt = 50$ м.

💡 Почему важно: формула $v(t) = 20-4t$ описывает торможение и перестаёт быть верной после остановки — тормоза не разгоняют машину назад. Пределы интегрирования в физической задаче диктует физика, а не текст условия. Проверяй, не меняет ли модель смысл внутри интервала.

❌ Ошибка 3: работа переменной силы посчитана умножением

Неправильно: «пружину растянули на $0{,}2$ м, сила в конце равна $kx = 40$ Н, работа $= 40\cdot0{,}2 = 8$ Дж».

Правильно: $A = \int_0^{0{,}2}kx\,dx = \frac{kx^2}{2} = 4$ Дж — ровно вдвое меньше.

💡 Почему важно: умножение годится только для постоянной силы. Здесь взята максимальная сила и приписана всему пути, а сила была меньше почти везде. Ровно та же ошибка вдвое в задаче про конденсатор ($QU$ вместо $\frac{QU}{2}$) и в задаче про канат. Признак: если под интегралом линейная функция, ответ содержит половину.

❌ Ошибка 4: в задаче про откачку воды забыли, что слои поднимают на разную высоту

Неправильно: «вся вода массой $m$ поднимается на высоту бака $H$, значит $A = mgH$».

Правильно: нижние слои поднимают на $H$, верхние почти ни на сколько; $A = \rho g S\int_0^H(H-y)\,dy = mg\frac H2$ — вдвое меньше.

💡 Почему важно: это ошибка в выборе малого куска. За кусок надо брать слой, а не всю жидкость. Быстрая проверка любого такого ответа: работа обязана равняться $mg$, умноженному на подъём центра масс. Тот же контроль ловит ошибку в задаче про канат.

❌ Ошибка 5: в интеграле давления забыт множитель $x$

Неправильно: $F = \rho g\int_0^H b(x)\,dx$.

Правильно: $F = \rho g\int_0^H x\,b(x)\,dx$ — давление на глубине $x$ равно $\rho g x$, и глубина обязана стоять под интегралом.

💡 Почему важно: эта ошибка ловится размерностью за пять секунд. Без множителя $x$ размерность получается $\frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\cdot\frac{\text{м}}{\text{с}^2}\cdot\text{м}\cdot\text{м} = \frac{\text{Н}}{\text{м}}$ — это не сила, а сила на метр. Прогоняй единицы до вычислений.

❌ Ошибка 6: момент инерции посчитан без указания оси

Неправильно: «момент инерции стержня равен $\frac{mL^2}{12}$» — без уточнения, относительно чего.

Правильно: $\frac{mL^2}{12}$ относительно оси через центр, $\frac{mL^2}{3}$ относительно оси через конец. Разница вчетверо.

💡 Почему важно: момент инерции — характеристика не тела, а пары «тело + ось». Пока ось не названа, число не имеет смысла. В интеграле $\int x^2\rho\,dx$ ось задаётся началом отсчёта $x$: считаешь от края — получаешь одно, от середины (с пределами от $-\frac L2$ до $\frac L2$) — другое.

❌ Ошибка 7: центр масс посчитан без деления на массу

Неправильно: «$x_c = \int_0^L x\rho(x)\,dx$».

Правильно: $x_c = \frac{\int x\rho\,dx}{\int \rho\,dx}$ — статический момент надо разделить на полную массу.

💡 Почему важно: размерность числителя — кг·м, а координата измеряется в метрах. Деление на массу возвращает метры. Плюс мгновенная проверка результата: центр масс обязан лежать внутри тела. Если получилось значение за пределами стержня — ошибка гарантирована.

❌ Ошибка 8: амплитуда подставлена вместо действующего значения

Неправильно: «амплитуда тока $10$ А, $R = 20$ Ом, значит мощность $= 10^2\cdot20 = 2000$ Вт».

Правильно: $\bar P = I_{\text{д}}^2 R = \left(\frac{10}{\sqrt2}\right)^2\cdot 20 = 1000$ Вт.

💡 Почему важно: мгновенная мощность действительно достигает $2$ кВт, но только в пиках; средняя вдвое меньше, потому что средний квадрат синуса равен $\frac12$. Все паспортные данные приборов и все показания бытовых счётчиков — в действующих значениях. Обратная ошибка тоже встречается: считать, что в розетке напряжение никогда не превышает $220$ В, хотя амплитуда там $311$ В.

