🔴 Сложный ⏱️ 60 минут

Исследование функций (полное)

📋 Содержание урока

Исследование функций (полное) 🔍

Представь, что ты запускаешь обучение нейросети, и график функции потерь на экране начинает вести себя странно: сначала резко падает, потом надолго замирает на плато, потом снова ползёт вниз. Что там происходит на самом деле? Где у этой кривой настоящие минимумы, а где — обманчивые «ловушки», в которых градиентный спуск может застрять? Выпукла ли эта функция вообще, а значит, гарантирован ли единственный глобальный минимум, или обучение зависит от того, с какой точки стартовала оптимизация? Ответы на все эти вопросы — не гадание по графику на глаз, а строгая процедура, которую ты последовательно собирал по кусочкам на протяжении десятков предыдущих уроков.

Этот урок — не про новую теорию. Это момент, когда всё, что ты изучал про пределы, непрерывность, производную, теоремы Ролля, Лагранжа и Коши, правило Лопиталя и ряд Тейлора, наконец-то складывается в один рабочий инструмент: алгоритм полного исследования функции. По одной этой функции — без графопостроителя, без калькулятора, вооружившись только производными первого и второго порядка, — ты сможешь абсолютно точно восстановить форму её графика: где она растёт, где падает, где у неё пики и впадины, где график выгибается чашей, а где куполом, куда он улетает на бесконечности и с какой асимптотой. Это ровно тот навык, который отличает человека, «подставляющего числа в формулу», от человека, который понимает, что происходит с функцией.

А теперь смени оптику и посмотри на это с точки зрения машинного обучения. Функция потерь $L(\theta)$, которую минимизирует любой алгоритм обучения — от линейной регрессии до трансформера на миллиарды параметров, — это тоже функция, просто зависящая не от одной переменной, а от вектора параметров $\theta$. Идеи одномерного случая переносятся туда почти без изменений: критические точки (там, где градиент равен нулю) — это кандидаты в минимумы, максимумы или седловые точки; вторая производная (в многомерном случае — матрица вторых производных, гессиан) решает, какой из этих трёх сценариев на самом деле реализовался; выпуклость функции потерь — это прямая гарантия, что у задачи оптимизации есть единственный глобальный минимум, а не целый ландшафт из локальных ловушек. Всё, что ты научишься делать в этом уроке на функции одной переменной $y=f(x)$, — это тренировка того самого мышления, которое потом придётся применять к куда более сложным многомерным ландшафтам.

Наконец, будь честен с собой: до этого момента ты решал отдельные задачи — «найди асимптоту», «найди экстремум», «найди точку перегиба» — как изолированные упражнения. Реальная польза начинается только тогда, когда все эти кусочки собираются в единый план и применяются к одной и той же функции последовательно, шаг за шагом, до тех пор, пока не получится полная, надёжная картина её поведения. Именно это мы и будем делать весь этот урок — на всё более сложных примерах, включая функции, напрямую взятые из мира машинного обучения.

История: откуда это взялось?

Идея «исследовать функцию» кажется настолько естественной, что легко забыть: она сформировалась не сразу и не как единый метод, а как постепенное сращивание нескольких независимых открытий, растянутое почти на два столетия. Первый кирпичик заложил Пьер Ферма ещё в 1630-х годах, задолго до того, как само понятие производной было строго определено: он предложил находить точки максимума и минимума функции, приравнивая к нулю выражение, которое по сути было её производной, хотя формального аппарата дифференциального исчисления тогда ещё не существовало. Ферма интересовали задачи оптики — принцип «свет распространяется по пути наименьшего времени» естественно приводит к поиску минимума функции, и метод для этого требовался позарез, независимо от того, как его потом назовут.

Второй кирпичик — сам аппарат дифференцирования, созданный в конце XVII века независимо Ньютоном и Лейбницем, который наконец дал строгий язык для того, о чём Ферма догадывался интуитивно: производная функции показывает мгновенную скорость её изменения, а значит, точки, где эта скорость равна нулю, — естественные кандидаты на роль вершин и впадин графика. Но одной первой производной было недостаточно: она находит подозрительные точки, но не отвечает, максимум там, минимум, или вообще ничего интересного. Ответ на этот вопрос — уже в XVIII веке — дал анализ второй производной и связанное с ней понятие выпуклости, которое постепенно формализовали такие математики, как Колен Маклорен и позже Огюстен Луи Коши, тот самый автор теоремы о среднем значении из предыдущих уроков.

Собственно систематизация — идея, что все эти отдельные приёмы стоит выстроить в единый пошаговый план исследования функции перед построением её графика, — сложилась уже в XIX веке, по мере того как математический анализ обретал строгость через работы Больцано, Коши и Вейерштрасса. Именно тогда «исследование функции» стало устойчивым разделом учебников: сначала находим, где функция вообще определена, затем изучаем её симметрию и поведение на бесконечности, затем — с помощью первой производной — её рост и падение, затем — с помощью второй — её форму, и в конце собираем всё это в график. Эта структура настолько удобна и логична, что за полтора века почти не изменилась и в неизменном виде дошла до сегодняшних учебников — в том числе до этого урока.

Область определения, симметрия и асимптоты

Интуиция: знакомство с функцией «издалека»

Прежде чем разбирать функцию по производным, разумно для начала просто познакомиться с ней — примерно как перед тем, как разбирать сложный механизм на детали, стоит сначала понять, для чего он вообще нужен и в каких условиях работает. Область определения отвечает на вопрос «где функция вообще существует», симметрия — «есть ли в её поведении зеркальная закономерность, которая сразу сократит объём работы вдвое», а асимптоты — «куда график стремится там, где сама функция становится неудобной для прямого вычисления»: на бесконечности или рядом с точками, которые выпадают из области определения. Это разведка перед основным исследованием — она почти ничего не стоит по трудозатратам, но экономит массу усилий дальше.

Алгоритм

Каждый из этих четырёх пунктов выполняется в фиксированном порядке — потому что результат одного пункта часто напрямую влияет на следующий (например, знание области определения нужно, чтобы понять, в каких точках вообще искать вертикальные асимптоты).

Область определения $D(f)$: исключи точки, где знаменатель обращается в ноль, где подкоренное выражение чётного корня отрицательно, где аргумент логарифма неположителен, где аргумент арксинуса/арккосинуса выходит за пределы $[-1,1]$, и так далее для каждой «капризной» операции в формуле функции.
Чётность, нечётность, периодичность: проверь равенства $f(-x)=f(x)$ (чётность, график симметричен относительно оси $Oy$) и $f(-x)=-f(x)$ (нечётность, график симметричен относительно начала координат). Если ни одно из равенств не выполняется — функция общего вида. Отдельно проверь, не является ли функция периодической (обычно это актуально для тригонометрических выражений) — если да, дальнейшее исследование достаточно провести на одном периоде.
Точки пересечения с осями координат: с осью $Oy$ — вычисли $f(0)$, если точка $x=0$ входит в область определения; с осью $Ox$ — реши уравнение $f(x)=0$ (иногда явно, иногда достаточно указать промежутки, где функция точно положительна или отрицательна).
Асимптоты. Вертикальные — исследуй односторонние пределы функции в точках разрыва и на границах области определения: если хотя бы один из пределов бесконечен, прямая $x=a$ — вертикальная асимптота. Горизонтальные — вычисли $\lim\limits_{x\to\pm\infty} f(x)$: если предел конечен и равен $b$, прямая $y=b$ — горизонтальная асимптота (отдельно для $+\infty$ и для $-\infty$, они могут различаться). Наклонные — если горизонтальной асимптоты нет, ищи прямую $y=kx+b$ по формулам $k=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ и $b=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)-kx\bigr)$; если оба предела существуют и конечны (причём $k\ne0$, иначе это на самом деле горизонтальная асимптота), прямая найдена.

Разбор примеров

Пример 1 (лёгкий). Исследовать область определения, симметрию и асимптоты функции $f(x)=x^3-3x$.

Это многочлен, а многочлены определены на всей числовой прямой: $D(f)=\mathbb{R}$. Проверяем чётность: $f(-x)=(-x)^3-3(-x)=-x^3+3x=-(x^3-3x)=-f(x)$ — функция нечётная, её график симметричен относительно начала координат, и всё исследование для $x>0$ автоматически зеркально переносится на $x<0$. Периодичности здесь нет. Асимптот тоже нет: многочлен степени выше первой не может иметь ни горизонтальной, ни наклонной асимптоты, потому что $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty$ растёт быстрее любой линейной функции, а вертикальных асимптот у многочлена не бывает вовсе, поскольку он определён и непрерывен везде.

