Интегрирование по частям 🔁

В прошлом уроке интегрирование по частям мелькнуло как один из нескольких инструментов в общем обзоре методов — наравне с заменой переменной и разложением дробей, буквально пара примеров на фоне остальных тем. Сегодня всё иначе: это единственная тема урока, и у тебя есть время разобрать её по-настоящему глубоко — с нюансами, ловушками и тем самым «страшным» циклическим случаем, который в общем обзоре был показан лишь мельком.

Давай разберёмся, зачем вообще нужен отдельный, длинный урок под один-единственный метод. Дело в том, что интегрирование по частям — это не одна формула на все случаи жизни, а скорее набор из трёх принципиально разных сценариев, каждый со своей логикой. Иногда формула применяется один раз и сразу даёт ответ. Иногда её нужно применить дважды подряд, а на втором шаге исходный интеграл вдруг появляется снова — и вместо ответа ты получаешь уравнение относительно самого интеграла, которое нужно решить, как обычное алгебраическое уравнение. А иногда формулу приходится применять три, четыре, пять раз подряд, каждый раз понижая степень многочлена на единицу, пока он не исчезнет совсем. Не разобравшись в этих трёх сценариях по отдельности, легко запутаться и потратить полчаса на интеграл, который берётся за две минуты, если знать, в какую именно категорию он попадает.

И здесь снова стоит подчеркнуть прикладную сторону вопроса. Интегрирование по частям — это ровно тот инструмент, которым в теории вероятностей выводится формула математического ожидания $E[X]=\int x f(x)\,dx$, а в теории информации — формула энтропии $H(X) = -\int f(x)\ln f(x)\,dx$ и дивергенция Кульбака-Лейблера, которая измеряет, насколько одно распределение вероятностей «непохоже» на другое. Это не разовое совпадение: везде, где в формуле участвует произведение алгебраического множителя (степени $x$) на экспоненту или логарифм — а такие произведения буквально пронизывают статистику и машинное обучение — рано или поздно всплывает именно интегрирование по частям. Освоив его на уровне рефлекса, ты избавляешь себя от необходимости запоминать десятки формул теории вероятностей наизусть: большинство из них ты сможешь вывести за пару минут прямо на бумаге.

К концу этого урока ты будешь уверенно определять, к какому из трёх типов относится незнакомый интеграл-произведение, автоматически выбирать $u$ и $dv$ по правилу ЛИАТЭ, справляться с циклическими интегралами без единой ошибки в знаках и брать интегралы вида $\int x^n e^x\,dx$ при любом $n$, не пересчитывая всё с нуля на каждом шаге.

История: откуда это взялось?

Формально формула интегрирования по частям — прямое алгебраическое следствие правила дифференцирования произведения, которое сформулировал Готфрид Лейбниц в 1670-х годах. Но интересно, что сам термин «интегрирование по частям» (в оригинале — латинское per partes) и первое систематическое изложение метода как самостоятельного приёма появляются существенно позже, в 1715 году, в трактате английского математика Брука Тейлора «Methodus Incrementorum Directa et Inversa» — том самом труде, где Тейлор ввёл и знаменитые ряды, названные его именем. Тейлор рассматривал интегрирование по частям как способ понижать сложность выражений при вычислении площадей и объёмов, возникающих в задачах механики, и уже тогда заметил, что при повторном применении формулы к произведениям вида $x^n$ на тригонометрическую или показательную функцию степень многочлена последовательно понижается — то есть по сути открыл ту самую рекуррентную схему, которую ты разберёшь ниже в разделе про многократное интегрирование по частям.

Параллельно с Тейлором похожими приёмами пользовался Иоганн Бернулли — и именно в переписке между Бернулли и его коллегами впервые встречается явное осознание того самого «циклического» феномена: что при повторном интегрировании по частям произведения двух функций, ни одна из которых не упрощается при дифференцировании (классический пример — экспонента и синус), исходный интеграл может появиться снова в правой части равенства. Вместо того чтобы считать это тупиком, Бернулли предложил воспринимать такое равенство как алгебраическое уравнение относительно искомого интеграла — идея, которая математикам того времени казалась почти парадоксальной: как можно «найти» интеграл, если он сам входит в собственное выражение? Тем не менее приём оказался безупречно строгим и с тех пор вошёл в стандартный арсенал.

К XIX веку, когда анализ обрёл строгую форму в работах Коши, формула интегрирования по частям получила и точное доказательство через понятие дифференциала, и своё нынешнее место в учебных программах — как один из двух-трёх фундаментальных инструментов, без которых невозможно посчитать даже базовые интегралы, встречающиеся в физике и статистике. Любопытно, что в англоязычной традиции XX века у метода появился неформальный, но крайне практичный «побочный продукт» — так называемый табличный метод (tabular method, иногда шутливо называемый «DI-method», от Differentiate/Integrate), который систематизирует именно многократное применение формулы в виде удобной таблицы из двух столбцов. Ты познакомишься с идеей этого приёма в разделе про многократное интегрирование по частям — он экономит массу времени на длинных выкладках.

Как рождается формула: от произведения производных к произведению интегралов

Интуиция: бухгалтерская проводка для произведения

Представь, что $u$ и $v$ — это два банковских счёта, а произведение $uv$ — их суммарный капитал. Когда оба счёта одновременно меняются во времени, изменение суммарного капитала складывается из двух независимых вкладов: во сколько выросло произведение из-за изменения первого счёта при неизменном втором, и во сколько оно выросло из-за изменения второго счёта при неизменном первом. Именно это и утверждает правило дифференцирования произведения — просто вместо «капитала» там производная, а вместо «времени» — переменная $x$.

Давай разберёмся, как из этой простой бухгалтерии рождается формула интегрирования по частям. Возьмём правило дифференцирования произведения двух функций:

Перепишем его в терминах дифференциалов — это просто другая, эквивалентная запись того же самого равенства:

Теперь проинтегрируем обе части этого равенства как есть, целиком. Слева интеграл от дифференциала функции — это сама функция (по определению неопределённого интеграла), а справа — сумма двух интегралов:

Остаётся выразить нужное нам слагаемое $\int u\,dv$ — и вот она, формула, ради которой всё затевалось:

Здесь стоит остановиться и осознать, что именно произошло. Формула не решает интеграл — она обменивает один интеграл на другой. Если тебе повезло удачно выбрать $u$ и $dv$, новый интеграл $\int v\,du$ окажется проще исходного $\int u\,dv$ — и тогда задача решена. Если выбор неудачный, новый интеграл может оказаться даже сложнее старого — и тогда нужно вернуться на шаг назад и попробовать другое разбиение. Именно поэтому следующий раздел, про правило ЛИАТЭ, — это не формальность, а самая практически важная часть всего урока: без него формула превращается в лотерею.

