Формула Ньютона-Лейбница 🌉

В предыдущем уроке ты честно посчитал $\int_0^1 x^2\,dx$ по определению. Разбил отрезок на $n$ равных кусочков, выписал интегральную сумму, вспомнил формулу для суммы квадратов $1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, поделил, сократил, перешёл к пределу — и получил $\frac13$. Работа заняла полстраницы и потребовала знания отдельной комбинаторной формулы, которая к интегралам отношения не имеет.

Теперь честный вопрос: а что делать с $\int_0^1 x^5\,dx$? По той же схеме понадобится формула для суммы пятых степеней. Она существует, называется формулой Фаульхабера и выглядит как $\frac{n^6}{6} + \frac{n^5}{2} + \frac{5n^4}{12} - \frac{n^2}{12}$. Ради одного интеграла — многовато. А что делать с $\int_0^{\pi}\sin x\,dx$? Там придётся суммировать синусы арифметической прогрессии аргументов. Каждая новая функция — новый комбинаторный трюк. Так математика не работает; так работает коллекция фокусов.

Параллельно с этим у нас лежит совсем другая история. В уроках 145 и 146 мы занимались обратной задачей к дифференцированию: искали функцию по её производной. Первообразная, таблица, замена переменной, интегрирование по частям. К площадям и суммам эта линия отношения не имела вообще: там речь шла про «какую функцию продифференцировать, чтобы получилось вот это». Даже значок мы использовали похожий — $\int f(x)\,dx$ против $\int_a^b f(x)\,dx$, — и совпадение обозначений до сих пор выглядело именно как совпадение.

Сегодня две линии сходятся. Окажется, что предел интегральных сумм и обратная операция к дифференцированию — это буквально одно и то же, и связывает их формула, которую можно написать в одну строку:

Найди первообразную, подставь два числа, вычти. Всё. Полстраницы работы из прошлого урока сворачиваются в $\frac{x^3}{3}\Big|_0^1 = \frac13 - 0 = \frac13$ — примерно в пять секунд. Это не оптимизация и не удобный приём; это утверждение о том, что две совершенно разные задачи математики имеют общий ответ. Именно поэтому её называют основной теоремой анализа, а не «формулой номер такой-то».

Но у любой формулы такой силы есть цена — условия применимости, которые нельзя нарушать. В конце урока мы механически применим её к безобидному на вид интегралу $\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^2}$ и получим $-2$: отрицательное число для функции, которая везде положительна. Разобраться, где именно сломалось, — такая же обязательная часть темы, как и сама формула.

🎯 Ты узнаешь:

• Что такое интеграл с переменным верхним пределом $\Phi(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ и почему переменную интегрирования обязательно переименовывают в $t$
• Первую часть основной теоремы анализа — $\Phi'(x) = f(x)$ — с полным доказательством через теорему о среднем из урока 147
• Как из неё за три строки выводится формула Ньютона-Лейбница и почему постоянная $C$ в определённом интеграле не нужна
• Технику вычисления: замену переменной с пересчётом пределов, интегрирование по частям в определённом виде, использование чётности, нечётности и периодичности
• Как считать интеграл от функции, меняющей знак, и от функции под модулем — через разбиение отрезка
• Где формула отказывает: разрыв внутри отрезка, ответ $-2$ у положительной функции и что с этим делать
• Честный водораздел между формулой и численными методами: когда первообразной нет, считать всё равно приходится
• Как всё это работает в статистике и ML: функция распределения, np.cumsum, дисконтированный возврат в RL и сэмплирование через обратную функцию распределения

История: откуда это взялось?

Связь между задачей о касательной и задачей о площади заметили раньше, чем появилось само дифференциальное исчисление. В 1668 году шотландец Джеймс Грегори издал в Падуе книгу «Geometriae pars universalis» — «Универсальная часть геометрии», — где привёл геометрическое доказательство утверждения, которое сегодня читается как основная теорема анализа. Через два года, в 1670-м, то же самое, но яснее и подробнее, сделал Исаак Барроу в «Lectiones Geometricae». Барроу был первым Лукасовским профессором математики в Кембридже и учителем Ньютона; в 1669 году он уступил кафедру своему ученику.

Ни Грегори, ни Барроу не превратили находку в вычислительный инструмент — им не хватало алгебраического языка. У них была геометрическая теорема о двух кривых, а не формула, по которой можно считать. Инструментом её сделали двое.

Исаак Ньютон в рукописи «De analysi per aequationes numero terminorum infinitas» — она написана в 1669 году, разошлась в списках, а напечатана была только в 1711-м — показал, что площадь под кривой находится как функция, чья производная равна подынтегральной. Он мыслил кинематически: площадь «течёт» вместе с правым концом, а скорость её роста и есть высота кривой. Это ровно та мысль, вокруг которой построен первый раздел нашего урока.

Готфрид Вильгельм Лейбниц пришёл к тому же с другой стороны — от суммирования бесконечно малых. 29 октября 1675 года он впервые написал вытянутую $S$, знак интеграла; в печати этот знак появился в статье 1686 года. Обозначения Лейбница оказались настолько удачными, что мы пользуемся ими до сих пор, а его запись $dy/dx$ пережила все последующие перестройки анализа.

Дальше — почти полтора века странного положения дел. Формулой пользовались все, но что такое «определённый интеграл» в принципе, внятно не определял никто: его фактически определяли через первообразную, и тогда формула Ньютона-Лейбница превращалась в тавтологию. Порядок навёл Огюстен Луи Коши: в «Résumé des leçons» 1823 года он сначала определил определённый интеграл как предел сумм — независимо от всякой первообразной, — а затем доказал формулу как теорему. Именно с этого момента она стала содержательным утверждением, а не соглашением об обозначениях. Мы в этом курсе повторяем логику Коши буквально: урок 147 дал определение через суммы, урок 148 доказывает формулу.

Финальную огранку внесли Бернхард Риман (1854, работа опубликована в 1868-м), который дал определение интеграла для функций куда более диких, чем непрерывные, и Вито Вольтерра, который в 1881 году построил функцию с ограниченной производной, не интегрируемой по Риману. Пример Вольтерры показал, что у формулы есть настоящие границы, а не только учебные, и стал одной из причин, по которым Анри Лебег в 1902 году построил другую теорию интеграла. Но для непрерывных функций — а в этом уроке речь только о них — всё работает ровно так, как задумывали Ньютон и Лейбниц.

Интеграл с переменным верхним пределом

Интуиция: счётчик, который едет вместе с тобой

Определённый интеграл $\int_a^b f(x)\,dx$ — это число. Два конца зафиксированы, ответ один. Но давай сделаем один ход, который на первый взгляд ничего не меняет, а на деле переворачивает всю тему: отпустим правый конец.

Представь счётчик воды. Расход меняется в течение суток: $f(t)$ литров в минуту. Левый конец фиксирован — начало месяца. Правый — текущий момент. Показание счётчика есть накопленный объём от начала месяца до «сейчас», и оно меняется вместе с «сейчас». Не число, а функция времени.

Ровно эту конструкцию мы и вводим.

Определение: пусть $f$ непрерывна на отрезке $[a; b]$. Функция

$$\Phi(x) = \int_a^x f(t)\,dt, \qquad x \in [a; b],$$

называется интегралом с переменным верхним пределом, или функцией накопления для $f$.

Каждому $x$ она ставит в соответствие число — интеграл по отрезку от $a$ до $x$. При $x = a$ отрезок вырождается в точку, и по свойству из урока 147 получаем $\Phi(a) = 0$: накопить ничего не успели. При $x = b$ получаем полный интеграл $\Phi(b) = \int_a^b f(t)\,dt$. Между ними — плавный переход.

Почему переменную интегрирования переименовали в $t$

Это первое место, где спотыкаются практически все. Запись

некорректна, хотя и встречается в конспектах. Буква $x$ в ней играет две несовместимые роли одновременно: она и верхний предел (конкретное число, от которого зависит ответ), и переменная интегрирования (пробегающая весь отрезок).

Переменная интегрирования — немая: от её имени ничего не зависит. Числа

совпадают до последней цифры, потому что и разбиение отрезка, и интегральная сумма, и её предел от буквы не зависят. Это ровно та же ситуация, что со счётчиком цикла в программе: for i in range(n) и for k in range(n) дают один результат, а вот использовать i одновременно как счётчик внутреннего цикла и как границу внешнего — гарантированная ошибка. Поэтому под интегралом пишут $t$, а сверху оставляют $x$.

Полезная проверка на понимание: выражение $\int_a^b f(t)\,dt$ от $t$ не зависит вообще — это число. А $\int_a^x f(t)\,dt$ зависит только от $x$. Если в ответе на задачу про $\Phi(x)$ у тебя осталась буква $t$, где-то потеряна подстановка.

Что функция накопления означает содержательно

Смысл у $\Phi$ ровно один: сколько накопилось от старта до момента $x$. Расшифровка меняется вместе с тем, что означает $f$.

• $f$ — расход воды в литрах в минуту, $\Phi$ — потраченный объём с начала месяца;
• $f$ — скорость тела, $\Phi$ — пройденный путь от начального момента;
• $f$ — плотность вероятности, $\Phi$ — вероятность оказаться левее $x$ (об этом подробно в ML-разделе);
• $f$ — число запросов в секунду на сервер, $\Phi$ — суммарное число обработанных запросов;
• $f$ — мощность, $\Phi$ — израсходованная энергия.

И одно наблюдение, которое сейчас выглядит как совпадение, а через раздел станет теоремой. Возьми $f(t) = t$ и $a = 0$. Интеграл $\int_0^x t\,dt$ мы умеем считать из урока 147 геометрически: это площадь треугольника с катетами $x$ и $x$, то есть $\frac{x^2}{2}$. Значит $\Phi(x) = \frac{x^2}{2}$. А теперь продифференцируй:

Производная функции накопления совпала с подынтегральной функцией. Запомни это место — весь урок вырастет из него.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Найди $\Phi(x) = \int_0^x 2\,dt$ и проверь, чему равна $\Phi'$.

Подынтегральная функция постоянна, значит интеграл — площадь прямоугольника высоты $2$ и ширины $x$ (в уроке 147 интеграл от константы считался напрямую по определению):

Например, $\Phi(3) = 6$. Производная: $\Phi'(x) = 2 = f(x)$. Совпало.

Пример 2 (средний). Найди $\Phi(x) = \int_1^x t\,dt$ и сравни с функцией из текста выше.

Здесь левый конец сдвинут в единицу. Площадь под прямой $y=t$ от $1$ до $x$ — это трапеция, или, что то же самое, разность двух треугольников:

Проверка в конкретной точке: $\Phi(3) = \frac{9-1}{2} = 4$. Дифференцируем: $\Phi'(x) = x = f(x)$ — снова совпало.

Обрати внимание на главное: две функции накопления, $\frac{x^2}{2}$ и $\frac{x^2-1}{2}$, отличаются на константу $\frac12$. Причина прозрачна: они копят одно и то же, но стартуют из разных точек. А теорема из урока 145 говорит, что две функции с одинаковой производной на промежутке как раз и отличаются на константу. Круг начинает замыкаться.

