Неопределённый интеграл (углубление) ∫

Представь, что ты знаешь не саму функцию, а только её мгновенную скорость изменения — производную. Например, тебе известно, что скорость машины в каждый момент времени равна $v(t) = 3t^2$, и нужно восстановить, какой путь она проехала. Или другая, куда более важная для тебя ситуация: тебе известна плотность вероятности случайной величины — функция, которая показывает, насколько «густо» распределены значения около каждой точки, — и нужно узнать вероятность того, что величина попадёт в конкретный промежуток. В обоих случаях тебе нужна операция, обратная дифференцированию: по производной восстановить исходную функцию. Именно эта операция и называется интегрированием, а её результат — неопределённым интегралом.

В школе ты уже встречал первообразные и знал несколько табличных формул. Здесь мы поднимаем эту тему на университетский уровень: разбираемся, почему первообразных у одной функции бесконечно много (и все они отличаются друг от друга ровно на постоянное число), расширяем таблицу интегралов формулами с арктангенсом и арксинусом, формально доказываем линейность интеграла и учимся видеть в сложных на первый взгляд выражениях скрытую производную — то есть овладеваем методом подведения под знак дифференциала на примерах, которые заметно сложнее школьных.

Именно эта тема — тот самый мост, который соединяет матанализ с теорией вероятностей и с машинным обучением. Плотность вероятности непрерывной случайной величины — это производная функции распределения, а значит функция распределения — это первообразная плотности. Хочешь узнать вероятность того, что нормально распределённая величина попадёт в интервал $[a, b]$? Тебе нужен интеграл от плотности гауссовского распределения по этому интервалу. Хочешь найти параметры модели методом максимального правдоподобия и понять, как логарифм правдоподобия устроен как функция параметра, зная только его производную (то, что в статистике называют вкладом наблюдения в правдоподобие)? Тебе снова нужно интегрирование — восстановление функции по известной производной. Без уверенного владения неопределённым интегралом эти вычисления остаются чёрным ящиком; с ним — становятся прозрачной техникой.

Давай разберёмся, как устроена эта операция изнутри, а не просто выучим ещё десяток формул наизусть.

История: откуда это взялось?

Символ $\int$, который ты видишь в каждой формуле этого урока, придумал Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1675 году. Это вытянутая по вертикали латинская буква S — сокращение от слова «Summa» (сумма). Идея такая: интеграл — это предел суммы бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых, например, площадей узких вертикальных полосок под графиком функции. Лейбниц хотел, чтобы сама запись напоминала об этом суммировании, и вытянутая буква S справилась с этой задачей настолько удачно, что обозначение дожило до наших дней практически без изменений — вместе с символом $dx$, тоже придуманным Лейбницем для обозначения бесконечно малого приращения переменной.

Параллельно и независимо от Лейбница похожую теорию развивал Исаак Ньютон, называвший производные «флюксиями», а сами функции — «флюентами». Ньютон использовал совершенно другую систему обозначений — точки над буквами вместо привычных штрихов и дробей, — и его подход к интегрированию был сформулирован скорее как обращение операции нахождения флюксии, без акцента на суммировании площадей. Между двумя учёными и их сторонниками на рубеже XVII–XVIII веков разгорелся долгий и довольно неприятный спор о приоритете — кто первым открыл анализ бесконечно малых. Сегодня историки математики сходятся в том, что открытия были сделаны независимо друг от друга примерно в одно и то же время, но конкретно нотация интеграла и производной, которой ты пользуешься сегодня — $\int f(x)\,dx$ и $\dfrac{dy}{dx}$, — досталась миру именно от Лейбница: она оказалась настолько удобной и расширяемой, что вытеснила ньютоновскую систему обозначений даже в англоязычных странах, где долгое время из патриотических соображений предпочитали именно ньютоновский подход.

Сама идея «искать функцию по известной скорости её изменения» гораздо старше XVII века — ей занимались ещё математики Древней Греции при вычислении площадей и объёмов методом исчерпывания, а в Средние века — индийские и персидские учёные. Но именно Ньютон и Лейбниц впервые связали задачу нахождения площади под кривой (интегрирование) с задачей нахождения касательной к кривой (дифференцирование) в единую теорему — ту самую основную теорему анализа, которая и превратила интегрирование из набора разрозненных геометрических трюков в универсальный, систематический вычислительный метод.

Первообразная и множество первообразных

Интуиция: восстановить путь по скорости

Начнём с самого базового вопроса. Пусть тебе известна функция $f(x)$, и ты хочешь найти такую функцию $F(x)$, производная которой в точности равна $f(x)$. Представь одометр и спидометр автомобиля: спидометр в каждый момент показывает мгновенную скорость $v(t)$ — это производная пройденного пути $s(t)$ по времени. Если тебе известны только показания спидометра на всём пути и нужно восстановить показания одометра, ты решаешь ровно ту же задачу, что стоит перед нами в этом разделе: найти функцию по её известной производной.

Здесь сразу возникает важная тонкость. Если ты знаешь только скорость, то восстановить путь однозначно нельзя — можно восстановить только приращение пути, а начальную точку одометра (сколько он показывал в момент старта) скорость тебе никак не сообщает. Машина могла выехать с показанием одометра $0$, а могла — с показанием $500$: скорость в обоих случаях будет одна и та же функция времени. Отсюда и вытекает главная идея этого раздела: функций с одной и той же производной бесконечно много, и все они отличаются друг от друга ровно на постоянное слагаемое.

