Несобственные интегралы ♾️

Представь график плотности нормального распределения — тот самый знаменитый «колокол» Гаусса, который встречается буквально в каждом курсе статистики и машинного обучения. Этот график определён не на отрезке, а на всей числовой прямой: от минус бесконечности до плюс бесконечности. И одно из самых базовых требований к любой плотности вероятности звучит обманчиво просто: площадь под этой кривой, посчитанная по всей прямой, обязана в точности равняться единице. Но как вообще посчитать площадь под графиком, который простирается в бесконечность сразу в обе стороны? Провести вертикальную черту «на бесконечности» и там остановиться не получится — такой точки попросту не существует.

Именно этой проблемой мы и займёмся сегодня. До сих пор весь определённый интеграл, который ты изучал, жил в комфортных условиях: конечный отрезок $[a,b]$ и ограниченная на нём функция. Несобственный интеграл — это расширение этой конструкции на два принципиально новых случая. Первый — когда сам промежуток интегрирования становится бесконечным (интегралы первого рода). Второй — когда промежуток остаётся конечным, но функция внутри него становится неограниченной, устремляясь к бесконечности у одного из концов или где-то внутри (интегралы второго рода). В обоих случаях классическое определение через интегральные суммы Римана из позапрошлого урока просто отказывается работать: нельзя разбить бесконечный отрезок на конечное число кусков конечной длины, и нельзя построить содержательную интегральную сумму, если функция принимает сколь угодно большие значения.

Давай разберёмся, каким трюком эта проблема решается — и, забегая вперёд, скажу, что трюк на удивление естественный. Ты уже встречал его логику раньше: это тот же самый приём, которым доопределяют значение функции в точке разрыва через предел, или который лежит в основе суммы бесконечного числового ряда как предела частичных сумм. Мы не будем пытаться проинтегрировать «сразу до бесконечности» — вместо этого сначала проинтегрируем до какого-то конечного, но растущего предела $b$, получим обычный, полностью законный определённый интеграл, а затем устремим $b$ к бесконечности и посмотрим, к чему стремится результат. Если предел существует и конечен — несобственный интеграл сходится, и его значением объявляется этот самый предел. Если предела нет или он бесконечен — интеграл расходится, и «площади до бесконечности» у такой функции попросту не существует.

Именно так и решается загадка с нормальным распределением, а заодно с экспоненциальным распределением времени ожидания, с распределением Парето для доходов и размеров файлов и вообще с любой непрерывной случайной величиной, у которой область определения не ограничена. Условие нормировки $\int f(x)\,dx=1$, которое ты уже не раз использовал в предыдущих уроках как готовый факт, — это почти всегда несобственный интеграл, и до сегодняшнего дня приходилось просто верить на слово, что он сходится именно к единице. Дальше ты научишься проверять это сам — причём не только для одного конкретного распределения, а сразу для целых параметрических семейств.

История: откуда это взялось?

Вопрос о том, может ли бесконечная в одну сторону фигура иметь конечную площадь или объём, ставил математиков в тупик задолго до появления строгого анализа. Самый знаменитый ранний пример — «рог Гавриила», фигура, которую в 1641 году исследовал итальянский математик Эванджелиста Торричелли: она получается вращением графика $y=1/x$ вокруг оси абсцисс на промежутке от $x=1$ до бесконечности. Торричелли строго доказал (методами, предвосхищавшими интегральное исчисление на добрые полвека), что эта бесконечно длинная труба обладает конечным объёмом, хотя площадь её поверхности бесконечна. Современники встретили результат с настоящим недоумением — как объект, у которого нет конца, может иметь конечный объём? Некоторые философы того времени всерьёз обвиняли Торричелли в математическом фокусе, а сам результат стал одним из первых убедительных свидетельств того, что интуиция о бесконечности требует куда более аккуратного обращения, чем казалось.

Строгую теорию, которая наконец объяснила, почему в подобных парадоксах на самом деле нет никакого противоречия, подвёл Огюстен Коши в 1820-х годах, когда формализовал понятие предела и, вместе с ним, интеграла как предела сумм. С появлением точного аппарата пределов «рог Гавриила» перестал быть курьёзом и превратился в первый содержательный пример того, что сегодня называется несобственным интегралом первого рода: интеграл $\int_1^\infty \frac{dx}{x^2}$ (который отвечает как раз за площадь поперечных сечений трубы Торричелли) сходится к конечному числу, хотя промежуток интегрирования бесконечен — никакого парадокса, просто новое, более широкое определение того, что вообще значит «интеграл».

На рубеже XIX и XX веков, когда теория вероятностей начала обретать строгую математическую форму — работы Пафнутия Чебышева, Александра Ляпунова, а затем и аксиоматика Андрея Колмогорова 1933 года, — несобственные интегралы перестали быть математическим курьёзом и стали рабочим инструментом каждого дня. Нормальное распределение, которое Карл Фридрих Гаусс предложил ещё в начале XIX века для описания ошибок измерений, и экспоненциальное распределение, которое естественно возникает при описании времени жизни радиоактивных частиц или времени безотказной работы устройства, — обе эти модели требуют интегрирования по бесконечным промежуткам. Без строгого понятия сходимости несобственного интеграла вся современная статистика, а вместе с ней и добрая половина машинного обучения, просто не имела бы твёрдого математического фундамента, на который можно опереться.

Интегралы первого рода: когда предел интегрирования уходит в бесконечность

Интуиция: смотрим, куда стремится растущий отрезок

Давай разберёмся с основной идеей. Представь, что ты постепенно «отодвигаешь» правую границу интегрирования всё дальше и дальше вправо, и на каждом шаге честно считаешь обычный определённый интеграл $\int_a^b f(x)\,dx$ — это законная операция, ей ты владеешь ещё с прошлого урока. Получается последовательность чисел, зависящая от $b$. Дальше возможны ровно два сценария. Либо эти числа по мере роста $b$ приближаются к какому-то конкретному значению и там «застревают», сколько бы дальше ни увеличивать $b$, — тогда естественно назвать этот предел значением «интеграла до бесконечности». Либо числа улетают в бесконечность или мечутся без остановки, никогда не успокаиваясь, — тогда никакого разумного значения «площади до бесконечности» у нас нет, и это нужно честно зафиксировать как расходимость.

