Определённый интеграл (строгое) 🟦

Представь, что тебе нужно вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой линией — не прямой, не окружностью, а произвольным графиком функции. Формул школьной геометрии тут нет и быть не может: площадь треугольника считается через основание и высоту, площадь круга — через радиус, а вот для «непонятной загогулины» под графиком $y=\sin x$ или $y=e^{-x^2}$ никакой готовой формулы не существует. Единственный честный способ подступиться к этой задаче — тот, что интуитивно приходит в голову любому: разрежь фигуру на много узких вертикальных полосок, приближённо посчитай площадь каждой полоски как площадь прямоугольника, сложи всё вместе — и получишь приближение. А потом сделай полоски ещё уже, посчитай снова — приближение станет точнее. И так до бесконечности, вплоть до предельного перехода, в котором ширина полосок стремится к нулю, а сумма их площадей — к какому-то конкретному числу.

Именно эта идея — «разбей на маленькие кусочки, приближённо оцени каждый кусочек, просуммируй, устреми размер кусочков к нулю» — и есть определённый интеграл в его самом честном, самом первоначальном виде. До сих пор в курсе ты работал с интегралом как с операцией, обратной дифференцированию: находил первообразную и записывал неопределённый интеграл $\int f(x)\,dx$ с точностью до константы. Это была алгебраическая, «техническая» сторона интегрирования. Сегодня мы разворачиваемся на 180 градусов и смотрим на интеграл с другой стороны — геометрической и предельной, через ту самую сумму узких полосок, о которой шла речь выше. Оказывается, эти два, на первый взгляд совершенно разных подхода к интегралу — строгий предел сумм и обратная операция к дифференцированию — связаны глубочайшим фактом математического анализа, который называется основной теоремой анализа. Но чтобы этот факт вообще имел смысл, сначала нужно дать интегралу самостоятельное, независимое от производных определение — и это определение мы разберём во всех деталях именно сегодня.

Здесь стоит сразу назвать вещи своими именами: то, чем мы сейчас займёмся, — это в точности идея, лежащая в основе численного интегрирования на компьютере. Когда аналитическая первообразная функции не выражается в элементарных функциях (а для подавляющего большинства функций, встречающихся в реальных задачах, это именно так — вспомни хотя бы $e^{-x^2}$ из плотности нормального распределения), компьютер не умеет «взять интеграл» символьно. Вместо этого он делает буквально то, что мы будем делать вручную в этом уроке: разбивает отрезок интегрирования на узкие кусочки, вычисляет значение функции в некоторых точках каждого кусочка, умножает на ширину и складывает всё вместе. Это и есть метод прямоугольников — самый простой численный метод интегрирования, который является прямой, «как есть», реализацией интегральной суммы Римана. А метод Монте-Карло, который применяется, когда отрезок интегрирования становится многомерным (например, при вычислении нормализующей константы в байесовском выводе или при оценке интеграла сложной функции плотности), — это та же самая идея, только точки внутри области выбираются не по регулярной сетке, а случайно, и площадь оценивается как среднее значение функции, умноженное на объём области. За обоими методами стоит один и тот же математический скелет — интегральная сумма и предельный переход к нулевой ширине разбиения, — и сегодняшний урок даёт тебе этот скелет в его строгой, отточенной форме.

И последнее перед тем, как мы перейдём к делу: строгость здесь — не занудство ради занудства. Пока интеграл определён «на пальцах» как площадь под кривой, невозможно ответить на, казалось бы, элементарные вопросы: а всегда ли такая площадь вообще существует? Может ли получиться так, что при разных способах разбиения отрезка на полоски мы получим разные ответы? Существуют ли функции, для которых понятие площади под графиком вообще не имеет смысла? Строгое определение через предел интегральных сумм отвечает на все эти вопросы одним махом — и заодно объясняет, почему компьютерные методы численного интегрирования вообще работают и сходятся к правильному ответу.

История: откуда это взялось?

Идея вычисления площадей через разбиение на бесконечно узкие полоски восходит ещё к Архимеду и его методу исчерпывания, которым он вычислял площадь параболического сегмента за две тысячи лет до появления математического анализа в его современном виде. Но метод Архимеда был геометрическим искусством, применимым к конкретным фигурам по отдельности, а не универсальным алгоритмом. Настоящий прорыв произошёл в XVII веке, когда Ньютон и Лейбниц обнаружили удивительную связь между вычислением площадей и обратной операцией к нахождению касательной (то есть к дифференцированию) — и с этого момента интеграл стал восприниматься прежде всего как первообразная, а строгое определение через суммы отошло на второй план как нечто «интуитивно очевидное».

Именно отсутствие строгости и стало проблемой уже к началу XIX века. Математики того времени свободно оперировали «бесконечно малыми величинами», складывали «бесконечное число бесконечно узких прямоугольников» — и интуиция часто оказывалась права, но доказать формально, что интеграл вообще существует для той или иной функции, никто толком не мог. Ситуацию исправил немецкий математик Бернхард Риман, который в 1854 году в своей знаменитой диссертации (посвящённой, что примечательно, вопросам тригонометрических рядов, а не интегралам самим по себе) дал первое по-настоящему строгое определение интеграла через предел сумм — то самое определение, которое ты будешь изучать в этом уроке и которое с тех пор носит его имя: интеграл Римана.

Риман сформулировал определение, но не дал удобного практического критерия, по которому можно было бы быстро проверять, интегрируема данная функция или нет. Эту задачу довёл до совершенства французский математик Гастон Дарбу, который в 1870-х годах ввёл понятия верхней и нижней сумм — вместо того чтобы выбирать в каждом кусочке разбиения произвольную точку, он предложил рассматривать сразу «самый пессимистичный» и «самый оптимистичный» вариант оценки площади на каждом кусочке. Разница между этими двумя оценками оказалась удобнейшим индикатором: если её можно сделать сколь угодно малой при измельчении разбиения, функция интегрируема, а если нет — не интегрируема. Подход Дарбу оказался эквивалентен подходу Римана, но существенно удобнее для доказательств, и именно в форме сумм Дарбу критерий интегрируемости обычно и излагают в современных учебниках.