❌ Ошибка 9: средняя скорость найдена как полусумма или среднее арифметическое

Неправильно: «скорость менялась от $0$ до $48$ м/с, значит средняя равна $24$ м/с».

Правильно: $\bar v = \frac1{T}\int_0^T v\,dt$; для $v = 3t^2$ на $[0;4]$ это $\frac{64}{4} = 16$ м/с.

💡 Почему важно: полусумма концов верна только для линейной функции. Для любой нелинейной зависимости она даёт формулу трапеций — приближение, а не ответ. И отдельная разновидность той же ошибки: усреднять скорость по участкам пути вместо времени (тогда $60$ и $40$ дают не $50$, а $48$ км/ч).

❌ Ошибка 10: единицы не переведены в СИ

Неправильно: «$k = 500$ Н/м, растяжение $4$ см, $A = \frac{500\cdot 4^2}{2} = 4000$ Дж».

Правильно: $4$ см $= 0{,}04$ м, $A = \frac{500\cdot0{,}0016}{2} = 0{,}4$ Дж.

💡 Почему важно: ошибка в $10^4$ раз, и она не ловится ни размерностью (единицы формально те же), ни здравым смыслом, если не остановиться и не подумать. Единственная защита — переводить всё в СИ до подстановки в интеграл и прикидывать порядок ответа: четыре килоджоуля — это работа по подъёму человека на десятый этаж, а не по растяжению маленькой пружинки.

Главное запомнить

✅ Главная мысль урока: где величина накапливается при непрерывно меняющейся интенсивности — там интеграл. Постоянная интенсивность даёт умножение; переменная требует разбиения, и предел сумм и есть ответ.

✅ Схема из четырёх шагов: разбей на малые куски → на куске считай интенсивность постоянной → умножь и сложи → устреми шаг к нулю. Практически это сводится к одной строчке «вклад одного куска», после которой знак интеграла ставится автоматически.

✅ Три вопроса к любой задаче: что накапливается, по какой переменной идёт накопление, чему равен вклад одного малого куска. Ответы на них — и есть постановка интеграла.

✅ Кинематика: перемещение $= \int_{t_1}^{t_2}v\,dt$, путь $= \int_{t_1}^{t_2}|v|\,dt$. Разница возникает там, где скорость меняет знак; ищи корни $v(t)=0$ до вычислений.

✅ Работа переменной силы: $A = \int_{x_1}^{x_2}F(x)\,dx$. Для пружины получается $\frac{kx^2}{2}$ — это и есть определение потенциальной энергии, а не отдельно придуманная формула.

✅ Работа зависит от того, откуда начинается ход: $\frac{k}{2}(x_2^2 - x_1^2)$ — разность квадратов. Одинаковое растяжение с большей деформации стоит дороже.

✅ Откачка жидкости, подъём каната: малый кусок — слой или отрезок, а не всё тело сразу. Контроль ответа: работа равна $mg$, умноженной на подъём центра масс.

✅ Электричество: $q = \int i\,dt$, $W = \int P\,dt$, энергия конденсатора $\frac{Q^2}{2C}$ — интеграл по заряду, структурный двойник пружины.

✅ Действующее значение — корень из среднего квадрата: $I = \sqrt{\frac1T\int_0^T i^2dt}$. Для синусоиды это $\frac{I_0}{\sqrt2}$, потому что средний квадрат синуса равен $\frac12$. В розетке $220$ В действующих и $311$ В амплитудных.

✅ Геометрия масс: $m = \int\rho\,dx$, $x_c = \frac{\int x\rho\,dx}{\int\rho\,dx}$, $I = \int x^2\rho\,dx$. Центр масс обязан лежать внутри тела; момент инерции имеет смысл только вместе с указанием оси.

✅ Момент инерции стержня: $\frac{mL^2}{12}$ через центр, $\frac{mL^2}{3}$ через край — вчетверо больше. Связь: $I = I_c + md^2$ (теорема Гюйгенса-Штейнера).

✅ Давление на вертикальную стенку: $F = \rho g\int_0^H x\,b(x)\,dx$. Множитель $x$ обязателен — это глубина. Сила растёт как квадрат глубины, точка приложения для прямоугольника — на $\frac{2H}{3}$.

✅ Среднее значение: $\bar f = \frac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$. Полусумма концов работает только для линейной функции. Усредняй по той переменной, по которой идёт накопление.

