🎮 Пример из жизни: Коллекция в играх

У тебя в Fortnite:

• Легендарные скины: L штук
• Эпические скины: E штук
• Редкие скины: R штук
• Обычные скины: 10 штук (фиксированное число)

Вся коллекция: L + E + R + 10 — это многочлен!

Здесь 10 — свободный член (не зависит от переменных).

Пример 1: Сложить (2x + y) и (3x + y)

Шаг 1: Записываем сложение

(2x + y) + (3x + y)

Шаг 2: Раскрываем скобки

= 2x + y + 3x + y

Шаг 3: Группируем подобные слагаемые (члены с одинаковой буквенной частью)

= (2x + 3x) + (y + y)

Шаг 4: Складываем подобные

= 5x + 2y

Ответ: 5x + 2y

Пример 2: Сложить (2x² + y³ + z + 2) и (5x² + 2y³)

Шаг 1: Записываем

(2x² + y³ + z + 2) + (5x² + 2y³)

Шаг 2: Раскрываем скобки

= 2x² + y³ + z + 2 + 5x² + 2y³

Шаг 3: Группируем подобные

= (2x² + 5x²) + (y³ + 2y³) + z + 2

Шаг 4: Складываем

= 7x² + 3y³ + z + 2

Пример 3: Сложить в столбик (2x + y) и (3x + y)

  2x + y
+ 3x + y
--------
  5x + 2y

Подобные члены расположены вертикально → складываем их столбиком.

Пример 4: Сложить в столбик (2x² + y³ + z + 2) и (5x² + 2y³)

  2x² + y³ + z + 2
+ 5x²  + 2y³
-----------------
  7x² + 3y³ + z + 2

Члены z и 2 не имеют пары во втором многочлене — просто "сносятся" вниз.

Пример 5: Сложить (7x³ + y + z²) и (x³ - z²)

В столбик:

  7x³ + y + z²
+  x³     - z²
--------------
  8x³ + y + 0

Получилось 8x³ + y.

Подобные слагаемые z² и -z² дали в сумме 0, поэтому их не пишем в ответе.

Через скобки:

(7x³ + y + z²) + (x³ - z²)
= 7x³ + y + z² + x³ - z²
= (7x³ + x³) + y + (z² - z²)
= 8x³ + y

Пример 1: Вычесть из (2x + y) многочлен (3x + y)

Шаг 1: Записываем вычитание

(2x + y) - (3x + y)

Шаг 2: Раскрываем скобки (меняем знаки у всех членов второго многочлена)

= 2x + y - 3x - y

Шаг 3: Группируем подобные

= (2x - 3x) + (y - y)

Шаг 4: Вычисляем

= -x + 0 = -x

Ответ: -x

Пример 2: Вычесть из (13x - 11y + 10z) многочлен (-15x + 10y - 15z)

Через скобки:

Шаг 1: Записываем

(13x - 11y + 10z) - (-15x + 10y - 15z)

Шаг 2: Раскрываем скобки

= 13x - 11y + 10z + 15x - 10y + 15z

Обрати внимание:

• (-15x) стало +15x
• (+10y) стало -10y
• (-15z) стало +15z

Шаг 3: Группируем

= (13x + 15x) + (-11y - 10y) + (10z + 15z)

Шаг 4: Вычисляем

= 28x - 21y + 25z

Ответ: 28x - 21y + 25z

Пример 3: Вычесть в столбик (13x - 11y + 10z) - (-15x + 10y - 15z)

  13x - 11y + 10z
-(-15x + 10y - 15z)
------------------

Меняем знаки второго многочлена:

  13x - 11y + 10z
+ 15x - 10y + 15z
------------------
  28x - 21y + 25z

Пример 4: Особый случай — вычитание отрицательных членов

Рассмотрим вычитание: 10z - (-15z)

10z - (-15z) = 10z + 15z = 25z

Результат положительный, потому что минус на минус даёт плюс!

Это как с долгами: если у тебя забрали долг в 15₽, то это равносильно тому, что тебе дали 15₽.

