Замечательные пределы 🌟

В прошлом уроке ты научился раскладывать пределы на арифметику: предел суммы — сумма пределов, предел произведения — произведение пределов, и так далее, пока не упрёшься в неопределённость. А неопределённости упрямо возникают именно в тех местах, где живёт вся содержательная математика: $\frac{\sin x}{x}$ при $x \to 0$ — это отношение двух вещей, каждая из которых стремится к нулю, и никакая арифметика пределов тут не работает напрямую. То же с $\left(1+\frac1x\right)^x$ при $x \to \infty$: основание ползёт к единице, а показатель улетает в бесконечность, и результат этой борьбы совсем не очевиден.

Два этих предела — не случайный учебный набор, а буквально фундамент, на котором стоит весь дальнейший анализ. Без $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ не вывести производную синуса и косинуса, а без производной синуса не построить ни одного ряда Фурье. Без $\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e$ не вывести производную экспоненты и логарифма — а значит, зависает вся глава про показательные и логарифмические функции, на которых работают softmax, сигмоида, log-loss и вообще весь вероятностный аппарат машинного обучения. В школьном уроке про число $e$ ты уже видел эту последовательность на калькуляторе — считал $(1+1/n)^n$ при растущем $n$ и наблюдал, как она подбирается к $2{,}718\ldots$. Здесь мы сделаем следующий шаг: докажем, что предел действительно существует и равен именно этому числу, а заодно превратим числовую последовательность в полноценную функцию от вещественного $x$.

Оба предела называют «замечательными» не из вежливости. Название родом из XIX века и означает буквально «достойные того, чтобы их заметили и запомнили» — потому что дальше в курсе ты будешь применять их десятками раз, часто не заметно для себя, спрятанными внутри более сложных вычислений. Каждый раз, когда нейросеть считает $\exp(z)$ в softmax, она использует функцию, которая определена через второй замечательный предел. Каждый раз, когда алгоритм обработки сигнала применяет sinc-фильтр, он использует функцию, непрерывность которой в нуле держится на первом замечательном пределе.

Разберёмся по порядку: сначала докажем первый предел геометрически — красивым рассуждением через площади, которому больше двух тысяч лет. Потом формализуем второй предел и выведем из него общую формулу для $e^k$. А в конце соберём из обоих целую таблицу эквивалентных бесконечно малых — рабочий инструмент, которым ты будешь пользоваться до конца курса анализа.

🎯 Ты узнаешь:

• Как через сравнение площадей сектора и двух треугольников строго доказать, что $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$, и почему это работает только для радианной меры угла

• Как последовательность $\left(1+\frac1n\right)^n$ оказывается монотонной и ограниченной, и как из этого факта (теорема из урока 179) рождается число $e$ уже не наглядно, а строго

• Как обобщить второй предел до $\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{k}{x}\right)^x = e^k$ и до $\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n = e^x$ — формулы, которая буквально определяет экспоненту через дискретный предел

• Как из двух замечательных пределов вывести целую таблицу эквивалентных бесконечно малых: $\sin x \sim x$, $e^x - 1 \sim x$, $\ln(1+x) \sim x$, $(1+x)^k - 1 \sim kx$ и другие

• Как раскрывать неопределённости вида $\frac00$ и $1^\infty$ на практике — и в каком месте эта техника предательски ломается, если применить её неаккуратно

• Где именно эти пределы прячутся в машинном обучении: в определении сигмоиды, в непрерывном начислении процентов, в дискретизации нейросетей типа ResNet как разностной схемы Эйлера

История: откуда это взялось?

Первым, кто явно применил приближение синуса углом, был не математик, а физик-часовщик. Христиан Гюйгенс, изучая маятниковые часы, в трактате «Horologium Oscillatorium» (1673) показал, что при малых углах отклонения период колебаний маятника почти не зависит от амплитуды — а вся выкладка держалась на факте, что для малого угла $\theta$ длина дуги, длина хорды и значение $\sin\theta$ почти совпадают. Гюйгенс не formулировал это как предел — понятия предела в современном смысле тогда попросту не существовало, — но интуитивно пользовался им с точностью, которой хватало для проектирования часового механизма, точнее любых часов предыдущих полутора тысяч лет.

Само рассуждение через площади сектора и двух треугольников, которым мы докажем первый замечательный предел, устроено в духе метода, которым ещё Архимед около 250 года до н. э. зажимал число $\pi$ между периметрами вписанного и описанного многоугольников: если величину нельзя вычислить напрямую, её можно стиснуть между двумя вычислимыми — и заставить обе границы сойтись в одной точке. Это старейший работающий трюк в математике, и мы применим его почти в первозданном виде.

Число $e$ прошло похожий путь от практики к строгости. Ты уже видел в школьном курсе, как Якоб Бернулли в 1683 году наткнулся на него в задаче о сложных процентах, а Леонард Эйлер дал ему имя и вычислил восемнадцать знаков. Но у Бернулли и раннего Эйлера не было строгого понятия предела — они оперировали интуицией «число становится всё ближе к некоторому пределу и никогда его не превышает». Строгий фундамент подвели Огюстен Луи Коши, давший в 1821 году первое формальное определение предела последовательности, и полвека спустя Карл Вейерштрасс, отточивший это определение до языка $\varepsilon$–$\delta$, которым ты пользовался весь прошлый урок. Именно на этом языке впервые можно строго произнести и доказать фразу «последовательность $(1+1/n)^n$ монотонна, ограничена и потому сходится» — а не просто продемонстрировать это на калькуляторе. Ниже мы проведём это доказательство почти дословно так, как оно выглядит в современных учебниках, опираясь на теорему о пределе монотонной ограниченной последовательности из прошлого урока.

