Методы интегрирования 🧩

Представь, что у тебя в руках таблица из полутора десятков базовых интегралов — и больше ничего. Ты умеешь интегрировать $x^n$, $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\frac{1}{x}$ и ещё пару десятков стандартных выражений. А теперь тебе дают $\int x e^x\,dx$ или $\int \frac{1}{x^2-4}\,dx$. Ни одна строчка таблицы не подходит напрямую — и в этот момент становится ясно, что таблица интегралов — это алфавит, а не язык. Чтобы говорить на языке интегрирования, алфавита мало: нужна грамматика, то есть методы, которые превращают незнакомое выражение в знакомое.

Именно этим мы и займёмся в этом уроке. Ты освоишь два главных инструмента интегрирования — метод замены переменной (подстановки) и метод интегрирования по частям — а также узнаешь, как устроена идея разложения рациональных дробей на простейшие. Каждый из этих методов сам по себе не сложнее пары формул. Настоящая сложность и настоящее мастерство начинаются там, где нужно понять, какой метод применить к конкретному интегралу — а часто не один, а несколько методов подряд, один за другим, как звенья одной цепи.

Здесь важно сразу отказаться от иллюзии, что существует единый универсальный алгоритм для взятия любого интеграла. В отличие от дифференцирования, где есть чёткие правила на любую комбинацию функций, интегрирование — это в существенной степени искусство: одна и та же функция может поддаваться сразу нескольким методам, а другая — не поддаваться вообще ни одному элементарному приёму (существуют интегралы, которые доказуемо не выражаются через элементарные функции, например $\int e^{-x^2}dx$). Но для широкого класса функций, которые реально встречаются в приложениях, связка «замена переменной + интегрирование по частям + разложение рациональной дроби» решает почти всё.

И для тебя как будущего специалиста по машинному обучению это не абстрактная гимнастика. Интегрирование по частям — это буквально тот инструмент, которым выводится формула математического ожидания непрерывной случайной величины, дисперсии, моментов произвольного порядка, а также многие тождества в статистике и теории вероятностей. Замена переменной — это ровно тот механизм, который связывает плотность одной случайной величины с плотностью другой при монотонном преобразовании: когда ты строишь новую случайную величину как функцию от старой (скажем, логарифмируешь данные или берёшь их квадрат), именно замена переменной в интеграле говорит тебе, как при этом меняется плотность распределения. Освоив эти два метода по-настоящему, ты получаешь не просто «ещё один раздел матанализа», а рабочий инструмент, который будет всплывать в выводе формул на протяжении всего дальнейшего курса.

История: откуда это взялось?

Сама идея интегрирования как обратной операции к дифференцированию оформилась в конце XVII века усилиями Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница — но методы, которыми конкретные интегралы вычисляются на практике, разрабатывались далеко не сразу и далеко не одним человеком. Лейбниц, придумавший саму символику $\int \dots dx$, уже в своих ранних работах использовал приёмы, по сути эквивалентные замене переменной: он рассматривал дифференциал $dx$ как самостоятельный объект, которым можно оперировать алгебраически, заменяя одну переменную на другую внутри знака интеграла. Это была революционная по своей практичности идея — ведь именно она позволяет механически, «на автомате», преобразовывать сложные выражения в более простые.

Формула интегрирования по частям возникла как прямое следствие правила дифференцирования произведения, которое тоже принадлежит Лейбницу. Уже к началу XVIII века математики (в первую очередь Брук Тейлор и Иоганн Бернулли, тот самый, чьё имя незаслуженно стёрлось из названия правила Лопиталя из прошлого урока) систематически применяли этот приём для взятия интегралов от произведений функций — в частности, для интегралов вида $\int x^n e^x\,dx$ и $\int x^n \sin x\,dx$, которые то и дело возникали в задачах небесной механики и физики колебаний.

Что касается интегрирования рациональных дробей — метод разложения на простейшие дроби был разработан существенно позже, в основном усилиями Иоганна Бернулли и позднее формализован в работах Леонарда Эйлера в середине XVIII века. Эйлер, известный своей феноменальной систематичностью, довёл теорию рациональных функций до вида, практически не отличающегося от того, что изучают студенты сегодня: он показал, что любая правильная рациональная дробь раскладывается в сумму элементарных слагаемых, каждое из которых интегрируется по отдельной стандартной формуле. Это был важный концептуальный сдвиг — впервые появился целый класс функций (все рациональные дроби), для которого интегрирование гарантированно сводится к конечному алгоритму, а не к удаче или изобретательности.

Интересно, что вплоть до конца XIX века техника интегрирования оставалась во многом ремеслом, передающимся через сборники «взятых» интегралов и коллекции хитрых приёмов — университетские курсы того времени были буквально заполнены каталогами частных случаев. Только с систематизацией анализа в работах Коши, Римана и их последователей методы интегрирования приобрели тот стройный, почти алгоритмический вид, в котором они преподаются сегодня: не бесконечный список отдельных трюков, а три-четыре универсальные стратегии, которые в разных сочетаниях покрывают подавляющее большинство встречающихся на практике интегралов. Именно эта систематизация и легла в основу структуры сегодняшнего урока.