Эта эпоха — вторая половина XIX века — вообще стала временем повальной «ревизии строгости» в математическом анализе: Коши строго определил предел, Вейерштрасс довёл до совершенства язык $\varepsilon$-$\delta$, а Риман и Дарбу сделали то же самое с интегралом. Забавно, что уже в XX веке выяснилось, что даже риманово определение интеграла — не последнее слово: французский математик Анри Лебег предложил ещё более общее определение интеграла, которое работает для куда более широкого класса функций (в частности, для той самой функции Дирихле, которая, как ты увидишь ниже, не интегрируема по Риману). Но для подавляющего большинства функций, с которыми ты столкнёшься на практике — непрерывных и кусочно-непрерывных, — интеграл Римана и интеграл Лебега совпадают, и понимание именно римановской конструкции остаётся абсолютно необходимой базой для всего дальнейшего курса анализа.

Интегральные суммы Римана и предельный переход

Интуиция: сумма узких полосок

Давай разберёмся, как формализовать ту самую идею «разбить на полоски и сложить», о которой шла речь во вступлении. Пусть у нас есть функция $f(x)$, определённая на отрезке $[a,b]$. Первый шаг — разбить отрезок $[a,b]$ на $n$ более мелких кусочков точками

Это разбиение вовсе не обязано быть равномерным — кусочки могут иметь разную длину, это неважно для определения (хотя на практике, особенно в примерах, равномерное разбиение удобнее всего). Второй шаг — на каждом кусочке $[x_{i-1}, x_i]$ выбрать произвольную точку $\xi_i$ и вычислить значение функции в ней, $f(\xi_i)$. Это значение играет роль высоты прямоугольника, который приближает нашу «полоску» под графиком, а длина кусочка $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ играет роль его ширины. Площадь такого прямоугольника — произведение $f(\xi_i)\cdot\Delta x_i$. Складывая площади всех $n$ прямоугольников, получаем то, что называется интегральной суммой.

Представь, что ты заливаешь неровный бассейн бетоном, но у тебя есть только прямоугольные плиты стандартной высоты, подобранной под глубину бассейна в одной выбранной точке каждого сегмента. Ты разбиваешь дно бассейна на узкие полосы, в каждой полосе меришь глубину в одной произвольной точке и кладёшь туда плиту такой высоты на всю ширину полосы. Общий объём бетона, который ты использовал, — это и есть аналог интегральной суммы: приближённая оценка, зависящая от того, как именно ты разбил бассейн на полосы и в каких именно точках измерил глубину. Если полосы узкие, ошибка каждой отдельной плиты небольшая (глубина внутри узкой полосы почти не меняется), а если полосы широкие — ошибка может быть заметной.

Определение

Определение (интегральная сумма Римана). Пусть функция $f(x)$ определена на отрезке $[a,b]$, а $a=x_0 $$S = \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\,\Delta x_i$$

называется интегральной суммой Римана функции $f$, отвечающей данному разбиению и данному выбору точек $\xi_i$.

Определение (определённый интеграл). Обозначим $d = \max_i \Delta x_i$ — диаметр разбиения (длину самого широкого кусочка). Если существует число $I$ такое, что интегральная сумма $S$ стремится к $I$ при $d\to0$ — причём стремится независимо от того, как именно мы разбиваем отрезок и как выбираем точки $\xi_i$ внутри кусочков, — то функция $f$ называется интегрируемой по Риману на $[a,b]$, а число $I$ называется определённым интегралом функции $f$ по отрезку $[a,b]$ и обозначается

$$I = \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{d\to0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\,\Delta x_i$$

Обрати особое внимание на слово «независимо» в этом определении — это самое важное и самое тонкое место всей конструкции. Предел берётся не просто «при $n\to\infty$», а именно при $d\to0$, причём требуется, чтобы для любой последовательности разбиений с диаметром, стремящимся к нулю, и для любого выбора точек $\xi_i$ внутри кусочков, интегральная сумма стремилась к одному и тому же числу $I$. Если хотя бы для одного разумного способа измельчения разбиения или выбора точек сумма ведёт себя иначе — предел не существует, и функция не интегрируема по Риману. Мы увидим ниже пример именно такой функции.

Разбор примеров

Пример 1 (лёгкий). Составить интегральную сумму Римана для $f(x)=2x$ на отрезке $[0,3]$ при равномерном разбиении на $n$ частей с выбором правых концов кусочков, и найти её явную формулу.

Равномерное разбиение: $x_i = \dfrac{3i}{n}$, $i=0,1,\dots,n$, каждый кусочек имеет длину $\Delta x = \dfrac3n$. Выбираем $\xi_i = x_i = \dfrac{3i}{n}$ (правый конец).

Ответ: $S = 9+\dfrac9n$.

Пример 2 (средний). Найти предел интегральной суммы из примера 1 при $n\to\infty$ и сравнить с геометрическим ответом.

При $n\to\infty$ слагаемое $\dfrac9n\to0$, значит $S\to9$. Геометрически $f(x)=2x$ на $[0,3]$ — это прямая, проходящая через начало координат, при $x=3$ значение $f(3)=6$, поэтому фигура под графиком — прямоугольный треугольник с катетами $3$ (по оси $x$) и $6$ (по оси $y$). Его площадь равна $\dfrac{3\cdot6}{2}=9$.

Ответ: предел равен $9$ и полностью совпадает с геометрической площадью треугольника — это первое живое подтверждение того, что предел интегральной суммы действительно вычисляет площадь под графиком.