Представь банковский вклад, куда ты вносишь бесконечно много взносов, каждый следующий взнос меньше предыдущего. Существует ли предел, к которому стремится накопленная сумма при бесконечном числе таких взносов? Иногда да — если взносы убывают достаточно быстро. Иногда нет — если убывают слишком медленно, и тогда сумма растёт неограниченно, несмотря на то что каждый отдельный взнос стремится к нулю. Именно эта интуиция стоит за сходимостью несобственных интегралов первого рода: важна не просто убывание функции к нулю на бесконечности, а то, насколько быстро она убывает. Ниже ты увидишь это на конкретном и очень показательном примере.

Определение (несобственный интеграл первого рода). Пусть функция $f$ определена и интегрируема на любом отрезке $[a,b]$ при $b>a$. Несобственным интегралом первого рода называется предел

$$\int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx$$

Если этот предел существует и конечен, интеграл называется сходящимся, а его значением объявляется сам предел. Если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся. Аналогично определяется интеграл с бесконечным нижним пределом:

$$\int_{-\infty}^{b} f(x)\,dx = \lim_{a\to-\infty}\int_a^b f(x)\,dx$$

Интеграл по всей числовой прямой определяется через разбиение в произвольной точке $c$:

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx = \int_{-\infty}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{\infty}f(x)\,dx$$

причём для сходимости требуется, чтобы оба слагаемых справа сходились по отдельности, независимо друг от друга — а не только их сумма при каком-то согласованном одновременном предельном переходе.

Прежде чем переходить к конкретным примерам, разберём одно семейство интегралов, которое станет твоим главным инструментом сравнения в разделе про признаки сравнения чуть ниже — его стоит запомнить один раз и навсегда.

Эталонный интеграл первого рода. Интеграл

$$\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^p}$$

сходится при $p>1$, и его значение равно $\dfrac{1}{p-1}$, а при $p\le1$ этот интеграл расходится.

Проверим это напрямую. При $p\ne1$:

Если $p>1$, то показатель $1-p$ отрицателен, и при $b\to\infty$ слагаемое $b^{1-p}$ стремится к нулю. Предел равен $\dfrac{-1}{1-p}=\dfrac{1}{p-1}$ — конечное число, интеграл сходится. Если же $p<1$, показатель $1-p$ положителен, и $b^{1-p}\to\infty$ при $b\to\infty$ — интеграл расходится. Отдельно нужно разобрать случай $p=1$, где формула со степенью неприменима: здесь первообразная — логарифм, $\int_1^b \dfrac{dx}{x}=\ln b-\ln1=\ln b$, и при $b\to\infty$ это тоже уходит в бесконечность. Значит расходимость наступает при всех $p\le1$, включая пограничный случай $p=1$.

Это очень содержательный результат: он показывает, что убывание функции к нулю на бесконечности само по себе ничего не гарантирует — важна именно скорость убывания. Функция $1/x$ стремится к нулю, но «слишком медленно», чтобы накопленная площадь осталась конечной, а функция $1/x^2$ стремится к нулю быстрее и укладывается в конечную площадь.

Разбор примеров

Пример 1 (лёгкий). Вычислить $\int_1^\infty \dfrac{dx}{x^2}$.

Это в точности эталонный интеграл при $p=2>1$, значит он сходится, а его значение равно $\dfrac{1}{2-1}=1$. Проверим и напрямую:

Ответ: интеграл сходится, значение равно $1$.

Пример 2 (средний, нормировка плотности). Показать, что $\int_0^\infty e^{-x}\,dx=1$ — то есть что функция $f(x)=e^{-x}$ при $x\ge0$ является корректной плотностью вероятности (это стандартное экспоненциальное распределение с параметром $\lambda=1$).

При $b\to\infty$ слагаемое $e^{-b}$ стремится к нулю (экспонента с отрицательным показателем убывает к нулю), значит весь предел равен $1$.

Ответ: интеграл сходится и равен $1$ — условие нормировки для стандартного экспоненциального распределения действительно выполнено.

Пример 3 (сложный, машинное обучение). Найти математическое ожидание экспоненциального распределения с параметром $\lambda>0$, то есть вычислить $\int_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x}\,dx$.

Здесь придётся объединить несобственный интеграл с интегрированием по частям — приём, который ты уже освоил раньше в курсе. Сначала разберёмся с интегралом $\int_0^b xe^{-\lambda x}\,dx$: пусть $u=x$, $dv=e^{-\lambda x}\,dx$, тогда $du=dx$, $v=-\dfrac1\lambda e^{-\lambda x}$.

При $b\to\infty$ оба слагаемых с $e^{-\lambda b}$ стремятся к нулю: экспонента убывает быстрее, чем растёт любой полином (в том числе линейная функция $b$), поэтому произведение $be^{-\lambda b}\to0$. Остаётся предел $\dfrac{1}{\lambda^2}$. Домножая на $\lambda$ из исходного выражения плотности:

Ответ: $E[X]=\dfrac1\lambda$. Это один из самых известных результатов теории вероятностей: среднее время ожидания события, описываемого экспоненциальным распределением с интенсивностью $\lambda$, обратно пропорционально этой интенсивности. Если события происходят в среднем $\lambda=3$ раза в час, то среднее время ожидания следующего события — $\dfrac13$ часа, то есть двадцать минут.

