Неопределённый интеграл ∫

В прошлом уроке ты научился разворачивать стрелку анализа: по производной восстанавливать саму функцию. Понятие получилось честное, но записывалось оно длинно — «найди все первообразные для функции $f$ на промежутке $I$». Целое предложение вместо формулы. Математика такого не терпит: как только операция становится рабочей, ей заводят компактный значок.

Значок этот придумал Лейбниц 29 октября 1675 года, и выглядит он так:

Одна строчка вместо предложения. Но урок не про типографику. Компактная запись — это только первая половина дела, вторая куда важнее: вместе с обозначением приходят два метода, которых у тебя пока нет.

В уроке 145 список правил был честно коротким и закрытым: сумма, константа, линейная подстановка $f(kx+b)$. Всё остальное — «преобразуй к сумме табличных» либо «не берётся». Этого хватало ровно до первого $\int x e^x\,dx$ или $\int \sin^3 x\cos^4 x\,dx$ — там алгебра к табличному виду не приводит, а угадывание перестаёт работать.

Сегодня ты получишь два инструмента, которые закрывают почти всю школьную и добрую половину университетской практики. Замена переменной снимает ограничение «внутри только линейная функция»: она работает с любым внутренним аргументом, лишь бы рядом стояла его производная. Интегрирование по частям — то самое отсутствующее правило произведения, о котором прошлый урок предупреждал: оно существует, но выглядит не так, как хочется наивной интуиции, и не столько считает интеграл, сколько меняет его на другой, попроще. Сверху добавим рабочую технику для дробей и для тригонометрии — и получится набор, с которым можно брать интегралы, а не только проверять чужие ответы.

И одна вещь, которую надо проговорить сразу, до всей техники. Неопределённый интеграл — не число. Это семейство функций, целая бесконечная пачка кривых, отличающихся сдвигом по вертикали. Через два урока появится определённый интеграл, у которого значок почти такой же, а результат — как раз число. Путать их будут все; ты не будешь, если запомнишь разницу сейчас, пока второго объекта ещё нет и мешать некому.

🎯 Ты узнаешь:

• Что означает каждый символ в записи $\int f(x)\,dx = F(x) + C$ — включая $dx$, который выглядит декоративным, но им не является
• Почему неопределённый интеграл — семейство функций, а не число, и чем он принципиально отличается от определённого интеграла из урока 147
• Как выглядит таблица первообразных в интегральной записи и как свойства линейности превращаются в рабочий алгоритм
• Замену переменной — обобщение линейной подстановки на любой внутренний аргумент, вместе с приёмом внесения под знак дифференциала
• Интегрирование по частям $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ — правильную форму «правила произведения», мнемонику ЛИАТЭ и трюк с циклическим интегралом
• Как брать простейшие рациональные дроби: почленное деление, выделение целой части, полный квадрат и метод неопределённых коэффициентов
• Как устроены тригонометрические интегралы: понижение степени и подстановка при нечётной степени
• Где всё это работает в ML: нормировочная константа плотности, замена переменной как предок change of variables в normalizing flows, sympy.integrate и почему в проде интегрируют численно

История: откуда это взялось?

Дата у знака интеграла есть, и она известна с точностью до дня. 29 октября 1675 года Готфрид Вильгельм Лейбниц, разбираясь с задачей о квадратурах, записал в черновике вытянутую букву $S$ — от латинского summa. До этого он полгода писал «omn.» — сокращение от omnia, «все» (все линии, все полоски). В рукописи сохранился момент, когда он это «omn.» зачеркнул и поставил $\int$. Там же, в тех же черновиках осени 1675 года, появился и знак $dx$ — обозначение бесконечно малой разности.

Заметь важное: Лейбниц изобретал не обозначение для «обратного дифференцирования», а обозначение для суммы. Для него $\int y\,dx$ означало «сложить все прямоугольнички высоты $y$ и ширины $dx$» — то есть площадь. То, что эта сумма связана с обращением дифференцирования, было отдельным содержательным открытием, а не определением. Именно поэтому в записи стоит и $dx$: это не украшение при знаке $S$, это второй множитель в произведении «высота × ширина». Историческая логика значка объясняет, почему $dx$ нельзя выбросить, — и почему сегодняшний урок про семейства функций пользуется символом, придуманным для площадей.

Само слово «интеграл» Лейбницу не принадлежит. Его предложил Якоб Бернулли в 1690 году (от латинского integer — «целый»: восстанавливаем целое по частям), и Лейбниц, который сначала называл эту операцию calculus summatorius, в переписке с Иоганном Бернулли в 1696 году согласился на calculus integralis. Так у половины анализа появилось имя, придуманное не её создателем.

Дальше термины и техника нарастали быстро. Иоганн Бернулли в 1690-х систематизировал приёмы, включая то, что мы сегодня называем интегрированием по частям, и разложение дробей на простейшие. Леонард Эйлер в трёхтомном «Institutiones calculi integralis» (1768–1770) превратил разрозненные трюки в свод правил: замена переменной, подстановки для иррациональностей (те самые «подстановки Эйлера»), интегрирование рациональных функций как законченная теория. Именно у Эйлера интегрирование окончательно стало ремеслом, которому можно научить.

Оставался вопрос, который мучил всех: всякий ли интеграл берётся? Ответ дал Жозеф Лиувилль в 1830-х годах — нет, и это доказуемо: у $e^{-x^2}$, $\frac{\sin x}{x}$, $\frac{1}{\ln x}$ первообразные существуют, но не выражаются через элементарные функции. А Роберт Риш в 1968 году построил алгоритм, который по данной элементарной функции механически решает, берётся её интеграл в элементарных функциях или нет, и если да — находит его. Алгоритм Риша занимает около сотни страниц и целиком не реализован нигде; частичные версии стоят внутри Mathematica, Maple и SymPy. Когда sympy.integrate возвращает невычисленный Integral, за этим иногда стоит именно такое доказательство невозможности, а иногда — просто предел реализации. Разницу между этими двумя случаями стоит держать в голове: она встретится тебе в конце урока в разделе про ML.

Знак интеграла: разбираем запись по буквам

Интуиция: имя для того, что уже есть

Ничего нового в понятии сегодня не появляется — появляется запись. Возьмём фразу из урока 145: «множество всех первообразных функции $f$» — и введём для неё символ.

Определение. Пусть $f$ определена на промежутке $I$ и имеет там первообразную. Неопределённым интегралом функции $f$ называется множество всех её первообразных на $I$. Обозначение:

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C, \qquad \text{где } F'(x) = f(x),\ C \in \mathbb{R}.$$

Разберём запись по частям, потому что каждый элемент здесь что-то значит.

$\int$ — знак интеграла. Вытянутая $S$ Лейбница. Читается «интеграл».

$f(x)$ — подынтегральная функция. То, что мы интегрируем. Она известна, её дал условие задачи.

$f(x)\,dx$ — подынтегральное выражение. Именно всё вместе, с дифференциалом. Это не «функция и хвостик», а один объект.

$dx$ — дифференциал переменной интегрирования. Он указывает, по какой букве мы интегрируем. Пока в задаче одна переменная, кажется, что информация лишняя. Как только их станет две, всё меняется:

Подынтегральная функция одна и та же, а ответы разные — потому что в первом случае $a$ считается константой, а во втором константа — это $x$. Ровно ту же роль $dx$ играет в коде: sympy.integrate(a*x**2, x) и sympy.integrate(a*x**2, a) — два разных вызова, и второй аргумент в них обязателен.

$F(x) + C$ — результат. Не одна функция, а всё семейство сразу: $C$ пробегает $\mathbb{R}$.

$C$ — постоянная интегрирования. Она не «дописывается для учителя». Она — часть ответа, и без неё ответ неполон, потому что описывает одну кривую вместо бесконечного семейства.

Интеграл — это семейство, а не число

Это место надо проговорить прямо, потому что оно станет источником путаницы уже через два урока.

Результат $\int f(x)\,dx$ — функция (точнее, семейство функций от $x$). Подставить туда число нельзя; спросить «чему равен $\int x^2\,dx$» в смысле численного значения — бессмысленно. Ответ $\frac{x^3}{3} + C$ — это бесконечный набор парабол третьей степени, сдвинутых по вертикали друг относительно друга.

В уроке 147 появится определённый интеграл $\int_a^b f(x)\,dx$ — с двумя числами у знака. Вот он как раз будет числом: площадью, работой, накопленной величиной. Значки похожи, объекты разные:

Практическое следствие для сегодняшнего дня простое: ответ неопределённого интеграла всегда содержит переменную и всегда содержит $+C$. Если у тебя получилось голое число — где-то ошибка.

Проверка не изменилась

Главный подарок прошлого урока переносится сюда без изменений. Правильность любого интеграла проверяется дифференцированием ответа:

И в обратную сторону — тоже правда, с точностью до константы:

Эти две строки говорят, что интегрирование и дифференцирование взаимно обратны. Не совсем симметрично: пройдёшь по кругу «продифференцировал — проинтегрировал» и вернёшься не к самой функции, а к её семейству $F + C$. Информация об уровне теряется на первом шаге и назад не восстанавливается — это тот же сюжет с постоянной, что и в уроке 145, просто записанный формулой.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Запиши в интегральной форме факт «первообразная для $\cos x$ — это $\sin x$».

Проверка — дифференцирование правой части: $(\sin x + C)' = \cos x$ ✅ Вся разница с уроком 145 — в форме записи; содержание то же самое.

Пример 2 (простой). Найди $\int 5\,dx$.

Подынтегральная функция — константа $5$. Нужна функция, производная которой равна $5$; это $5x$.