Первый замечательный предел

Интуиция: почему синус и угол сливаются

Представь, что ты сильно приближаешь камеру к точке на окружности единичного радиуса. Издалека дуга окружности выглядит изогнутой, но чем ближе ты подлетаешь, тем более прямой она кажется — на достаточно малом масштабе любая гладкая кривая неотличима от своей касательной. Именно поэтому для малых углов дуга, хорда и синус угла почти неразличимы: все три величины меряют, по сути, одно и то же почти прямолинейное расстояние, только чуть-чуть по-разному.

Формально это записывается так:

где $x$ обязательно измеряется в радианах — это не техническая деталь, а суть дела: радиан определён именно как отношение длины дуги к радиусу, и вся геометрия доказательства ниже держится на этом определении. В градусах эта пропорция искажается постоянным множителем $\frac{\pi}{180}$, и предел получается другим.

Геометрическое доказательство через площади

Давай разберёмся, как это доказать строго, а не просто поверить графику. Возьмём единичную окружность с центром в точке $O$ и угол $x$, где $0 < x < \frac{\pi}{2}$ (радиан). Пусть $A = (1, 0)$ — точка на окружности, а $B = (\cos x, \sin x)$ — вторая точка, полученная поворотом на угол $x$. Через точку $A$ проведём вертикальную касательную к окружности и продлим луч $OB$ до пересечения с ней в точке $C = (1, \tan x)$.

Сравним площади трёх фигур, вложенных одна в другую: треугольник $OAB$, круговой сектор $OAB$ и треугольник $OAC$.

Площадь треугольника $OAB$. По формуле «половина произведения сторон на синус угла между ними»:

Площадь сектора $OAB$. Для сектора радиуса $r$ с центральным углом $x$ (в радианах) площадь равна $\frac{1}{2} r^2 x$; при $r = 1$:

Площадь треугольника $OAC$. Это прямоугольный треугольник с катетами $|OA| = 1$ и $|AC| = \tan x$:

Геометрически треугольник $OAB$ целиком лежит внутри сектора, а сектор — внутри треугольника $OAC$ (это видно из построения: точка $C$ дальше от $O$, чем дуга). Значит, площади идут по возрастанию:

Умножив на $2$, получаем $\sin x < x < \tan x$. Разделим все три части на $\sin x > 0$ (это допустимо при $0 < x < \frac{\pi}{2}$):

Возьмём обратные величины всех трёх частей — при переходе к обратным числам знаки неравенств меняются на противоположные:

Вот и вся конструкция. При $x \to 0^+$ левая граница $\cos x \to 1$ (косинус непрерывен), правая граница тождественно равна $1$. Функция $\frac{\sin x}{x}$ зажата между двумя величинами, стремящимися к одному и тому же числу — а значит, по теореме о двух милиционерах (сжатой последовательности, доказанной в уроке 179), она тоже стремится к $1$.

Осталось разобраться со случаем $x < 0$. Функция $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ чётная: $f(-x) = \frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{-\sin x}{-x} = \frac{\sin x}{x} = f(x)$. Значит, поведение при $x \to 0^-$ полностью повторяет поведение при $x \to 0^+$, и односторонние пределы совпадают. Двусторонний предел существует и равен $1$.

Теорема (первый замечательный предел).

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1,$$

где $x$ измеряется в радианах. Более общая форма: если $\varphi(x) \to 0$ при $x \to a$ (и $\varphi(x) \ne 0$ в окрестности $a$), то $\lim_{x \to a} \dfrac{\sin \varphi(x)}{\varphi(x)} = 1$.

Обобщённая форма получается заменой переменной $t = \varphi(x)$: раз $t \to 0$, применяется уже доказанный базовый случай. Именно эта форма и работает на практике — почти никогда в задачах не встречается голый $\sin x / x$, обычно внутри синуса сидит какое-то выражение, и именно оно должно стремиться к нулю.

Разбор примеров

Пример 1 (лёгкий). Найти $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin 7x}{2x}$.

Аргумент синуса — это $7x$, а в знаменателе стоит $2x$. Трюк — домножить и разделить так, чтобы под синусом и в знаменателе оказалось одно и то же выражение:

Общее правило легко запомнить: $\lim_{x\to0} \frac{\sin(ax)}{bx} = \frac{a}{b}$.

Пример 2 (средний). Найти $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos 4x}{x \sin 2x}$.

Здесь напрямую первый предел не применить — нужна тригонометрическая подготовка. Используем формулу понижения степени $1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2}$:

Тогда

и предел равен $4 \cdot 1 = 4$.

Пример 3 (сложный). Найти $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin 2x - \sin x}{\sin 3x}$.