Почему это важно

Интегралы первого рода — это не абстрактная гимнастика с пределами, а буквально единственный способ придать строгий смысл словам «плотность вероятности нормирована», если область определения случайной величины не ограничена. Нормальное распределение, экспоненциальное распределение, распределение Пуассона в непрерывном пределе, распределение Стьюдента, используемое в статистических тестах, — у всех у них носитель либо полубесконечен, либо бесконечен в обе стороны, и условие $\int f(x)\,dx=1$ для каждого из них — это конкретный несобственный интеграл первого рода, который нужно уметь проверять и вычислять. Более того, само математическое ожидание $E[X]=\int xf(x)\,dx$ для таких распределений — тоже несобственный интеграл, и, как ты увидишь в разделе про абсолютную и условную сходимость, он не всегда вообще существует: у некоторых распределений с «тяжёлыми хвостами» (например, у распределения Коши) среднее значение попросту не определено, хотя сама плотность прекрасно нормирована.

Интегралы второго рода: когда сама функция уходит в бесконечность

Интуиция: отрезок конечен, но функция «прижимается» к вертикальной асимптоте

Теперь разберём зеркальную ситуацию. Промежуток интегрирования остаётся конечным, скажем $[a,b]$, но сама функция $f$ становится неограниченной где-то на этом промежутке — как правило, у одного из концов, где у неё вертикальная асимптота. Представь себе узкую, но бесконечно высокую щель в графике: у самого края отрезка функция взлетает к бесконечности. Можно ли осмысленно посчитать площадь под таким графиком?

Идея решения буквально зеркальна идее для интегралов первого рода. Вместо того чтобы интегрировать вплотную до опасной точки, где функция не определена или обращается в бесконечность, мы отступаем от неё на маленькое расстояние $\varepsilon$, честно считаем обычный определённый интеграл по «урезанному» отрезку, а затем устремляем $\varepsilon$ к нулю и смотрим, к чему стремится результат. Представь себе, что ты пытаешься измерить площадь под очень узким, но высоким пиком — например, площадь под графиком $1/\sqrt x$ вблизи нуля. Даже если сама функция стремится к бесконечности, «узость» этого пика может оказаться достаточной, чтобы накопленная площадь осталась конечной — это тот же самый компромисс между «высотой» и «шириной», который мы уже видели для интегралов первого рода, только на этот раз координаты поменялись местами.

Определение (несобственный интеграл второго рода). Пусть функция $f$ определена и интегрируема на любом отрезке $[a,b-\varepsilon]$ при малом $\varepsilon>0$, но неограничена в окрестности точки $b$ (особая точка на правом конце). Несобственным интегралом второго рода называется предел

$$\int_a^{b} f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon\to0^+}\int_a^{b-\varepsilon} f(x)\,dx$$

Если предел существует и конечен, интеграл сходится к этому пределу, иначе — расходится. Аналогично определяется интеграл с особенностью на левом конце: $\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx$. Если особенность находится в некоторой внутренней точке $c\in(a,b)$, интеграл разбивают в этой точке на два:

$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$$

и требуют сходимости обоих слагаемых по отдельности.

Как и в прошлый раз, разберём эталонное семейство — оно понадобится в разделе про признаки сравнения.

Эталонный интеграл второго рода. Интеграл

$$\int_0^{1} \frac{dx}{x^p}$$

(особенность у функции в точке $x=0$) сходится при $p<1$, и его значение равно $\dfrac{1}{1-p}$, а при $p\ge1$ этот интеграл расходится.

Обрати особое внимание: направление неравенства здесь противоположно эталону первого рода — там сходимость была при $p>1$, здесь при $p<1$. Проверим это напрямую. При $p\ne1$:

Если $p<1$, показатель $1-p$ положителен, и при $\varepsilon\to0^+$ слагаемое $\varepsilon^{1-p}$ стремится к нулю (положительная степень малого числа мала). Предел равен $\dfrac{1}{1-p}$ — интеграл сходится. Если $p>1$, показатель $1-p$ отрицателен, и $\varepsilon^{1-p}=\varepsilon^{-(p-1)}\to\infty$ при $\varepsilon\to0^+$ — интеграл расходится. При $p=1$ снова логарифм: $\int_\varepsilon^1 \dfrac{dx}{x}=-\ln\varepsilon$, и при $\varepsilon\to0^+$ это тоже уходит в бесконечность.

Разбор примеров

Пример 1 (лёгкий). Вычислить $\int_0^1 \dfrac{dx}{\sqrt x}$.

Это эталонный интеграл второго рода при $p=\dfrac12<1$, значит он сходится, а его значение равно $\dfrac{1}{1-1/2}=2$. Проверим напрямую:

Ответ: интеграл сходится, значение равно $2$.

Пример 2 (средний, особенность внутри отрезка). Вычислить $\int_{-1}^{1} \dfrac{dx}{x^{2/3}}$ (особенность в точке $x=0$, лежащей строго внутри отрезка).

Разбиваем в точке $x=0$ и требуем сходимости обеих частей по отдельности:

Правая часть — эталонный интеграл с $p=\dfrac23<1$, сходится и равен $\dfrac{1}{1-2/3}=3$. Функция $x^{-2/3}$ чётная (поскольку возведение в квадрат под корнем убирает знак), поэтому левая часть по симметрии тоже равна $3$. Проверим это и напрямую: первообразная $3x^{1/3}$, и

Итоговая сумма: $3+3=6$.

Ответ: интеграл сходится, значение равно $6$. Обрати внимание: для сходимости здесь было принципиально важно, что каждый из двух кусков сходится сам по себе — если бы, скажем, левая часть расходилась, весь интеграл считался бы расходящимся, даже если бы «в сумме» что-то компенсировалось.

Пример 3 (сложный, машинное обучение). Пусть случайная величина $U$ распределена равномерно на отрезке $[0,1]$, и рассмотрим новую случайную величину $X=U^2$. Можно показать, что плотность $X$ равна $f(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}$ на промежутке $(0,1]$ — с особенностью в точке $x=0$. Проверить, что это корректная плотность (интеграл равен единице), и найти $E[X]$.