Пример 1: Представить 3x + 5y + z + 7 в виде суммы двучленов

Вариант 1:

3x + 5y + z + 7 = (3x + 5y) + (z + 7)

Проверка: раскроем скобки

(3x + 5y) + (z + 7) = 3x + 5y + z + 7 ✓

Вариант 2:

3x + 5y + z + 7 = (3x + 5y + z) + 7

Также верно!

Пример 2: Представить 3x + 5y + z + 7 в виде разности

3x + 5y + z + 7 = (3x + 5y) - (-z - 7)

Почему так?

Раскроем скобки для проверки:

(3x + 5y) - (-z - 7) = 3x + 5y + z + 7 ✓

После минуса в скобках стоят -z и -7, потому что при раскрытии скобок минус на минус даёт плюс!

Пример 3: Представить 3x⁴ + 2x³ + 5x² - 4 в виде суммы двучленов

3x⁴ + 2x³ + 5x² - 4 = (3x⁴ + 2x³) + (5x² - 4)

Пример 4: Представить 3x⁴ + 2x³ + 5x² - 4 в виде разности двучленов

3x⁴ + 2x³ + 5x² - 4 = (3x⁴ + 2x³) - (-5x² + 4)

Проверка:

(3x⁴ + 2x³) - (-5x² + 4) = 3x⁴ + 2x³ + 5x² - 4 ✓

Пример 1: Привести к стандартному виду 2x + 4xy² + x - xy²

Шаг 1: Находим подобные члены

• Подобные: 2x и x
• Подобные: 4xy² и -xy²

Шаг 2: Приводим подобные

2x + 4xy² + x - xy² = (2x + x) + (4xy² - xy²) = 3x + 3xy²

Ответ: 3x + 3xy² — многочлен стандартного вида

Пример 2: Привести к стандартному виду 3xx⁴ + 3xx³ - 5x²x³ - 5x²x

Шаг 1: Приводим к стандартному виду каждый одночлен

3xx⁴ = 3x⁵
3xx³ = 3x⁴
5x²x³ = 5x⁵
5x²x = 5x³

Получаем:

3x⁵ + 3x⁴ - 5x⁵ - 5x³

Шаг 2: Приводим подобные члены Подобные: 3x⁵ и -5x⁵

(3x⁵ - 5x⁵) + 3x⁴ - 5x³ = -2x⁵ + 3x⁴ - 5x³

Ответ: -2x⁵ + 3x⁴ - 5x³

Пример 3: Привести к стандартному виду 3ab + 4cc + ab + 3c²

Шаг 1: Приводим одночлен 4cc к стандартному виду

4cc = 4c²

Получаем:

3ab + 4c² + ab + 3c²

Шаг 2: Приводим подобные

(3ab + ab) + (4c² + 3c²) = 4ab + 7c²

Ответ: 4ab + 7c²

Пример 4: Привести к стандартному виду 4x² - 4y - x² + 17y - y

Метод 1: Прямое приведение

4x² - 4y - x² + 17y - y = (4x² - x²) + (-4y + 17y - y) = 3x² + 12y

Метод 2: С использованием скобок (удобнее для начинающих)

Шаг 1: Заключаем подобные в скобки

(4x² - x²) + (-4y + 17y - y)

Шаг 2: Вычисляем в скобках

(3x²) + (12y)

Шаг 3: Раскрываем скобки

3x² + 12y

Ответ: 3x² + 12y

Пример 5: Привести к стандартному виду 12x² - 9y - 9x² + 6y + y

Шаг 1: Группируем подобные

12x² - 9y - 9x² + 6y + y = (12x² - 9x²) + (-9y + 6y + y)

Шаг 2: Вычисляем

= (3x²) + (-2y)

Шаг 3: Раскрываем скобки

= 3x² - 2y

Ответ: 3x² - 2y

Пример: Определить степень многочлена 3x + 3xy²

• Степень члена 3x: 1 (так как x = x¹)
• Степень члена 3xy²: 3 (1 + 2 = 3)

Наибольшая степень: 3

Ответ: Многочлен имеет третью степень

Пример 1: Поменять местами члены в x - y

Многочлен x - y — это сумма x + (-y)