Соблазн — подставить прямо $\sin 2x \approx 2x$ и $\sin x \approx x$ в числителе. Здесь это, как ни странно, сработает, но нужно понимать почему, а не просто «поверить на слово» — этот же трюк ломается уже в следующем уроке на примере $\sin x - x$. Сделаем честно, через формулу суммы-разности синусов $\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$:

Тогда

Распишем последний множитель через $\frac{\sin 3x}{3x}$:

Собирая всё вместе и переходя к пределу при $x \to 0$: $\cos\frac{3x}{2} \to 1$, $\frac{\sin(x/2)}{x/2} \to 1$, $\frac{3x}{\sin 3x} \to 1$. Итог:

Проверка наивной заменой: $\frac{2x - x}{3x} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3}$ — тот же ответ. Здесь замена сработала, потому что старшие члены $2x$ и $x$ в числителе не сокращаются до нуля ($2x - x = x \ne 0$). Если бы они сокращались (как в $\sin x - x$, где линейные части совпадают и разность равна нулю в первом приближении), наивная замена дала бы неверный, слишком грубый ответ. Эта тонкость — тема следующего урока про сравнение бесконечно малых, но полезно уже сейчас держать её в голове.

Почему это важно

Первый замечательный предел — это не изолированный трюк, а фундамент производной синуса: именно из $\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1$ выводится $(\sin x)' = \cos x$, а от неё по цепочке — производные всех остальных тригонометрических функций и вообще весь тригонометрический анализ, включая ряды Фурье и спектральный анализ сигналов. В обработке сигналов и в архитектурах трансформеров функция $\operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$ доопределяется в нуле значением $1$ именно потому, что этот предел существует и равен единице — без него sinc-фильтры в теореме Котельникова — Шеннона о дискретизации сигналов были бы разрывны в самой важной точке.

Второй замечательный предел

Интуиция: строгая версия непрерывных процентов

В школьном курсе ты уже встречал этот сюжет: банк начисляет проценты не раз в год, а всё чаще и чаще — дважды, четыре раза, сто раз в год — и выгода от дробления растёт, но упирается в потолок. Число $e \approx 2{,}718$ — это и есть тот потолок, предел бесконечно частого начисления. Тогда мы вычисляли значения на калькуляторе и наблюдали закономерность. Теперь мы её докажем.

Формально перед нами неопределённость вида $1^\infty$: основание $\left(1+\frac1n\right) \to 1$, а показатель $n \to \infty$. Интуиция подсказывает неправильные крайности — «раз основание стремится к $1$, весь предел равен $1$» или «раз показатель бесконечен, весь предел равен бесконечности». Оба рассуждения ошибочны именно потому, что это настоящая борьба двух противоположных тенденций, и исход зависит от того, насколько быстро основание приближается к единице относительно роста показателя.

Строгий вывод: монотонность и ограниченность

Докажем, что последовательность $a_n = \left(1+\frac1n\right)^n$ сходится, применив теорему из прошлого урока: монотонная ограниченная последовательность имеет предел. Разложим $a_n$ по биному Ньютона:

Каждое слагаемое этой суммы — это $\frac{1}{k!}$, умноженное на произведение из $k$ множителей вида $\left(1 - \frac{j}{n}\right)$. При росте $n$ каждый такой множитель растёт (приближается к единице снизу), значит и всё слагаемое растёт. К тому же с ростом $n$ в сумме появляются новые, дополнительные положительные слагаемые. Оба эффекта работают в одну сторону: последовательность $a_n$ строго возрастает.

Для ограниченности заметим, что каждый множитель $\left(1-\frac{j}{n}\right) < 1$, значит каждое слагаемое суммы не превышает $\frac{1}{k!}$:

(при $k \ge 2$ верно $k! \ge 2^{k-1}$, и сумма геометрической прогрессии со знаменателем $\frac12$ ограничена двойкой). Значит, последовательность ограничена сверху числом $3$.

Монотонная и ограниченная — по теореме из урока 179 такая последовательность сходится. Её предел и определяют как число $e$:

Это ровно та же самая логика, которой пользовался Бернулли ещё в 1683 году безо всякого строгого аппарата — только теперь она опирается на точное определение предела и доказанную теорему, а не на веру в закономерность таблицы.

От последовательности к функции и общая формула

Второй замечательный предел формулируется не только для натурального $n$, но и для вещественного $x$:

Переход от последовательности к функции делается зажиманием $x$ между соседними целыми числами $n = \lfloor x \rfloor$ и $n+1$ (для $x \to +\infty$) — обе границы стремятся к $e$, значит и функция посередине стремится к $e$ по теореме о двух милиционерах. Третья форма получается заменой $t = 1/x$: при $x \to 0$ имеем $t \to \infty$, и $(1+x)^{1/x} = (1+1/t)^t \to e$.

Теорема (второй замечательный предел, общая форма).

$$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{k}{x}\right)^x = e^k \qquad\text{и, эквивалентно,}\qquad \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n = e^x$$

для любого фиксированного вещественного $k$ (соответственно $x$).

