Решить квадратное уравнение онлайн

Как решается квадратное уравнение

Квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$. Главный инструмент — дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac$$

• если $D > 0$ — два различных корня: $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$;
• если $D = 0$ — один корень (два совпадающих): $x = -\dfrac{b}{2a}$;
• если $D < 0$ — действительных корней нет.

Неполные уравнения решаются быстрее, без дискриминанта:

• $c = 0$: выносим $x$ за скобки, $x(ax + b) = 0$, отсюда $x_1 = 0$, $x_2 = -\dfrac{b}{a}$;
• $b = 0$: $x^2 = -\dfrac{c}{a}$, корни есть, только если правая часть не отрицательна.

Пример 1. Два целых корня

Решим $x^2 - 5x + 6 = 0$. Здесь $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$.

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$$$x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2, \qquad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

Проверка по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 5 = -\dfrac{b}{a}$, $x_1 \cdot x_2 = 6 = \dfrac{c}{a}$. Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Пример 2. Иррациональные корни

Решим $x^2 - 4x + 1 = 0$.

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 12, \qquad \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$$$$x_{1,2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$$

Ответ: $x_1 = 2 - \sqrt{3} \approx 0{,}27$, $x_2 = 2 + \sqrt{3} \approx 3{,}73$.

Частые вопросы

Что делать, если коэффициенты — дроби? Решатель сам умножит уравнение на общий знаменатель, чтобы коэффициенты стали целыми. В тетради удобно делать так же.

Почему корни записаны с корнем, а не десятичной дробью? Точный ответ в школе и на ОГЭ/ЕГЭ пишут через корень: $2 + \sqrt{3}$. Приближённые значения решатель показывает отдельным шагом.

Если $a < 0$? Умножьте обе части на $-1$: корни не изменятся, а считать станет проще. Решатель делает это автоматически.

Что такое вершина параболы в решении? Корни уравнения — это точки, где парабола $y = ax^2 + bx + c$ пересекает ось $x$. Вершина — её самая низкая (или самая высокая) точка; она пригодится для построения графика.