Пример 3 (сложный). Показать, что для функции Дирихле

на отрезке $[0,1]$ предел интегральной суммы зависит от выбора точек $\xi_i$ — то есть определение интеграла не выполняется.

Возьмём произвольное разбиение $[0,1]$ на $n$ частей, диаметр которого стремится к нулю. Поскольку рациональные числа плотны на любом отрезке (в любом, сколь угодно узком кусочке $[x_{i-1},x_i]$ обязательно найдётся рациональная точка), мы можем на каждом кусочке выбрать точку $\xi_i$ рациональной. Тогда $D(\xi_i)=1$ для всех $i$, и

(сумма длин всех кусочков всегда равна длине всего отрезка, то есть $1$, независимо от разбиения). Но точно так же на каждом кусочке можно выбрать точку $\xi_i$ иррациональной (иррациональные числа тоже плотны на любом отрезке), и тогда $D(\xi_i)=0$ для всех $i$, откуда

Ответ: при одном и том же разбиении, меняя только выбор точек $\xi_i$, мы получаем то $S_1=1$, то $S_2=0$ — суммы не сближаются ни к какому единственному числу при измельчении разбиения, значит предел в смысле определения не существует, и функция Дирихле не интегрируема по Риману на $[0,1]$. Это не какой-то экзотический контрпример «для проформы» — это ровно та функция, которая наглядно показывает, зачем в определении нужно требование независимости предела от выбора точек: без этого требования можно было бы объявить интегралом что угодно, хоть $0$, хоть $1$, хоть любое число между ними, в зависимости от прихоти того, кто выбирает точки $\xi_i$.

Почему это важно

Требование независимости предела от разбиения и выбора точек — это не педантичная деталь, а гарантия, без которой определённый интеграл вообще нельзя было бы использовать на практике. Именно эта гарантия объясняет, почему разные численные методы интегрирования — метод левых прямоугольников, метод правых прямоугольников, метод средних точек — при достаточно мелком разбиении дают практически одинаковый ответ для интегрируемой функции: они все являются разными интегральными суммами Римана для одной и той же функции, и все они обязаны сходиться к одному и тому же пределу. Если бы этой гарантии не было, ни один численный алгоритм интегрирования не имел бы права на существование — ведь непонятно было бы, к какому именно числу он должен сходиться.

Более того, именно эта конструкция объясняет логику метода Монте-Карло. Когда точки $\xi_i$ выбираются не по строгому правилу (левый конец, правый конец, середина), а случайным образом, интегральная сумма всё равно остаётся интегральной суммой Римана в широком смысле — просто с элементом случайности в выборе точек внутри кусочков. И строгое определение интеграла как предела, не зависящего от выбора точек, гарантирует, что при увеличении числа точек такая «случайная» сумма тоже будет сходиться к тому же самому значению интеграла, что и регулярные методы. Это и есть теоретический фундамент, на котором стоит вся стохастическая численная математика, применяемая в машинном обучении для оценки сложных многомерных интегралов.

Геометрический смысл: площадь под графиком

Интуиция: площадь со знаком

Давай разберёмся, что именно означает интеграл на языке геометрии. Когда функция $f(x)$ неотрицательна на отрезке $[a,b]$, каждое слагаемое интегральной суммы $f(\xi_i)\Delta x_i$ — это в точности площадь прямоугольника с основанием $\Delta x_i$ и высотой $f(\xi_i)$, а вся сумма — приближение площади фигуры между графиком функции и осью $Ox$. Устремляя диаметр разбиения к нулю, мы получаем точную площадь этой фигуры (криволинейной трапеции, как её принято называть).

Но что происходит, если функция где-то отрицательна? Представь себе график температуры воздуха за сутки, который то поднимается выше нуля, то опускается ниже. Если ты хочешь узнать не температуру в отдельный момент, а нечто вроде «накопленного эффекта потепления минус похолодания» за день, естественно засчитывать положительные промежутки со знаком плюс, а отрицательные — со знаком минус. Интеграл устроен ровно так: там, где $f(x)<0$, слагаемые $f(\xi_i)\Delta x_i$ тоже отрицательны (ведь $\Delta x_i>0$ всегда, а $f(\xi_i)<0$), и в сумму они входят со знаком минус. Поэтому геометрически интеграл — это не «площадь» в бытовом смысле (которая всегда неотрицательна), а алгебраическая, то есть ориентированная площадь: разность площади той части фигуры, что лежит выше оси $Ox$, и площади той части, что лежит ниже.

Определение

Геометрический смысл определённого интеграла. Если $f(x)\ge0$ на $[a,b]$ и интегрируема на этом отрезке, то $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ равен площади криволинейной трапеции — фигуры, ограниченной графиком $y=f(x)$, осью $Ox$ и вертикальными прямыми $x=a$, $x=b$. В общем случае, когда $f(x)$ может менять знак, интеграл равен алгебраической сумме площадей: площади участков над осью $Ox$ берутся со знаком «плюс», площади участков под осью $Ox$ — со знаком «минус».

Разбор примеров

Пример 1 (лёгкий). Вычислить $\displaystyle\int_2^5 3\,dx$ геометрически.

Функция постоянна, $f(x)=3\ge0$, фигура под графиком — прямоугольник шириной $5-2=3$ и высотой $3$.

Ответ: $3\cdot3=9$.

Пример 2 (средний). Вычислить $\displaystyle\int_0^4 (x+1)\,dx$ геометрически.

Функция $f(x)=x+1$ — прямая, неотрицательная на всём отрезке ($f(0)=1$, $f(4)=5$). Фигура под графиком — трапеция с основаниями $f(0)=1$ и $f(4)=5$ и высотой (по оси $x$), равной $4$.

Ответ: $12$.