Нормировка:

(мы напрямую использовали результат примера 1). Значит плотность действительно нормирована. Теперь найдём математическое ожидание — этот интеграл уже не является несобственным, потому что $x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt x}=\dfrac{\sqrt x}2$ остаётся ограниченной функцией при $x\to0$:

Ответ: плотность корректна, $E[X]=\dfrac13$. Это красиво согласуется с прямым расчётом через саму $U$: $E[U^2]=\int_0^1 u^2\,du=\dfrac13$ — два совершенно разных способа посчитать одно и то же число дают одинаковый ответ, что служит неплохой проверкой.

Почему это важно

Интегралы второго рода регулярно всплывают там, где плотность распределения обращается в бесконечность у границы своего носителя — это далеко не редкий патологический случай, а вполне типичное поведение: бета-распределение с параметрами меньше единицы, распределение хи-квадрат с одной степенью свободы, распределение любой степенной трансформации ограниченной случайной величины (как в примере выше) — все они дают плотности с вертикальной асимптотой на конце отрезка. Умение проверять, что несмотря на такую особенность интеграл всё равно сходится к конечному, разумному значению, — это ровно тот навык, который отделяет корректно определённую вероятностную модель от формулы, которая выглядит правдоподобно, но математически не имеет смысла.

Признаки сравнения: как узнать сходимость, не вычисляя первообразную

Интуиция: сравниваем с уже известным эталоном

На практике подавляющее большинство несобственных интегралов, которые встречаются в реальных задачах, вообще не берутся в элементарных функциях — вспомни хотя бы интеграл Гаусса $\int e^{-x^2/2}\,dx$, у которого нет элементарной первообразной, но который при этом обязан сходиться, иначе вся теория нормального распределения не имела бы смысла. Как быть, если явную первообразную найти невозможно, а установить сходимость всё равно нужно?

Давай разберёмся: идея точно такая же, как при оценке обычного определённого интеграла через границы функции, которую ты изучал в прошлом уроке, только применённая к бесконечному пределу. Если наша сложная функция $f(x)$ на всём промежутке не превосходит некоторой заведомо «хорошей» функции $g(x)$, чей несобственный интеграл, как мы знаем из эталонного семейства $1/x^p$, сходится, — то и площадь под $f$ не может оказаться больше площади под $g$, а значит тоже конечна. Представь два бегуна на бесконечной дистанции: если скорость одного всегда не превышает скорости другого, а суммарный пройденный путь второго конечен, то и путь первого не может оказаться бесконечным — он просто физически не может «обогнать» второго бегуна.

Признак сравнения. Пусть $0\le f(x)\le g(x)$ для всех $x\ge a$. Тогда: если $\int_a^\infty g(x)\,dx$ сходится, то и $\int_a^\infty f(x)\,dx$ сходится; если $\int_a^\infty f(x)\,dx$ расходится, то и $\int_a^\infty g(x)\,dx$ расходится.

Предельный признак сравнения. Пусть $f(x)>0$ и $g(x)>0$ на некотором промежутке, и существует конечный положительный предел

$$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L, \qquad 0 Тогда интегралы $\int_a^\infty f(x)\,dx$ и $\int_a^\infty g(x)\,dx$ сходятся или расходятся одновременно.

Оба признака дословно переносятся на интегралы второго рода — с той лишь разницей, что предельный переход в предельном признаке берётся не при $x\to\infty$, а при $x$, стремящемся к особой точке.

Предельный признак сравнения на практике удобнее прямого: не нужно доказывать неравенство $f(x)\le g(x)$ на всём промежутке (что иногда громоздко), достаточно посмотреть, как ведёт себя отношение функций «в пределе», где и решается судьба сходимости.

Разбор примеров

Пример 1 (лёгкий). Исследовать на сходимость $\int_1^\infty \dfrac{dx}{x^2+1}$.

Для всех $x\ge1$ выполняется $x^2+1\ge x^2$, а значит $\dfrac{1}{x^2+1}\le\dfrac1{x^2}$. Эталонный интеграл $\int_1^\infty \dfrac{dx}{x^2}$ сходится ($p=2>1$), значит по признаку сравнения сходится и исходный интеграл. Для проверки посчитаем точное значение: первообразная арктангенса,

Ответ: интеграл сходится (по признаку сравнения), и точное значение подтверждает это: $\dfrac\pi4$.

Пример 2 (средний, предельный признак). Исследовать на сходимость $\int_1^\infty \dfrac{x}{x^3+1}\,dx$.

Здесь прямое неравенство подбирать неудобно, применим предельный признак, сравнивая с эталоном $g(x)=1/x^2$:

Предел конечный и строго положительный, значит поведение исходной функции при $x\to\infty$ полностью аналогично поведению $1/x^2$. Интеграл $\int_1^\infty dx/x^2$ сходится ($p=2>1$), значит и исходный интеграл сходится.

Ответ: интеграл сходится.

Пример 3 (сложный, машинное обучение — существование моментов распределений). Доказать, что $\int_1^\infty x^2 e^{-x}\,dx$ сходится (это фактически «хвостовая часть» второго момента экспоненциальной по темпу убывающей плотности, важная для проверки существования дисперсии таких распределений).

Сравним подынтегральную функцию с эталоном $1/x^2$, вычислив предел их произведения (что эквивалентно предельному признаку с обратной функцией сравнения):

Этот предел равен нулю, потому что экспонента растёт быстрее любой степени $x$ — стандартный факт, который ты видел ещё в разделе про пределы. Раз предел равен нулю, начиная с некоторого $x_0$ выполняется неравенство $x^2e^{-x}\cdot x^2<1$, то есть $x^2e^{-x}<1/x^2$ для всех достаточно больших $x$. Интеграл $\int_{x_0}^\infty dx/x^2$ сходится, значит по признаку сравнения сходится и $\int_{x_0}^\infty x^2e^{-x}\,dx$, а вместе с ним (поскольку добавление конечного куска $[1,x_0]$ не меняет сходимости) сходится и весь интеграл $\int_1^\infty x^2e^{-x}\,dx$.