Докажем обобщение через замену $t = x/k$ (считаем $k \ne 0$, $x \to \infty$ влечёт $t \to \infty$):

Эта формула — не просто удобное обобщение. Она буквально определяет экспоненциальную функцию $e^x$ как предел дискретного процесса: возьми единицу, добавляй к ней $\frac{x}{n}$-ную долю от неё самой $n$ раз подряд, устреми $n$ к бесконечности — получишь непрерывный экспоненциальный рост. Это ровно та же идея, что лежит в основе метода Эйлера для приближённого решения дифференциальных уравнений и в основе ResNet-подобных архитектур, где каждый слой добавляет к состоянию малую поправку $h_{k+1} = h_k(1 + a\Delta t)$ — это дискретизация непрерывного экспоненциального роста $\frac{dh}{dt}=ah$.

Разбор примеров

Пример 1 (лёгкий). Найти $\lim\limits_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{4}{x}\right)^x$.

Прямое применение обобщённой формулы с $k=4$:

Пример 2 (средний). Найти $\lim\limits_{x \to \infty} \left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)^{x}$.

Приведём основание к стандартному виду $1 + \frac{\square}{\square}$:

Показатель степени $x$ не совпадает со знаменателем $x+1$, поэтому «достраиваем» показатель до нужного вида, компенсируя разницу отдельным множителем:

При $x \to \infty$ внутренняя скобка стремится к $e^{-2}$ (по обобщённой формуле с $k=-2$), а показатель $\frac{x}{x+1} \to 1$. Значит,

Пример 3 (сложный, ключевая формула). Доказать, что для любого фиксированного вещественного $x$

Это уже сделано выше общей выкладкой, но полезно увидеть альтернативный путь — через логарифмирование, которым обычно и пользуются на практике для похожих пределов. Обозначим $a_n = \left(1+\frac{x}{n}\right)^n$ и рассмотрим $\ln a_n = n \ln\left(1+\frac{x}{n}\right)$. Введём $t = \frac{x}{n} \to 0$ при $n \to \infty$ (для фиксированного $x \ne 0$):

В следующем разделе мы докажем, что $\frac{\ln(1+t)}{t} \to 1$ при $t \to 0$ — это прямое следствие второго замечательного предела. Значит, $\ln a_n \to x \cdot 1 = x$, а раз логарифм стремится к $x$, то сама последовательность (по непрерывности экспоненты, которую строго обосновывают чуть позже в курсе) стремится к $e^x$. Это в точности та формула, на которой реализована численная функция $\exp$ в большинстве языков программирования при больших фиксированных $n$, и та же самая формула, которая описывает $n$ слоёв нейросети с общей маленькой поправкой $\frac{x}{n}$ на каждом шаге — предельный переход $n \to \infty$ превращает дискретную сеть слоёв в непрерывное дифференциальное уравнение (архитектура известна как Neural ODE).

Почему это важно

Второй замечательный предел — это буквально фундамент, на котором строится вся показательно-логарифмическая часть анализа: без него не вывести производную $e^x$, а без неё не вывести производную $\ln x$, $a^x$ и $\log_a x$. В машинном обучении экспонента встречается на каждом шагу: сигмоида $\sigma(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}$, softmax $\frac{e^{z_i}}{\sum_j e^{z_j}}$, экспоненциальное затухание learning rate, гауссовская плотность в инициализации весов — всё это определено через число $e$, которое мы только что не приняли на веру, а вывели из первых принципов.

Следствия и обобщения

Интуиция: от двух пределов — к целой таблице

Давай разберёмся, как из двух базовых пределов получить целый набор готовых инструментов. Идея простая: если функция $f(x) \to 0$ при $x \to 0$ таким образом, что $\frac{f(x)}{g(x)} \to 1$, то говорят, что $f$ и $g$ эквивалентны при $x \to 0$, и пишут $f(x) \sim g(x)$. Первый замечательный предел в этих терминах — это просто $\sin x \sim x$. Из второго предела аналогичным образом выводится целая серия таких эквивалентностей.

Логарифм. Положим $t = \left(1+x\right)^{1/x} \to e$ при $x \to 0$ (это ровно третья форма второго предела). Логарифмируя обе части и используя непрерывность логарифма:

Экспонента. Сделаем замену $u = e^x - 1$ в пределе $\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$. Тогда $x = \ln(1+u)$, и при $x \to 0$ также $u \to 0$:

Произвольное основание. Для $a > 0$, $a \ne 1$: $a^x - 1 = e^{x\ln a} - 1$. Подставляя $y = x \ln a \to 0$ и используя уже доказанное $e^y - 1 \sim y$:

Степенная функция. Для любого фиксированного показателя $k$: $(1+x)^k = e^{k\ln(1+x)}$, значит

где на первом шаге использована эквивалентность $e^y - 1\sim y$ с $y = k\ln(1+x) \to 0$, а на втором — эквивалентность $\ln(1+x)\sim x$.

Теорема (таблица эквивалентных бесконечно малых при $x \to 0$).

• $\sin x \sim x$, $\tan x \sim x$, $\arcsin x \sim x$, $\arctan x \sim x$

• $1 - \cos x \sim \dfrac{x^2}{2}$

• $e^x - 1 \sim x$, $\ln(1+x) \sim x$

• $a^x - 1 \sim x\ln a$ $(a>0,\ a\ne1)$

• $(1+x)^k - 1 \sim kx$ для любого фиксированного $k \ne 0$

Правило применения: эквивалентную бесконечно малую можно подставлять вместо исходной функции только внутри произведения или частного (включая показатель степени после логарифмирования). Подставлять её внутрь суммы или разности, где старшие члены могут сократиться, в общем случае нельзя — это источник систематической ошибки, разобранной ниже и в следующем уроке.