Пример 2 (средний). Исследовать область определения, симметрию и асимптоты функции $f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}$.

Знаменатель обращается в ноль при $x=1$, значит $D(f)=(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$. Проверка чётности: $f(-x)=\dfrac{x^2}{-x-1}$ — это не совпадает ни с $f(x)$, ни с $-f(x)$, значит функция общего вида, без симметрии. Точка пересечения с осью $Oy$: $f(0)=0$; с осью $Ox$: $x^2=0\Rightarrow x=0$ — та же точка. Вертикальная асимптота: при $x\to1^+$ числитель стремится к $1$, знаменатель — к $0^+$, значит $f(x)\to+\infty$; при $x\to1^-$ знаменатель стремится к $0^-$, значит $f(x)\to-\infty$. Прямая $x=1$ — вертикальная асимптота. Горизонтальной асимптоты нет, поскольку $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$. Ищем наклонную: разделим числитель на знаменатель уголком, $x^2=(x-1)(x+1)+1$, значит

$$f(x)=\frac{x^2}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$$

При $x\to\pm\infty$ последнее слагаемое стремится к $0$, значит наклонная асимптота — прямая $y=x+1$ (это же даёт формальный расчёт: $k=\lim\frac{f(x)}{x}=1$, $b=\lim(f(x)-x)=1$).

Пример 3 (сложный). Исследовать область определения, симметрию и асимптоты функции $f(x)=x^4-4x^2$.

Многочлен, $D(f)=\mathbb{R}$. Проверка чётности: $f(-x)=(-x)^4-4(-x)^2=x^4-4x^2=f(x)$ — функция чётная, график симметричен относительно оси $Oy$, и достаточно исследовать её только для $x\ge0$, а левую половину получить зеркальным отражением. Пересечение с осью $Oy$: $f(0)=0$. Пересечение с осью $Ox$: $x^4-4x^2=x^2(x^2-4)=0\Rightarrow x=0,\ x=\pm2$. Асимптот, как и у любого многочлена, нет — ни вертикальных (функция определена и непрерывна всюду), ни горизонтальных/наклонных (при $x\to\pm\infty$ старшая степень $x^4$ обеспечивает $f(x)\to+\infty$ быстрее любой линейной функции).

Почему это важно

Эти четыре пункта — не формальность для галочки перед «настоящим» исследованием через производные, а способ резко сократить объём последующей работы. Обнаруженная чётность вдвое уменьшает объём вычислений (для нечётной или чётной функции достаточно исследовать только $x\ge0$). Найденные асимптоты сразу говорят, куда «убегает» график в тех областях, где прямое вычисление значений неудобно или невозможно. А область определения — это единственное, что определяет, на каких промежутках вообще имеет смысл искать монотонность, экстремумы и точки перегиба в следующих разделах: невозможно исследовать функцию там, где она не существует.

Монотонность и экстремумы через первую производную

Интуиция: производная как компас на карте функции

Если функция — это маршрут по холмистой местности, то первая производная в каждой точке говорит тебе, в какую сторону сейчас идёт тропа: положительный знак — идёшь в гору (функция возрастает), отрицательный — спускаешься (функция убывает), а ноль — момент, когда тропа на мгновение выравнивается: это либо вершина холма, либо дно оврага, либо просто ровная площадка без перепада высоты. Ровно так же в машинном обучении градиент функции потерь (многомерный аналог производной) показывает направление наискорейшего роста в каждой точке — и алгоритм градиентного спуска буквально идёт в противоположную сторону, спускаясь по этому «рельефу» в поисках низшей точки. Критические точки функции потерь — точки, где градиент равен нулю, — это в точности места, где алгоритм оптимизации мог бы остановиться, если бы попал ровно туда.

Алгоритм

Найди производную $f'(x)$ и определи её область определения (она может быть уже, чем у самой $f$ — например, у $\sqrt{x}$ в точке $x=0$ производной не существует, хотя сама функция там определена).
Найди критические точки: реши уравнение $f'(x)=0$, а также отметь точки, где $f'(x)$ не существует, но сама $f(x)$ определена (в них может быть «излом» или вертикальная касательная).
Отметь критические точки на числовой прямой — они разбивают область определения на промежутки.
На каждом промежутке определи знак $f'(x)$ (достаточно подставить любую пробную точку из промежутка или проанализировать множители производной). Промежутки с $f'(x)>0$ — функция возрастает, с $f'(x)<0$ — убывает.
В каждой критической точке посмотри, меняется ли знак $f'(x)$ при переходе через неё: смена с плюса на минус — точка локального максимума, с минуса на плюс — точка локального минимума, если знак не меняется — это не точка экстремума (функция там просто на мгновение «выравнивается», не меняя общего направления).

Разбор примеров

Пример 1 (лёгкий). Исследовать монотонность и экстремумы функции $f(x)=x^3-3x$ (продолжаем пример из предыдущего раздела).

$$f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$$

Критические точки: $x=-1$ и $x=1$. Определяем знак на трёх промежутках: при $x<-1$ (например, $x=-2$): $3(-3)(-1)=9>0$ — возрастает; при $-1убывает; при $x>1$ (например, $x=2$): $3(1)(3)=9>0$ — возрастает. Значит в точке $x=-1$ знак меняется с плюса на минус — это точка локального максимума, $f(-1)=-1+3=2$. В точке $x=1$ знак меняется с минуса на плюс — это точка локального минимума, $f(1)=1-3=-2$.

Пример 2 (средний). Исследовать монотонность и экстремумы функции $f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}$ (продолжаем предыдущий пример, $D(f)=(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$).

Удобнее дифференцировать функцию в уже упрощённом виде $f(x)=x+1+\dfrac{1}{x-1}$:

$$f'(x)=1-\frac{1}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)^2-1}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$$

Знаменатель $(x-1)^2$ всегда положителен (кроме самой точки $x=1$, которая не входит в область определения), поэтому знак $f'(x)$ полностью определяется числителем $x(x-2)$. Критические точки числителя: $x=0$ и $x=2$ (точка $x=1$ — не критическая точка производной, а просто разрыв области определения, но она тоже разбивает числовую прямую на промежутки для анализа). При $x<0$ (например, $x=-1$): $(-1)(-3)=3>0$ — возрастает. При $0убывает. При $1убывает (знак не меняется при переходе через разрыв $x=1$, потому что $x=1$ — не критическая точка, а просто выпадает из области определения). При $x>2$ (например, $x=3$): $(3)(1)=3>0$ — возрастает. Значит в точке $x=0$ знак меняется с плюса на минус — локальный максимум, $f(0)=0$. В точке $x=2$ знак меняется с минуса на плюс — локальный минимум, $f(2)=\dfrac{4}{1}=4$.

Пример 3 (сложный, ML-мотив). Исследовать монотонность и экстремумы функции $f(x)=x^4-4x^2$ — представь, что это упрощённая игрушечная модель функции потерь с двумя «долинами».

$$f'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)=4x(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)$$

Критические точки: $x=-\sqrt2$, $x=0$, $x=\sqrt2$. Четыре промежутка, проверяем знак на каждом: при $x<-\sqrt2$ (например, $x=-2$): $4(-2)(4-2)=4(-2)(2)=-16<0$ — убывает. При $-\sqrt20$ — возрастает. При $0убывает. При $x>\sqrt2$ (например, $x=2$): $4(2)(4-2)=16>0$ — возрастает. Смена знака в $x=-\sqrt2$ (минус на плюс) — локальный минимум, $f(-\sqrt2)=4-8=-4$. Смена знака в $x=0$ (плюс на минус) — локальный максимум, $f(0)=0$. Смена знака в $x=\sqrt2$ (минус на плюс) — локальный минимум, $f(\sqrt2)=4-8=-4$.

Обрати внимание на форму этого «ландшафта»: две симметричные впадины одинаковой глубины ($-4$) разделены невысоким холмом в точке $x=0$. Это ровно тот тип поведения, который делает функцию потерь неудобной для оптимизации: если запустить градиентный спуск из случайной точки, результат — то есть в какую именно впадину он скатится — будет зависеть исключительно от того, левее или правее холма находилась стартовая точка, хотя обе впадины дают одинаково хороший результат.

Почему это важно

Первая производная превращает бесконечное множество вопросов «а что происходит с функцией вот здесь конкретно» в один конечный список из нескольких промежутков и нескольких точек — и этого достаточно, чтобы знать поведение функции везде, без необходимости вычислять её значение в каждой отдельной точке. В оптимизации это ровно тот же принцип: вместо того чтобы перебирать все значения параметров модели, алгоритм ищет точки, где градиент обнуляется, и дальше проверяет их природу — минимум это, максимум или что-то ещё более тонкое, что мы обсудим в следующем разделе через вторую производную.