Метод замены переменной (подстановки)

Интуиция: смена «системы координат» внутри интеграла

Давай разберёмся, что вообще происходит, когда ты берёшь интеграл вроде $\int x \cos(x^2)\,dx$. Проблема в том, что подынтегральное выражение — это не просто косинус, а косинус от функции, «упакованный» внутри более сложной конструкции. Табличная формула $\int \cos u\,du = \sin u + C$ работает идеально просто, но только если переменная интегрирования и аргумент косинуса — это одна и та же буква. Здесь же аргумент косинуса — это $x^2$, а дифференциал — $dx$, а не $d(x^2)$.

Представь, что ты смотришь на выражение через «неправильные очки»: снаружи всё выглядит запутанно, потому что ты пытаешься описать движение в одной системе координат, хотя удобнее — в другой. Метод замены переменной — это буквально смена системы координат внутри интеграла: ты вводишь новую переменную $t$, которая «поглощает» сложную внутреннюю структуру, пересчитываешь дифференциал под новую переменную, берёшь интеграл в новых, простых терминах — а затем возвращаешься обратно, подставляя старую переменную вместо новой.

Ещё одна полезная аналогия: представь, что тебе нужно посчитать, сколько шагов пройдёт человек, если известна его скорость в милях в час, а ответ нужен в километрах. Можно героически пересчитывать каждую промежуточную величину в неудобных единицах — а можно один раз перевести всё в километры в начале задачи, решить её в удобной системе и, если нужно, перевести ответ обратно. Замена переменной делает ровно это с интегралом: она один раз меняет «единицы измерения» аргумента функции так, чтобы всё выражение стало по-настоящему простым, решает задачу в этих новых единицах, а затем при необходимости переводит ответ обратно в исходные координаты.

Определение и алгоритм

Теорема (замена переменной в неопределённом интеграле). Пусть функция $x=\varphi(t)$ дифференцируема и имеет непрерывную производную $\varphi'(t)$ на некотором промежутке, а функция $f$ непрерывна на множестве значений $\varphi$. Тогда

$$\int f(x)\,dx = \int f(\varphi(t))\,\varphi'(t)\,dt$$

Эквивалентная и чаще используемая на практике форма: если внутри интеграла удаётся выделить замену $t=\psi(x)$ так, что $dt=\psi'(x)\,dx$ и оставшаяся часть подынтегрального выражения в точности выражается через $t$ и $dt$, то

$$\int f(\psi(x))\,\psi'(x)\,dx = \int f(t)\,dt$$

На практике удобнее работать со вторым вариантом формулы — «замена изнутри». Вот пошаговый алгоритм, по которому стоит действовать:

1. Присмотрись к подынтегральному выражению и найди «внутреннюю» функцию — то, что стоит под корнем, в показателе степени, внутри тригонометрической или логарифмической функции.

2. Обозначь эту внутреннюю функцию как новую переменную: $t = \psi(x)$.

3. Продифференцируй обе части: найди $dt = \psi'(x)\,dx$, и выясни, есть ли в исходном выражении множитель, пропорциональный $\psi'(x)\,dx$ (если его нет в чистом виде, но есть с точностью до константы — это тоже подходит, константу можно вынести за знак интеграла).

4. Перепиши весь интеграл целиком в терминах $t$ — в подынтегральном выражении не должно остаться ни одной буквы $x$.

5. Возьми получившийся интеграл по таблице (или примени к нему ещё один метод, если он всё ещё не табличный).

6. Верни исходную переменную, подставив вместо $t$ выражение $\psi(x)$.

Разбор примеров

Пример 1 (лёгкий). Вычислить $\int (3x-2)^4\,dx$.

Внутренняя функция — линейное выражение $3x-2$. Обозначим $t=3x-2$, тогда $dt=3\,dx$, откуда $dx=\dfrac{dt}{3}$. Подставляем:

Возвращаемся к $x$: $t=3x-2$.

Ответ: $\dfrac{(3x-2)^5}{15}+C$.

Пример 2 (средний). Вычислить $\int x e^{-x^2}\,dx$.

Внутренняя функция — показатель степени $-x^2$. Обозначим $t=x^2$, тогда $dt=2x\,dx$, откуда $x\,dx=\dfrac{dt}{2}$ — и это ровно та комбинация, которая уже есть в интеграле (множитель $x\,dx$ стоит рядом с экспонентой).

Ответ: $-\dfrac12 e^{-x^2}+C$.

Пример 3 (сложный, тригонометрическая подстановка). Вычислить $\int \sqrt{1-x^2}\,dx$.

Здесь внутренней функции в явном виде нет — но есть характерная структура $\sqrt{a^2-x^2}$, для которой стандартный приём — тригонометрическая подстановка $x=\sin t$, $dx=\cos t\,dt$, при которой $\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-\sin^2t}=\cos t$ (для $t\in[-\frac\pi2,\frac\pi2]$, где косинус неотрицателен):

Возвращаемся к $x$: $t=\arcsin x$, а $\sin2t = 2\sin t\cos t = 2x\sqrt{1-x^2}$, значит $\dfrac{\sin2t}{4}=\dfrac{x\sqrt{1-x^2}}{2}$.