Пример 3 (сложный). Вычислить $\displaystyle\int_{-1}^1 x^3\,dx$ геометрически, используя симметрию.

Функция $f(x)=x^3$ — нечётная: $f(-x)=-f(x)$. На отрезке $[-1,1]$ график симметричен относительно начала координат — часть графика на $[-1,0]$ лежит ниже оси $Ox$ (так как $x^3<0$ при $x<0$) и является зеркальным отражением части графика на $[0,1]$, которая лежит выше оси $Ox$. Значит, площадь под графиком на $[0,1]$ (со знаком «плюс») в точности равна по модулю площади над графиком на $[-1,0]$ (со знаком «минус»), и они взаимно уничтожаются:

где $A$ — площадь одной из симметричных половинок.

Ответ: $0$. Обрати внимание: этот же приём — «интеграл нечётной функции по симметричному относительно нуля отрезку равен нулю» — работает для любой нечётной функции ($\sin x$, $x^5$, $x\cdot e^{-x^2}$ и так далее) без всяких вычислений, достаточно распознать симметрию.

Почему это важно

Понимание интеграла как площади со знаком — это не просто удобная картинка, а рабочий инструмент во всей теории вероятностей и статистике. Функция плотности вероятности $f(x)$ по определению неотрицательна, и вероятность попадания случайной величины в интервал $[a,b]$ вычисляется в точности как площадь под графиком плотности на этом интервале, $P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx$ — то есть буквально та самая криволинейная трапеция, о которой шла речь выше. Функция распределения (кумулятивная, CDF) — это интеграл плотности от $-\infty$ до текущей точки, то есть накопленная площадь слева от неё.

А в машинном обучении идея алгебраической, знаковой площади всплывает в куда менее очевидных местах: например, площадь под ROC-кривой (метрика AUC-ROC, одна из главных метрик качества бинарной классификации) — это в точности определённый интеграл функции доли истинно положительных срабатываний по доле ложноположительных срабатываний, и её геометрический смысл как площади напрямую связан с вероятностной интерпретацией — вероятностью того, что классификатор присвоит случайно выбранному положительному примеру более высокий скор, чем случайно выбранному отрицательному. Без ясного понимания «интеграл — это площадь, и площадь может быть отрицательной, если функция отрицательна» подобные метрики так и остаются формулами, лишёнными геометрического смысла.

Суммы Дарбу и критерий интегрируемости

Интуиция: зажимаем истинную площадь между пессимистом и оптимистом

Проблема с определением через интегральные суммы Римана в том, что его напрямую неудобно проверять: чтобы убедиться в интегрируемости функции, формально нужно перебрать все возможные разбиения и все возможные способы выбора точек $\xi_i$ — а их бесконечно много. Гастон Дарбу предложил изящный обходной путь. Вместо того чтобы выбирать точку $\xi_i$ где-то внутри кусочка произвольным образом, давай рассмотрим сразу два крайних случая: самый «пессимистичный» выбор, при котором на каждом кусочке берётся наименьшее возможное значение функции, и самый «оптимистичный», при котором берётся наибольшее возможное значение.

Представь двух оценщиков недвижимости, которые осматривают участок земли неправильной формы. Один — предельный скептик: на каждом небольшом участке он берёт минимально возможную высоту рельефа и считает объём насыпи по этому минимуму, заведомо занижая оценку. Другой — предельный оптимист: он берёт максимально возможную высоту на каждом участке и заведомо завышает оценку. Истинный объём насыпи гарантированно находится где-то между этими двумя оценками — какую бы точку внутри каждого маленького участка ты ни выбрал для измерения, результат не выйдет за пределы «вилки» между пессимистом и оптимистом. И если, разбивая участок на всё более и более мелкие кусочки, оценки пессимиста и оптимиста сближаются до полного совпадения — значит, они оба сходятся к одному и тому же истинному объёму, и вопрос об интегрируемости решён.

Определение

Определение (суммы Дарбу). Для разбиения $a=x_0 $$m_i = \inf_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x), \qquad M_i = \sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)$$

Нижней суммой Дарбу называется $\displaystyle L = \sum_{i=1}^n m_i\,\Delta x_i$, верхней суммой Дарбу — $\displaystyle U = \sum_{i=1}^n M_i\,\Delta x_i$. При любом выборе точек $\xi_i$ интегральная сумма Римана $S$ удовлетворяет неравенству $L\le S\le U$.

Критерий интегрируемости Римана. Ограниченная на $[a,b]$ функция $f$ интегрируема на этом отрезке тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon>0$ найдётся такое разбиение, что $U-L<\varepsilon$ — иначе говоря, тогда и только тогда, когда разность верхней и нижней сумм Дарбу можно сделать сколь угодно малой при достаточно мелком разбиении.

Из этого критерия сразу следуют два важнейших для практики факта, которые обычно доказывают отдельными теоремами: всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема на нём, и всякая кусочно-непрерывная функция (то есть непрерывная всюду, кроме конечного числа точек разрыва) тоже интегрируема. Интуитивно это понятно: у непрерывной функции на достаточно узком кусочке значения $m_i$ и $M_i$ близки друг к другу (функция «не успевает» сильно измениться на маленьком участке), а конечное число точек разрыва можно окружить настолько узкими кусочками, что их вклад в разность $U-L$ станет пренебрежимо мал.

Разбор примеров

Пример 1 (лёгкий). Найти нижнюю и верхнюю суммы Дарбу для $f(x)=x$ на отрезке $[0,1]$ при разбиении на $4$ равные части.

Точки разбиения: $0,\ 0.25,\ 0.5,\ 0.75,\ 1$. Функция возрастает, значит на каждом кусочке $m_i$ достигается в левом конце, $M_i$ — в правом.