Ответ: интеграл сходится. Этот пример демонстрирует общий и очень важный факт: экспоненциальное убывание побеждает полиномиальный рост любой степени — именно поэтому у экспоненциального, нормального, гамма- и большинства других «лёгкохвостых» распределений существуют все моменты (среднее, дисперсия, эксцесс и так далее), тогда как у распределений с полиномиально убывающими («тяжёлыми») хвостами, вроде распределения Парето или Коши, моменты высоких порядков (а иногда и среднее) могут расходиться.

Почему это важно

Признаки сравнения — это твой основной рабочий инструмент, когда явная первообразная недоступна, а таких ситуаций в реальных задачах статистики и машинного обучения подавляющее большинство: интеграл Гаусса, характеристические функции распределений, интегралы правдоподобия в байесовской статистике — почти нигде первообразная не выражается в элементарных функциях. Вместо того чтобы пытаться вычислить точное значение, признаки сравнения позволяют быстро и надёжно ответить на вопрос «а вообще существует ли это число конечным» — а часто именно этот вопрос и является содержательным (существует ли дисперсия у модели ошибок, конечно ли ожидаемое значение функции потерь, сходится ли нормировочная константа в статистической модели).

Абсолютная и условная сходимость

Интуиция: компенсация знаков может «спасти» интеграл, который сам по себе не сходится

До сих пор все наши примеры имели дело с неотрицательными функциями — там признаки сравнения работают без всяких оговорок. Но что, если функция меняет знак бесконечно много раз, как, например, $\sin x$ или $\cos x$? Здесь возникает новый, довольно тонкий эффект: положительные и отрицательные «куски» площади могут частично гасить друг друга, и в результате исходный интеграл сходится — а вот интеграл от модуля функции (где все куски площади уже положительны и никакой компенсации быть не может) расходится.

Представь себе бесконечный ряд колебаний маятника, амплитуда которых медленно затухает: если считать «чистое смещение», положительные и отрицательные отклонения от центра частично взаимно уничтожаются, и суммарное смещение может оказаться конечным даже при очень медленном затухании амплитуды. Но если бы ты вместо этого сложил модули всех отклонений (то есть суммарный пройденный маятником путь, а не итоговое смещение), результат мог бы оказаться бесконечным. Именно эту разницу — между «чистой площадью со знаком» и «суммарной площадью без учёта знака» — и формализует понятие абсолютной и условной сходимости.

Определение. Несобственный интеграл $\int_a^\infty f(x)\,dx$ называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл от модуля функции $\int_a^\infty |f(x)|\,dx$. Если сам интеграл $\int_a^\infty f(x)\,dx$ сходится, а интеграл от модуля расходится, говорят, что исходный интеграл сходится условно.

Теорема. Если интеграл абсолютно сходится, то он сходится (в обычном смысле). Обратное неверно: из сходимости интеграла не следует его абсолютная сходимость.

Доказательство теоремы опирается на то же самое модульное неравенство, которое ты изучал в прошлом уроке: из $-|f(x)|\le f(x)\le|f(x)|$ следует $0\le f(x)+|f(x)|\le 2|f(x)|$, а раз интеграл от правой части сходится (по условию абсолютной сходимости), то по признаку сравнения сходится и интеграл от $f(x)+|f(x)|$; вычитая из него сходящийся интеграл от $|f(x)|$, получаем сходимость интеграла от самой функции $f(x)$.

Разбор примеров

Пример 1 (лёгкий). Исследовать $\int_1^\infty \dfrac{\cos x}{x^2}\,dx$ на абсолютную сходимость.

Для всех $x\ge1$ выполняется $\left|\dfrac{\cos x}{x^2}\right|=\dfrac{|\cos x|}{x^2}\le\dfrac{1}{x^2}$, а интеграл $\int_1^\infty dx/x^2$ сходится ($p=2>1$). По признаку сравнения интеграл от модуля сходится.

Ответ: интеграл сходится абсолютно.

Пример 2 (средний, доказательство теоремы на конкретном случае). Используя признак сравнения и модульное неравенство, показать, что из абсолютной сходимости $\int_1^\infty f(x)\,dx$ действительно следует его обычная сходимость, на примере $f(x)=\dfrac{\sin x}{x^3}$.

Сначала устанавливаем абсолютную сходимость: $\left|\dfrac{\sin x}{x^3}\right|\le\dfrac1{x^3}$, и $\int_1^\infty dx/x^3$ сходится ($p=3>1$), значит $\int_1^\infty|f(x)|\,dx$ сходится. Теперь применяем идею из доказательства теоремы: функция $f(x)+|f(x)|$ неотрицательна и не превосходит $2|f(x)|$, интеграл от которой сходится по только что установленному факту (домноженному на константу). По признаку сравнения $\int_1^\infty[f(x)+|f(x)|]\,dx$ сходится. Тогда

— разность двух сходящихся интегралов, а значит тоже сходится.

Ответ: интеграл $\int_1^\infty \dfrac{\sin x}{x^3}\,dx$ сходится абсолютно, и попутно проверена сама схема доказательства общей теоремы.

Пример 3 (сложный, классика анализа). Исследовать $\int_1^\infty \dfrac{\sin x}{x}\,dx$ на абсолютную и условную сходимость.

Сначала докажем обычную сходимость через интегрирование по частям: пусть $u=1/x$, $dv=\sin x\,dx$, тогда $du=-dx/x^2$, $v=-\cos x$.

При $b\to\infty$ первое слагаемое $\cos b/b\to0$ (числитель ограничен, знаменатель растёт), а интеграл $\int_1^\infty \dfrac{\cos x}{x^2}\,dx$ сходится абсолютно — это в точности пример 1 выше. Значит весь предел существует и конечен: интеграл сходится.