Ответ: $\dfrac12\arcsin x + \dfrac{x\sqrt{1-x^2}}{2}+C$. Обрати внимание: здесь замена переменной не убирает сложность полностью, а превращает один трудный интеграл (с корнем) в другой, но уже знакомый — тригонометрический, — который берётся по формуле понижения степени.

Почему это важно

Замена переменной — это не просто технический трюк для упрощения записи. В теории вероятностей она напрямую отвечает на вопрос: если известна плотность случайной величины $X$, как найти плотность величины $Y=g(X)$, построенной как монотонное преобразование от $X$? Условие нормировки $\int f_X(x)\,dx=1$ должно сохраняться и для $Y$: $\int f_Y(y)\,dy=1$. Формальная замена переменной $y=g(x)$ внутри этого интеграла — с пересчётом $dx$ через $dy$ и с учётом обратной функции $x=g^{-1}(y)$ — и даёт формулу перехода между плотностями $f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y))\cdot\left|\dfrac{d}{dy}g^{-1}(y)\right|$. Это ровно та же самая механика, что ты только что применял в примерах выше, просто записанная в терминах теории вероятностей, а не голой алгебры.

На практике ты столкнёшься с этим буквально на первых же шагах работы с данными: логарифмическое преобразование признаков, часто применяемое к сильно скошенным распределениям (например, к доходам или ценам), — это ровно такая замена переменной $y=\ln x$, и чтобы понять, как логарифмирование меняет форму распределения (сглаживает длинный правый хвост, делает распределение ближе к нормальному), нужно применить ту же самую формулу перехода между плотностями. То же самое происходит при любом масштабировании или нормализации признаков перед обучением модели: каждое такое преобразование данных незаметно тянет за собой пересчёт плотности по формуле замены переменной, даже если сам термин «интеграл» в практике специалиста по данным ни разу явно не всплывает.

Метод интегрирования по частям

Интуиция: перекладываем сложность с одного множителя на другой

Теперь представь другую ситуацию: подынтегральное выражение — это произведение двух совершенно разнородных функций, например $x$ и $e^x$, или $\ln x$ и $x$. Ни замена переменной, ни табличная формула тут напрямую не работают — не существует такой внутренней структуры «функция от функции», которую можно поймать одной подстановкой.

Представь ремонтную бригаду из двух человек, которым нужно вместе переставить тяжёлый шкаф. В одиночку ни один из них не справится, но если один слегка приподнимет свой край, а второй в этот момент подтолкнёт основание, задача решается совместными, скоординированными усилиями — причём роли у них принципиально разные: один создаёт движение, другой удерживает опору. Интегрирование по частям работает примерно так же: ты не пытаешься интегрировать всё произведение целиком за один шаг, а распределяешь работу между двумя сомножителями — одному поручаешь «упроститься» через дифференцирование, а другому поручаешь «сдвинуться» через интегрирование, и в сумме это даёт результат, недостижимый для каждого из них по отдельности.

Давай разберёмся, откуда берётся выход из этой ситуации. Вспомни правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$, или в дифференциалах — $d(uv) = v\,du + u\,dv$. Если это равенство проинтегрировать целиком, слева получится просто $uv$ (интеграл от дифференциала — это сама функция), а справа — сумма двух интегралов:

Отсюда одним движением получается формула интегрирования по частям — и смысл её ровно такой, как в названии интуиции: она не решает интеграл целиком за один шаг, а перекладывает сложность с одного сомножителя на другой, надеясь, что получившийся новый интеграл окажется проще исходного.

Формула и правило ЛИАТЭ

Формула интегрирования по частям.

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

где $u=u(x)$ — функция, которую удобно продифференцировать, а $dv$ — та часть подынтегрального выражения (вместе с $dx$), которую удобно проинтегрировать, чтобы найти $v$.

Главный практический вопрос — как разбить произведение на $u$ и $dv$, чтобы новый интеграл $\int v\,du$ действительно оказался проще исходного, а не сложнее. Здесь помогает мнемоническое правило ЛИАТЭ — список классов функций в порядке убывания приоритета при выборе $u$:

• Л — логарифмические функции ($\ln x$, $\log_a x$);

• И — обратные тригонометрические функции ($\arcsin x$, $\arccos x$, $\arctan x$);

• А — алгебраические функции (многочлены, степенные выражения $x^n$);

• Т — тригонометрические функции ($\sin x$, $\cos x$, $\tan x$);

• Э — экспоненциальные функции ($e^x$, $a^x$).

Логика проста: чем выше функция стоит в этом списке, тем сильнее она «упрощается» при дифференцировании (логарифм превращается в простую дробь, обратный арктангенс — тоже в дробь, многочлен понижает степень), и тем меньше проблем возникает при её интегрировании, если она осталась внутри $dv$ (тригонометрические и экспоненциальные функции интегрируются и дифференцируются одинаково легко, поэтому им «безопаснее» достаться роль $dv$). Тот сомножитель, который стоит раньше в списке ЛИАТЭ, обычно и берут как $u$; всё остальное (вместе с $dx$) идёт в $dv$.

Разбор примеров

Пример 1 (лёгкий). Вычислить $\int x e^x\,dx$.

