🔴 Сложный ⏱️ 60 минут

Построение графиков с помощью производной

📋 Содержание урока

Построение графиков с помощью производной 📈

Представь, что ты полгода собирал детали для мотоцикла. Отдельно рама, отдельно двигатель, отдельно колёса, тормоза, проводка. Каждая деталь идеальная — но ездить пока не на чем. Нужен день сборки: взять всё, что лежит по коробкам, и соединить в одну машину, которая едет.

Ровно в такой точке ты сейчас находишься с исследованием функций. В уроке 140 ты научился по знаку $f'$ находить промежутки возрастания и убывания. В 141 — отделять настоящие экстремумы от самозванцев. В 142 — искать наибольшее и наименьшее значения. В 143 — по знаку $f''$ определять, куда изогнут график, и находить точки перегиба. Четыре мощные детали. А теперь вопрос сборки: как из всех этих кусочков получить один точный эскиз графика?

Этот урок замыкает блок 139–144. Здесь не будет новых теорем про производную — ты уже умеешь всё, что нужно. Здесь будет процедура: жёсткая анкета из десяти пунктов, которую ты прогоняешь по функции сверху вниз, и в конце у тебя на руках оказывается график. Не «примерно похожая кривая», а эскиз, у которого каждый изгиб, каждый ноль и каждый уход в бесконечность обоснован вычислением.

И одна по-настоящему новая вещь всё-таки будет — асимптоты. Это прямые, к которым график прижимается на бесконечности или у края области определения. В уроках 140–143 асимптоты нам не были нужны: там мы смотрели на функцию как бы вблизи, на конечном отрезке. Но чтобы нарисовать график целиком, нужно знать, куда он уходит и какой «скелет» из прямых его держит. Асимптоты — это и есть скелет.

🎯 Ты узнаешь:

Полную схему исследования функции — анкету из десяти пунктов, которую можно применять к чему угодно, от многочлена до кривой обучения нейросети
Что такое вертикальная, горизонтальная и наклонная асимптоты, как их искать и почему горизонтальная — частный случай наклонной
Формулы $k = \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ и $b = \lim\limits_{x\to\infty}\big(f(x)-kx\big)$ — и почему слева и справа асимптоты могут быть разными прямыми
Сводную таблицу «знак $f'$ × знак $f''$ → форма куска графика»: четыре комбинации, четыре узнаваемые дуги, из которых склеивается любой график
Три полных сквозных исследования: кубический многочлен, дробно-рациональная функция с разрывом и наклонной асимптотой, функция с экспонентой
Единый формат словесного и табличного описания графика — чтобы твой ответ читался однозначно, даже когда картинку не нарисовать
Как читать кривую обучения модели по той же самой анкете: где рост, где выход на полку, где перегиб — и почему scaling laws рисуют в логарифмических осях

История: откуда это взялось?

Слово «асимптота» гораздо старше производной. Оно греческое: ἀσύμπτωτος — «несовпадающий», буквально «не падающий вместе». Аполлоний Пергский в трактате «Конические сечения» (около 200 года до н. э.) описал прямые, к которым ветви гиперболы подходят сколь угодно близко, но которых никогда не касаются. Никакого анализа у Аполлония не было — он работал чисто геометрически, через пропорции и подобие, и всё равно получил точное описание поведения гиперболы на бесконечности. Две с лишним тысячи лет спустя мы делаем то же самое, но за три строчки вычисления предела.

Собственно схема исследования функции сложилась в XVIII веке. Леонард Эйлер в «Введении в анализ бесконечно малых» (1748) впервые систематически рассматривает функцию как самостоятельный объект, у которого есть область определения, нули, поведение на бесконечности и особые точки. До Эйлера математики изучали кривые; после Эйлера — функции. Это смена оптики, из которой и выросла привычка исследовать функцию по пунктам. А Жозеф Лагранж в «Теории аналитических функций» (1797) свёл вместе первую и вторую производные как инструменты описания формы: первая отвечает за направление, вторая за изгиб.

Окончательный вид «анкета» приобрела в учебниках XIX века — у Коши, а затем в бесчисленных курсах анализа, по которым учились инженеры всего мира. И вот что интересно: в эпоху, когда график приходилось строить руками по точкам, схема исследования была способом сэкономить труд. Вместо того чтобы вычислять функцию в сотне точек, ты вычислял её в семи-восьми ключевых и получал рисунок точнее, чем по сотне. Сегодня любой компьютер строит график за миллисекунду — но схема не устарела, а сменила роль. Теперь это способ понять функцию, а не нарисовать её. Компьютер покажет тебе картинку; только исследование скажет, почему она такая и что с ней будет за пределами экрана.

Полная схема исследования: анкета из десяти пунктов

Интуиция: анкета, а не вдохновение

Представь, что ты — следователь, а функция — подозреваемый. У тебя есть стандартный список вопросов, который ты задаёшь всем без исключения: где живёшь, есть ли особые приметы, где был в такое-то время. Ты не придумываешь вопросы заново для каждого дела — ты берёшь готовый бланк и заполняешь его сверху вниз. Скучно? Да. Надёжно? Абсолютно. Именно бланк не даёт забыть тот единственный вопрос, ответ на который меняет всю картину.

Исследование функции устроено так же. Есть бланк из десяти пунктов, и его надо проходить по порядку, не перепрыгивая. Порядок не случайный: каждый следующий пункт опирается на предыдущие. Нельзя искать экстремумы, не зная области определения — рискуешь объявить экстремумом точку, которой в функции нет. Нельзя рисовать эскиз, не выяснив асимптоты — получится кривая, уходящая не туда.

Схема (полное исследование функции):

Область определения $D(f)$: где формула имеет смысл. Знаменатель $\ne 0$, под корнем чётной степени $\ge 0$, под логарифмом $> 0$, аргумент арксинуса в $[-1;1]$.

Симметрия и периодичность: чётность ($f(-x)=f(x)$, симметрия относительно оси $Oy$), нечётность ($f(-x)=-f(x)$, симметрия относительно начала координат), период. Если симметрия есть — работы становится вдвое меньше.

Нули функции и промежутки знакопостоянства: решаем $f(x)=0$, расставляем знаки $f$ на промежутках между нулями и точками разрыва.

Точки разрыва и поведение около них: для каждой точки, выпавшей из $D(f)$, считаем односторонние пределы.

Асимптоты: вертикальные (по пункту 4), затем наклонные и горизонтальные через пределы на $\pm\infty$.

Первая производная: $f'$, критические точки, знаки $f'$, промежутки монотонности, экстремумы и их значения.

Вторая производная: $f''$, её нули, знаки, промежутки выпуклости, точки перегиба и их значения.

Поведение на бесконечности: пределы $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ и $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$ (если $D(f)$ неограничена).

Контрольные точки: несколько дополнительных значений там, где картина ещё не однозначна.

Сборка эскиза: сводная таблица по всем промежуткам и рисунок (или его словесное описание).

Разберём пункты по одному — что именно на каждом делается и какая ловушка там подстерегает.

Пункт 1. Область определения. Это фундамент: всё остальное исследование живёт только внутри $D(f)$. Типичная ошибка новичка — найти корень уравнения $f'(x)=0$ и радостно объявить его экстремумом, не заметив, что эта точка вообще не входит в область определения. Пример: у функции $y=\dfrac{x^2}{x-1}$ производная обращается в ноль при $x=0$ и $x=2$; обе точки в $D(f)$, всё в порядке. А вот у $y=\sqrt{x}\,(x-3)$ область — только $[0;+\infty)$, и любые «критические точки» левее нуля надо выбросить сразу.

Пункт 2. Симметрия и периодичность. Проверка занимает одну строчку: подставь $-x$ и посмотри, что получилось. Если $f(-x)=f(x)$ — функция чётная, и достаточно исследовать её при $x\ge 0$, а потом отзеркалить график относительно оси $Oy$. Если $f(-x)=-f(x)$ — нечётная, зеркалим относительно начала координат. Для $y=\dfrac{x}{x^2+1}$ получаем $f(-x)=\dfrac{-x}{x^2+1}=-f(x)$ — нечётная, работы вдвое меньше. Периодичность важна для тригонометрии: у $y=\sin x+\cos 2x$ период $2\pi$, и вся функция определяется одним отрезком длины $2\pi$.

Пункт 3. Нули и знаки. Нули — это точки пересечения с осью $Ox$, они закрепляют график по горизонтали. Знаки на промежутках говорят, идёт ли кусок графика выше или ниже оси. Для дроби нули берутся из числителя (при условии, что знаменатель там не ноль), а знаки удобно расставлять методом интервалов по всей дроби целиком.

Пункт 4. Разрывы. Каждая точка, выпавшая из $D(f)$, требует отдельного разговора. Считаем предел слева и справа. Три исхода: оба предела бесконечны (или хотя бы один) — вертикальная асимптота; оба предела конечны и равны — устранимый разрыв, то есть выколотая точка, никакой асимптоты нет; оба конечны, но разные — скачок.

Пункт 5. Асимптоты. Самый содержательный новый пункт этого урока, ему посвящён следующий раздел целиком.

Пункт 6. Первая производная. Здесь работает всё из уроков 140 и 141: находим $f'$, решаем $f'(x)=0$, добавляем точки, где $f'$ не существует, строим таблицу знаков, читаем монотонность и экстремумы. Важно: критические точки надо расставить на числовой прямой вместе с точками разрыва — они вместе разбивают область на промежутки постоянного знака.

Пункт 7. Вторая производная. Аналогично, но из урока 143: $f''>0$ — выпуклость вниз (график держит воду, как чаша $\cup$), $f''<0$ — выпуклость вверх (купол $\cap$), смена знака в точке из $D(f)$ — перегиб.

Пункт 8. Поведение на бесконечности. Формально это часть пункта 5, но полезно выписать отдельно: даже когда наклонной асимптоты нет, надо знать, уходит функция в $+\infty$, в $-\infty$ или колеблется. Для $y=x^3-3x^2+2$ асимптот нет вообще, но $f\to-\infty$ слева и $f\to+\infty$ справа — и этого достаточно, чтобы правильно нарисовать хвосты.

Пункт 9. Контрольные точки. Три-четыре дополнительных значения, посчитанных «в лоб». Их роль — страховка: если контрольная точка не ложится на нарисованную кривую, значит где-то в исследовании ошибка. Это буквально unit-тест твоего эскиза.

Пункт 10. Сборка. Сводишь всё в таблицу по промежуткам и рисуешь. Как именно — в разделе про склейку кусков.

Пример 1 (простой): прогон анкеты по $y = x^2-6x+5$

Функция знакомая, зато видно, как работает бланк.

1. $D(f)=\mathbb{R}$. 2. $f(-x)=x^2+6x+5$ — ни чётная, ни нечётная, не периодическая. 3. $x^2-6x+5=0 \Rightarrow x_1=1,\ x_2=5$; $f<0$ на $(1;5)$, $f>0$ вне. 4. Разрывов нет. 5. Асимптот нет: $\dfrac{f(x)}{x}=x-6+\dfrac5x\to\infty$. 6. $f'=2x-6$, ноль при $x=3$; $f'<0$ при $x<3$, $f'>0$ при $x>3$; минимум $f(3)=-4$. 7. $f''=2>0$ всюду — выпуклость вниз, перегибов нет. 8. $f\to+\infty$ на обоих концах. 9. $f(0)=5$, $f(6)=5$. 10. Парабола ветвями вверх с вершиной $(3;-4)$, пересекает ось $Ox$ в $1$ и $5$, ось $Oy$ в точке $5$.

Пример 2 (средний): $y = \dfrac{1}{x^2-4}$

1. $x^2-4\ne 0 \Rightarrow D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)$.

2. $f(-x)=\dfrac{1}{x^2-4}=f(x)$ — чётная. Достаточно исследовать $x\ge 0$ и отзеркалить.

3. Нулей нет: числитель $1\ne 0$ никогда. Знаки: $f>0$ при $|x|>2$, $f<0$ при $|x|<2$.

4. Разрывы в $\pm 2$. При $x\to 2^-$ знаменатель $\to 0^-$, значит $f\to-\infty$; при $x\to 2^+$ знаменатель $\to 0^+$, значит $f\to+\infty$. В точке $-2$ по симметрии зеркально.

5. Вертикальные асимптоты $x=-2$ и $x=2$. Горизонтальная: $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{x^2-4}=0$, значит $y=0$.

6. $f'=-\dfrac{2x}{(x^2-4)^2}$. Ноль при $x=0$; знак совпадает со знаком $-2x$, потому что знаменатель положителен. Значит $f'>0$ при $x<0$, $f'<0$ при $x>0$. В точке $x=0$ максимум: $f(0)=-\dfrac14$. Это локальный максимум с отрицательным значением — нормальная ситуация.

7. $f''=\dfrac{6x^2+8}{(x^2-4)^3}$. Числитель положителен всегда, знак определяется знаменателем: $f''>0$ при $|x|>2$ (выпуклость вниз), $f''<0$ при $|x|<2$ (выпуклость вверх). Перегибов нет — знак меняется только в точках разрыва.

8. $f\to 0^+$ на обоих концах, сверху.

10. Три куска: левая ветвь идёт от $0^+$ вниз до $-\infty$ у асимптоты $x=-2$; средний кусок — купол с вершиной $\left(0;-\frac14\right)$, уходящий в $-\infty$ на обоих краях; правая ветвь спускается от $+\infty$ к $0^+$.

Пример 3 (сложный): $y = \dfrac{x^3}{x^2-1}$

1. $D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)$.

2. $f(-x)=\dfrac{-x^3}{x^2-1}=-f(x)$ — нечётная, график центрально симметричен.

3. Нуль один: $x=0$ (тройной). Знаки: при $x>1$ дробь положительна; на $(0;1)$ числитель $>0$, знаменатель $<0$, дробь отрицательна; дальше по нечётности.

4. $x\to 1^-$: числитель $\to 1$, знаменатель $\to 0^-$, $f\to-\infty$. $x\to 1^+$: $f\to+\infty$. В точке $-1$ зеркально.

5. Вертикальные $x=\pm1$. Наклонная: $k=\lim\dfrac{x^3}{x(x^2-1)}=\lim\dfrac{x^2}{x^2-1}=1$; $b=\lim\left(\dfrac{x^3}{x^2-1}-x\right)=\lim\dfrac{x^3-x^3+x}{x^2-1}=\lim\dfrac{x}{x^2-1}=0$. Асимптота $y=x$ с обеих сторон.

6. $f'=\dfrac{3x^2(x^2-1)-x^3\cdot 2x}{(x^2-1)^2}=\dfrac{x^4-3x^2}{(x^2-1)^2}=\dfrac{x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2}$. Нули: $x=0$ (без смены знака — не экстремум) и $x=\pm\sqrt3$. Максимум при $x=-\sqrt3$: $f=\dfrac{-3\sqrt3}{2}\approx-2{,}60$; минимум при $x=\sqrt3$: $\dfrac{3\sqrt3}{2}\approx 2{,}60$.

7. $f''=\dfrac{2x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}$. Ноль при $x=0$, и знак там меняется (в точке $0$ знаменатель отрицателен, числитель меняет знак) — перегиб в начале координат, $f(0)=0$.

10. Три ветви: левая приходит из $-\infty$ вдоль $y=x$, поднимается до максимума $\left(-\sqrt3;-2{,}60\right)$ и падает в $-\infty$ у асимптоты $x=-1$; средняя проходит через начало координат с перегибом, от $+\infty$ слева до $-\infty$ справа; правая — зеркало левой.