✅ Размерность — бесплатная проверка: [интенсивность] × [дифференциал] обязано дать размерность ответа. Не сошлось — интеграл поставлен неверно, считать бессмысленно. Она ловит забытые множители, но не ловит числовые коэффициенты; против них — проверка частных случаев.

✅ В ML это работает буквально: momentum накапливает градиенты с забыванием, интегральная часть PID накапливает ошибку, Neural ODE и диффузионные модели восстанавливают траекторию по предсказанной скорости, RL-симуляторы численно интегрируют уравнения движения, отчёты об энергопотреблении интегрируют мощность GPU по времени.

Связь с другими темами курса

Что нужно было знать до этого урока:

• Урок 135, физический смысл производной — цепочка «координата → скорость → ускорение». Весь кинематический раздел этого урока — та же цепочка, прочитанная справа налево.
• Урок 145, первообразная — восстановление функции по её производной и бухгалтерия начальных условий: два интегрирования требуют двух условий. Плюс линейная подстановка, которой мы пользовались в задачах с $e^{-t/\tau}$ и $\sin(kt)$.
• Урок 146, неопределённый интеграл — техника: замена переменной пригодилась в задаче про полукруглую стенку, понижение степени — в выводе действующего значения.
• Урок 147, определённый интеграл как предел сумм — фундамент всего урока: схема «разбей и сложи» — это буквально интегральная сумма. Оттуда же взято понятие среднего значения функции.
• Урок 148, формула Ньютона-Лейбница — рабочий инструмент вычислений: без неё каждый интеграл пришлось бы считать пределом сумм вручную.
• Урок 149, вычисление площадей — история с модулем при вычислении пути дословно повторяет историю с модулем при вычислении площади; оттуда же приём с интегрированием по слоям.
• Урок 99, формулы половинного угла — формула $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$, без которой не берётся ключевой интеграл в выводе RMS.

Что изучить дальше:

• Урок 151, векторы на плоскости и в пространстве — следующий урок и начало университетского блока. Вся сегодняшняя физика жила на прямой: сила вдоль движения, движение по одной оси. Реальные сила, скорость и перемещение — векторы, и чтобы считать работу в общем случае, нужен новый инструмент.
• Урок 153 и скалярное произведение — там работа получит честную форму $A = \vec F\cdot\vec s$, а под интегралом появится проекция силы на направление движения.
• Дифференциальные уравнения — там второй закон Ньютона станет уравнением на неизвестную функцию $x(t)$, а не готовой формулой для интегрирования. Задача «дана сила, найти движение» в общем случае решается именно так, и наш приём (проинтегрировать известную $a(t)$) — её простейший частный случай.
• Криволинейные и двойные интегралы — накопление не по отрезку, а по кривой и по области: работа вдоль произвольной траектории, масса пластины и тела, момент инерции трёхмерных тел вроде диска и шара.
• Несобственные интегралы — накопление на бесконечном промежутке: полная работа по уводу тела из поля тяготения в бесконечность и вторая космическая скорость считаются именно так.
• Численные методы интегрирования — методы трапеций, Симпсона, Рунге-Кутты и всё, что стоит за scipy.integrate: там, где первообразная не берётся, а ответ нужен.

Где это нужно в жизни:

💻 В программировании: физические движки игр и симуляторов (каждый кадр — шаг численного интегрирования), инерциальная навигация в телефонах и дронах, «кулоновский счёт» заряда батареи, интегрирование телеметрии в мониторингах, расчёт накопленных метрик в дашбордах.

🤖 В ML/AI: momentum и Adam как накопление градиентов с забыванием, интегральная часть PID в робототехнике и RL, Neural ODE и диффузионные модели как интегрирование предсказанной скорости, физические симуляторы MuJoCo и Isaac Gym, накопленная награда как цель обучения, оценка энергопотребления и углеродного следа обучения.

📊 В Data Science: переход между потоковыми и накопленными метриками, средние значения по времени вместо средних по наблюдениям, взвешенные средние (та же формула, что у центра масс), моменты распределений — математическое ожидание и дисперсия суть статический момент и момент инерции.

🔬 В науке и инженерии: расчёт работы двигателей и насосов, гидростатические нагрузки на плотины и корпуса судов, моменты инерции валов и маховиков, дозы облучения по интенсивности, теплота по мощности, расход по скорости потока.