Пример 3 (сложный). Функция задана кусочно: $f(t) = 1$ при $t \in [0;1]$ и $f(t) = 2$ при $t \in (1; 3]$. Найди $\Phi(x) = \int_0^x f(t)\,dt$ на $[0;3]$ и исследуй её на гладкость.

Пока $x \leqslant 1$, накапливаем прямоугольник высоты $1$:

При $x > 1$ к накопленной единице добавляется прямоугольник высоты $2$ и ширины $x - 1$ (аддитивность из урока 147):

Проверим стыковку: слева $\Phi(1) = 1$, справа $2\cdot 1 - 1 = 1$. Значения совпали — $\Phi$ непрерывна, несмотря на скачок $f$. А вот производные не совпали: слева $\Phi' = 1$, справа $\Phi' = 2$. В точке $x = 1$ у графика $\Phi$ излом, производной там нет.

Вывод, который стоит записать: функция накопления всегда получается более гладкой, чем подынтегральная. Разрывная $f$ дала непрерывную $\Phi$; непрерывная $f$, как мы сейчас докажем, даёт дифференцируемую $\Phi$. Интегрирование сглаживает, дифференцирование огрубляет — и это одна из причин, по которым в обработке сигналов шум давят интегрированием, а не наоборот. И заодно видно, где именно ломается гладкость: ровно в точке разрыва $f$. Для теоремы следующего раздела непрерывность $f$ понадобится не для красоты.

Пример 4 (сложный). Пусть $\Phi(x) = \int_0^x f(t)\,dt$, где $f$ непрерывна и положительна. Что можно сказать о монотонности $\Phi$, ничего не вычисляя?

Возьмём $x_1 < x_2$. По аддитивности

Интеграл от положительной функции по отрезку положительной длины положителен (свойство оценки из урока 147). Значит $\Phi(x_2) > \Phi(x_1)$ для любых $x_1 < x_2$, то есть $\Phi$ строго возрастает. Содержательно это тривиально — счётчик с положительным расходом только растёт, — но обрати внимание на технику: вывод получен из одних свойств интеграла, без первообразных и без формул.

Почему это важно

Переход от «интеграл — это число» к «интеграл — это функция правого конца» звучит как формальность, а на деле именно он открывает дверь. Пока интеграл был числом, дифференцировать в нём было нечего, и связать его с производной было невозможно в принципе. Как только правый конец отпущен, появляется функция, у которой можно спросить про производную, — и весь мост между двумя половинами анализа строится ровно на этом вопросе. Плюс сугубо практическая польза: почти вся работа с данными во времени — это функции накопления. Накопленная выручка, суммарный трафик, кумулятивная награда, функция распределения. Все они устроены как $\Phi$.

Теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом

Интуиция: с какой скоростью растёт показание счётчика

Вернёмся к счётчику воды. Расход прямо сейчас — $f(x)$ литров в минуту. Вопрос: с какой скоростью прямо сейчас растёт показание счётчика?

Ответ звучит почти оскорбительно просто: со скоростью $f(x)$ литров в минуту. Скорость роста накопленного объёма — это и есть текущий расход, по определению расхода. Никакой математики, чистое понимание слов.

Вот это бытовое рассуждение и есть содержание первой части основной теоремы анализа. Осталось перевести его на язык пределов и оценок — и заодно понять, где именно нужна непрерывность.

Теорема (о производной интеграла с переменным верхним пределом). Пусть $f$ непрерывна на отрезке $[a; b]$ и

$$\Phi(x) = \int_a^x f(t)\,dt.$$

Тогда $\Phi$ дифференцируема в каждой точке $x \in [a;b]$ и

$$\Phi'(x) = f(x).$$

(На концах отрезка речь об односторонних производных.)

Читается это так: функция накопления является первообразной для подынтегральной функции. То есть операция «проинтегрировать от $a$ до переменного $x$» и операция «продифференцировать» взаимно обратны.

Доказательство

Работаем строго по определению производной из урока 133: считаем приращение $\Phi$, делим на приращение аргумента, переходим к пределу.

Шаг 1. Приращение функции накопления — это интеграл по маленькому отрезку.

Зафиксируем точку $x$ и возьмём приращение $h \neq 0$ так, чтобы $x + h$ оставалась в $[a;b]$. По определению

Применим аддитивность из урока 147: интеграл по $[a; x+h]$ разбивается точкой $x$ на два, то есть $\int_a^{x+h} = \int_a^{x} + \int_x^{x+h}$. Подставляем и сокращаем одинаковые слагаемые:

Это ключевое равенство всего доказательства, и оно ровно про счётчик: сколько натекло за промежуток от $x$ до $x+h$. Отметим, что для $h < 0$ равенство тоже верно — благодаря соглашению об ориентации $\int_{\beta}^{\alpha} = -\int_{\alpha}^{\beta}$ из урока 147, которое было введено как раз ради таких ситуаций.

Шаг 2. Оцениваем этот интеграл теоремой о среднем.

Теорема о среднем из урока 147 утверждает: если $f$ непрерывна на отрезке с концами $x$ и $x+h$, то найдётся точка $c$ между ними, для которой

Здесь $h$ — длина отрезка со знаком, и при $h<0$ формула сохраняется вместе с ориентацией. Значит

Шаг 3. Делим на $h$ и переходим к пределу.

Разностное отношение получается неожиданно чистым:

Никакого предела считать пока не надо — отношение просто равно значению $f$ в некоторой промежуточной точке. Теперь устремим $h \to 0$. Точка $c$ зажата между $x$ и $x+h$, то есть $|c - x| \leqslant |h|$; при $h \to 0$ она вынуждена стремиться к $x$. А поскольку $f$ непрерывна в точке $x$, из $c \to x$ следует $f(c) \to f(x)$. Это и есть определение непрерывности из урока 131.

Итого:

Три шага, ни одного тяжёлого инструмента. Обрати внимание, где именно израсходована непрерывность: только в последнем переходе. Если бы $f$ имела в точке $x$ скачок, значение $f(c)$ при подходе слева стремилось бы к одному числу, справа — к другому, и предела бы не существовало. Ровно это мы и видели в примере 3 предыдущего раздела: излом $\Phi$ точно в точке скачка $f$. Доказательство не просто получено — оно объясняет, почему условие теоремы именно такое.

Следствие, которое закрывает долг из урока 145

В уроке 145 при разговоре про $e^{-x^2}$ была сказана фраза: «первообразная у неё существует — это доказывается общей теоремой». Теперь эта теорема у нас есть.

Следствие: всякая непрерывная на промежутке функция имеет первообразную, а именно $\Phi(x) = \int_a^x f(t)\,dt$.

То есть первообразная для $e^{-x^2}$ — вот она, написана явно: $\Phi(x) = \int_0^x e^{-t^2}\,dt$. Функция определена, дифференцируема, её производная равна $e^{-x^2}$, её значения можно посчитать с любой точностью. Единственное, чего у неё нет, — записи через $x$, корни, логарифмы и синусы. Разница между «функция существует» и «функция выражается формулой из школьного списка» здесь видна во всей красе, и она гораздо меньше, чем кажется. С точностью до множителя эта $\Phi$ и есть функция ошибок $\operatorname{erf}$ из урока 145.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Найди $\Phi'(x)$, если $\Phi(x) = \int_0^x \sin(t^2)\,dt$.

Первообразная для $\sin(t^2)$ через элементарные функции не выражается — это ещё один член того же клуба, что и $e^{-x^2}$. Но производную функции накопления теорема даёт напрямую, без всяких первообразных:

Формально: подставляем верхний предел вместо переменной интегрирования. Ответ: $\sin(x^2)$.

Это принципиальный момент. Чтобы продифференцировать $\Phi$, вычислять $\Phi$ не нужно вообще.

Пример 2 (средний). Пусть $\Phi(x) = \int_2^x \sqrt{1+t^4}\,dt$. Найди $\Phi'(3)$ и $\Phi(2)$.

По теореме $\Phi'(x) = \sqrt{1+x^4}$, значит

А $\Phi(2) = \int_2^2 \ldots = 0$: отрезок вырожден. Ответ: $\Phi'(3) = \sqrt{82}$, $\Phi(2) = 0$.

Нижний предел на производную не влияет никак — он влияет только на «уровень» функции $\Phi$, то есть на ту самую константу. Меняя $a$, ты двигаешь график $\Phi$ по вертикали и не меняешь его форму — снова теорема из урока 145, теперь уже в третий раз.

Пример 3 (сложный). Найди производную функции $G(x) = \int_0^{x^2} e^{-t^2}\,dt$.

Верхний предел — не $x$, а $x^2$. Это композиция: обозначим $\Phi(u) = \int_0^{u} e^{-t^2}\,dt$, тогда $G(x) = \Phi(x^2)$. Работает цепное правило из урока 137:

Ответ: $G'(x) = 2x e^{-x^4}$.

Схема общая: производная внешней функции накопления (то есть подынтегральная функция от верхнего предела) умножается на производную верхнего предела.

Пример 4 (сложный). Исследуй на монотонность и найди наименьшее значение функции $\Phi(x) = \int_0^x (t^2 - 4)\,dt$ на отрезке $[0; 3]$.

Вычислять $\Phi$ не будем — воспользуемся теоремой:

Это обычное исследование из уроков 140-141. На $(0; 2)$ производная отрицательна — $\Phi$ убывает; на $(2; 3)$ положительна — $\Phi$ возрастает. Точка $x = 2$ — точка минимума.

Теперь посчитаем само значение. Первообразная для $t^2 - 4$ — это $\frac{t^3}{3} - 4t$, и, забегая на один раздел вперёд,

Ответ: убывает на $[0;2]$, возрастает на $[2;3]$, наименьшее значение $-\frac{16}{3}$ при $x=2$.

Содержательно: подынтегральная функция отрицательна на $[0;2]$, и «счётчик» там крутится назад — накопление уходит в минус. Как только $t^2-4$ становится положительной, накопление разворачивается. Интеграл честно складывает вклады со знаками.

Почему это важно

Эта теорема — половина моста. Она говорит, что интегрирование от переменного предела производит первообразные: какую непрерывную функцию ни возьми, первообразная у неё есть, и она предъявлена конструктивно. До этого момента первообразную приходилось угадывать по таблице, и для $e^{-x^2}$ угадывание проваливалось. Теперь провал перестал быть провалом: первообразная есть всегда, просто у неё может не быть школьной записи.

Практическая сторона не менее важна: производная функции накопления считается мгновенно, даже когда сама функция не вычисляется в замкнутом виде. Именно так исследуют на экстремумы функции вида $\int_0^x(\ldots)\,dt$, именно так в статистике связывают плотность и распределение, именно так в физике переходят между потоком и накоплением.

Формула Ньютона-Лейбница

Вывод: две первообразные одной функции

Теперь всё готово. Соберём две вещи, которые у нас есть.

Первая — только что доказанная теорема: $\Phi(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ является первообразной для $f$ на $[a;b]$.

Вторая — теорема из урока 145: если $F$ и $\Phi$ — две первообразные одной и той же функции на промежутке, то они отличаются на константу.