Почему это важно

Анкета — это защита от собственной изобретательности. Когда исследуешь функцию «по вдохновению», глядя на формулу и придумывая на ходу, что бы такое посчитать, обязательно вылетит какой-нибудь пункт: забудешь проверить область определения у логарифма, пропустишь разрыв, объявишь перегибом точку, в которой функция не определена. Все ошибки такого рода — не ошибки в вычислениях, а ошибки в процедуре. Их лечит не внимательность, а бланк.

Та же логика работает далеко за пределами математики. Пилотный чек-лист перед взлётом, протокол осмотра пациента, code review checklist, стандартный EDA-отчёт по датасету (размер, пропуски, дубликаты, распределения, выбросы, корреляции) — все они устроены одинаково: фиксированный порядок вопросов вместо свободного поиска. И появились по одной и той же причине: человек, который умеет всё, регулярно забывает что-нибудь одно.

Асимптоты: прямые, к которым график прижимается

Интуиция: рельсы, вдоль которых уходит график

Представь самолёт, который набирает высоту и постепенно выравнивается на эшелоне 10 000 метров. Он никогда не летит ровно на 10 000 — то 9 998, то 10 001, — но чем дальше, тем ближе к этой линии. Горизонталь «высота = 10 000» и есть асимптота его траектории: прямая, к которой график прижимается сколь угодно близко, но которой (обычно) не достигает.

Бывает и наоборот: график взлетает вертикально вверх, прижимаясь к вертикальной прямой. Так ведёт себя очередь в супермаркете при загрузке кассы, стремящейся к 100 %, или время ответа сервера при приближении нагрузки к пропускной способности. Формула вроде $T=\dfrac{1}{1-\rho}$ при $\rho\to 1^-$ уходит в бесконечность, и прямая $\rho=1$ — вертикальная асимптота.

Асимптота — это не часть графика. Это вспомогательная прямая, которую рисуют пунктиром: она держит рисунок, как каркас держит палатку.

Определение: Прямая называется асимптотой графика функции $y=f(x)$, если расстояние от точки графика до этой прямой стремится к нулю при удалении точки от начала координат.

Асимптот бывает три типа, и ищут их по-разному.

Тип 1. Вертикальная асимптота

Определение: Прямая $x=a$ — вертикальная асимптота графика $y=f(x)$, если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен:
$$\lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty \quad\text{или}\quad \lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty.$$

Ключевое слово — «хотя бы один». Вертикальная асимптота может быть односторонней: у $y=\ln x$ прямая $x=0$ — асимптота, хотя слева от нуля функция вообще не определена.

Где искать кандидатов? Только там, где функция не определена или разрывна:

нули знаменателя дроби;
точки, где аргумент логарифма обращается в ноль;
точки, где под тангенсом $\frac{\pi}{2}+\pi n$;
края области определения.

Внутри непрерывного куска вертикальных асимптот не бывает — это следствие непрерывности из урока 132.

⚠️ Главная ловушка: ноль знаменателя ещё не гарантирует асимптоту. Если числитель обнуляется в той же точке и множитель сокращается, предел может оказаться конечным — тогда это выколотая точка, а не асимптота. Классика: $y=\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2$ при $x\ne 2$. В точке $x=2$ функция не определена, но $\lim\limits_{x\to 2}f(x)=4$ — обычная прямая с дыркой в точке $(2;4)$. Никакой асимптоты.

Пример A. Найти вертикальные асимптоты $y=\dfrac{x+3}{x^2-x-6}$.

Знаменатель: $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$, нули $x=3$ и $x=-2$. Числитель $x+3$ в этих точках равен $6$ и $1$ — ни разу не ноль, сокращать нечего. Проверяем пределы: при $x\to 3^-$ знаменатель $\to 0^-$ (возьми $x=2{,}9$: $(-0{,}1)(4{,}9)<0$), числитель $\to 6>0$, значит $f\to-\infty$. При $x\to 3^+$: $f\to+\infty$. Аналогично в $x=-2$. Итого две вертикальные асимптоты: $x=3$ и $x=-2$.

Тип 2. Горизонтальная асимптота

Определение: Прямая $y=b$ — горизонтальная асимптота графика при $x\to+\infty$, если $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=b$. Аналогично при $x\to-\infty$.

Здесь тоже возможна асимметрия: справа асимптота есть, слева нет, или они разные. У $y=\operatorname{arctg} x$ справа асимптота $y=\frac{\pi}{2}$, слева $y=-\frac{\pi}{2}$ — две разные горизонтали у одной функции.

Считать такие пределы ты умеешь с урока 130: для дроби из многочленов делим числитель и знаменатель на старшую степень $x$.

Пример B. Найти горизонтальные асимптоты $y=\dfrac{3x^2-x}{x^2+5}$.

Делим всё на $x^2$:

$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{3x^2-x}{x^2+5}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{3-\frac1x}{1+\frac{5}{x^2}}=\frac{3-0}{1+0}=3.$$

Горизонтальная асимптота $y=3$, одна и та же с обеих сторон. Полезно уточнить, с какой стороны график к ней подходит: $f(x)-3=\dfrac{3x^2-x-3x^2-15}{x^2+5}=\dfrac{-x-15}{x^2+5}$. При больших положительных $x$ это отрицательно — график подходит снизу; при больших отрицательных положительно — подходит сверху.

Тип 3. Наклонная асимптота

Самый общий случай. Если функция растёт неограниченно, горизонтали быть не может — но график всё равно может прижиматься к какой-то наклонной прямой.

Теорема (о наклонной асимптоте): Прямая $y=kx+b$ является асимптотой графика $y=f(x)$ при $x\to+\infty$ тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы
$$k=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}, \qquad b=\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-kx\big).$$
Для $x\to-\infty$ формулы те же, с заменой предела.

Откуда берутся эти формулы? Условие «расстояние до прямой стремится к нулю» означает $f(x)-kx-b\to 0$. Разделим это на $x$: $\dfrac{f(x)}{x}-k-\dfrac{b}{x}\to 0$, а поскольку $\dfrac{b}{x}\to 0$, получаем $\dfrac{f(x)}{x}\to k$. Это первая формула. Подставив найденное $k$ обратно в $f(x)-kx-b\to 0$, получаем $f(x)-kx\to b$ — вторая формула. Порядок обязателен: сначала $k$, потом $b$.

Три важных замечания.

Замечание 1: горизонтальная асимптота — частный случай наклонной при $k=0$. Если $\lim\frac{f(x)}{x}=0$, то формула для $b$ превращается в $b=\lim f(x)$ — ровно определение горизонтальной асимптоты. Поэтому на практике не нужно проверять два типа отдельно: считаешь $k$, и если он оказался нулём — ищешь горизонталь, если ненулевым — наклонную.

Замечание 2: слева и справа асимптоты могут быть разными прямыми. Пределы при $x\to+\infty$ и $x\to-\infty$ считаются независимо, и совпадать они не обязаны. Классический пример разберём прямо сейчас.

Замечание 3: асимптоты может не быть вообще. Если $\lim\frac{f(x)}{x}$ бесконечен (как у $y=x^2$: $\frac{x^2}{x}=x\to\infty$), наклонной асимптоты нет. Если $k$ нашёлся, а предел для $b$ не существует — асимптоты тоже нет. Так устроена $y=x+\sin x$: здесь $k=\lim\left(1+\frac{\sin x}{x}\right)=1$, но $b=\lim\big(x+\sin x-x\big)=\lim\sin x$ не существует, график вечно колеблется вокруг прямой $y=x$, не прижимаясь к ней.

Пример C (простой). $y=\dfrac{x^2+1}{x}$.

Тут можно даже без формул: $\dfrac{x^2+1}{x}=x+\dfrac1x$, и слагаемое $\dfrac1x$ стремится к нулю. Значит график прижимается к $y=x$. Проверим формулами: $k=\lim\dfrac{x^2+1}{x\cdot x}=\lim\dfrac{x^2+1}{x^2}=1$; $b=\lim\left(\dfrac{x^2+1}{x}-x\right)=\lim\dfrac{x^2+1-x^2}{x}=\lim\dfrac1x=0$. Асимптота $y=x$, одинаковая с обеих сторон. Плюс вертикальная $x=0$.

Пример D (средний, дробно-рациональная функция). $y=\dfrac{x^2+2x-1}{x+1}$.

Вертикальная: знаменатель ноль при $x=-1$, числитель там равен $1-2-1=-2\ne0$. Значит $x=-1$ — вертикальная асимптота. Уточним знаки: при $x\to-1^+$ знаменатель $\to 0^+$, числитель $\to -2$, значит $f\to-\infty$; при $x\to-1^-$ имеем $f\to+\infty$.

Наклонная:

$$k=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+2x-1}{x(x+1)}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+2x-1}{x^2+x}=\lim_{x\to\infty}\frac{1+\frac2x-\frac1{x^2}}{1+\frac1x}=1;$$$$b=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2+2x-1}{x+1}-x\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+2x-1-x^2-x}{x+1}=\lim_{x\to\infty}\frac{x-1}{x+1}=1.$$

Асимптота $y=x+1$, одна и та же слева и справа.

Полезная проверка — деление многочленов «уголком»: $x^2+2x-1=(x+1)^2-2$, поэтому

$$y=\frac{(x+1)^2-2}{x+1}=x+1-\frac{2}{x+1}.$$

Видно и асимптоту $y=x+1$, и то, что остаток $-\dfrac{2}{x+1}$ стремится к нулю. Более того, видно с какой стороны: при $x>-1$ остаток отрицателен, график идёт ниже асимптоты; при $x<-1$ — выше. Для дробно-рациональных функций этот приём быстрее формул, и он же сразу даёт положение графика относительно асимптоты.

Пример E (сложный, разные асимптоты слева и справа). $y=\sqrt{x^2+1}$.

Область определения — вся прямая, функция чётная и всюду положительная, минимум в нуле равен $1$. Ищем асимптоты.

Справа, при $x\to+\infty$ (здесь $x>0$, поэтому $\sqrt{x^2}=x$):

$$k_+=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\lim_{x\to+\infty}\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}=\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=1.$$$$b_+=\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)}{\sqrt{x^2+1}+x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}=0.$$

Правая асимптота: $y=x$.

Слева, при $x\to-\infty$ (теперь $x<0$, и $\sqrt{x^2}=|x|=-x$):

$$k_-=\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{|x|\sqrt{1+\frac1{x^2}}}{x}=\lim_{x\to-\infty}\left(-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\right)=-1.$$$$b_-=\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}=0.$$

Левая асимптота: $y=-x$.

Итог: одна функция, две разные наклонные асимптоты — $y=x$ справа и $y=-x$ слева. График $y=\sqrt{x^2+1}$ — верхняя ветвь гиперболы, зажатая между двумя лучами, выходящими из начала координат под 45°. Ровно та картинка, которую описал Аполлоний две тысячи лет назад.

Отсюда общее правило: как только под чётным корнем появляется $x^2$, обязательно разбирай левый и правый пределы по отдельности, следя за знаком в $\sqrt{x^2}=|x|$. Потеря модуля — источник ошибки номер один в задачах на наклонные асимптоты.

Почему это важно

Асимптота отвечает на вопрос «что будет дальше?» — за пределами области, где ты считал. Это единственная часть исследования, которая говорит о поведении функции в бесконечности, а значит о пределах возможного.

В прикладных задачах это обычно самая ценная информация. Кривая «качество модели против объёма обучающих данных» имеет горизонтальную асимптоту — потолок, выше которого архитектура не поднимется, сколько данных ни добавляй. Знать высоту этого потолка важнее, чем знать текущее значение метрики: он определяет, стоит ли размечать ещё сто тысяч примеров или пора менять модель. Кривая «время ответа против нагрузки» имеет вертикальную асимптоту — уровень нагрузки, при котором система ложится; это число называется пропускной способностью, и вокруг него строится вся ёмкостная планировка сервиса.

Четыре формы куска графика: знак $f'$ × знак $f''$

Интуиция: машина, педаль газа и педаль тормоза

Первая производная — это скорость: куда едем, вперёд или назад. Вторая производная — это ускорение: разгоняемся или тормозим. Комбинация «направление × изменение скорости» полностью задаёт, как выглядит кусочек траектории.

Знаков у каждой производной два, значит комбинаций ровно четыре. Каждая соответствует своей узнаваемой дуге. Выучи их — и склейка графика превратится в механическую работу: определил знаки на промежутке, вспомнил дугу, нарисовал.

$f'$	$f''$	Поведение	Форма дуги
$+$	$+$	растёт, ускоряясь	«разгон»: идёт вверх и всё круче, левая половина чаши $\cup$
$+$	$-$	растёт, замедляясь	«выход на полку»: идёт вверх, но всё положе, левая половина купола $\cap$
$-$	$+$	убывает, замедляясь	«затухание»: идёт вниз, но всё положе, правая половина чаши $\cup$
$-$	$-$	убывает, ускоряясь	«обвал»: идёт вниз и всё круче, правая половина купола $\cap$

Проговорим каждую строку словами, потому что путаница здесь стоит дорого.

Растёт и выпукла вниз ($f'>0$, $f''>0$). Функция увеличивается, и с каждым шагом прибавка больше предыдущей. Экспоненциальный взлёт: $y=e^x$, $y=x^2$ при $x>0$, рост числа заражённых в начале эпидемии. Кривая уходит вверх со всё большей крутизной.

Растёт и выпукла вверх ($f'>0$, $f''<0$). Функция всё ещё увеличивается, но прибавки тают. Насыщение: $y=\sqrt{x}$, $y=\ln x$, $y=1-e^{-x}$, кривая обучения после первых эпох. Именно так выглядит любой процесс, упирающийся в потолок.

Убывает и выпукла вниз ($f'<0$, $f''>0$). Функция уменьшается, но всё медленнее — падение выдыхается. $y=e^{-x}$, $y=\frac1x$ при $x>0$, остывание чашки кофе, затухание loss на плато.

Убывает и выпукла вверх ($f'<0$, $f''<0$). Функция уменьшается всё быстрее — обвал. $y=-x^2$ при $x>0$, $y=\ln\frac1x$... точнее, правая ветвь купола: сначала пологое снижение, потом отвес.

Границы между кусками — это в точности особые точки:

экстремум — там, где $f'$ меняет знак (дуга «разгон» стыкуется с «обвалом» — получается вершина; «затухание» с «разгоном» — получается впадина);
перегиб — там, где $f''$ меняет знак (дуга $\cup$ переходит в $\cap$ или наоборот, направление движения при этом не меняется).

Отдельно стоит запомнить сочетание, которое многих сбивает: функция может расти в точке перегиба. Перегиб — это не «остановка» и не «поворот назад», а смена характера изгиба. У $y=x^3$ в нуле перегиб, и функция там строго возрастает.

Пример 1 (простой): читаем описание, восстанавливаем форму

Дано: $f$ определена на $\mathbb{R}$, $f'>0$ на $(-\infty;2)$, $f'<0$ на $(2;+\infty)$, $f''<0$ всюду, $f(2)=5$, $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=-\infty$.

Разбираем по таблице. На $(-\infty;2)$: $f'>0$, $f''<0$ — «выход на полку», график поднимается, замедляясь. На $(2;+\infty)$: $f'<0$, $f''<0$ — «обвал», спускается всё круче. В точке $x=2$ смена знака $f'$ с $+$ на $-$ — максимум, значение $5$. Перегибов нет: $f''$ знака не меняет.

Форма: единственный купол с вершиной $(2;5)$, обе ветви уходят вниз в бесконечность, всюду выпуклый вверх. Простейший представитель — парабола $y=5-(x-2)^2$.

Пример 2 (средний): собираем график по таблице

Дано: $D(f)=\mathbb{R}$, $f'>0$ на $(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$, $f'<0$ на $(-1;1)$, $f''<0$ на $(-\infty;0)$, $f''>0$ на $(0;+\infty)$, $f(-1)=4$, $f(0)=2$, $f(1)=0$.