По переместительному закону:

x + (-y) = (-y) + x = -y + x

Ответ: -y + x

Пример 2: Поменять местами члены в -y - x

-y - x = (-y) + (-x) = (-x) + (-y) = -x - y

Ответ: -x - y

Пример 3: Упорядочить x + xy³ - x² по убыванию степеней

Анализ степеней:

• xy³: степень = 4 (1 + 3)
• x²: степень = 2
• x: степень = 1

Порядок убывания степеней:

xy³ - x² + x

Ответ: xy³ - x² + x

Пример 1: Умножить 3x² на (2x + y + 5)

Подробное решение:

Шаг 1: Записываем умножение

3x²(2x + y + 5)

Шаг 2: Умножаем 3x² на каждый член многочлена

= 3x² · 2x + 3x² · y + 3x² · 5

Шаг 3: Вычисляем каждое произведение

= 6x³ + 3x²y + 15x²

Ответ: 6x³ + 3x²y + 15x²

Короткое решение:

3x²(2x + y + 5) = 6x³ + 3x²y + 15x²

Пример 2: Умножить 2a на (a² - 7a - 3)

Подробное решение:

2a(a² - 7a - 3)
= 2a · a² + 2a · (-7a) + 2a · (-3)
= 2a³ + (-14a²) + (-6a)
= 2a³ - 14a² - 6a

Короткое решение:

2a(a² - 7a - 3) = 2a³ - 14a² - 6a

Ответ: 2a³ - 14a² - 6a

Пример 3: Умножить -a²b² на (a²b² - a² - b²)

Решение:

-a²b²(a²b² - a² - b²)
= -a²b² · a²b² + (-a²b²) · (-a²) + (-a²b²) · (-b²)
= -a⁴b⁴ + a⁴b² + a²b⁴

Ответ: -a⁴b⁴ + a⁴b² + a²b⁴

Пример 4: Умножить -1,4x²y⁶ на (5x³y - 1,5xy² - 2y³)

-1,4x²y⁶(5x³y - 1,5xy² - 2y³)
= -1,4x²y⁶ · 5x³y + (-1,4x²y⁶) · (-1,5xy²) + (-1,4x²y⁶) · (-2y³)
= -7x⁵y⁷ + 2,1x³y⁸ + 2,8x²y⁹

Ответ: -7x⁵y⁷ + 2,1x³y⁸ + 2,8x²y⁹

Пример 5: Умножить -½xy на (⅔x² - ¾xy + ⅘y²)

Решение:

-½xy(⅔x² - ¾xy + ⅘y²)
= -½xy · ⅔x² + (-½xy) · (-¾xy) + (-½xy) · (⅘y²)
= -⅓x³y + ⅜x²y² - ⅖xy³

Ответ: -⅓x³y + ⅜x²y² - ⅖xy³

Геометрическое объяснение: a(b + c)

Представим прямоугольник со сторонами a и b:

┌──────┐
│      │ a
│      │
└──────┘
   b

Площадь: S = a · b

Теперь увеличим сторону b на c:

┌──────┬───┐
│      │   │ a
│  ab  │ac │
└──────┴───┘
   b     c

Новая площадь равна:

• Способ 1: a · (b + c) — умножаем длину на всю ширину
• Способ 2: ab + ac — складываем площади двух прямоугольников

Получаем: a(b + c) = ab + ac

Числовой пример: 2 · (4 + 2)

Прямоугольник 2 см × 4 см, увеличили ширину на 2 см:

┌─────────┬────┐
│         │    │ 2 см
│   2·4   │2·2 │
└─────────┴────┘
    4 см   2 см

Способ 1:

2 · (4 + 2) = 2 · 6 = 12 см²

Способ 2:

2 · 4 + 2 · 2 = 8 + 4 = 12 см²

Площадь: 12 квадратных сантиметров.

Пример 6: Выполнить умножение 2(a + b)c

Здесь сначала 2 умножается на (a + b), затем результат умножается на c.

Способ 1: Сначала 2 на (a + b)

2(a + b)c = (2a + 2b)c

Теперь умножаем (2a + 2b) на c:

= (2a + 2b)c = 2a · c + 2b · c = 2ac + 2bc

Способ 2: Сначала (a + b) на c

2(a + b)c = 2(ac + bc) = 2 · ac + 2 · bc = 2ac + 2bc

Оба способа дают один результат благодаря сочетательному закону умножения!