💰 В финансах: накопленная доходность по мгновенной ставке, дисконтированные денежные потоки, суммарные издержки по предельным, средняя цена по объёму сделок, а не по числу сделок — ровно та же ловушка усреднения, что и со средней скоростью.

Интересные факты

💡 Метод Архимеда нашли на молитвеннике. «Метод механических теорем» — трактат, где Архимед объясняет, как он угадывает площади и объёмы, разрезая фигуры на бесконечно тонкие полоски, — считался утраченным. В 1906 году датский филолог Йохан Людвиг Гейберг обнаружил его в Константинополе как палимпсест: в XIII веке текст соскоблили с пергамента и поверх записали богослужебную книгу. Рукопись пережила ещё и подделку икон поверх страниц в XX веке, а прочитали её окончательно только в 1998-2008 годах рентгеновской флуоресценцией в Стэнфорде. Древнейший известный текст о суммировании бесконечно малых был у человечества под руками восемь веков.

💡 Гук зашифровал закон упругости анаграммой. В 1676 году Роберт Гук опубликовал набор букв ceiiinosssttuv и только через два года раскрыл, что это анаграмма фразы ut tensio, sic vis. Так в XVII веке резервировали приоритет: объявить об открытии, не раскрывая его конкурентам. Тем же приёмом пользовались Галилей и Ньютон. Из этого закона прямым интегрированием получается формула $\frac{kx^2}{2}$, которую сегодня знает каждый школьник.

💡 В розетке 311 вольт. Стандартное «220 В» (сейчас формально 230 В) — действующее значение, полученное интегрированием квадрата синуса. Амплитуда больше в $\sqrt2$ раз, то есть около $311$ вольт (или $325$ при 230 В), и изоляцию приборов рассчитывают именно на неё. Множитель $\frac{1}{\sqrt2}$ — прямое следствие того, что $\int_0^T\sin^2 = \frac T2$, и это, пожалуй, самый массово используемый интеграл в быту.

💡 Момент инерции придумали ради часов. Христиан Гюйгенс в 1673 году решал совершенно практическую задачу — рассчитать маятниковые часы, которые не врали бы в море. Ему понадобилось понять, как колеблется не точечный груз, а протяжённое тело, и он ввёл понятие «центра качания», просуммировав вклады всех частей маятника. Так появился интеграл $\int x^2\,dm$ — за четверть века до того, как анализ оформился в общепринятую технику.

💡 Ошибка размерности стоила 327 миллионов долларов. В сентябре 1999 года аппарат Mars Climate Orbiter вошёл в атмосферу Марса слишком низко и разрушился. Причина: программа Lockheed Martin выдавала импульс двигателей в фунт-силах на секунду, а навигационное ПО NASA ожидало ньютон-секунды. Разница в $4{,}45$ раза копилась месяцами полёта, и никто не сделал того, что делается за пятнадцать секунд, — не сверил размерности на стыке модулей.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Начинай с фразы «малый кусок — это...»

Не пиши интеграл сразу. Сначала произнеси вслух: «малый кусок — это отрезок времени $dt$» или «малый кусок — это слой воды толщиной $dy$». Как только кусок назван, вклад одного куска пишется автоматически, а вместе с ним и весь интеграл.

Пример: задача про канат. Малый кусок — отрезок каната $dx$ на расстоянии $x$ от крыши. Его масса $\lambda\,dx$, поднять надо на $x$. Значит $dA = \lambda g x\,dx$, и интеграл готов.

2. Прогоняй размерность до вычислений

Пятнадцать секунд экономят полстраницы напрасных выкладок. Перемножь единицы подынтегральной функции и дифференциала — должна получиться размерность ответа.

Пример: проверяем $F = \rho g\int x\,b\,dx$: $\frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\cdot\frac{\text{м}}{\text{с}^2}\cdot\text{м}\cdot\text{м}\cdot\text{м} = \frac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{с}^2} = \text{Н}$ ✅ Если бы забыл $x$, получилась бы Н/м — сразу видно.

3. Проверяй ответ частным случаем, который знаешь наизусть

Любая общая формула обязана превращаться в школьную, когда переменная величина становится постоянной.

Пример: формула работы $\int F\,dx$ при $F = \text{const}$ даёт $F(x_2-x_1)$ ✅ Формула массы $\int\rho\,dx$ при $\rho = \text{const}$ даёт $\rho L$ ✅ Формула подъёма с переменным $g$ при малой высоте даёт $mgh$ ✅ Если предельный переход не работает, ошибка в общей формуле.