Выпуклость, вогнутость и точки перегиба через вторую производную

Интуиция: не просто «куда идём», а «как меняется наклон»

Первая производная сказала тебе, растёт функция или убывает. Но этого недостаточно, чтобы полностью понять форму графика: функция может расти всё быстрее и быстрее (график «разгоняется», выгибаясь как чаша вверх) или расти, но всё медленнее замедляясь (график «выгибается» как купол, приближаясь к горизонтали). Вторая производная $f''(x)$ — это производная от производной, то есть скорость изменения самого наклона. Если $f''(x)>0$ на промежутке, наклон касательной непрерывно возрастает, график лежит выше любой своей касательной и напоминает чашу — такую функцию называют выпуклой вниз (в англоязычной и в ML-литературе это и есть convex). Если $f''(x)<0$, наклон убывает, график лежит ниже своих касательных и напоминает купол — это выпуклость вверх (в ML-терминах — concave, вогнутая функция). Точка, где выпуклость сменяется на вогнутость (или наоборот), — точка перегиба: место, где график «меняет сторону» относительно своей касательной.

Именно понятие выпуклости — то самое, ради которого в машинном обучении вообще стоит городить весь этот аппарат. Если функция потерь выпукла (вниз, $f''\ge0$ на всей области), у неё гарантированно не может быть локальных минимумов, отличных от глобального: любой найденный локальный минимум автоматически является лучшим из возможных. Это огромная удача для оптимизации — именно поэтому линейная и логистическая регрессия с классическими функциями потерь так надёжно обучаются: их функции потерь выпуклы по построению. У современных глубоких нейросетей это, увы, почти никогда не так — их функции потерь, как правило, невыпуклые, с множеством локальных минимумов и с ещё одним коварным явлением, которое одномерный случай не показывает напрямую, но к которому прямо подводит: седловыми точками, где градиент равен нулю, но точка не является ни минимумом, ни максимумом ни по одному направлению.

Алгоритм

Найди вторую производную $f''(x)$.
Реши уравнение $f''(x)=0$ и отметь точки, где $f''(x)$ не существует, но сама функция определена — это точки-кандидаты на перегиб.
Определи знак $f''(x)$ на каждом промежутке между этими точками: $f''(x)>0$ — функция выпукла вниз (график лежит выше касательных, выпуклая в ML-смысле), $f''(x)<0$ — функция выпукла вверх (вогнутая).
Точка-кандидат становится настоящей точкой перегиба, только если знак $f''(x)$ действительно меняется при переходе через неё (аналогично проверке экстремума через первую производную) — и при этом сама функция в этой точке определена и непрерывна.
Дополнительно: если $f'(x_0)=0$ и $f''(x_0)\ne0$, знак $f''(x_0)$ мгновенно определяет тип экстремума без построения таблицы знаков первой производной — это удобный технический приём, известный как признак экстремума по второй производной: $f''(x_0)>0$ гарантирует локальный минимум, $f''(x_0)<0$ — локальный максимум (а если $f''(x_0)=0$, этот признак не работает, и нужно возвращаться к анализу знака первой производной, как в предыдущем разделе).

Разбор примеров

Пример 1 (лёгкий). Исследовать выпуклость и точки перегиба функции $f(x)=x^3-3x$.

Из предыдущего раздела $f'(x)=3x^2-3$, значит

$$f''(x)=6x$$

Единственный кандидат: $x=0$. При $x<0$: $f''(x)<0$ — выпукла вверх (вогнутая). При $x>0$: $f''(x)>0$ — выпукла вниз. Знак меняется, значит $x=0$ — точка перегиба, $f(0)=0$. Обрати внимание: по нечётной симметрии этой функции точка перегиба ровно совпадает с центром симметрии графика — это не совпадение, а общий факт: у нечётной функции точка перегиба (если она единственная и связана с симметрией) всегда лежит в начале координат.

Пример 2 (средний). Исследовать выпуклость и точки перегиба функции $f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}$.

Из предыдущего раздела $f'(x)=1-(x-1)^{-2}$, значит

$$f''(x)=2(x-1)^{-3}=\frac{2}{(x-1)^3}$$

Это выражение никогда не равно нулю (числитель — константа $2$), значит точек, где $f''(x)=0$, нет вовсе. Но есть точка $x=1$, где функция не определена — она разбивает область определения на два промежутка. При $x<1$: $(x-1)^3<0$, значит $f''(x)<0$ — выпукла вверх. При $x>1$: $(x-1)^3>0$, значит $f''(x)>0$ — выпукла вниз. Формально знак меняется при переходе через $x=1$ — но это не точка перегиба, потому что сама функция там не определена (перегиб может существовать только там, где у функции действительно есть график). Здесь смена выпуклости просто «сопровождает» вертикальную асимптоту, а не создаёт настоящую точку перегиба — важная тонкость, которую легко упустить.

Пример 3 (сложный, ML-мотив). Исследовать выпуклость и точки перегиба функции $f(x)=x^4-4x^2$ — продолжаем анализ «игрушечного ландшафта потерь» с двумя впадинами.

Из предыдущего раздела $f'(x)=4x^3-8x$, значит

$$f''(x)=12x^2-8$$

Приравниваем к нулю: $12x^2=8\Rightarrow x^2=\dfrac23\Rightarrow x=\pm\sqrt{\dfrac23}=\pm\dfrac{\sqrt6}{3}$. При $|x|>\sqrt{2/3}$: $f''(x)>0$ — выпукла вниз. При $|x|<\sqrt{2/3}$: $f''(x)<0$ — выпукла вверх. Оба кандидата дают настоящую смену знака, значит это две точки перегиба: $x=\pm\dfrac{\sqrt6}{3}\approx\pm0{,}816$.

Применим здесь и признак экстремума по второй производной к критическим точкам из предыдущего раздела, для проверки: $f''(-\sqrt2)=12\cdot2-8=16>0$ — подтверждает локальный минимум в $x=-\sqrt2$ (совпадает с тем, что мы нашли через первую производную). $f''(0)=-8<0$ — подтверждает локальный максимум в $x=0$. $f''(\sqrt2)=16>0$ — подтверждает локальный минимум в $x=\sqrt2$. Оба метода дают идентичный результат, что и должно быть — это просто два разных способа проверить один и тот же факт.

Теперь взгляни на общую картину: между двумя минимумами лежит не просто локальный максимум, а область, где функция выпукла вверх (вогнутая) — именно эта «вогнутая шапка» между двумя впадинами и создаёт тот самый локальный максимум-разделитель. В многомерных ландшафтах функций потерь глубоких сетей аналог этой картины — целые хребты и сёдла между областями притяжения разных минимумов, и то, выпукла ли окрестность каждой конкретной точки, — ровно та информация, которую даёт (уже многомерный) аналог второй производной, матрица Гессе.

Почему это важно

Вторая производная — это последний недостающий кусочек, без которого первая производная даёт лишь неполную картину: она отличает «гладкий, предсказуемый» рост или падение от того, где график вот-вот резко изменит характер изгиба. А для машинного обучения понятие выпуклости, которое рождается именно здесь, — это не абстрактная геометрическая тонкость, а прямая практическая гарантия: выпуклая функция потерь означает, что можно спать спокойно и знать, что найденный минимум — лучший из возможных, а невыпуклая означает, что результат обучения может зависеть от случайной инициализации весов, и именно поэтому невыпуклая оптимизация в глубоком обучении — отдельная большая и до конца не решённая область исследований.

Сборка полного плана и построение графика

Интуиция: собираем следствие воедино

Каждый из трёх предыдущих разделов по отдельности отвечал на свой узкий вопрос. Но настоящая сила метода раскрывается только тогда, когда все ответы собираются в единую последовательную процедуру — как улики в расследовании, каждая из которых сама по себе мало что доказывает, но вместе они выстраиваются в полную и непротиворечивую картину. Полное исследование функции — это именно такое расследование: семь пунктов, выполняемых по порядку, каждый из которых опирается на предыдущие, а в конце — построение графика, который сходится в единую согласованную форму, если ни на одном из шагов не было ошибки.

Алгоритм: полная схема исследования функции

1. Область определения $D(f)$.
2. Чётность, нечётность, периодичность — экономит объём дальнейшей работы, если симметрия есть.
3. Точки пересечения с осями координат — $f(0)$ (если определено) и корни $f(x)=0$.
4. Асимптоты — вертикальные (через односторонние пределы в точках разрыва), горизонтальные и наклонные (через пределы на бесконечности).
5. Промежутки монотонности и точки экстремума — через знак $f'(x)$.
6. Промежутки выпуклости и точки перегиба — через знак $f''(x)$.
7. Построение графика — свести все найденные данные в одну таблицу (значения $x$-координат ключевых точек в порядке возрастания, значения функции в них, знаки $f'$ и $f''$ на промежутках между ними), при необходимости вычислить пару дополнительных «контрольных» точек, и по этой информации построить график, который учитывает симметрию, асимптотическое поведение, все экстремумы и все перегибы одновременно.