Пусть $F$ — какая-нибудь первообразная для $f$ (та, которую ты нашёл по таблице, заменой переменной или по частям — неважно). Отрезок $[a;b]$ — это промежуток, обе теоремы применимы, значит существует число $C$ такое, что

Подставим $x = a$. Поскольку $\Phi(a) = 0$, получаем $F(a) = C$. Константа найдена, и она равна значению первообразной в левом конце.

Подставим $x = b$:

Осталось перенести:

Теорема (формула Ньютона-Лейбница). Пусть $f$ непрерывна на $[a;b]$ и $F$ — любая её первообразная на этом отрезке. Тогда

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).$$

Три строки. Вся сложность была съедена предыдущим разделом.

Почему «любая» первообразная и куда делась $C$

В формулировке стоит слово любая, и это не небрежность. Возьми вместо $F$ функцию $F + C_0$ с произвольной константой:

Константа сократилась. Вот почему в определённом интеграле не пишут «$+C$»: она уничтожается вычитанием при любом выборе первообразной. В неопределённом интеграле (урок 146) $C$ обязательна, потому что там ответ — целое семейство функций. В определённом ответ — число, и семейство схлопывается.

Практический вывод: бери самую простую первообразную. Для $\cos x$ бери $\sin x$, а не $\sin x + 17$. Для $\frac{1}{x}$ на отрезке из положительных чисел бери $\ln x$ — модуль можно опустить, если весь отрезок лежит справа от нуля.

Обозначение: двойная подстановка

Разность $F(b) - F(a)$ пишут компактно:

Читается «эф от икс, подстановка от $a$ до $b$». Иногда пишут квадратную скобку: $\big[F(x)\big]_a^b$ — это то же самое. Обозначение экономит строчку и, что важнее, разделяет два разных действия: сначала находим первообразную, потом подставляем пределы. Смешивать их — источник половины арифметических ошибок в теме.

Стандартная запись решения выглядит так:

Три отдельных этапа, каждый проверяется независимо: первообразная (проверка — дифференцированием), подстановка верхнего предела, подстановка нижнего. И скобки вокруг $F(a)$ обязательны: минус относится ко всему выражению целиком, а не к первому слагаемому.

Проверка на примере из урока 147

Вот момент, ради которого написан весь урок. В прошлом уроке мы считали $\int_0^1 x^2\,dx$ по определению. Напомню, как это выглядело.

Разбиваем $[0;1]$ на $n$ равных частей точками $x_k = \frac{k}{n}$, длина каждой $\Delta x = \frac1n$, берём правые концы. Интегральная сумма:

Подставим числа, чтобы увидеть сходимость: $S_{10} = 0{,}385$, $S_{100} = 0{,}33835$, $S_{1000} = 0{,}3338335$. Раскрываем скобки и переходим к пределу:

Полстраницы, отдельная формула для суммы квадратов, аккуратный предел. А теперь то же самое по формуле Ньютона-Лейбница. Первообразная для $x^2$ — это $\frac{x^3}{3}$ (таблица из урока 145):

Одна строка. Совпало.

И главное — теперь можно посчитать то, что раньше было безнадёжным. Интеграл $\int_0^1 x^5\,dx$ по определению потребовал бы формулу Фаульхабера для суммы пятых степеней. По формуле Ньютона-Лейбница:

Ровно столько же работы, сколько с квадратом. Сложность задачи перестала расти вместе со степенью — она вообще перестала зависеть от того, насколько тяжела была бы комбинаторика. Вместо неё появилась другая, куда более приятная сложность: найти первообразную. А это мы умеем с уроков 145-146.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Вычисли $\int_1^2 (x^3 - 2x)\,dx$.

Первообразная по таблице и правилу суммы: $F(x) = \frac{x^4}{4} - x^2$. Подставляем:

Ответ: $0{,}75$.

Обрати внимание на второй кусок: $F(1) = -\frac34$, и минус перед скобкой превратил его в плюс. Пропущенные скобки здесь дали бы $-\frac34$ вместо $\frac34$ — ошибка и по величине, и по знаку.

Пример 2 (средний). Вычисли $\int_0^{\pi} \sin x\,dx$.

Первообразная синуса — минус косинус (то самое место таблицы, где теряют знак):

Ответ: $2$.

По определению этот интеграл считался бы через сумму синусов прогрессии — упражнение на пару страниц. Здесь — две строки.

Пример 3 (средний). Вычисли $\int_1^8 \sqrt[3]{x}\,dx$.

Переводим корень в степень: $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$. Степенное правило: показатель $\frac13 + 1 = \frac43$, делим на него:

Подставляем, помня, что $8^{4/3} = (8^{1/3})^4 = 2^4 = 16$:

Ответ: $11{,}25$.

Пример 4 (сложный). Вычисли $\int_{-2}^{-1} \dfrac{dx}{x}$ и объясни, почему тут нельзя обойтись без модуля.

Первообразная — $\ln|x|$. Весь отрезок лежит левее нуля, там $|x| = -x$:

Ответ отрицательный, и это правильно: на отрезке $[-2;-1]$ функция $\frac1x$ отрицательна, интеграл от отрицательной функции отрицателен (свойство оценки из урока 147). Согласованность есть.

Без модуля запись $\ln(-1)$ не имеет смысла — формула бы просто не сработала. И отдельно: отрезок $[-2;-1]$ целиком лежит в одном промежутке $(-\infty; 0)$, ноль внутрь не попадает, поэтому формула применима. Если бы отрезок ноль накрывал, всё было бы иначе — этому посвящён отдельный раздел ниже.

Почему это важно

Формула Ньютона-Лейбница переводит вычисление интегралов из области анализа в область алгебры. Предел, разбиение, интегральная сумма — всё это остаётся в определении, где ему и место, а на рабочем столе оказывается конечная процедура: найди первообразную, подставь два числа, вычти. Именно поэтому интегралы вообще попали в школьную программу: без этой формулы каждый интеграл был бы отдельным исследованием.

И более глубоко: формула утверждает, что интеграл функции по отрезку зависит только от значений первообразной на концах. Что происходило внутри отрезка — как функция скакала, где росла, где падала — на ответ не влияет, если известны две крайние точки первообразной. Это первый в курсе пример утверждения «интеграл по области выражается через значения на её границе». В университетском анализе эта мысль вырастет в формулы Грина, Гаусса-Остроградского и Стокса, а в физике — в законы сохранения.

Замена переменной с пересчётом пределов

Интуиция: зачем возвращаться, если можно не возвращаться

В уроке 146 замена переменной работала так: подставили $u = g(x)$, взяли интеграл по $u$, вернулись к $x$, дописали $+C$. Возврат был обязателен, потому что ответом была функция от $x$.

В определённом интеграле ответ — число. Возвращаться некуда и незачем. Вместо возврата пересчитывают пределы: если $x$ пробегал от $a$ до $b$, то $u = g(x)$ пробегает от $g(a)$ до $g(b)$.

Теорема (замена переменной в определённом интеграле). Пусть $g$ непрерывно дифференцируема на $[a;b]$, а $f$ непрерывна на множестве значений $g$. Тогда

$$\int_a^b f\big(g(x)\big)\,g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du.$$

Доказательство короткое, и опирается оно ровно на то, что мы уже построили. Пусть $F$ — первообразная для $f$. По цепному правилу $\big(F(g(x))\big)' = F'(g(x))\cdot g'(x) = f(g(x))g'(x)$, то есть $F\circ g$ — первообразная для подынтегрального выражения слева. Применяем формулу Ньютона-Лейбница к обеим частям:

Одно и то же. $\blacksquare$

Практический алгоритм из четырёх шагов:

1. Выбрать замену $u = g(x)$ так, чтобы $g'(x)\,dx$ нашлось в подынтегральном выражении.
2. Записать $du = g'(x)\,dx$.
3. Пересчитать оба предела: нижний $a \to g(a)$, верхний $b \to g(b)$.
4. Взять новый интеграл и подставить новые пределы. Никакого возврата к $x$.

Третий шаг — тот самый, который забывают. Симптом ошибки: старые пределы подставляются в новую первообразную, и число получается неправильным, причём без всяких внешних признаков — оно выглядит совершенно нормально. Никакая проверка «на разумность» такую ошибку не ловит, только аккуратность.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Вычисли $\int_0^2 x e^{x^2}\,dx$.

Замена: $u = x^2$, тогда $du = 2x\,dx$, откуда $x\,dx = \frac{du}{2}$.

Пересчитываем пределы: при $x = 0$ имеем $u = 0$; при $x = 2$ имеем $u = 4$. Записываем:

Ответ: $\dfrac{e^4-1}{2}$.

Типичная ошибка выглядела бы так: $\frac12 e^u\big|_0^2 = \frac{e^2-1}{2} \approx 3{,}19$ — почти в девять раз меньше. Пределы принадлежат переменной, а не задаче.

Пример 2 (средний). Вычисли $\int_0^{\pi/2} \sin^3 x\cos x\,dx$.

Замена: $u = \sin x$, $du = \cos x\,dx$ — косинус в подынтегральном выражении как раз есть.

Пределы: $x=0 \Rightarrow u = \sin 0 = 0$; $x = \frac\pi2 \Rightarrow u = \sin\frac\pi2 = 1$. Тригонометрия исчезает полностью:

Ответ: $0{,}25$.

Обрати внимание, насколько удобнее не возвращаться: вариант $\frac{\sin^4 x}{4}\big|_0^{\pi/2}$ потребовал бы ещё раз считать синусы. Лишний шаг — лишний шанс ошибиться.

Пример 3 (средний). Вычисли $\int_1^{e} \dfrac{\ln x}{x}\,dx$.

Замена: $u = \ln x$, $du = \frac{dx}{x}$.

Пределы: $x = 1 \Rightarrow u = \ln 1 = 0$; $x = e \Rightarrow u = \ln e = 1$.

Ответ: $0{,}5$.

Пример 4 (сложный, про осторожность). Что происходит при попытке вычислить $\int_{-1}^{2} x^3\,dx$ заменой $u = x^2$?

Формально: $du = 2x\,dx$, и подынтегральное выражение переписывается как $x^3\,dx = x^2 \cdot x\,dx = u\cdot\frac{du}{2}$. Пределы: $x=-1 \Rightarrow u = 1$; $x = 2 \Rightarrow u = 4$. Получаем

А прямой счёт даёт

Оба ответа совпали — и разбирать пример стоит именно поэтому. Функция $u = x^2$ на отрезке $[-1;2]$ не монотонна: она сначала убывает до нуля, потом возрастает. Формула замены в том виде, как мы её записали, требует, чтобы подынтегральное выражение честно имело вид $f(g(x))g'(x)$ — здесь это выполнено ($f(u) = \frac u2$, $g(x)=x^2$), поэтому всё сошлось. Но стоит написать замену «в обратную сторону», $x = \sqrt u$, и на отрицательной части отрезка равенство $x=\sqrt u$ станет ложным: там $x = -\sqrt u$.

Практическое правило: безопасная замена — та, где новая переменная выражается через старую ($u = g(x)$), а множитель $g'(x)\,dx$ физически присутствует в интеграле. Замены «наоборот» ($x = \varphi(u)$) требуют дополнительной проверки монотонности, и в школьном объёме их лучше не трогать.