Теперь проверим сходимость модуля. Используем неравенство $|\sin x|\ge\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}$:

Первое слагаемое справа — эталонный расходящийся интеграл ($p=1$). Второе слагаемое сходится по той же логике интегрирования по частям, что и в начале решения (только с $\cos2x$ вместо $\sin x$). Расходящийся интеграл минус сходящийся даёт расходящийся результат, значит правая часть неравенства расходится, а вместе с ней (по признаку сравнения, поскольку $|\sin x|/x$ не меньше расходящегося выражения) расходится и $\int_1^\infty \dfrac{|\sin x|}{x}\,dx$.

Ответ: интеграл $\int_1^\infty \dfrac{\sin x}{x}\,dx$ сходится, но не абсолютно — он сходится условно. Это классический пример из анализа, который отлично показывает: сходимость несобственного интеграла для знакопеременной функции может держаться исключительно на взаимной компенсации положительных и отрицательных участков, и стоит эту компенсацию «выключить» (взяв модуль), как сходимость немедленно пропадает.

Почему это важно

Различие между абсолютной и условной сходимостью — это не тонкость ради тонкости: оно напрямую определяет, какие операции с интегралом законны, а какие нет. Абсолютно сходящиеся интегралы можно переставлять местами со слагаемыми, менять порядок интегрирования в кратных интегралах, почленно интегрировать бесконечные суммы — всё это без риска изменить результат. Для условно сходящихся интегралов подобные перестановки, вообще говоря, могут изменить значение или вовсе разрушить сходимость — ровно та же история, что и с условно сходящимися числовыми рядами, к которым курс перейдёт в следующем уроке. А вопрос о существовании математического ожидания случайной величины — это в чистом виде вопрос об абсолютной сходимости: по определению $E[X]$ считается существующим только тогда, когда $\int|x|f(x)\,dx$ сходится, а не просто $\int xf(x)\,dx$ — именно поэтому у распределения Коши, при всей его формальной похожести на нормальное, среднего значения не существует вовсе.

Практика: 30 заданий

Базовые задания (1–10)

Задание 1: Исследовать на сходимость $\int_1^\infty \dfrac{dx}{x^3}$ и найти значение, если он сходится.

Задание 2: Исследовать на сходимость $\int_1^\infty \dfrac{dx}{\sqrt x}$.

Задание 3: Исследовать на сходимость $\int_0^1 \dfrac{dx}{x^{1/3}}$ и найти значение, если он сходится.

Задание 4: Исследовать на сходимость $\int_0^1 \dfrac{dx}{x^3}$.

Задание 5: Вычислить $\int_0^\infty e^{-2x}\,dx$.

Задание 6: Вычислить $\int_2^\infty \dfrac{dx}{(x-1)^2}$.

Задание 7: Вычислить $\int_0^2 \dfrac{dx}{\sqrt{2-x}}$ (особенность на правом конце отрезка).

Задание 8: Вычислить $\int_{-\infty}^0 e^{x}\,dx$.

Задание 9: Исследовать на сходимость $\int_1^\infty \dfrac{dx}{x^{1{,}5}}$ и найти значение.

Задание 10: Исследовать на сходимость $\int_0^1 \dfrac{dx}{x^{0{,}9}}$ и найти значение.

Средние задания (11–20)

Задание 11: Исследовать на сходимость $\int_1^\infty \dfrac{dx}{x^2+x+1}$.

Задание 12: Исследовать на сходимость $\int_2^\infty \dfrac{dx}{x^3-x}$.

Задание 13: Вычислить $\int_0^1 \dfrac{\ln x}{\sqrt x}\,dx$ (особенность и от $1/\sqrt x$, и от $\ln x$ в точке $x=0$).

Задание 14 (машинное обучение): Плотность экспоненциального распределения с параметром $\lambda=3$ задана как $f(x)=3e^{-3x}$ при $x\ge0$. Проверить, что это корректная плотность, и найти вероятность $P(X>1)$.

Задание 15: Исследовать на сходимость $\int_1^\infty \dfrac{x+1}{x^3+2}\,dx$ предельным признаком сравнения.

Задание 16: Вычислить $\int_0^1 \dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ (особенность в $x=1$).

Задание 17: Доказать: если $0\le f(x)\le g(x)$ на $[a,\infty)$ и $\int_a^\infty f(x)\,dx$ расходится, то и $\int_a^\infty g(x)\,dx$ расходится.

Задание 18: Исследовать $\int_1^\infty \dfrac{\cos x}{x^3}\,dx$ на абсолютную сходимость.

Задание 19: Исследовать на сходимость $\int_2^\infty \dfrac{dx}{x\ln x}$.

Задание 20 (машинное обучение): Плотность распределения Коши имеет вид $f(x)=\dfrac{c}{1+x^2}$ на всей числовой прямой. Найти нормировочную константу $c$.

Продвинутые задания (21–30)

Задание 21 (машинное обучение): Вычислить $\int_0^\infty x^3 e^{-x}\,dx$, используя рекуррентную формулу интегрирования по частям.

Задание 22: Исследовать на сходимость $\int_1^\infty \sin\dfrac1x\,dx$.

Задание 23: Исследовать на сходимость $\int_0^1 \dfrac{dx}{x(1-x)}$ (особенности сразу в обеих концевых точках).

Задание 24: Исследовать $\int_1^\infty \dfrac{\sin x}{\sqrt x}\,dx$ на абсолютную и условную сходимость.

Задание 25 (машинное обучение): Доказать, что дисперсия стандартного нормального распределения конечна, то есть что $\int_{-\infty}^{\infty} x^2e^{-x^2/2}\,dx$ сходится, не вычисляя интеграл точно.

Задание 26: При каких значениях параметра $\alpha$ сходится $\int_2^\infty \dfrac{dx}{x(\ln x)^\alpha}$?

Задание 27: Исследовать на сходимость и вычислить $\int_0^\infty \dfrac{dx}{\sqrt x(1+x)}$ (особенность одновременно и в нуле, и на бесконечности).