Проверка: $(5x + C)' = 5$ ✅ Обрати внимание, что $dx$ здесь остался единственным указателем на переменную: без него запись $\int 5$ вообще не сообщала бы, по чему интегрировать.

Пример 3 (средний). Верно ли равенство $\int 2x\,dx = x^2 + 3$?

Формально — нет, хотя правая часть и является первообразной. Знак интеграла обозначает всё множество первообразных, а $x^2 + 3$ — одна конкретная функция из него. Правильная запись: $\int 2x\,dx = x^2 + C$. Запись без $C$ описывает одну кривую вместо семейства и в этом смысле сообщает меньше, чем нужно.

Пример 4 (средний). Чему равен $\int \left(3x^2\right)'\,dx$?

Внутри стоит производная, снаружи — интегрирование. Операции взаимно обратны:

Можно и в лоб: $(3x^2)' = 6x$, а $\int 6x\,dx = 3x^2 + C$. Тот же ответ. Константа появляется даже здесь — потому что и $3x^2 + 7$ имеет производную $6x$.

Пример 5 (сложный). Найди $\int t^2\,dx$ и $\int t^2\,dt$, считая $t$ и $x$ независимыми переменными.

В первом интеграле переменная интегрирования — $x$, а $t^2$ по отношению к ней константа. Константа выносится, остаётся $\int dx = x$:

Во втором интегрируем по $t$, работает степенное правило:

Проверка первого: $\left(t^2x\right)'_x = t^2$ ✅ Проверка второго: $\left(\frac{t^3}{3}\right)'_t = t^2$ ✅ Один и тот же значок под интегралом, два разных ответа — вот цена буквы $d$ с хвостиком.

Почему это важно

Компактная запись — это не косметика, а условие возможности дальнейшей работы. Ровно потому, что интеграл записывается одним символом, его можно двигать внутри формул, разбивать на слагаемые, менять в нём переменную и переносить части из-под знака наружу. Все приёмы этого урока — это операции над записью. Попробуй сформулировать интегрирование по частям на языке фразы «множество всех первообразных функции, равной произведению...» — получится абзац, в котором невозможно ничего сделать. В виде $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ оно помещается в строку и применяется механически.

Свойства линейности и таблица интегралов

Интуиция: старые правила в новой одежде

Два правила из урока 145 — сумма и константа — в интегральной записи выглядят так:

Свойства линейности.

1. $\displaystyle\int \big(f(x) \pm g(x)\big)\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$
2. $\displaystyle\int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$ при $k \neq 0$

Доказательство обоих — дифференцирование правой части: производная суммы равна сумме производных (урок 136), постоянный множитель выносится оттуда же. Ничего нового, только запись.

Пара технических замечаний, которые экономят нервы.

Про константы. При разбиении на слагаемые у каждого интеграла своя постоянная, но сумма произвольных постоянных — снова произвольная постоянная, поэтому в конце пишут одну $C$. Записывать $C_1 + C_2 + C_3$ незачем.

Про $k = 0$. Условие $k \neq 0$ во втором свойстве стоит не зря: при $k = 0$ слева получается $\int 0\,dx = C$, а справа $0\cdot\int f(x)\,dx$, что как множество равно $\{0\}$. Формально это разные объекты. На практике этот случай никого не беспокоит, но знать, откуда взялась оговорка, полезно.

Чего в списке нет. Ровно того же, чего не было в 145: интеграл произведения не равен произведению интегралов, интеграл частного не равен частному. Проверяется одной строкой: $\int x\cdot x\,dx = \frac{x^3}{3} + C$, а $\left(\int x\,dx\right)^2 = \frac{x^4}{4} + \ldots$ — совсем другая функция.

Таблица интегралов

Это таблица первообразных из урока 145, переписанная новым значком. Учить её заново не нужно — нужно привыкнуть читать.

Плюс два расширения, которые в 145 не звучали как формулы, а сегодня понадобятся постоянно (их вывод — в разделе про дроби):

И правило линейной подстановки из 145, тоже в новой записи:

где $F$ — первообразная для $f$. Через полраздела ты увидишь, что это просто самый простой частный случай замены переменной.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Найди $\int\left(4x^3 - \dfrac{6}{x} + 2e^x\right)dx$.

Разбиваем по линейности и берём каждое слагаемое по таблице:

Проверка: $\left(x^4 - 6\ln|x| + 2e^x\right)' = 4x^3 - \frac6x + 2e^x$ ✅

Пример 2 (средний). Найди $\displaystyle\int \left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 dx$.

Прямого правила для квадрата нет — раскрываем скобки:

Теперь всё табличное:

Проверка: $\left(\frac{x^2}{2} - 2x + \ln x\right)' = x - 2 + \frac1x$ ✅ (область здесь $x>0$, там модуль не нужен). Мораль повторяет урок 145: сначала алгебра, потом интеграл.

Пример 3 (средний). Найди $\displaystyle\int 3^x\cdot 2^x\,dx$.

Соблазн «интеграл произведения = произведение интегралов» здесь особенно велик, и он неверен. Зато работает свойство степеней:

Проверка: $\left(\frac{6^x}{\ln 6}\right)' = \frac{6^x\ln 6}{\ln 6} = 6^x = 3^x 2^x$ ✅

Пример 4 (сложный). Найди $\displaystyle\int \operatorname{tg}^2 x\,dx$.

В таблице тангенса в квадрате нет, зато есть $\frac{1}{\cos^2 x}$. Вспоминаем основное тригонометрическое тождество в форме

Дальше по линейности:

Проверка: $\left(\operatorname{tg} x - x\right)' = \frac{1}{\cos^2 x} - 1 = \operatorname{tg}^2 x$ ✅ Приём общий: если функции нет в таблице, попробуй тождеством привести её к тем, что есть.

Почему это важно

Линейность плюс таблица — это тот минимум, который закрывает многочлены, дроби с одночленным знаменателем, простые тригонометрические и показательные выражения. Дальше начинается техника, и вся она устроена одинаково: свести данный интеграл к табличному. Замена переменной сводит его подстановкой, интегрирование по частям — переносом множителя, работа с дробями — алгебраическим разложением. Табличные интегралы — это конечная станция любого решения, поэтому таблицу стоит держать перед глазами, пока она не осядет в памяти сама.

Замена переменной: главный метод интегрирования

Интуиция: цепное правило, прочитанное справа налево

Вспомни, откуда в уроке 145 взялась линейная подстановка. Цепное правило говорит, что при дифференцировании композиции вылезает множитель — производная внутренней функции. Для линейной внутренней функции этот множитель был константой $k$, и его удавалось погасить делением.

А что если внутренняя функция не линейная? Множитель уже не константа, вынести его нельзя. Но есть другой вариант: не гасить лишний множитель, а потребовать, чтобы он уже стоял в подынтегральном выражении.

Посмотри на цепное правило ещё раз:

Прочитай эту строку справа налево — и получишь готовое утверждение об интеграле.

Теорема (замена переменной). Пусть $F$ — первообразная для $f$, а функция $g$ дифференцируема. Тогда

$$\int f\big(g(x)\big)\,g'(x)\,dx = F\big(g(x)\big) + C.$$

Формально это записывают через новую переменную $u = g(x)$, $du = g'(x)\,dx$:

$$\int f\big(g(x)\big)\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du.$$

Доказательство занимает одну строку: продифференцируем правую часть по $x$ и применим цепное правило (урок 137):

То есть весь метод — это цепное правило, прочитанное в обратную сторону. И как всегда в этой теме, результат замены можно проверить дифференцированием, не доверяя технике на слово.

Как это выглядит на практике: узнавание

Работает метод так. Ты смотришь на подынтегральное выражение и ищешь в нём пару:

• какую-то внутреннюю функцию $u = g(x)$ (то, что «сидит внутри» — под корнем, в показателе, в аргументе синуса, в знаменателе);
• рядом — её производную $g'(x)$, хотя бы с точностью до числового множителя.

Если пара нашлась, интеграл сворачивается в табличный по переменной $u$.

Алгоритм из пяти шагов:

1. Выбрать $u = g(x)$ — обычно это внутренность самой громоздкой конструкции.
2. Посчитать $du = g'(x)\,dx$.
3. Переписать весь интеграл через $u$ и $du$. Ни одного $x$ остаться не должно.
4. Взять получившийся табличный интеграл.
5. Вернуться к $x$, подставив $u = g(x)$ обратно.

Пятый шаг обязателен: ответ должен быть функцией исходной переменной. И проверка, как всегда, — дифференцированием.

Про числовой множитель отдельно. Если в интеграле стоит не ровно $g'(x)$, а $g'(x)$ с коэффициентом, множитель поправляется вручную. Пример: нужно $du = 2x\,dx$, а в интеграле стоит $x\,dx$. Тогда $x\,dx = \frac12 du$, и половинка выносится за знак интеграла. Так можно делать только с числами. Вынести за знак интеграла выражение с $x$ нельзя — это самая частая ошибка метода, и на неё в конце урока отведён отдельный пункт.

Внесение под знак дифференциала

Есть более короткая форма той же записи, к которой быстро привыкаешь. Заметь, что $g'(x)\,dx$ — это в точности $d\big(g(x)\big)$. Значит, вместо явной замены можно просто «внести» множитель под знак $d$:

Тогда решение выглядит так:

Никакой новой математики — та же замена, просто без явного введения буквы $u$. Опытные решающие пишут именно так; новичку удобнее сначала выписывать $u$ и $du$ полностью, чтобы не терять множители. Пользуйся тем вариантом, в котором меньше ошибаешься.

Типовые классы замен

Список, который закрывает большинство задач.