Разбиваем прямую всеми особыми точками: $-1$, $0$, $1$.

Промежуток	$f'$	$f''$	Поведение
$(-\infty;-1)$	$+$	$-$	растёт, замедляясь (выход на полку)
$(-1;0)$	$-$	$-$	убывает, ускоряясь (обвал)
$(0;1)$	$-$	$+$	убывает, замедляясь (затухание)
$(1;+\infty)$	$+$	$+$	растёт, ускоряясь (разгон)

Точка $x=-1$: максимум $(−1;4)$. Точка $x=0$: перегиб $(0;2)$, функция там убывает. Точка $x=1$: минимум $(1;0)$.

Форма: классическая «кубическая волна» — подъём к горбу, спуск через перегиб к яме, затем неограниченный рост. Простейший представитель — $y=x^3-3x+2$: проверь, у неё ровно такие критические точки и значения.

Пример 3 (сложный): та же логика с разрывом

Дано: $D(f)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty)$, вертикальная асимптота $x=1$ ($f\to-\infty$ слева, $f\to+\infty$ справа), наклонная $y=x+1$ с обеих сторон, $f'>0$ на $(-\infty;0)\cup(2;+\infty)$, $f'<0$ на $(0;1)\cup(1;2)$, $f''<0$ на $(-\infty;1)$, $f''>0$ на $(1;+\infty)$, $f(0)=0$, $f(2)=4$.

Левый кусок: приходит из $-\infty$ вдоль прямой $y=x+1$, растёт и одновременно выпукл вверх (замедляется), доходит до максимума $(0;0)$, затем обваливается в $-\infty$ у асимптоты $x=1$.

Правый кусок: выходит из $+\infty$ у асимптоты, падает, замедляясь (выпуклость вниз), достигает минимума $(2;4)$, затем разгоняется вверх, прижимаясь снизу к прямой $y=x+1$.

Обрати внимание на странность, которая на самом деле совершенно нормальна: значение в локальном максимуме ($0$) меньше значения в локальном минимуме ($4$). Это возможно именно потому, что между ними разрыв — сравнивать значения экстремумов на разных кусках нельзя. Функция, которую мы только что описали, — это $y=\dfrac{x^2}{x-1}$, и мы разберём её полностью в следующем разделе.

Почему это важно

Таблица из четырёх строк — это словарь перевода между алгеброй и геометрией. Слева знаки, полученные вычислением; справа форма, которую можно нарисовать или описать словами. Без такого словаря исследование остаётся набором чисел: «$f'$ положительна, $f''$ отрицательна» — и что? С ним каждая пара знаков немедленно превращается в дугу.

В прикладной аналитике эти же четыре формы читают с графиков каждый день, только называют по-другому: «экспоненциальный рост», «выход на плато», «затухание», «обвал». Когда аналитик смотрит на кривую метрики и говорит «рост замедляется» — он читает вторую производную. Когда product-менеджер спорит, достигли мы насыщения или нет, — спор идёт ровно о знаке $f''$.

Как описать график словами и таблицей

Картинку в тексте не нарисуешь — а описать график нужно так, чтобы другой человек воспроизвёл его один в один. Для этого есть стандартный формат, и им стоит пользоваться всегда, даже когда рисуешь от руки: он не даёт пропустить кусок.

Формат ответа состоит из трёх частей.

Часть 1. Опорные объекты. Списком: область определения, нули, точки разрыва, все асимптоты, координаты всех экстремумов и перегибов, пределы на бесконечности. Это «гвозди», на которые натягивается кривая.

Часть 2. Сводная таблица по промежуткам. Числовая ось разбивается всеми особыми точками разом — нулями $f'$, нулями $f''$, точками разрыва. В каждой строке: промежуток, знак $f'$, знак $f''$, словесное поведение.

Часть 3. Словесная сборка. Один-два абзаца связного текста: откуда график приходит, куда идёт, где поворачивает, где меняет изгиб, куда уходит. Читается как маршрут.

Вот эталонный ответ на примере $y=\dfrac{2x+1}{x-3}$.

Опорные объекты:

$D(f)=(-\infty;3)\cup(3;+\infty)$
нуль: $x=-\dfrac12$; пересечение с осью $Oy$: $f(0)=-\dfrac13$
вертикальная асимптота $x=3$: $f\to-\infty$ слева, $f\to+\infty$ справа
горизонтальная асимптота $y=2$ с обеих сторон
экстремумов нет, перегибов нет

Здесь удобно выделить целую часть: $\dfrac{2x+1}{x-3}=2+\dfrac{7}{x-3}$. Отсюда сразу $f'=-\dfrac{7}{(x-3)^2}<0$ и $f''=\dfrac{14}{(x-3)^3}$.

Таблица:

Промежуток	$f'$	$f''$	Поведение
$(-\infty;3)$	$-$	$-$	убывает, ускоряясь; выпукла вверх
$(3;+\infty)$	$-$	$+$	убывает, замедляясь; выпукла вниз

Прежде чем писать сборку, уточним сторону подхода к горизонтальной асимптоте: $f(x)-2=\dfrac{7}{x-3}$, и при $x\to-\infty$ это отрицательно — слева график подходит к прямой $y=2$ снизу.

Сборка: левая ветвь выходит из-под прямой $y=2$ на минус бесконечности, монотонно убывает, пересекает ось $Ox$ в точке $-\frac12$, ось $Oy$ в точке $-\frac13$ и обрушивается в $-\infty$ у асимптоты $x=3$. Правая ветвь спускается из $+\infty$, монотонно убывает и прижимается к $y=2$ сверху (при $x>3$ остаток $\frac{7}{x-3}>0$). Это гипербола, сдвинутая в точку $(3;2)$.

Заметь приём: проверять сторону подхода к асимптоте через знак разности $f(x)-(kx+b)$. Это одна строчка, а эскиз она уточняет радикально.

Такой формат ответа мы и будем требовать во всех заданиях на исследование ниже. Три части: объекты, таблица, сборка.

Почему это важно

Умение точно описать кривую словами — навык, который в работе с данными используется гораздо чаще, чем умение её нарисовать. Комментарий к эксперименту, тикет с описанием аномалии, отчёт о поведении метрики после релиза, подпись к графику в статье — везде нужен однозначный текст. «График рос, потом упал» — бесполезно. «Метрика росла с замедлением до 14-й эпохи, там перегиб, после чего началось монотонное падение с ускорением» — это описание, по которому коллега поймёт, что произошло, не открывая дашборд.

Сквозное исследование 1: многочлен $y=x^3-3x^2+2$

Начинаем с самого дружелюбного класса функций. У многочленов нет разрывов, нет асимптот, область определения — вся прямая. Зато есть всё остальное, и на них удобно отработать порядок действий.

1. Область определения. $D(f)=\mathbb{R}$: многочлен определён везде.

2. Симметрия. $f(-x)=-x^3-3x^2+2$. Это не равно ни $f(x)$, ни $-f(x)$ — функция ни чётная, ни нечётная. Не периодическая.

3. Нули и знаки. Решаем $x^3-3x^2+2=0$. Подбираем корень: $x=1$ даёт $1-3+2=0$. Делим на $(x-1)$:

$$x^3-3x^2+2=(x-1)(x^2-2x-2).$$

Корни квадратного: $x=\dfrac{2\pm\sqrt{4+8}}{2}=1\pm\sqrt3$. Итого три нуля: $1-\sqrt3\approx-0{,}73$, $\;1$, $\;1+\sqrt3\approx 2{,}73$.

Знаки методом интервалов (три простых корня, знак чередуется, справа плюс, потому что старший коэффициент положителен):

$$f<0 \text{ на } (-\infty;1-\sqrt3),\quad f>0 \text{ на } (1-\sqrt3;1),\quad f<0 \text{ на } (1;1+\sqrt3),\quad f>0 \text{ на } (1+\sqrt3;+\infty).$$

Пересечение с осью $Oy$: $f(0)=2$.

4. Разрывы. Нет.

5. Асимптоты. Вертикальных нет (функция непрерывна). Наклонная: $k=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^3-3x^2+2}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\left(x^2-3x+\dfrac2x\right)=\infty$ — предел бесконечен, асимптот нет ни справа, ни слева. Так у всех многочленов степени $\ge 2$.

6. Первая производная.

$$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2).$$

Критические точки: $x=0$ и $x=2$. Знаки: парабола ветвями вверх с корнями $0$ и $2$, значит $f'>0$ на $(-\infty;0)$, $f'<0$ на $(0;2)$, $f'>0$ на $(2;+\infty)$.

Экстремумы: в $x=0$ знак меняется с $+$ на $-$ — максимум, $f(0)=2$. В $x=2$ знак меняется с $-$ на $+$ — минимум, $f(2)=8-12+2=-2$.

7. Вторая производная.

$$f''(x)=6x-6=6(x-1).$$

Ноль при $x=1$, знак меняется с минуса на плюс. Значит: $f''<0$ на $(-\infty;1)$ — выпуклость вверх; $f''>0$ на $(1;+\infty)$ — выпуклость вниз. Точка перегиба $(1;0)$: $f(1)=1-3+2=0$.

Красивая деталь: точка перегиба совпала с одним из нулей функции. Совпадение здесь не случайное — кубический многочлен всегда центрально симметричен относительно своей точки перегиба. Проверим: $f(1+t)=(1+t)^3-3(1+t)^2+2=t^3-3t$, а $f(1-t)=-t^3+3t$. Сумма равна нулю, то есть точки $(1+t;f(1+t))$ и $(1-t;f(1-t))$ симметричны относительно $(1;0)$.

8. Поведение на бесконечности. Старший член $x^3$ задаёт тон: $f\to-\infty$ при $x\to-\infty$ и $f\to+\infty$ при $x\to+\infty$.

9. Контрольные точки. $f(-1)=-1-3+2=-2$; $f(3)=27-27+2=2$. Обе ложатся на симметрию относительно $(1;0)$: точки $-1$ и $3$ равноудалены от $1$, значения $-2$ и $2$ противоположны. Эскиз проходит проверку.

10. Сборка.

Промежуток	$f'$	$f''$	Поведение
$(-\infty;0)$	$+$	$-$	растёт, замедляясь (выход на полку)
$x=0$	$0$	$-$	максимум $(0;2)$
$(0;1)$	$-$	$-$	убывает, ускоряясь (обвал)
$x=1$	$-$	$0$	перегиб $(1;0)$, функция убывает
$(1;2)$	$-$	$+$	убывает, замедляясь (затухание)
$x=2$	$0$	$+$	минимум $(2;-2)$
$(2;+\infty)$	$+$	$+$	растёт, ускоряясь (разгон)

Словесное описание. График приходит из $-\infty$ слева внизу, поднимается всё более полого, пересекает ось $Ox$ в точке $1-\sqrt3\approx-0{,}73$ и достигает горба в точке $(0;2)$ — она же пересечение с осью $Oy$. Дальше спускается, всё круче, проходит через точку перегиба $(1;0)$ на самой оси $Ox$ — это середина спуска и одновременно центр симметрии всей кривой. После перегиба спуск смягчается, кривая доходит до ямы $(2;-2)$, разворачивается вверх, пересекает ось $Ox$ в $1+\sqrt3\approx2{,}73$ и уходит в $+\infty$, разгоняясь.

Сквозное исследование 2: дробно-рациональная $y=\dfrac{x^2}{x-1}$

Теперь функция с разрывом, вертикальной асимптотой и наклонной асимптотой — полный комплект.

Подготовка. Первым делом выделим целую часть — это сэкономит половину работы:

$$\frac{x^2}{x-1}=\frac{x^2-1+1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)+1}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}.$$

Проверка обратным ходом: $(x+1)(x-1)+1=x^2-1+1=x^2$. Верно.

1. Область определения. $x-1\ne0$, значит $D(f)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty)$.

2. Симметрия. $f(-x)=\dfrac{x^2}{-x-1}$ — не совпадает ни с $f(x)$, ни с $-f(x)$. Симметрии нет.

3. Нули и знаки. $\dfrac{x^2}{x-1}=0 \Leftrightarrow x^2=0 \Leftrightarrow x=0$. Это двойной нуль: числитель $x^2$ знака не меняет. Значит знак дроби целиком определяется знаменателем: $f<0$ на $(-\infty;0)\cup(0;1)$ и $f>0$ на $(1;+\infty)$. График касается оси $Ox$ в начале координат, не переходя её.

4. Разрыв. В точке $x=1$: числитель стремится к $1\ne0$, значит сокращения нет — это настоящий разрыв второго рода. Считаем односторонние пределы. При $x\to1^-$ знаменатель отрицателен и мал по модулю, числитель близок к $1$: $f\to-\infty$. При $x\to1^+$: $f\to+\infty$.

5. Асимптоты.

Вертикальная: $x=1$ (по пункту 4).

Наклонная:

$$k=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x(x-1)}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x^2-x}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{1-\frac1x}=1;$$$$b=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2}{x-1}-x\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-x^2+x}{x-1}=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x-1}=1.$$

Асимптота $y=x+1$, одинаковая слева и справа. Разложение $f(x)=x+1+\dfrac{1}{x-1}$ подтверждает это мгновенно и вдобавок говорит, с какой стороны график подходит: разность $f(x)-(x+1)=\dfrac{1}{x-1}$ положительна при $x>1$ (график выше асимптоты) и отрицательна при $x<1$ (ниже).

6. Первая производная. Из разложения дифференцировать проще всего:

$$f'(x)=1-\frac{1}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)^2-1}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}.$$

Знаменатель положителен везде, кроме $x=1$, поэтому знак $f'$ равен знаку $x(x-2)$:

$$f'>0 \text{ на } (-\infty;0),\quad f'<0 \text{ на } (0;1)\cup(1;2),\quad f'>0 \text{ на } (2;+\infty).$$

Экстремумы: $x=0$ — максимум, $f(0)=0$. $x=2$ — минимум, $f(2)=\dfrac{4}{1}=4$.

Точка $x=1$ не критическая и не экстремум: функция там просто не определена, знак $f'$ по обе стороны одинаков (минус).

7. Вторая производная.

$$f''(x)=\frac{d}{dx}\left(1-(x-1)^{-2}\right)=2(x-1)^{-3}=\frac{2}{(x-1)^3}.$$

Числитель — константа $2>0$, знак определяется кубом: $f''<0$ при $x<1$ (выпуклость вверх), $f''>0$ при $x>1$ (выпуклость вниз). Точек перегиба нет: знак меняется только в $x=1$, а эта точка не входит в область определения. Это важная тонкость — перегиб обязан быть точкой графика.

8. Поведение на бесконечности. $f\to-\infty$ при $x\to-\infty$ и $f\to+\infty$ при $x\to+\infty$, причём в обоих случаях вдоль прямой $y=x+1$.

9. Контрольные точки. $f(-1)=\dfrac{1}{-2}=-0{,}5$; $f(-2)=\dfrac{4}{-3}\approx-1{,}33$; $f(3)=\dfrac{9}{2}=4{,}5$; $f(0{,}5)=\dfrac{0{,}25}{-0{,}5}=-0{,}5$. Сверим с асимптотой: в точке $x=3$ прямая даёт $4$, функция $4{,}5$ — график выше, как и предсказал знак остатка $\dfrac{1}{x-1}=0{,}5$. Совпало.

10. Сборка.