Ответ: $L=\dfrac38$, $U=\dfrac58$, а истинное значение интеграла $\dfrac12$ действительно лежит между ними — это и должно было получиться согласно неравенству $L\le S\le U$.

Пример 2 (средний). Показать, что кусочно-непрерывная функция

интегрируема на $[0,2]$, и вычислить интеграл геометрически.

Функция имеет ровно одну точку разрыва, $x=1$. Возьмём разбиение, в котором точка $x=1$ является одним из узлов разбиения. Тогда на каждом отдельном кусочке (кроме, возможно, крайне узкого кусочка вокруг самой точки разрыва, если разбиение устроено иначе) функция постоянна, значит $m_i=M_i$ на нём, и вклад этого кусочка в $U-L$ равен нулю. Даже если точка разрыва не является узлом разбиения, а попадает внутрь одного кусочка, разность $M_i-m_i$ на этом кусочке не превышает $|3-1|=2$, а сам кусочек можно сделать сколь угодно узким при измельчении — значит его вклад в $U-L$ стремится к нулю. Отсюда критерий Дарбу выполняется, функция интегрируема.

Геометрически интеграл — это сумма площадей двух прямоугольников: $1\cdot1$ (высота $1$, ширина от $0$ до $1$) и $3\cdot1$ (высота $3$, ширина от $1$ до $2$).

Ответ: $1+3=4$.

Пример 3 (сложный). Показать через суммы Дарбу, что функция Дирихле не интегрируема по Риману на $[0,1]$.

Возьмём любое разбиение $[0,1]$ на кусочки. На каждом кусочке $[x_{i-1},x_i]$, каким бы узким он ни был, найдутся и рациональные, и иррациональные точки (оба множества плотны на любом отрезке ненулевой длины). Значит $\sup$ функции $D(x)$ на этом кусочке равен $1$ (достигается на рациональных точках, точнее — является точной верхней гранью), а $\inf$ равен $0$ (на иррациональных).

Эти равенства верны для абсолютно любого разбиения, сколь угодно мелкого — разность $U-L=1$ не зависит от разбиения вообще и никогда не становится меньше, скажем, $\varepsilon=0.5$.

Ответ: критерий Дарбу не выполнен ни при каком разбиении, значит функция Дирихле не интегрируема по Риману на $[0,1]$ — этот результат полностью согласуется с тем, что мы уже видели напрямую через интегральные суммы в первом разделе урока.

Почему это важно

Критерий Дарбу — это именно тот инструмент, который отвечает на вопрос «а для каких вообще функций численные методы интегрирования гарантированно сходятся к правильному ответу?». Ответ: для всех непрерывных и кусочно-непрерывных функций — а это подавляющее большинство функций, с которыми реально работают в приложениях: функции плотности вероятности, функции потерь в машинном обучении, функции активации нейронных сетей. Зная, что такая функция интегрируема, ты можешь быть уверен: метод прямоугольников, метод трапеций или любой другой разумный численный алгоритм, реализующий интегральную сумму с постепенно уменьшающимся диаметром разбиения, обязательно сойдётся к истинному значению интеграла.

Есть и обратная сторона: критерий Дарбу объясняет, почему некоторые вычисления обречены на провал ещё до того, как ты откроешь компьютер. Например, если функция не ограничена на отрезке интегрирования (как $f(x)=\dfrac1x$ при приближении к нулю), верхняя сумма Дарбу автоматически становится бесконечной при любом разбиении, содержащем узкий кусочек около точки неограниченности, — и понятие «интеграла в собственном смысле» здесь просто неприменимо, нужен уже другой аппарат (несобственные интегралы, с которыми ты познакомишься в одном из следующих уроков). Понимание этой границы применимости не менее важно, чем умение считать интегралы там, где граница не нарушена.

Вычисление определённого интеграла прямо по определению

Интуиция: то же самое, что делает компьютер, только руками

Теперь, когда определение интеграла разобрано во всех деталях, у тебя есть возможность вычислить конкретные интегралы напрямую по этому определению — без всяких формул Ньютона—Лейбница и первообразных, которые появятся только в следующем уроке. Это упражнение важно не потому, что так удобно считать интегралы на практике (совсем не удобно — потребуются формулы суммирования арифметических и геометрических прогрессий), а потому, что именно эта процедура — «составь сумму, найди её явную формулу через $n$, устреми $n$ к бесконечности» — это ровно тот алгоритм, который реализует любой компьютерный метод численного интегрирования, только с конечным (не устремлённым к бесконечности) числом кусочков. Метод прямоугольников на компьютере останавливается на каком-то большом, но конечном $n$ и выдаёт приближённое число; то, что мы будем делать ниже вручную, — это тот же самый процесс, доведённый до логического предела.

Формула

Схема вычисления интеграла по определению. Для равномерного разбиения отрезка $[a,b]$ на $n$ частей узлы задаются формулой $x_i = a+\dfrac{(b-a)i}{n}$, $i=0,1,\dots,n$, а $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$. Выбирая, как правило, правые концы $\xi_i=x_i$, составляем сумму

$$S_n = \sum_{i=1}^n f(x_i)\,\Delta x$$

и находим для неё явную формулу через $n$, используя известные формулы сумм ($\sum i$, $\sum i^2$, сумма геометрической прогрессии и так далее). Далее вычисляем $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty} S_n$.

Разбор примеров

Пример 1 (лёгкий). Вычислить $\displaystyle\int_0^1 x\,dx$ прямо по определению.

Равномерное разбиение: $x_i=\dfrac{i}{n}$, $\Delta x=\dfrac1n$, правые концы $\xi_i=\dfrac{i}{n}$.

При $n\to\infty$ слагаемое $\dfrac1{2n}\to0$.

Ответ: $\displaystyle\int_0^1 x\,dx = \frac12$.

Пример 2 (средний). Вычислить $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$ прямо по определению.