$u$ = многочлен под степенью или корнем. Признак: рядом стоит производная этого многочлена. $\int 2x(x^2+3)^4dx$, $\int x\sqrt{x^2+1}\,dx$, $\int \frac{3x^2\,dx}{\sqrt{x^3+5}}$.

$u$ = показатель экспоненты. Признак: рядом производная показателя. $\int xe^{x^2}dx$, $\int e^{\sin x}\cos x\,dx$.

$u = \ln x$. Признак: где-то стоит $\frac1x\,dx$. $\int \frac{\ln^3 x}{x}dx$, $\int\frac{dx}{x\ln x}$.

$u = \sin x$ или $u = \cos x$. Признак: одна из этих функций в первой степени стоит множителем, а остальное выражается через вторую. $\int \sin^3x\cos x\,dx$, $\int \operatorname{tg} x\,dx = \int\frac{\sin x\,dx}{\cos x}$.

$u$ = знаменатель. Признак: в числителе стоит производная знаменателя (шаблон $\frac{g'}{g}$ из урока 145). Ответ всегда $\ln|g(x)| + C$.

$u = kx+b$. Тот самый частный случай из 145: $du = k\,dx$, множитель $\frac1k$ выносится. Отдельным правилом это было только потому, что общего метода тогда ещё не было.

И честная граница метода. Замена работает только когда производная внутренней функции присутствует в интеграле. В $\int e^{x^2}dx$ множителя $x$ нет, взять его неоткуда — и этот интеграл, как ты знаешь из урока 145, не берётся вовсе. Разница между $\int xe^{x^2}dx$ (берётся за две строки) и $\int e^{x^2}dx$ (не берётся никогда) — ровно один множитель $x$.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Найди $\displaystyle\int 2x\,(x^2+3)^4\,dx$.

Внутренняя функция под четвёртой степенью — $x^2+3$. Её производная равна $2x$, и она стоит рядом. Пара найдена.

Замена: $u = x^2+3$, $du = 2x\,dx$. Всё подынтегральное выражение переписывается без остатка:

Проверка: $\left(\frac{(x^2+3)^5}{5}\right)' = \frac{5(x^2+3)^4\cdot 2x}{5} = 2x(x^2+3)^4$ ✅

Сравни с тем, что было бы без замены: раскрывать $(x^2+3)^4$ в многочлен девятой степени — минут пять работы и три шанса ошибиться.

Пример 2 (простой). Найди $\displaystyle\int e^{\sin x}\cos x\,dx$.

Внутри экспоненты $\sin x$, её производная $\cos x$ стоит множителем.

Замена: $u = \sin x$, $du = \cos x\,dx$.

Проверка: $\left(e^{\sin x}\right)' = e^{\sin x}\cos x$ ✅

Пример 3 (средний). Найди $\displaystyle\int \frac{dx}{x\ln x}$.

Здесь пара спрятана: перепишем дробь как $\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x}$. Внутренняя функция — $\ln x$, её производная $\frac1x$ стоит множителем.

Замена: $u = \ln x$, $du = \frac{dx}{x}$.

Проверка: $\left(\ln|\ln x|\right)' = \frac{1}{\ln x}\cdot\frac1x = \frac{1}{x\ln x}$ ✅ Двойной логарифм в ответе выглядит странно, но проверка не врёт.

Пример 4 (средний). Найди $\displaystyle\int \frac{x\,dx}{\sqrt{1-x^2}}$.

Под корнем $1-x^2$, её производная равна $-2x$. В интеграле стоит $x$ — та же производная с числовым множителем $-\frac12$. Поправляем руками.

Замена: $u = 1-x^2$, $du = -2x\,dx$, откуда $x\,dx = -\frac12\,du$.

Проверка: $\left(-\sqrt{1-x^2}\right)' = -\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ ✅

Обрати внимание: множитель $-\frac12$ — число, его выносить законно. Если бы понадобилось вынести $x$, метод бы не сработал.

Пример 5 (сложный). Найди $\displaystyle\int \frac{x^2\,dx}{1+x^6}$.

Табличная строка $\int\frac{du}{1+u^2}$ просится, но мешает шестая степень. Заметим, что $x^6 = (x^3)^2$, и перепишем:

Внутренняя функция — $x^3$, её производная $3x^2$; в интеграле стоит $x^2$, то есть треть от неё.

Замена: $u = x^3$, $du = 3x^2dx$, откуда $x^2dx = \frac13du$.

Проверка: $\left(\frac13\operatorname{arctg} x^3\right)' = \frac13\cdot\frac{3x^2}{1+x^6} = \frac{x^2}{1+x^6}$ ✅

Ключевой момент этого примера — увидеть квадрат там, где написана шестая степень. Такое переписывание перед заменой требуется постоянно.

Почему это важно

Замена переменной — самый универсальный приём интегрирования, и он же самый «алгоритмический»: если пара «внутренняя функция и её производная» есть, решение получается механически. Именно поэтому его первым делают студенты и первым реализуют системы компьютерной алгебры. А ещё именно он в многомерном виде превращается в формулу change of variables из теории вероятностей — ту самую, на которой стоят normalizing flows в машинном обучении. Об этом будет разговор в ML-разделе, а пока держи в голове главное: замена ищет не формулу, а структуру. Ты не вспоминаешь ответ, ты узнаёшь конструкцию.

Интегрирование по частям

Интуиция: правило произведения, которого не хватало

Урок 145 закончился честным признанием: правила произведения у первообразных нет. Первообразная от $f\cdot g$ не равна $F\cdot G$, и никаким коэффициентом это не чинится.

Так вот, правило всё-таки есть — просто оно устроено не так, как хотелось бы. Выведем его прямо из правила произведения для производной (урок 136).

Пусть $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы. Тогда

Проинтегрируем обе части по $x$. Слева получится $uv + C$ (интеграл производной возвращает саму функцию), справа — сумма двух интегралов:

Переносим одно слагаемое:

В дифференциальных обозначениях, где $dv = v'\,dx$ и $du = u'\,dx$, это записывается тем самым компактным способом:

Формула интегрирования по частям:

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du.$$

Прочитай, что она делает. Она не вычисляет интеграл — она меняет его на другой. Был интеграл от $u\,dv$, стал интеграл от $v\,du$. Смысл в том, чтобы новый оказался проще старого; если он оказался сложнее, значит $u$ и $dv$ выбраны неудачно и надо поменять их местами.

Вот в чём отличие от правила произведения для производных. Там формула замкнутая: подставил и получил ответ. Здесь формула — обмен, шаг в переговорах. Именно поэтому она не воспринимается как «правило произведения», хотя выведена ровно из него.

Как выбирать $u$ и $dv$: мнемоника ЛИАТЭ

Подынтегральное выражение надо разбить на два куска: один назначить $u$, второй — $dv$. Кусок $dv$ обязательно включает $dx$.

Дальше действуют два соображения:

• $u$ должно упрощаться при дифференцировании. Идеально — многочлен: каждое дифференцирование понижает его степень, и через несколько шагов он исчезает.
• $dv$ должно легко интегрироваться. Из $dv$ надо получить $v$, а значит взять интеграл — этот шаг должен быть простым.

Практическая мнемоника называется ЛИАТЭ (в английской традиции ILATE). Она задаёт приоритет: чем раньше функция в списке, тем охотнее она берётся за $u$.

• Л — логарифмические ($\ln x$, $\log_a x$)
• И — обратные тригонометрические ($\operatorname{arctg} x$, $\arcsin x$)
• А — алгебраические (многочлены, степени)
• Т — тригонометрические ($\sin x$, $\cos x$)
• Э — экспоненциальные ($e^x$, $a^x$)

Например, в $\int x\ln x\,dx$ встречаются алгебраическая и логарифмическая; логарифмическая стоит раньше, значит $u = \ln x$, а $dv = x\,dx$. В $\int xe^x\,dx$ — алгебраическая и экспоненциальная; алгебраическая раньше, значит $u = x$, $dv = e^x dx$.

ЛИАТЭ — не теорема, а статистика удачных выборов. Если после применения формулы интеграл стал страшнее, вернись и поменяй роли. Ошибка тут стоит одной строки.

Три типичных сценария

Сценарий 1: многочлен × (экспонента или тригонометрия). Берём $u$ = многочлен. Каждое применение формулы понижает степень на единицу; для $x^2$ формулу применяют дважды, для $x^3$ — трижды.

Сценарий 2: одинокая функция, которую не берут по таблице. $\ln x$, $\operatorname{arctg} x$, $\arcsin x$. Трюк: назначить $dv = dx$, то есть $v = x$, а всей функции достаётся роль $u$. Дифференцирование логарифма и арктангенса даёт дроби, которые уже берутся.

Сценарий 3: циклический интеграл. Экспонента × тригонометрия. Формула применяется дважды и возвращает исходный интеграл — но с коэффициентом. Тогда его переносят влево и решают уравнение относительно интеграла. Приём выглядит фокусом, но абсолютно законен.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Найди $\displaystyle\int x e^x\,dx$.

По ЛИАТЭ алгебраическая раньше экспоненциальной, значит $u = x$.

Подставляем в формулу:

Проверка: $\left(e^x(x-1)\right)' = e^x(x-1) + e^x = e^x\cdot x = xe^x$ ✅

Посмотри, что произошло: был интеграл с множителем $x$, стал интеграл без него — потому что дифференцирование превратило $x$ в $1$. В этом весь смысл выбора.

А теперь посмотри, что было бы при неудачном выборе. Возьми $u = e^x$, $dv = x\,dx$; тогда $v = \frac{x^2}{2}$ и

Степень выросла, интеграл стал хуже исходного. Формула не сломалась — она просто ничего не дала. Это и есть сигнал «поменяй роли».

