Не любой четырёхугольник можно вписать в окружность — для этого его углы должны подчиняться жёсткому условию. Разберём, что это за условие, почему оно работает в обе стороны и как с его помощью быстро находить углы и доказывать, что точки лежат на одной окружности.
Определение
Четырёхугольник называется вписанным в окружность, если все его четыре вершины лежат на одной окружности. Такую окружность называют описанной около четырёхугольника. Не каждый четырёхугольник обладает этим свойством: например, у произвольного параллелограмма (не прямоугольника) через все четыре вершины окружность провести нельзя.
Главный признак: сумма противоположных углов
Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны $180°$. Это утверждение работает в обе стороны: если четырёхугольник уже вписан — суммы противоположных углов обязательно дают $180°$; и наоборот, если в четырёхугольнике сумма каких-то противоположных углов равна $180°$, через его вершины обязательно можно провести окружность. Второе направление особенно полезно в задачах на доказательство: чтобы показать, что четыре точки лежат на одной окружности, достаточно проверить равенство суммы углов $180°$, не выполняя никаких построений циркулем.
Как не запутаться, какие углы складывать
В четырёхугольнике $ABCD$ вершины идут по порядку обхода: $A$, $B$, $C$, $D$. Противоположные — это вершины через одну: $A$ и $C$, $B$ и $D$. Складывать нужно именно их, а не углы при соседних вершинах $A$ и $B$ — для них никакого фиксированного равенства $180°$ в общем случае нет.
Почему это работает
Доказательство в одну сторону — от вписанности к сумме углов $180°$ — опирается на теорему о вписанном угле: вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Пусть $ABCD$ вписан в окружность. Угол $\angle BAD$ — вписанный угол, опирающийся на дугу $BCD$ (ту дугу $BD$, которая проходит через $C$ и не содержит $A$). Угол $\angle BCD$ — вписанный угол, опирающийся на оставшуюся дугу $BAD$ (дугу $BD$, которая проходит через $A$ и не содержит $C$). Эти две дуги вместе составляют полную окружность, то есть их градусные меры в сумме дают $360°$. Вписанный угол равен половине своей дуги, поэтому:
$$\angle BAD + \angle BCD = \frac{1}{2}\big(\text{дуга } BCD\big) + \frac{1}{2}\big(\text{дуга } BAD\big) = \frac{1}{2} \cdot 360° = 180°$$Обратное направление доказывают методом от противного: если через три вершины четырёхугольника провести окружность (через любые три точки, не лежащие на одной прямой, окружность проходит единственным образом), а четвёртая вершина не лежит на этой окружности, то она окажется либо строго внутри, либо строго снаружи круга. В обоих случаях угол при этой вершине либо больше, либо меньше того угла, который дала бы точка на самой окружности — и равенство суммы противоположных углов $180°$ нарушится. Значит, если сумма всё-таки равна $180°$, четвёртая вершина обязана лежать на той же окружности, что и первые три.
Пример 1: угол по известному противоположному
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, $\angle A = 72°$. Найдём $\angle C$.
Противоположные углы в сумме дают $180°$: $\angle C = 180° - 72° = 108°$.
Пример 2: четырёхугольник с заданными соотношениями углов
В четырёхугольнике $ABCD$, вписанном в окружность, $\angle B$ вдвое больше $\angle D$. Найдём оба угла.
Пусть $\angle D = x$, тогда $\angle B = 2x$. По признаку $\angle B + \angle D = 180°$, значит $2x + x = 180°$, откуда $3x = 180°$ и $x = 60°$. Тогда $\angle D = 60°$, $\angle B = 120°$.
Пример 3: доказательство вписанности по углам
В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $\angle A = 95°$, $\angle B = 110°$, $\angle C = 85°$, $\angle D = 70°$. Можно ли вписать такой четырёхугольник в окружность?
Проверим суммы противоположных углов: $\angle A + \angle C = 95° + 85° = 180°$, и $\angle B + \angle D = 110° + 70° = 180°$. Обе суммы равны $180°$, значит по признаку четырёхугольник можно вписать в окружность.
Внешний угол вписанного четырёхугольника
Из основного признака сразу следует удобное следствие: внешний угол вписанного четырёхугольника при любой вершине равен внутреннему углу при противоположной вершине. Это получается напрямую: внешний угол при $C$ дополняет внутренний угол $\angle C$ до $180°$, а внутренний угол $\angle A$ делает то же самое — значит, они равны друг другу. Это свойство иногда быстрее приводит к ответу, чем работа с суммой углов напрямую, особенно если в условии уже фигурирует внешний угол.