По ЛИАТЭ: алгебраическая функция $x$ стоит раньше экспоненты, значит $u=x$, $dv=e^x\,dx$. Отсюда $du=dx$, $v=e^x$.

Ответ: $e^x(x-1)+C$.

Пример 2 (средний). Вычислить $\int x \ln x\,dx$.

По ЛИАТЭ: логарифм стоит раньше алгебраической функции, значит $u=\ln x$, $dv=x\,dx$. Отсюда $du=\dfrac{dx}{x}$, $v=\dfrac{x^2}{2}$.

Ответ: $\dfrac{x^2}{2}\ln x - \dfrac{x^2}{4}+C$.

Пример 3 (сложный, циклический случай). Вычислить $\int e^x\cos x\,dx$.

Здесь ни экспонента, ни косинус не упрощаются при дифференцировании или интегрировании — оба класса стоят в самом конце ЛИАТЭ и равноправны между собой. Применим формулу дважды подряд и посмотрим, что получится. Обозначим искомый интеграл $I$ и возьмём $u=\cos x$, $dv=e^x\,dx$ (то есть $du=-\sin x\,dx$, $v=e^x$):

К новому интегралу $\int e^x\sin x\,dx$ снова применяем интегрирование по частям, взяв $u=\sin x$, $dv=e^x\,dx$ ($du=\cos x\,dx$, $v=e^x$):

Подставляем это обратно в первое равенство — и получаем уравнение относительно самого $I$:

Ответ: $I = \dfrac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}+C$. Это классический пример циклического интеграла: после двух применений формулы исходный интеграл появляется снова, но с другим знаком — и вместо того чтобы «зацикливаться» бесконечно, нужно распознать этот момент и решить получившееся алгебраическое уравнение относительно $I$.

Почему это важно

Интегрирование по частям — это буквально тот инструмент, которым в теории вероятностей выводится формула математического ожидания непрерывной случайной величины. Если $X$ — неотрицательная случайная величина с плотностью $f(x)$, то по определению $E[X]=\int_0^\infty x f(x)\,dx$ — и это в точности интеграл вида «алгебраическая функция $x$, умноженная на что-то ещё», который почти всегда берётся именно по частям с $u=x$. Ты убедишься в этом на практике чуть ниже, когда будешь выводить математическое ожидание показательного распределения — а тот же самый приём с незначительными модификациями даёт формулы для дисперсии, для моментов произвольного порядка и для математического ожидания функции от случайной величины.

То же самое построение всплывает и в вычислении дисперсии: $\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-(E[X])^2$, а $E[X^2]=\int_0^\infty x^2 f(x)\,dx$ — это интеграл, который берётся по частям дважды подряд, точно так же, как ты сейчас брал $\int x^2 e^x\,dx$ в разделе с практикой. А если заглянуть чуть дальше вперёд, то и производящая функция моментов случайной величины, и её характеристическая функция определяются как интегралы вида $\int e^{tx}f(x)\,dx$ — и при их дифференцировании по параметру $t$ раз за разом всплывает ровно та же самая связка «алгебраический множитель на экспоненту», которую интегрирование по частям укрощает без каких-либо новых идей.

Интегрирование рациональных дробей: основная идея

Интуиция: разбор дроби на «атомы»

Давай разберёмся с третьим типом задач — интегралами вида $\int \dfrac{P(x)}{Q(x)}\,dx$, где $P$ и $Q$ — многочлены. Такая дробь называется рациональной, и напрямую она почти никогда не берётся ни заменой, ни по частям. Но у рациональных дробей есть одно замечательное свойство: любую из них можно разложить в сумму нескольких «элементарных» слагаемых — простейших дробей, — каждое из которых интегрируется по одной из всего трёх-четырёх стандартных формул.

Это похоже на разложение молекулы на атомы: молекула может быть сколь угодно сложной, но она всегда состоит из ограниченного набора элементарных «кирпичиков», и если ты знаешь, как обращаться с каждым кирпичиком в отдельности, ты можешь разобрать любую молекулу.

Схема разложения на простейшие дроби

Идея разложения на простейшие дроби. Пусть $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ — правильная рациональная дробь (степень $P$ строго меньше степени $Q$; если это не так, сначала нужно разделить многочлены столбиком и выделить целую часть). Тогда:

1. Разложи знаменатель $Q(x)$ на множители — линейные $(x-a)$ и, возможно, неразложимые дальше квадратичные $(x^2+px+q)$ с отрицательным дискриминантом.

2. Каждому линейному множителю $(x-a)$ в степени $k$ сопоставь сумму слагаемых $\dfrac{A_1}{x-a}+\dfrac{A_2}{(x-a)^2}+\dots+\dfrac{A_k}{(x-a)^k}$.

3. Каждому неразложимому квадратичному множителю $(x^2+px+q)$ сопоставь слагаемое вида $\dfrac{Mx+N}{x^2+px+q}$.

4. Найди неизвестные коэффициенты $A_i$, $M$, $N$, приведя всё к общему знаменателю и сравнив числители (методом неопределённых коэффициентов или подстановкой удобных значений $x$).