Почему это важно

Пересчёт пределов — не косметика, а прямое следствие того, что определённый интеграл привязан к отрезку изменения переменной. Меняешь переменную — меняется и отрезок. Забыл пересчитать — получил интеграл по чужому отрезку, то есть решил не ту задачу. При этом ответ выглядит правдоподобно, и никакая внешняя проверка ошибку не покажет. Единственная защита — привычка пересчитывать пределы сразу после того, как записал $du$, ещё до того, как начал интегрировать.

Интегрирование по частям в определённом виде

Интуиция: та же формула, только с подстановкой

Метод из урока 146 переносится на определённый интеграл почти дословно. Вывод — одна строка. Исходим из правила произведения (урок 136):

Слева стоит производная, значит $uv$ — первообразная для правой части. Применяем формулу Ньютона-Лейбница к правой части на отрезке $[a;b]$:

Переносим одно слагаемое:

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла:

$$\int_a^b u\,dv = uv\Big|_a^b - \int_a^b v\,du.$$

Отличие от неопределённого случая ровно одно: у слагаемого $uv$ появилась подстановка пределов, и его надо посчитать сразу как число. Дальше остаётся один интеграл, который тоже считается по формуле Ньютона-Лейбница.

Выбор $u$ и $dv$ подчиняется тому же принципу, что и в уроке 146: за $u$ берут то, что при дифференцировании упрощается (степень, логарифм, арктангенс), за $dv$ — то, что легко интегрируется (экспонента, синус, косинус, степень).

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Вычисли $\int_0^1 x e^x\,dx$.

Берём $u = x$ (упрощается при дифференцировании), $dv = e^x dx$. Тогда $du = dx$, $v = e^x$.

Ответ: $1$. Численное интегрирование даёт $1{,}0000000000$ — сходится.

Пример 2 (средний). Вычисли $\int_1^{e} \ln x\,dx$.

Логарифм интегрировать напрямую мы не умеем, зато умеем дифференцировать. Берём $u = \ln x$, $dv = dx$. Тогда $du = \frac{dx}{x}$, $v = x$.

Ответ: $1$.

Заметь попутно: первообразная $x\ln x - x$, которую в уроке 145 надо было угадывать, здесь получилась сама собой.

Пример 3 (средний). Вычисли $\int_0^{\pi} x\sin x\,dx$.

$u = x$, $dv = \sin x\,dx$, значит $du = dx$, $v = -\cos x$.

Считаем по кускам. Первое: $-\pi\cos\pi - (-0\cdot\cos 0) = -\pi\cdot(-1) = \pi$. Второе: $\sin x\big|_0^\pi = 0 - 0 = 0$. Итого $\pi$.

Ответ: $\pi \approx 3{,}1416$.

Два минуса в первом слагаемом — самое опасное место: минус из формулы $v = -\cos x$ и минус из $\cos\pi = -1$. Считай их отдельно и вслух.

Пример 4 (сложный). Вычисли $\int_0^1 \operatorname{arctg} x\,dx$.

Арктангенс, как и логарифм, дифференцируется легко, а интегрируется трудно. Берём $u = \operatorname{arctg} x$, $dv = dx$, тогда $du = \frac{dx}{1+x^2}$, $v = x$:

Первое слагаемое: $1\cdot\operatorname{arctg}1 - 0 = \frac\pi4$.

Оставшийся интеграл берём заменой $u = 1+x^2$, $du = 2x\,dx$; пределы $1 \to 2$:

Итого:

Ответ: $\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\ln 2}{2}$. Численная проверка: $0{,}4388245731$.

Пример показывает типичную комбинацию: по частям, потом замена, потом подстановка.

Почему это важно

Интегрирование по частям — это то самое отсутствующее «правило произведения» для первообразных, о котором шла речь в уроке 145. В определённом варианте оно приобретает дополнительную ценность: часть ответа выходит сразу числом, и дальше работать легче. Плюс именно в этой форме формула используется в теории вероятностей (связь математического ожидания с функцией распределения), в обработке сигналов (перенос производной с одной функции на другую) и в численных методах, где перекладывание производной позволяет обойти нехватку гладкости у одного из множителей.

Симметрия, периодичность и модуль: как не считать лишнего

Интуиция: половину работы можно не делать

Значительная часть интегралов, которые встречаются на практике, обладает симметрией. Если её заметить, вычисление сокращается вдвое, а иногда и до нуля.

Чётная функция ($f(-x) = f(x)$: $x^2$, $\cos x$, $|x|$, $e^{-x^2}$) на симметричном отрезке даёт удвоенный интеграл по половине:

Нечётная функция ($f(-x) = -f(x)$: $x$, $x^3$, $\sin x$, $\operatorname{tg} x$) на симметричном отрезке даёт ноль:

Докажем оба разом. По аддитивности $\int_{-a}^a = \int_{-a}^0 + \int_0^a$. В первом интеграле сделаем замену $x = -t$; тогда $dx = -dt$, пределы $x=-a \Rightarrow t=a$ и $x=0 \Rightarrow t=0$:

Для чётной $f(-t) = f(t)$, и получается $\int_0^a f(t)\,dt$ — такой же, как второй кусок; сумма удваивается. Для нечётной $f(-t) = -f(t)$, получается $-\int_0^a f(t)\,dt$ — противоположный второму куску; сумма равна нулю. $\blacksquare$

Периодичность. Если $f$ периодична с периодом $T$, то интеграл по любому отрезку длины $T$ один и тот же:

Смысл прозрачен: за полный период накапливается одно и то же, откуда бы ни начинать. А интеграл по $n$ периодам равен $n$ интегралам по одному.

Функция, меняющая знак: интеграл — это алгебраическая сумма

Возьмём $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx$. По формуле:

Ноль. При том что функция $\sin x$ на $(0;\pi)$ положительна, а на $(\pi;2\pi)$ отрицательна. Проверим по кускам, разбив аддитивностью:

Сумма даёт ноль. Определённый интеграл складывает вклады со знаками: там, где $f > 0$, вклад положительный, где $f < 0$ — отрицательный. Это не дефект и не оговорка, а прямое следствие определения через интегральные суммы: в сумме $\sum f(c_k)\Delta x_k$ отрицательные значения $f$ дают отрицательные слагаемые.

Что с этим делать, зависит от вопроса. Если нужно число — интеграл посчитан правильно, ноль и есть ответ. Если нужна геометрическая величина, для которой знак не имеет смысла, работа устроена иначе, и ею занимается следующий урок. Здесь мы держимся строго за число.

Интеграл от функции с модулем

Модуль — это склейка двух формул, и интеграл от него берётся ровно так же: разбиением отрезка по точкам смены знака плюс аддитивность из урока 147.

Алгоритм:

1. Найти точки, где подмодульное выражение обращается в ноль.
2. Те из них, что попали внутрь отрезка, разбивают его на куски.
3. На каждом куске определить знак подмодульного выражения и снять модуль с соответствующим знаком.
4. Посчитать интегралы по кускам и сложить.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Вычисли $\int_{-2}^{2} x^2\,dx$, воспользовавшись чётностью.

Функция $x^2$ чётная, отрезок симметричный:

Ответ: $\frac{16}{3}$.

Пример 2 (простой). Вычисли $\int_{-1}^{1}\big(x^5 + 3x^2 + x\big)\,dx$.

Разбираем по слагаемым. $x^5$ — нечётная, вклад $0$. $x$ — нечётная, вклад $0$. Остаётся только чётное слагаемое:

Ответ: $2$.

Без наблюдения о симметрии пришлось бы считать три первообразные и шесть подстановок. С ним — одну и две.

Пример 3 (средний). Вычисли $\int_0^{3}|x-1|\,dx$.

Подмодульное выражение обращается в ноль при $x = 1$; точка внутри отрезка. Разбиваем.

На $[0;1]$ имеем $x - 1 \leqslant 0$, значит $|x-1| = 1 - x$:

На $[1;3]$ имеем $x-1\geqslant 0$, значит $|x-1| = x-1$:

Складываем: $\frac12 + 2 = \frac52$.

Ответ: $2{,}5$. Численная проверка: $2{,}5000000000$.

Ошибка, которую здесь делают: снимают модуль одним знаком на всём отрезке. Получилось бы $\int_0^3(x-1)dx = \frac32$ — меньше правильного ответа, потому что кусок, где подмодульное выражение отрицательно, был засчитан со знаком минус вместо плюса.

Пример 4 (сложный). Вычисли $\int_0^{2\pi}|\sin x|\,dx$.

Синус меняет знак в точке $x = \pi$ (нули $0$ и $2\pi$ — концы отрезка, они разбиения не дают). На $[0;\pi]$ синус неотрицателен, на $[\pi;2\pi]$ неположителен.

Итого $4$.

Ответ: $4$. Численная проверка: $4{,}0000000000$.

Сравни с $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0$ из текста выше. Одна и та же функция, разница только в модуле — и ответы $0$ и $4$. Модуль превращает алгебраическую сумму в сумму без взаимного уничтожения.

Почему это важно

Симметрия — самый дешёвый способ сократить работу, и он же самый недооценённый. Взгляд на подынтегральную функцию перед вычислением занимает три секунды и иногда экономит весь расчёт: нечётная функция на симметричном отрезке даёт ноль без единой первообразной. В прикладных задачах это встречается постоянно — центрированные данные, симметричные ядра свёртки, чётные функции энергии. А разбиение по точкам смены знака — универсальная техника, которая дальше понадобится и в геометрических приложениях, и везде, где под интегралом стоит кусочно заданная функция.

Границы применимости: когда формула даёт неверный ответ

Контрпример, который надо один раз увидеть

Вычислим механически, не думая:

Первообразная для $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$ по таблице — это $-\frac1x$. Подставляем:

Получили $-2$. И это заведомо неверно, причём видно без всяких вычислений: подынтегральная функция $\frac{1}{x^2}$ положительна во всех точках, где она определена. По свойству оценки из урока 147 интеграл от положительной функции по отрезку положительной длины обязан быть положительным. Отрицательный ответ невозможен.

Значит, где-то мы применили инструмент вне области его действия. Разберёмся, где именно.

Где сломалось

Формула Ньютона-Лейбница требует двух вещей, и обе нарушены.

Первое: $f$ должна быть непрерывна на всём $[a;b]$. Функция $\frac{1}{x^2}$ в точке $x=0$ не определена и не ограничена — при подходе к нулю она уходит в $+\infty$. Точка $0$ лежит внутри отрезка $[-1;1]$. Условие теоремы не выполнено.

Второе, и более тонкое: $F$ должна быть первообразной на всём $[a;b]$. Функция $-\frac1x$ первообразной для $\frac1{x^2}$ на отрезке $[-1;1]$ не является: она в нуле не определена, а первообразная обязана быть дифференцируемой в каждой точке промежутка (определение из урока 145). Она годится как первообразная на $(-\infty;0)$ и отдельно на $(0;+\infty)$ — но это два разных промежутка, и, как разбиралось в уроке 145, на каждом из них живёт своя константа. Соединять их одной формулой нельзя.