Задание 28 (машинное обучение): Плотность распределения Парето задаётся формулой $f(x)=\dfrac{\alpha}{x^{\alpha+1}}$ при $x\ge1$, где $\alpha>0$ — параметр формы. Проверить нормировку и определить, при каких $\alpha$ существует конечное математическое ожидание.

Задание 29: Исследовать на сходимость $\int_0^{\pi/2} \tan x\,dx$ (особенность на правом конце, где $\tan x\to\infty$).

Задание 30 (машинное обучение): Обосновать, что момент-генерирующая функция стандартного нормального распределения $\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx$ сходится при любом фиксированном значении параметра $t$.

Частые ошибки

Разберём типичные ошибки, которые встречаются почти у каждого, кто только начинает работать с несобственными интегралами.

• Путать направление неравенства в эталонах первого и второго рода. Для интеграла $\int_1^\infty dx/x^p$ сходимость наступает при $p>1$, а для интеграла $\int_0^1 dx/x^p$ — наоборот, при $p<1$. Смешение этих двух правил — самая частая техническая ошибка на эту тему.

• Забывать, что при внутренней особой точке нужно проверять сходимость обоих кусков по отдельности. Если интеграл разбит в точке разрыва $c$ на два слагаемых, и одно из них расходится, весь интеграл расходится — даже если «интуитивно» кажется, что бесконечности должны как-то компенсироваться. Никакой компенсации между двумя отдельными пределами $\varepsilon_1\to0$ и $\varepsilon_2\to0$ не допускается, если только они не берутся строго независимо и каждый предел сам по себе не существует конечным.

• Подменять два независимых предела одним симметричным. Для интеграла $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx$ строгое определение требует независимой сходимости $\int_{-\infty}^c f$ и $\int_c^\infty f$, а не существования единственного «симметричного» предела $\lim_{b\to\infty}\int_{-b}^{b}f(x)\,dx$ (это называется главным значением по Коши и в общем случае — другая, более слабая конструкция). Например, для нечётной функции вроде $f(x)=x$ симметричный предел всегда равен нулю, хотя сам интеграл $\int_{-\infty}^\infty x\,dx$ расходится в строгом смысле, потому что каждая из двух половин по отдельности расходится.

• Считать убывание функции к нулю достаточным условием сходимости. Функция $1/x$ стремится к нулю на бесконечности, но $\int_1^\infty dx/x$ всё равно расходится — важна не сама тенденция к нулю, а скорость этой тенденции, что и показывает эталонное семейство $1/x^p$.

• Применять признак сравнения к знакопеременным функциям напрямую. Классический признак сравнения (в простой, немодульной форме) работает только для неотрицательных функций. Для знакопеременных функций его можно применять лишь к модулю $|f(x)|$, чтобы установить абсолютную сходимость, — сам же признак ничего не говорит про обычную (не абсолютную) сходимость знакопеременного интеграла.

• Путать сходимость интеграла с существованием предела подынтегральной функции на бесконечности. Сходимость $\int_a^\infty f(x)\,dx$ не требует, чтобы $f(x)\to0$ при $x\to\infty$ — хотя для убывающих неотрицательных функций это, как правило, верно, существуют и более экзотические (немонотонные) функции, для которых интеграл сходится, а сама функция не стремится ни к какому пределу вовсе.

Главное запомнить

• Несобственный интеграл первого рода $\int_a^\infty f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^bf(x)\,dx$ определяется через предел по растущему конечному пределу интегрирования — и сходится, только если этот предел существует и конечен.

• Несобственный интеграл второго рода $\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_a^{b-\varepsilon}f(x)\,dx$ определяется через предел по отрезку, приближающемуся вплотную к точке, где функция неограничена.

• Эталонный интеграл первого рода $\int_1^\infty dx/x^p$ сходится при $p>1$ и расходится при $p\le1$.

• Эталонный интеграл второго рода $\int_0^1 dx/x^p$ сходится при $p<1$ и расходится при $p\ge1$ — направление неравенства противоположно эталону первого рода.

• Признак сравнения позволяет установить сходимость без вычисления первообразной: если $0\le f(x)\le g(x)$ и $\int g$ сходится, то и $\int f$ сходится; предельный признак сравнения с конечным положительным пределом отношения $f/g$ переносит сходимость между функциями с одинаковой скоростью убывания.

• Экспоненциальное убывание всегда «побеждает» полиномиальный рост любой степени — это ключевой факт для доказательства сходимости интегралов вида $\int x^ne^{-x}\,dx$ и существования моментов многих распределений.

• Абсолютная сходимость ($\int|f|$ сходится) — более сильное условие, чем обычная сходимость ($\int f$ сходится), и всегда её влечёт; обратное неверно — существуют условно сходящиеся интегралы, как $\int_1^\infty \sin x/x\,dx$.

• Условие нормировки плотности вероятности $\int f(x)\,dx=1$ для распределений с неограниченным носителем (нормальное, экспоненциальное, Парето, Коши) — это конкретный несобственный интеграл первого или второго рода, и его нужно уметь проверять, а не принимать на веру.

• Существование математического ожидания случайной величины требует именно абсолютной сходимости $\int|x|f(x)\,dx$, а не просто сходимости $\int xf(x)\,dx$ — из-за этого у некоторых корректно нормированных распределений (например, распределения Коши) среднего значения попросту не существует.

• При особенности внутри отрезка или при интеграле по всей прямой сходимость требуется независимо для каждого из кусков разбиения — единый «симметричный» предел без этого условия не считается строгой сходимостью несобственного интеграла.

Связь с другими темами курса

Несобственные интегралы напрямую опираются на весь аппарат, изученный в предыдущих двух уроках: определённый интеграл как предел интегральных сумм и его свойства (линейность, аддитивность, монотонность, оценка через границы функции). Эталонные интегралы $1/x^p$ и техника «зажимания» одной функции между двумя другими — это, по сути, оценка интеграла из прошлого урока, только применённая не к границам самой функции на конечном отрезке, а к скорости её убывания на бесконечном промежутке или у особой точки.

