Решить систему двух линейных уравнений

Как устроено решение

Система двух линейных уравнений:

$$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$$

Метод Крамера. Считаем три определителя:

$$\Delta = a_1 b_2 - b_1 a_2, \qquad \Delta_x = c_1 b_2 - b_1 c_2, \qquad \Delta_y = a_1 c_2 - c_1 a_2$$

Если $\Delta \neq 0$, решение единственное: $x = \dfrac{\Delta_x}{\Delta}$, $y = \dfrac{\Delta_y}{\Delta}$.

Если $\Delta = 0$, прямые параллельны (решений нет) или совпадают (решений бесконечно много).

В школе ту же систему решают подстановкой или сложением. Ответ получится тот же, а метод Крамера удобен тем, что всё сводится к трём одинаковым вычислениям.

Пример

$$\begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ 3x - y = 3 \end{cases}$$$$\Delta = 2 \cdot (-1) - 3 \cdot 3 = -11, \quad \Delta_x = 13 \cdot (-1) - 3 \cdot 3 = -22, \quad \Delta_y = 2 \cdot 3 - 13 \cdot 3 = -33$$$$x = \frac{-22}{-11} = 2, \qquad y = \frac{-33}{-11} = 3$$

Проверка: $2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 13$ и $3 \cdot 2 - 3 = 3$ — верно.

То же подстановкой: из второго уравнения $y = 3x - 3$; подставляем в первое: $2x + 3(3x - 3) = 13$, откуда $11x = 22$, $x = 2$, $y = 3$.

Частые вопросы

Как ввести уравнение без одной переменной, например $x = 4$? Коэффициент при $y$ равен 0: $1 \cdot x + 0 \cdot y = 4$.

Как ввести $2x - y = 5$? Коэффициент при $y$ равен $-1$.