Вычисление $-1 - 1 = -2$ фактически вычло значение первообразной с одной ветви из значения на другой — примерно как вычесть показания двух разных счётчиков и назвать разность расходом.

Настоящий ответ выглядит так: площадь под этой кривой на $[-1;1]$ бесконечна, интеграл в обычном смысле не существует, и корректно ставится вопрос лишь в теории несобственных интегралов — там для таких случаев определяют предел интегралов по отрезкам, не доходящим до точки разрыва, и в нашем примере этот предел равен $+\infty$. Техникой несобственных интегралов мы здесь не занимаемся; важно знать, что ответ $-2$ не «неточный», а бессмысленный.

Ещё два подобных капкана

Капкан 1. $\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x}$. Механически: $\ln|x|\big|_{-1}^{1} = \ln 1 - \ln 1 = 0$. Ответ выглядит эстетично («нечётная функция, симметричный отрезок, конечно ноль») — и всё равно неверен: в нуле разрыв, интеграла в обычном смысле нет. Правило про нечётность применимо только тогда, когда интеграл существует; здесь оно не спасает.

Капкан 2. $\displaystyle\int_{0}^{\pi}\frac{dx}{\cos^2 x}$. Механически: $\operatorname{tg} x\big|_0^\pi = 0 - 0 = 0$. Но $\frac{1}{\cos^2 x} \geqslant 1$ на всём отрезке, интеграл положительной функции нулём быть не может. Разрыв — в точке $x = \frac\pi2$, где косинус обращается в ноль, и тангенс там терпит бесконечный разрыв, хотя формально $\operatorname{tg}0 = \operatorname{tg}\pi = 0$.

Общий признак всех трёх примеров: первообразная имеет разрыв внутри отрезка интегрирования. Значения на концах при этом могут выглядеть совершенно мирно.

Чек-лист перед применением формулы

Пятнадцать секунд перед вычислением:

1. Где подынтегральная функция не определена? Найди нули знаменателей, точки, где под корнем ноль или отрицательное число, где логарифм не определён.
2. Попадает ли хоть одна такая точка внутрь $[a;b]$ или на его концы? Если да — формулу применять нельзя.
3. Непрерывна ли выбранная первообразная на всём отрезке? Для $\ln|x|$, $\operatorname{tg}x$, $\operatorname{ctg}x$, $\frac1x$ — проверять обязательно.
4. Согласуется ли знак ответа со знаком функции? Положительная функция — положительный интеграл; функция, меняющая знак, — как повезёт. Это бесплатная проверка на здравый смысл, и в примерах выше она сработала во всех трёх случаях.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Можно ли применить формулу к $\int_1^3\frac{dx}{x^2}$?

Проверяем: $\frac1{x^2}$ не определена только в нуле, а ноль в $[1;3]$ не попадает. Функция непрерывна на всём отрезке, первообразная $-\frac1x$ тоже. Формула применима:

Ответ: да, применима; интеграл равен $\frac23$. Знак положительный — согласуется с положительностью функции.

Пример 2 (средний). Вычисли или объясни невозможность: $\int_{-1}^{2}\frac{dx}{(x-1)^2}$.

Знаменатель обращается в ноль при $x = 1$, и эта точка лежит внутри $[-1;2]$. Формула неприменима.

Если применить её механически: $F(x) = -\frac{1}{x-1}$, тогда $F(2) - F(-1) = -1 - \frac12 = -\frac32$. Отрицательное число для положительной функции — сигнал ошибки.

Ответ: интеграл в обычном смысле не существует (разрыв в $x=1$); механический ответ $-\frac32$ бессмыслен.

Пример 3 (сложный). Функция $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ на отрезке $[0;4]$. Что скажешь?

Здесь тоньше. В точке $x=0$ функция не определена и не ограничена, значит формально условие непрерывности на $[0;4]$ нарушено — тот же капкан, что и раньше. Но первообразная $2\sqrt x$ в нуле непрерывна: $2\sqrt 0 = 0$, никакого разрыва. Механический счёт даёт $2\sqrt x\big|_0^4 = 4 - 0 = 4$, и это число, в отличие от предыдущих примеров, оказывается правильным ответом — но обосновывается оно уже теорией несобственных интегралов, где такой интеграл называют сходящимся.

Ответ: формулу в школьном виде применять нельзя (разрыв на конце отрезка), но интеграл существует и равен $4$; строгое обоснование — за рамками этого урока.

Мораль: не всякий разрыв убивает интеграл. Разрыв первообразной внутри отрезка — да, убивает всегда. Разрыв только подынтегральной функции при непрерывной первообразной — случай пограничный, и разбирается он отдельной теорией.

Почему это важно

Формула Ньютона-Лейбница настолько удобна, что её применяют автоматически, — и именно поэтому надо один раз пережить ответ $-2$ у положительной функции. В вычислительной практике это не абстракция: численный интегратор, которому подсунули функцию с полюсом внутри отрезка, тоже выдаст число, и это число будет мусором. В scipy.integrate.quad есть параметр points ровно для того, чтобы указать точки особенностей, а сам метод при подозрении на расходимость выдаёт предупреждение. Привычка проверять область определения перед вычислением — это ровно та же привычка, что проверять деление на ноль перед делением.

Когда формулы недостаточно: численные методы

Честный водораздел

Формула Ньютона-Лейбница работает при одном условии: первообразную надо уметь написать. Если её нет в элементарных функциях, формула не даёт ничего — не «даёт плохой ответ», а не даёт никакого.

В уроке 145 этот клуб уже представлялся:

Ни одна из них не имеет элементарной первообразной — это доказано, а не «пока не найдено». При этом все они непрерывны, а значит, по теореме этого урока, первообразная у каждой существует и записывается как $\int_a^x f(t)\,dt$. Существует, определена, дифференцируема — но не выражается через привычный набор функций.

Значит, интеграл $\int_0^1 e^{-x^2}dx$ — совершенно осмысленное число, и его надо просто вычислить. Раз формула бессильна, возвращаемся к тому, с чего начинали: к интегральным суммам из урока 147, только теперь считаем их не ради предела, а ради числа.

Как это выглядит на практике

Простейший подход — метод трапеций: разбиваем отрезок на $n$ частей и на каждой заменяем кривую отрезком прямой. Для $\int_0^1 e^{-x^2}dx$:

Видно, как точность растёт с измельчением. Более умный метод Симпсона заменяет кривую не отрезками, а параболами, и уже при $n=4$ даёт $0{,}746855$ — точнее, чем трапеции при $n=100$.

В Python это одна строка:

from scipy.integrate import quad
value, error = quad(lambda x: np.exp(-x**2), 0, 1)
# value = 0.7468241328124271, error ~ 8e-15

Функция quad возвращает не только значение, но и оценку погрешности — здесь порядка $10^{-15}$, то есть на уровне точности самих чисел с плавающей точкой.

Важно понимать разницу: численный метод даёт число, а формула даёт выражение. Из выражения $\frac{e^4-1}{2}$ видно, как ответ зависит от параметров, его можно дифференцировать по параметру, подставлять в другие формулы, оценивать асимптотику. Из числа $26{,}799$ ничего этого не видно. Поэтому аналитический ответ, когда он есть, всегда предпочтительнее — а численный метод берут тогда, когда аналитического нет или он неприлично громоздок.

И третья, промежуточная возможность: символьные системы вроде SymPy или Wolfram Mathematica сами ищут первообразную по алгоритму Риша (о нём говорилось в уроке 145) и честно сообщают, когда её нет в элементарных функциях. Вызов sympy.integrate(sympy.exp(-x**2), x) вернёт ответ через erf — то есть через систему специальных функций, которую математики завели ровно для этого случая.

Почему это важно

Разделение труда здесь предельно чёткое, и его стоит держать в голове всю дальнейшую работу с интегралами:

• есть элементарная первообразная → формула Ньютона-Лейбница, ответ точный и в виде выражения;
• первообразной нет, но функция непрерывна → численное интегрирование, ответ приближённый, но с контролируемой погрешностью;
• функция имеет разрыв внутри отрезка → ни то, ни другое без дополнительного анализа; сначала разбирайся с особенностью.

В инженерной и ML-практике второй случай встречается заметно чаще первого. Нормальное распределение, интегралы в байесовском выводе, ожидания по сложным распределениям — почти всё это считается численно. Формула Ньютона-Лейбница при этом никуда не девается: она остаётся идейной основой, потому что именно она объясняет, почему накопленная величина — это функция, чья производная равна подынтегральной.

Формула Ньютона-Лейбница в машинном обучении и статистике

Функция распределения и вероятность попадания в интервал

Это самое прямое применение формулы во всей прикладной математике, и оно буквально дословное.

В уроке 145 мы установили: функция распределения $F$ — первообразная для плотности $p$, то есть $F'(x) = p(x)$. Теперь у нас есть вторая половина картины. Функция распределения — это в точности интеграл с переменным верхним пределом:

Та самая $\Phi$ из первого раздела, только левый конец отодвинут в минус бесконечность (технически это относится к несобственным интегралам, но идея ровно та же: накопление слева направо). И тогда вероятность попадания в интервал — это формула Ньютона-Лейбница, ничего больше:

Каждый раз, когда статистический пакет выдаёт вероятность попадания в интервал, он вычитает два значения функции распределения. Каждый раз, когда ты смотришь на p-значение, за ним стоит эта разность.

Конкретный расчёт. Время между запросами к серверу распределено экспоненциально с $\lambda = 0{,}5$: плотность $p(t) = 0{,}5\,e^{-0{,}5t}$ при $t\geqslant0$. Функцию распределения мы вывели ещё в уроке 145: $F(x) = 1 - e^{-0{,}5x}$. Вероятность того, что следующий запрос придёт между первой и третьей секундой:

Численная проверка интеграла $\int_1^3 0{,}5e^{-0{,}5t}dt$ даёт $0{,}3834004996$ — совпадает до десятого знака. Обрати внимание на приятную деталь: две единицы сократились, и осталась разность двух экспонент. Такое сокращение — типичный признак того, что формула применена правильно.

np.cumsum — дискретный интеграл с переменным верхним пределом

В данных функции задаются не формулами, а массивами. Дискретный аналог функции накопления $\Phi(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ — это накопительная сумма:

import numpy as np
f = np.array([3, 1, 4, 1, 5])
Phi = np.cumsum(f)        # array([ 3,  4,  8,  9, 14])
back = np.diff(Phi)       # array([1, 4, 1, 5])  — первый элемент потерян

Соответствие один в один:

• $\Phi(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ ↔ np.cumsum(f) (в torch — torch.cumsum(t, dim=0), в pandas — .cumsum());
• $\Phi'(x) = f(x)$ ↔ np.diff(np.cumsum(f)) возвращает исходный массив без первого элемента, то есть разность обращает накопление;
• постоянная $C$ ↔ потерянный первый элемент: np.diff укорачивает массив на единицу, и восстановить исходный ряд из разностей без знания стартового значения невозможно.