Разбор примеров

Пример 1 (лёгкий). Полное исследование функции $f(x)=x^3-3x$ и построение её графика.

1. Область определения: многочлен, $D(f)=\mathbb{R}$.

2. Симметрия: $f(-x)=-f(x)$ — функция нечётная, график симметричен относительно начала координат.

3. Пересечения с осями: $f(0)=0$; $f(x)=x(x^2-3)=0\Rightarrow x=0,\ \pm\sqrt3$.

4. Асимптоты: отсутствуют (многочлен степени $3$).

5. Монотонность и экстремумы: $f'(x)=3(x-1)(x+1)$. Возрастает на $(-\infty,-1)$ и на $(1,+\infty)$, убывает на $(-1,1)$. Локальный максимум в $x=-1$, $f(-1)=2$; локальный минимум в $x=1$, $f(1)=-2$.

6. Выпуклость и перегибы: $f''(x)=6x$. Выпукла вверх на $(-\infty,0)$, выпукла вниз на $(0,+\infty)$. Точка перегиба $(0,0)$.

7. График: сводим в таблицу опорные точки в порядке возрастания $x$: $(-\sqrt3,0)$ — убывает (здесь функция ещё возрастает: $-\sqrt3\approx-1{,}73<-1$, значит эта точка уже после локального максимума не важна для порядка — уточним ниже). Правильный порядок абсцисс: $-\sqrt3\approx-1{,}73,\ -1,\ 0,\ 1,\ \sqrt3\approx1{,}73$. На $(-\infty,-1)$ функция возрастает и выпукла вверх; проходит через $(-\sqrt3,0)$, поднимается до локального максимума $(-1,2)$; затем убывает и продолжает быть выпуклой вверх до точки перегиба $(0,0)$; после перегиба убывание продолжается, но уже с выпуклостью вниз, до локального минимума $(1,-2)$; после чего функция возрастает и остаётся выпуклой вниз, проходя через $(\sqrt3,0)$ и уходя на $+\infty$. Вся левая часть графика при $x<0$ — зеркальное (относительно начала координат) отражение правой части при $x>0$, что полностью согласуется с найденной нечётностью.

Пример 2 (средний). Полное исследование функции $f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}$ и построение её графика.

1. Область определения: $D(f)=(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$.

2. Симметрия: общего вида, без симметрии.

3. Пересечения с осями: $f(0)=0$ (единственная точка пересечения и с $Ox$, и с $Oy$, поскольку $x^2=0\Rightarrow x=0$ — единственный корень).

4. Асимптоты: вертикальная $x=1$ (при $x\to1^+$: $f\to+\infty$; при $x\to1^-$: $f\to-\infty$); наклонная $y=x+1$ (получена делением уголком, $f(x)=x+1+\frac{1}{x-1}$).

5. Монотонность и экстремумы: $f'(x)=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}$. Возрастает на $(-\infty,0)$, убывает на $(0,1)$ и на $(1,2)$, возрастает на $(2,+\infty)$. Локальный максимум в $x=0$, $f(0)=0$; локальный минимум в $x=2$, $f(2)=4$.

6. Выпуклость и перегибы: $f''(x)=\dfrac{2}{(x-1)^3}$. Выпукла вверх на $(-\infty,1)$, выпукла вниз на $(1,+\infty)$. Настоящих точек перегиба нет (смена знака происходит на разрыве $x=1$, а не в точке графика).

7. График: при $x\to-\infty$ график приближается к наклонной асимптоте $y=x+1$ снизу (поскольку $\frac{1}{x-1}\to0^-$ при $x\to-\infty$), возрастает и выпукл вверх до точки $(0,0)$ — локального максимума; затем убывает, оставаясь выпуклым вверх, устремляясь к $-\infty$ при приближении к вертикальной асимптоте $x=1$ слева. Справа от асимптоты график выходит из $+\infty$, убывает и уже выпукл вниз до локального минимума $(2,4)$; после чего возрастает, оставаясь выпуклым вниз, и при $x\to+\infty$ приближается к той же наклонной асимптоте $y=x+1$, но уже сверху. Асимптота служит своеобразной «осью», вокруг которой график разворачивается двумя разными ветвями.

Пример 3 (сложный, ML-мотив). Полное исследование функции $f(x)=x^4-4x^2$ и построение её графика как игрушечной модели невыпуклого ландшафта потерь.

1. Область определения: многочлен, $D(f)=\mathbb{R}$.

2. Симметрия: $f(-x)=f(x)$ — функция чётная, график симметричен относительно оси $Oy$.

3. Пересечения с осями: $f(0)=0$; $f(x)=x^2(x^2-4)=0\Rightarrow x=0,\ \pm2$.

4. Асимптоты: отсутствуют (многочлен степени $4$).

5. Монотонность и экстремумы: $f'(x)=4x(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)$. Убывает на $(-\infty,-\sqrt2)$, возрастает на $(-\sqrt2,0)$, убывает на $(0,\sqrt2)$, возрастает на $(\sqrt2,+\infty)$. Локальные минимумы в $x=\pm\sqrt2$, $f(\pm\sqrt2)=-4$; локальный максимум в $x=0$, $f(0)=0$.

6. Выпуклость и перегибы: $f''(x)=12x^2-8$. Выпукла вниз на $\left(-\infty,-\frac{\sqrt6}{3}\right)$ и на $\left(\frac{\sqrt6}{3},+\infty\right)$, выпукла вверх на $\left(-\frac{\sqrt6}{3},\frac{\sqrt6}{3}\right)$. Точки перегиба $x=\pm\frac{\sqrt6}{3}\approx\pm0{,}816$, значение в них $f\left(\pm\frac{\sqrt6}{3}\right)=\left(\frac23\right)^2-4\cdot\frac23=\frac49-\frac83=-\frac{20}{9}\approx-2{,}22$.

7. График: благодаря чётности достаточно описать поведение при $x\ge0$ и зеркально отразить его на $x<0$. Из $x=0$ (локальный максимум, значение $0$, график выпуклый вверх) функция убывает, минуя точку перегиба $\left(\frac{\sqrt6}{3},-\frac{20}{9}\right)$, где выпуклость сменяется на выпуклость вниз, и продолжает убывать до локального минимума $(\sqrt2,-4)$ — это дно правой «впадины». После этого функция возрастает, оставаясь выпуклой вниз, проходит через $(2,0)$ и неограниченно уходит вверх при $x\to+\infty$. Левая половина графика — точное зеркальное отражение через ось $Oy$.

Этот график — учебная, но абсолютно точная иллюстрация того, почему невыпуклая оптимизация сложна: если ты «запустишь шарик» (представь градиентный спуск) откуда-нибудь из окрестности $x=0{,}3$, он скатится в правую впадину $x=\sqrt2$; если из $x=-0{,}3$ — в левую $x=-\sqrt2$, хотя обе впадины абсолютно равноценны по глубине. А вот вершина в $x=0$ — не самая опасная точка: производная там равна нулю, но вторая производная строго отрицательна, значит это настоящий локальный максимум, и любое малейшее отклонение от него уводит функцию вниз в одну из впадин. По-настоящему коварные точки в многомерных ландшафтах — седловые: там, где по одним направлениям функция ведёт себя как минимум, а по другим — как максимум одновременно; в одномерном случае такого не бывает в принципе (у функции одной переменной критическая точка — либо экстремум, либо не экстремум), но именно поэтому важно помнить, что многомерная картина богаче, и второй производной там соответствует уже не число, а целая матрица вторых частных производных.

Почему это важно

Собранный воедино алгоритм — это не просто удобная шпаргалка для решения задач в учебнике, а практическая методология анализа любой заданной формулой функции: от простейшего многочлена до сложной функции потерь, взятой в одномерном срезе (например, зафиксировав все параметры модели, кроме одного, и изучив, как потери меняются вдоль этого единственного направления). Умение пройти по всем семи пунктам без пропусков, аккуратно проверяя условия на каждом шаге, — это ровно тот навык, который отличает уверенное понимание формы функции от угадывания её графика по нескольким случайно вычисленным точкам.

Практика: 30 заданий

Базовые задания (1–10)

Задание 1: Найти область определения функции $f(x)=\sqrt{x^2-4}$.