Описанный четырёхугольник: другое свойство
Не стоит путать вписанный четырёхугольник с описанным — это разные конфигурации. Четырёхугольник называется описанным около окружности, если все его четыре стороны касаются одной окружности (окружность вписана внутрь четырёхугольника, а не проходит через его вершины). Для такого четырёхугольника работает другое условие — теорема Пито: суммы противоположных сторон равны.
Это равенство следует из свойства отрезков касательных: отрезки двух касательных к окружности, проведённых из одной внешней точки, равны между собой. Если обозначить точки касания на сторонах и разбить каждую сторону на два отрезка от вершины до точки касания, то каждый такой отрезок входит ровно в одну сумму слева и ровно в одну сумму справа — поэтому обе суммы совпадают. Важно: условие на углы ($180°$) и условие на стороны (равенство сумм) относятся к двум разным фигурам — вписанному и описанному четырёхугольнику — и в общем случае никак друг друга не заменяют. Четырёхугольник может быть одновременно и вписанным, и описанным (такие называют бицентрическими), но это отдельный, более узкий случай.
Частая ошибка
Складывают углы при соседних вершинах вместо противоположных — например, $\angle A + \angle B$ вместо $\angle A + \angle C$ — и получают неверное или бессмысленное уравнение, потому что для соседних углов признак $180°$ не действует. Вторая ошибка — применяют признак суммы углов к четырёхугольнику, который на самом деле описанный (со вписанной окружностью), и наоборот применяют теорему Пито о сторонах к вписанному четырёхугольнику: эти два признака относятся к разным конфигурациям и не взаимозаменяемы.
Трапеция, вписанная в окружность
Признак суммы углов $180°$ сразу объясняет, почему в окружность можно вписать только равнобедренную трапецию. У любой трапеции углы при одном основании в сумме с соответствующими углами при другом основании, прилежащими к той же боковой стороне, дают $180°$ — это свойство параллельных прямых и секущей, а не окружности. А вот у произвольной (не равнобедренной) трапеции углы при основании не равны симметрично, и подстановка в признак вписанного четырёхугольника не даёт нужного равенства противоположных углов — только у равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны друг другу, и тогда суммы противоположных углов автоматически выравниваются до $180°$.
Задачи для самопроверки
Задачи
Задача 1: Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, $\angle B = 134°$. Найдите $\angle D$.
Ответ: $46°$.
Задача 2: В четырёхугольнике $ABCD$, вписанном в окружность, $\angle A : \angle C = 2 : 3$. Найдите $\angle A$ и $\angle C$.
$\angle A = 72°$, $\angle C = 108°$.
Ответ: $\angle A = 72°$, $\angle C = 108°$.
Задача 3: В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $\angle A = 100°$, $\angle B = 80°$, $\angle C = 80°$, $\angle D = 100°$. Можно ли вписать этот четырёхугольник в окружность?
Обе суммы равны $180°$, значит четырёхугольник можно вписать в окружность.
Ответ: да, можно.
Задача 4: Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB = 7$ см, $BC = 9$ см, $CD = 8$ см. Найдите сторону $AD$.
$7 + 8 = 9 + AD$, откуда $AD = 15 - 9 = 6$ см.
Ответ: $6$ см.
Задача 5: Внешний угол при вершине $C$ вписанного четырёхугольника $ABCD$ равен $65°$. Найдите внутренний угол $\angle A$.
Ответ: $\angle A = 65°$.
Главное запомнить
- Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны $180°$: $\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180°$
- Признак работает в обе стороны: его можно использовать и для вычисления углов, и для доказательства, что точки лежат на одной окружности
- Внешний угол при вершине равен внутреннему углу при противоположной вершине
- Описанный четырёхугольник (со вписанной окружностью) подчиняется другому правилу — теореме Пито: суммы противоположных сторон равны
- В окружность можно вписать только равнобедренную трапецию, а не любую
Что почитать дальше
- Вписанный и центральный угол: теорема, формула и примеры
- Вписанная и описанная окружность треугольника: формулы радиусов
- Теорема синусов
- Подготовка к ОГЭ по математике
Разобрать задачи по теме с AI-репетитором можно в Telegram-боте.