Формула Ньютона-Лейбница в дискретном виде читается так: сумма элементов с индекса $a$ по индекс $b$ равна Phi[b] - Phi[a-1]. Именно на этом стоит классический приём префиксных сумм: предподсчитал cumsum один раз за $O(n)$ — и дальше отвечаешь на любой запрос «сумма на отрезке» за $O(1)$, одним вычитанием. Это буквально $F(b) - F(a)$, только для массивов. Двумерная версия того же приёма — интегральное изображение (summed-area table), на котором работают классические детекторы признаков в компьютерном зрении.

Отдельная практическая тонкость: cumsum в float32 накапливает ошибку округления, и на длинных рядах хвост уезжает. В библиотеках для этого есть компенсированное суммирование, а если массив — это отсчёты непрерывной функции, то честнее брать scipy.integrate.cumulative_trapezoid, который считает накопленный интеграл методом трапеций, а не просто складывает значения.

Накопленная метрика против мгновенной

В мониторинге любой системы одни и те же данные живут в двух видах.

Мгновенная величина (rate, throughput, loss за батч) — это $f$. Она шумная, дёргается, по ней трудно увидеть тренд, зато она немедленно реагирует на изменения.

Накопленная величина (счётчик запросов, суммарная награда, кумулятивная ошибка) — это $\Phi$. Она гладкая, монотонная, тренд виден сразу, но реакция на изменения размазана.

Переход между ними — ровно наша пара операций. Prometheus хранит счётчики (накопление) и вычисляет rate() — дискретную производную. Дашборды в Grafana показывают то одно, то другое, и переключение между «total» и «per second» — это переключение между $\Phi$ и $f$.

Почему накопленная кривая гладкая, теперь понятно из теории: в примере 3 первого раздела разрывная $f$ дала непрерывную $\Phi$. Интегрирование сглаживает — случайные отклонения разных знаков частично компенсируют друг друга в сумме. Дифференцирование, наоборот, усиливает шум; потому и rate() по умолчанию считают не по двум соседним точкам, а по окну.

Дисконтированный возврат в RL: тот же приём справа налево

В обучении с подкреплением ключевая величина — дисконтированный возврат из момента $t$:

Это накопление, но не слева направо, а справа налево: суммируются будущие награды, а не прошлые. Аналог интеграла $\int_t^{T} (\ldots)\,ds$ с переменным нижним пределом. Считают его рекуррентно, одним проходом с конца:

Конкретно: награды $r = [1,\ 0,\ 2,\ 3]$, $\gamma = 0{,}9$. Идём с конца: $G_3 = 3$; $G_2 = 2 + 0{,}9\cdot3 = 4{,}7$; $G_1 = 0 + 0{,}9\cdot4{,}7 = 4{,}23$; $G_0 = 1 + 0{,}9\cdot4{,}23 = 4{,}807$. Итого $G = [4{,}807,\ 4{,}23,\ 4{,}7,\ 3]$.

Один проход вместо квадратичного пересчёта — та же экономия, что даёт префиксная сумма и что даёт формула Ньютона-Лейбница по сравнению с интегральными суммами: вместо того чтобы каждый раз складывать заново, мы один раз строим функцию накопления и дальше только читаем её значения. В torch тот же приём делают через torch.flip вместе с torch.cumsum по обращённому массиву, если дисконт вынести за скобки.

Сэмплирование методом обратной функции распределения

Задача: есть генератор равномерных чисел на $[0;1]$, нужны числа с заданным распределением. Классический ответ — inverse CDF sampling (метод обратного преобразования):

1. Берём $U \sim \text{Uniform}(0;1)$.
2. Возвращаем $X = F^{-1}(U)$, где $F$ — функция распределения нужного закона.

Почему это работает: $P(X \leqslant x) = P(F^{-1}(U)\leqslant x) = P(U \leqslant F(x)) = F(x)$, поскольку для равномерной величины $P(U\leqslant u) = u$. Ровно то, что требовалось.

Ключевой момент для нашей темы: метод требует именно накопленный интеграл, а не плотность. Плотность сама по себе не даёт способа сэмплировать — нужна $F$, то есть $\Phi$ из первого раздела, и потом её обращение. Без функции накопления метод не существует.

Экспоненциальное распределение обращается вручную. Решаем $1 - e^{-\lambda x} = u$:

Три строки — и генератор экспоненциальных случайных чисел готов. Именно так они и делаются в стандартных библиотеках (с заменой $1-u$ на $u$: для равномерной величины это то же самое распределение).

А вот для нормального закона обратить $F$ аналитически невозможно — по причине из урока 145. Поэтому там используют либо численное обращение (scipy.stats.norm.ppf, внутри — рациональные приближения), либо принципиально другой приём: преобразование Бокса-Мюллера, которое обходит проблему, работая сразу с парой чисел.

Почему для нормального распределения зовут erf, а не формулу

Функция распределения стандартного нормального закона:

Формула Ньютона-Лейбница здесь неприменима не потому, что теорема не выполнена, а потому, что нечего подставлять: элементарной первообразной у $e^{-t^2/2}$ нет. Существует она, как мы теперь знаем, всегда — но записать её через $x$, корни и логарифмы нельзя.

Выход — специальная функция:

а сама $\operatorname{erf}$ вычисляется численно: math.erf, scipy.special.erf, scipy.stats.norm.cdf, torch.special.ndtr. Внутри — тщательно подобранные рациональные приближения, дающие точность около $10^{-16}$ за несколько арифметических операций. Это заметно быстрее и точнее, чем гонять quad на каждый вызов. Для справки: $P(-1 < Z \leqslant 1) = \Phi(1) - \Phi(-1) \approx 0{,}6827$ — то самое «правило одной сигмы», и считается оно как разность двух значений накопленного интеграла.

И последняя, чисто вычислительная тонкость, которая прямо вытекает из формулы. Вероятность попадания в интервал считается как $F(b) - F(a)$, а вычитание близких чисел в плавающей арифметике теряет значащие цифры. Для узкого интервала около $x=1{,}96$ разность $F(1{,}9600001) - F(1{,}96)$ равна примерно $5{,}8\cdot10^{-9}$ — при том, что сами значения порядка $0{,}975$: восемь значащих цифр съедено вычитанием. Ещё хуже с хвостами: 1 - norm.cdf(10) в двойной точности даёт ровно ноль, тогда как правильный ответ $7{,}6\cdot10^{-24}$ и получается вызовом norm.sf(10), считающим хвост напрямую. Отсюда практические правила: для правого хвоста звать sf, а не 1 - cdf; в логарифмическом пространстве работать через logcdf и logsf; и помнить, что математически безупречная формула $F(b)-F(a)$ в конечной арифметике имеет свои границы применимости — как и всё остальное в этом уроке.

Почему это важно

Формула Ньютона-Лейбница — это концептуальный мост между «мгновенным» и «накопленным», и в прикладной работе ты ходишь по нему ежедневно, часто не называя его по имени. Плотность и вероятность, награда и возврат, rate и counter, diff и cumsum — везде одна и та же пара операций и одно и то же правило: чтобы получить накопленное на отрезке, возьми накопленное на концах и вычти. Понимание, что это одна конструкция, а не пять разных приёмов, экономит массу сил — и, что важнее, сразу подсказывает, где искать ошибку, когда числа не сходятся.

Практика: 30 заданий

Базовые (задания 1-10)

Задание 1: Вычисли $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx$.

Задание 2: Вычисли $\displaystyle\int_0^2 x^3\,dx$.

Задание 3: Вычисли $\displaystyle\int_1^4 \frac{dx}{\sqrt{x}}$.

Задание 4: Вычисли $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx$.

Задание 5: Вычисли $\displaystyle\int_0^{\ln 2} e^x\,dx$.

Задание 6: Вычисли $\displaystyle\int_1^{e}\frac{dx}{x}$.

Задание 7: Вычисли $\displaystyle\int_{-1}^{2}(3x^2 - 2x)\,dx$.

Задание 8: Вычисли $\displaystyle\int_0^{\pi/3}\frac{dx}{\cos^2 x}$.

Задание 9: Вычисли $\displaystyle\int_{-2}^{-1}\frac{dx}{x^2}$.

Задание 10: Вычисли $\displaystyle\int_0^1\big(e^x - 2x\big)\,dx$.

Средние (задания 11-20)

Задание 11: Вычисли $\displaystyle\int_0^1(2x+1)^4\,dx$.

Задание 12: Вычисли $\displaystyle\int_0^{\pi/6}\sin 3x\,dx$.

Задание 13: Вычисли $\displaystyle\int_0^2\frac{x\,dx}{x^2+1}$.

Задание 14: Вычисли $\displaystyle\int_0^1 x\sqrt{x^2+3}\,dx$.

Задание 15: Вычисли $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^2 x\,dx$.

Задание 16: Вычисли $\displaystyle\int_0^1 x e^{2x}\,dx$.

Задание 17: Вычисли $\displaystyle\int_1^2 x\ln x\,dx$.

Задание 18: Вычисли $\displaystyle\int_{-2}^{2}\big(x^3 - 4x + 5\big)\,dx$, максимально используя симметрию.

Задание 19: Вычисли $\displaystyle\int_0^4|x-3|\,dx$.

Задание 20: Вычисли $\displaystyle\int_0^{2\pi}|\cos x|\,dx$.

Продвинутые (задания 21-30)

Задание 21: Дана функция $\Phi(x) = \displaystyle\int_0^x\frac{dt}{1+t^4}$. Найди $\Phi'(1)$, $\Phi(0)$ и докажи, что $\Phi$ возрастает на всей числовой прямой.

Задание 22: Найди производную функции $G(x) = \displaystyle\int_1^{x^2}\ln t\,dt$ и вычисли $G'(e)$.

Задание 23: Найди производную функции $H(x) = \displaystyle\int_x^{x^2}\frac{dt}{t}$ при $x > 1$ двумя способами.

Задание 24: Найди наименьшее значение функции $\Phi(x) = \displaystyle\int_0^x\big(t^2 - 3t + 2\big)\,dt$ на отрезке $[1;3]$.

Задание 25: Студент вычислил $\displaystyle\int_0^2\frac{dx}{(x-1)^2}$ так: первообразная $-\frac{1}{x-1}$, значит ответ $-\frac{1}{2-1} - \left(-\frac{1}{0-1}\right) = -1 - 1 = -2$. Найди ошибку и объясни, каков правильный ответ.

Задание 26: Вычисли $\displaystyle\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\big(x^5 + \operatorname{tg} x + \cos x\big)\,dx$.

Задание 27: Вычисли $\displaystyle\int_0^{2\pi}\sqrt{1 - \cos 2x}\,dx$.

Задание 28: Вычисли $\displaystyle\int_3^{3+2\pi}\sin^2 x\,dx$, воспользовавшись периодичностью.

Задание 29: Найди среднее значение функции $f(x) = \dfrac1x$ на отрезке $[1;e]$ и точку $c$, в которой это среднее достигается.

Задание 30: Вычисли $\displaystyle\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}$.

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: применили формулу к функции с разрывом внутри отрезка

Неправильно: $\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^2} = -\frac1x\Big|_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2$.

Правильно: формула неприменима — точка $x=0$ лежит внутри отрезка, функция там не определена, а $-\frac1x$ не является первообразной на $[-1;1]$. Интеграла в обычном смысле не существует.