Определение. Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на промежутке $I$, если для любого $x \in I$ выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

Теорема о множестве первообразных. Если $F(x)$ — какая-нибудь первообразная функции $f(x)$ на промежутке $I$, то любая другая первообразная $\Phi(x)$ той же функции на том же промежутке имеет вид $\Phi(x) = F(x) + C$, где $C$ — некоторая постоянная. И наоборот, для любого числа $C$ функция $F(x)+C$ тоже является первообразной для $f(x)$.

Доказательство этой теоремы короткое и опирается на результат, который ты уже видел раньше в курсе. Рассмотрим разность $\Phi(x) - F(x)$. Её производная равна $\Phi'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0$ в каждой точке промежутка $I$. А функция, производная которой тождественно равна нулю на промежутке, обязана быть постоянной на этом промежутке — это прямое следствие теоремы Лагранжа о среднем значении: для любых двух точек $x_1, x_2 \in I$ найдётся точка $c$ между ними, для которой $\Phi(x_2)-F(x_2) - \bigl(\Phi(x_1)-F(x_1)\bigr) = 0 \cdot (x_2-x_1) = 0$, а значит значение разности одно и то же в любых двух точках. Отсюда $\Phi(x) - F(x) = C$ — константа, и теорема доказана. Обрати внимание на слово «промежуток»: если область определения состоит из нескольких несвязанных кусков (например, вся числовая прямая без точки $x=0$), константа на каждом куске может оказаться своей — это тонкость, к которой мы ещё вернёмся в разделе про частые ошибки.

Разбор примеров

Пример 1 (лёгкий). Найти множество первообразных для $f(x) = 2x$.

Догадаться нетрудно: если $F(x) = x^2$, то $F'(x) = 2x = f(x)$ — значит $F(x)=x^2$ действительно первообразная. По только что доказанной теореме, все остальные первообразные получаются добавлением произвольной постоянной:

Ответ: множество первообразных — $x^2+C$, $C\in\mathbb{R}$.

Пример 2 (средний). Найти множество первообразных для $f(x) = \cos x$ и проверить результат дифференцированием.

Вспоминаем таблицу производных: $(\sin x)' = \cos x$. Значит $F(x)=\sin x$ — первообразная. Проверка дифференцированием: $\dfrac{d}{dx}(\sin x + C) = \cos x + 0 = \cos x$ — совпадает с $f(x)$ при любом значении константы $C$, потому что производная константы всегда равна нулю.

Ответ: $\int \cos x\,dx = \sin x + C$.

Пример 3 (сложный, ML). Плотность стандартного нормального распределения задаётся формулой $\varphi(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$. Существует ли у неё первообразная, и как она связана с вероятностью?

Здесь важно различить два вопроса: существует ли первообразная вообще и можно ли её записать через привычные элементарные функции (многочлены, экспоненту, логарифм, тригонометрию и их комбинации). Первый ответ — да, первообразная гарантированно существует, потому что $\varphi(x)$ непрерывна на всей числовой прямой (это доказывается в общей теореме о существовании первообразной у непрерывной функции). А вот второй ответ — нет: доказано, что первообразную функции $e^{-x^2/2}$ нельзя записать конечной комбинацией элементарных функций. Тем не менее эта первообразная — реально существующая функция, у неё даже есть собственное имя: с точностью до масштабирования и сдвига, это функция распределения стандартного нормального закона $\Phi(x)$, а именно $\Phi(x) = \int_{-\infty}^{x} \varphi(t)\,dt$. Она задаётся не формулой из элементарных функций, а именно как интеграл — и в таком виде она полностью пригодна для практики: её значения давно затабулированы и встроены в любую статистическую библиотеку.

Ответ: первообразная существует, но не выражается через элементарные функции; именно она и есть функция распределения нормального закона.

Почему это важно

Идея «первообразных бесконечно много, и они отличаются на константу» — это не техническая деталь, а ключ к пониманию всей темы. Когда чуть ниже мы введём таблицу интегралов, каждая формула в ней будет содержать $+C$ — и это не формальность для проформы, а прямое следствие только что доказанной теоремы. А пример с плотностью нормального распределения показывает границу того, что вообще можно вычислить «вручную»: интеграл как понятие существует гораздо шире, чем интеграл, который удаётся выразить формулой, — и умение отличать одно от другого убережёт тебя от бесплодных попыток найти несуществующую элементарную формулу там, где её в принципе нет.

Углублённая таблица интегралов

Интуиция: словарь, который читается в обе стороны

Раз неопределённое интегрирование — операция, обратная дифференцированию, у тебя уже есть готовый источник формул: таблица производных, которую ты выучил раньше в курсе. Нужно просто читать её справа налево. Если $(\sin x)' = \cos x$, то $\int \cos x\,dx = \sin x + C$. Если $(x^{n+1}/(n+1))' = x^n$, то $\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$. Школьная таблица интегралов обычно ограничивается степенной функцией, экспонентой, синусом и косинусом. Но производные от арктангенса и арксинуса ты тоже проходил, а значит у соответствующих функций — $\dfrac{1}{1+x^2}$ и $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ — тоже должны быть табличные интегралы. Именно эти формулы и есть главное расширение таблицы на этом уровне: они регулярно всплывают там, где встречаются дроби с квадратом переменной в знаменателе или корень из разности квадратов, а такие выражения — не редкость в вероятностных моделях, электростатике и механике.

