Определитель матрицы 2×2 и 3×3 онлайн

Определитель 2×2

$$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$$

Произведение элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной.

Определитель 3×3: правило Саррюса

$$\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi$$

Три произведения со знаком «+»: главная диагональ и два «треугольника», параллельных ей. Три со знаком «−»: побочная диагональ и её «треугольники».

Пример

$$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (2 \cdot 3 \cdot 1 + 0 \cdot 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1) - (1 \cdot 3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 \cdot 1 + 0 \cdot 1 \cdot 1) = 7 - 7 = 0$$

Определитель равен нулю, значит матрица вырожденная: строки линейно зависимы, обратной матрицы нет.

Зачем нужен определитель

• проверить, есть ли у системы уравнений единственное решение ($\Delta \neq 0$) — см. решатель систем;
• найти обратную матрицу;
• в машинном обучении — объём, который преобразование «растягивает» или «сжимает»; нулевой определитель означает, что преобразование схлопывает пространство.

Частые вопросы

Можно ли дроби в элементах? Да: 1/2, -3/4, 0,5. Ответ будет точной дробью.

А 4×4 и больше? Такие считают разложением по строке или методом Гаусса — это разобрано в уроке 159.