Пример 2 (средний). Найди $\displaystyle\int x \sin x\,dx$.

Снова $u$ = многочлен (алгебраическая раньше тригонометрической):

Проверка: $\left(-x\cos x + \sin x\right)' = -\cos x + x\sin x + \cos x = x\sin x$ ✅

Место, где теряют знак, — вычисление $v = \int\sin x\,dx = -\cos x$. Минус потом ещё раз встречается с минусом из формулы, и невнимательность стоит всего ответа.

Пример 3 (средний). Найди $\displaystyle\int \ln x\,dx$.

В подынтегральном выражении только одна функция. Применяем сценарий 2:

Проверка: $\left(x\ln x - x\right)' = \ln x + 1 - 1 = \ln x$ ✅

Тот самый ответ, который в уроке 145 приходилось предъявлять как готовую загадку («проверьте, что это первообразная»). Теперь он не угадывается, а выводится в две строки. Это ровно тот прогресс, ради которого затевался урок.

Пример 4 (средний). Найди $\displaystyle\int \operatorname{arctg} x\,dx$.

Тот же сценарий: $u = \operatorname{arctg} x$, $dv = dx$.

Оставшийся интеграл берётся заменой: $u_1 = 1+x^2$, $du_1 = 2x\,dx$, значит $x\,dx = \frac12du_1$:

Итого

Проверка: $\left(x\operatorname{arctg} x - \frac12\ln(1+x^2)\right)' = \operatorname{arctg} x + \frac{x}{1+x^2} - \frac12\cdot\frac{2x}{1+x^2} = \operatorname{arctg} x$ ✅

Модуль под логарифмом не нужен: $1+x^2 > 0$ при всех $x$. И заметь связку двух методов в одной задаче — так бывает чаще, чем «чистые» случаи.

Пример 5 (сложный, циклический). Найди $\displaystyle I = \int e^x\sin x\,dx$.

Ни экспонента, ни синус при дифференцировании не упрощаются, поэтому ЛИАТЭ здесь не решает — важно только не менять роли на втором шаге.

Шаг 1. $u = \sin x$, $dv = e^x dx$, значит $du = \cos x\,dx$, $v = e^x$:

Шаг 2. К оставшемуся интегралу применяем формулу ещё раз, оставляя тригонометрию в роли $u$: $u = \cos x$, $dv = e^xdx$, тогда $du = -\sin x\,dx$, $v = e^x$:

Шаг 3. Подставляем обратно:

Исходный интеграл вернулся — и это не тупик, а уравнение относительно $I$. Переносим:

Проверка:

Две тонкости, на которых спотыкаются. Первая: на втором шаге нельзя менять роли — если взять $u = e^x$, всё раскрутится обратно и получится тождество $I = I$, верное и бесполезное. Вторая: постоянная $C$ появляется только в самом конце, после деления на $2$; писать её в промежуточных строках при переносе интеграла не нужно.

Почему это важно

Интегрирование по частям — это не просто ещё один приём счёта. Это способ перекладывать производную с одного множителя на другой, и в такой формулировке он живёт далеко за пределами школьной программы. В статистике им получают формулы для матожиданий через хвосты распределений. В физике и численных методах он лежит в основе слабых формулировок уравнений — там производную перекидывают с неизвестной функции на пробную, чтобы ослабить требования гладкости. В теории вероятностей через него доказывается связь между моментами и производящими функциями. Формула из одной строки, выведенная из школьного правила произведения, оказывается одним из самых универсальных инструментов анализа.

Интегрирование простейших рациональных дробей

Интуиция: дробь надо разобрать на части, которые есть в таблице

Рациональная дробь — это отношение двух многочленов. В таблице интегралов таких строк почти нет: есть $\frac1x$, есть $\frac{1}{x^2}$, есть $\frac{1}{1+x^2}$ — и всё. Поэтому вся работа с дробями сводится к одному: алгебраически разложить дробь на слагаемые, каждое из которых табличное.

Инструментов ровно четыре, и они применяются в этом порядке.

Инструмент 1: почленное деление. Если в знаменателе одночлен, дробь делится почленно.

Инструмент 2: выделение целой части. Если степень числителя не меньше степени знаменателя, надо поделить с остатком — уголком или подгонкой. Пока числитель «тяжелее» знаменателя, никакие разложения на простейшие не работают.

Инструмент 3: формулы для квадратичного знаменателя. Две строки, которые стоит вывести один раз и потом пользоваться:

Инструмент 4: выделение полного квадрата — приводит любой квадратный трёхчлен в знаменателе к виду $(x+p)^2 \pm q$, после чего работает инструмент 3.

Плюс метод неопределённых коэффициентов, если знаменатель раскладывается на разные линейные множители. Разберём всё по очереди.

Вывод двух формул

Первая. Выносим $a^2$ из знаменателя:

Замена $u = \frac xa$, $du = \frac{dx}{a}$, то есть $dx = a\,du$:

Проверка: $\left(\frac1a\operatorname{arctg}\frac xa\right)' = \frac1a\cdot\frac{1}{1+\frac{x^2}{a^2}}\cdot\frac1a = \frac{1}{a^2+x^2}$ ✅

Вторая. Здесь работает не замена, а разложение. Знаменатель раскладывается на множители: $x^2-a^2 = (x-a)(x+a)$. Заметим тождество

которое проверяется приведением правой части к общему знаменателю: $\frac{(x+a)-(x-a)}{2a(x-a)(x+a)} = \frac{2a}{2a(x^2-a^2)}$ ✅

Теперь каждое слагаемое табличное (логарифм с линейной подстановкой):

Две формулы различаются одним знаком в знаменателе — и дают принципиально разные функции: арктангенс против логарифма. Перепутать их легко, поэтому смотри на знак внимательно: плюс — арктангенс, минус — логарифм.

Метод неопределённых коэффициентов

Если знаменатель — произведение разных линейных множителей, дробь раскладывается в сумму простейших:

где степень $P$ меньше двух. Коэффициенты $A$ и $B$ находят так: приводят правую часть к общему знаменателю, приравнивают числители и подставляют удобные значения $x$ — обычно как раз корни знаменателя, при которых одно из слагаемых обнуляется.

Оговорка про границы: случаи кратных корней ($(x-1)^2$ в знаменателе) и неразложимых квадратичных множителей разбираются в университетском курсе; здесь берём только разные вещественные корни.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Найди $\displaystyle\int\frac{x^2+3x+1}{x}\,dx$.

Знаменатель — одночлен, делим почленно:

Проверка: $\left(\frac{x^2}{2}+3x+\ln|x|\right)' = x + 3 + \frac1x$ ✅

Пример 2 (средний). Найди $\displaystyle\int\frac{x^3}{x+1}\,dx$.

Степень числителя выше степени знаменателя — сначала выделяем целую часть. Делим уголком или подгоняем:

что проверяется раскрытием скобок: $(x+1)(x^2-x+1) = x^3+1$, минус единица даёт $x^3$ ✅ Значит

Теперь всё табличное:

Проверка: $\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x-\ln|x+1|\right)' = x^2 - x + 1 - \frac{1}{x+1}$, и обратное приведение к общему знаменателю даёт $\frac{x^3}{x+1}$ ✅

Пример 3 (простой). Найди $\displaystyle\int\frac{dx}{x^2+5}$.

Знак плюс — арктангенс. Здесь $a^2 = 5$, то есть $a = \sqrt5$:

Проверка: $\left(\frac{1}{\sqrt5}\operatorname{arctg}\frac{x}{\sqrt5}\right)' = \frac{1}{\sqrt5}\cdot\frac{1}{1+\frac{x^2}{5}}\cdot\frac{1}{\sqrt5} = \frac{1}{5+x^2}$ ✅

Иррациональность в ответе никого не должна смущать — $a$ вовсе не обязан быть целым.

Пример 4 (средний). Найди $\displaystyle\int\frac{dx}{x^2-9}$.

Знак минус — логарифм, $a = 3$:

Проверка: продифференцируем $\frac16\left(\ln|x-3| - \ln|x+3|\right)$:

Область распадается на три промежутка точками $x = \pm3$ — на каждом своя константа, ровно по теореме из урока 145.

Пример 5 (средний). Найди $\displaystyle\int\frac{dx}{x^2-2x+10}$.

Знаменатель не раскладывается (дискриминант $4 - 40 < 0$), значит выделяем полный квадрат:

Теперь это формула с плюсом, где роль $x$ играет $x-1$, а $a = 3$. Сдвиг аргумента на константу ничего не меняет (линейная подстановка с $k=1$):

Проверка: $\left(\frac13\operatorname{arctg}\frac{x-1}{3}\right)' = \frac13\cdot\frac{1}{1+\frac{(x-1)^2}{9}}\cdot\frac13 = \frac{1}{9+(x-1)^2} = \frac{1}{x^2-2x+10}$ ✅

Пример 6 (сложный). Найди $\displaystyle\int\frac{x+7}{x^2-x-6}\,dx$.

Знаменатель раскладывается: корни $x^2-x-6=0$ равны $3$ и $-2$, значит $x^2-x-6 = (x-3)(x+2)$. Степень числителя меньше — целую часть выделять не надо. Работает метод неопределённых коэффициентов:

Приводим к общему знаменателю и приравниваем числители:

Подставляем $x = 3$: $10 = 5A$, откуда $A = 2$. Подставляем $x = -2$: $5 = -5B$, откуда $B = -1$.

Проверка: $\frac{2}{x-3} - \frac{1}{x+2} = \frac{2(x+2)-(x-3)}{(x-3)(x+2)} = \frac{x+7}{x^2-x-6}$ ✅

Пример 7 (сложный). Найди $\displaystyle\int\frac{x+4}{x^2+2x+5}\,dx$.