Определение. Неопределённым интегралом функции $f(x)$ на промежутке $I$ называется множество всех её первообразных; его обозначают

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$

где $F(x)$ — любая конкретная первообразная, а $C$ — произвольная постоянная. Символ $dx$ указывает, по какой переменной идёт интегрирование, а сам символ $\int$ читается как «интеграл от».

Вот расширенная таблица, которой мы будем пользоваться дальше в этом уроке (везде $a$ — положительная постоянная, $a \ne 0$):

• $\displaystyle\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$, при $n \ne -1$

• $\displaystyle\int \frac{dx}{x} = \ln|x|+C$

• $\displaystyle\int e^x\,dx = e^x+C$

• $\displaystyle\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a}+C$, при $a>0,\ a\ne1$

• $\displaystyle\int \sin x\,dx = -\cos x+C$

• $\displaystyle\int \cos x\,dx = \sin x+C$

• $\displaystyle\int \frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x+C$

• $\displaystyle\int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\cot x+C$

• $\displaystyle\int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac1a\arctan\frac{x}{a}+C$

• $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin\frac{x}{a}+C$, при $|x|

• $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}} = \ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C$

• $\displaystyle\int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$

Две формулы с арктангенсом и арксинусом стоит проверить прямо здесь, чтобы убедиться, что это не магия, а обычное дифференцирование сложной функции в обратную сторону. Продифференцируем $\dfrac1a\arctan\dfrac xa$: производная арктангенса равна $\dfrac{1}{1+u^2}$, где $u=\dfrac xa$, а по правилу производной сложной функции добавляется множитель $u'=\dfrac1a$. Итого

— в точности исходная подынтегральная функция. Формула с арксинусом проверяется совершенно аналогично, и тебе стоит проделать это самостоятельно как маленькую разминку перед практикой.

Разбор примеров

Пример 1 (лёгкий). Вычислить $\displaystyle\int (3x^2 - 5x + 7)\,dx$.

Применяем степенную формулу к каждому слагаемому по отдельности:

Ответ: $x^3 - \dfrac52 x^2 + 7x + C$.

Пример 2 (средний). Вычислить $\displaystyle\int \frac{dx}{x^2+4}$.

Это табличная формула с арктангенсом, где $a^2=4$, то есть $a=2$:

Ответ: $\dfrac12\arctan\dfrac x2 + C$.

Пример 3 (сложный, ML). Стандартизированное распределение Коши имеет плотность $f(x) = \dfrac{1}{\pi(1+x^2)}$. Найти первообразную этой плотности и объяснить, почему при подстановке границ от $-\infty$ до $\infty$ должна получиться единица.

Выносим постоянный множитель $\dfrac1\pi$ и применяем табличную формулу с $a=1$:

Ответ: $\dfrac1\pi \arctan x + C$. Смысл этого результата прямой: любая плотность вероятности должна интегрироваться по всей числовой прямой ровно в единицу — это и есть условие нормировки. Проверим: при $x\to\infty$ значение $\arctan x \to \pi/2$, при $x\to-\infty$ значение $\arctan x \to -\pi/2$, значит разность (то есть определённый интеграл от $-\infty$ до $\infty$, который в следующем уроке ты научишься вычислять формально) равна $\dfrac1\pi\left(\dfrac\pi2-\left(-\dfrac\pi2\right)\right) = \dfrac1\pi\cdot\pi = 1$. Именно поэтому в формуле плотности распределения Коши стоит множитель $\dfrac1\pi$ — он подобран специально так, чтобы площадь под графиком была равна единице, как и требуется от любой корректной плотности вероятности.

Почему это важно

Формулы с арктангенсом и арксинусом — не экзотика для продвинутых, а рабочий инструмент, без которого невозможно взять интеграл от целого класса функций вида $\dfrac{1}{\text{квадратный трёхчлен}}$ или $\dfrac{1}{\sqrt{\text{квадратный трёхчлен}}}$ — а такие выражения регулярно возникают при работе с плотностями распределений (Коши, отчасти нормальным после определённых преобразований), при вычислении вероятностей в геометрической вероятностной схеме и при решении дифференциальных уравнений в физике. Не выучив эти две формулы наизусть, ты будешь беспомощен перед довольно большим и совершенно стандартным классом интегралов.

Линейность неопределённого интеграла

Интуиция: интеграл не «видит разницы» между слагаемыми

Производная суммы равна сумме производных, а производная функции, умноженной на константу, равна этой же константе, умноженной на производную. Раз интегрирование — обратная операция, разумно ожидать, что то же самое свойство работает и «в обратную сторону». Представь, что тебе нужно проинтегрировать сумму двух совершенно разных по природе слагаемых — например, многочлен и синус. Интуитивно кажется правильным, что можно проинтегрировать каждое слагаемое отдельно, а потом просто сложить результаты — и это действительно так, но эту интуицию стоит подтвердить строгим рассуждением, а не принимать на веру.