Формула:

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

где $u=u(x)$ — множитель, который ты дифференцируешь (находишь $du$), а $dv$ — множитель вместе с $dx$, который ты интегрируешь (находишь $v$).

Разбор примеров

Пример 1 (лёгкий). Вычислить $\int x e^x\,dx$.

Берём $u=x$ (многочлен — упрощается при дифференцировании), $dv=e^x\,dx$ (экспонента — не меняется при интегрировании). Тогда $du=dx$, $v=e^x$.

Ответ: $e^x(x-1)+C$.

Пример 2 (средний). Вычислить $\int (2x+1)e^{3x}\,dx$.

Здесь многочлен уже не такой прямолинейный, но принцип тот же: $u=2x+1$, $dv=e^{3x}\,dx$, откуда $du=2\,dx$, а $v=\dfrac{e^{3x}}{3}$ (не забывай про коэффициент $3$ в показателе при интегрировании).

Приведём к общему знаменателю: $\dfrac{3(2x+1)e^{3x} - 2e^{3x}}{9} = \dfrac{e^{3x}(6x+3-2)}{9} = \dfrac{e^{3x}(6x+1)}{9}$.

Ответ: $\dfrac{e^{3x}(6x+1)}{9}+C$.

Пример 3 (сложный). Вычислить $\int x \cos x\,dx$.

Здесь $u=x$, $dv=\cos x\,dx$, откуда $du=dx$, $v=\sin x$.

Ответ: $x\sin x + \cos x + C$. Этот результат ещё не раз всплывёт дальше — держи его в голове.

Почему это важно

Формула $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ — это не изолированный трюк, а прямое следствие фундаментального правила дифференцирования произведения, а значит, она работает всегда, для любой пары дифференцируемых функций, без исключений. Единственный вопрос — насколько удачно ты выбираешь $u$ и $dv$. Именно поэтому следующий шаг — это не ещё одна формула, а стратегия выбора, которая превращает искусство в почти автоматический алгоритм.

Кого дифференцировать, а кого интегрировать: правило ЛИАТЭ

Интуиция: отдаём в дифференцирование того, кто «сдаётся» быстрее

Представь, что у тебя есть два бойца, и им нужно провести раунд «на измор» — кто быстрее устанет, то есть упростится. Логарифм при дифференцировании превращается в простую дробь $\dfrac1x$ — и дальше уже никуда не «убегает», это финал. Обратная тригонометрическая функция вроде $\arctan x$ тоже сразу схлопывается в рациональную дробь $\dfrac{1}{1+x^2}$. Многочлен при каждом дифференцировании теряет одну степень — медленно, но верно приближается к нулю. А вот тригонометрические функции и экспонента при дифференцировании никуда не «устают»: синус превращается в косинус, тот снова в синус, экспонента вообще остаётся сама собой. Значит, именно им безопаснее достаться роль $dv$ — их всё равно придётся интегрировать, а интегрируются они так же легко, как дифференцируются.

Отсюда рождается мнемоническое правило ЛИАТЭ — приоритет для роли $u$ в порядке убывания:

Формула (правило ЛИАТЭ). Функцию для $u$ выбирай в следующем порядке приоритета — чем раньше буква в списке, тем выше приоритет стать именно $u$:

• Л — Логарифмические функции: $\ln x$, $\log_a x$;

• И — Иррациональные (обратные тригонометрические) функции: $\arcsin x$, $\arccos x$, $\arctan x$, $\text{arcctg}\,x$;

• А — Алгебраические функции: многочлены, $x^n$, корни, рациональные выражения;

• Т — Тригонометрические функции: $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$;

• Э — Экспоненциальные функции: $e^x$, $a^x$.

Всё, что осталось (вместе с $dx$), становится $dv$.

Разберём логику подробно, а не просто выучим порядок наизусть. Логарифм стоит первым не случайно: у него вообще нет собственной первообразной среди элементарных функций «по умолчанию» — чтобы найти $\int \ln x\,dx$, тебе всё равно придётся применить интегрирование по частям заново (это будет разобрано в следующем разделе). Значит, отдавать логарифм в $dv$ означало бы немедленно попасть в порочный круг. А вот при дифференцировании он превращается в чистую алгебраическую дробь — то есть максимально упрощается. Точно та же логика для обратных тригонометрических функций: у $\arcsin x$, $\arctan x$ и их «сородичей» нет тривиальной первообразной, зато производная — простая рациональная (или содержащая корень) дробь. Многочлены — следующий кандидат: каждое дифференцирование понижает степень на единицу, и рано или поздно (если продолжать дифференцировать) многочлен превратится в константу, а затем в ноль. Тригонометрические функции и экспонента — это, по сути, «неуничтожимые» функции: сколько ни дифференцируй, сколько ни интегрируй, они остаются в том же классе функций той же сложности. Значит, им абсолютно всё равно, какая роль достанется — дифференцирование или интегрирование, — а раз всё равно, пусть достаётся менее приоритетная роль $dv$.

Разбор примеров

Пример 1 (лёгкий). Вычислить $\int x \ln x\,dx$.

По ЛИАТЭ логарифм стоит раньше алгебраической функции — значит, $u=\ln x$, $dv=x\,dx$. Отсюда $du=\dfrac{dx}{x}$, $v=\dfrac{x^2}{2}$.

Ответ: $\dfrac{x^2}{2}\ln x - \dfrac{x^2}{4}+C$.

Пример 2 (средний). Вычислить $\int x \arcsin x\,dx$.

По ЛИАТЭ обратная тригонометрическая функция стоит раньше алгебраической — значит, $u=\arcsin x$, $dv=x\,dx$. Отсюда $du=\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$, $v=\dfrac{x^2}{2}$.