Признаки сравнения, разобранные сегодня, — это прямая подготовка к следующей большой теме курса, числовым рядам: там ты встретишь буквально те же самые формулировки признака сравнения и предельного признака сравнения, только вместо интеграла будет фигурировать бесконечная сумма. Более того, существует прямая связь между этими двумя объектами — интегральный признак сходимости рядов, который явно использует несобственный интеграл для проверки сходимости ряда, станет одним из первых инструментов следующего урока. Понятия абсолютной и условной сходимости, которые ты изучил сегодня для интегралов, дословно переносятся на ряды и там играют не менее важную роль.

В теории вероятностей и статистике, к которым курс постепенно движется, несобственные интегралы становятся повседневным инструментом: условие нормировки плотности, математическое ожидание, дисперсия и момент-генерирующая функция непрерывной случайной величины с неограниченным носителем — всё это конкретные примеры несобственных интегралов первого или второго рода, а вопрос о существовании этих характеристик прямо сводится к вопросу об их сходимости, который ты теперь умеешь исследовать.

Интересные факты

• «Рог Гавриила» Торричелли — фигура, полученная вращением графика $1/x$ на промежутке от $1$ до бесконечности, — обладает бесконечной площадью поверхности, но конечным объёмом. Это означает забавный парадокс: такую фигуру можно «наполнить» конечным количеством краски, но никогда нельзя полностью покрасить её внутреннюю поверхность.

• Интегральный признак сходимости рядов, с которым ты встретишься в следующем уроке, буквально утверждает, что ряд $\sum_{n=1}^\infty a_n$ для убывающей положительной последовательности сходится тогда и только тогда, когда сходится соответствующий несобственный интеграл $\int_1^\infty f(x)\,dx$ функции, порождающей эту последовательность — сумма и интеграл в этом смысле оказываются двумя гранями одного и того же явления.

• Распределение Коши, нормировочную константу которого ты вычислял в практике этого урока, физически возникает как распределение угла между лучом лазера, направленным из случайной точки на прямой, и фиксированным экраном — отсюда и второе его название, «распределение стрелка» или «распределение луча прожектора». У этого распределения не только не существует среднего значения, но даже выборочное среднее по большому числу наблюдений не стабилизируется вокруг какого-либо числа — редкий и наглядный пример того, как несуществование интеграла проявляется в реальном статистическом поведении данных.

• Гамма-функция $\Gamma(n)=\int_0^\infty x^{n-1}e^{-x}\,dx$, обобщающая факториал на нецелые и даже комплексные значения аргумента, — это тоже несобственный интеграл первого рода, тот же самый, что ты вычислял в задании про $\int_0^\infty x^3e^{-x}\,dx$. Она лежит в основе бета-распределения, гамма-распределения и распределения хи-квадрат — трёх семейств, которые постоянно встречаются в байесовской статистике и анализе данных.

Лайфхаки и полезные трюки

• Прежде чем пытаться найти первообразную сложного выражения, всегда сначала прикинь скорость роста или убывания функции на бесконечности (или вблизи особой точки) и сравни её с ближайшим эталоном $1/x^p$ — в большинстве практических задач этого достаточно, чтобы за секунды понять, сходится интеграл или нет, даже не приступая к вычислениям.

• Если в подынтегральном выражении есть многочлен и экспонента, сразу вспоминай: экспонента с отрицательным линейным или квадратичным показателем всегда «побеждает» полином любой степени — этого факта достаточно для мгновенного обоснования сходимости огромного класса интегралов вида $\int x^ne^{-x}\,dx$ или $\int x^ne^{-x^2}\,dx$.

• При работе со знакопеременной функцией сначала проверяй абсолютную сходимость через модуль — это почти всегда проще, чем доказывать сходимость напрямую, а по теореме из этого урока абсолютная сходимость автоматически гарантирует и обычную. К прямому доказательству через интегрирование по частям стоит переходить только тогда, когда абсолютная сходимость не устанавливается.

• Если особая точка находится внутри отрезка интегрирования или сам промежуток бесконечен в обе стороны, никогда не поддавайся соблазну взять «симметричный» предел напрямую — сначала разбей интеграл на куски в точке особенности или разрыва и проверь сходимость каждого куска отдельно, иначе легко получить неверный ответ там, где интеграл на самом деле расходится.

• Предельный признак сравнения почти всегда удобнее простого признака: вместо того чтобы подбирать и доказывать явное неравенство $f(x)\le g(x)$, достаточно вычислить один предел отношения функций — а с пределами при $x\to\infty$ или $x\to$ особая точка ты уже прекрасно умеешь работать по предыдущим урокам курса.

• Когда встречаешь плотность вероятности с неограниченным носителем, первым делом задай себе вопрос: сходится ли $\int f(x)\,dx$, сходится ли $\int x f(x)\,dx$ и сходится ли $\int x^2 f(x)\,dx$ — эти три вопроса эквивалентны, соответственно, корректности нормировки, существованию среднего и существованию дисперсии, и все три решаются ровно тем аппаратом, который ты освоил сегодня.

Несобственные интегралы на первый взгляд выглядят как формальность — ещё один слой определений поверх и так непростого материала предыдущих уроков. Но на деле именно они открывают дверь в мир непрерывных случайных величин с неограниченной областью значений — а это добрая половина всей теории вероятностей и статистики, на которой строится машинное обучение. Каждый раз, когда ты в будущем встретишь фразу «плотность нормирована» или «дисперсия существует», знай: за этими словами стоит ровно тот аппарат пределов и эталонных сравнений, который ты только что разобрал своими руками. В следующем уроке этот же аппарат — признаки сравнения, абсолютная и условная сходимость — предстанет почти в неизменном виде, но уже применительно к бесконечным суммам, числовым рядам, так что сегодняшняя работа не разовая, а закладывает фундамент сразу для целой следующей темы курса.