Промежуток	$f'$	$f''$	Поведение
$(-\infty;0)$	$+$	$-$	растёт, замедляясь; ниже асимптоты $y=x+1$
$x=0$	$0$	$-$	максимум $(0;0)$, касание оси $Ox$
$(0;1)$	$-$	$-$	убывает, ускоряясь; уходит в $-\infty$
$x=1$	—	—	разрыв, вертикальная асимптота
$(1;2)$	$-$	$+$	падает из $+\infty$, замедляясь
$x=2$	$0$	$+$	минимум $(2;4)$
$(2;+\infty)$	$+$	$+$	растёт, ускоряясь; выше асимптоты, прижимаясь к ней

Словесное описание. Левая ветвь выходит из $-\infty$ на минус бесконечности, идя чуть ниже прямой $y=x+1$ и постепенно к ней прижимаясь; поднимается, замедляясь, и в начале координат касается оси $Ox$ сверху — это локальный максимум со значением $0$. После касания ветвь разворачивается вниз и обваливается в $-\infty$, прижимаясь к вертикальной прямой $x=1$ слева.

Правая ветвь появляется из $+\infty$ вплотную к той же прямой $x=1$ справа, стремительно падает, замедляется и достигает дна в точке $(2;4)$. Затем поворачивает вверх и уходит в $+\infty$, всё точнее ложась на прямую $y=x+1$ сверху.

Отдельно отметь курьёз, о котором мы говорили выше: локальный максимум равен $0$, а локальный минимум равен $4$ — минимум выше максимума. Противоречия нет: эти экстремумы живут на разных кусках графика, разделённых разрывом, и никакого сравнения между ними теорема о промежуточном значении не требует.

Сквозное исследование 3: функция с экспонентой $y=xe^{-x}$

Третий тип — произведение многочлена на экспоненту. Такие функции постоянно возникают в физике (радиоактивный распад с накоплением), в теории вероятностей (гамма-распределение) и в ML (расписания learning rate вида «разогрев и затухание»).

1. Область определения. $D(f)=\mathbb{R}$: и $x$, и $e^{-x}$ определены везде.

2. Симметрия. $f(-x)=-xe^{x}$ — ни чётная, ни нечётная.

3. Нули и знаки. $xe^{-x}=0$. Экспонента положительна всегда, значит нуль единственный: $x=0$. Знак $f$ совпадает со знаком $x$: $f<0$ при $x<0$, $f>0$ при $x>0$.

4. Разрывы. Нет.

5. Асимптоты. Вертикальных нет. Ищем поведение на бесконечности.

Справа: нужен $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{e^{x}}$. Правило Лопиталя нам ещё не доступно, но и не нужно — хватает элементарной оценки. Из неравенства $e^{t}\ge 1+t$ (верного для всех $t$) при $t=\frac x2>0$ получаем $e^{x/2}\ge 1+\frac x2>\frac x2$, а значит

$$e^{x}=\left(e^{x/2}\right)^2>\frac{x^2}{4}\quad\Rightarrow\quad 0<\frac{x}{e^x}<\frac{4}{x}\xrightarrow[x\to+\infty]{}0.$$

По теореме о двух милиционерах $\lim\limits_{x\to+\infty}xe^{-x}=0$. Причём подход сверху, потому что $f>0$ при $x>0$. Горизонтальная асимптота $y=0$ справа.

Слева: при $x\to-\infty$ множитель $x\to-\infty$, а $e^{-x}\to+\infty$, произведение $\to-\infty$. Наклонной асимптоты тоже нет: $k=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{xe^{-x}}{x}=\lim\limits_{x\to-\infty}e^{-x}=+\infty$ — предел бесконечен.

Итог: одна-единственная асимптота $y=0$, и только справа. Слева график улетает в $-\infty$ по-настоящему круто.

6. Первая производная. По правилу произведения и цепному правилу (уроки 136–137):

$$f'(x)=1\cdot e^{-x}+x\cdot\left(-e^{-x}\right)=e^{-x}(1-x).$$

Множитель $e^{-x}>0$ всегда, поэтому знак $f'$ равен знаку $(1-x)$:

$$f'>0 \text{ на } (-\infty;1),\qquad f'<0 \text{ на } (1;+\infty).$$

Единственная критическая точка $x=1$, смена знака с $+$ на $-$ — максимум. Значение $f(1)=1\cdot e^{-1}=\dfrac1e\approx 0{,}368$. Поскольку других экстремумов нет и слева функция уходит в $-\infty$, а справа стремится к нулю сверху, этот максимум — ещё и глобальный: $\frac1e$ — наибольшее значение функции на всей прямой (это уже техника урока 142).

7. Вторая производная.

$$f''(x)=\frac{d}{dx}\left(e^{-x}(1-x)\right)=-e^{-x}(1-x)+e^{-x}\cdot(-1)=e^{-x}\big(x-1-1\big)=e^{-x}(x-2).$$

Знак равен знаку $(x-2)$: $f''<0$ на $(-\infty;2)$ — выпуклость вверх; $f''>0$ на $(2;+\infty)$ — выпуклость вниз. Точка перегиба $x=2$, значение $f(2)=2e^{-2}\approx0{,}271$.

Обрати внимание на взаимное расположение: максимум в $x=1$, перегиб в $x=2$ — правее. Между ними функция уже убывает, но всё ещё выпукла вверх (обвал набирает скорость), а после $x=2$ падение начинает выдыхаться, и кривая мягко ложится на асимптоту $y=0$.

8. Поведение на бесконечности. $f\to-\infty$ при $x\to-\infty$; $f\to0^+$ при $x\to+\infty$.

9. Контрольные точки. $f(-1)=-e\approx-2{,}72$; $f(0)=0$; $f(3)=3e^{-3}\approx0{,}149$; $f(5)=5e^{-5}\approx0{,}034$. Видно, как быстро экспонента съедает линейный рост: от максимума $0{,}368$ до $0{,}034$ за четыре шага.

10. Сборка.

Промежуток	$f'$	$f''$	Поведение
$(-\infty;1)$	$+$	$-$	растёт, замедляясь (выход на полку)
$x=1$	$0$	$-$	максимум $\left(1;\frac1e\right)$, он же глобальный
$(1;2)$	$-$	$-$	убывает, ускоряясь
$x=2$	$-$	$0$	перегиб $\left(2;\frac{2}{e^2}\right)$
$(2;+\infty)$	$-$	$+$	убывает, замедляясь; прижимается к $y=0$ сверху

Словесное описание. Слева график приходит из $-\infty$ очень круто, быстро выполаживается и пересекает начало координат снизу вверх. Дальше подъём продолжается, замедляясь, до вершины $\left(1;\;0{,}368\right)$ — единственного горба на всей кривой и её наибольшего значения. После вершины начинается спуск, который сперва ускоряется, а в точке $\left(2;\;0{,}271\right)$ переламывается: это перегиб, после него падение становится всё более пологим. Дальше кривая бесконечно долго тянется вправо, оставаясь положительной и неограниченно приближаясь к оси $Ox$ сверху — но никогда её не пересекая.

Эта форма — «резкий подъём, один пик, длинный затухающий хвост» — встречается в данных постоянно: концентрация лекарства в крови после приёма таблетки, число активных пользователей после пуша, интенсивность отклика на рекламную кампанию, learning rate в расписании warmup + exponential decay.

Исследование функции как отладка модели: кривые обучения и scaling laws

Открой любой эксперимент по обучению нейросети — и первое, на что посмотрит инженер, будет график. По горизонтали эпохи или шаги, по вертикали лосс или метрика качества. Эта картинка называется кривой обучения, и читают её ровно по анкете из этого урока. Ни одного нового понятия не понадобится — только те же $f'$, $f''$ и асимптоты.

Кривая обучения: анкета в действии

Пусть $L(t)$ — значение функции потерь после $t$ эпох. Что говорит каждый пункт исследования?

Знак $L'$ — учится ли модель. $L'<0$ — лосс падает, обучение идёт. $L'>0$ на валидации при продолжающемся падении на трейне — начало переобучения. $L'\approx 0$ на длинном промежутке — плато: либо модель сошлась, либо застряла (различить помогает контекст, о чём шла речь в уроке 139).

Знак $L''$ — что будет дальше. Вот где вторая производная окупается. Лосс падает — отлично, но падает ускоряясь ($L''<0$) или замедляясь ($L''>0$)? В первом случае обучение только раскочегарилось и останавливать его рано. Во втором прогресс выдыхается, кривая ложится на полку, и каждая следующая эпоха приносит всё меньше. Ровно эту разницу и означают строки «обвал» и «затухание» из нашей таблицы четырёх форм.

Точка перегиба — смена режима. Перегиб на кривой обучения — момент, когда характер прогресса меняется качественно. Типичная кривая с шедулером: сначала на разогреве (warmup) лосс падает медленно, потом ускоряется, потом снова замедляется — два перегиба, три режима. Инженеры называют такие точки «изломами» и по ним настраивают расписание learning rate: если перегиб пришёл раньше ожидаемого, шаг можно снижать раньше.

Горизонтальная асимптота — потолок. Это главное, что даёт исследование. Кривая обучения почти всегда имеет вид «падение с выходом на полку»: $L(t)\to L_\infty$ при $t\to\infty$. Число $L_\infty$ — предел, ниже которого эта модель на этих данных не опустится, сколько её ни учи. Обучение сверх момента, когда кривая практически легла на асимптоту, — это сожжённые GPU-часы.

Простейшая модель такой кривой — то самое «затухание» из нашей таблицы:

$$L(t)=L_\infty+(L_0-L_\infty)e^{-t/\tau}.$$

Прогоним по анкете: $D=[0;+\infty)$; $L(0)=L_0$; $L'(t)=-\dfrac{L_0-L_\infty}{\tau}e^{-t/\tau}<0$ — монотонное убывание; $L''(t)=\dfrac{L_0-L_\infty}{\tau^2}e^{-t/\tau}>0$ — выпуклость вниз, падение всё время замедляется; $\lim\limits_{t\to+\infty}L(t)=L_\infty$ — горизонтальная асимптота. Перегибов нет: знак $L''$ не меняется. Параметр $\tau$ — характерное время: за $\tau$ эпох разрыв до потолка сокращается в $e\approx2{,}72$ раза, за $3\tau$ — примерно в $20$ раз. Отсюда практическое правило early stopping: смысла учить дольше $3$–$5\,\tau$ почти нет.

Сигмоида: эталон функции с двумя горизонтальными асимптотами

$$\sigma(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}.$$

Это самая исследуемая функция во всём машинном обучении, и она же — идеальная иллюстрация к теме урока. Прогоним анкету целиком.

Область определения: $\mathbb{R}$, знаменатель $1+e^{-x}$ положителен всегда.

Нули: числитель равен $1$, нулей нет; $\sigma(x)>0$ везде. Пересечение с $Oy$: $\sigma(0)=\frac12$.

Асимптоты: при $x\to+\infty$ имеем $e^{-x}\to0$, значит $\sigma\to1$ — горизонтальная асимптота $y=1$ справа. При $x\to-\infty$ имеем $e^{-x}\to+\infty$, значит $\sigma\to0$ — горизонтальная асимптота $y=0$ слева. Две разные горизонтальные асимптоты у одной функции — тот самый случай, о котором мы говорили в разделе про асимптоты.

Первая производная: известная формула $\sigma'=\sigma(1-\sigma)$. Оба множителя положительны (поскольку $0<\sigma<1$), значит $\sigma'>0$ всюду: функция строго возрастает и экстремумов не имеет.

Вторая производная: $\sigma''=\sigma'(1-2\sigma)=\sigma(1-\sigma)(1-2\sigma)$. Знак определяется скобкой $(1-2\sigma)$: при $\sigma<\frac12$ (то есть $x<0$) она положительна — выпуклость вниз; при $x>0$ отрицательна — выпуклость вверх. Точка перегиба ровно одна: $\left(0;\frac12\right)$.

Сборка: слева кривая выползает из-под прямой $y=0$, растёт, ускоряясь, в точке $\left(0;\frac12\right)$ переламывается (там же максимальная крутизна $\sigma'(0)=\frac14$) и дальше растёт, замедляясь, прижимаясь к $y=1$ снизу. Симметрия относительно точки перегиба: $\sigma(-x)=1-\sigma(x)$.

Из этого исследования следуют два известных факта. Первый: максимум производной равен $\frac14$ — это тот самый множитель $0{,}25$, из-за которого в глубоких сетях затухают градиенты (урок 137). Второй: на «хвостах», далеко от нуля, $\sigma'$ практически равна нулю — нейрон насыщается, градиент до него не доходит, обучение останавливается. Обе проблемы читаются прямо с эскиза: полка слева, полка справа, вся «жизнь» сосредоточена в узком окне вокруг перегиба.

Асимптоты в реальных кривых: scaling laws

Самый экономически значимый пример асимптоты в ML — зависимость качества модели от размера. Эмпирические scaling laws (Каплан и соавторы, 2020; Хоффманн и соавторы, «Chinchilla», 2022) утверждают: лосс большой языковой модели связан с числом параметров $N$, объёмом данных $D$ и вычислительным бюджетом $C$ степенными зависимостями вида

$$L(N)=L_\infty+\frac{A}{N^{\alpha}},$$

где $\alpha$ — небольшое положительное число (порядка $0{,}05$–$0{,}1$ для языковых моделей).

Прогони эту функцию по анкете, и всё станет ясно без единого эксперимента. $L'(N)=-\dfrac{\alpha A}{N^{\alpha+1}}<0$ — качество улучшается с ростом модели, всегда. $L''(N)=\dfrac{\alpha(\alpha+1)A}{N^{\alpha+2}}>0$ — улучшение замедляется, кривая выпукла вниз, это «затухание» из таблицы. $\lim\limits_{N\to\infty}L(N)=L_\infty$ — горизонтальная асимптота, непреодолимый потолок, определяемый самими данными (энтропия языка), а не размером модели.

Практический вывод считается арифметикой. Пусть $L(N)=2+\dfrac{8}{\sqrt N}$ (то есть $\alpha=\frac12$, $L_\infty=2$). Чтобы получить $L=2{,}5$, нужно $\dfrac{8}{\sqrt N}=0{,}5$, откуда $\sqrt N=16$ и $N=256$. Чтобы улучшить результат вдвое по «расстоянию до потолка», до $L=2{,}25$, нужно $\dfrac{8}{\sqrt N}=0{,}25$, откуда $\sqrt N=32$ и $N=1024$ — вчетверо больше модель ради половины оставшегося улучшения. Следующий шаг до $2{,}125$ потребует $N=4096$. Это и есть та самая экономика, из-за которой обучение фронтирных моделей стоит сотни миллионов долларов: каждый следующий процент качества обходится в разы дороже предыдущего, потому что кривая выпукла вниз и лежит на асимптоте.

Почему scaling laws рисуют в логарифмических осях. Если построить $L-L_\infty=\dfrac{A}{N^\alpha}$ в обычных координатах, увидишь невнятную кривую, прижавшуюся к оси. Но прологарифмируем:

$$\ln\left(L-L_\infty\right)=\ln A-\alpha\ln N.$$

В координатах $(\ln N;\;\ln(L-L_\infty))$ это прямая с угловым коэффициентом $-\alpha$. Степенная зависимость в лог-лог осях выпрямляется — и это превращает трудную задачу «угадать вид кривой» в лёгкую «проверить, легли ли точки на прямую, и измерить наклон». Именно поэтому все графики в статьях про scaling выглядят как аккуратные прямые линии: это не природа так добра, это замена координат. Тот же приём работает для экспоненты: $y=Ae^{kx}$ в полулогарифмических осях $(x;\ln y)$ тоже становится прямой.

Кривая «размер модели → качество» и точка, где пора остановиться

Соединим два взгляда. С одной стороны, качество монотонно растёт с размером модели. С другой — стоимость обучения растёт примерно линейно по числу параметров. Значит «выгода на рубль» описывается уже другой функцией, у которой есть настоящий максимум.