Оставшийся интеграл берётся стандартной тригонометрической заменой $x=\sin t$ и после возврата к $x$ даёт $\displaystyle\int\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \frac{\arcsin x}{2}-\frac{x\sqrt{1-x^2}}{2}+C$ (можешь проверить дифференцированием — это отдельный, не самый короткий вывод, но результат стандартный и часто встречается в таблицах). Подставляя:

Ответ: $\dfrac{(2x^2-1)}{4}\arcsin x + \dfrac{x\sqrt{1-x^2}}{4}+C$.

Пример 3 (демонстрация ошибки). Что будет, если в задаче $\int x\ln x\,dx$ из примера 1 намеренно нарушить ЛИАТЭ и взять $u=x$, $dv=\ln x\,dx$?

Тогда $du=dx$, а для $v$ нужно найти $\displaystyle\int\ln x\,dx$ — а это само по себе отдельный интеграл, который берётся только повторным интегрированием по частям (см. следующий раздел): $v=x\ln x - x$. Подставляя в формулу:

Смотри, что произошло: в правой части снова появился интеграл $\int x\ln x\,dx$ — тот же самый, что мы искали. Формально уравнение можно решить (перенести интеграл влево и разделить на два — получится тот же ответ, что и в примере 1), но пришлось сделать вдвое больше работы и попутно решить вспомогательный интеграл от логарифма. Вот наглядная иллюстрация того, зачем нужен ЛИАТЭ: он не гарантирует единственно возможный путь, но гарантирует кратчайший.

Почему это важно

Правило ЛИАТЭ — это не строгая теорема, а эвристика, полученная из наблюдения за тем, какие функции «упрощаются» при дифференцировании, а какие остаются неизменными по сложности. Но именно эта эвристика экономит львиную долю времени при решении реальных интегралов: вместо перебора четырёх вариантов разбиения на $u$ и $dv$ ты сразу знаешь, с какого начать. В подавляющем большинстве учебных и прикладных интегралов первый же выбор по ЛИАТЭ оказывается верным.

Тип первый: многочлен на элементарную функцию — работает с одного удара

Интуиция: один обмен — и сделка закрыта

Самый частый и самый добродушный тип интеграла-произведения — это многочлен первой степени (или сводимый к линейному после упрощения), умноженный на экспоненту, синус или косинус. Представь это как простой бартер: ты отдаёшь многочлен на дифференцирование (после чего от него остаётся просто число — коэффициент), а взамен получаешь тригонометрическую или показательную функцию, слегка «сдвинутую» интегрированием. Один обмен — и сделка закрыта, второй раз интегрировать по частям не требуется, потому что после первого шага под интегралом остаётся уже чисто табличное выражение.

Формула: если подынтегральное выражение — это $(ax+b)\cdot g(x)$, где $g(x)$ — это $e^{kx}$, $\sin(kx)$ или $\cos(kx)$, то при выборе $u=ax+b$, $dv=g(x)\,dx$ после одного применения формулы $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ под новым интегралом остаётся только $g(x)$ — то есть чисто табличное выражение, и второй раз формулу применять не нужно.

Разбор примеров

Пример 1 (лёгкий). Вычислить $\int (x+2)\sin x\,dx$.

$u=x+2$, $dv=\sin x\,dx$, $du=dx$, $v=-\cos x$.

Ответ: $\sin x - (x+2)\cos x + C$.

Пример 2 (средний). Вычислить $\int (3-x)e^{2x}\,dx$.

$u=3-x$, $dv=e^{2x}\,dx$, $du=-dx$, $v=\dfrac{e^{2x}}{2}$.

Приводим к общему знаменателю: $\dfrac{2(3-x)e^{2x}+e^{2x}}{4} = \dfrac{e^{2x}(6-2x+1)}{4} = \dfrac{e^{2x}(7-2x)}{4}$.

Ответ: $\dfrac{e^{2x}(7-2x)}{4}+C$.

Пример 3 (сложный). Вычислить $\int 5x\, e^{4x}\,dx$.

Константу $5$ можно сразу вынести за знак интеграла, но давай пройдём весь путь без сокращений, чтобы увидеть механику полностью. $u=5x$, $dv=e^{4x}\,dx$, $du=5\,dx$, $v=\dfrac{e^{4x}}{4}$.

Приводим к общему знаменателю $16$: $\dfrac{20xe^{4x} - 5e^{4x}}{16} = \dfrac{5e^{4x}(4x-1)}{16}$.

Ответ: $\dfrac{5e^{4x}(4x-1)}{16}+C$.

Почему это важно

Именно этот тип интегралов встречается чаще всего на практике — и именно он должен вызывать наименьшую задержку в твоей голове. Как только ты видишь линейный многочлен рядом с экспонентой, синусом или косинусом, ты должен на автомате писать $u=$ многочлен, $dv=$ остальное, — и через одну строчку получать ответ. Отработай этот рефлекс до автоматизма: он экономит время на всех следующих, более сложных типах, потому что и циклический, и многократный случаи в конечном счёте сводятся к цепочке из нескольких таких же «однократных» шагов.

Тип второй: экспонента и тригонометрия — циклическое интегрирование по частям

Интуиция: змея, кусающая собственный хвост

А теперь — самый концептуально необычный сценарий во всём уроке. Представь, что $e^{kx}$ и $\sin(kx)$ (или $\cos(kx)$) — это два бойца из предыдущей аналогии, которые оба одинаково «неуничтожимы»: ни один из них не устаёт ни от дифференцирования, ни от интегрирования. Экспонента при дифференцировании и интегрировании остаётся экспонентой. Синус при дифференцировании становится косинусом, а косинус — минус синусом, то есть они просто бесконечно перетекают друг в друга, никогда не исчезая и не упрощаясь до константы.

Что произойдёт, если применить формулу интегрирования по частям к произведению таких двух «неуничтожимых» функций? Первый раз — формула честно превращает исходный интеграл в новое выражение, где на месте старого интеграла стоит другой, но такой же по структуре интеграл (экспонента на другую тригонометрическую функцию). Применяем формулу второй раз к этому новому интегралу — и вот тут происходит удивительное: под интегралом снова появляется исходное выражение, с которого всё начиналось. Это похоже на змею, которая, извиваясь, в конце концов кусает себя за хвост: процесс не идёт «вперёд», к табличному виду, а зацикливается сам на себе.