5. Проинтегрируй каждое слагаемое по отдельности: $\displaystyle\int\frac{A}{x-a}\,dx=A\ln|x-a|+C$, $\displaystyle\int\frac{A}{(x-a)^k}\,dx=\frac{A}{(1-k)(x-a)^{k-1}}+C$ при $k>1$, а слагаемые с квадратичным знаменателем сводятся к логарифму и арктангенсу через дополнение до полного квадрата.

Разбор примеров

Пример 1 (лёгкий). Вычислить $\int \dfrac{1}{x^2-4}\,dx$.

Раскладываем знаменатель: $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Ищем разложение $\dfrac{1}{(x-2)(x+2)}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x+2}$. Приводя к общему знаменателю: $1=A(x+2)+B(x-2)$.

При $x=2$: $1=4A\Rightarrow A=\frac14$. При $x=-2$: $1=-4B\Rightarrow B=-\frac14$.

Ответ: $\dfrac14\ln\left|\dfrac{x-2}{x+2}\right|+C$.

Пример 2 (средний, кратный корень). Вычислить $\int \dfrac{x}{(x-1)^2}\,dx$.

Здесь удобнее не разложение через два отдельных коэффициента, а алгебраический приём: представь числитель как $x=(x-1)+1$:

Ответ: $\ln|x-1|-\dfrac{1}{x-1}+C$.

Пример 3 (сложный, неправильная дробь с квадратичным множителем). Вычислить $\int \dfrac{x^3}{x^2+1}\,dx$.

Дробь неправильная (степень числителя больше степени знаменателя), поэтому сначала делим: $x^3 = x(x^2+1) - x$, значит $\dfrac{x^3}{x^2+1}=x-\dfrac{x}{x^2+1}$.

(второй интеграл берётся заменой $t=x^2+1$, как в примере из раздела про замену переменной).

Ответ: $\dfrac{x^2}{2}-\dfrac12\ln(x^2+1)+C$.

Почему это важно

Разложение на простейшие дроби превращает интегрирование рациональных функций из искусства в чистый алгоритм: любая рациональная дробь интегрируется всегда, без исключений, и весь вопрос сводится к аккуратной алгебре — делению многочленов и решению линейной системы для коэффициентов. Это принципиально отличает рациональные функции от произвольных: для них не бывает интеграла, который «не берётся в элементарных функциях», — а значит, если ты умеешь раскладывать дробь на простейшие, ты гарантированно доведёшь любой такой интеграл до ответа.

Эта же техника разложения на элементарные слагаемые используется далеко за пределами интегрирования: при работе с передаточными функциями в теории управления, при анализе устойчивости линейных систем и при обратном преобразовании Лапласа рациональная функция раскладывается на те же самые простейшие дроби — только результат интерпретируется не как первообразная, а как сумма затухающих или колебательных компонент сигнала. Понимание идеи «разложить сложную дробь на сумму простых» окупается далеко за пределами одного этого урока.

Комбинирование методов на составных примерах

Интуиция: методы — это инструменты в одном ящике, а не альтернативы друг другу

До сих пор каждый метод разбирался в изоляции — но на практике интегралы редко «представляются» заранее, каким методом их нужно решать. Чаще всего правильный путь — это цепочка: сначала одна замена, потом интегрирование по частям, потом снова замена или разложение на простейшие дроби. Давай разберёмся на нескольких составных примерах, как эти инструменты сочетаются друг с другом.

Полезно воспринимать три изученных метода не как три отдельных рецепта, которые нужно угадывать по внешнему виду задачи, а как три инструмента в одном ящике — отвёртку, плоскогубцы и молоток, — каждый из которых хорош для своей операции, но настоящий ремонт почти всегда требует нескольких инструментов подряд. Замена переменной убирает «вложенность» выражения, интегрирование по частям расщепляет произведение разнородных функций, а разложение на простейшие дроби разбирает рациональную функцию на элементарные слагаемые. Задача на этом этапе — не запомнить готовый список «какой интеграл каким методом решать», а натренировать глаз узнавать в незнакомом выражении один из этих трёх типов сложности.

Разбор примеров

Пример 1 (лёгкий, замена + по частям). Вычислить $\int e^{\sqrt x}\,dx$.

Прямого пути нет — корень внутри экспоненты мешает и таблице, и прямому интегрированию по частям. Сначала избавляемся от корня заменой $t=\sqrt x$, откуда $x=t^2$, $dx=2t\,dt$:

Теперь это ровно интеграл вида «алгебраическая функция на экспоненту» из предыдущего раздела — берём по частям с $u=t$, $dv=e^t\,dt$:

Возвращаемся к $x$: $t=\sqrt x$.

Ответ: $2e^{\sqrt x}(\sqrt x-1)+C$.

Пример 2 (средний, по частям + рациональная дробь). Вычислить $\int \ln(x^2+1)\,dx$.

По ЛИАТЭ логарифм — единственный «неалгебраический» множитель здесь, берём $u=\ln(x^2+1)$, $dv=dx$: отсюда $du=\dfrac{2x}{x^2+1}\,dx$, $v=x$.