Измерим пользу как выигрыш в лоссе относительно базовой модели: $U(N)=L_{\text{баз}}-L(N)=L_{\text{баз}}-L_\infty-\dfrac{A}{N^{\alpha}}$. Тогда $U'(N)=\dfrac{\alpha A}{N^{\alpha+1}}>0$ — польза растёт, но $U''(N)<0$ — растёт всё медленнее. Затраты возьмём линейными: $C(N)=cN$. Чистая выгода $G(N)=U(N)-cN$, и её производная $G'(N)=U'(N)-c$ обращается в ноль там, где предельная польза сравнялась с предельной стоимостью: $U'(N)=c$. Поскольку $U'$ монотонно убывает, такая точка единственна, и слева от неё $G'>0$, а справа $G'<0$ — это максимум. После него каждый добавленный параметр приносит меньше, чем стоит.

Это ровно задача из урока 142, только сформулированная на языке инженерных решений. И она объясняет, почему ответ на вопрос «а не взять ли модель побольше?» звучит не «да» и не «нет», а «покажи кривую»: без знания $\alpha$ и $L_\infty$ решение принимать нечем.

Похожая логика работает и с данными. Кривая «метрика против объёма размеченной выборки» — тоже кривая насыщения с горизонтальной асимптотой. Прежде чем заказывать разметку ещё ста тысяч примеров, строят эту кривую по подвыборкам (10 %, 25 %, 50 %, 100 % имеющихся данных), оценивают, где полка, и считают, сколько метрики принесёт удвоение. Часто выясняется, что принесёт десятые доли процента — и деньги уходят на улучшение архитектуры или чистку разметки вместо объёма.

Практика: 30 заданий

Дальше — тридцать заданий на всю схему целиком. В задачах на полное исследование придерживайся формата из раздела «Как описать график словами и таблицей»: опорные объекты, сводная таблица, словесная сборка. Пределы считай техникой уроков 129–132 — делением на старшую степень, вынесением множителя, оценками; правило Лопиталя нам ещё не понадобится.

Базовые (задания 1-10)

Задание 1: Найди вертикальные асимптоты графика $y=\dfrac{x+2}{x-4}$.

Задание 2: Найди горизонтальные асимптоты графика $y=\dfrac{3x^2-x}{x^2+5}$.

Задание 3: Найди все асимптоты графика $y=\dfrac{5x-1}{2x+3}$.

Задание 4: Найди все асимптоты графика $y=\dfrac{x^2+1}{x}$.

Задание 5: Найди все асимптоты графика $y=3+\dfrac{1}{x-2}$ и укажи, с какой стороны график подходит к горизонтальной асимптоте.

Задание 6: Есть ли у графика функции $y=x^3-x$ наклонные или горизонтальные асимптоты?

Задание 7: Найди промежутки монотонности, экстремумы и точку перегиба функции $y=x^3-3x$.

Задание 8: Проведи полное исследование функции $y=x^2-4x+3$ и опиши график словами.

Промежуток	$f'$	$f''$	Поведение
$(-\infty;2)$	$-$	$+$	убывает, замедляясь
$(2;+\infty)$	$+$	$+$	растёт, ускоряясь

Задание 9: Найди промежутки выпуклости и точки перегиба функции $y=x^4-6x^2$.

Задание 10: Функция определена на всей прямой, $f'>0$ на $(-\infty;3)$ и $f'<0$ на $(3;+\infty)$, $f''<0$ всюду, $f(3)=7$, а на обоих концах $f\to-\infty$. Опиши форму графика и приведи пример такой функции.

Средние (задания 11-20)

Задание 11: Проведи полное исследование функции $y=\dfrac{x}{x^2+1}$.

Решение:

1. Область определения. $x^2+1>0$ всегда, значит $D(f)=\mathbb{R}$.

2. Симметрия. $f(-x)=\dfrac{-x}{x^2+1}=-f(x)$ — функция нечётная, график симметричен относительно начала координат.

3. Нули и знаки. $f=0 \Leftrightarrow x=0$. Знаменатель положителен, значит знак $f$ равен знаку $x$.

4. Разрывов нет.

5. Асимптоты. Вертикальных нет. Горизонтальная: делим на $x^2$,

$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{x^2+1}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\frac1x}{1+\frac1{x^2}}=0.$$

Асимптота $y=0$ с обеих сторон; справа график подходит сверху, слева снизу.

6. Первая производная.

$$f'=\frac{1\cdot(x^2+1)-x\cdot2x}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}.$$

Знаменатель положителен, знак равен знаку $1-x^2$: $f'<0$ при $|x|>1$, $f'>0$ при $|x|<1$. Минимум в $x=-1$: $f(-1)=-\dfrac12$. Максимум в $x=1$: $f(1)=\dfrac12$.

7. Вторая производная.

$$f''=\frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}.$$

Нули: $x=0$, $x=\pm\sqrt3$; во всех трёх знак меняется. Значения: $f(0)=0$, $f(\sqrt3)=\dfrac{\sqrt3}{4}\approx0{,}43$, $f(-\sqrt3)=-\dfrac{\sqrt3}{4}$.

8. $f\to0$ на обоих концах. 9. Контроль: $f(2)=0{,}4$, $f(3)=0{,}3$ — убывание к нулю подтверждается.

Таблица:

Промежуток	$f'$	$f''$	Поведение
$(-\infty;-\sqrt3)$	$-$	$-$	убывает, ускоряясь
$(-\sqrt3;-1)$	$-$	$+$	убывает, замедляясь
$(-1;0)$	$+$	$+$	растёт, ускоряясь
$(0;1)$	$+$	$-$	растёт, замедляясь
$(1;\sqrt3)$	$-$	$-$	убывает, ускоряясь
$(\sqrt3;+\infty)$	$-$	$+$	убывает, замедляясь

Сборка: график приходит из-под оси $Ox$ на минус бесконечности, опускается до ямы $\left(-1;-\frac12\right)$, поднимается через начало координат (перегиб) до горба $\left(1;\frac12\right)$ и снова спускается к оси, прижимаясь к ней сверху. Две «волны», симметричные относительно начала координат.

Ответ: нечётная; минимум $\left(-1;-\frac12\right)$, максимум $\left(1;\frac12\right)$; перегибы $\left(-\sqrt3;-\frac{\sqrt3}{4}\right)$, $(0;0)$, $\left(\sqrt3;\frac{\sqrt3}{4}\right)$; горизонтальная асимптота $y=0$.

Задание 12: Проведи полное исследование функции $y=\dfrac{x-1}{x+2}$.

Решение:

Подготовка. Выделим целую часть: $\dfrac{x-1}{x+2}=\dfrac{(x+2)-3}{x+2}=1-\dfrac{3}{x+2}$.

1. $D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)$.

2. Симметрии нет.

3. Нуль: $x=1$. Пересечение с $Oy$: $f(0)=-\dfrac12$. Знаки: $f>0$ при $x<-2$ и при $x>1$; $f<0$ на $(-2;1)$.

4. В точке $x=-2$: при $x\to-2^+$ дробь $\dfrac{3}{x+2}\to+\infty$, значит $f\to-\infty$; при $x\to-2^-$ имеем $f\to+\infty$.

5. Вертикальная асимптота $x=-2$; горизонтальная $y=1$ (поскольку $\frac{3}{x+2}\to0$). Сторона подхода: $f-1=-\dfrac{3}{x+2}$, при $x>-2$ отрицательно (график ниже $y=1$), при $x<-2$ — выше.

6. $f'=\dfrac{3}{(x+2)^2}>0$ на всей области определения. Функция возрастает на каждом из двух промежутков (но не на объединении — через разрыв монотонность не «переносится»). Экстремумов нет.

7. $f''=-\dfrac{6}{(x+2)^3}$: при $x>-2$ знаменатель положителен, $f''<0$ — выпуклость вверх; при $x<-2$ имеем $f''>0$ — выпуклость вниз. Перегибов нет (единственная смена знака в точке разрыва).

Таблица:

Промежуток	$f'$	$f''$	Поведение
$(-\infty;-2)$	$+$	$+$	растёт, ускоряясь; от $y=1$ сверху до $+\infty$
$(-2;+\infty)$	$+$	$-$	растёт, замедляясь; от $-\infty$ до $y=1$ снизу

Сборка: гипербола с центром $(-2;1)$. Левая ветвь поднимается от прямой $y=1$ (сверху) к $+\infty$ у асимптоты $x=-2$; правая выходит из $-\infty$, пересекает ось $Oy$ в $-\frac12$, ось $Ox$ в $1$ и прижимается к $y=1$ снизу.

Ответ: асимптоты $x=-2$ и $y=1$; возрастает на каждом промежутке, экстремумов и перегибов нет; нуль $x=1$.

Задание 13: Проведи полное исследование функции $y=x+\dfrac4x$.

Решение:

1. $D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$.

2. $f(-x)=-x-\dfrac4x=-f(x)$ — нечётная.

3. Нули: $x+\dfrac4x=\dfrac{x^2+4}{x}=0$ требует $x^2+4=0$ — решений нет. Функция нигде не обращается в ноль; знак совпадает со знаком $x$.

4. При $x\to0^+$ слагаемое $\frac4x\to+\infty$, значит $f\to+\infty$; при $x\to0^-$ имеем $f\to-\infty$.

5. Вертикальная асимптота $x=0$. Наклонная: $k=\lim\left(1+\frac{4}{x^2}\right)=1$, $b=\lim\left(x+\frac4x-x\right)=\lim\frac4x=0$. Асимптота $y=x$ с обеих сторон; при $x>0$ график выше неё, при $x<0$ ниже.

6. $f'=1-\dfrac{4}{x^2}=\dfrac{x^2-4}{x^2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}$. Знак равен знаку $(x-2)(x+2)$: $f'>0$ при $|x|>2$, $f'<0$ при $0<|x|<2$. Максимум в $x=-2$: $f(-2)=-2-2=-4$. Минимум в $x=2$: $f(2)=2+2=4$.

7. $f''=\dfrac{8}{x^3}$: $f''<0$ при $x<0$ (выпуклость вверх), $f''>0$ при $x>0$ (вниз). Перегибов нет.

Таблица:

Промежуток	$f'$	$f''$	Поведение
$(-\infty;-2)$	$+$	$-$	растёт, замедляясь
$(-2;0)$	$-$	$-$	убывает, ускоряясь, в $-\infty$
$(0;2)$	$-$	$+$	падает из $+\infty$, замедляясь
$(2;+\infty)$	$+$	$+$	растёт, ускоряясь, вдоль $y=x$

Сборка: две ветви. Правая приходит из $+\infty$ у оси $Oy$, опускается до дна $(2;4)$ и уходит вверх, прижимаясь к прямой $y=x$ сверху. Левая — её копия, повёрнутая на 180° вокруг начала координат: горб $(-2;-4)$, уход в $-\infty$ у оси $Oy$.

Максимум $-4$ меньше минимума $4$ — снова нормально, ветви разделены разрывом.

Ответ: нечётная; асимптоты $x=0$ и $y=x$; максимум $(-2;-4)$, минимум $(2;4)$; перегибов и нулей нет.

Задание 14: Проведи полное исследование функции $y=\dfrac{\ln x}{x}$.

Решение:

1. Логарифм требует $x>0$, знаменатель — $x\ne0$. Значит $D(f)=(0;+\infty)$.

2. Область несимметрична, о чётности речи нет.

3. Нуль: $\ln x=0 \Rightarrow x=1$. Знаки: $f<0$ на $(0;1)$, $f>0$ на $(1;+\infty)$.

4. Край области: $x\to0^+$. Числитель $\ln x\to-\infty$, знаменатель $\to0^+$, значит $f\to-\infty$.

5. Вертикальная асимптота $x=0$ (односторонняя). На бесконечности: нужен $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}$. Пользуемся оценкой $\ln t\le t-1$: при $x>1$

$$\ln x=2\ln\sqrt x\le 2\left(\sqrt x-1\right)<2\sqrt x \quad\Rightarrow\quad 0<\frac{\ln x}{x}<\frac{2}{\sqrt x}\xrightarrow[x\to+\infty]{}0.$$

По теореме о двух милиционерах предел равен нулю: горизонтальная асимптота $y=0$, график подходит сверху.

6. $f'=\dfrac{\frac1x\cdot x-\ln x}{x^2}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$. Знак равен знаку $(1-\ln x)$: $f'>0$ при $xe$. Максимум в $x=e$: $f(e)=\dfrac1e\approx0{,}368$. Он же глобальный.

7. $f''=\dfrac{2\ln x-3}{x^3}$. Ноль при $\ln x=\dfrac32$, то есть $x=e^{3/2}\approx4{,}48$; знак меняется с минуса на плюс. Значение $f\left(e^{3/2}\right)=\dfrac{3}{2e^{3/2}}\approx0{,}335$.

Таблица:

Промежуток	$f'$	$f''$	Поведение
$(0;e)$	$+$	$-$	растёт, замедляясь
$\left(e;e^{3/2}\right)$	$-$	$-$	убывает, ускоряясь
$\left(e^{3/2};+\infty\right)$	$-$	$+$	убывает, замедляясь, к $y=0$

Сборка: кривая выходит из $-\infty$ вдоль оси $Oy$, круто поднимается, пересекает ось $Ox$ в точке $x=1$, доходит до вершины $\left(e;\frac1e\right)$, затем спускается, в точке $x=e^{3/2}$ переламывается (перегиб) и дальше плавно ложится на ось $Ox$ сверху.

Ответ: $D=(0;+\infty)$; асимптоты $x=0$ и $y=0$; нуль $x=1$; глобальный максимум $\left(e;\frac1e\right)$; перегиб $\left(e^{3/2};\frac{3}{2e^{3/2}}\right)\approx(4{,}48;0{,}335)$.

Задание 15: Проведи полное исследование функции $y=x^2e^{x}$.

Решение:

1. $D(f)=\mathbb{R}$.

2. Симметрии нет.

3. Нуль: $x=0$ (двойной, так как $e^x>0$). Знак: $f\ge0$ всюду, $f>0$ при $x\ne0$. График касается оси $Ox$ в начале координат.

4. Разрывов нет.

5. Асимптоты. Справа $f\to+\infty$, и $k=\lim\limits_{x\to+\infty}xe^x=+\infty$ — асимптоты нет. Слева считаем $\lim\limits_{x\to-\infty}x^2e^x$. Замена $x=-u$, $u\to+\infty$: получаем $\dfrac{u^2}{e^u}$. Оценка: $e^{u}=\left(e^{u/3}\right)^3>\left(\dfrac u3\right)^3=\dfrac{u^3}{27}$, значит $0<\dfrac{u^2}{e^u}<\dfrac{27}{u}\to0$. Итак, $\lim\limits_{x\to-\infty}x^2e^x=0$ — горизонтальная асимптота $y=0$ слева, подход сверху.

6. $f'=2xe^x+x^2e^x=e^x\,x(x+2)$. Знак равен знаку $x(x+2)$: $f'>0$ на $(-\infty;-2)$, $f'<0$ на $(-2;0)$, $f'>0$ на $(0;+\infty)$. Максимум в $x=-2$: $f(-2)=4e^{-2}\approx0{,}541$. Минимум в $x=0$: $f(0)=0$ (он же глобальный, ведь функция неотрицательна).

7. $f''=e^x\left(x^2+4x+2\right)$. Нули: $x=-2\pm\sqrt2$, то есть $x\approx-3{,}41$ и $x\approx-0{,}59$; в обеих знак меняется. Значения: $f(-2-\sqrt2)\approx0{,}383$, $f(-2+\sqrt2)\approx0{,}191$.