Теорема (линейность неопределённого интеграла). Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ имеют первообразные на промежутке $I$, а $\alpha, \beta$ — произвольные постоянные. Тогда функция $\alpha f(x) + \beta g(x)$ тоже имеет первообразную на этом промежутке, и справедливо равенство

$$\int \bigl(\alpha f(x) + \beta g(x)\bigr)\,dx = \alpha\int f(x)\,dx + \beta\int g(x)\,dx$$

Докажем это напрямую через определение первообразной. Пусть $F(x)$ — первообразная $f(x)$, а $G(x)$ — первообразная $g(x)$, то есть $F'(x)=f(x)$ и $G'(x)=g(x)$. Рассмотрим функцию $\alpha F(x) + \beta G(x)$ и продифференцируем её, используя линейность производной (это свойство доказано ещё в самом начале темы дифференцирования):

Значит, $\alpha F(x)+\beta G(x)$ — это именно первообразная функции $\alpha f(x)+\beta g(x)$, а по теореме о множестве первообразных к ней остаётся добавить единую произвольную постоянную. На практике это означает, что при интегрировании суммы или разности можно (и нужно) интегрировать каждое слагаемое по отдельности, а константу писать одну общую в самом конце, а не по одной у каждого слагаемого — иначе получится избыточная запись вида $C_1+C_2$, которую всё равно принято тут же переобозначить одной буквой $C$.

Разбор примеров

Пример 1 (лёгкий). Вычислить $\displaystyle\int (4\sin x - 3x^2)\,dx$.

По линейности интегрируем каждое слагаемое отдельно:

Ответ: $-4\cos x - x^3 + C$.

Пример 2 (средний). Вычислить $\displaystyle\int \left(\frac{2}{x} + \frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\right)dx$.

Ответ: $2\ln|x| + 3\arcsin x + C$.

Пример 3 (сложный, ML). В моделях со смесью распределений плотность записывается как взвешенная сумма плотностей компонент: $f(x) = \pi\, e^{-x} + (1-\pi)\,\lambda e^{-\lambda x}$ при $x \ge 0$, где $\pi \in (0,1)$ — вес первой компоненты (например, доля «медленного» сценария в модели времени ожидания), а $\lambda > 0$ — параметр второй компоненты. Найти множество первообразных этой плотности.

Применяем линейность — интегрируем каждое слагаемое отдельно, вынося постоянные множители $\pi$, $(1-\pi)$ и $\lambda$ за знак интеграла:

Первый интеграл — табличный с точностью до знака показателя: $\int e^{-x}\,dx = -e^{-x}+C_1$ (проверка: $(-e^{-x})' = -e^{-x}\cdot(-1)=e^{-x}$). Второй интеграл аналогичен: $\int e^{-\lambda x}\,dx = -\dfrac{1}{\lambda}e^{-\lambda x}+C_2$ (проверка: $\left(-\frac1\lambda e^{-\lambda x}\right)' = -\frac1\lambda\cdot e^{-\lambda x}\cdot(-\lambda) = e^{-\lambda x}$). Подставляем и упрощаем, учитывая множитель $(1-\pi)\lambda$ перед вторым интегралом:

Ответ: $-\pi e^{-x} - (1-\pi)e^{-\lambda x} + C$. Это в точности минус функция выживания смеси двух экспоненциальных распределений (с точностью до постоянной, которая позже подбирается из условия, что при $x\to\infty$ первообразная должна стремиться к нулю). Линейность здесь работает не как формальный трюк, а как содержательное утверждение: чтобы проинтегрировать смесь нескольких распределений, достаточно проинтегрировать каждую компоненту по отдельности и сложить результаты с теми же весами — ровно так же, как считается и сама плотность смеси.

Почему это важно

Линейность — это ровно то свойство, которое превращает интегрирование из «угадывания функции целиком» в пошаговую процедуру: разбить сложное выражение на сумму более простых слагаемых, каждое из которых укладывается в табличную формулу или сводится к ней известным приёмом, проинтегрировать по отдельности, сложить. Все более сложные методы интегрирования, с которыми ты познакомишься в следующем уроке, всё равно в итоге опираются на эту базовую линейность — она работает «внутри» практически любого более продвинутого метода.

Метод подведения под знак дифференциала

Интуиция: заметить спрятанную производную

А теперь попробуй сам вычислить интеграл $\displaystyle\int 2x\, e^{x^2}\,dx$ напрямую по таблице. Не выйдет — такой функции нет ни в одной строке таблицы. Но присмотрись внимательнее: множитель $2x$ — это в точности производная показателя $x^2$, стоящего внутри экспоненты. Это не совпадение, а сигнал: выражение построено как «производная внутренней функции», умноженная на «функцию от этой внутренней функции» — ровно та структура, которая получается при дифференцировании сложной функции по цепному правилу. А раз так, интеграл можно свернуть, заменив «неудобную» переменную $x$ на новую переменную $u=x^2$, и вычислить гораздо более простой интеграл по $u$.

Формально это опирается на равенство $du = u'(x)\,dx$ — если $u$ является функцией от $x$, то её дифференциал $du$ по определению равен $u'(x)\,dx$. Значит, если во всём подынтегральном выражении получается выделить множитель $u'(x)\,dx$, его можно заменить на $du$ — «подвести под знак дифференциала».

Определение (метод подведения под знак дифференциала). Если подынтегральное выражение можно представить в виде $f\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x)\,dx$, то, заметив, что $u'(x)\,dx = d\bigl(u(x)\bigr)$, исходный интеграл сводится к интегралу по новой переменной:

$$\int f\bigl(u(x)\bigr)\, u'(x)\,dx = \int f(u)\,du$$

где правая часть, как правило, оказывается табличным или заметно более простым интегралом.