💡 Почему важно: это единственная ошибка темы, которая даёт правдоподобно выглядящее число вместо явного сбоя. Механическая подстановка всегда что-нибудь выдаст, и без проверки области определения понять, что ответ мусорный, невозможно. Спасают два рефлекса: смотреть на нули знаменателей до начала счёта и сверять знак ответа со знаком функции.

❌ Ошибка 2: забыли пересчитать пределы при замене переменной

Неправильно: $\displaystyle\int_0^2 xe^{x^2}dx = \frac12\int_0^2 e^u du = \frac{e^2-1}{2}\approx 3{,}19$.

Правильно: при $u = x^2$ пределы становятся $u{:}\,0\to4$, и ответ равен $\frac{e^4-1}{2}\approx 26{,}8$.

💡 Почему важно: пределы принадлежат переменной, а не задаче. Как только переменная сменилась, старые границы описывают чужой отрезок. Ошибка коварна тем, что результат выглядит нормальным числом, и никакая внешняя проверка её не покажет. Привычка-противоядие: записывать пересчёт пределов сразу после строки с $du$, отдельной строкой, до всякого интегрирования.

❌ Ошибка 3: перепутали местами $F(b)$ и $F(a)$

Неправильно: $\displaystyle\int_2^5 f(x)\,dx = F(2) - F(5)$.

Правильно: $\displaystyle\int_2^5 f(x)\,dx = F(5) - F(2)$.

💡 Почему важно: порядок жёсткий — верхний минус нижний. Перестановка меняет знак ответа, и это ровно свойство ориентации из урока 147: $\int_b^a = -\int_a^b$. Проверка занимает секунду: если функция на отрезке положительна, а у тебя вышло отрицательное число, первым делом смотри на порядок вычитания.

❌ Ошибка 4: потеряли скобки при подстановке нижнего предела

Неправильно: $\big(x^3-x^2\big)\Big|_{-1}^{2} = 8 - 4 - 1 - 1 = 2$.

Правильно: $(8-4) - \big((-1)-1\big) = 4 - (-2) = 6$.

💡 Почему важно: минус в формуле относится ко всему значению $F(a)$, а не к его первому слагаемому. Если первообразная состоит из нескольких членов и нижний предел отрицателен, ошибка почти гарантирована. Пиши $F(a)$ в скобках всегда, даже когда там одно слагаемое, — это стоит двух символов.

❌ Ошибка 5: написали «$+C$» в определённом интеграле

Неправильно: $\displaystyle\int_0^1 x\,dx = \left(\frac{x^2}{2} + C\right)\bigg|_0^1 = \frac12 + C$.

Правильно: $\displaystyle\int_0^1 x\,dx = \frac{x^2}{2}\bigg|_0^1 = \frac12$.

💡 Почему важно: определённый интеграл — число, а не семейство функций. Константа сокращается при вычитании: $(F(b)+C) - (F(a)+C) = F(b)-F(a)$. Именно поэтому в формулировке теоремы стоит слово «любая» первообразная. Практический вывод: бери самую простую, без лишних слагаемых, и не таскай $C$ через всё решение.

❌ Ошибка 6: сняли модуль одним знаком на всём отрезке

Неправильно: $\displaystyle\int_0^3|x-1|\,dx = \int_0^3(x-1)\,dx = \frac32$.

Правильно: разбить в точке $x=1$: $\int_0^1(1-x)dx + \int_1^3(x-1)dx = \frac12 + 2 = \frac52$.

💡 Почему важно: модуль — это две разные формулы на двух разных кусках. Пока подмодульное выражение не меняет знак внутри отрезка, снять модуль одним движением можно; как только меняет — обязательна аддитивность. Тот же капкан прячется в $\sqrt{A^2}$: это $|A|$, а не $A$, и в задании 27 именно на этом теряется весь ответ — $4\sqrt2$ превращается в ноль.

❌ Ошибка 7: переменная интегрирования и верхний предел названы одной буквой

Неправильно: $\Phi(x) = \displaystyle\int_a^x f(x)\,dx$.

Правильно: $\Phi(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$.

💡 Почему важно: буква $x$ не может одновременно быть фиксированным концом отрезка и пробегать этот отрезок. Формально запись бессмысленна, а практически она немедленно приводит к путанице при дифференцировании: непонятно, по чему дифференцируем. Переменная интегрирования немая — переименовывай её в $t$ без всяких сожалений, значение интеграла от этого не меняется.

❌ Ошибка 8: в интегрировании по частям потеряли подстановку $uv\big|_a^b$

Неправильно: $\displaystyle\int_0^1 xe^x dx = uv - \int_0^1 v\,du = xe^x - e^x$ — и дальше непонятно, что делать с ответом-функцией.

Правильно: $\displaystyle\int_0^1 xe^x dx = xe^x\Big|_0^1 - \int_0^1 e^x dx = e - (e-1) = 1$.

💡 Почему важно: в определённом варианте формулы оба слагаемых — числа. Внеинтегральный член $uv$ обязан получить свою подстановку пределов, причём сразу: если оставить его функцией, в ответе окажется выражение вместо числа, а половина решающих в этот момент подставляет пределы только в оставшийся интеграл. Правило простое: посчитал $uv\big|_a^b$ — записал число, и только потом берёшься за $\int v\,du$.

❌ Ошибка 9: при дифференцировании $\int_a^{g(x)} f(t)dt$ забыли цепное правило

Неправильно: $\left(\displaystyle\int_0^{x^2}e^{-t^2}dt\right)' = e^{-x^4}$.

Правильно: $\left(\displaystyle\int_0^{x^2}e^{-t^2}dt\right)' = e^{-x^4}\cdot 2x$.

💡 Почему важно: теорема даёт $\Phi'(u) = f(u)$ по верхнему пределу. Если верхний предел сам зависит от $x$, это композиция, и производная внешней умножается на производную внутренней — ровно как в уроке 137. Пропуск множителя $2x$ — та же по природе ошибка, что и забытое деление на $k$ при линейной подстановке.

❌ Ошибка 10: считают, что интеграл от функции, меняющей знак, обязан быть положительным

Неправильно: «$\int_0^{2\pi}\sin x\,dx$ не может быть нулём, там же есть кусок кривой над осью».

Правильно: интеграл равен нулю: положительный вклад на $[0;\pi]$ равен $2$, отрицательный на $[\pi;2\pi]$ равен $-2$.

💡 Почему важно: определённый интеграл складывает вклады со знаками — это прямо следует из интегральной суммы, где отрицательные значения $f$ дают отрицательные слагаемые. Если знак не нужен, задача формулируется иначе — через модуль или разбиение, — и это уже другая задача, а не другой ответ на ту же.

❌ Ошибка 11: применили правило «нечётная функция на симметричном отрезке даёт ноль» к функции с разрывом

Неправильно: $\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x} = 0$, ведь $\frac1x$ нечётна.

Правильно: интеграла не существует: в нуле разрыв. Свойства симметрии применимы только к существующим интегралам.

💡 Почему важно: любое свойство интеграла — линейность, аддитивность, симметрия — начинается со слов «пусть интеграл существует». Сначала проверяется существование, потом применяются свойства. Эта ошибка особенно липкая, потому что ответ $0$ выглядит эстетично и «правильно по симметрии».

Главное запомнить

✅ Функция накопления: $\Phi(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ — интеграл с переменным верхним пределом. При $x=a$ она равна нулю. Переменную интегрирования обязательно называют другой буквой ($t$), потому что $x$ занят верхним пределом.

✅ Первая часть основной теоремы: если $f$ непрерывна, то $\Phi'(x) = f(x)$. Доказательство: приращение $\Phi(x+h)-\Phi(x) = \int_x^{x+h}f$, теорема о среднем даёт $f(c)\cdot h$, деление на $h$ даёт $f(c)$, а $c\to x$ при $h\to0$ и непрерывность добивают предел.

✅ Следствие: всякая непрерывная функция имеет первообразную — и она предъявляется явно как $\int_a^x f(t)\,dt$. Именно поэтому у $e^{-x^2}$ первообразная существует, хотя формулой не записывается.

✅ Формула Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$, где $F$ — любая первообразная. Вывод: $F = \Phi + C$, при $x=a$ находим $C = F(a)$, при $x=b$ получаем формулу.

✅ Константа $C$ в определённом интеграле не пишется — она сокращается при вычитании. Бери самую простую первообразную.

✅ Обозначение: $F(x)\Big|_a^b = F(b) - F(a)$, порядок жёсткий — верхний минус нижний, значение в нижнем пределе всегда в скобках.

✅ Замена переменной: $\int_a^b f(g(x))g'(x)dx = \int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du$. Пределы пересчитываются, возврат к старой переменной не нужен, потому что ответ — число.

✅ По частям: $\int_a^b u\,dv = uv\Big|_a^b - \int_a^b v\,du$. Внеинтегральное слагаемое считается сразу числом.

✅ Симметрия: на отрезке $[-a;a]$ чётная функция даёт $2\int_0^a f$, нечётная — ноль. Периодическая функция даёт один и тот же интеграл по любому отрезку длины в период.

✅ Знак: интеграл складывает вклады со знаками; функция, меняющая знак, может дать ноль. Модуль снимается разбиением отрезка по точкам смены знака.

✅ Условия применимости: $f$ непрерывна на всём $[a;b]$, $F$ — первообразная на всём $[a;b]$. Разрыв внутри отрезка ломает формулу: $\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^2}$ «даёт» $-2$ для положительной функции.

✅ Бесплатная проверка: сверь знак ответа со знаком подынтегральной функции. Положительная функция — положительный интеграл, и никак иначе.

✅ Когда первообразной нет ($e^{-x^2}$, $\frac{\sin x}{x}$, $\sqrt{1+x^4}$), формула бесполезна, и работает численное интегрирование: трапеции, Симпсон, scipy.integrate.quad.

✅ В статистике: $P(anp.cumsum, обратная к нему операция — np.diff, а «постоянная $C$» — потерянный первый элемент.

Связь с другими темами курса

Что нужно было знать до этого урока:

• Уроки 129-132, пределы и непрерывность — предел разностного отношения в доказательстве теоремы и решающий переход «$c \to x$, значит $f(c)\to f(x)$» опираются на определение непрерывности.
• Урок 133, определение производной — вся теорема о $\Phi'$ доказывается прямо по определению: приращение, деление на $h$, предел.
• Урок 136, правила дифференцирования — правило суммы работает в каждом вычислении, а правило произведения напрямую даёт формулу интегрирования по частям.
• Урок 137, цепное правило — без него не продифференцировать $\int_a^{g(x)}f(t)dt$ и не доказать теорему о замене переменной.
• Урок 138, таблица производных — вывернутая наизнанку, она стала таблицей первообразных, а третий столбец каждой строки остаётся способом проверки.
• Урок 140, монотонность — признак возрастания через знак производной работает для функций накопления и даёт задачи вроде 21 и 24.
• Урок 145, первообразная — теорема «две первообразные на промежутке отличаются на константу» является вторым из двух кирпичей, из которых сложена формула. Оттуда же вся таблица первообразных и правило линейной подстановки, а также разговор о том, почему у $e^{-x^2}$ нет элементарной первообразной.
• Урок 146, неопределённый интеграл — замена переменной и интегрирование по частям, которые здесь получили определённые версии: с пересчётом пределов и с подстановкой во внеинтегральном члене.
• Урок 147, определённый интеграл — определение через интегральные суммы, аддитивность, ориентация, свойства оценки и теорема о среднем. Теорема о среднем работает в доказательстве как основной инструмент, аддитивность — в каждой задаче с модулем.