Разбор примеров

Пример 1 (лёгкий). Найти $\lim\limits_{x\to0} \dfrac{e^{5x}-1}{\sin 3x}$.

Оба множителя заменяем эквивалентными величинами (законная замена — перед нами частное):

Пример 2 (средний). Найти $\lim\limits_{x\to0} \dfrac{\ln(1+4x)}{\sqrt{1+2x}-1}$.

Числитель по таблице эквивалентен $4x$. Знаменатель — это $(1+2x)^{1/2} - 1$, что по формуле $(1+u)^k - 1 \sim ku$ с $u = 2x$, $k=\frac12$ эквивалентно $\frac12 \cdot 2x = x$. Значит,

Пример 3 (сложный, неопределённость $1^\infty$). Найти $\lim\limits_{x\to0} \left(1+x\sin x\right)^{\frac{1}{1-\cos x}}$.

Перед нами неопределённость $1^\infty$: основание стремится к $1$, показатель — к бесконечности. Стандартный приём — прологарифмировать:

Числитель $\ln(1+x\sin x)$ эквивалентен $x \sin x$ (композиция эквивалентностей допустима: сначала $\ln(1+u) \sim u$ с $u = x\sin x \to 0$), а $x\sin x$, в свою очередь, эквивалентно $x \cdot x = x^2$ (снова произведение, замена $\sin x \sim x$ законна). Знаменатель по таблице эквивалентен $\frac{x^2}{2}$. Итого:

Раз $\ln L = 2$, то $L = e^2$:

Обрати внимание: на каждом шаге эквивалентность подставлялась либо в произведение ($x \cdot \sin x$), либо в частное (всё выражение под логарифмом целиком) — ни разу не внутрь суммы или разности. Это и есть безопасная схема действий.

Почему это важно

Логарифмирование при $1^\infty$ и таблица эквивалентных бесконечно малых — это рабочий инструмент, которым решается абсолютное большинство пределов вида $\frac00$ и $1^\infty$ без привлечения производных и правила Лопиталя (которое появится значительно позже и потребует те же самые производные $\sin x$, $e^x$, $\ln x$ — то есть само опирается на факты, доказанные в этом уроке). В машинном обучении логарифмирование $1^\infty$-подобных выражений — это ровно тот приём, которым выводят log-sum-exp трюк для численно устойчивого вычисления softmax, а таблица эквивалентностей — стандартный способ анализировать поведение функции потерь и её градиентов вблизи оптимума, где аргументы многих функций активации близки к нулю.

Практика: 30 заданий

Базовые задания (1–10)

Задание 1: Найти $\lim\limits_{x\to0} \dfrac{\sin 4x}{7x}$.

Задание 2: Найти $\lim\limits_{x\to0} \dfrac{1-\cos 2x}{x^2}$.

Задание 3: Найти $\lim\limits_{n\to\infty} \left(1+\dfrac1n\right)^{2n}$.

Задание 4: Найти $\lim\limits_{x\to0} \dfrac{\sin 3x}{\sin 5x}$.

Задание 5: Найти $\lim\limits_{x\to\infty} \left(1+\dfrac2x\right)^x$.

Задание 6: Найти $\lim\limits_{x\to0} \dfrac{\arcsin x}{x}$.

Задание 7: Найти $\lim\limits_{x\to0} \dfrac{e^{3x}-1}{x}$.

Задание 8: Найти $\lim\limits_{x\to0} \dfrac{\tan x}{x}$.

Задание 9: Найти $\lim\limits_{n\to\infty} \left(1-\dfrac1n\right)^n$.

Задание 10: Найти $\lim\limits_{x\to0} \dfrac{\ln(1+x)}{x}$.

Средние задания (11–20)

Задание 11: Найти $\lim\limits_{x\to0} \dfrac{\tan x - \sin x}{x^3}$.

Задание 12: Найти $\lim\limits_{x\to\infty} \left(\dfrac{x+3}{x-2}\right)^{x}$.

Задание 13: Найти $\lim\limits_{x\to0} \dfrac{1-\cos 3x}{1-\cos 2x}$.

Задание 14: Найти $\lim\limits_{x\to0} \dfrac{e^x - e^{-x}}{\sin x}$.

Задание 15: Найти $\lim\limits_{x\to0} \dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}$.

Задание 16: Найти $\lim\limits_{x\to0} (1+5x)^{3/x}$.

Задание 17: Найти $\lim\limits_{x\to\infty} x\bigl(\ln(x+1)-\ln x\bigr)$.

Задание 18: Найти $\lim\limits_{x\to0} (1+\sin x)^{1/\tan x}$.

Задание 19: Найти $\lim\limits_{x\to0} \dfrac{3^x-1}{5^x-1}$.

Задание 20: Банковский вклад под годовую ставку $r = 0{,}08$ (8%) начисляется $n$ раз в год равными долями ставки. Найти предел итогового коэффициента роста вклада за год при $n\to\infty$ (непрерывное начисление), то есть $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{0{,}08}{n}\right)^n$.