Ключевая идея, без которой этот тип интеграла кажется тупиком: не нужно продолжать применять формулу до бесконечности. Вместо этого запиши получившееся равенство как уравнение относительно искомого интеграла — обозначь его буквой $I$ — и реши это уравнение чисто алгебраически, как обычное линейное уравнение с одной переменной.

Формула (схема циклического интегрирования по частям). Пусть $I=\int e^{kx}\sin(mx)\,dx$ (или с $\cos$ вместо $\sin$). Тогда:

1. Применяем формулу интегрирования по частям один раз, взяв $u=$ тригонометрическая функция, $dv=e^{kx}\,dx$. Получаем $I = (\text{что-то}) + c_1\int e^{kx}\cdot(\text{другая тригонометрическая функция})\,dx$.

2. К новому интегралу снова применяем формулу интегрирования по частям, выбирая $u$ и $dv$ того же типа, что и на первом шаге (это критично — иначе процесс не замкнётся, а даст тождество $0=0$). Получаем выражение, содержащее исходный интеграл $I$ с некоторым коэффициентом.

3. Подставляем результат шага 2 в равенство шага 1 — получаем алгебраическое уравнение вида $I = A + \lambda I$ (или сразу $(1-\lambda)I = A$).

4. Решаем уравнение относительно $I$: $I = \dfrac{A}{1-\lambda}$, добавляем константу $+C$.

Отдельно стоит проговорить самую частую ошибку в этом типе задач. На шаге 2 нужно сохранять ту же самую логику выбора, что и на шаге 1: если на первом шаге в $u$ пошла тригонометрическая функция, а в $dv$ — экспонента, то и на втором шаге в $u$ должна пойти (новая) тригонометрическая функция, а в $dv$ — снова экспонента. Если на втором шаге случайно поменять роли местами (взять $u=e^{kx}$, $dv=(\text{тригонометрия})\,dx$), формула «отменит» действие первого шага, и после подстановки получится бессмысленное тождество $0=0$ вместо уравнения относительно $I$ — вся работа окажется впустую, и придётся начинать заново.

Разбор примеров

Пример 1 (лёгкий, полный разбор циклического случая). Вычислить $\int e^x\cos x\,dx$.

Обозначим искомый интеграл $I=\int e^x\cos x\,dx$. Шаг 1: $u=\cos x$, $dv=e^x\,dx$, откуда $du=-\sin x\,dx$, $v=e^x$.

Шаг 2: к новому интегралу $\int e^x\sin x\,dx$ применяем формулу с той же логикой — $u=\sin x$, $dv=e^x\,dx$, откуда $du=\cos x\,dx$, $v=e^x$.

Шаг 3: подставляем это в равенство шага 1:

Шаг 4: переносим $I$ и решаем:

Ответ: $\dfrac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}+C$.

Пример 2 (средний). Вычислить $\int e^{-x}\sin x\,dx$.

Обозначим $I=\int e^{-x}\sin x\,dx$. Шаг 1: $u=\sin x$, $dv=e^{-x}\,dx$, откуда $du=\cos x\,dx$, $v=-e^{-x}$.

Шаг 2: для нового интеграла $u=\cos x$, $dv=e^{-x}\,dx$, откуда $du=-\sin x\,dx$, $v=-e^{-x}$.

Подставляем:

Ответ: $-\dfrac{e^{-x}(\sin x+\cos x)}{2}+C$.

Пример 3 (сложный, с разными коэффициентами в показателе и в аргументе). Вычислить $\int e^{2x}\cos 3x\,dx$.

Здесь коэффициенты при $x$ в экспоненте и в тригонометрической функции разные — сама идея не меняется, но нужно аккуратнее следить за коэффициентами. Обозначим $I=\int e^{2x}\cos3x\,dx$. Шаг 1: $u=\cos3x$, $dv=e^{2x}\,dx$, откуда $du=-3\sin3x\,dx$, $v=\dfrac{e^{2x}}{2}$.

Шаг 2: для $J=\int e^{2x}\sin3x\,dx$ берём $u=\sin3x$, $dv=e^{2x}\,dx$, откуда $du=3\cos3x\,dx$, $v=\dfrac{e^{2x}}{2}$.

Подставляем в равенство шага 1:

Переносим и приводим к общему коэффициенту:

Ответ: $\dfrac{e^{2x}(2\cos3x+3\sin3x)}{13}+C$.

Почему это важно

Циклическое интегрирование по частям — это не экзотика для сборников задач: интегралы вида $\int e^{kx}\sin(mx)\,dx$ и $\int e^{kx}\cos(mx)\,dx$ возникают напрямую при вычислении преобразования Лапласа затухающих колебаний (а значит, в анализе электрических цепей и в обработке сигналов), а также при поиске производящей функции моментов и характеристической функции случайных величин с показательно-колебательной плотностью. Умение распознать эту ситуацию — два «неуничтожимых» множителя — и сразу перейти к схеме «уравнение относительно $I$», а не пытаться бесконечно интегрировать по частям в надежде на упрощение, экономит массу времени и предотвращает самую обидную ошибку этого раздела: бесконечный цикл вычислений без ответа.

Тип третий: обратные тригонометрические и логарифмы — когда $dv = dx$

Интуиция: искусственно создаём партнёра для интегрирования

Что делать, если под интегралом стоит вообще не произведение, а одна-единственная функция — например, $\int \ln x\,dx$ или $\int \arctan x\,dx$? На первый взгляд кажется, что интегрирование по частям тут ни при чём: нет никакого произведения, которое можно было бы разбить на $u$ и $dv$. Но здесь работает изящный трюк: любую функцию $f(x)$ можно формально записать как произведение $f(x)\cdot 1$, а единицу — «спрятать» в $dv=dx$. Тогда $v=x$, и формула интегрирования по частям искусственно создаёт множитель $x$, которого раньше не было, — и часто именно это превращает неберущийся на первый взгляд интеграл в решаемый.

Логарифмы и обратные тригонометрические функции — это ровно тот случай, когда такой трюк не просто работает, а работает лучше всего: их производные (см. правило ЛИАТЭ) — простые рациональные выражения или выражения с корнем, и после умножения на $x=v$ получившийся новый интеграл почти всегда оказывается рациональной дробью или сводится к ней элементарной заменой.