4. В задачах на подъём жидкости и каната проверяй через центр масс

Любая работа против тяжести равна $mg\Delta h_c$, где $\Delta h_c$ — подъём центра масс. Это независимый способ получить тот же ответ.

Пример: откачка бассейна $4\times5\times2$ м. Интеграл дал $392$ кДж. Центр масс воды на высоте $1$ м, поднять надо на $1$ м, масса $40$ т: $40000\cdot9{,}8\cdot1 = 392$ кДж ✅ Две независимые дороги к одному числу — это настоящая проверка, а не пересчёт того же самого.

5. Прежде чем считать путь, реши $v(t) = 0$

Это единственная строчка, которая отделяет правильный ответ от неправильного во всех задачах на путь. Корни внутри промежутка — значит нужен разбор по кускам с модулями. Корней нет — путь равен модулю перемещения.

Пример: $v = t^2-4t+3$ на $[0;4]$. Корни $1$ и $3$, оба внутри. Значит будет три куска, и путь ($4$ м) окажется втрое больше перемещения ($\frac43$ м).

6. Если под интегралом линейная функция, в ответе будет половина

Работа пружины, энергия конденсатора, сила давления на прямоугольную стенку, откачка воды из бака постоянного сечения — везде интенсивность линейна, и везде ответ содержит множитель $\frac12$ и квадрат.

Пример: $\int_0^{x_0}kx\,dx = \frac{kx_0^2}{2}$, $\int_0^Q\frac qC dq = \frac{Q^2}{2C}$, $\rho g b\int_0^H x\,dx = \frac{\rho g bH^2}{2}$. Одна структура, три раздела физики. Если в твоём ответе половины нет, а функция линейна — ищи потерянный множитель.

7. Оценивай порядок ответа прямоугольником

Умножь максимальное значение интенсивности на длину промежутка — это верхняя граница; минимальное на ту же длину — нижняя. Настоящий ответ обязан лежать между ними.

Пример: $\int_0^3(x^2+2x)dx$. Максимум подынтегральной функции $15$, длина $3$, верхняя граница $45$; нижняя $0$. Ответ $18$ внутри ✅ Этот приём ловит ошибки на порядок величины и в единицах измерения.

8. Помни про множитель $\sqrt2$ в переменном токе

Если в задаче встречается синусоидальный ток или напряжение, сразу решай, что дано — амплитуда или действующее значение. Для мощности и нагрева нужно действующее, для изоляции и пробоя — амплитудное.

Пример: $I_0 = 10$ А даёт $\bar P = \frac{I_0^2R}{2}$, а не $I_0^2R$. Проверка: $\left(\frac{10}{\sqrt2}\right)^2 = 50$, и число $50$ вместо $100$ — верный признак, что действующее значение учтено.

💡 Совет напоследок: привыкни заканчивать каждую физическую задачу тремя строчками — размерность, порядок величины, независимая проверка (частный случай, центр масс, известная формула). Это займёт минуту и снимет почти все ошибки, потому что они разной природы и ловятся разными фильтрами. Инженерная работа отличается от школьной именно этим: результат не сдают, пока он не проверен хотя бы двумя независимыми способами.

Это последний урок школьного раздела. Восемнадцать уроков назад ты учился считать производную по определению, и трудно было представить, что та же техника позволит посчитать силу давления на плотину, энергию, запасённую в конденсаторе, и работу по выводу спутника на орбиту. Оказалось, что за всеми этими задачами стоит одна мысль: накопление величины при непрерывно меняющейся интенсивности. Разбить, посчитать на куске, сложить, устремить шаг к нулю. Всё остальное — техника вычислений, которая у тебя теперь есть.

Дальше начинается университетский блок, и начинается он с урока 151 — векторы на плоскости и в пространстве. Причина простая: сегодня мы всё время жили на одной прямой. Сила действовала вдоль движения, тело двигалось по оси, стержень лежал вдоль координаты. В настоящей физике сила направлена под углом к перемещению, тело летит по кривой, а тело вращается вокруг оси в пространстве — и, чтобы всё это считать, сначала нужен язык направленных величин. Школьная математика закончилась; инструменты, которыми пользуются в инженерии и в ML, начинаются там. Переходи — самое интересное впереди.