Аналогично, $x_i=\dfrac{i}{n}$, $\Delta x=\dfrac1n$.

Раскроем числитель: $(n+1)(2n+1)=2n^2+3n+1$, значит

При $n\to\infty$ последние два слагаемых стремятся к нулю.

Ответ: $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = \frac13$.

Пример 3 (сложный). Вычислить $\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx$ прямо по определению, используя формулу суммы геометрической прогрессии.

Равномерное разбиение: $x_i=\dfrac{i}{n}$, $\Delta x=\dfrac1n$, правые концы. Заметим, что значения $e^{x_i}=e^{i/n}=\left(e^{1/n}\right)^i$ образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q=e^{1/n}$.

Так как $q^n=\left(e^{1/n}\right)^n=e$, получаем $q^n-1=e-1$, и

Обозначим $t=\dfrac1n\to0$ при $n\to\infty$. Тогда $n\left(e^{1/n}-1\right) = \dfrac{e^t-1}{t}$, а это выражение — классический предел, известный из теории эквивалентных бесконечно малых: $\displaystyle\lim_{t\to0}\frac{e^t-1}{t}=1$. Кроме того, $e^{1/n}=e^t\to1$.

Ответ: $\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx = e-1$. Обрати внимание: этот ответ полностью совпадает с тем, что даёт формула Ньютона—Лейбница ($e^1-e^0=e-1$), которую ты изучишь в следующем уроке, — но здесь мы получили его честно, из голого определения, без единой ссылки на первообразную.

Почему это важно

Процедура «составь интегральную сумму → выведи для неё явную формулу через $n$ → устреми $n$ к бесконечности» — это, по сути, ручная версия того, что происходит в методе прямоугольников на компьютере, только доведённая до точного предела вместо остановки на конкретном большом числе итераций. Когда ты пишешь код численного интегрирования (или пользуешься готовой библиотечной функцией вроде scipy.integrate.quad), внутри происходит именно это: отрезок делится на много узких частей, в каждой части функция вычисляется в одной или нескольких точках, результаты взвешенно суммируются. Метод трапеций и более точные методы (например, квадратуры Гаусса) — это более хитрые способы выбрать веса и точки внутри каждого кусочка, но идейный скелет остаётся ровно тем же самым, что мы использовали в примерах выше.

А когда область интегрирования становится многомерной — как, например, при вычислении интеграла плотности вероятности по многомерному пространству признаков или при оценке нормализующей константы в байесовской модели, — регулярная сетка (аналог равномерного разбиения) становится непрактичной: если на каждую координату нужно, скажем, $100$ узлов, а измерений $10$, то общее число узлов сетки — это уже $100^{10}$, немыслимо огромное число. Именно здесь на сцену выходит метод Монте-Карло: вместо регулярной сетки точки $\xi_i$ выбираются случайно, а интеграл оценивается как среднее значение функции в этих случайных точках, умноженное на объём области. Мы уже видели в первом разделе урока, что строгое определение интеграла гарантирует независимость предела от способа выбора точек $\xi_i$ — и именно эта гарантия оправдывает переход от детерминированной сетки к случайной выборке, когда размерность задачи делает регулярную сетку неподъёмной.

Практика: 30 заданий

Базовые задания (1–10)

Задание 1: Вычислить $\displaystyle\int_2^5 3\,dx$ геометрически.

Задание 2: Вычислить $\displaystyle\int_0^4 (x+1)\,dx$ геометрически.

Задание 3: Составить интегральную сумму Римана для $f(x)=2x$ на $[0,3]$ при равномерном разбиении на $n$ частей с правыми концами, и найти её явную формулу через $n$.

Задание 4: Вычислить предел суммы из задания 3 при $n\to\infty$ и сравнить с геометрическим ответом.

Задание 5: Почему $\displaystyle\int_{-3}^3 x\,dx = 0$?

Задание 6: Оценить $\displaystyle\int_0^\pi \sin x\,dx$ сверху и снизу простыми прямоугольниками (разбиение на 2 части).

Задание 7: Вычислить нижнюю и верхнюю суммы Дарбу для $f(x)=x$ на $[0,1]$ при разбиении на 4 равные части.

Задание 8: По формуле равномерного разбиения найти узлы $x_i$ для отрезка $[1,4]$ при $n=6$.

Задание 9: Вычислить $\displaystyle\int_1^4 5\,dx$ через определение, показав, что сумма не зависит от разбиения.

Задание 10: Найти диаметр разбиения отрезка $[0,10]$ точками $0,\,1,\,3,\,4,\,7,\,10$.

Средние задания (11–20)

Задание 11: Составить интегральную сумму Римана для $f(x)=x^2$ на $[0,1]$ при разбиении на $n$ равных частей с правыми концами.

Задание 12: Вычислить предел суммы из задания 11 при $n\to\infty$.

Задание 13: Показать, что для $f(x)=x^2$ на $[0,1]$ выбор левых точек $\xi_i$ даёт тот же предел, что и правых, хотя сами суммы при конечном $n$ различаются.

Задание 14: Найти верхнюю и нижнюю суммы Дарбу для $f(x)=x^2$ на $[0,1]$ при разбиении на $n$ равных частей и показать, что $U_n-L_n\to0$.

Задание 15: Показать, что кусочная функция $f(x)=1$ на $[0,1)$, $f(x)=3$ на $[1,2]$ интегрируема на $[0,2]$, и вычислить интеграл геометрически.

Задание 16: Доказать через суммы Дарбу, что функция Дирихле не интегрируема по Риману на $[0,1]$.

Задание 17: Вычислить $\displaystyle\int_0^2 (3x+1)\,dx$ прямо по определению.

Задание 18 (численное интегрирование): Оценить $\displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ методом прямоугольников со средними точками, $n=4$.