Внешне метод похож на замену переменной, и по сути ей и является, только записывается без явного введения новой буквы для переменной интегрирования — вместо этого «под интегралом» появляется готовое выражение $d(\ldots)$. На практике удобно действовать так: заметить в выражении «внутреннюю» функцию $u(x)$, проверить, есть ли рядом (с точностью до постоянного множителя) её производная, и если да — явно ввести $u$, выразить $du$, переписать весь интеграл через $u$ и только потом, если получилось что-то табличное, вернуться обратно к $x$.

Разбор примеров

Пример 1 (лёгкий). Вычислить $\displaystyle\int 2x\, e^{x^2}\,dx$.

Замечаем, что $u=x^2$ даёт $du = 2x\,dx$ — а это в точности множитель, стоящий рядом с экспонентой. Подставляем:

Ответ: $e^{x^2}+C$. Проверка дифференцированием: $\left(e^{x^2}\right)' = e^{x^2}\cdot(x^2)' = e^{x^2}\cdot2x$ — совпадает с подынтегральной функцией.

Пример 2 (средний). Вычислить $\displaystyle\int \tan x\,dx$ — интеграл, который отсутствует в базовой школьной таблице, но становится табличным после подведения под дифференциал.

Перепишем тангенс через синус и косинус: $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$. Заметим, что $d(\cos x) = -\sin x\,dx$, то есть $\sin x\,dx = -d(\cos x)$. Подводим $\cos x$ под знак дифференциала как новую переменную $u=\cos x$:

Ответ: $-\ln|\cos x| + C$. Проверка: $\left(-\ln|\cos x|\right)' = -\dfrac{-\sin x}{\cos x} = \dfrac{\sin x}{\cos x} = \tan x$ — совпадает.

Пример 3 (сложный, ML). Вычислить $\displaystyle\int x\,e^{-x^2/2}\,dx$ — выражение, которое возникает при работе с плотностью стандартного нормального распределения $\varphi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, а точнее с функцией $x\,\varphi(x)$, интеграл от которой используется при выводе того, что математическое ожидание стандартной нормальной величины равно нулю.

Введём $u = -\dfrac{x^2}{2}$. Тогда $du = -x\,dx$, откуда $x\,dx = -du$. Подставляем:

Ответ: $-e^{-x^2/2}+C$. Проверка: $\left(-e^{-x^2/2}\right)' = -e^{-x^2/2}\cdot\left(-\dfrac{2x}{2}\right) = -e^{-x^2/2}\cdot(-x) = x\,e^{-x^2/2}$ — совпадает. Заметь принципиальное различие между этим примером и функцией $\varphi(x)$ самой по себе из первого раздела: у $e^{-x^2/2}$ (без дополнительного множителя $x$) первообразную нельзя выразить в элементарных функциях, а вот у $x\,e^{-x^2/2}$ — можно, причём совсем несложно. Наличие или отсутствие «правильного» дополнительного множителя рядом со сложной функцией — это ровно то, что отличает берущийся в элементарных функциях интеграл от неберущегося, и метод подведения под знак дифференциала — первый инструмент, которым стоит проверять, нет ли такого множителя в твоём конкретном выражении.

Почему это важно

Подведение под знак дифференциала — самый часто используемый приём во всей теме интегрирования, и именно его отсутствие или наличие определяет, «берётся» интеграл легко или требует более тяжёлой техники из следующего урока (интегрирование по частям, тригонометрические подстановки и так далее). В машинном обучении и статистике этот приём систематически встречается при переходе от производной функции потерь или производной логарифма правдоподобия обратно к самой функции — а также при выводе формул плотности вероятности после замены переменных, где множитель, соответствующий производной этой замены (якобиан преобразования), появляется в подынтегральном выражении ровно в той же роли, что и множитель $u'(x)$ в определении метода.

Практика: 30 заданий

Базовые задания (1–10)

Задание 1: Вычислить $\displaystyle\int (3x^2 + 4x - 5)\,dx$.

Задание 2: Вычислить $\displaystyle\int (2\sin x - 3\cos x)\,dx$.

Задание 3: Вычислить $\displaystyle\int \frac{5}{x}\,dx$.

Задание 4: Вычислить $\displaystyle\int \left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx$.

Задание 5: Вычислить $\displaystyle\int \left(e^x + 3^x\right)dx$.

Задание 6: Вычислить $\displaystyle\int \frac{dx}{x^2+9}$.

Задание 7: Вычислить $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{16-x^2}}$.

Задание 8: Вычислить $\displaystyle\int \left(\frac{1}{x^3} + 4\right)dx$.

Задание 9: Вычислить $\displaystyle\int \frac{dx}{\cos^2 x}$.

Задание 10 (ML): Плотность равномерного распределения на отрезке $[0,\theta]$ равна $f(x)=\dfrac1\theta$ при $0\le x\le\theta$. Найти функцию распределения $F(x)$ этой случайной величины на этом отрезке, зная, что $F(0)=0$.

Средние задания (11–20)

Задание 11: Вычислить $\displaystyle\int (2x-1)^5\,dx$.

Задание 12: Вычислить $\displaystyle\int \frac{dx}{3x+7}$.

Задание 13: Вычислить $\displaystyle\int x\cos(x^2)\,dx$.