Знаменатель неразложим ($D = 4-20 < 0$), а в числителе стоит $x$ — значит нужен комбинированный приём: разделить числитель на две части, одна из которых пропорциональна производной знаменателя.

Производная знаменателя: $(x^2+2x+5)' = 2x+2$. Подгоняем числитель под неё:

Разбиваем интеграл:

Первый интеграл — шаблон $\frac{g'}{g}$, берётся заменой $u = x^2+2x+5$:

Модуль не нужен: трёхчлен с отрицательным дискриминантом и положительным старшим коэффициентом всюду положителен.

Второй интеграл — полный квадрат: $x^2+2x+5 = (x+1)^2+4$, $a = 2$:

Итого

Проверка:

Схема «логарифм плюс арктангенс» для дроби с квадратичным знаменателем — типовая, и её стоит узнавать с первого взгляда.

Почему это важно

Рациональные функции — единственный большой класс, для которого интегрирование полностью алгоритмизировано: любая рациональная дробь берётся, и её первообразная всегда выражается через рациональные функции, логарифмы и арктангенсы. Никаких «не берётся» здесь не бывает. Это редкий островок гарантий в теме, где гарантий обычно нет, и именно поэтому огромная часть практической работы состоит в том, чтобы свести задачу к рациональной дроби — заменой, подстановкой, разложением. Тот же принцип потом переносится в вычислительную математику: если сумел привести выражение к классу, где алгоритм есть, задача решена.

Тригонометрические интегралы

Интуиция: два случая, две техники

Тригонометрия под интегралом почти никогда не берётся «в лоб». В таблице есть $\sin x$, $\cos x$, $\frac{1}{\cos^2x}$, $\frac{1}{\sin^2x}$ — и всё. Любая степень выше первой требует предварительного преобразования, и техник ровно две; выбор между ними определяется чётностью степеней.

Случай А: все степени чётные. Работают формулы понижения степени из уроков 98–99:

Каждое применение уменьшает степень вдвое и удваивает аргумент. При необходимости формулу применяют повторно.

Случай Б: хотя бы одна степень нечётная. Работает замена. От нечётной степени отщепляют один множитель, который уходит в $du$, а остаток (чётной степени) переписывают через основное тождество $\sin^2x + \cos^2x = 1$.

• нечётная степень у синуса → отщепляем $\sin x\,dx = -d(\cos x)$, замена $u = \cos x$;
• нечётная степень у косинуса → отщепляем $\cos x\,dx = d(\sin x)$, замена $u = \sin x$.

Мнемоника простая: отщепляем от нечётной, заменяем на другую.

Есть и третий полезный приём — формулы произведения в сумму (урок 99):

Они превращают произведение тригонометрических функций с разными аргументами в сумму, а сумма берётся по линейности.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Найди $\displaystyle\int\cos^2x\,dx$.

Степень чётная — понижаем:

Проверка: $\left(\frac x2 + \frac{\sin 2x}{4}\right)' = \frac12 + \frac{2\cos 2x}{4} = \frac{1+\cos 2x}{2} = \cos^2 x$ ✅

Сравни с уроком 145, где так же брался $\sin^2 x$: ответы отличаются знаком у второго слагаемого, ровно как отличаются формулы понижения.

Пример 2 (средний). Найди $\displaystyle\int\sin^4x\,dx$.

Степень чётная и большая — понижаем дважды.

Шаг 1.

Шаг 2. В остатке снова квадрат — понижаем его, помня, что аргумент теперь $2x$:

Подставляем:

Шаг 3. Интегрируем почленно, не забывая делить на коэффициент при $x$:

Проверка: $\frac38 - \frac{2\cos 2x}{4} + \frac{4\cos 4x}{32} = \frac38 - \frac{\cos 2x}{2} + \frac{\cos 4x}{8} = \sin^4 x$ ✅

Пример 3 (средний). Найди $\displaystyle\int\cos^3x\,dx$.

Степень нечётная — отщепляем один косинус, остаток переписываем через синус:

Замена $u = \sin x$, $du = \cos x\,dx$:

Проверка: $\left(\sin x - \frac{\sin^3x}{3}\right)' = \cos x - \sin^2x\cos x = \cos x(1-\sin^2 x) = \cos^3x$ ✅

Пример 4 (сложный). Найди $\displaystyle\int\sin^5x\,dx$.

Нечётная степень, отщепляем один синус — он уйдёт в дифференциал:

Замена $u = \cos x$, $du = -\sin x\,dx$, то есть $\sin x\,dx = -du$:

Возвращаемся к $x$:

Проверка: производная равна $\sin x + \frac{2\cdot 3\cos^2x(-\sin x)}{3} - \frac{5\cos^4x(-\sin x)}{5} = \sin x\left(1 - 2\cos^2x + \cos^4x\right) = \sin x\left(1-\cos^2x\right)^2 = \sin^5 x$ ✅

Пример 5 (сложный). Найди $\displaystyle\int\sin 3x\cos 5x\,dx$.

Аргументы разные, никакая замена тут не поможет — работает формула произведения в сумму:

где использовано, что синус нечётен: $\sin(-2x) = -\sin 2x$.

Интегрируем по линейности с делением на коэффициенты:

Проверка: $\frac{8\sin 8x}{16} - \frac{2\sin 2x}{4} = \frac{\sin 8x - \sin 2x}{2} = \sin 3x\cos 5x$ ✅

Почему это важно

Тригонометрические интегралы — это школа алгебраического манёвра. Ни один из них не решается прямым применением таблицы; каждый требует сначала переписать выражение так, чтобы таблица заработала. Навык «увидеть, какое тождество здесь спасает» ценнее конкретных ответов: ровно он потом переносится на любые незнакомые интегралы. А практическая ценность этих формул тоже реальная: разложение периодических сигналов в сумму гармоник — основа обработки звука, изображений и любой работы с временными рядами в частотной области, и интегралы от произведений синусов и косинусов там считаются постоянно.

Неопределённый интеграл в машинном обучении и статистике

Интегралы в ML встречаются реже, чем градиенты, но там, где встречаются, они обычно стоят в самом фундаменте конструкции — а не в вычислениях. Разберём пять сюжетов, в каждом из которых работает ровно то, что было в этом уроке.

Нормировочная константа плотности

Любая плотность вероятности обязана удовлетворять одному условию:

Смысл прозрачный: вероятность того, что величина примет хоть какое-то значение, равна единице. Отсюда стандартная задача: модель предлагает функцию нужной формы, но с неизвестным масштабом, и масштаб подбирают так, чтобы условие выполнилось.

Практически это выглядит так. Пусть форма плотности задана функцией $\tilde p(x)$ — она положительна и имеет нужный вид, но интегрируется не в единицу. Тогда настоящая плотность равна

Число $Z$ называют нормировочной константой, или статсуммой (partition function — термин пришёл из статистической физики). Именно в вычислении $Z$ и застревает половина байесовской статистики: форму $\tilde p$ модель задаёт легко, а интеграл берётся редко.

Простой случай ты уже видел в уроке 145: плотность вида $cx$ на отрезке, условие полной вероятности даёт значение $c$. В машинном обучении так везёт почти никогда. В энергетических моделях (energy-based models) плотность записывают как $p(x) \propto e^{-E(x)}$, где $E$ — обучаемая нейросеть; интеграл от такого выражения не берётся ни аналитически, ни численно при сколько-нибудь большой размерности. Отсюда вырос целый пласт методов, которые учат модель не вычисляя $Z$: contrastive divergence, score matching, noise-contrastive estimation. Все они существуют по одной причине — интеграл, который стоит в определении, взять нельзя.

Кстати, softmax — это ровно нормировка, только дискретная: сумма экспонент в знаменателе играет ту же роль, что $Z$ у плотности. Дискретный случай считается за микросекунду, непрерывный оказывается нерешаемой задачей — вся разница в том, что сумма конечна, а интеграл нет.

Замена переменной и normalizing flows

Формула замены переменной из этого урока — прямой предок одной из главных конструкций современной генеративной статистики.

Задача такая: есть случайная величина $X$ с известной плотностью, и мы применяем к ней обратимое преобразование $Y = g(X)$. Какая плотность у $Y$? Ответ в одномерном случае:

Множитель $\left|\frac{dx}{dy}\right|$ — то же самое, что появляется при замене переменной в интеграле: он показывает, во сколько раз преобразование растягивает или сжимает ось, и не даёт полной вероятности перестать равняться единице. В многомерном случае вместо одной производной там стоит определитель матрицы частных производных — якобиан; техника многомерная и относится к университетскому курсу, но идея буквально та же.

На этой формуле построены normalizing flows — модели, которые берут простое распределение (обычно нормальное), пропускают его через цепочку обратимых преобразований и получают сложное. Плотность результата считается точно, а не приближённо, — потому что на каждом шаге известно, как менять её по формуле замены переменной. Практическая инженерия там состоит в том, чтобы придумывать преобразования, у которых якобиан считается быстро: у произвольной нейросети он стоит дороже, чем всё остальное обучение вместе взятое. Отсюда архитектуры RealNVP, Glow, autoregressive flows — все они, по сути, соревнуются в том, чей множитель растяжения дешевле посчитать.

sympy.integrate и почему в проде интегрируют численно

Символьное интегрирование существует, и им можно пользоваться:

sympy.integrate(x*sp.exp(x), x) вернёт (x - 1)*exp(x).