Задание 2: Найти область определения функции $f(x)=\dfrac{\ln(x+3)}{x-1}$.

Задание 3: Определить, является ли чётной, нечётной или общего вида функция $f(x)=x^4-2x^2+1$.

Задание 4: Определить, является ли чётной, нечётной или общего вида функция $f(x)=x^3+x$.

Задание 5: Найти точки пересечения с осями координат для функции $f(x)=x^2-5x+6$.

Задание 6: Найти вертикальные асимптоты функции $f(x)=\dfrac{1}{x^2-9}$.

Задание 7: Найти горизонтальную асимптоту функции $f(x)=\dfrac{3x+1}{x-2}$.

Задание 8: Найти промежутки монотонности функции $f(x)=x^2-4x+3$.

Задание 9: Найти точку экстремума функции $f(x)=-x^2+6x-5$.

Задание 10: Найти промежутки выпуклости и точку перегиба функции $f(x)=x^3$.

Средние задания (11–20)

Задание 11: Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции $f(x)=x^3-6x^2+9x$.

Задание 12: Найти наклонную асимптоту функции $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x}$.

Задание 13: Найти все асимптоты и определить чётность функции $f(x)=\dfrac{2x^2}{x^2-1}$.

Задание 14: Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции $f(x)=x^4-6x^2$.

Задание 15: Найти точку экстремума функции $f(x)=x\,e^{-x}$.

Задание 16: Определить нечётность, найти горизонтальную асимптоту и точки экстремума функции $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$.

Задание 17: Найти точку экстремума функции $f(x)=x\ln x$ (заметь: эта функция — базовый строительный блок формулы энтропии в теории информации и машинном обучении).

Задание 18 (ML): Найти точку перегиба функции $\sigma(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}$ — стандартной сигмоиды, одной из самых распространённых функций активации.

Задание 19: Найти точку экстремума функции $f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}$ (кривая Аньези).

Задание 20 (ML, теория): Доказать, что квадратичная функция потерь $L(x)=(x-a)^2$ (частный случай среднеквадратичной ошибки MSE относительно фиксированной цели $a$) выпукла вниз на всей числовой прямой при любом фиксированном $a$, и объяснить, почему из этого следует существование единственного глобального минимума.

Продвинутые задания (21–30)

Задание 21: Провести полное исследование функции $f(x)=x^3-3x^2$ и построить её график.

Задание 22: Провести полное исследование функции $f(x)=\dfrac{x^2}{x+1}$ и построить её график.

Решение:

1. Область определения: $x\ne-1$, $D(f)=(-\infty,-1)\cup(-1,+\infty)$.

2. Симметрия: $f(-x)=\dfrac{x^2}{-x+1}$ — не совпадает ни с $f(x)$, ни с $-f(x)$, функция общего вида.

3. Пересечения с осями: $f(0)=0$ — единственная точка (совпадает пересечение с обеими осями).

4. Асимптоты: при $x\to-1^-$: числитель $\to1$, знаменатель $\to0^-$, значит $f\to-\infty$; при $x\to-1^+$: знаменатель $\to0^+$, значит $f\to+\infty$ — вертикальная асимптота $x=-1$. Делим уголком: $x^2=(x+1)(x-1)+1$, значит $f(x)=x-1+\dfrac{1}{x+1}$ — наклонная асимптота $y=x-1$.

5. Монотонность и экстремумы: $f'(x)=1-\dfrac{1}{(x+1)^2}=\dfrac{(x+1)^2-1}{(x+1)^2}=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}=\dfrac{x(x+2)}{(x+1)^2}$. Критические точки $x=-2$, $x=0$ (знаменатель всегда положителен, $x=-1$ не входит в область определения). Возрастает на $(-\infty,-2)$, убывает на $(-2,-1)$ и $(-1,0)$, возрастает на $(0,+\infty)$.

6. Выпуклость и перегибы: $f''(x)=\dfrac{2}{(x+1)^3}$, никогда не равна нулю. При $x<-1$: выпукла вверх; при $x>-1$: выпукла вниз. Настоящих точек перегиба нет — смена знака происходит на разрыве.

Ответ: локальный максимум в $x=-2$, $f(-2)=\dfrac{4}{-1}=-4$; локальный минимум в $x=0$, $f(0)=0$. График приближается к наклонной асимптоте $y=x-1$ снизу при $x\to-\infty$, поднимается до максимума $(-2,-4)$, убывает (выпукло вверх) до $-\infty$ у асимптоты $x=-1$ слева; справа от асимптоты выходит из $+\infty$, убывает (выпукло вниз) до минимума $(0,0)$, затем возрастает, приближаясь к $y=x-1$ сверху при $x\to+\infty$.

Задание 23 (ML): Провести полное исследование функции $f(x)=x^4-2x^2$ — ещё одной игрушечной модели невыпуклого ландшафта потерь с двумя минимумами.

Задание 24 (ML): Провести полное исследование функции $f(x)=x\,e^{-x^2}$.

Решение:

1. Область определения: $D(f)=\mathbb{R}$ (экспонента определена всегда).

2. Симметрия: $f(-x)=-x\,e^{-x^2}=-f(x)$ — функция нечётная.

3. Пересечения с осями: $f(0)=0$ — единственная точка ($e^{-x^2}$ никогда не обращается в ноль, значит $f(x)=0$ только при $x=0$).

4. Асимптоты: вертикальных нет (функция определена всюду). Горизонтальная: при $x\to\pm\infty$ экспонента $e^{-x^2}$ убывает быстрее, чем растёт любой полином (в частности $x$), поэтому $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0$ — горизонтальная асимптота $y=0$ в обе стороны.

5. Монотонность и экстремумы: по правилу произведения (с учётом $\left(e^{-x^2}\right)'=-2x\,e^{-x^2}$):

$$f'(x)=e^{-x^2}+x\cdot(-2x)e^{-x^2}=e^{-x^2}(1-2x^2)$$

Множитель $e^{-x^2}>0$ всегда, знак определяется $(1-2x^2)$: равен нулю при $x^2=\dfrac12$, то есть $x=\pm\dfrac{1}{\sqrt2}$. Убывает на $\left(-\infty,-\frac{1}{\sqrt2}\right)$, возрастает на $\left(-\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2}\right)$, убывает на $\left(\frac{1}{\sqrt2},+\infty\right)$.

Ответ: локальный минимум в $x=-\dfrac{1}{\sqrt2}$, $f=-\dfrac{1}{\sqrt2}e^{-1/2}\approx-0{,}429$; локальный максимум в $x=\dfrac{1}{\sqrt2}$, $f=\dfrac{1}{\sqrt2}e^{-1/2}\approx0{,}429$. По нечётной симметрии график представляет собой характерную S-образную "волну", поднимающуюся из нуля на $-\infty$, проходящую через минимум, возрастающую через начало координат (являющееся, как несложно показать, ещё и точкой перегиба по нечётной симметрии) к максимуму и затем убывающую обратно к нулю на $+\infty$ — форма, напоминающая производную функции Гаусса, что не случайно: $f(x)$ с точностью до множителя и есть производная $-\frac12\left(e^{-x^2}\right)'$.

Задание 25 (ML): Провести полное исследование функции $f(x)=\ln(1+x^2)$ — типичного «логарифмического» слагаемого, встречающегося в функциях потерь и регуляризаторах.

Решение:

1. Область определения: выражение $1+x^2\ge1>0$ всегда, значит $D(f)=\mathbb{R}$.

2. Симметрия: $f(-x)=\ln(1+x^2)=f(x)$ — функция чётная.

3. Пересечения с осями: $f(0)=\ln1=0$ — единственная точка ($1+x^2\ge1$, равенство $f(x)=0$ только при $x=0$).

4. Асимптоты: вертикальных нет. При $x\to\pm\infty$: $f(x)\to+\infty$, но растёт медленнее любой линейной функции (логарифм), значит горизонтальной асимптоты нет; проверим наклонную: $k=\lim_{x\to\infty}\dfrac{\ln(1+x^2)}{x}=0$ (логарифм растёт медленнее любой степени $x$, что мы уже видели в уроке про правило Лопиталя) — значит $k=0$, а это означает, что настоящей наклонной асимптоты тоже нет (только "вырожденный" случай $k=0$ отдельно не считается наклонной асимптотой, если при этом сам предел функции не конечен).

5. Монотонность и экстремумы: $f'(x)=\dfrac{2x}{1+x^2}$. Знаменатель всегда положителен, знак определяется числителем: отрицателен при $x<0$, положителен при $x>0$.