Задание 14: Вычислить $\displaystyle\int \sin^3x\cos x\,dx$.

Задание 15: Вычислить $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx$.

Задание 16: Вычислить $\displaystyle\int \tan x\,dx$.

Задание 17 (ML): Логарифм правдоподобия экспоненциального распределения по параметру $\lambda$ имеет производную $\dfrac{n}{\lambda} - S$, где $S=\sum x_i$ — константа относительно $\lambda$, а $n$ — число наблюдений. Найти саму функцию $\ln L(\lambda)$ (с точностью до постоянной).

Задание 18: Вычислить $\displaystyle\int \frac{dx}{4x^2+9}$.

Задание 19: Вычислить $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{9-4x^2}}$.

Задание 20 (ML): Вычислить $\displaystyle\int x\,e^{-x^2}\,dx$ — интеграл, который встречается при работе с ненормированной гауссовой функцией $e^{-x^2}$.

Продвинутые задания (21–30)

Задание 21: Вычислить $\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{1-x^4}}\,dx$.

Задание 22: Вычислить $\displaystyle\int \frac{e^x}{1+e^{2x}}\,dx$.

Задание 23 (ML): Известно, что производная сигмоиды $\sigma(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}$ равна $\sigma'(x)=\sigma(x)\bigl(1-\sigma(x)\bigr)$. Вычислить $\displaystyle\int \sigma(x)\bigl(1-\sigma(x)\bigr)\,dx$.

Задание 24: Вычислить $\displaystyle\int \frac{\ln x}{x}\,dx$.

Задание 25: Вычислить $\displaystyle\int \sin x\cos^4x\,dx$.

Задание 26 (ML): Для плотности стандартного нормального распределения $\varphi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ найти множество первообразных функции $x\,\varphi(x)$ и объяснить, зачем этот результат нужен при вычислении математического ожидания.

Задание 27: Вычислить $\displaystyle\int \frac{dx}{x\ln x}$ (при $x>1$).

Задание 28: Вычислить $\displaystyle\int \frac{\arctan x}{1+x^2}\,dx$.

Задание 29 (ML): В логистической регрессии производная логарифма правдоподобия одного наблюдения по логиту $z$ равна $y-\sigma(z)$, где $y\in\{0,1\}$ — фиксированная метка класса, $\sigma(z)=\dfrac{1}{1+e^{-z}}$. Найти саму функцию (логарифм правдоподобия как функцию $z$), зная, что $\displaystyle\int \sigma(z)\,dz = \ln(1+e^z)+C$.

Задание 30 (продвинутый, комбинация приёмов): Вычислить $\displaystyle\int \frac{2x+3}{x^2+3x+10}\,dx$.

Частые ошибки

Ошибка 1. Забывают добавить произвольную постоянную $+C$.

Как выглядит: ответ записывают как конкретную первообразную $F(x)$ без всякой константы, будто у функции есть только одна-единственная первообразная.

Почему возникает: пока функция угадывается по табличной формуле, про $+C$ легко забыть, ведь сама формула из таблицы кажется «окончательным ответом».

Как правильно: держать в голове доказанную в первом разделе теорему — раз производная константы всегда равна нулю, к любой найденной первообразной можно прибавить произвольное число, и результат останется первообразной той же функции. Символ $+C$ — не украшение, а часть математически точного ответа; без него ответ формально неполон.

Ошибка 2. Применяют табличную формулу с арктангенсом или арксинусом, не разделив на $a$.

Как выглядит: для интеграла $\int \dfrac{dx}{x^2+9}$ пишут ответ $\arctan\dfrac x3+C$, забывая про множитель $\dfrac1a=\dfrac13$ перед арктангенсом.

Почему возникает: формула $\int\dfrac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C$ (частный случай при $a=1$) запоминается лучше общей формулы с произвольным $a$, и её по инерции переносят на случай $a\ne1$ без поправочного множителя.

Как правильно: всегда явно выписывать значение $a$ из знаменателя (или из-под корня) и подставлять его в общую формулу целиком, включая множитель перед функцией. Самый надёжный способ проверить себя — продифференцировать полученный ответ и убедиться, что получается именно исходная подынтегральная функция (как это было сделано в разделе про углублённую таблицу).

Ошибка 3. При подведении под знак дифференциала забывают учесть постоянный коэффициент производной внутренней функции.

Как выглядит: для интеграла $\int (2x-1)^5\,dx$ пишут $u=2x-1$, $du=dx$ — теряя множитель $2$, который на самом деле появляется при дифференцировании $u$.

Почему возникает: внимание сосредоточено на «внешней» степенной структуре выражения, а линейная внутренняя функция кажется настолько простой, что её производную (тем более отличную от единицы) забывают выписать явно.

Как правильно: прежде чем подставлять, всегда явно вычислять $du$ по правилам дифференцирования выбранной функции $u(x)$ и, если между тем, что есть в выражении, и тем, что нужно для $du$, не хватает постоянного множителя — выносить его перед интегралом (как в заданиях 11–13, 18–19).

Ошибка 4. Используют формулу производной частного там, где нужно линейно сложить два отдельных интеграла.

Как выглядит: при интегрировании суммы $\int \left(f(x)+g(x)\right)dx$ пытаются искать какую-то единую замену переменной для всего выражения сразу, вместо того чтобы по линейности разбить его на два самостоятельных интеграла.