Внутри работает комбинация эвристик и частичной реализации алгоритма Риша — того самого, который в принципе умеет отвечать на вопрос «берётся или нет». Когда SymPy возвращает невычисленный объект Integral(...), это может означать две разные вещи: либо интеграл действительно не выражается в элементарных функциях (доказанный факт), либо реализация не справилась. Различать эти случаи по выводу нельзя, и это стоит помнить.

В production-коде символьное интегрирование почти не используется, и причин три.

• Скорость. Символьный поиск занимает секунды и миллисекунды там, где численный метод укладывается в микросекунды. В цикле обучения это неприемлемо.
• Отсутствие ответа. Большинство интегралов, возникающих в реальных моделях, не берутся. Аналитическая формула — счастливое исключение, а не норма.
• Размерность. Интегралы в ML почти всегда многомерные, и там символьный подход не работает в принципе.

Поэтому рабочие инструменты другие: scipy.integrate.quad для одномерных численных интегралов, scipy.integrate.dblquad для двойных, методы Монте-Карло для больших размерностей, и специальные функции (scipy.special.erf, torch.erf) там, где интеграл известен, но не элементарен. Символьные системы остаются инструментом вывода формул и проверки, а не счёта.

Кстати, ровно этим стоит пользоваться и при решении задач: sympy.diff от твоего ответа обязан дать подынтегральную функцию. Это тот же самый бесплатный тест, о котором говорил урок 145, только в две строки кода.

Интегрирование по частям как приём вывода в статистике

Формула $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ используется в статистике не столько для счёта, сколько для преобразования формул. Классический пример — связь матожидания с хвостом распределения.

Для неотрицательной случайной величины математическое ожидание можно записать двумя способами: через плотность и через «хвост» $P(X > x) = 1 - F(x)$. Переход между этими записями делается интегрированием по частям: берут $u = x$, $dv = p(x)\,dx$, получают $v = F(x)$ и перекладывают производную с одного множителя на другой. Результат — знаменитая формула, выражающая среднее через вероятность превышения порога.

Строгая версия требует работы с бесконечными пределами (несобственные интегралы — университетская тема, здесь только называю их по имени), но алгебраическая суть — ровно формула из этого урока. Тем же приёмом выводят связь моментов распределения с производящими функциями, интегрируют по частям в доказательстве неравенства Крамера–Рао, и переносят производную с параметра на плотность в трюке log-derivative — том самом, что лежит в основе REINFORCE и policy gradient в обучении с подкреплением.

Softplus — интеграл сигмоиды

Красивый и полностью школьный факт. Возьмём сигмоиду $\sigma(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}$ и проинтегрируем её:

Во втором равенстве числитель и знаменатель домножены на $e^x$. Теперь виден шаблон $\frac{g'}{g}$: производная знаменателя $e^x+1$ равна ровно $e^x$. Замена $u = e^x+1$, $du = e^xdx$:

Модуль не нужен: $1+e^x > 0$ всегда. А функция $\operatorname{softplus}(x) = \ln(1+e^x)$ — стандартная гладкая активация, реализованная как torch.nn.functional.softplus.

Итог красивый: softplus — первообразная сигмоиды, сигмоида — производная softplus. Пара, которую в нейросетях используют по отдельности, оказывается двумя сторонами одного объекта. И связь с логистической регрессией прямая: $\sigma$ там переводит логит в вероятность, а $\ln(1+e^x)$ — это ровно то, что стоит в логистической функции потерь. Когда формулу лосса записывают как $\log(1+e^{-y\cdot z})$, за этим стоит интеграл сигмоиды, взятый в две строки школьной заменой.

Отдельная тема, которую здесь только назову: интегралы вида $\int_0^{\infty}$ с бесконечным верхним пределом — они нужны для дифференциальной энтропии, KL-дивергенции и дисперсии распределений на полуоси. Это несобственные интегралы, техника для них появляется в университетском курсе; знать стоит только то, что они существуют и что знак $\int$ там означает уже не семейство функций, а число.

Почему это важно

Общий сюжет всех пяти историй один: в машинном обучении интеграл чаще определяет объект, чем вычисляется. Плотность определена через условие нормировки, преобразование распределений определено через якобиан замены, энтропия определена через интеграл — а считаются все они численно, приближённо или в обход. Поэтому владение техникой интегрирования нужно тебе не для того, чтобы брать интегралы руками в проде (там их берут библиотеки), а для того, чтобы читать формулы и понимать, откуда в них берётся каждый множитель. Формула замены переменной, увиденная один раз в школьном виде, потом узнаётся в статье про normalizing flows за секунду.

Практика: 30 заданий

Базовые (задания 1-10)

Задание 1: Найди $\displaystyle\int\left(3x^2 - 4x + 5\right)dx$.

Задание 2: Найди $\displaystyle\int\left(\frac{2}{x} + 3\sqrt{x}\right)dx$.

Задание 3: Найди $\displaystyle\int\frac{x^3 + 2x - 5}{x^2}\,dx$.

Задание 4: Найди $\displaystyle\int e^{4x-3}\,dx$.

Задание 5: Найди $\displaystyle\int\frac{dx}{3x+2}$.

Задание 6: Найди $\displaystyle\int\sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)dx$.

Задание 7: Найди $\displaystyle\int(5x-1)^7\,dx$.

Задание 8: Найди $\displaystyle\int\left(2^x + \frac{1}{\cos^2 x}\right)dx$.

Задание 9: Найди $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{1-4x^2}}$.

Задание 10: Найди $\displaystyle\int\left(x^2+1\right)^2 dx$.

Средние (задания 11-20)

Задание 11: Найди $\displaystyle\int x\sqrt{x^2+1}\,dx$.

Задание 12: Найди $\displaystyle\int\frac{\ln^3 x}{x}\,dx$.

Задание 13: Найди $\displaystyle\int\sin^3 x\cos x\,dx$.

Задание 14: Найди $\displaystyle\int\operatorname{tg} x\,dx$.

Задание 15: Найди $\displaystyle\int x e^{2x}\,dx$.

Задание 16: Найди $\displaystyle\int x\sin 3x\,dx$.

Задание 17: Найди $\displaystyle\int x\ln x\,dx$.

Задание 18: Найди $\displaystyle\int\frac{dx}{x^2+9}$.

Задание 19: Найди $\displaystyle\int\frac{dx}{x^2-4}$.

Задание 20: Найди $\displaystyle\int\cos^2 3x\,dx$.

Продвинутые (задания 21-30)

Задание 21: Найди $\displaystyle\int x^2 e^x\,dx$.

Задание 22: Найди $\displaystyle\int e^{-x}\cos x\,dx$.

Задание 23: Найди $\displaystyle\int\arcsin x\,dx$.

Задание 24: Найди $\displaystyle\int\frac{5x+3}{(x-1)(x+3)}\,dx$.

Задание 25: Найди $\displaystyle\int\frac{dx}{x^2+4x+13}$.

Задание 26: Найди $\displaystyle\int\frac{x^2+1}{x-1}\,dx$.

Задание 27: Найди $\displaystyle\int\sin^3 x\cos^4 x\,dx$.

Задание 28: Найди $\displaystyle\int\sin^2 x\cos^2 x\,dx$.

Задание 29: Найди $\displaystyle\int\frac{x\,dx}{\sqrt{x+4}}$.

Задание 30: Найди $\displaystyle\int\sigma(x)\,dx$, где $\sigma(x) = \dfrac{1}{1+e^{-x}}$ — логистическая функция (сигмоида). Как называется полученная функция в машинном обучении?

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: потеряли постоянную интегрирования

Неправильно: $\int 2x\,dx = x^2$.

Правильно: $\int 2x\,dx = x^2 + C$.

💡 Почему важно: знак $\int$ по определению обозначает всё множество первообразных, а $x^2$ — одну функцию из него. Запись без $C$ утверждает, что первообразная одна, — это неверно. Единственное место, где $C$ не пишут, — определённый интеграл из урока 147, но там и знак другой, с пределами.

❌ Ошибка 2: потеряли $dx$ или считают его украшением

Неправильно: $\int \sin x = -\cos x + C$.

Правильно: $\int\sin x\,dx = -\cos x + C$.

💡 Почему важно: $dx$ сообщает, по какой переменной идёт интегрирование, и без него запись неоднозначна. Проверить это можно на $\int ax^2$: по $x$ ответ $\frac{ax^3}{3}$, по $a$ — $\frac{a^2x^2}{2}$. Кроме того, $dx$ — рабочая часть техники: без него нельзя ни выполнить замену ($du = g'(x)dx$), ни применить интегрирование по частям, где $dv$ обязательно содержит дифференциал.

❌ Ошибка 3: вынесли за знак интеграла выражение с переменной

Неправильно: $\int e^{x^2}dx = \frac{1}{2x}\int 2xe^{x^2}dx = \frac{e^{x^2}}{2x} + C$.

Правильно: так делать нельзя. За знак интеграла выносятся только числа. Интеграл $\int e^{x^2}dx$ не берётся в элементарных функциях вообще.

💡 Почему важно: это ошибка номер один в методе замены. Проверить неправильный ответ легко: $\left(\frac{e^{x^2}}{2x}\right)' = e^{x^2} - \frac{e^{x^2}}{2x^2} \neq e^{x^2}$. Множитель $\frac{1}{2x}$ зависит от $x$, поэтому при дифференцировании он даёт лишнее слагаемое по правилу произведения. Правило простое: число выносится, функция — нет.

❌ Ошибка 4: не вернулись к исходной переменной

Неправильно: $\int x\sqrt{x^2+1}\,dx = \frac{u^{3/2}}{3} + C$.

Правильно: $\frac{\left(x^2+1\right)^{3/2}}{3} + C$.