6. Выпуклость и перегибы:

$$f''(x)=\frac{2(1+x^2)-2x\cdot2x}{(1+x^2)^2}=\frac{2-2x^2}{(1+x^2)^2}=\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}$$

Равна нулю при $x=\pm1$. При $|x|<1$: выпукла вниз; при $|x|>1$: выпукла вверх.

Ответ: единственный экстремум — локальный (и, в силу формы графика, глобальный) минимум в $x=0$, $f(0)=0$; точки перегиба $x=\pm1$, $f(\pm1)=\ln2\approx0{,}693$. Важный вывод для ML: несмотря на то, что вблизи нуля график ведёт себя выпукло (как удобная для оптимизации "чаша"), при $|x|>1$ выпуклость пропадает — эта функция не является выпуклой на всей числовой прямой, что делает её не самой безопасной для использования как единственного регуляризатора в задачах, где важна гарантия единственного глобального минимума на всей области.

Задание 26: Провести полное исследование функции $f(x)=(x-1)^2(x+1)$ и построить её график.

Решение:

Раскроем скобки заранее для удобства дифференцирования: $f(x)=(x^2-2x+1)(x+1)=x^3-x^2-x+1$.

1. Область определения: многочлен, $D(f)=\mathbb{R}$.

2. Симметрия: общего вида (легко проверить прямой подстановкой $-x$, равенства не выполняются).

3. Пересечения с осями: $f(0)=1$; $f(x)=(x-1)^2(x+1)=0\Rightarrow x=1$ (двукратный корень), $x=-1$.

4. Асимптоты: отсутствуют (многочлен).

5. Монотонность и экстремумы: $f'(x)=3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1)$. Критические точки $x=-\dfrac13$, $x=1$. Возрастает на $\left(-\infty,-\frac13\right)$, убывает на $\left(-\frac13,1\right)$, возрастает на $(1,+\infty)$.

6. Выпуклость и перегибы: $f''(x)=6x-2$, равна нулю при $x=\dfrac13$. При $x<\frac13$: выпукла вверх; при $x>\frac13$: выпукла вниз.

Ответ: локальный максимум в $x=-\dfrac13$, $f\left(-\frac13\right)=\left(-\frac43\right)^2\left(\frac23\right)=\frac{16}{9}\cdot\frac23=\frac{32}{27}\approx1{,}185$; локальный минимум в $x=1$, $f(1)=0$; точка перегиба $\left(\frac13, f\!\left(\frac13\right)\right)$, где $f\left(\frac13\right)=\left(-\frac23\right)^2\left(\frac43\right)=\frac49\cdot\frac43=\frac{16}{27}\approx0{,}593$. График: возрастает и выпукл вверх до максимума $\left(-\frac13,\frac{32}{27}\right)$, убывает, оставаясь выпуклым вверх до перегиба $\left(\frac13,\frac{16}{27}\right)$, продолжает убывать уже выпукло вниз до минимума $(1,0)$ — касаясь оси $Ox$ (двукратный корень!) и не пересекая её, — затем возрастает, выпукло вниз, неограниченно уходя вверх.

Задание 27: Провести полное исследование функции $f(x)=\dfrac{e^x}{x}$ и построить её график.

Решение:

1. Область определения: $x\ne0$, $D(f)=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$.

2. Симметрия: $f(-x)=\dfrac{e^{-x}}{-x}$ — не совпадает ни с $f(x)$, ни с $-f(x)$, функция общего вида.

3. Пересечения с осями: с $Oy$ — не определена ($x=0$ не входит в область определения); с $Ox$: уравнение $e^x=0$ решений не имеет ($e^x>0$ всегда) — пересечений с осями нет вовсе.

4. Асимптоты: при $x\to0^+$: числитель $\to1$, знаменатель $\to0^+$, значит $f\to+\infty$; при $x\to0^-$: знаменатель $\to0^-$, значит $f\to-\infty$ — вертикальная асимптота $x=0$. При $x\to-\infty$: числитель $e^x\to0$, знаменатель $\to-\infty$, значит $f(x)\to0$ — горизонтальная асимптота $y=0$ только слева. При $x\to+\infty$: и числитель, и знаменатель растут, но экспонента обгоняет любую степень $x$ (см. урок про правило Лопиталя), значит $f(x)\to+\infty$, причём $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^2}=\infty$ — наклонной асимптоты справа тоже нет.

5. Монотонность и экстремумы: по правилу производной частного:

$$f'(x)=\frac{e^x\cdot x - e^x\cdot1}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}$$

Множители $e^x>0$ и $x^2>0$ (при $x\ne0$), значит знак определяется $(x-1)$: отрицателен при $x<1$ (кроме $x=0$, где функция не определена), положителен при $x>1$.

Ответ: единственная критическая точка в области определения — $x=1$, и это локальный минимум, $f(1)=e$. На промежутке $(-\infty,0)$ функция монотонно убывает от $0$ (асимптота) до $-\infty$ (у вертикальной асимптоты слева); на $(0,1)$ убывает от $+\infty$ до минимума $e$; на $(1,+\infty)$ возрастает от $e$ до $+\infty$. Проверку выпуклости для этой функции можно провести аналогично — дифференцированием $f'(x)$ ещё раз, но для базового построения графика уже найденных данных достаточно, чтобы понять его общую форму.

Задание 28: Провести полное исследование функции $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ и построить её график.

Задание 29 (ML): Провести полное исследование функции softplus $f(x)=\ln(1+e^x)$ — гладкой ML-аппроксимации ReLU — и показать, что она выпукла на всей числовой прямой.

Решение:

1. Область определения: выражение $1+e^x>0$ при любом $x$, значит $D(f)=\mathbb{R}$.

2. Симметрия: общего вида (легко убедиться прямой подстановкой $-x$).

3. Пересечения с осями: $f(0)=\ln2\approx0{,}693$; с $Ox$ пересечений нет, поскольку $1+e^x>1$ всегда, значит $f(x)>\ln1=0$ везде.

4. Асимптоты: при $x\to-\infty$: $e^x\to0$, значит $f(x)\to\ln1=0$ — горизонтальная асимптота $y=0$ слева. При $x\to+\infty$: как было показано в уроке про правило Лопиталя (задание про softplus), $f(x)-x=\ln(1+e^{-x})\to0$, значит наклонная асимптота справа — $y=x$.

5. Монотонность и экстремумы:

$$f'(x)=\frac{e^x}{1+e^x}=\sigma(x)$$

(это в точности стандартная сигмоида!). Поскольку $\sigma(x)\in(0,1)$ строго между нулём и единицей при любом конечном $x$, производная $f'(x)$ никогда не обращается в ноль и всегда положительна — функция строго возрастает на всей числовой прямой, и у неё нет ни одной критической точки, а значит, нет ни локальных, ни глобальных экстремумов.

6. Выпуклость и перегибы: $f''(x)=\sigma'(x)=\sigma(x)\bigl(1-\sigma(x)\bigr)$. Поскольку $0<\sigma(x)<1$ строго, произведение $\sigma(x)(1-\sigma(x))$ строго положительно при любом $x$ — значит $f''(x)>0$ на всей числовой прямой без исключений.

Ответ: функция softplus строго возрастает и выпукла вниз на всей области определения — у неё нет ни экстремумов, ни точек перегиба. Это ровно то свойство, ради которого softplus иногда используют вместо ReLU там, где важна гладкость и гарантированная выпуклость: она никогда не создаёт "ложных" локальных минимумов или плато с нулевым градиентом (в отличие от ReLU, у которой производная тождественно равна нулю для всех отрицательных входов).

Задание 30 (ML, капстоун-задача): Провести полное исследование функции $f(x)=x^2(x-2)^2$ — модели функции потерь с двумя равноценными глобальными минимумами (например, возникающей из-за симметрии между эквивалентными решениями внутри нейросети) — и построить её график.

Решение:

Раскроем скобки: $f(x)=(x^2-2x)^2=x^4-4x^3+4x^2$.

1. Область определения: многочлен, $D(f)=\mathbb{R}$.

2. Симметрия: $f(-x)=x^4+4x^3+4x^2\ne f(x)$ и $\ne-f(x)$ — общего вида относительно начала координат, но заметим, что $f(x)=(x(x-2))^2\ge0$ всегда, и график симметричен относительно вертикальной прямой $x=1$ (несложно проверить: $f(1+t)=f(1-t)$ для любого $t$, поскольку $(1+t)(1+t-2)=(1+t)(t-1)=t^2-1$ и $(1-t)(1-t-2)=(1-t)(-1-t)=-(1-t)(1+t)=-(1-t^2)=t^2-1$ — совпадают).