Новый интеграл — рациональная неправильная дробь. Делим: $2x^2=2(x^2+1)-2$, значит $\dfrac{2x^2}{x^2+1}=2-\dfrac{2}{x^2+1}$:

Ответ: $x\ln(x^2+1) - 2x + 2\arctan x + C$. Обрати внимание на всю цепочку: интегрирование по частям превратило логарифм в рациональную дробь, а дальше в дело вступил приём деления многочленов и табличный интеграл для арктангенса.

Пример 3 (сложный, машинное обучение — замена + по частям для несобственного интеграла). Найти математическое ожидание показательного распределения с параметром $\lambda>0$, то есть вычислить $\displaystyle E[X]=\int_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x}\,dx$.

Берём по частям с $u=x$, $dv=\lambda e^{-\lambda x}\,dx$: отсюда $du=dx$, а $v=-e^{-\lambda x}$ (первообразная $\lambda e^{-\lambda x}$).

Первое слагаемое: при $x=0$ равно нулю; при $x\to\infty$ произведение $xe^{-\lambda x}\to0$, потому что экспонента убывает быстрее, чем растёт любая степень $x$ (тот самый факт, который ты уже строго доказывал через правило Лопиталя в предыдущем уроке). Второе слагаемое — табличный интеграл:

Ответ: $E[X]=\dfrac1\lambda$ — стандартный результат теории вероятностей, и ты только что вывел его не по памяти, а честной выкладкой, объединив интегрирование по частям и предельный переход через асимптотику экспоненты.

Почему это важно

Умение комбинировать методы — это ровно то отличие, которое разделяет «я знаю формулу для по частям и формулу для замены» от «я умею брать интегралы». На практике почти ни один содержательный интеграл — будь то в учебнике, будь то при выводе формулы в статье по машинному обучению — не решается одним изолированным приёмом. Нужно распознать, какой инструмент упрощает выражение прямо сейчас, применить его, посмотреть на получившийся новый интеграл — и повторить процесс, пока не дойдёшь до таблицы.

Практика: 30 заданий

Базовые задания (1–10)

Задание 1: Вычислить $\int (3x-2)^4\,dx$.

Задание 2: Вычислить $\int x\cos(x^2)\,dx$.

Задание 3: Вычислить $\int x e^{-x}\,dx$.

Задание 4: Вычислить $\int \ln x\,dx$.

Задание 5: Вычислить $\int x\sin x\,dx$.

Задание 6: Вычислить $\int \dfrac{1}{x^2-4}\,dx$.

Задание 7: Вычислить $\int e^{2x+1}\,dx$.

Задание 8: Вычислить $\int \dfrac{x}{x^2+1}\,dx$.

Задание 9: Вычислить $\int \arctan x\,dx$.

Задание 10: Вычислить $\int \dfrac{1}{x(x+1)}\,dx$.

Средние задания (11–20)

Задание 11: Вычислить $\int x^2 e^x\,dx$.

Задание 12: Вычислить $\int x^2\ln x\,dx$.

Задание 13: Вычислить $\int e^x\cos x\,dx$.

Задание 14: Вычислить $\int \tan x\,dx$.

Задание 15: Вычислить $\int \dfrac{x}{(x-1)^2}\,dx$.

Задание 16: Вычислить $\int \arcsin x\,dx$.

Задание 17: Вычислить $\int \dfrac{x^3}{x^2+1}\,dx$.

Задание 18 (машинное обучение): Вычислить $\displaystyle\int_0^\infty x e^{-x}\,dx$ — математическое ожидание показательного распределения с параметром $\lambda=1$.

Задание 19: Вычислить $\int \sqrt{1-x^2}\,dx$.

Задание 20: Вычислить $\int \dfrac{x+2}{x^2+4x+5}\,dx$.

Продвинутые задания (21–30)

Задание 21: Вычислить $\int x^2\sin x\,dx$.

Задание 22: Вычислить $\int e^{2x}\sin 3x\,dx$.

Задание 23: Вычислить $\int \dfrac{dx}{x^2(x+1)}$.

Задание 24: Вычислить $\int \ln(x^2+1)\,dx$.

Задание 25: Вычислить $\int e^{\sqrt x}\,dx$.

Задание 26 (машинное обучение): Вывести общую формулу математического ожидания показательного распределения с произвольным параметром $\lambda>0$: $\displaystyle E[X]=\int_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x}\,dx$.

Задание 27: Вычислить $\int x\arctan x\,dx$.

Задание 28: Вычислить $\displaystyle\int \frac{2x^3+3x^2-1}{x^2-1}\,dx$.

Задание 29 (машинное обучение): Случайная величина $X$ имеет показательное распределение с плотностью $f_X(x)=e^{-x}$ на $[0,\infty)$. Пусть $Y=X^2$. Методом замены переменной в интеграле $\int f_X(x)\,dx=\int f_Y(y)\,dy$ найти плотность $f_Y(y)$ и проверить условие нормировки.

Задание 30: Вычислить $\int \sin(\ln x)\,dx$.

Частые ошибки

Разберём типичные ошибки, которые встречаются почти у каждого, кто только осваивает эти методы.