Продвинутые задания (21–30)

Задание 21: Найти $\lim\limits_{x\to0} \dfrac{1-\cos x}{x\sin x}$.

Задание 22: Найти $\lim\limits_{x\to\infty} x^2\left(1-\cos\dfrac1x\right)$.

Задание 23: Найти $\lim\limits_{x\to0} \dfrac{(1+2x)^3-1}{x}$.

Задание 24: Найти $\lim\limits_{n\to\infty} \left(1-\dfrac2n\right)^{3n}$.

Задание 25: Найти $\lim\limits_{x\to0} (\cos x)^{1/x^2}$.

Задание 26: В упрощённой модели непрерывного слоя нейросети (Neural ODE / ResNet как дискретизация Эйлера) состояние обновляется по правилу $h_{k+1} = h_k\left(1+\dfrac{aT}{n}\right)$ на каждом из $n$ равных шагов, дискретизирующих интервал времени длиной $T$. При $a=0{,}5$, $T=4$, $h_0=1$ найти предел $h_n$ при $n\to\infty$.

Задание 27: Сигмоида определена как $\sigma(x) = \dfrac{1}{1+e^{-x}}$. Найти $\lim\limits_{x\to0} \dfrac{\sigma(x)-\sigma(0)}{x}$ (эта величина равна производной сигмоиды в нуле, важной константе при анализе инициализации весов).

Задание 28: Найти $\lim\limits_{x\to0} (1+3\sin x)^{\cot x}$.

Задание 29: Найти $\lim\limits_{x\to\infty} \left(\dfrac{2x+1}{2x-1}\right)^{x}$.

Задание 30: Доказать в общем виде, что $\lim\limits_{x\to0}(1+kx)^{m/x} = e^{km}$ для фиксированных чисел $k, m$, и применить формулу к $\lim\limits_{x\to0}(1-2x)^{7/x}$.

Частые ошибки

Ошибка 1. Применяют первый замечательный предел к углу в градусах.

Как выглядит: считают $\lim_{x\to0}\frac{\sin x^\circ}{x} = 1$, забывая перевести градусы в радианы.

Почему возникает: в школьной геометрии градусы привычнее радианов, а формула $\frac{\sin x}{x}\to1$ запоминается без оговорки про единицы измерения.

Как правильно: $x^\circ = \frac{\pi}{180}x$ (в радианах), и $\lim_{x\to0}\frac{\sin(x^\circ)}{x} = \frac{\pi}{180} \ne 1$. Все формулы этого урока работают только в радианной мере — переводи градусы в радианы раньше, чем начинаешь применять замечательные пределы.

Ошибка 2. Считают, что неопределённость $1^\infty$ равна $1$ по «прямой подстановке».

Как выглядит: видят $\left(1+\frac1n\right)^n$, замечают, что основание стремится к $1$, и пишут «$1$ в любой степени равно $1$, значит предел равен $1$».

Почему возникает: переносится привычка «число, стремящееся к $1$, можно заменить единицей», которая работает для обычных множителей, но не для основания степени с растущим показателем.

Как правильно: $1^\infty$ — полноценная неопределённость: основание стремится к $1$ не мгновенно, а с некоторой скоростью, и эта скорость в паре с ростом показателя определяет конечный, нетривиальный ответ (в данном случае $e$). Раскрывать такую неопределённость нужно логарифмированием, а не прямой подстановкой.

Ошибка 3. Путают знак в основании второго предела.

Как выглядит: для $\left(1-\frac{k}{x}\right)^x$ пишут ответ $e^k$ вместо $e^{-k}$.

Почему возникает: формула $\left(1+\frac{k}{x}\right)^x \to e^k$ запоминается механически, без внимания к знаку внутри скобки.

Как правильно: обобщённая формула — это $\left(1+\frac{k}{x}\right)^x \to e^k$ буквально с тем $k$, которое стоит после «плюс». Если в задаче стоит минус, представь его как $\left(1+\frac{(-k)}{x}\right)^x$ и подставляй $-k$ в показатель степени $e$.

Ошибка 4. Подставляют эквивалентные бесконечно малые внутрь суммы или разности, где старшие члены сокращаются.

Как выглядит: вычисляя $\lim_{x\to0}\frac{\sin x - x}{x^3}$, заменяют $\sin x \to x$ прямо в числителе и получают «$\frac{x-x}{x^3} = 0$» — ответ неверный (истинный предел равен $-\frac16$, но получить его инструментами этого урока нельзя).

Почему возникает: правило «заменяй эквивалентами» из этого урока действительно работает в произведениях и частных, и кажется, что оно универсально.

Как правильно: эквивалентную замену можно делать только в множителях произведения или частного. Внутри суммы или разности, если старшие (линейные) части слагаемых сокращаются, ответ определяется более тонкими, следующими членами разложения — эта техника разбирается в следующем уроке про сравнение бесконечно малых. Пока такие пределы (как $\sin x - x$) отложи до урока 182.

Ошибка 5. Забывают проверить, что аргумент функции действительно стремится к нулю, прежде чем применять первый замечательный предел.

Как выглядит: пытаются применить $\frac{\sin x}{x}\to1$ при $x\to\pi$ или к выражению $\frac{\sin(x-3)}{x}$ при $x\to0$, где аргумент синуса не стремится к нулю.