Формула (приём "$dv=dx$"): если под интегралом стоит одна логарифмическая или обратная тригонометрическая функция $f(x)$ без второго сомножителя, бери $u=f(x)$, $dv=dx$. Тогда $v=x$, и

$$\int f(x)\,dx = x f(x) - \int x f'(x)\,dx$$

где новый интеграл $\int x f'(x)\,dx$ почти всегда оказывается рациональным (или сводится к нему заменой).

Разбор примеров

Пример 1 (лёгкий). Вычислить $\int \ln x\,dx$.

$u=\ln x$, $dv=dx$, $du=\dfrac{dx}{x}$, $v=x$.

Ответ: $x\ln x - x + C$. Обрати внимание: это тот самый интеграл, который пришлось бы искать «по кругу», если бы в примере с $\int x\ln x\,dx$ раньше ты нарушил правило ЛИАТЭ — теперь ты видишь, откуда он берётся.

Пример 2 (средний). Вычислить $\int \arctan x\,dx$.

$u=\arctan x$, $dv=dx$, $du=\dfrac{dx}{1+x^2}$, $v=x$.

Оставшийся интеграл берётся заменой $t=1+x^2$, $dt=2x\,dx$:

Ответ: $x\arctan x - \dfrac12\ln(1+x^2)+C$.

Пример 3 (сложный). Вычислить $\int \arccos x\,dx$.

$u=\arccos x$, $dv=dx$. Производная арккосинуса отличается от производной арксинуса только знаком: $du=-\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$, $v=x$.

Оставшийся интеграл берётся заменой $t=1-x^2$, $dt=-2x\,dx$:

Ответ: $x\arccos x - \sqrt{1-x^2}+C$.

Почему это важно

Этот приём — не редкий частный случай, а прямой мостик к следующему уроку про интегрирование рациональных функций: почти всегда после одного применения интегрирования по частям к логарифму или обратной тригонометрической функции ты получаешь именно рациональную дробь, которую нужно доводить до ответа приёмами из следующего урока. А если заглянуть в сторону машинного обучения — интеграл $\int \ln f(x)\,dx$ или, что ещё ближе к практике, $\int f(x)\ln f(x)\,dx$ (в точности формула энтропии) почти всегда требует именно этой техники: искусственно ввести множитель через $dv=dx$ там, где готового произведения нет. Ты увидишь это своими глазами в разделе про машинное обучение чуть ниже.

Многократное интегрирование по частям: когда одного раза мало

Интуиция: лестница, спускающаяся к нулю

Что происходит, если многочлен под интегралом не первой степени, а, скажем, второй или третьей — например, $\int x^3 e^x\,dx$? Одно применение формулы интегрирования по частям понизит степень многочлена всего на единицу — с $x^3$ до $x^2$, — но интеграл всё ещё не станет табличным. Придётся спуститься ещё на одну ступеньку, потом ещё на одну — как по лестнице, пока степень многочлена не дойдёт до нуля, то есть пока он не исчезнет вовсе, оставив под интегралом чистую экспоненту или тригонометрическую функцию.

Каждый шаг этой лестницы устроен одинаково: $u=x^n$, $dv=e^x\,dx$ (или тригонометрическая функция), и после одного применения формулы задача сводится к точно такому же интегралу, но с многочленом на единицу меньшей степени. Это классическая рекурсия — и, как любую рекурсию, её удобно оформить в виде общей формулы, а не пересчитывать с нуля каждый раз.

Формула (рекурсия для $\int x^n e^x\,dx$). Обозначим $I_n=\int x^n e^x\,dx$. Тогда, применяя интегрирование по частям с $u=x^n$, $dv=e^x\,dx$:

$$I_n = x^n e^x - n\int x^{n-1}e^x\,dx = x^n e^x - n\,I_{n-1}$$

с базовым случаем $I_0 = \int e^x\,dx = e^x$. Применяя формулу последовательно, можно выразить $I_n$ через $I_{n-1}$, ту — через $I_{n-2}$, и так далее вплоть до $I_0$.

Именно эта рекурсия лежит в основе упомянутого во вступлении «табличного метода»: составляется таблица из двух столбцов — в одном многочлен последовательно дифференцируется до нуля, в другом экспонента (или тригонометрическая функция) последовательно интегрируется, — а затем строки перемножаются по диагонали с чередующимися знаками. Формально это просто компактная запись той же самой рекурсии, но без необходимости расписывать каждый промежуточный шаг отдельным уравнением.

Разбор примеров

Пример 1 (лёгкий, двукратное применение). Вычислить $\int x^2 e^x\,dx$.

По рекурсии: $I_2 = x^2 e^x - 2I_1$. Сначала найдём $I_1=\int xe^x\,dx = xe^x - e^x$ (это в точности пример 1 из первого раздела урока). Тогда:

Ответ: $e^x(x^2-2x+2)+C$.

Пример 2 (средний). Вычислить $\int x^3 e^{-x}\,dx$.

Здесь показатель отрицательный, но схема та же — только при каждом интегрировании экспоненты появляется множитель $-1$. Шаг 1: $u=x^3$, $dv=e^{-x}\,dx$, $du=3x^2\,dx$, $v=-e^{-x}$.

Интеграл $\int x^2 e^{-x}\,dx$ уже разобран ранее (по той же схеме): $\int x^2e^{-x}\,dx = -e^{-x}(x^2+2x+2)$.

Ответ: $-e^{-x}(x^3+3x^2+6x+6)+C$.

Пример 3 (сложный, полная рекурсия от $I_0$ до $I_4$). Вычислить $\int x^4 e^x\,dx$, последовательно выписывая всю цепочку рекурсии.

Ответ: $e^x(x^4-4x^3+12x^2-24x+24)+C$. Заметь закономерность в коэффициентах: $1, -4, 12, -24, 24$ — это в точности $\binom{4}{0}\cdot4!/4!,\ -\binom{4}{1}\cdot\ldots$, а если присмотреться, каждый следующий коэффициент получается умножением предыдущего на убывающий множитель — это не совпадение, а прямое следствие рекурсии $I_n = x^ne^x - nI_{n-1}$, и точно такая же структура коэффициентов возникает в разложении $n!$ на множители, что не случайно всплывёт в следующем разделе про математическое ожидание.