💡 Почему важно: буква $u$ — временная, она существовала только внутри решения. Ответ обязан быть функцией той переменной, которая стояла в условии. Ошибка чисто механическая, но в контрольной за неё снимают весь балл, а в реальном расчёте она превращается в бессмысленную формулу.

❌ Ошибка 5: применили линейную подстановку к нелинейному аргументу

Неправильно: $\int\left(x^2+1\right)^2dx = \frac{\left(x^2+1\right)^3}{3\cdot 2x} + C$.

Правильно: раскрыть скобки: $\int\left(x^4+2x^2+1\right)dx = \frac{x^5}{5}+\frac{2x^3}{3}+x+C$.

💡 Почему важно: правило «поделить на производную внутренней функции» работает только когда эта производная — константа, то есть только для аргумента $kx+b$. Как только внутри появляется $x^2$, делить не на что: делитель зависит от $x$, а такой множитель не выносится (см. ошибку 3). Правильный ответ либо получается алгеброй, либо требует замены, либо не существует в элементарных функциях.

❌ Ошибка 6: интеграл произведения приравняли к произведению интегралов

Неправильно: $\int x\cos x\,dx = \int x\,dx\cdot\int\cos x\,dx = \frac{x^2\sin x}{2} + C$.

Правильно: $\int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C$ (интегрирование по частям).

💡 Почему важно: линейность — это про сумму и про числовой множитель, и только. Проверка неправильного ответа занимает строку: $\left(\frac{x^2\sin x}{2}\right)' = x\sin x + \frac{x^2\cos x}{2}$, что на исходную функцию не похоже. Для произведений существует ровно один инструмент — формула по частям, и она устроена как обмен, а не как перемножение.

❌ Ошибка 7: в формуле по частям потеряли минус или поменяли роли на втором шаге

Неправильно: $\int u\,dv = uv + \int v\,du$; или в циклическом примере на втором применении взяли $u = e^x$ вместо тригонометрической функции.

Правильно: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$; в циклическом случае роли на обоих шагах должны быть согласованы.

💡 Почему важно: минус приходит из переноса слагаемого при выводе формулы, и без него результат не проходит проверку дифференцированием. А смена ролей в циклическом интеграле раскручивает выкладку обратно и даёт тождество $I = I$ — верное, но бесполезное. Признак того, что всё идёт правильно: после второго применения исходный интеграл возвращается с противоположным знаком, и его можно перенести влево.

❌ Ошибка 8: перепутали $x^2+a^2$ и $x^2-a^2$

Неправильно: $\int\frac{dx}{x^2-4} = \frac12\operatorname{arctg}\frac x2 + C$.

Правильно: $\int\frac{dx}{x^2-4} = \frac14\ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right| + C$; арктангенс появляется только при плюсе: $\int\frac{dx}{x^2+4} = \frac12\operatorname{arctg}\frac x2 + C$.

💡 Почему важно: знак определяет, раскладывается ли знаменатель на множители. При минусе корни есть, дробь разбивается на две простейшие, и ответ — логарифм. При плюсе корней нет, разбить нечего, и ответ — арктангенс. Мнемоника: плюс — арктангенс, минус — логарифм. Проверка дифференцированием различает эти случаи мгновенно.

❌ Ошибка 9: разложили на простейшие неправильную дробь

Неправильно: $\dfrac{x^2+1}{x-1} = \dfrac{A}{x-1}$.

Правильно: сначала выделить целую часть: $\dfrac{x^2+1}{x-1} = x+1+\dfrac{2}{x-1}$, и только потом работать с остатком.

💡 Почему важно: метод неопределённых коэффициентов применим только к правильным дробям, у которых степень числителя строго меньше степени знаменателя. Если это не так, система уравнений на коэффициенты окажется несовместной. Быстрая проверка здравым смыслом: при больших $x$ левая часть растёт как $x$, а правая стремится к нулю — равенство невозможно ни при каком $A$.

❌ Ошибка 10: при понижении степени забыли, что аргумент удваивается

Неправильно: $\cos^2 3x = \frac{1+\cos 3x}{2}$.

Правильно: $\cos^2 3x = \frac{1+\cos 6x}{2}$.

💡 Почему важно: формула понижения читается как «квадрат функции от $t$ выражается через косинус от $2t$». Если $t = 3x$, то удвоенный аргумент равен $6x$. Ошибка тихая: ответ выглядит правдоподобно и ловится только проверкой. Продифференцируй — и несоответствие вылезет сразу, потому что множитель из цепного правила окажется не тем.

Главное запомнить

✅ Определение: $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, где $F' = f$. Это множество всех первообразных на промежутке, записанное одним символом.

✅ Интеграл — семейство функций, а не число. В ответе всегда есть переменная и всегда есть $+C$. Числом будет определённый интеграл $\int_a^b$ из урока 147 — другой объект с похожим значком.

✅ $dx$ обязателен. Он указывает переменную интегрирования и работает в технике: замена определяется через $du = g'(x)\,dx$, формула по частям — через $dv$.

✅ Проверка не изменилась: продифференцируй ответ и сравни с подынтегральной функцией. Стопроцентно надёжный тест, работающий в каждой задаче.

✅ Линейность: интеграл суммы равен сумме интегралов, числовой множитель выносится. Больше линейность ничего не разрешает — ни произведения, ни частного.

✅ Замена переменной: $\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$ при $u = g(x)$. Ищи в интеграле пару «внутренняя функция и её производная». Числовой множитель поправляется руками, выражение с $x$ выносить нельзя. В конце обязателен возврат к исходной переменной.

✅ Внесение под дифференциал: $g'(x)\,dx = d\big(g(x)\big)$. Короткая форма той же замены: $2x\,dx = d(x^2)$, $\cos x\,dx = d(\sin x)$, $\frac{dx}{x} = d(\ln x)$.

✅ Линейная подстановка — частный случай замены: $\int f(kx+b)\,dx = \frac1k F(kx+b) + C$. Работает только для линейного аргумента.

✅ Интегрирование по частям: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$. Выводится из правила произведения для производной. Формула не считает интеграл, а меняет его на другой — стало сложнее, поменяй роли.

✅ Выбор $u$ по ЛИАТЭ: логарифмические → обратные тригонометрические → алгебраические → тригонометрические → экспоненциальные. Что стоит раньше — то в $u$.

✅ Три сценария по частям: многочлен × экспонента (или тригонометрия) — $u$ = многочлен; одинокая $\ln x$ или $\operatorname{arctg} x$ — $dv = dx$; экспонента × тригонометрия — циклический случай с уравнением относительно $I$.

✅ Дроби: сначала целая часть, если числитель тяжелее знаменателя; потом разложение. $\int\frac{dx}{x^2+a^2} = \frac1a\operatorname{arctg}\frac xa$, $\int\frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|$. Плюс — арктангенс, минус — логарифм.

✅ Квадратный трёхчлен в знаменателе: $D > 0$ — раскладывай на простейшие методом неопределённых коэффициентов (только разные вещественные корни); $D < 0$ — выделяй полный квадрат и получай арктангенс.

✅ Шаблон $\frac{g'(x)}{g(x)}$ всегда даёт $\ln|g(x)| + C$. Отсюда $\int\operatorname{tg} x\,dx = -\ln|\cos x| + C$ и интеграл сигмоиды.

✅ Тригонометрия: хотя бы одна нечётная степень — отщепляем множитель и делаем замену; все степени чётные — понижаем формулами уроков 98–99, помня про удвоение аргумента. Разные аргументы — формулы произведения в сумму.

✅ Берётся не всё. $\int e^{x^2}dx$, $\int\frac{\sin x}{x}dx$, $\int\frac{dx}{\ln x}$ не выражаются в элементарных функциях. Разница между $\int xe^{x^2}dx$ и $\int e^{x^2}dx$ — один множитель и пропасть между «две строки» и «невозможно».

✅ В ML: условие $\int p(x)dx = 1$ определяет нормировочную константу; формула замены переменной — предок change of variables в normalizing flows; softplus $= \ln(1+e^x)$ — первообразная сигмоиды; в проде интегрируют численно (scipy.integrate.quad, Монте-Карло), символьно — только для вывода формул.

Связь с другими темами курса

Что нужно было знать до этого урока:

• Урок 145, первообразная — прямой фундамент: определение $F' = f$, теорема об отличии на константу, таблица первообразных, правила суммы и константы, линейная подстановка. Сегодняшний урок — та же тема в новой записи плюс два новых метода.
• Урок 136, правила дифференцирования — правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$ дало формулу интегрирования по частям буквально в три строки вывода.
• Урок 137, цепное правило — прочитанное справа налево, оно и есть замена переменной. Без него формула $\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du$ не имеет обоснования.
• Урок 138, таблица производных — таблица интегралов получается её разворотом; третий столбец таблицы 145 был доказательством каждой строки.
• Уроки 98–99, формулы двойного угла и понижения степени — рабочий инструмент всего раздела про тригонометрические интегралы, включая формулы произведения в сумму.
• Алгебра многочленов — деление с остатком, разложение квадратного трёхчлена на множители, выделение полного квадрата: без этого раздел про рациональные дроби не работает.
• Урок 140, монотонность — оттуда факт «нулевая производная на промежутке влечёт постоянство», на котором стоит само право писать $+C$.