Таблица:

Промежуток	$f'$	$f''$	Поведение
$(-\infty;-2-\sqrt2)$	$+$	$+$	растёт, ускоряясь, от $y=0$
$(-2-\sqrt2;-2)$	$+$	$-$	растёт, замедляясь, к горбу
$(-2;-2+\sqrt2)$	$-$	$-$	убывает, ускоряясь
$(-2+\sqrt2;0)$	$-$	$+$	убывает, замедляясь, к нулю
$(0;+\infty)$	$+$	$+$	растёт, ускоряясь, в $+\infty$

Сборка: слева кривая едва отличима от оси $Ox$, затем приподнимается, проходит перегиб при $x\approx-3{,}41$, достигает горба $(-2;0{,}54)$, спускается через второй перегиб при $x\approx-0{,}59$ и касается оси $Ox$ в начале координат — там минимум. Дальше уходит вверх, разгоняясь экспоненциально.

Ответ: максимум $\left(-2;\frac4{e^2}\right)\approx(-2;0{,}54)$, минимум $(0;0)$; перегибы при $x=-2\pm\sqrt2$; горизонтальная асимптота $y=0$ только слева.

Задание 16: Найди все асимптоты и наименьшее значение функции $y=\sqrt{x^2-4x+5}$.

Задание 17: Восстанови формулу функции по описанию: график — гипербола, у неё вертикальная асимптота $x=2$, горизонтальная $y=3$, и график проходит через начало координат. Затем проверь монотонность найденной функции.

Задание 18: Проведи полное исследование функции $y=\dfrac{x^2-3}{x-2}$.

Решение:

Подготовка. Деление уголком: $x^2-3=(x-2)(x+2)+1$, значит

$$y=x+2+\frac{1}{x-2}.$$

1. $D(f)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$. 2. Симметрии нет.

3. Нули: $x^2-3=0 \Rightarrow x=\pm\sqrt3\approx\pm1{,}73$. Оба меньше $2$. Знаки: на $(-\infty;-\sqrt3)$ числитель $+$, знаменатель $-$, значит $f<0$; на $(-\sqrt3;\sqrt3)$ имеем $f>0$; на $(\sqrt3;2)$ снова $f<0$; на $(2;+\infty)$ имеем $f>0$. Пересечение с $Oy$: $f(0)=\dfrac{-3}{-2}=1{,}5$.

4. При $x\to2^-$: числитель $\to1>0$, знаменатель $\to0^-$, значит $f\to-\infty$. При $x\to2^+$: $f\to+\infty$.

5. Вертикальная асимптота $x=2$; наклонная $y=x+2$ (видна из разложения). Разность $f-(x+2)=\dfrac{1}{x-2}$: при $x>2$ график выше асимптоты, при $x<2$ ниже.

6. $f'=1-\dfrac{1}{(x-2)^2}=\dfrac{(x-2)^2-1}{(x-2)^2}=\dfrac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^2}$. Знак равен знаку $(x-1)(x-3)$: $f'>0$ на $(-\infty;1)$ и $(3;+\infty)$, $f'<0$ на $(1;2)$ и $(2;3)$. Максимум в $x=1$: $f(1)=\dfrac{1-3}{1-2}=2$. Минимум в $x=3$: $f(3)=\dfrac{9-3}{1}=6$.

7. $f''=\dfrac{2}{(x-2)^3}$: выпуклость вверх при $x<2$, вниз при $x>2$; перегибов нет.

Таблица:

Промежуток	$f'$	$f''$	Поведение
$(-\infty;1)$	$+$	$-$	растёт, замедляясь, ниже $y=x+2$
$(1;2)$	$-$	$-$	убывает, ускоряясь, в $-\infty$
$(2;3)$	$-$	$+$	падает из $+\infty$, замедляясь
$(3;+\infty)$	$+$	$+$	растёт, ускоряясь, выше $y=x+2$

Сборка: левая ветвь идёт из $-\infty$ вдоль прямой $y=x+2$ снизу, пересекает ось $Ox$ в $-\sqrt3$, ось $Oy$ в $1{,}5$, достигает горба $(1;2)$, потом обваливается в $-\infty$, пересекая ось $Ox$ в $\sqrt3$. Правая ветвь падает из $+\infty$ до дна $(3;6)$ и уходит вверх, ложась на $y=x+2$ сверху.

Ответ: асимптоты $x=2$ и $y=x+2$; максимум $(1;2)$, минимум $(3;6)$; нули $\pm\sqrt3$; перегибов нет.

Задание 19: Точность модели на валидации приближённо описывается формулой $a(t)=1-e^{-t/5}$, где $t$ — номер эпохи. Исследуй эту функцию (монотонность, выпуклость, асимптоты) и определи, на какой эпохе точность впервые достигнет $0{,}95$.

Задание 20: Число активных пользователей сервиса растёт по логистическому закону $N(t)=\dfrac{1000}{1+9e^{-0{,}5t}}$, где $t$ — месяцы. Найди асимптоты, точку перегиба и максимальную скорость роста.

Решение:

1. Область. Знаменатель $1+9e^{-0{,}5t}>0$ всегда, значит $D=\mathbb{R}$ (по смыслу $t\ge0$).

2. Начальное значение. $N(0)=\dfrac{1000}{1+9}=100$ пользователей.

3. Асимптоты. При $t\to+\infty$ имеем $e^{-0{,}5t}\to0$, значит $N\to\dfrac{1000}{1}=1000$: горизонтальная асимптота $N=1000$ — ёмкость рынка. При $t\to-\infty$ знаменатель растёт неограниченно, значит $N\to0$: вторая горизонтальная асимптота $N=0$. Две разные горизонтальные асимптоты — как у сигмоиды, и не случайно: логистическая кривая и есть растянутая сигмоида.

4. Монотонность. Знаменатель убывает по $t$ (потому что $e^{-0{,}5t}$ убывает), значит дробь возрастает: $N'>0$ всегда, число пользователей только растёт.

5. Перегиб. Для логистической кривой $N=\dfrac{K}{1+Ae^{-rt}}$ перегиб приходится ровно на половину ёмкости. Найдём момент: $9e^{-0{,}5t}=1 \Rightarrow e^{-0{,}5t}=\dfrac19 \Rightarrow -0{,}5t=-\ln9 \Rightarrow t=2\ln9=4\ln3\approx4{,}39$ месяца. Значение: $N=\dfrac{1000}{1+1}=500$.

6. Максимальная скорость роста. Скорость $N'$ достигает максимума именно в точке перегиба (там $N''=0$ и знак меняется с плюса на минус). Для логистической кривой $N'=rN\left(1-\dfrac{N}{K}\right)$, и при $N=\dfrac K2$ это даёт

$$N'_{\max}=r\cdot\frac K2\cdot\frac12=\frac{rK}{4}=\frac{0{,}5\cdot1000}{4}=125$$

пользователей в месяц.

7. Форма. До $t\approx4{,}39$ рост ускоряется (выпуклость вниз, «разгон»), после — замедляется (выпуклость вверх, «выход на полку»). Классическая S-образная кривая.

Ответ: асимптоты $N=0$ и $N=1000$; перегиб $(4\ln3;\,500)\approx(4{,}39;\,500)$; максимальная скорость роста $125$ пользователей в месяц, она достигается в момент перегиба.

Продвинутые (задания 21-30)

Задание 21: Исследуй функцию $y=\dfrac{x^2-4}{x^2-2x}$: найди область определения, все асимптоты, особые точки и опиши график. Будь внимателен.

Решение:

1. Область определения. $x^2-2x=x(x-2)\ne0$, значит $x\ne0$ и $x\ne2$. $D(f)=(-\infty;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty)$.

2. Упрощение. Раскладываем на множители:

$$\frac{x^2-4}{x^2-2x}=\frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)}=\frac{x+2}{x}\quad\text{при } x\ne0,\;x\ne2.$$

Множитель $(x-2)$ сократился — и это ключ ко всей задаче.

3. Точка $x=2$. Формула не определена, но предел конечен: $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x+2}{x}=\dfrac42=2$. Это устранимый разрыв — выколотая точка $(2;2)$, а вовсе не асимптота. Кто механически объявил нули знаменателя вертикальными асимптотами, здесь ошибся.

4. Точка $x=0$. Сокращения нет: числитель $x+2$ равен $2\ne0$. При $x\to0^+$ дробь $\to+\infty$, при $x\to0^-$ дробь $\to-\infty$. Вертикальная асимптота $x=0$.

5. Горизонтальная асимптота. $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{x+2}{x}=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\left(1+\dfrac2x\right)=1$. Асимптота $y=1$; справа подход сверху, слева снизу.

6. Нули. $x+2=0 \Rightarrow x=-2$. Точка $x=2$ нулём не является — там дырка со значением $2$.

7. Производные. Из вида $f=1+\dfrac2x$ получаем $f'=-\dfrac{2}{x^2}<0$ и $f''=\dfrac{4}{x^3}$. Функция убывает на каждом промежутке, экстремумов нет; выпуклость вверх при $x<0$, вниз при $x>0$; перегибов нет.

Сборка: это гипербола $y=1+\dfrac2x$ с центром $(0;1)$, из которой выколота одна точка $(2;2)$. Левая ветвь убывает от $y=1$ (снизу) до $-\infty$, пересекая ось $Ox$ в $x=-2$. Правая падает из $+\infty$ к $y=1$ сверху, и на ней зияет дырка в точке $(2;2)$.

Ответ: $D(f)=(-\infty;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty)$; вертикальная асимптота только $x=0$; горизонтальная $y=1$; в точке $x=2$ устранимый разрыв — выколотая точка $(2;2)$; нуль $x=-2$; функция убывает на каждом промежутке.

Задание 22: Построй график функции $y=\dfrac{x^3-x}{x^2-1}$.

Задание 23: При каких значениях параметра $a$ функция $y=x^3+ax$ имеет точки экстремума? Найди их координаты и точку перегиба.

Решение:

Шаг 1. Производная. $f'(x)=3x^2+a$.

Шаг 2. Критические точки. Уравнение $3x^2+a=0$, то есть $x^2=-\dfrac a3$.

Если $a>0$, правая часть отрицательна — решений нет, $f'>0$ всюду, функция строго возрастает, экстремумов нет.
Если $a=0$, единственный корень $x=0$, но $f'=3x^2\ge0$ знака не меняет — экстремума нет (это функция $y=x^3$).
Если $a<0$, два корня $x=\pm\sqrt{-\dfrac a3}$, и парабола $3x^2+a$ меняет знак в каждом: $f'>0$ вне корней, $f'<0$ между ними.

Шаг 3. Координаты экстремумов при $a<0$. Обозначим $x_0=\sqrt{-\frac a3}$. В точке $-x_0$ знак $f'$ меняется с $+$ на $-$ — максимум; в точке $x_0$ с $-$ на $+$ — минимум. Значения:

$$f(x_0)=x_0^3+ax_0=x_0\left(x_0^2+a\right)=x_0\left(-\frac a3+a\right)=\frac{2a}{3}x_0=\frac{2a}{3}\sqrt{-\frac a3}.$$

Поскольку $a<0$, это число отрицательно — минимум. По нечётности функции $f(-x_0)=-f(x_0)>0$ — максимум.

Проверка на частном случае. При $a=-3$: $x_0=\sqrt{1}=1$, $f(1)=\frac{2\cdot(-3)}{3}\cdot1=-2$. Прямая подстановка: $f(1)=1-3=-2$. Сходится.

Шаг 4. Перегиб. $f''=6x$, ноль при $x=0$, знак меняется всегда, при любом $a$. Перегиб в точке $(0;0)$ — центре симметрии кубической параболы.

Ответ: экстремумы существуют только при $a<0$; максимум в точке $x=-\sqrt{-\frac a3}$ со значением $-\frac{2a}{3}\sqrt{-\frac a3}$, минимум в точке $x=\sqrt{-\frac a3}$ со значением $\frac{2a}{3}\sqrt{-\frac a3}$; точка перегиба $(0;0)$ при любом $a$.

Задание 24: При каком значении $a$ график функции $y=\dfrac{ax^2+1}{x+1}$ имеет наклонную асимптоту $y=2x-2$?

Задание 25: Проведи полное исследование функции $y=\dfrac{x^2+1}{x-1}$ — здесь сходятся сразу разрыв, наклонная асимптота и два экстремума.

Решение:

Подготовка. Деление уголком: $x^2+1=(x-1)(x+1)+2$, значит

$$y=x+1+\frac{2}{x-1}.$$

1. $D(f)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty)$. 2. Симметрии нет.

3. Нули. $x^2+1=0$ решений не имеет — график не пересекает ось $Ox$. Знак дроби равен знаку знаменателя: $f<0$ при $x<1$, $f>0$ при $x>1$. Пересечение с $Oy$: $f(0)=\dfrac{1}{-1}=-1$.

4. Разрыв. При $x\to1^-$ числитель $\to2>0$, знаменатель $\to0^-$: $f\to-\infty$. При $x\to1^+$: $f\to+\infty$.

5. Асимптоты. Вертикальная $x=1$; наклонная $y=x+1$ (из разложения). Разность $f-(x+1)=\dfrac{2}{x-1}$: график выше асимптоты при $x>1$, ниже при $x<1$.

6. Первая производная.

$$f'=1-\frac{2}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)^2-2}{(x-1)^2}.$$

Нули: $(x-1)^2=2 \Rightarrow x=1\pm\sqrt2$, то есть $x\approx-0{,}41$ и $x\approx2{,}41$. Знак совпадает со знаком числителя: $f'>0$ при $|x-1|>\sqrt2$ и $f'<0$ при $0<|x-1|<\sqrt2$.

Максимум в $x=1-\sqrt2$. Значение считаем через разложение: $f=x+1+\dfrac{2}{x-1}$, где $x-1=-\sqrt2$, значит $f=2-\sqrt2+\dfrac{2}{-\sqrt2}=2-\sqrt2-\sqrt2=2-2\sqrt2\approx-0{,}83$.

Минимум в $x=1+\sqrt2$: $f=2+\sqrt2+\dfrac{2}{\sqrt2}=2+\sqrt2+\sqrt2=2+2\sqrt2\approx4{,}83$.

7. Вторая производная. $f''=\dfrac{4}{(x-1)^3}$: выпуклость вверх при $x<1$, вниз при $x>1$; перегибов нет, потому что единственная смена знака приходится на точку разрыва.

Таблица:

Промежуток	$f'$	$f''$	Поведение
$\left(-\infty;1-\sqrt2\right)$	$+$	$-$	растёт, замедляясь, вдоль $y=x+1$ снизу
$\left(1-\sqrt2;1\right)$	$-$	$-$	убывает, ускоряясь, в $-\infty$
$\left(1;1+\sqrt2\right)$	$-$	$+$	падает из $+\infty$, замедляясь
$\left(1+\sqrt2;+\infty\right)$	$+$	$+$	растёт, ускоряясь, вдоль $y=x+1$ сверху

Сборка: левая ветвь приходит из $-\infty$ чуть ниже прямой $y=x+1$, поднимается до горба $\left(1-\sqrt2;\,2-2\sqrt2\right)\approx(-0{,}41;-0{,}83)$, пересекает ось $Oy$ в точке $-1$ и падает в $-\infty$ у прямой $x=1$. Правая ветвь спускается из $+\infty$ до дна $\left(1+\sqrt2;\,2+2\sqrt2\right)\approx(2{,}41;4{,}83)$ и уходит вверх, ложась на $y=x+1$ сверху. Ось $Ox$ график не пересекает нигде.

Ответ: асимптоты $x=1$ и $y=x+1$; максимум $\left(1-\sqrt2;\,2-2\sqrt2\right)$, минимум $\left(1+\sqrt2;\,2+2\sqrt2\right)$; нулей и перегибов нет.

Задание 26: Исследуй функцию $y=x\sqrt{4-x^2}$ и опиши её график.