Почему это важно

Рекурсивная формула для $\int x^n e^x\,dx$ — это не просто удобный приём для сокращения длинных вычислений. Она напрямую связана с гамма-функцией и факториалом: несобственный интеграл $\int_0^\infty x^n e^{-x}\,dx = n!$ для целых неотрицательных $n$ — это одна из самых важных формул на стыке анализа и теории вероятностей, лежащая в основе гамма-распределения, которое, в свою очередь, — сопряжённое априорное распределение в байесовской статистике для параметра интенсивности пуассоновского процесса. Ты увидишь прямое численное подтверждение этой формулы в практическом разделе, когда будешь вычислять моменты показательного распределения.

Интегрирование по частям в машинном обучении: от математического ожидания до энтропии

Интуиция: произведение "вес × вероятность" — самый частый гость в статистике

Давай разберёмся, почему интегрирование по частям оказывается настолько центральным именно для машинного обучения и статистики. Почти каждая ключевая величина теории вероятностей — это интеграл от произведения алгебраического веса (обычно степени $x$) на плотность вероятности, которая почти всегда содержит экспоненту или логарифм: нормальное распределение, показательное распределение, гамма-распределение — у всех плотность выражается через $e^{(\dots)}$. А раз в подынтегральном выражении встречается произведение «многочлен на экспоненту» или «логарифм плотности на саму плотность» — это ровно тот тип задачи, для которого создано интегрирование по частям.

Возьмём формулу математического ожидания непрерывной неотрицательной случайной величины $X$ с плотностью $f(x)$:

Это в точности интеграл первого типа из нашего урока — «многочлен ($x$) на элементарную функцию ($f(x)$)» — и берётся он почти всегда именно по частям, с $u=x$.

Формула: для показательного распределения с плотностью $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ на $[0,\infty)$

$$E[X] = \int_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x}\,dx = \frac1\lambda$$

выводится интегрированием по частям с $u=x$, $dv=\lambda e^{-\lambda x}\,dx$.

Разбор примеров

Пример 1 (лёгкий, вывод $E[X]$). Вывести формулу математического ожидания показательного распределения $E[X]=\displaystyle\int_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x}\,dx$.

$u=x$, $dv=\lambda e^{-\lambda x}\,dx$, $du=dx$, $v=-e^{-\lambda x}$.

Первое слагаемое равно нулю в обеих точках: при $x=0$ множитель $x$ обнуляет всё выражение, а при $x\to\infty$ произведение $xe^{-\lambda x}\to0$, потому что экспонента убывает быстрее любого линейного роста (это доказывается правилом Лопиталя). Второе слагаемое — табличный интеграл: $\displaystyle\int_0^\infty e^{-\lambda x}\,dx = \frac1\lambda$.

Ответ: $E[X]=\dfrac1\lambda$.

Пример 2 (средний, дисперсия через второй момент). Вывести дисперсию показательного распределения, используя $E[X^2]=\displaystyle\int_0^\infty x^2\lambda e^{-\lambda x}\,dx$, найденное двукратным интегрированием по частям (это ровно многократный случай из предыдущего раздела, только с несобственными пределами).

По той же схеме, что и в примере 1 из раздела про многократное интегрирование, но с пределами интегрирования: $u=x^2$, $dv=\lambda e^{-\lambda x}\,dx$, $du=2x\,dx$, $v=-e^{-\lambda x}$.

Теперь дисперсия по определению: $\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2 = \dfrac{2}{\lambda^2}-\dfrac{1}{\lambda^2}$.

Ответ: $\mathrm{Var}(X)=\dfrac{1}{\lambda^2}$.

Пример 3 (сложный, дифференциальная энтропия — приём из типа третьего). Вывести дифференциальную энтропию показательного распределения $H(X) = -\displaystyle\int_0^\infty f(x)\ln f(x)\,dx$, где $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$.

Здесь под интегралом стоит логарифм плотности, умноженный на саму плотность — классический сценарий из раздела про логарифмы, только теперь роль $u$ достаётся не всему логарифму целиком, а произведению нужно сначала алгебраически упростить. Распишем $\ln f(x) = \ln\lambda - \lambda x$:

Интегрируем почленно от $0$ до $\infty$:

Первый интеграл табличный и равен $\dfrac1\lambda$. Второй — это интеграл $\displaystyle\int_0^\infty xe^{-\lambda x}\,dx$, который берётся по частям точно так же, как в примере 1 (только без множителя $\lambda$ перед экспонентой), и равен $\dfrac{1}{\lambda^2}$.

Ответ: $H(X)=1-\ln\lambda$ — стандартная формула дифференциальной энтропии показательного распределения, и она напрямую обобщается: точно такая же техника (разложить логарифм плотности на слагаемые, каждое из которых сводится к уже известному интегралу вида $\int x^n e^{-\lambda x}\,dx$) применяется при выводе энтропии для нормального, гамма- и других распределений экспоненциального семейства, а также для вывода дивергенции Кульбака-Лейблера $D_{KL}(P\|Q)=\int p(x)\ln\dfrac{p(x)}{q(x)}\,dx$ между двумя такими распределениями — попробуй вывести её сам в задании 25 практической части, действуя по той же схеме: разложи логарифм на слагаемые и сведи каждое к уже знакомому интегралу.

Почему это важно

Три величины, которые ты только что вывел — математическое ожидание, дисперсия и энтропия, — это не абстрактные упражнения, а фундамент, на котором строится вся статистическая теория машинного обучения: от простейшей линейной регрессии (минимизация дисперсии ошибки) до функций потерь на основе кросс-энтропии в нейронных сетях (прямое обобщение формулы энтропии на дискретный и условный случаи) и байесовского вывода (где дивергенция Кульбака-Лейблера измеряет, насколько приближённое распределение отличается от истинного). За каждой из этих формул стоит один и тот же матанализ — интегрирование по частям — просто применённый к разным плотностям. Ты только что убедился, что можешь вывести их самостоятельно, а не запоминать как данность.

Практика: 30 заданий

Базовые задания (1–10)

Задание 1: Вычислить $\int x e^{2x}\,dx$.

Задание 2: Вычислить $\int x\cos3x\,dx$.