Почему возникает: формула воспринимается как заклинание «синус на аргумент равно один», без внимания к тому, к чему стремится сам аргумент.

Как правильно: обобщённая форма $\frac{\sin\varphi(x)}{\varphi(x)}\to1$ работает только тогда, когда $\varphi(x)\to0$. Всегда явно проверяй, что выражение под синусом (или в основании степени для второго предела) действительно стремится к нужному значению — к нулю для первого предела, к единице для основания второго.

Ошибка 6. Не приводят выражение к «своему» аргументу, забывая домножить и разделить.

Как выглядит: сразу пишут $\lim_{x\to0}\frac{\sin 5x}{x} = 1$, потеряв множитель $5$.

Почему возникает: спешка — видят «синус чего-то на что-то» и автоматически ставят единицу.

Как правильно: первый замечательный предел даёт единицу только когда аргумент синуса буквально совпадает со знаменателем. Если это не так, домножь и раздели на нужный коэффициент: $\frac{\sin 5x}{x} = 5\cdot\frac{\sin 5x}{5x} \to 5\cdot1 = 5$.

Ошибка 7. Путают, какой из двух пределов применить.

Как выглядит: пытаются раскрыть $\left(1+\frac1x\right)^x$ через тригонометрию или, наоборот, ищут «основание степени» в $\frac{\sin x}{x}$.

Почему возникает: оба предела изучаются в одном уроке, и при спешке признаки смешиваются.

Как правильно: первый замечательный предел — это всегда частное, где в числителе тригонометрическая функция (обычно синус, тангенс, арксинус). Второй — это всегда степень, где основание стремится к единице, а показатель растёт неограниченно. Формы принципиально разные, спутать их можно только по невнимательности.

Главное запомнить

• Первый замечательный предел: $\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$, только в радианах; общая форма $\lim\dfrac{\sin\varphi(x)}{\varphi(x)}=1$ при $\varphi(x)\to0$.

• Доказывается геометрически: $\sin x < x < \tan x$ через сравнение площадей треугольника, сектора и другого треугольника, затем теорема о двух милиционерах даёт $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1 \to 1$.

• Второй замечательный предел: $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n = e$; доказывается через монотонность и ограниченность последовательности (бином Ньютона, ограничение суммой $\sum 1/k! < 3$) и теорему из урока 179.

• Обобщённая форма: $\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{k}{x}\right)^x = e^k$ и, эквивалентно, $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n = e^x$ — эта формула определяет экспоненту как предел дискретного процесса.

• Таблица эквивалентных бесконечно малых при $x\to0$: $\sin x\sim x$, $\tan x\sim x$, $\arcsin x\sim x$, $1-\cos x\sim\frac{x^2}2$, $e^x-1\sim x$, $\ln(1+x)\sim x$, $a^x-1\sim x\ln a$, $(1+x)^k-1\sim kx$.

• Эквивалентную замену можно делать только в произведениях и частных, никогда — внутри суммы или разности, где старшие члены могут сократиться.

• Неопределённость $1^\infty$ раскрывается стандартной схемой: прологарифмировать, свести к пределу $\ln(\text{основание})\cdot(\text{показатель})$, применить таблицу эквивалентностей, а затем вернуться от логарифма к самому пределу через $e^{(\cdot)}$.

• Два замечательных предела вместе — фундамент производных всех трансцендентных функций: $\sin x$, $\cos x$ (через первый), $e^x$, $\ln x$, $a^x$ (через второй).

• В машинном обучении: сигмоида, softmax и все экспоненциальные функции активации определены через число $e$, доказанное здесь как предел; непрерывное начисление процентов и Neural ODE / ResNet — прямые приложения обобщённой формулы $\left(1+\frac{k}{x}\right)^x\to e^k$.

Связь с другими темами курса

Что нужно было знать до этого урока

Весь урок опирается на аппарат урока 179 «Теоремы о пределах»: теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности, на которой построено строгое доказательство существования числа $e$, и теорема о двух милиционерах (сжатой последовательности), которой доказан первый замечательный предел. Из школьного курса — урок 112 «Число e», где ты впервые встретил последовательность $(1+1/n)^n$ на калькуляторе и наглядно, без строгого определения предела, увидел её сходимость; этот урок превращает ту наглядность в доказательство. Также нужна тригонометрия: формулы понижения степени $1-\cos\alpha = 2\sin^2\frac\alpha2$, сумма-разность синусов, определения $\tan$, $\cot$, $\arcsin$ — без них не разобрать средние и продвинутые примеры.

Что изучить дальше

Урок 181 «Бесконечно малые и большие» systematизирует понятие бесконечно малой функции, с которым мы уже работали неформально, и введёт иерархию порядков малости. Урок 182 «Сравнение бесконечно малых» — прямое продолжение сегодняшнего предупреждения про сумму и разность: там объясняется, почему $\sin x - x$ не эквивалентно нулю, а имеет вполне определённый третий порядок малости, и как в таких случаях действовать корректно. Дальше по курсу — производная как предел отношения приращений, где формулы $(\sin x)' = \cos x$ и $(e^x)' = e^x$ выводятся напрямую из двух пределов этого урока, а вслед за ними — ряды Тейлора, дающие точные (а не только первого порядка) приближения для $\sin x$, $e^x$, $\ln(1+x)$.