Решение:

1. Область определения. $4-x^2\ge0 \Rightarrow x\in[-2;2]$. Область — отрезок, значит про асимптоты и бесконечность речи нет вовсе.

2. Симметрия. $f(-x)=-x\sqrt{4-x^2}=-f(x)$ — нечётная.

3. Нули и знаки. Произведение равно нулю при $x=0$ и при $4-x^2=0$, то есть $x=\pm2$. Корень неотрицателен, значит знак $f$ равен знаку $x$: $f<0$ на $(-2;0)$, $f>0$ на $(0;2)$.

4. Производная.

$$f'=\sqrt{4-x^2}+x\cdot\frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}}=\frac{4-x^2-x^2}{\sqrt{4-x^2}}=\frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}.$$

Знаменатель положителен внутри $(-2;2)$, знак равен знаку $4-2x^2$: $f'>0$ при $|x|<\sqrt2$, $f'<0$ при $\sqrt2<|x|<2$.

Минимум в $x=-\sqrt2$: $f=-\sqrt2\cdot\sqrt{4-2}=-\sqrt2\cdot\sqrt2=-2$. Максимум в $x=\sqrt2$: $f=2$.

5. Концы отрезка. В точках $x=\pm2$ производная не существует: знаменатель обращается в ноль, а числитель равен $-4$, поэтому $f'\to-\infty$ с обеих внутренних сторон. Геометрически это вертикальные касательные — график подходит к точкам $(\pm2;0)$ отвесно.

6. Вторая производная.

$$f''=\frac{2x\left(x^2-6\right)}{\left(4-x^2\right)^{3/2}}.$$

Внутри отрезка $x^2-6<0$ и знаменатель положителен, значит знак $f''$ противоположен знаку $x$: $f''>0$ на $(-2;0)$ — выпуклость вниз; $f''<0$ на $(0;2)$ — выпуклость вверх. Точка перегиба $(0;0)$.

Таблица:

Промежуток	$f'$	$f''$	Поведение
$\left(-2;-\sqrt2\right)$	$-$	$+$	убывает, замедляясь, ко дну
$\left(-\sqrt2;0\right)$	$+$	$+$	растёт, ускоряясь
$\left(0;\sqrt2\right)$	$+$	$-$	растёт, замедляясь, к горбу
$\left(\sqrt2;2\right)$	$-$	$-$	убывает, ускоряясь, к $(2;0)$

Сборка: график начинается в точке $(-2;0)$ вертикальной касательной, круто уходит вниз до дна $\left(-\sqrt2;-2\right)$, поднимается через начало координат (перегиб, самый крутой участок подъёма), достигает горба $\left(\sqrt2;2\right)$ и отвесно падает в точку $(2;0)$. Получается лежащая на боку «восьмёрка» из двух лепестков — верхнего справа и нижнего слева, симметричных относительно начала координат.

Ответ: $D=[-2;2]$, нечётная; минимум $\left(-\sqrt2;-2\right)$, максимум $\left(\sqrt2;2\right)$; перегиб $(0;0)$; в точках $(\pm2;0)$ вертикальные касательные; наибольшее значение $2$, наименьшее $-2$.

Задание 27: Проведи полное исследование функции $y=e^{-x^2}$ (плотность гауссовского распределения с точностью до множителя) и объясни, что означают её точки перегиба.

Решение:

1. $D(f)=\mathbb{R}$.

2. $f(-x)=e^{-x^2}=f(x)$ — чётная, график симметричен относительно оси $Oy$.

3. Нулей нет: экспонента положительна всегда, $0

4. Разрывов нет.

5. Асимптоты. При $x\to\pm\infty$ показатель $-x^2\to-\infty$, значит $e^{-x^2}\to0$. Горизонтальная асимптота $y=0$ с обеих сторон, подход сверху. Вертикальных нет.

6. Первая производная. По цепному правилу: $f'=e^{-x^2}\cdot(-2x)=-2xe^{-x^2}$. Экспонента положительна, значит знак равен знаку $-2x$: $f'>0$ при $x<0$, $f'<0$ при $x>0$. Максимум в $x=0$: $f(0)=1$. Он глобальный.

7. Вторая производная.

$$f''=-2e^{-x^2}-2x\cdot\left(-2x\right)e^{-x^2}=e^{-x^2}\left(4x^2-2\right)=2e^{-x^2}\left(2x^2-1\right).$$

Нули: $x=\pm\dfrac{1}{\sqrt2}\approx\pm0{,}707$; в обеих точках знак меняется. При $|x|<\frac{1}{\sqrt2}$ имеем $f''<0$ — выпуклость вверх; при $|x|>\frac{1}{\sqrt2}$ имеем $f''>0$ — выпуклость вниз. Значения в перегибах: $f\left(\pm\frac1{\sqrt2}\right)=e^{-1/2}\approx0{,}607$.

Таблица:

Промежуток	$f'$	$f''$	Поведение
$\left(-\infty;-\frac1{\sqrt2}\right)$	$+$	$+$	растёт, ускоряясь, от $y=0$
$\left(-\frac1{\sqrt2};0\right)$	$+$	$-$	растёт, замедляясь, к вершине
$\left(0;\frac1{\sqrt2}\right)$	$-$	$-$	убывает, ускоряясь
$\left(\frac1{\sqrt2};+\infty\right)$	$-$	$+$	убывает, замедляясь, к $y=0$

Сборка: знаменитый «колокол». Симметричная кривая с единственной вершиной $(0;1)$, двумя перегибами на высоте $0{,}607$ и двумя бесконечными хвостами, прижимающимися к оси $Ox$ сверху.

Смысл перегибов. Именно в точках перегиба спад колокола максимально крут: там $|f'|$ достигает максимума (напомним, $f''=0$ и есть условие экстремума для $f'$). Для нормального распределения $\mathcal{N}(\mu;\sigma^2)$ плотность имеет вид $\propto e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$, и её точки перегиба стоят ровно на расстоянии $\sigma$ от вершины. Поэтому стандартное отклонение можно «увидеть» на графике: это горизонтальное расстояние от пика до места, где кривая перестаёт заваливаться и начинает выполаживаться. В нашем случае $2\sigma^2=1$, откуда $\sigma=\frac{1}{\sqrt2}$ — что в точности совпадает с найденными перегибами.

Ответ: чётная; глобальный максимум $(0;1)$; перегибы $\left(\pm\frac1{\sqrt2};\,e^{-1/2}\right)\approx(\pm0{,}71;\,0{,}61)$; горизонтальная асимптота $y=0$; перегибы отстоят от вершины ровно на стандартное отклонение.

Задание 28: При каких значениях параметра $a$ график функции $y=x^4+ax^2$ имеет точки перегиба? Найди их координаты.

Задание 29: Ошибка модели на валидации приближённо описывается функцией $L(t)=\dfrac{4}{t}+\dfrac{t}{25}$, где $t>0$ — число эпох: первое слагаемое отвечает за недообучение, второе за переобучение. Исследуй функцию и найди оптимальный момент остановки обучения.

Решение:

1. Область. $t>0$ по смыслу и по формуле.

2. Поведение у левого края. При $t\to0^+$ первое слагаемое $\to+\infty$, значит $L\to+\infty$. Вертикальная асимптота $t=0$: модель, которую не учили, ошибается катастрофически.

3. Поведение на бесконечности. $k=\lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{L(t)}{t}=\lim\left(\dfrac{4}{t^2}+\dfrac1{25}\right)=\dfrac1{25}$; $b=\lim\left(L-\dfrac{t}{25}\right)=\lim\dfrac4t=0$. Наклонная асимптота $L=\dfrac{t}{25}$: при долгом обучении ошибка растёт линейно — это разгоняющееся переобучение.

4. Первая производная.

$$L'(t)=-\frac{4}{t^2}+\frac1{25}=\frac{t^2-100}{25t^2}.$$

Нуль при $t^2=100$, то есть $t=10$ (отрицательный корень вне области). Знак равен знаку $t^2-100$: $L'<0$ на $(0;10)$, $L'>0$ на $(10;+\infty)$. Смена с $-$ на $+$ — минимум.

5. Значение минимума. $L(10)=\dfrac{4}{10}+\dfrac{10}{25}=0{,}4+0{,}4=0{,}8$.

6. Вторая производная. $L''=\dfrac{8}{t^3}>0$ при всех $t>0$: функция всюду выпукла вниз, перегибов нет. Единственная яма — она же глобальный минимум.

Таблица:

Промежуток	$L'$	$L''$	Поведение
$(0;10)$	$-$	$+$	падает из $+\infty$, замедляясь
$(10;+\infty)$	$+$	$+$	растёт, ускоряясь, вдоль $L=\frac{t}{25}$

Интерпретация. До 10-й эпохи выигрыш от доучивания перевешивает переобучение, после — наоборот. Оптимальная стратегия: остановиться на 10-й эпохе с ошибкой $0{,}8$. Это и есть математическая модель early stopping: U-образная кривая валидационной ошибки, минимум которой ищут не аналитически, а мониторингом (сохраняя лучший чекпойнт).

Полезно заметить, что дно у такой кривой пологое — выпуклость вниз означает, что вблизи минимума производная мала. Например, $L(8)=0{,}5+0{,}32=0{,}82$ и $L(13)\approx0{,}308+0{,}52=0{,}828$: ошибиться на пару эпох почти не страшно.

Ответ: вертикальная асимптота $t=0$, наклонная $L=\frac{t}{25}$; глобальный минимум $(10;\,0{,}8)$ — обучение стоит остановить на 10-й эпохе.

Задание 30: Качество языковой модели описывается законом $L(N)=2+\dfrac{8}{\sqrt N}$, где $N$ — число параметров в миллионах, $L$ — лосс. Исследуй функцию, найди её асимптоту и посчитай, во сколько раз надо увеличивать модель, чтобы каждый раз вдвое сокращать расстояние до потолка качества.

Решение:

1. Область. $N>0$.

2. Монотонность. $L'(N)=8\cdot\left(N^{-1/2}\right)'=-\dfrac{4}{N^{3/2}}<0$ — лосс монотонно падает с ростом модели. Экстремумов нет.

3. Выпуклость. $L''(N)=\dfrac{6}{N^{5/2}}>0$ — выпуклость вниз на всей области: падение всё время замедляется. Это «затухание» из таблицы четырёх форм, перегибов нет.

4. Асимптоты. При $N\to0^+$ имеем $L\to+\infty$ (вертикальная асимптота $N=0$, формальная — крохотные модели бесполезны). При $N\to+\infty$ дробь $\dfrac{8}{\sqrt N}\to0$, значит $L\to2$. Горизонтальная асимптота $L=2$ — непреодолимый потолок качества, подход сверху.

5. Сколько нужно параметров для заданного качества. Расстояние до потолка: $L-2=\dfrac{8}{\sqrt N}$.

Для $L=2{,}5$: $\dfrac{8}{\sqrt N}=0{,}5 \Rightarrow \sqrt N=16 \Rightarrow N=256$ млн.

Для $L=2{,}25$: $\dfrac{8}{\sqrt N}=0{,}25 \Rightarrow \sqrt N=32 \Rightarrow N=1024$ млн.

Для $L=2{,}125$: $\sqrt N=64 \Rightarrow N=4096$ млн.

6. Общий вывод. Пусть требуется расстояние до потолка $\varepsilon=L-2$. Тогда $\sqrt N=\dfrac8\varepsilon$, откуда

$$N=\frac{64}{\varepsilon^2}.$$

Уменьшение $\varepsilon$ вдвое увеличивает $N$ в $4$ раза. То есть каждое следующее «половинное» приближение к потолку стоит вчетверо большей модели — и, при линейной стоимости обучения по числу параметров, вчетверо больших денег.

7. Логарифмические оси. Прологарифмируем: $\ln\varepsilon=\ln 8-\dfrac12\ln N$. В координатах $(\ln N;\ln\varepsilon)$ это прямая с наклоном $-\frac12$ — поэтому scaling laws и рисуют в лог-лог осях: степенная зависимость там выпрямляется, а показатель степени читается как угловой коэффициент.

Ответ: функция убывает и выпукла вниз, горизонтальная асимптота $L=2$; $N=\dfrac{64}{\varepsilon^2}$, где $\varepsilon=L-2$; каждое двукратное сокращение расстояния до потолка требует увеличения модели в 4 раза (256 → 1024 → 4096 млн параметров для $L=2{,}5$, $2{,}25$, $2{,}125$).

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: каждый ноль знаменателя объявляют вертикальной асимптотой

Неправильно: «у $y=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ знаменатель обращается в ноль при $x=2$, значит там вертикальная асимптота».

Правильно: сначала проверь, не сокращается ли дробь. $\dfrac{x^2-4}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ при $x\ne2$, и $\lim\limits_{x\to2}f(x)=4$ — предел конечен. Это устранимый разрыв, выколотая точка $(2;4)$, а не асимптота.

💡 Почему важно: асимптота определяется через бесконечный предел, а не через «знаменатель равен нулю». Правильный алгоритм всегда один: разложить числитель и знаменатель на множители, сократить общее, и только потом считать односторонние пределы в оставшихся особых точках. Тот же приём в анализе данных: деление на ноль в формуле метрики не всегда означает разрыв — иногда числитель тоже нулевой, и предельное значение осмысленно.

❌ Ошибка 2: при поиске наклонной асимптоты забывают модуль в $\sqrt{x^2}$

Неправильно: для $y=\sqrt{x^2+1}$ написать $k=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}=1$ и получить одну асимптоту $y=x$ на обе стороны.

Правильно: $\sqrt{x^2}=|x|$, и при $x<0$ это $-x$. Поэтому $k_-=-1$, и слева асимптота $y=-x$, а справа $y=x$ — две разные прямые.

💡 Почему важно: пределы на $+\infty$ и $-\infty$ — два независимых вычисления, и совпадать они не обязаны. Правило: как только под чётным корнем стоит $x^2$ (или в формуле есть модуль, или $\sqrt[2n]{\ldots}$), считай левый и правый пределы по отдельности, вынося $|x|$, а не $x$. Тот же класс ошибок даёт $\operatorname{arctg}x$: две горизонтальные асимптоты $\pm\frac\pi2$, и «одна на обе стороны» тут просто неверно.

❌ Ошибка 3: считают экстремумом или перегибом точку, которой нет в области определения

Неправильно: «у $y=\dfrac{x^2}{x-1}$ вторая производная $\dfrac{2}{(x-1)^3}$ меняет знак в точке $x=1$ — значит там перегиб».

Правильно: точка $x=1$ не входит в $D(f)$, функция там не определена, и никакой точки графика с абсциссой $1$ не существует. Перегибов у этой функции нет вообще.

💡 Почему важно: экстремум и перегиб — это точки графика, а не абстрактные абсциссы. Смена знака производной через разрыв ничего не означает: слева и справа находятся два разных куска, между ними «дырка» бесконечной ширины. Проверка одна: прежде чем объявить точку особой, убедись, что $f$ в ней определена и её значение можно посчитать.

❌ Ошибка 4: сравнивают локальный максимум с локальным минимумом на разных кусках

Неправильно: «у $y=\dfrac{x^2}{x-1}$ максимум равен $0$, а минимум равен $4$ — минимум больше максимума, где-то ошибка в вычислениях».

Правильно: ошибки нет. Максимум $(0;0)$ живёт на левой ветви, минимум $(2;4)$ — на правой, между ними вертикальная асимптота $x=1$, около которой функция уходит и в $-\infty$, и в $+\infty$.

💡 Почему важно: слово «локальный» означает буквально «в маленькой окрестности этой точки», и никакого глобального сравнения оно не подразумевает. Наши интуиции про «максимум выше минимума» опираются на непрерывность: у непрерывной функции между максимумом и минимумом действительно есть монотонный переход. Разрыв эту логику отменяет. То же самое в данных: лучший результат в одном сегменте пользователей может быть хуже худшего результата в другом — сегменты несопоставимы.