3. Пересечения с осями: $f(0)=0$; $f(x)=x^2(x-2)^2=0\Rightarrow x=0$ (двукратный корень), $x=2$ (двукратный корень) — обе точки касания оси $Ox$, не пересечения "насквозь".

4. Асимптоты: отсутствуют (многочлен).

5. Монотонность и экстремумы: $f'(x)=4x^3-12x^2+8x=4x(x^2-3x+2)=4x(x-1)(x-2)$. Критические точки $x=0,1,2$. При $x<0$: все три множителя дают знак $(-)(-)(-)=-$ — убывает. При $02$: $(+)(+)(+)=+$ — возрастает.

6. Выпуклость и перегибы: $f''(x)=12x^2-24x+8$. Приравниваем к нулю: $3x^2-6x+2=0$, дискриминант $D=36-24=12$, корни $x=\dfrac{6\pm\sqrt{12}}{6}=1\pm\dfrac{\sqrt3}{3}$. При $x<1-\frac{\sqrt3}{3}$ или $x>1+\frac{\sqrt3}{3}$: выпукла вниз; между ними — выпукла вверх.

Ответ: локальные минимумы в $x=0$ и $x=2$, оба со значением $f=0$ — два равноценных глобальных минимума (функция неотрицательна везде, а $0$ — её наименьшее возможное значение); локальный максимум в $x=1$, $f(1)=1$. Точки перегиба $x=1\pm\frac{\sqrt3}{3}\approx0{,}42$ и $\approx1{,}58$. График — симметричная относительно $x=1$ "двугорбая чаша", касающаяся оси $Ox$ в двух точках $x=0$ и $x=2$ и поднимающаяся между ними до невысокого локального максимума $1$: наглядная модель того, как в реальных нейросетях может существовать несколько эквивалентных по качеству, но геометрически разных решений, разделённых невысоким "хребтом" на ландшафте потерь.

Частые ошибки

Ошибка 1. Ищут экстремумы и промежутки монотонности, забыв сначала найти область определения функции.

Как выглядит: сразу дифференцируют формулу и решают $f'(x)=0$, даже не заметив, что, например, в точке $x=0$ у функции вида $\dfrac1x$ вообще нет значения, и промежуток монотонности не может через неё непрерывно "проходить".

Почему возникает: дифференцирование кажется главным и самым техническим шагом, а область определения — формальной мелочью, с которой не терпится побыстрее покончить.

Как правильно: область определения — первый пункт алгоритма не случайно: без неё легко "склеить" два разных промежутка монотонности через точку разрыва, как будто там ничего не происходит (см. задание 22, где разрыв $x=-1$ разбивает промежуток $(-2,0)$ на самом деле на два разных промежутка убывания, физически разделённых вертикальной асимптотой).

Ошибка 2. Считают любую точку, где $f'(x)=0$, точкой экстремума, не проверяя смену знака производной.

Как выглядит: находят корень уравнения $f'(x)=0$ и сразу же вычисляют в нём значение функции, объявляя это "максимумом" или "минимумом" без дальнейшей проверки.

Почему возникает: в большинстве учебных примеров смена знака действительно происходит, и складывается неверная привычка, что $f'(x_0)=0$ автоматически означает экстремум.

Как правильно: всегда проверять знак производной по обе стороны от критической точки (или использовать признак по второй производной); классический контрпример — задание 10, где $f'(0)=0$ у функции $f(x)=x^3$, но знак не меняется, и экстремума там нет вовсе, а есть точка перегиба.

Ошибка 3. Путают термины «выпуклая вниз» и «выпуклая вверх», особенно при переходе между русскоязычной и англоязычной (ML) традицией обозначений.

Как выглядит: видят $f''(x)>0$ и произвольно называют функцию то "выпуклой", то "вогнутой", в зависимости от того, какой учебник использовался последним.

Почему возникает: в русскоязычной традиции исторически встречаются оба варианта обозначений ("выпуклая вверх/вниз" и "вогнутая/выпуклая"), а англоязычная ML-литература использует единственный термин convex строго для случая $f''\ge0$.

Как правильно: закрепить для себя одно правило и держаться его: $f''(x)>0$ — график лежит выше касательных, "чаша", в ML-терминах convex (в этом уроке — "выпуклая вниз"); $f''(x)<0$ — график ниже касательных, "купол", concave ("выпуклая вверх", вогнутая). Как только термин зафиксирован, дальше просто последовательно сверяться со знаком $f''(x)$.

Ошибка 4. Ищут наклонную асимптоту там, где уже найдена горизонтальная (или наоборот), не замечая, что это взаимоисключающие случаи в одном и том же направлении.

Как выглядит: сначала находят $\lim_{x\to\infty}f(x)=b$ (конечное число) и объявляют горизонтальную асимптоту, а затем по инерции всё равно вычисляют $k=\lim\frac{f(x)}{x}$ и $b=\lim(f(x)-kx)$, получая формально $k=0$, и путаются, какая асимптота "главнее".

Почему возникает: формулы для наклонной асимптоты действительно работают и для случая $k=0$ — просто в этом случае они вырождаются ровно в определение горизонтальной асимптоты, и это иногда воспринимается как два разных, конкурирующих результата.

Как правильно: горизонтальная асимптота — это частный случай наклонной с $k=0$; для каждого направления ($x\to+\infty$ и $x\to-\infty$ отдельно) существует не более одной невертикальной асимптоты, и если предел $\lim_{x\to\infty}f(x)$ уже оказался конечным числом, искать наклонную асимптоту в том же направлении дополнительно не нужно (см. задание 27, где справа асимптоты нет вовсе ни горизонтальной, ни наклонной, а слева есть только горизонтальная).

Ошибка 5. Считают точкой перегиба любую точку, где $f''(x)=0$, не проверяя, действительно ли функция там определена и меняется ли знак $f''(x)$.

Как выглядит: решают уравнение $f''(x)=0$ и автоматически объявляют каждый корень точкой перегиба, не глядя, входит ли эта точка в область определения самой функции и меняется ли там знак.

Почему возникает: по аналогии с экстремумами кажется естественным, что "особая точка второй производной" автоматически особая и для самой функции — но для перегиба, в отличие от экстремума, требуется дополнительно и определённость функции в этой точке, и настоящая смена знака.

Как правильно: пример 2 из раздела про выпуклость — образцовый: у функции $f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}$ вторая производная меняет знак при переходе через $x=1$, но настоящей точки перегиба там нет, потому что сама функция в этой точке попросту не определена (там вертикальная асимптота, а не перегиб).

Ошибка 6. Пропускают этап "точки пересечения с осями" и "чётность/нечётность" как несущественные, экономя время в пользу производных.

Как выглядит: сразу переходят к дифференцированию, полностью игнорируя первые три пункта алгоритма.

Почему возникает: производные ощущаются как "настоящая математика", а проверка симметрии и корней — как элементарная арифметика, которую можно опустить без потери качества решения.

Как правильно: обнаруженная симметрия сокращает объём последующей работы буквально вдвое (см. пример 3 из раздела про сборку плана, где чётность позволила исследовать только $x\ge0$), а точки пересечения с осями дают контрольные точки, по которым легко проверить, не закралась ли ошибка в вычислении производных: если построенный график не проходит через найденные корни, где-то допущена неточность.

Главное запомнить

Полное исследование функции — это фиксированный алгоритм из семи шагов: область определения → чётность/нечётность/периодичность → точки пересечения с осями → асимптоты → монотонность и экстремумы (через $f'$) → выпуклость и точки перегиба (через $f''$) → построение графика.
Вертикальная асимптота ищется через односторонние бесконечные пределы в точках разрыва; горизонтальная — через конечный предел на бесконечности; наклонная ($y=kx+b$, $k\ne0$) — только если горизонтальной нет, через $k=\lim\frac{f(x)}{x}$ и $b=\lim(f(x)-kx)$.
Критические точки для экстремума — корни $f'(x)=0$ и точки, где $f'(x)$ не существует; экстремум подтверждается только реальной сменой знака $f'(x)$, а не самим фактом $f'(x_0)=0$.
$f''(x)>0$ — функция выпукла вниз (в ML-терминологии — convex, график выше касательных); $f''(x)<0$ — выпукла вверх (concave, ниже касательных).
Точка перегиба требует одновременно: $f''(x_0)=0$ или не существует, реальной смены знака $f''$ при переходе через $x_0$, и определённости самой функции в этой точке.
Признак экстремума по второй производной — быстрый способ проверить тип критической точки: $f''(x_0)>0$ гарантирует локальный минимум, $f''(x_0)<0$ — локальный максимум (если $f''(x_0)=0$, признак не работает, нужен анализ знака $f'$).
В машинном обучении критические точки функции потерь — кандидаты на роль минимумов, максимумов или (в многомерном случае) седловых точек, а выпуклость функции потерь — прямая гарантия, что найденный минимум единственный и глобальный.
Выпуклая функция потерь (как классическая MSE или логистическая функция потерь) обучается предсказуемо — оптимизация всегда сходится к одному и тому же наилучшему решению; невыпуклая (типичная для глубоких нейросетей) может иметь много равноценных или неравноценных локальных минимумов, к которым сойдётся оптимизация в зависимости от случайной точки старта.
Обнаруженная симметрия (чётность или нечётность) сокращает объём вычислений вдвое: достаточно исследовать функцию на $x\ge0$ и зеркально отразить результат.
При построении графика важно свести все найденные данные — область определения, асимптоты, экстремумы, точки перегиба, промежутки монотонности и выпуклости — в единую непротиворечивую картину: если что-то не сходится, где-то в вычислениях есть ошибка.