Что изучить дальше:

• Урок 149, вычисление площадей — геометрическая интерпретация: площадь криволинейной трапеции, площадь фигуры, лежащей ниже оси, площадь между двумя кривыми, объём тела вращения. Всё это считается формулой Ньютона-Лейбница, но требует отдельного разговора о том, как перевести геометрическую задачу в интеграл.
• Урок 150, применение интегралов в физике — работа переменной силы, путь по скорости, масса стержня по плотности, центр масс. Продолжение линии урока 135, только теперь с числом на выходе.
• Университетский блок — несобственные интегралы (там честно разбирается, что делать с $\int_{-1}^1\frac{dx}{x^2}$ и с бесконечными пределами вроде $\int_{-\infty}^x p(t)dt$ из ML-раздела), интеграл Римана и его обобщения, кратные и криволинейные интегралы, формулы Грина и Стокса как многомерные родственники сегодняшней, дифференциальные уравнения, где функция накопления становится решением, и численные методы интегрирования с оценками погрешности.

Где это нужно в жизни:

💻 В программировании: префиксные суммы и запросы «сумма на отрезке» за $O(1)$, интегральные изображения (summed-area tables) в компьютерном зрении, np.cumsum и np.diff в любой обработке рядов, scipy.integrate.quad там, где формулы нет, кумулятивные счётчики в мониторинге и rate() как их дискретная производная.

🤖 В ML/AI: функция распределения как интеграл плотности и вероятность интервала как $F(b)-F(a)$, сэмплирование методом обратной функции распределения, дисконтированный возврат в обучении с подкреплением, нормировочные константы в байесовском выводе, torch.cumsum в реализациях внимания и авторегрессионных моделей, erf внутри активации GELU.

📊 В Data Science: накопительные метрики против мгновенных, кумулятивная выручка и когортные кривые, квантили через обратную функцию распределения, ROC и AUC как накопленные характеристики, восстановление ряда по разностям.

🔬 В науке и инженерии: путь по скорости и энергия по мощности, заряд по току, доза по интенсивности, действующее значение переменного тока (тот самый интеграл от $\sin^2$ из задания 28), расчёт средних по времени в любой измерительной технике.

💰 В финансах и экономике: накопленная доходность по мгновенной ставке, суммарные издержки по предельным, дисконтированные денежные потоки (прямой аналог дисконтированного возврата из RL), нарастающий итог в любой отчётности.

Интересные факты

💡 Знак интеграла с пределами придумал Фурье в 1822 году. Лейбниц ввёл значок $\int$ ещё в 1675-м, но целых полтора века пределы интегрирования писали словами или в тексте рядом. Компактную запись $\int_a^b$ — с нижним и верхним индексами прямо на знаке — впервые применил Жозеф Фурье в «Аналитической теории тепла» (1822). То есть привычная формула $\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)$ в современном виде существует меньше двухсот лет, хотя её содержание старше на полтора столетия.

💡 Теорему доказали до того, как изобрели анализ. Джеймс Грегори в 1668 году и Исаак Барроу в 1670-м опубликовали геометрические доказательства утверждения, эквивалентного основной теореме, — за год до того, как Ньютон написал «De analysi», и за семь лет до знака интеграла Лейбница. Барроу при этом был учителем Ньютона и в 1669 году сам уступил ему кембриджскую кафедру. Историки до сих пор спорят, насколько Барроу понимал, что именно нашёл: у него не было алгебраического языка, чтобы превратить теорему в метод вычислений.

💡 Полтора века формула была определением, а не теоремой. До Коши определённый интеграл попросту определяли как $F(b)-F(a)$ — и тогда доказывать было нечего. Огюстен Луи Коши в «Résumé des leçons» 1823 года разорвал круг: сначала определил интеграл как предел сумм, ни словом не упомянув первообразную, а потом доказал совпадение. Только после этого утверждение стало содержательным. Наш курс повторяет его порядок: урок 147 — определение через суммы, урок 148 — доказательство формулы.

💡 Вито Вольтерра построил функцию, на которой формула ломается. В 1881 году двадцатиоднолетний Вольтерра предъявил функцию $F$, у которой производная существует в каждой точке и ограничена, но не интегрируема по Риману. Формула Ньютона-Лейбница для неё бессмысленна — правой части просто не существует. Пример показал, что риманова теория интеграла имеет структурный пробел, и стал одним из мотивов, по которым Анри Лебег в 1902 году построил другую конструкцию интеграла, где этот пробел закрыт.

💡 Внутри scipy.integrate.quad лежит библиотека 1983 года на Фортране. Когда ты вызываешь quad, работает QUADPACK — набор процедур адаптивного интегрирования, написанный Робертом Писсенсом с соавторами и опубликованный в 1983 году. В его основе — квадратуры Гаусса-Кронрода, развитие идеи Карла Фридриха Гаусса из работы 1814 года: если правильно выбрать не только веса, но и сами точки, то $n$ точек дают точный ответ для всех многочленов степени до $2n-1$. Сорокалетний фортрановский код продолжает считать интегралы под капотом Python — редкий пример математики, которую не пришлось переписывать.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Проверяй знак ответа — это бесплатный тест

Перед тем как записать ответ, взгляни на подынтегральную функцию. Если она положительна на всём отрезке, а у тебя вышло отрицательное число — ошибка гарантирована: либо перепутан порядок пределов, либо потеряны скобки, либо внутри отрезка разрыв.

Пример: ответ $-2$ для $\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^2}$ отбраковывается за секунду, без всякого анализа: функция всюду положительна. Этот же тест ловит перепутанные местами пределы в половине случаев.

2. Сначала первообразная, потом подстановка — не смешивай два шага

Найди $F$, проверь её дифференцированием, запиши через $\big|_a^b$ и только потом подставляй числа. Смешивание шагов («сразу подставлю, чтобы не переписывать») — источник большинства арифметических потерь.

Пример: $\int_0^{\pi/6}\sin 3x\,dx$. Шаг 1: $F(x) = -\frac{\cos 3x}{3}$, проверка $F' = \sin 3x$ ✅ Шаг 2: $-\frac{\cos(\pi/2)}{3} + \frac{\cos 0}{3} = 0 + \frac13$. Каждый шаг проверяется отдельно.

3. Пиши нижний предел в скобках всегда

Форма записи $F(b) - \big(F(a)\big)$ стоит двух символов и снимает целый класс ошибок со знаком, особенно когда нижний предел отрицателен.

Пример: $\big(x^3-x^2\big)\big|_{-1}^{2} = (8-4) - \big((-1)-1\big) = 4+2 = 6$. Без скобок легко получить $4 - (-1) - 1 = 4$ — промах на двойку.

4. Пересчитывай пределы сразу под строкой с $du$

Как только записал замену и $du$, следующей строкой пиши пересчёт границ: «$x=a\Rightarrow u=\ldots$, $x=b\Rightarrow u=\ldots$». До интегрирования, не после. Тогда забыть физически негде.

Пример: $\int_0^2 xe^{x^2}dx$: $u=x^2$, $du=2x\,dx$; $x{:}\,0\to2 \Rightarrow u{:}\,0\to4$. И только теперь $\frac12\int_0^4 e^u du$.

5. Ищи симметрию до того, как начнёшь считать

Отрезок вида $[-a;a]$ — сигнал проверить чётность. Нечётные слагаемые выкидываются сразу, чётные считаются по половине отрезка и удваиваются. Три секунды на взгляд экономят половину работы.

Пример: $\int_{-2}^2(x^3-4x+5)dx$: два первых слагаемых нечётны и дают ноль, остаётся $\int_{-2}^2 5\,dx = 20$. Лобовой счёт потребовал бы трёх первообразных и шести подстановок.

6. Модуль и $\sqrt{A^2}$ — сначала точки смены знака, потом интегрирование

Увидел модуль или корень из квадрата — не берись за первообразную, пока не нашёл нули подмодульного выражения и не проверил, какие из них попали внутрь отрезка.

Пример: $\int_0^{2\pi}\sqrt{1-\cos 2x}\,dx = \sqrt2\int_0^{2\pi}|\sin x|dx$. Нуль синуса внутри отрезка один — $x=\pi$. Разбиваем, считаем два куска по $2$, ответ $4\sqrt2$. Без модуля вышел бы ноль.

7. Дифференцируй функцию накопления, не вычисляя её

Если в задаче стоит $\int_a^{x}$ или $\int_a^{g(x)}$, а спрашивают про производную, монотонность или экстремумы, — интеграл вычислять не нужно вообще. Подставь верхний предел в подынтегральную функцию и, если предел составной, домножь на его производную.

Пример: для $\Phi(x)=\int_0^x\frac{dt}{1+t^4}$ сразу $\Phi'(x)=\frac{1}{1+x^4}>0$, значит $\Phi$ возрастает на $\mathbb{R}$ — при том что сама $\Phi$ элементарной формулой записывается крайне неприятно.

8. Держи под рукой численную проверку в две строки

Сомневаешься в ответе — проверь численно. Это не «списывание», а нормальная инженерная практика: аналитический ответ и численный обязаны совпасть, иначе где-то ошибка.

from scipy.integrate import quad
print(quad(lambda x: x*(x**2+3)**0.5, 0, 1))   # (0.9346158591, ...)

Сравниваешь с $\frac{8-3\sqrt3}{3}\approx 0{,}9346$ — совпало, задача закрыта. Расхождение в разы обычно означает забытый коэффициент, расхождение в знаке — потерянные скобки или перепутанные пределы.

💡 Совет: возьми в привычку записывать решение определённого интеграла тремя строками — первообразная, подстановка, число — и после каждой делать микропроверку: продифференцировал первообразную, проверил область определения, сверил знак. Пятнадцать секунд на задачу, и почти весь список «частых ошибок» из этого урока перестаёт тебя касаться.

Сегодня закрылся сюжет, который тянулся четыре урока. В 145-м мы развернули стрелку дифференцирования и получили первообразную. В 146-м научились её находить — заменой, по частям, по таблице. В 147-м с совершенно другой стороны пришли к пределу интегральных сумм и убедились, что считать его в лоб мучительно. Сегодня оказалось, что это одна и та же математика: функция накопления $\int_a^x f(t)dt$ является первообразной для $f$, а потому интеграл по отрезку равен разности значений любой первообразной на концах. Две задачи, разделённые тысячелетиями — Архимед считал площади, Ферма искал касательные, — имеют один ответ.

А дальше — урок 149, вычисление площадей. Число, которое мы сегодня научились получать, наконец получит геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции, площадь фигуры, лежащей ниже оси, площадь между двумя кривыми, объём тела вращения. Инструмент у тебя уже есть — осталось научиться переводить на его язык геометрические задачи. Именно там формула Ньютона-Лейбница начнёт окупать вложенные в неё усилия.