• Неправильный выбор $u$ и $dv$ при интегрировании по частям. Самая распространённая ошибка — взять $u$ и $dv$ «наугад», не сверившись с ЛИАТЭ, из-за чего новый интеграл $\int v\,du$ оказывается сложнее исходного, а не проще. Например, в интеграле $\int x e^x\,dx$ взять $u=e^x$, $dv=x\,dx$ технически не запрещено, но приводит к интегралу $\int \frac{x^2}{2}e^x\,dx$, который сложнее исходного, а не проще, — правило ЛИАТЭ существует именно для того, чтобы такого не происходило.

• Забыть про константу $C$ после взятия неопределённого интеграла, особенно в многошаговых выкладках, где промежуточные результаты кажутся «уже готовым ответом».

• Потерять знак или множитель при замене переменной. Особенно часто это происходит с заменами вида $t=\cos x$ (где $dt=-\sin x\,dx$, минус легко забыть) или при делении на константу, стоящую перед дифференциалом.

• Применить правило Лопиталя вместо аккуратного предельного перехода на границе интегрирования — либо, наоборот, не заметить, что предел вида $xe^{-\lambda x}\to0$ при $x\to\infty$ нужно обосновать, а не считать «очевидным».

• Не проверить, сохраняется ли неопределённость на каждом шаге циклического интеграла. В примерах вида $\int e^x\cos x\,dx$ легко потерять знак при повторном применении формулы по частям — и вместо алгебраического уравнения на $I$ получить неверное тождество $I=I$, которое ничего не даёт.

• Забыть выделить целую часть у неправильной рациональной дроби перед разложением на простейшие — попытка сразу раскладывать дробь вида $\dfrac{x^3}{x^2+1}$ на $\dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{x^2+1}$ без предварительного деления столбиком даёт неверный результат, потому что метод неопределённых коэффициентов применим только к правильным дробям.

• Спутать неразложимый квадратичный множитель с произведением линейных. Знаменатель $x^2+1$ не раскладывается на действительные линейные множители (дискриминант отрицателен), и попытка искать разложение вида $\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}$ для такого знаменателя обречена на провал — нужно оставлять его целиком и использовать слагаемое вида $\dfrac{Mx+N}{x^2+1}$.

• Остановиться слишком рано в многошаговом примере. Взяв интеграл по частям один раз и получив внутри новый, всё ещё не табличный интеграл, легко машинально записать его как «промежуточный ответ» и забыть довести решение до конца — особенно в задачах вида $\int x^2 e^x\,dx$, где по частям нужно пройти дважды подряд, а не один раз.

• Не проверить итоговый ответ дифференцированием. Даже опытный человек время от времени допускает арифметическую ошибку в коэффициенте или знаке; продифференцировать полученную первообразную и сверить с исходным подынтегральным выражением занимает меньше минуты, но полностью исключает риск сдать неверный ответ.

Главное запомнить

• Метод замены переменной работает, когда внутри интеграла есть «составная» структура — функция от функции, — и удаётся выделить множитель, пропорциональный производной внутренней функции.

• Алгоритм замены: выбери $t=\psi(x)$, найди $dt=\psi'(x)\,dx$, перепиши весь интеграл в терминах $t$ без единой буквы $x$, возьми интеграл по таблице, верни исходную переменную.

• Формула интегрирования по частям $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ выводится напрямую из правила дифференцирования произведения $d(uv)=u\,dv+v\,du$.

• Правило ЛИАТЭ (логарифмические, обратные тригонометрические, алгебраические, тригонометрические, экспоненциальные) подсказывает, какой из двух сомножителей брать как $u$: чем раньше функция стоит в этом списке, тем чаще она должна быть $u$.

• Циклические интегралы (вроде $\int e^x\cos x\,dx$) требуют двойного применения формулы по частям и решения алгебраического уравнения относительно самого интеграла — не пытайся применять формулу бесконечно.

• Любая правильная рациональная дробь раскладывается в сумму простейших дробей вида $\dfrac{A}{(x-a)^k}$ и $\dfrac{Mx+N}{x^2+px+q}$, каждая из которых интегрируется по стандартной формуле.

• Неправильную рациональную дробь (степень числителя не меньше степени знаменателя) сначала нужно поделить столбиком, выделив целую часть, и только потом раскладывать остаток на простейшие дроби.

• На практике интегралы почти всегда решаются комбинацией методов — замена может привести к интегралу, который берётся по частям, а интегрирование по частям может привести к рациональной дроби.

• Интегрирование по частям — прямой инструмент вывода формулы математического ожидания $E[X]=\int xf(x)\,dx$ и других моментов случайной величины.

• Замена переменной в интеграле — это тот же самый механизм, который лежит в основе формулы перехода между плотностями случайных величин при монотонном преобразовании.

Связь с другими темами курса

Эта тема опирается на всё, что ты изучил в уроке про неопределённый интеграл и продвинутые техники, и служит прямым мостом к определённому интегралу — там те же методы (замена переменной, интегрирование по частям) применяются с пересчётом пределов интегрирования, что часто ещё удобнее, чем возврат к исходной переменной. Асимптотика экспоненты, которую ты использовал в задачах на математическое ожидание ($xe^{-\lambda x}\to0$ при $x\to\infty$), — это прямое следствие правила Лопиталя из предыдущего урока, а сама идея «превратить незнакомое выражение в комбинацию знакомых» перекликается с общим духом всего дифференциального и интегрального исчисления, где сложные объекты почти всегда раскладываются на более простые составляющие. В дальнейшем курсе теории вероятностей формулы математического ожидания, дисперсии и моментов случайных величин будут выводиться именно теми приёмами, которые ты только что освоил.