Задание 19: Вычислить $\displaystyle\int_{-2}^2 \sqrt{4-x^2}\,dx$ геометрически.

Задание 20: Доказать через определение, что если $f(x)\ge0$ на $[a,b]$ и интегрируема, то $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx\ge0$.

Продвинутые задания (21–30)

Задание 21: Вычислить $\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx$ прямо по определению через сумму геометрической прогрессии.

Задание 22: Вычислить $\displaystyle\int_0^b x\,dx$ для произвольного $b>0$ прямо по определению.

Задание 23 (метод Монте-Карло): Оценить $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$ методом Монте-Карло по пяти случайным точкам $x_1=0.12,\ x_2=0.34,\ x_3=0.58,\ x_4=0.71,\ x_5=0.95$, взятым из отрезка $[0,1]$.

Задание 24: Показать, что $f(x)=\dfrac1x$ на $(0,1]$ не интегрируема в собственном смысле по Риману на $[0,1]$.

Задание 25: Показать общий принцип: для монотонной на $[0,1]$ функции $f(x)=x^3$ при разбиении на $n$ равных частей разность $U_n-L_n\to0$.

Задание 26 (численное интегрирование): Сравнить метод прямоугольников (средних точек) и метод трапеций для оценки $\displaystyle\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\,dx$ при $n=4$; точное значение равно $\dfrac\pi4\approx0.7854$.

Задание 27: Продемонстрировать теорему о среднем значении интеграла на примере $f(x)=x^2$ на $[0,1]$: найти точку $c$, для которой $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = f(c)\cdot(1-0)$.

Задание 28: Вычислить $\displaystyle\int_0^2 |x-1|\,dx$ геометрически.

Задание 29: Для $f(x)=x$ на $[0,1]$ взять неравномерное разбиение точками $0,\,0.1,\,0.3,\,0.6,\,1$ и правыми концами вычислить интегральную сумму; сравнить с точным значением и объяснить расхождение.

Задание 30 (машинное обучение): Объяснить качественно, почему для оценки многомерного интеграла (например, нормализующей константы в байесовском выводе) метод регулярной сетки становится непрактичным при росте размерности, а метод Монте-Карло остаётся применимым.

Частые ошибки

Давай разберёмся, какие ошибки чаще всего возникают именно на этапе строгого определения интеграла — они не про арифметику, а про понимание самой конструкции.

• Ошибка: считать, что интеграл — это всегда площадь в бытовом, неотрицательном смысле слова. Это неверно: интеграл — алгебраическая (ориентированная) сумма площадей, и он может быть отрицательным или равным нулю, если функция отрицательна на части отрезка или симметрична относительно оси $Ox$.

• Ошибка: думать, что предел интегральной суммы берётся «при $n\to\infty$» безотносительно того, как именно растёт $n$. На самом деле условие — это $d\to0$ (диаметр разбиения, то есть длина самого широкого кусочка стремится к нулю). Можно устремить $n\to\infty$ так, что один из кусочков всё равно останется широким (например, всё время делить только левую половину отрезка пополам, а правую не трогать) — и тогда предел не будет соответствовать интегралу.

• Ошибка: полагать, что любая функция интегрируема по Риману. Это не так — функция Дирихле служит классическим контрпримером, а любая неограниченная на отрезке функция автоматически не интегрируема в собственном смысле.

• Ошибка: путать необходимое и достаточное условия интегрируемости. Ограниченность функции — необходимое условие, но не достаточное (можно построить ограниченные, но не интегрируемые функции вроде функции Дирихле). Непрерывность (или кусочная непрерывность) — достаточное условие, гарантирующее интегрируемость, но не единственно возможное.

• Ошибка: думать, что суммы Дарбу и интегральные суммы Римана — это одно и то же. Суммы Дарбу — это частный, крайний случай интегральных сумм, соответствующий выбору точной верхней или нижней грани на каждом кусочке, а не произвольной точки $\xi_i$. Именно поэтому $L\le S\le U$ для любой интегральной суммы $S$.

• Ошибка: при вычислении интеграла прямо по определению забывать проверить полученный предел на устранимую неопределённость — суммы $\sum i$, $\sum i^2$ и подобные дают дробно-рациональные выражения от $n$, и торопиться сократить их до предельного значения нужно аккуратно, слагаемое за слагаемым, а не «на глаз».

Главное запомнить

• Определённый интеграл $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ определяется как предел интегральной суммы Римана $\sum f(\xi_i)\Delta x_i$ при стремлении диаметра разбиения $d$ к нулю, причём предел должен быть одним и тем же для любого способа разбиения и любого выбора точек $\xi_i$.

• Геометрически интеграл — это алгебраическая (ориентированная) площадь между графиком функции и осью $Ox$: положительная там, где функция выше оси, отрицательная — где ниже.

• Функция Дирихле — классический пример неинтегрируемой по Риману функции: предел интегральной суммы зависит от выбора точек (рациональных или иррациональных), значит единого предела не существует.

• Суммы Дарбу — это интегральные суммы с точной нижней (пессимистичной) и точной верхней (оптимистичной) гранью функции на каждом кусочке разбиения, и для любой интегральной суммы выполняется $L\le S\le U$.

• Критерий интегрируемости Римана: функция интегрируема тогда и только тогда, когда разность верхней и нижней сумм Дарбу $U-L$ можно сделать сколь угодно малой при достаточно мелком разбиении.

• Всякая непрерывная, а также всякая кусочно-непрерывная (с конечным числом точек разрыва) функция на отрезке интегрируема по Риману; всякая монотонная и ограниченная функция — тоже.

• Неограниченная на отрезке функция не интегрируема в собственном смысле по Риману — это отдельный класс задач (несобственные интегралы).

• Вычислить интеграл прямо по определению можно, составив явную формулу интегральной суммы через $n$ (с помощью формул суммирования арифметической и геометрической прогрессий) и найдя её предел при $n\to\infty$.