Ответ: 2ac + 2bc

Пример 1: Умножить (x + 3) на (y + 4)

Подробное решение:

Шаг 1: Записываем

(x + 3)(y + 4)

Шаг 2: Умножаем каждый член первого на каждый член второго

= x · y + x · 4 + 3 · y + 3 · 4

Шаг 3: Вычисляем произведения

= xy + 4x + 3y + 12

Ответ: xy + 4x + 3y + 12

Схема умножения:

(x + 3)(y + 4)
 ↓   ↓  ↓   ↓
 x умножается на y  → xy
 x умножается на 4  → 4x
 3 умножается на y  → 3y
 3 умножается на 4  → 12

Тот же пример: (x + 3)(y + 4)

Умножаем каждый член первого многочлена на весь второй многочлен целиком:

(x + 3)(y + 4) = x(y + 4) + 3(y + 4)

Теперь раскрываем:

= xy + 4x + 3y + 12

Результат тот же!

Пример 2: Умножить (a + b) на (c + d)

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

4 произведения: каждый член первого на каждый член второго!

Пример 3: Умножить (-x - 2y) на (x + 2y²)

Подробное решение:

Шаг 1: Умножаем -x на оба члена второго многочлена

-x · x = -x²
-x · 2y² = -2xy²

Шаг 2: Умножаем -2y на оба члена второго многочлена

-2y · x = -2xy
-2y · 2y² = -4y³

Шаг 3: Складываем все произведения

(-x - 2y)(x + 2y²) = -x² - 2xy² - 2xy - 4y³

Ответ: -x² - 2xy - 2xy² - 4y³

Или с приведением подобных (если есть):

-x² - 2xy - 2xy² - 4y³

Пример 4: Умножить (4a² + 2ab - b²) на (2a - b)

Подробное решение:

Шаг 1: Умножаем каждый член первого на каждый член второго

(4a² + 2ab - b²)(2a - b)
= 4a² · 2a + 4a² · (-b) + 2ab · 2a + 2ab · (-b) + (-b²) · 2a + (-b²) · (-b)
= 8a³ - 4a²b + 4a²b - 2ab² - 2ab² + b³

Шаг 2: Приводим подобные

= 8a³ + (-4a²b + 4a²b) + (-2ab² - 2ab²) + b³
= 8a³ + 0 - 4ab² + b³
= 8a³ - 4ab² + b³

Ответ: 8a³ - 4ab² + b³

Пример 5: Выполнить умножение -(a + b)(c - d)

Минус перед скобками — это коэффициент -1.

-(a + b)(c - d) = -1 · (a + b) · (c - d)

Способ 1: Сначала перемножим многочлены

(a + b)(c - d) = ac - ad + bc - bd

Теперь умножим на -1:

-1(ac - ad + bc - bd) = -ac + ad - bc + bd

Способ 2: Сначала умножим -1 на первый многочлен

-1(a + b) = -a - b

Теперь умножим на второй:

(-a - b)(c - d) = -ac + ad - bc + bd

Ответ: -ac + ad - bc + bd

Пример 6: Выполнить умножение x²(x + 5)(x - 3)

Шаг 1: Сначала перемножим многочлены

(x + 5)(x - 3) = x² - 3x + 5x - 15 = x² + 2x - 15

Шаг 2: Теперь умножим на x²

x²(x² + 2x - 15) = x⁴ + 2x³ - 15x²

Ответ: x⁴ + 2x³ - 15x²

Пример 7: Выполнить умножение (a + 1)(a + 2)(a + 3)

Шаг 1: Сначала перемножим первые два многочлена

(a + 1)(a + 2) = a² + 2a + a + 2 = a² + 3a + 2

Шаг 2: Полученный многочлен умножаем на третий

(a² + 3a + 2)(a + 3)
= a² · a + a² · 3 + 3a · a + 3a · 3 + 2 · a + 2 · 3
= a³ + 3a² + 3a² + 9a + 2a + 6
= a³ + 6a² + 11a + 6