Почему возникает: привычка обращаться со сложными выражениями «целиком» перевешивает более простую и часто более эффективную стратегию — разбить задачу на слагаемые и решать каждое по отдельности.

Как правильно: первым шагом при виде суммы или разности под интегралом всегда проверять, не разваливается ли выражение по линейности на более простые части (см. примеры в разделе про линейность) — и только если это невозможно, искать единую замену для всего выражения целиком.

Ошибка 5. Теряют из виду промежуток области определения и переносят константу через точки разрыва.

Как выглядит: для функции $f(x)=\dfrac1x$, определённой и при $x>0$, и при $x<0$, записывают единую первообразную $\ln|x|+C$ с одной и той же постоянной $C$ на обеих половинах прямой, как будто это одна непрерывная функция.

Почему возникает: формула $\ln|x|+C$ формально верна на каждом из промежутков $(-\infty,0)$ и $(0,\infty)$ по отдельности, и кажется естественным считать её единой формулой сразу для всей области определения, забывая, что теорема о множестве первообразных явно требует именно промежутка, а область определения $\dfrac1x$ промежутком не является — в ней есть разрыв в точке $x=0$.

Как правильно: если область определения состоит из нескольких непересекающихся промежутков, на каждом из них константа $C$ в общем случае может быть своя, и объединять их в одну без специальной оговорки формально некорректно — на практике эта тонкость редко имеет значение (обычно работают на одном промежутке сразу), но полезно понимать, откуда в теореме вообще взялось условие про промежуток.

Главное запомнить

• Первообразная функции $f(x)$ на промежутке $I$ — это функция $F(x)$, для которой $F'(x)=f(x)$ в каждой точке $I$.

• Множество всех первообразных одной и той же функции на промежутке имеет вид $F(x)+C$: любые две первообразные отличаются ровно на постоянную — прямое следствие теоремы Лагранжа, применённой к их разности.

• Неопределённый интеграл $\int f(x)\,dx = F(x)+C$ — это и есть обозначение для множества всех первообразных; символ $+C$ — обязательная часть ответа, а не формальность.

• Углублённая таблица интегралов добавляет к школьному набору формулы с арктангенсом $\left(\int\frac{dx}{x^2+a^2}=\frac1a\arctan\frac xa+C\right)$ и арксинусом $\left(\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac xa+C\right)$ — они нужны для целого класса дробно-рациональных и иррациональных выражений.

• Линейность позволяет интегрировать сумму (разность) функций и вынесенный постоянный множитель по отдельности: $\int(\alpha f+\beta g)\,dx = \alpha\int f\,dx + \beta\int g\,dx$.

• Подведение под знак дифференциала — метод, который заменяет выражение $f(u(x))u'(x)\,dx$ на $f(u)\,du$, если удаётся заметить внутри подынтегральной функции «спрятанную» производную.

• Признак применимости подведения под дифференциал: если числитель дроби — это в точности (или с точностью до постоянного множителя) производная знаменателя или производная функции, стоящей под сложным выражением, — замена почти наверняка сработает.

• Не всякая элементарная функция имеет элементарную первообразную: классический пример — плотность нормального распределения $e^{-x^2/2}$, первообразная которой существует, но не выражается через привычные функции; при этом $x\,e^{-x^2/2}$ уже интегрируется элементарно.

• Первообразная плотности вероятности — это функция распределения: значение этой связи выходит далеко за пределы формального упражнения — она лежит в основе того, как вероятности вычисляются на практике.

• Правильность любого найденного интеграла всегда можно (и нужно) проверить дифференцированием — если производная полученного ответа не совпадает с исходной подынтегральной функцией, где-то допущена ошибка.

Связь с другими темами курса

Что нужно было знать до этого урока

Этот урок целиком опирается на аппарат дифференцирования, накопленный за предыдущие уроки: таблицу производных элементарных функций, правило производной сложной функции (без него метод подведения под знак дифференциала попросту не имел бы смысла) и теорему Лагранжа о среднем значении (урок про эту теорему обосновывает, почему функция с нулевой производной на промежутке обязана быть константой — на этом факте держится вся теорема о множестве первообразных). Из урока про полное исследование функций пригодится общая дисциплина проверки результата — здесь она превращается в привычку всегда дифференцировать найденную первообразную и сверять с исходной функцией.

Что изучить дальше

В следующем уроке, 197 «Методы интегрирования», метод подведения под знак дифференциала получит более общее развитие в виде полноценной замены переменной с явным пересчётом пределов и обратной подстановкой, а также появится интегрирование по частям — приём, без которого не взять интегралы вида $\int x\,e^x\,dx$ или $\int x\ln x\,dx$, где никакая «спрятанная производная» не помогает напрямую. Оба метода регулярно комбинируются друг с другом и с табличными формулами, разобранными здесь.

Где это нужно в жизни

🤖 ML/AI. Переход от плотности вероятности к функции распределения — это прямое интегрирование (пример с равномерным распределением в задании 10, с нормальным распределением в разделе про первообразную); восстановление логарифма правдоподобия по его производной по параметру (задания 17 и 29) — стандартный шаг при анализе поведения моделей логистической регрессии и других вероятностных моделей; интегралы вида $\int x\,\varphi(x)\,dx$ используются при выводе моментов гауссовского распределения (задание 26), которые, в свою очередь, лежат в основе множества вероятностных моделей машинного обучения.