❌ Ошибка 5: считают, что в точке перегиба функция «останавливается» или разворачивается

Неправильно: «в точке перегиба функция меняет направление, значит она там не растёт».

Правильно: перегиб — это смена изгиба ($f''$ меняет знак), а не направления ($f'$ может знака не менять). У $y=x^3$ в точке $(0;0)$ перегиб, и функция там строго возрастает. У $y=xe^{-x}$ перегиб в $x=2$ приходится на участок убывания.

💡 Почему важно: первая и вторая производные отвечают на разные вопросы: $f'$ — куда идём, $f''$ — как изгибаемся. Смешивать их — значит терять половину информации об эскизе. В прикладном чтении графиков это критично: «рост замедлился» (перегиб при $f'>0$) и «рост сменился падением» (экстремум) — два принципиально разных сообщения, и путать их в отчёте о метриках дорого.

❌ Ошибка 6: ищут наклонную асимптоту, не убедившись, что предел для $b$ существует

Неправильно: для $y=x+\sin x$ посчитать $k=\lim\dfrac{x+\sin x}{x}=1$ и объявить $y=x$ асимптотой.

Правильно: $b=\lim\limits_{x\to\infty}\big(x+\sin x-x\big)=\lim\limits_{x\to\infty}\sin x$ — этот предел не существует. Значит наклонной асимптоты нет: график вечно колеблется вокруг прямой $y=x$ с амплитудой $1$, не приближаясь к ней.

💡 Почему важно: теорема о наклонной асимптоте требует существования обоих конечных пределов, и второй проверяется отдельно. «Похоже на прямую» и «имеет асимптотой прямую» — разные утверждения: асимптота требует, чтобы расстояние стремилось к нулю, а не оставалось ограниченным. В анализе временных рядов это ровно различие между «тренд плюс затухающий шум» и «тренд плюс постоянные колебания» — второе никогда не «сойдётся» к линии тренда.

❌ Ошибка 7: находят $f''=0$ и сразу объявляют перегиб

Неправильно: «у $y=x^4$ вторая производная $12x^2$ обращается в ноль при $x=0$, значит там перегиб».

Правильно: $f''=12x^2\ge0$ — знак не меняется, слева и справа выпуклость одна и та же (вниз). Перегиба нет, в нуле у $x^4$ обычный минимум.

💡 Почему важно: условие $f''(x_0)=0$ — необходимое, но не достаточное, ровно как $f'(x_0)=0$ для экстремума (об этом был урок 141). Решающая проверка — смена знака, и её нельзя пропускать. В задачах с параметром эта разница обычно и определяет ответ: в задании 28 значение $a=0$ отбраковывается именно по этому признаку.

❌ Ошибка 8: пишут «функция возрастает на $(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$»

Неправильно: для $y=\dfrac{x-1}{x+2}$ сказать «возрастает на всей области определения», подразумевая объединение промежутков.

Правильно: возрастает на $(-\infty;-2)$ и возрастает на $(-2;+\infty)$ — на каждом промежутке отдельно. Объединять нельзя: возьми $x_1=-3$ и $x_2=0$; тогда $x_1f(x_2)$ — определение возрастания нарушено.

💡 Почему важно: монотонность — свойство промежутка, а не набора точек; через разрыв она не «перепрыгивает». Формулировка через объединение — не придирка к записи, а фактически неверное утверждение, и на экзамене за неё снимают баллы. Тот же принцип в коде: функция может быть монотонной на каждом сегменте, но не монотонной глобально — и алгоритм бинарного поиска, рассчитанный на глобальную монотонность, сломается.

Главное запомнить

📝 Ключевые понятия

✅ Схема исследования — это анкета из десяти пунктов: область определения → симметрия и периодичность → нули и знаки → разрывы → асимптоты → $f'$ (монотонность, экстремумы) → $f''$ (выпуклость, перегибы) → поведение на бесконечности → контрольные точки → сборка эскиза. Порядок не декоративный: каждый следующий пункт опирается на предыдущие.

✅ Вертикальная асимптота $x=a$: хотя бы один односторонний предел бесконечен. Кандидаты — только нули знаменателя, нули аргумента логарифма и края области определения. Сначала сократи дробь, потом считай предел.

✅ Устранимый разрыв — не асимптота. Если после сокращения предел конечен, это выколотая точка. $\dfrac{x^2-4}{x-2}$ — прямая $y=x+2$ с дыркой в $(2;4)$.

✅ Горизонтальная асимптота $y=b$: $\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=b$. Слева и справа могут быть разными ($\operatorname{arctg}x$, сигмоида).

✅ Наклонная асимптота $y=kx+b$: $k=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}$, затем $b=\lim\limits_{x\to\infty}\big(f(x)-kx\big)$. Оба предела должны быть конечны. Горизонтальная — частный случай при $k=0$.

✅ Для дробно-рациональной функции выделяй целую часть. Деление уголком даёт асимптоту, положение графика относительно неё и удобную форму для дифференцирования — всё сразу: $\dfrac{x^2}{x-1}=x+1+\dfrac{1}{x-1}$.

✅ Сторону подхода к асимптоте даёт знак разности $f(x)-(kx+b)$. Плюс — график выше прямой, минус — ниже.

✅ Четыре формы куска графика: $f'>0,f''>0$ — растёт ускоряясь (разгон); $f'>0,f''<0$ — растёт замедляясь (выход на полку); $f'<0,f''>0$ — убывает замедляясь (затухание); $f'<0,f''<0$ — убывает ускоряясь (обвал).

✅ Экстремум — смена знака $f'$; перегиб — смена знака $f''$. Оба обязаны быть точками графика: если абсцисса не входит в $D(f)$, ни экстремума, ни перегиба там нет.

✅ Равенство нулю — только кандидат. Ни $f'(x_0)=0$, ни $f''(x_0)=0$ ничего не гарантируют: решает смена знака ($y=x^3$ и $y=x^4$ в нуле).

✅ Монотонность и выпуклость указывают по промежуткам, а не по объединению. Через разрыв свойство не переносится.

✅ Формат ответа: опорные объекты списком → сводная таблица «промежуток / $f'$ / $f''$ / поведение» → словесная сборка маршрута графика. Контрольные точки — это unit-тест эскиза.

✅ Кривая обучения читается по той же анкете: знак $L'$ — учится ли модель, знак $L''$ — выдыхается ли прогресс, перегиб — смена режима, горизонтальная асимптота — потолок качества, за которым дальнейшее обучение бессмысленно.

Связь с другими темами курса

Что нужно было знать до этого урока:

Уроки 129–132, пределы и непрерывность — фундамент всей темы асимптот. Односторонние пределы дают вертикальные асимптоты, пределы на бесконечности — горизонтальные и наклонные, а техника деления на старшую степень и домножения на сопряжённое используется буквально в каждом примере.
Урок 136, правила дифференцирования и урок 137, цепное правило — без них не посчитать $f'$ и $f''$ у дробей, корней и композиций вроде $e^{-x^2}$.
Урок 138, производные элементарных функций — таблица для $e^x$, $\ln x$, тригонометрии; половина интересных примеров исследования на них и построена.
Урок 139, применение производной к исследованию функций — связка «знак $f'$ ↔ поведение», критические точки, таблица знаков как инструмент. Здесь мы этим пользуемся как готовым.
Урок 140, монотонность и урок 141, точки экстремума — пункт 6 анкеты целиком.
Урок 142, наибольшее и наименьшее значения — помогает отличить локальный экстремум от глобального, что регулярно нужно на шаге сборки.
Урок 143, выпуклость и точки перегиба — пункт 7 анкеты целиком, вторая половина словаря форм.

Что изучить дальше:

Уроки 145–150, первообразная и интеграл — обратная задача: по производной восстановить функцию, а затем считать площади под построенными графиками. Умение видеть форму кривой там пригодится сразу.
Университетский курс: формула Тейлора — следующий уровень приближения графика: не прямой, как асимптота, а многочленом любой степени.
Правило Лопиталя (урок 192) — мощный способ считать те же пределы для асимптот; в этом уроке мы обходились элементарными оценками, и это полезная дисциплина, потому что Лопиталь не всегда применим.
Функции нескольких переменных и поверхности — там анкета обобщается: вместо промежутков монотонности появляются линии уровня, вместо $f''$ — матрица Гессе, а вместо перегибов — сёдла.

Где это нужно в жизни:

💻 В программировании: профилирование производительности — это чтение кривой «нагрузка → время ответа» с поиском вертикальной асимптоты (точки насыщения). Кривые сложности алгоритмов сравнивают ровно по поведению на бесконечности.

🤖 В машинном обучении: кривые обучения, early stopping, scaling laws, выбор learning rate по форме кривой лосса, диагностика насыщения активаций по эскизу сигмоиды и tanh.

📊 В аналитике данных: любой дашборд — это набор графиков, и «рост замедляется», «вышли на плато», «пошёл обвал» суть утверждения про знаки $f'$ и $f''$. S-образные кривые принятия продукта, кривые удержания с горизонтальной асимптотой (ядро лояльной аудитории), кривые насыщения рекламных каналов.

🔬 В естественных науках: кинетика химических реакций, кривые роста популяций (логистическая модель), фармакокинетика с формой $xe^{-x}$, кривая «доза — эффект» с плато токсичности.

💰 В экономике: закон убывающей отдачи — это ровно $f'>0$ при $f''<0$; кривые спроса с асимптотами, точка максимальной прибыли как экстремум, предельные величины как производные.

Интересные факты

💡 Слову «асимптота» больше двух тысяч лет. Аполлоний Пергский ввёл его около 200 года до н. э., описывая гиперболу, и построил асимптоты чисто геометрически — без пределов, без координат, без алгебры. Декартовы координаты появились только в 1637 году, а понятие предела было строго определено Коши в 1820-х. То есть люди пользовались асимптотами примерно двадцать веков, прежде чем научились их вычислять.

💡 График может пересекать свою горизонтальную асимптоту, причём бесконечно много раз. Функция $y=\dfrac{\sin x}{x}$ имеет асимптоту $y=0$ и пересекает её в каждой точке $x=\pi n$. Определение асимптоты требует лишь, чтобы расстояние стремилось к нулю, а не чтобы график держался с одной стороны. Так что распространённое школьное «асимптоту нельзя пересекать» — миф; нельзя пересекать только вертикальную, и то по банальной причине: функция не может иметь два значения при одном $x$.

💡 У кубического многочлена точка перегиба всегда является центром симметрии. Мы проверили это для $y=x^3-3x^2+2$: график центрально симметричен относительно $(1;0)$. Свойство общее: любой многочлен $ax^3+bx^2+cx+d$ переходит сам в себя при повороте на 180° вокруг своей точки перегиба $x=-\frac{b}{3a}$. Поэтому у кубической параболы максимум и минимум всегда расположены симметрично относительно перегиба и находятся на равном удалении от него.

💡 Точки перегиба гауссова колокола — это и есть стандартное отклонение. Плотность нормального распределения имеет перегибы ровно в точках $\mu\pm\sigma$. Так что $\sigma$ можно «увидеть» на графике невооружённым глазом: это расстояние от вершины до места, где спуск перестаёт становиться круче. Статистики XIX века пользовались этим для быстрой оценки разброса по нарисованной от руки гистограмме.

Лайфхаки и полезные трюки

🔧 Приём 1: деление уголком вместо формул для асимптоты. Для любой дробно-рациональной функции, у которой степень числителя ровно на единицу больше степени знаменателя, выдели целую часть — и наклонная асимптота выпадет сама. $\dfrac{x^2-3}{x-2}=x+2+\dfrac{1}{x-2}$: асимптота $y=x+2$, остаток $\frac{1}{x-2}$ сразу говорит, что справа график выше прямой, а слева ниже. Два предела заменяются одним делением, и бонусом получается удобная форма для дифференцирования.

🔧 Приём 2: считай знак производной по «скелету», а не целиком. Если $f'=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}$, знаменатель — квадрат, он положителен всегда. Значит знак $f'$ совпадает со знаком числителя, и метод интервалов применяется только к $x(x-2)$. Тот же трюк с экспонентой: в $f'=e^{-x}(1-x)$ множитель $e^{-x}>0$, работает только скобка. Это экономит половину работы и убирает шанс ошибиться в знаке.

🔧 Приём 3: расставляй все особые точки на одной оси сразу. Перед построением таблицы выпиши в одну строку и отметь на числовой прямой: точки разрыва, нули $f'$, нули $f''$ (и, если нужно, нули самой $f$). Промежутки между ними — готовые строки таблицы. Так не бывает ситуации «забыл, что между максимумом и разрывом есть ещё перегиб».

🔧 Приём 4: проверяй эскиз контрольными точками, как unit-тестами. Посчитай $f$ в двух-трёх «случайных» точках внутри разных промежутков и сверь с нарисованным. Особенно полезно брать точку близко к асимптоте: для $y=\frac{x^2}{x-1}$ значение $f(3)=4{,}5$ против прямой $y=x+1$, дающей $4$, подтверждает, что график идёт выше. Если контрольная точка не ложится — ошибка в исследовании, ищи её сразу, а не после.

🔧 Приём 5: пользуйся симметрией на полную. Проверка чётности занимает одну строку, а экономит половину вычислений: для чётной функции исследуй только $x\ge0$ и отражай относительно оси $Oy$; для нечётной — относительно начала координат. Для $y=\frac{x}{x^2+1}$ достаточно найти максимум $\left(1;\frac12\right)$ и перегиб $\left(\sqrt3;\frac{\sqrt3}4\right)$, а левая половина получается даром.

🔧 Приём 6: логарифмируй, когда подозреваешь степенную или экспоненциальную зависимость. Если данные ложатся на прямую в осях $(\ln x;\ln y)$ — зависимость степенная $y=Ax^\alpha$, и наклон прямой равен $\alpha$. Если прямая получается в осях $(x;\ln y)$ — зависимость экспоненциальная $y=Ae^{kx}$, наклон равен $k$. Этим приёмом определяют показатели в scaling laws и проверяют гипотезы о росте метрик.

🔧 Приём 7: сомневаешься в форме — назови её словами из таблицы четырёх. «Растёт замедляясь», «убывает ускоряясь» — четыре фразы покрывают любой кусок гладкого графика. Проговорив нужную вслух, ты почти наверняка нарисуешь дугу правильно; а вот попытка сразу вспомнить, «куда там выпуклость», обычно заканчивается путаницей ∪ и ∩.

Ты дошёл до конца блока — и теперь у тебя есть не набор разрозненных приёмов, а собранная машина. Возьми любую функцию, какую придумаешь, прогони её по анкете из десяти пунктов, и через двадцать минут у тебя будет её точный портрет: где живёт, куда растёт, где сворачивает, где ломается, к чему стремится на бесконечности. Это редкий тип навыка — он не устаревает и работает одинаково на $\dfrac{x^2}{x-1}$, на кривой обучения трансформера и на графике выручки за квартал.

Дальше будет обратный поворот сюжета. В уроке 145 мы поставим вопрос наоборот: производная известна — как восстановить саму функцию? Отсюда начнётся вторая половина анализа, интегральная, и в ней ты обнаружишь, что площадь под графиком и скорость изменения — две стороны одной медали. Но чтобы это увидеть, нужно было сначала научиться видеть сам график. Что ты теперь и умеешь. 📈

Понял тему? Закрепи в боте! 🚀

Попрактикуйся на задачах и получи персональные рекомендации от AI

💪 Начать тренировку

💬 Нашёл ошибку или есть вопрос по уроку? Написать в Telegram →