Ответ: a³ + 6a² + 11a + 6

Пример 8: Умножить (a + b) на (c + d) подробным методом

(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d)

Раскрываем:

= ac + ad + bc + bd

Ответ: ac + ad + bc + bd

Пример 9: Умножить (x + y) на (x² + 2xy + y²)

(x + y)(x² + 2xy + y²) = x(x² + 2xy + y²) + y(x² + 2xy + y²)

Раскрываем:

= x³ + 2x²y + xy² + x²y + 2xy² + y³

Приводим подобные:

= x³ + (2x²y + x²y) + (xy² + 2xy²) + y³
= x³ + 3x²y + 3xy² + y³

Ответ: x³ + 3x²y + 3xy² + y³

Пример 10: Умножить (x² + 2x - 5) на (x³ - x + 2)

(x² + 2x - 5)(x³ - x + 2)
= x²(x³ - x + 2) + 2x(x³ - x + 2) + (-5)(x³ - x + 2)

Раскрываем каждое произведение:

= x⁵ - x³ + 2x² + 2x⁴ - 2x² + 4x - 5x³ + 5x - 10

Приводим подобные:

= x⁵ + 2x⁴ + (-x³ - 5x³) + (2x² - 2x²) + (4x + 5x) - 10
= x⁵ + 2x⁴ - 6x³ + 9x - 10

Ответ: x⁵ + 2x⁴ - 6x³ + 9x - 10

Геометрическое объяснение: (a + x)(b + y)

Прямоугольник со сторонами a и b:

┌──────┐
│      │ b
│      │
└──────┘
   a

Площадь: S = a · b

Увеличим длину на x, ширину на y:

┌──────┬───┐
│      │   │ y
│  ab  │xb │
├──────┼───┤ b
│  ay  │xy │
└──────┴───┘
   a     x

Общая площадь:

ab + xb + ay + xy

Или:

(a + x)(b + y) = ab + xb + ay + xy

Числовой пример: (6 + 2)(3 + 1)

Прямоугольник 6×3, увеличили длину на 2, ширину на 1:

┌──────────┬────┐
│          │    │ 1
│   6·3    │2·3 │
├──────────┼────┤ 3
│   6·1    │2·1 │
└──────────┴────┘
     6       2

Способ 1:

(6 + 2)(3 + 1) = 8 · 4 = 32

Способ 2:

6·3 + 2·3 + 6·1 + 2·1 = 18 + 6 + 6 + 2 = 32

Площадь: 32 квадратных сантиметра.

Пример 1: Вынести общий множитель в 6xy + 3xz

Шаг 1: Находим НОД коэффициентов

НОД(6, 3) = 3

Шаг 2: Находим общие буквенные множители

Общая буква: x

Шаг 3: Выносим 3x за скобки

Делим каждый член на 3x:

6xy ÷ 3x = 2y
3xz ÷ 3x = z

Результат:

6xy + 3xz = 3x(2y + z)

Шаг 4: Проверка

3x(2y + z) = 3x · 2y + 3x · z = 6xy + 3xz ✓

Ответ: 3x(2y + z)

Пример 2: Вынести общий множитель в x² + x + xy

Анализ:

• Коэффициенты: все равны 1, НОД = 1
• Общая буква: x (в первом члене x² = x·x, во втором x, в третьем xy = x·y)

Представим члены в виде произведений:

x² = x · x
x = 1 · x
xy = x · y

Общий множитель: x

Выносим x:

x² + x + xy = x(x + 1 + y)

Проверка:

x(x + 1 + y) = x² + x + xy ✓

Ответ: x(x + 1 + y)

Пример 3: Вынести общий множитель в 15x²y³ + 12xy² + 3xy²

Шаг 1: НОД коэффициентов

НОД(15, 12, 3) = 3

Шаг 2: Общие буквенные множители

Представим члены:

15x²y³ = 15 · x · x · y · y · y
12xy² = 12 · x · y · y
3xy² = 3 · x · y · y

Общие множители:

• x (наименьшая степень: 1)
• y² (наименьшая степень: 2)