Где это нужно в жизни

🤖 ML/AI. Сигмоида $\sigma(x)=\frac1{1+e^{-x}}$ и softmax — функции, определённые через $e$, чья гладкость и производные (см. задание 27) выводятся из второго замечательного предела. Log-sum-exp трюк для численно устойчивого softmax — прямое следствие логарифмирования $1^\infty$-подобных выражений. Дискретизация Neural ODE и ResNet-подобных архитектур — приложение формулы $\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \to e^x$ к слоям сети.

💰 Финансы. Непрерывное начисление процентов, формула $A = A_0 e^{rt}$ для облигаций и депозитов — прямое следствие обобщённого второго замечательного предела (задание 20).

📡 Обработка сигналов. Функция $\operatorname{sinc}(x) = \frac{\sin\pi x}{\pi x}$, доопределённая в нуле значением $1$ ровно благодаря первому замечательному пределу, лежит в основе теоремы Котельникова — Шеннона о дискретизации и идеальных низкочастотных фильтров.

🔬 Физика. Малые колебания маятника, приближение $\sin\theta \approx \theta$ в уравнении движения — та самая задача, с которой начал Гюйгенс в XVII веке; радиоактивный распад и охлаждение тел описываются экспонентой, определённой тем же вторым пределом.

Интересные факты

• Геометрическое доказательство первого замечательного предела через сравнение площадей — это тот же самый метод, которым Архимед около 250 года до н. э. зажимал число $\pi$ между периметрами вписанного и описанного многоугольников. Идея «стисни неизвестную величину между двумя вычислимыми и заставь их сойтись» — старейший действующий инструмент математики, ему больше двух тысячелетий.

• Число $e$ неожиданно появляется в задаче о «перепутанных письмах» (задача Эйлера о беспорядках): если $n$ писем случайно раскладываются по $n$ подписанным конвертам, вероятность того, что ни одно письмо не попадёт в свой конверт, стремится при $n\to\infty$ к $\frac1e \approx 0{,}368$ — том самом числе, что мы получили в задании 9.

• Первое применение приближения $\sin\theta\approx\theta$ принадлежит не математику, а часовщику: Христиан Гюйгенс в 1673 году использовал его для анализа маятниковых часов, за полтора века до того, как Коши и Вейерштрасс дали строгое определение предела, которым мы это приближение доказываем сегодня.

• Слово «замечательный» в названии этих пределов — калька с французского remarquable (буквально «достойный, чтобы его заметили»), закрепившаяся в русской математической традиции XIX века. В англоязычной литературе прямого аналога термина нет: там просто говорят the limit $\sin x/x$ или *the limit definition of $e$» — колорит названия чисто русский.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Для дробей вида $\frac{\sin(ax)}{bx}$ сразу пиши ответ $\frac{a}{b}$. Домножение-деление — механическая операция, которую после десятка примеров можно делать в уме: множитель при $x$ в числителе делишь на множитель при $x$ в знаменателе.

2. Держи в голове формулу $1-\cos\alpha = 2\sin^2\frac\alpha2$. Это единственный устойчивый способ свести выражения с $1-\cos$ к чистому первому замечательному пределу — большинство «средних» задач начинаются именно с этой замены.

3. При виде $1^\infty$ сразу логарифмируй, не гадай. Схема одна и та же для любого примера: $\ln L = \lim (\text{показатель})\cdot\ln(\text{основание})$, дальше — таблица эквивалентностей, в конце — $L=e^{(\text{результат})}$. Систематика надёжнее интуиции.

4. Эквивалентности работают только в произведениях и частных — проверяй это перед каждой заменой. Если видишь сумму или разность двух функций, сначала преобразуй её в произведение (через тригонометрические формулы суммы-разности, вынесение общего множителя) и только потом заменяй эквивалентами.

5. Для оснований вида $\frac{x+a}{x+b}$ приводи к $1+\frac{a-b}{x+b}$ и подгоняй показатель под знаменатель этой дроби. Это единый алгоритм для всех задач вида «дробно-линейное основание в степени $x$» — как только увидишь эту форму, сразу знаешь порядок действий.

6. Помни $a^x - 1 \sim x\ln a$ через переход $a^x=e^{x\ln a}$. Не запоминай отдельно формулы для каждого основания — все они сводятся к базовому случаю $e^x-1\sim x$ простой заменой.

7. Проверяй ответ численно на калькуляторе перед тем, как сдавать решение. Подставь в исходное выражение $x=0{,}01$ (или $n=1000$ для последовательностей) и сравни с символьным ответом — расхождение сразу укажет на ошибку в знаке или в коэффициенте.

Два замечательных предела — это не просто пара формул для запоминания, а рабочий переход от «предел не считается напрямую» к «предел считается за три строчки». Дальше в курсе ты будешь применять их так часто, что перестанешь замечать: они спрячутся внутри производной синуса, внутри производной экспоненты, внутри рядов Тейлора и в конце концов — внутри вычислений softmax, которые твоя будущая нейросеть будет делать миллионы раз в секунду. Именно поэтому в них стоило разобраться на уровне доказательства, а не на уровне веры в график.