Связь с другими темами курса

Что нужно было знать до этого урока

Этот урок — прямое обобщение и синтез практически всего блока про производные: понятие предела и односторонних пределов нужно для поиска асимптот; определение производной и таблица производных элементарных функций — для нахождения $f'$ и $f''$; теоремы Ролля, Лагранжа и Коши обосновывают, почему смена знака производной действительно означает переход через экстремум (это прямое следствие теоремы Лагранжа о среднем значении); правило Лопиталя (урок 192) регулярно используется при вычислении пределов на бесконечности для поиска горизонтальных и наклонных асимптот, а также при сравнении скоростей роста разных функций (как в задании 28 с $\frac{\ln x}{x}$); формула и ряд Тейлора (уроки 193–194) дают альтернативный, более тонкий способ анализировать поведение функции вблизи отдельной точки, когда обычных производных недостаточно (например, если и первая, и вторая производная обращаются в ноль одновременно).

Что изучить дальше

В следующем уроке, 196 «Неопределённый интеграл: углубление», ты перейдёшь от дифференцирования к обратной операции — интегрированию, освоив более продвинутые техники работы с первообразными. На первый взгляд это выглядит как смена темы, но на самом деле это естественное продолжение: если производная показывает, как функция меняется, то интеграл восстанавливает саму функцию по известной скорости её изменения — и без уверенного владения производными (которые ты только что довёл до автоматизма в этом уроке) движение вперёд в интегрировании будет заметно сложнее. Дальше в курсе методы полного исследования функции пригодятся в задачах на оптимизацию (поиск наибольшего/наименьшего значения на отрезке) и при построении и анализе графиков функций, возникающих как решения дифференциальных уравнений.

Где это нужно в жизни

🤖 ML/AI. Анализ формы функции потерь — поиск критических точек, проверка выпуклости, диагностика седловых точек — прямая основа теории оптимизации нейросетей; анализ формы функций активации (сигмоида, softplus) через их производные, как в заданиях 18 и 29 этого урока, объясняет, почему одни функции активации подвержены "затуханию градиента", а другие — нет.

📊 Экономика и финансы. Поиск точек максимальной прибыли или минимальных издержек компании как функции объёма производства — классическая задача на экстремум; анализ выпуклости функции полезности в теории принятия решений определяет отношение к риску.

🏗️ Инженерия. Форма несущей конструкции (моста, арки) описывается функцией, чьи точки перегиба и экстремумы напрямую определяют распределение нагрузки и точки максимального напряжения материала.

🔬 Физика. Потенциальная энергия физической системы как функция координаты — устойчивое равновесие соответствует локальному минимуму (выпуклость вниз), неустойчивое — локальному максимуму, а точки перегиба потенциала связаны с переходом между разными режимами движения системы.

Интересные факты

Термин «точка перегиба» (inflection point) впервые в современном математическом смысле встречается в работах математиков XVIII века, но сама идея восходит ещё к античным геометрам, изучавшим кривизну конических сечений — просто без аппарата производных они могли характеризовать такие точки только чисто геометрически, через изменение направления изгиба кривой.
Выпуклые функции настолько важны для оптимизации, что вокруг них выросла отдельная математическая дисциплина — выпуклый анализ (convex analysis), а задачи, сводящиеся к минимизации выпуклой функции при выпуклых ограничениях (выпуклая оптимизация), считаются "решёнными" в теоретическом смысле: для них существуют алгоритмы, гарантированно находящие глобальный минимум за разумное время, — той же гарантии для невыпуклых задач, типичных для глубокого обучения, в общем случае не существует.
Функция $x\ln x$, которая встретилась в задании 17 этого урока, обычно доопределяется значением $0$ в точке $x=0$ (по пределу $\lim_{x\to0^+}x\ln x=0$, который ты уже вычислял в уроке про правило Лопиталя) — именно в таком доопределённом виде она становится непрерывным строительным блоком формулы энтропии Шеннона $H=-\sum_i p_i\ln p_i$, одной из центральных величин теории информации и машинного обучения.
Седловая точка получила своё название по буквальной аналогии с формой ковбойского седла: если стоять на седле и двигаться вдоль хребта лошади, точка кажется локальным минимумом, а если двигаться поперёк (от одного бока к другому) — локальным максимумом. В глубоком обучении исследования показывают, что на ландшафтах потерь с очень большим числом параметров седловые точки встречаются значительно чаще настоящих локальных минимумов — и одна из причин, почему современные оптимизаторы (вроде Adam) устроены сложнее простого градиентного спуска, заключается именно в необходимости эффективно "проскальзывать" через такие седловые области.

Лайфхаки и полезные трюки

Никогда не начинай с дифференцирования — начинай с области определения. Даже если задача явно "про экстремумы", первым делом выясни, где функция вообще существует: это предотвращает добрую половину типичных ошибок (см. Ошибку 1 выше).
Если формула функции — это дробь многочленов, сразу поделив уголком, выдели целую часть (как в примерах $\frac{x^2}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$) — в таком виде и наклонная асимптота видна мгновенно, и производная считается заметно проще, чем через формулу производной частного напрямую.
Проверяй чётность/нечётность до того, как начнёшь дифференцировать, а не после — если симметрия есть, можно сразу договориться с самим собой исследовать только $x\ge0$ и сэкономить примерно половину всех последующих вычислений.
Держи в уме два "эталонных факта" про скорость роста — экспонента побеждает любую степень, а логарифм проигрывает любой положительной степени — они мгновенно подсказывают, есть ли у функции вида $\frac{P(x)}{e^x}$ или $\frac{\ln x}{P(x)}$ горизонтальная асимптота, без явного вычисления предела через Лопиталя каждый раз заново.
После вычисления $f'(x)$ и $f''(x)$ сразу используй признак экстремума по второй производной как быструю перекрёстную проверку для каждой найденной критической точки — если результат "по знаку $f'$ вокруг точки" и "по знаку $f''$ в самой точке" не совпадают, значит где-то в вычислениях закралась ошибка, и её стоит найти раньше, чем она попадёт в итоговый график.
Строй итоговую таблицу знаков заранее, до попытки нарисовать график: одна строка — значения $x$ всех найденных особых точек по возрастанию, вторая — знак $f'(x)$ между ними, третья — знак $f''(x)$. Такая таблица физически не позволяет забыть один из промежутков и сразу показывает, если где-то данные противоречат друг другу.
Для функций с ML-контекстом (активации, функции потерь, регуляризаторы) отдельно всегда проверяй знак второй производной на всей области определения целиком, а не только в окрестности найденных критических точек — именно это отвечает на практически важный вопрос "выпукла ли эта функция полностью", а не просто "где у неё локальные экстремумы" (см. разницу между заданиями 25 и 29: обе функции гладкие и растущие, но только одна из них выпукла всюду).

Ты только что прошёл путь от отдельных, разрозненных приёмов — производная тут, предел там, теорема Лагранжа где-то ещё — до единого, полностью самодостаточного инструмента, которым можно разобрать по косточкам практически любую заданную формулой функцию: от простого многочлена до логистической функции активации, лежащей в основе миллиардов нейронов современных языковых моделей. Дальше в курсе, когда ты столкнёшься с задачами оптимизации, с анализом ландшафтов функций потерь или просто с новой незнакомой формулой, у тебя уже не возникнет вопроса "а с чего вообще начать" — есть чёткая, проверенная временем и логикой последовательность из семи шагов, которая гарантированно приведёт к полной и точной картине того, как функция ведёт себя на самом деле.

Понял тему? Закрепи в боте! 🚀

Попрактикуйся на задачах и получи персональные рекомендации от AI

💪 Начать тренировку

💬 Нашёл ошибку или есть вопрос по уроку? Написать в Telegram →