📊 Теория вероятностей и статистика. Условие нормировки плотности («интеграл по всей области значений равен единице», разобранное на примере распределения Коши) — фундаментальное требование к любой корректной плотности распределения; вычисление математического ожидания и дисперсии непрерывных случайных величин напрямую опирается на неопределённое, а затем и определённое интегрирование.

🔬 Физика и инженерия. Работа переменной силы вдоль пути, путь по известной скорости, заряд по известному току — все эти задачи имеют одну и ту же математическую структуру: найти функцию по её известной производной, то есть найти первообразную.

💰 Экономика. Накопленная выручка или накопленные издержки при известной функции предельного дохода или предельных издержек — ровно та же задача восстановления функции по её производной, только в экономической интерпретации.

Интересные факты

• Символ $\int$ — не абстрактная закорючка, а буквально растянутая по вертикали латинская буква S, сокращение слова «Summa». Лейбниц выбрал именно такую форму специально, чтобы обозначение само напоминало о происхождении интеграла как предела суммы бесконечно малых слагаемых.

• Не каждая элементарная функция имеет элементарную первообразную — и это доказанный математический факт, а не признак недостаточного старания. Кроме уже упомянутой $e^{-x^2}$, классические примеры «неберущихся» в элементарных функциях интегралов — это $\int \dfrac{\sin x}{x}\,dx$ (так называемый интегральный синус) и $\int \dfrac{dx}{\ln x}$ (интегральный логарифм). Эти функции не менее важны, чем элементарные, — они просто получили собственные имена и собственные таблицы значений, а не выражаются через уже известный тебе набор функций.

• Нотация Лейбница для интеграла и производной оказалась настолько удачной, что её конструктивные принципы почти без изменений используются даже в современном программировании научных вычислений и в системах символьной математики — записи вроде integrate(f, x) в разных программах фактически воспроизводят ту же логику «переменная интегрирования указана явно рядом с функцией», что и исходный символ $dx$ у Лейбница.

• Спор о приоритете между сторонниками Ньютона и сторонниками Лейбница в начале XVIII века был настолько ожесточённым, что на десятилетия фактически разделил английскую и континентальную европейскую математику: британские математики из принципа продолжали использовать неудобную нотацию Ньютона даже тогда, когда континентальная нотация Лейбница уже доказала свою эффективность, — и это заметно затормозило развитие английской математической школы на протяжении XVIII века.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Всегда проверяй готовый ответ дифференцированием. Это не трата времени, а самый надёжный способ поймать ошибку до того, как она попадёт в дальнейшие вычисления: если производная найденной первообразной не совпадает с исходной подынтегральной функцией, значит где-то в выкладках закралась ошибка.

2. Ищи в числителе производную знаменателя. Если дробь имеет вид $\dfrac{g'(x)}{g(x)}$ (или сводится к такому виду постоянным множителем), ответ почти наверняка — логарифм от знаменателя (задания 15, 30). Этот паттерн встречается настолько часто, что его стоит узнавать с первого взгляда.

3. Ищи под сложной функцией её собственную производную. Если видишь конструкцию вида $f(u(x))$, где $u(x)$ — что-то нетривиальное (квадрат, синус, логарифм, экспонента), проверь, не стоит ли рядом (с точностью до постоянного множителя) производная $u'(x)$ — это прямой сигнал к подведению под знак дифференциала.

4. Приводи знаменатель к «чистому» табличному виду перед применением формулы с арктангенсом или арксинусом. Если перед $x^2$ стоит коэффициент, отличный от единицы (как в заданиях 18–19), сначала вынеси его за скобки, определи истинное значение $a$, и только потом подставляй в формулу.

5. Раскладывай сумму на слагаемые как можно раньше. Прежде чем искать замену переменной для громоздкого выражения целиком, проверь, не разваливается ли оно по линейности на более простые части — часто это сразу упрощает задачу до нескольких табличных интегралов.

6. Держи в голове готовые производные типовых ML-функций. Производная сигмоиды $\sigma'(x)=\sigma(x)(1-\sigma(x))$, производная softplus-функции $\ln(1+e^x)$, равная $\sigma(x)$, — если подынтегральное выражение совпадает с одной из таких готовых производных, отдельно вычислять ничего не нужно (задание 23) — ответ уже известен из курса дифференцирования.

7. Не путай «первообразная не существует» с «первообразную нельзя выразить элементарно». Первообразная у любой непрерывной функции существует всегда — вопрос лишь в том, удаётся ли её записать через уже известный тебе набор функций. Осознание этой разницы избавляет от бесплодных попыток найти несуществующую формулу там, где нужно просто признать интеграл неберущимся в элементарном виде.

Неопределённый интеграл — это не просто новый раздел формул для заучивания, а прямое продолжение всего, чему ты научился при изучении производной, только с обратным вектором: там ты умел по функции находить скорость её изменения, здесь — учишься по известной скорости восстанавливать саму функцию. Именно эта операция превращает плотность вероятности в функцию распределения, производную логарифма правдоподобия — в само правдоподобие, а мгновенную скорость — в пройденный путь. Дальше в курсе техника интегрирования будет только расширяться — методом замены переменной и интегрированием по частям, — но фундамент, который ты только что заложил здесь: понятие первообразной, линейность и умение видеть спрятанную производную под знаком дифференциала, останется рабочим инструментом на протяжении всего оставшегося курса анализа.