Что изучить дальше:

• Урок 147, определённый интеграл — переход от семейства функций к числу: интегральные суммы, пределы интегрирования, накопленная величина. Значок похож, объект принципиально другой.
• Урок 148, формула Ньютона–Лейбница — мост между сегодняшней техникой и вычислением определённых интегралов. Всё, что ты научился находить в этом уроке, там начнёт давать конкретные числа.
• Урок 149, вычисление площадей — первое серьёзное геометрическое приложение, где методы этого урока работают как инструмент.
• Урок 150, применение интегралов в физике — работа переменной силы, путь, масса неоднородного стержня.
• Университетский блок — несобственные интегралы (бесконечные пределы и разрывы), интегрирование по частям для кратных корней и неразложимых квадратичных множителей, тригонометрические и универсальная подстановки, численные методы, дифференциальные уравнения, кратные интегралы и якобиан замены переменной.

Где это нужно в жизни:

💻 В программировании: scipy.integrate.quad и sympy.integrate, символьные вычисления в CAS-системах, физические движки игр, расчёт накопленных величин в бэкенде аналитики, обработка сигналов.

🤖 В ML/AI: нормировочная константа плотности и методы её обхода (score matching, noise-contrastive estimation), формула замены переменной в normalizing flows, softplus как активация и как слагаемое в логистическом лоссе, интегрирование по частям в выводе policy gradient, непрерывные модели Neural ODE.

📊 В Data Science: плотности и функции распределения, ожидания и квантили, площадь под кривой как метрика качества, переход от потоковых метрик к накопленным.

🔬 В науке и инженерии: работа переменной силы, заряд по току, момент инерции, средние значения периодических сигналов, разложение колебаний на гармоники.

💰 В финансах и экономике: непрерывное начисление процентов, приведённая стоимость денежного потока, суммарные издержки по предельным, накопленный объём продаж по темпу.

Интересные факты

💡 У знака интеграла есть точная дата рождения — 29 октября 1675 года. В этот день Лейбниц написал в черновике: «полезно будет писать $\int$ вместо omn.» — и поставил вытянутую $S$ от латинского summa. В той же рукописи он заметил, что операции $\int$ и $d$ взаимно обратны, то есть увидел суть основной теоремы анализа раньше, чем сумел её сформулировать. Знак, придуманный за один день в личном черновике, стоит сегодня в каждом учебнике мира.

💡 Слово «интеграл» придумал не Лейбниц. Он называл свою операцию calculus summatorius — «исчисление сумм». Термин integralis (от латинского integer, «целый») предложил Якоб Бернулли в 1690 году, и Лейбниц сначала сопротивлялся, а согласился только в 1696-м в переписке с Иоганном Бернулли. Половина математического анализа носит имя, придуманное конкурентом её создателя.

💡 Соседние по виду интегралы живут по разные стороны от границы возможного. $\int xe^{x^2}dx$ берётся за две строки, а $\int e^{x^2}dx$ не берётся никогда. $\int x\sin x\,dx$ берётся по частям, а $\int\frac{\sin x}{x}dx$ — нет. $\int\ln x\,dx = x\ln x - x + C$, а $\int\frac{dx}{\ln x}$ не выражается элементарно. Внешнее сходство функций ничего не говорит о том, берётся ли интеграл: граница проходит там, где её никакая интуиция не подсказывает.

💡 Первый учебник интегрального исчисления написал Эйлер — в трёх томах. «Institutiones calculi integralis» выходил в 1768–1770 годах и превратил разрозненные приёмы в свод правил: замены, подстановки для иррациональностей, полная теория интегрирования рациональных функций. Именно после Эйлера интегрирование стало ремеслом, которому можно систематически учить, а не набором индивидуальных догадок. Многие обозначения в сегодняшних учебниках — прямые цитаты из этих томов.

💡 Существует справочник, где интегралы просто перечислены — и он на тысячу с лишним страниц. Таблицы Рыжика, впервые изданные в СССР в 1943 году и позже известные как «Градштейн — Рыжик», содержат десятки тысяч готовых формул и переиздаются до сих пор. Для них ведут официальные списки опечаток: часть ошибок нашли уже в наше время, прогнав формулы через системы компьютерной алгебры. Даже в справочнике, которым пользуются восемьдесят лет, проверка дифференцированием находит работу.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Проверка дифференцированием остаётся главным инструментом

Каждый найденный интеграл проверяется за десять секунд: продифференцируй ответ и сравни с подынтегральной функцией. Никакой другой темы курса, где правильность устанавливается на сто процентов независимо от способа решения, не существует.

Пример: получил $\int(5x-1)^7dx = \frac{(5x-1)^8}{40}$. Проверяем: $\frac{8(5x-1)^7\cdot 5}{40} = (5x-1)^7$ ✅ Если бы в знаменателе стояло $8$ вместо $40$, промах был бы ровно в пять раз — виден мгновенно.

2. Сначала алгебра, потом интеграл

Прежде чем искать метод, попробуй упростить подынтегральное выражение: раскрыть скобки, поделить почленно, свести к одной степени, применить тригонометрическое тождество. Половина «сложных» интегралов после этого становится табличными.

Пример: $\int\left(\sqrt x - \frac{1}{\sqrt x}\right)^2dx$ выглядит страшно, пока не раскроешь квадрат: $x - 2 + \frac1x$, и ответ $\frac{x^2}{2} - 2x + \ln|x| + C$ выписывается сразу.

3. Сканируй интеграл на пару «внутренняя функция и её производная»

Это единственный вопрос, который надо задать перед заменой. Что стоит внутри — под корнем, в показателе, в знаменателе, в аргументе синуса? Есть ли рядом производная этого выражения, хотя бы с числовым множителем?

Пример: в $\int\frac{x^2dx}{1+x^6}$ внутри спрятан $x^3$ (потому что $x^6 = (x^3)^2$), а $x^2$ — это треть его производной. Ответ $\frac13\operatorname{arctg} x^3 + C$ получается в две строки. Без этого взгляда интеграл кажется безнадёжным.

4. Помни границу выноса: число можно, функцию нельзя

При замене недостающий числовой множитель поправляется свободно: нужно $2x\,dx$, а есть $x\,dx$ — умножь на $\frac12$ и вынеси. Выражение с $x$ выносить за знак интеграла запрещено, и попытка это сделать — самый популярный способ «доказать», что неберущийся интеграл берётся.

Пример: $\int x\sqrt{x^2+1}\,dx$ решается вынесением $\frac12$ ✅ А $\int\sqrt{x^2+1}\,dx$ так не решается: множителя $x$ нет, взять его из воздуха нельзя.

5. ЛИАТЭ выбирает $u$, а проверка «стало ли проще» — подтверждает

Мнемоника Л-И-А-Т-Э даёт первое приближение: что стоит раньше в списке, то и берём за $u$. Но окончательный критерий один: после применения формулы новый интеграл должен быть проще старого. Если стал сложнее — поменяй роли, это стоит одной строки.

Пример: в $\int x\ln x\,dx$ логарифм раньше алгебраической, значит $u = \ln x$ — и оставшийся интеграл превращается в $\frac12\int x\,dx$. При обратном выборе пришлось бы брать $\int\ln x\,dx$, то есть решать задачу тяжелее исходной.

6. У дроби с квадратным трёхчленом сначала считай дискриминант

Это развилка, которая сразу говорит, какой будет ответ. $D > 0$ — знаменатель раскладывается, работает метод неопределённых коэффициентов, в ответе логарифмы. $D < 0$ — выделяй полный квадрат, в ответе арктангенс. Если в числителе есть $x$, разбей его на две части: одна пропорциональна производной знаменателя (даёт логарифм), вторая — константа (даёт арктангенс).

Пример: $\int\frac{x+4}{x^2+2x+5}dx$: $D = -16 < 0$, числитель раскладываем как $\frac12(2x+2)+3$, ответ $\frac12\ln(x^2+2x+5) + \frac32\operatorname{arctg}\frac{x+1}{2} + C$.

7. Проверяй ответ кодом, когда лень дифференцировать руками

Две строки в SymPy заменяют всю ручную проверку, и это ровно тот приём, которым пользуются на практике: sympy.simplify(sympy.diff(answer, x) - integrand) должно дать ноль. Численный вариант ещё проще: посчитай центральную разность $\frac{F(x_0+h)-F(x_0-h)}{2h}$ при $h \approx 10^{-6}$ и сравни с $f(x_0)$.

Пример: для $F(x) = \frac{e^{-x}(\sin x - \cos x)}{2}$ центральная разность в точке $x = 1$ даёт $0{,}19877$, а подынтегральная функция $f(x) = e^{-x}\cos x$ в той же точке равна $e^{-1}\cos 1 \approx 0{,}19877$ ✅ Расхождение в знаке или коэффициенте вылезло бы в первом же знаке после запятой.

💡 Совет: заведи привычку писать после каждого интеграла строчку «проверка: $(\ldots)' = \ldots$». В этой теме она заменяет и ответ в конце задачника, и преподавателя: техника здесь разная, а критерий правильности один и тот же для всех методов.

Ты получил то, чего не хватало прошлому уроку. Первообразная перестала быть громоздкой фразой и стала символом, с которым можно работать: разбивать, переносить, менять переменную. Замена сняла ограничение «только линейный аргумент» — теперь достаточно, чтобы производная внутренней функции стояла рядом. Интегрирование по частям вернуло правило произведения в единственной форме, в которой оно существует: не как формула ответа, а как обмен одного интеграла на другой. Плюс рабочая техника для дробей и тригонометрии — и набор, с которым берётся большинство встречающихся интегралов.

А в следующем уроке — 147, определённый интеграл — тот же знак получит два числа снизу и сверху, и результат перестанет быть функцией. Вместо семейства кривых появится одно число: площадь, работа, накопленная величина. Связь между этими двумя объектами окажется куда глубже, чем сходство значков, — но это уже сюжет урока 148 и формулы Ньютона–Лейбница. Переходи, там всё, что ты сегодня научился находить, начнёт давать конкретные ответы.