Задание 3: Вычислить $\int (2x+1)e^{-x}\,dx$.

Задание 4: Вычислить $\int x\sin2x\,dx$.

Задание 5: Вычислить $\int \ln x\,dx$.

Задание 6: Вычислить $\int \arctan x\,dx$.

Задание 7: Вычислить $\int x\cdot2^x\,dx$.

Задание 8: Вычислить $\int (3x-5)\sin x\,dx$.

Задание 9: Вычислить $\int x e^{-3x}\,dx$.

Задание 10: Вычислить $\int \ln(3x)\,dx$.

Средние задания (11–20)

Задание 11: Вычислить $\int e^x\sin x\,dx$.

Задание 12: Вычислить $\int e^{-2x}\cos3x\,dx$.

Задание 13: Вычислить $\int x^2 e^{-x}\,dx$.

Задание 14: Вычислить $\int \arcsin x\,dx$.

Задание 15: Вычислить $\int x^3\ln x\,dx$.

Задание 16: Вычислить $\int x\arctan x\,dx$.

Задание 17 (машинное обучение): Вычислить $\displaystyle\int_0^\infty x^2\lambda e^{-\lambda x}\,dx$ — второй момент $E[X^2]$ показательного распределения.

Задание 18: Вычислить $\int e^{3x}\cos2x\,dx$.

Задание 19: Вычислить $\int \log_2 x\,dx$.

Задание 20: Вычислить $\int \arctan(2x)\,dx$.

Продвинутые задания (21–30)

Задание 21: Вычислить $\int x^2\sin2x\,dx$.

Задание 22: Вычислить $\int x^3 e^x\,dx$.

Задание 23 (машинное обучение / обработка сигналов): Вычислить $\displaystyle\int_0^\infty e^{-x}\sin2x\,dx$.

Задание 24 (машинное обучение / теория информации): Вычислить дифференциальную энтропию показательного распределения $H(X)=-\displaystyle\int_0^\infty \lambda e^{-\lambda x}\ln(\lambda e^{-\lambda x})\,dx$.

Задание 25 (машинное обучение / теория информации): Вычислить дивергенцию Кульбака-Лейблера $D_{KL}(P\|Q)=\displaystyle\int_0^\infty p(x)\ln\frac{p(x)}{q(x)}\,dx$ между двумя показательными распределениями $p(x)=\lambda_1e^{-\lambda_1x}$ и $q(x)=\lambda_2e^{-\lambda_2x}$.

Задание 26 (машинное обучение): Вывести дисперсию показательного распределения $\mathrm{Var}(X)$, используя результат задания 17 ($E[X^2]=\dfrac{2}{\lambda^2}$) и известное $E[X]=\dfrac1\lambda$.

Задание 27: Вычислить $\int x^2\arctan x\,dx$.

Задание 28: Используя рекуррентную формулу $I_n=x^ne^x-nI_{n-1}$, вычислить $\int x^4 e^x\,dx$.

Задание 29: Вычислить $\int \sin(\ln x)\,dx$.

Задание 30 (машинное обучение): Вычислить третий момент показательного распределения $E[X^3]=\displaystyle\int_0^\infty x^3\lambda e^{-\lambda x}\,dx$, используя рекуррентную идею $M_n=\dfrac{n}{\lambda}M_{n-1}$.

Частые ошибки

Давай разберёмся, какие ошибки чаще всего портят решение интегрирования по частям — большинство из них не про незнание формулы, а про невнимательность в мелочах.

• Перепутанные знаки при $v=-\cos x$ или $v=-e^{-x}$. Когда $dv$ содержит минус в показателе или знак минус перед тригонометрической функцией, легко забыть перенести его в $v$, особенно на втором и третьем шаге многократного применения. Каждый раз явно выписывай $v$ отдельной строкой, прежде чем подставлять в формулу.

• Использование разных стратегий выбора $u$ и $dv$ на двух шагах циклического интеграла. Это самая коварная ошибка типа два: если на первом шаге $u$ было тригонометрической функцией, а на втором — вдруг стало экспонентой, вместо уравнения относительно $I$ получится бессмысленное тождество $0=0$, и вся работа окажется впустую.

• Забытая константа интегрирования $C$ у промежуточного $v$. При нахождении $v=\int dv$ константу интегрирования не пишут (она не нужна и может всё запутать), но по инерции некоторые студенты добавляют её — из-за этого в финальном ответе появляется лишний, неверный член.

• Нарушение правила ЛИАТЭ без веской причины. Если выбрать $u$ и $dv$ наоборот относительно приоритета ЛИАТЭ, новый интеграл почти всегда окажется сложнее исходного, а не проще — как ты видел в демонстрации ошибки с $\int x\ln x\,dx$.

• Потеря множителя при интегрировании $e^{kx}$ или $\sin(kx)$ с $k\ne1$. $\int e^{kx}\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k}$, а не просто $e^{kx}$ — коэффициент перед переменной обязательно попадает в знаменатель. Эта ошибка особенно часто портит ответы в циклических интегралах с несколькими разными коэффициентами.

• Незавершённая остановка процесса в многократном интегрировании. Если многочлен степени $n$, формулу нужно применить ровно $n$ раз, пока степень не станет нулевой. Остановка на полпути (например, после двух применений для многочлена третьей степени) оставляет под интегралом ещё одно произведение, которое нужно доводить до конца.

• Забытая проверка пределов на бесконечности в несобственных интегралах. При вычислении величин вроде $E[X]$ или $H(X)$ легко забыть аккуратно обосновать, почему граничный член $\bigl[uv\bigr]$ обращается в ноль на бесконечности (через сравнение скорости роста экспоненты и степенной функции), и просто отбросить его без объяснения — это формально верно, но на экзамене такой пропуск снижает оценку.

Главное запомнить

• Формула интегрирования по частям $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ — прямое следствие правила дифференцирования произведения $(uv)'=u'v+uv'$, проинтегрированного целиком.

• Правило ЛИАТЭ (логарифмы, обратная тригонометрия, алгебраические функции, тригонометрия, экспонента) задаёт приоритет для выбора $u$ — от функций, которые сильнее всего упрощаются при дифференцировании, к тем, которым всё равно, дифференцируют их или интегрируют.