Шаг 3: Выносим 3xy² за скобки

15x²y³ ÷ 3xy² = 5xy
12xy² ÷ 3xy² = 4
3xy² ÷ 3xy² = 1

Результат:

15x²y³ + 12xy² + 3xy² = 3xy²(5xy + 4 + 1)

Упрощаем скобки:

= 3xy²(5xy + 5)

Проверка:

3xy²(5xy + 5) = 15x²y³ + 15xy²

Стоп! Не сходится. Проверим исходный многочлен:

Ага, там 12xy² + 3xy² можно упростить:

15x²y³ + 12xy² + 3xy² = 15x²y³ + 15xy²

Теперь:

= 3xy²(5xy + 5)

Или можно ещё вынести 5:

= 3xy² · 5(xy + 1) = 15xy²(xy + 1)

Ответ: 15xy²(xy + 1) или 3xy²(5xy + 5)

Пример 4: Вынести общий множитель в x² + x

x² = x · x
x = x · 1

Общий множитель: x

x² + x = x(x + 1)

Ответ: x(x + 1)

Пример 5: Вынести общий множитель в 5y² - 15y

НОД(5, 15) = 5 Общая буква: y (степень 1)

5y² - 15y = 5y(y - 3)

Проверка:

5y(y - 3) = 5y² - 15y ✓

Ответ: 5y(y - 3)

Пример 6: Вынести общий множитель в 5y² - 15y³

НОД(5, 15) = 5 Общая буква: y² (наименьшая степень)

5y² - 15y³ = 5y²(1 - 3y)

Проверка:

5y²(1 - 3y) = 5y² - 15y³ ✓

Ответ: 5y²(1 - 3y)

Пример 7: Вынести общий множитель в 20x⁴ - 25x²y² - 10x³

НОД(20, 25, 10) = 5 Общая буква: x² (наименьшая степень)

20x⁴ ÷ 5x² = 4x²
25x²y² ÷ 5x² = 5y²
10x³ ÷ 5x² = 2x

20x⁴ - 25x²y² - 10x³ = 5x²(4x² - 5y² - 2x)

Проверка:

5x²(4x² - 5y² - 2x) = 20x⁴ - 25x²y² - 10x³ ✓

Ответ: 5x²(4x² - 5y² - 2x)

Пример 8: Вынести общий множитель в aᵐ + aᵐ⁺¹

Второй член можно представить как:

aᵐ⁺¹ = aᵐ · a

Общий множитель: aᵐ

aᵐ + aᵐ⁺¹ = aᵐ + aᵐ · a = aᵐ(1 + a)

Ответ: aᵐ(1 + a)

Пример 9: Разложить на множители x³ - 4x² + 4x

Шаг 1: Выносим общий множитель x

x³ - 4x² + 4x = x(x² - 4x + 4)

Шаг 2: Смотрим на скобки

Многочлен x² - 4x + 4 можно разложить дальше. Это полный квадрат!

x² - 4x + 4 = (x - 2)²

Итого:

x³ - 4x² + 4x = x(x - 2)²

Проверка:

x(x - 2)² = x(x² - 4x + 4) = x³ - 4x² + 4x ✓

Ответ: x(x - 2)²

Пример 1: Проверить вынесение 2x + 4x² = 2x(1 + 2x)

Подставим x = 2:

Левая часть:

2·2 + 4·2² = 4 + 16 = 20

Правая часть:

2·2(1 + 2·2) = 4(1 + 4) = 4·5 = 20

20 = 20 ✓

Решение верное!

Подставим x = 1 для дополнительной проверки:

Левая часть:

2·1 + 4·1² = 2 + 4 = 6

Правая часть:

2·1(1 + 2·1) = 2(1 + 2) = 2·3 = 6

6 = 6 ✓

Решение точно верное!

Пример 2: Проверить вычитание (5x² - 3x + 4) - (4x² - x) = x² - 2x + 4

Подставим x = 2:

Исходное выражение:

(5·4 - 3·2 + 4) - (4·4 - 2) = (20 - 6 + 4) - (16 - 2) = 18 - 14 = 4

Результат:

1·4 - 2·2 + 4 = 4 - 4 + 4 = 4

4 = 4 ✓

Преобразование выполнено правильно!