Есть и обратная связь с уроком про производную сложной функции: замена переменной — это, по сути, цепное правило, применённое в обратную сторону. Там, где производная сложной функции умножает производную внешней функции на производную внутренней, замена переменной в интеграле распознаёт такое произведение внутри подынтегрального выражения и «сворачивает» его обратно в один простой интеграл. Именно поэтому люди, уверенно владеющие дифференцированием сложных функций, обычно быстрее осваивают и замену переменной — это две стороны одной и той же операции, только смотрящие в противоположные стороны.

Интересные факты

• В зарубежной математической традиции существует мнемоническое правило-аналог для выбора $u$ и $dv$, построенное на том же самом порядке приоритетов, что и ЛИАТЭ, — это говорит о том, насколько естественным и неслучайным оказывается именно такое упорядочивание классов функций.

• Не каждая элементарная функция имеет первообразную, выражающуюся через элементарные функции — классический пример $\int e^{-x^2}\,dx$ (без пределов интегрирования) не берётся никаким комбинированием методов из этого урока, и это строго доказанный факт (теорема Лиувилля), а не следствие недостатка изобретательности.

• Разложение рациональных дробей на простейшие — не только инструмент интегрирования: та же самая техника используется в обратном преобразовании Лапласа, которое повсеместно применяется в теории управления и обработке сигналов, а инженеры обращаются к ней ежедневно, зачастую вообще не осознавая, что решают ту же самую алгебраическую задачу, что и студент на первом курсе матанализа.

• Циклические интегралы вида $\int e^{ax}\sin(bx)\,dx$ и $\int e^{ax}\cos(bx)\,dx$ имеют компактные замкнутые формулы именно потому, что производная экспоненты снова экспонента, а вторая производная синуса и косинуса снова даёт (с точностью до знака) исходную функцию — это частный случай общей теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

• У метода интегрирования по частям есть дискретный «близнец» — формула суммирования по частям (иногда называемая преобразованием Абеля), которая играет ту же роль для сумм рядов, что и интегрирование по частям для интегралов: сложность переносится с одной последовательности на другую. Эта дискретная версия регулярно применяется при анализе сходимости рядов и при выводе оценок в численных методах.

Лайфхаки и полезные трюки

• Прежде чем выбирать метод, всегда задавай себе один вопрос: «Есть ли здесь составная структура — функция от функции?» Если да, начинай с замены переменной; если подынтегральное выражение — произведение двух разнородных функций, начинай с интегрирования по частям.

• Для быстрой проверки правильности разложения на простейшие дроби подставляй в равенство числителей самые «удобные» значения $x$ — корни знаменателя, — они мгновенно обнуляют почти все слагаемые и дают коэффициенты без решения системы.

• Если после интегрирования по частям новый интеграл выглядит не проще, а сложнее исходного — это почти всегда сигнал, что $u$ и $dv$ выбраны неверно; попробуй поменять их местами.

• В циклических интегралах вида $\int e^{ax}\sin(bx)\,dx$ не нужно каждый раз выводить формулу заново — держи в голове общий результат $\dfrac{e^{ax}(a\sin bx-b\cos bx)}{a^2+b^2}+C$ (и аналогичный с косинусом) как готовый шаблон, а полный вывод оставляй для проверки.

• Любой результат интегрирования легко проверить дифференцированием: продифференцируй полученный ответ и убедись, что получаешь исходное подынтегральное выражение — это самый надёжный способ поймать ошибку в знаке или коэффициенте.

• Если дробь под интегралом неправильная (степень числителя не меньше степени знаменателя), не пытайся сразу раскладывать её на простейшие — сначала обязательно раздели многочлены столбиком, иначе метод неопределённых коэффициентов даст неверный результат.

• Заведи привычку явно проговаривать себе, какой класс сложности перед тобой, прежде чем хвататься за карандаш: «составная функция» — замена, «произведение разнородных функций» — по частям, «дробь двух многочленов» — разложение на простейшие. Такая короткая пауза перед началом решения экономит куда больше времени, чем уходит на неё саму, потому что избавляет от блуждания между методами вслепую.

• Держи под рукой небольшой личный список уже решённых «опорных» интегралов (вроде $\int xe^x\,dx$, $\int \frac{dx}{x^2+1}$, $\int e^x\cos x\,dx$) — очень многие новые интегралы после одной замены или одного шага по частям сводятся именно к одному из уже знакомых тебе опорных случаев, и тогда не нужно решать задачу с нуля.

Освоив замену переменной, интегрирование по частям и разложение рациональных дробей, ты закрываешь для себя абсолютное большинство интегралов, которые встретятся в дальнейшем курсе — и в теории вероятностей, и в статистике, и при выводе формул для функций потерь и метрик в машинном обучении. Попробуй теперь взять несколько интегралов из практики выше без подсказки: закрой решение, реши сам, а потом сверься — именно так эти методы переходят из разряда «я это видел в учебнике» в разряд «я умею это делать».