• Метод прямоугольников (и другие методы численного интегрирования) на компьютере — это буквально интегральная сумма Римана, вычисленная при конечном, но большом $n$, а не доведённая до предельного перехода.

• Метод Монте-Карло — та же интегральная сумма, но со случайным выбором точек $\xi_i$; строгое определение интеграла (независимость предела от выбора точек) гарантирует, что такая случайная сумма тоже сходится к истинному значению интеграла, причём со скоростью, не зависящей от размерности области.

Связь с другими темами курса

Определённый интеграл, разобранный сегодня строго через предел сумм, напрямую опирается на понятие предела последовательности и предела функции, которые ты изучал в самом начале курса математического анализа, — без чёткого $\varepsilon$-$\delta$ понимания предела всё сегодняшнее определение повисло бы в воздухе. Понятие непрерывности функции, изученное несколькими уроками ранее, тоже критически важно: именно непрерывность гарантирует интегрируемость по теореме, упомянутой в разделе про суммы Дарбу.

Вперёд эта тема ведёт к формуле Ньютона—Лейбница — основной теореме математического анализа, которая свяжет строгое, «геометрическое» определение интеграла через предел сумм с алгебраическим, «техническим» вычислением через первообразную, освоенным в предыдущих уроках о неопределённом интеграле и методах интегрирования. Именно эта теорема даст тебе практический способ вычислять большинство интегралов без утомительного составления сумм, как в примерах этого урока, — но её доказательство и сам факт её справедливости опираются в точности на строгое определение, которое мы построили сегодня. Далее последуют свойства определённого интеграла (линейность, аддитивность по отрезку, оценки), приложения интеграла к вычислению площадей, объёмов и длин кривых, а также несобственные интегралы — обобщение сегодняшней конструкции на неограниченные функции и бесконечные промежутки.

Интересные факты

• Символ интеграла $\int$ — это стилизованная, вытянутая буква «S», введённая Лейбницом от латинского слова summa (сумма) — исторически интеграл действительно мыслился именно как предельная сумма, а не как абстрактная операция.

• Риман сформулировал своё строгое определение интеграла не в отдельной работе про интегрирование, а в диссертации 1854 года, посвящённой представимости функций тригонометрическими рядами, — интеграл ему понадобился как побочный инструмент для более общей задачи.

• Существуют функции, ограниченные, но разрывные в бесконечном (даже несчётном) множестве точек, которые тем не менее интегрируемы по Риману, — интегрируемость определяется не количеством разрывов как таковым, а тем, насколько плотно и насколько сильно функция колеблется вблизи этих разрывов.

• Функция Дирихле, неинтегрируемая по Риману, прекрасно интегрируема в более общей теории интеграла Лебега (созданной в начале XX века) — там её интеграл по $[0,1]$ равен $0$, поскольку множество рациональных чисел имеет «меру нуль». Это иллюстрирует, что понятие интеграла — это не одна незыблемая конструкция, а семейство разных определений с разной областью применимости.

• Скорость сходимости метода Монте-Карло $O(1/\sqrt N)$ была строго обоснована лишь в XX веке, но сама идея вероятностной оценки площади через случайные точки восходит ещё к опыту Бюффона XVIII века с бросанием иглы на разлинованный пол — одному из первых известных примеров вычисления числа $\pi$ через случайный эксперимент.

Лайфхаки и полезные трюки

• Прежде чем составлять интегральную сумму «в лоб», всегда проверь функцию на чётность или нечётность — для нечётной функции на симметричном относительно нуля отрезке интеграл сразу равен нулю без единого вычисления, как ты видел в задании 5.

• Если нужно доказать интегрируемость функции, не строй суммы Дарбу с нуля — сначала проверь, не является ли функция непрерывной или кусочно-непрерывной (тогда интегрируемость гарантирована теоремой автоматически) или монотонной (тогда достаточно общей формулы $U_n-L_n=\dfrac{[f(b)-f(a)](b-a)}{n}\to0$, как в задании 25).

• При вычислении интеграла прямо по определению почти всегда достаточно трёх формул суммирования: суммы первых $n$ натуральных чисел, суммы их квадратов и суммы геометрической прогрессии — держи их под рукой, они закрывают подавляющее большинство «школьных» примеров.

• Чтобы быстро прикинуть, интегрируема ли функция «на глаз», задай себе один вопрос: может ли функция принимать сильно разные значения на сколь угодно узком участке отрезка? Если да (как у функции Дирихле) — скорее всего не интегрируема; если функция «плавно» меняется — почти наверняка интегрируема.

• При программировании численного интегрирования метод средних точек почти всегда точнее метода левых или правых прямоугольников при одинаковом числе разбиений — это не случайность, а следствие того, что ошибка метода средней точки компенсирует кривизну функции симметрично с двух сторон, тогда как левый и правый методы систематически завышают или занижают оценку для монотонных функций.

Строгое определение интеграла через предел сумм — это то самое место в курсе, где интуитивная картинка «площадь под кривой» превращается в математический объект, с которым можно доказывать теоремы, гарантировать сходимость численных алгоритмов и уверенно отличать интегрируемые функции от неинтегрируемых. Освоив эту конструкцию один раз по-настоящему, ты навсегда получаешь ясное понимание того, что на самом деле происходит внутри любого численного метода интегрирования — от простейшего метода прямоугольников до продвинутых алгоритмов Монте-Карло, оценивающих многомерные интегралы в современных байесовских моделях. А в следующем уроке мы наконец свяжем эту строгую, но не самую удобную для вычислений конструкцию с той самой техникой первообразных, которую ты уже хорошо освоил, — и получим один из самых красивых и практически полезных результатов всего математического анализа, формулу Ньютона—Лейбница.