• Тип «многочлен первой степени на экспоненту или тригонометрию» решается одним применением формулы — этот случай должен стать рефлексом.

• Циклический тип («экспонента на синус или косинус») требует применить формулу дважды с одинаковой логикой выбора на обоих шагах, а затем решить получившееся равенство как алгебраическое уравнение относительно искомого интеграла $I$.

• Смена стратегии выбора $u$ и $dv$ между двумя шагами циклического интеграла разрушает весь процесс и даёт бессмысленное тождество $0=0$.

• Для интегралов от одиночного логарифма или обратной тригонометрической функции приём $dv=dx$ искусственно создаёт множитель $x=v$, превращая «непроизведение» в решаемую задачу.

• Многократное интегрирование по частям для $\int x^n e^x\,dx$ подчиняется рекурсии $I_n=x^ne^x-nI_{n-1}$ с базой $I_0=e^x$ — применяй формулу ровно $n$ раз, пока степень многочлена не обнулится.

• Математическое ожидание, дисперсия и дифференциальная энтропия непрерывных случайных величин с экспоненциальными плотностями выводятся напрямую через интегрирование по частям, а не запоминаются как готовые формулы.

• Несобственные интегралы (с пределом на бесконечности) в этом контексте всегда требуют обоснования, что граничный член обнуляется — экспонента растёт или убывает быстрее любой степени $x$.

• Три типа интеграла — однократный, циклический и многократный — различаются не формулой, а стратегией остановки: у первого она наступает сразу, у второго — через алгебраическое уравнение, у третьего — через рекурсию до нулевой степени.

Связь с другими темами курса

Этот урок логически продолжает «Методы интегрирования», где интегрирование по частям было представлено лишь одним из нескольких инструментов — здесь ты закрепил его гораздо глубже, отдельно разобрав циклический и многократный случаи. В следующем уроке про интегрирование рациональных функций ты увидишь, что почти каждый интеграл от логарифма или обратной тригонометрической функции после применения интегрирования по частям превращается именно в рациональную дробь — то есть навыки этого урока и следующего работают в связке.

Дальше по курсу интегрирование по частям вернётся при вычислении определённых интегралов и площадей фигур (там несобственные пределы и граничные члены $[uv]$ станут ещё более значимыми), а также при первом знакомстве с рядами Фурье, где коэффициенты разложения функции по синусам и косинусам — это в точности интегралы вида $\int f(x)\cos(nx)\,dx$, которые для многих функций берутся именно по частям. В теории вероятностей и статистике, которые последуют дальше в программе, тебе предстоит вывести моменты, дисперсии и энтропии для куда более широкого класса распределений — нормального, гамма-, бета- — и каждый раз ты будешь опираться на технику, отработанную сегодня.

Интересные факты

• Табличный (или «диагональный») метод интегрирования по частям, о котором шла речь в разделе про многократное применение, придумали не профессиональные математики, а инженеры и преподаватели прикладных курсов в середине XX века — он не описан в классических трудах Тейлора или Бернулли, а появился как учебная находка для ускорения рутинных вычислений в технических вузах.

• Циклическое интегрирование по частям — не единственный пример «уравнения относительно самого объекта» в математике: та же логика («выразить искомую величину через саму себя и решить алгебраически») лежит в основе рекуррентных нейронных сетей, где скрытое состояние в момент времени $t$ выражается через само себя в момент $t-1$.

• Формула $\int_0^\infty x^n e^{-x}\,dx=n!$, к которой ты пришёл через многократное интегрирование по частям, — это в точности значение гамма-функции $\Gamma(n+1)=n!$ при целых $n$. Гамма-функция обобщает факториал на нецелые и даже комплексные числа, и её собственное определение — это несобственный интеграл, который берётся именно интегрированием по частям.

• Дифференциальная энтропия показательного распределения $H(X)=1-\ln\lambda$ может быть отрицательной при $\lambda>e\approx2{,}718$ — в отличие от энтропии дискретных распределений, которая всегда неотрицательна, дифференциальная энтропия непрерывных распределений может уходить в минус, и это не ошибка, а особенность самого определения.

Лайфхаки и полезные трюки

• Прежде чем применять формулу, задай себе один вопрос: «Кто из двух множителей исчезнет при многократном дифференцировании?» Если ответ есть (многочлен, логарифм, обратная тригонометрия) — перед тобой однократный или многократный случай. Если ответа нет (оба множителя «неуничтожимы») — сразу готовься к циклической схеме.

• В циклическом случае сразу обозначай искомый интеграл буквой $I$ до начала выкладок — это дисциплинирует и не даёт сбиться, когда через несколько строк $I$ снова появится в правой части равенства.

• Для многократного интегрирования выписывай промежуточные $I_1$, $I_2$, $I_3$ отдельными короткими строками, а не пытайся удержать всю цепочку в одном длинном выражении — так проще найти и исправить одну ошибку в знаке, не пересчитывая всё заново.

• Если после применения формулы новый интеграл выглядит сложнее исходного — почти наверняка $u$ и $dv$ выбраны неправильно относительно ЛИАТЭ. Не бойся вернуться на шаг назад и поменять выбор местами, это быстрее, чем пытаться «дожать» неудачный путь.

• Для несобственных интегралов сразу отдельно проверяй граничный член $[uv]$ на бесконечности, прежде чем считать оставшийся интеграл — так ты не потратишь время на вычисление величины, которая в итоге всё равно обнулится.

• Держи в памяти уже выведенные базовые результаты — $\int xe^x\,dx$, $\int e^x\cos x\,dx$, $\int \ln x\,dx$ — они то и дело всплывают как «строительные блоки» внутри более сложных примеров, и не нужно каждый раз выводить их с нуля.

Формула интегрирования по частям умещается в одну строку, но за этой строкой стоит целая экосистема приёмов: от мгновенного однократного применения до алгебраического уравнения в циклическом случае и аккуратной рекурсии в многократном. Теперь, когда ты видишь все три сценария насквозь — и умеешь отличать их друг от друга с первого взгляда на подынтегральное выражение, — интегрирование по частям перестаёт быть набором разрозненных трюков и становится ровно тем, чем является: одним из самых надёжных инструментов в твоём математическом арсенале, который ещё не раз всплывёт при выводе формул статистики и машинного обучения на протяжении всего курса.