У любого треугольника есть сразу две «свои» окружности: одна проходит через все три вершины снаружи, другая касается всех трёх сторон изнутри. Их часто путают местами или подставляют не ту формулу радиуса — а между тем у каждой окружности свой центр, своё построение и своя формула. Разберёмся, как их отличать и считать.
Определение
Описанная окружность треугольника — это окружность, проходящая через все три его вершины. Вписанная окружность треугольника — это окружность, которая касается всех трёх его сторон и лежит внутри треугольника. Для любого треугольника обе окружности существуют, причём ровно по одной каждого вида.
Где находятся центры окружностей
Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Серединный перпендикуляр к отрезку — это множество точек, равноудалённых от его концов, поэтому точка пересечения всех трёх серединных перпендикуляров равноудалена сразу от всех трёх вершин, и это расстояние и есть радиус $R$.
Где лежит центр в зависимости от вида треугольника
В остроугольном треугольнике центр описанной окружности лежит внутри треугольника. В прямоугольном — ровно на середине гипотенузы (это прямое следствие теоремы о вписанном угле, опирающемся на диаметр). В тупоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит снаружи, за стороной, противолежащей тупому углу.
Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника. Биссектриса угла — это множество точек, равноудалённых от его сторон, поэтому точка пересечения всех трёх биссектрис равноудалена сразу от всех трёх сторон (точнее — от прямых, на которых они лежат), и это расстояние является радиусом $r$. В отличие от центра описанной окружности, центр вписанной всегда лежит строго внутри треугольника, каким бы он ни был — острым, прямым или тупым, потому что биссектрисы внутренних углов всегда пересекаются внутри фигуры.
Радиус описанной окружности
Первая формула — это теорема синусов в развёрнутом виде: отношение стороны к синусу противолежащего угла одинаково для всех трёх сторон и равно диаметру описанной окружности. Удобно пользоваться ею, когда в условии уже есть сторона и противолежащий ей угол.
Вторая формула выражает $R$ через все три стороны и площадь — она полезна, когда углы неизвестны, зато стороны даны или легко находятся. Обе формулы равносильны: из теоремы синусов $a = 2R\sin A$, а площадь треугольника можно записать как $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A$, откуда $\sin A = \dfrac{2S}{bc}$; подставив это в $a = 2R\sin A$, получаем $a = \dfrac{4RS}{bc}$, то есть $R = \dfrac{abc}{4S}$.
Пример 1: радиус через сторону и угол
В треугольнике сторона $a = 10$ см, а противолежащий ей угол $A = 30°$. Найдём радиус описанной окружности.
$R = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{10}{2 \cdot \sin 30°} = \dfrac{10}{2 \cdot 0{,}5} = \dfrac{10}{1} = 10$ см.
Пример 2: радиус через стороны и площадь
Стороны треугольника равны $a = 13$ см, $b = 14$ см, $c = 15$ см, а его площадь $S = 84$ см². Найдём радиус описанной окружности.
$R = \dfrac{abc}{4S} = \dfrac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \dfrac{2730}{336} = 8{,}125$ см.
Радиус вписанной окружности
Формула получается из того, что вписанная окружность делит треугольник на три треугольника с общей вершиной в центре окружности $I$ и высотами, равными радиусу $r$ (высота опущена на каждую из сторон, потому что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне — так же, как для любой касательной). Площадь каждого из этих треугольников равна половине произведения стороны на $r$, а их сумма даёт всю площадь исходного треугольника:
$$S = \frac{1}{2}a \cdot r + \frac{1}{2}b \cdot r + \frac{1}{2}c \cdot r = \frac{1}{2}r(a+b+c) = r \cdot p.$$Отсюда $r = S / p$.
Пример 3: радиус вписанной окружности
Стороны треугольника те же, что и в примере 2: $a = 13$, $b = 14$, $c = 15$ см, площадь $S = 84$ см². Найдём радиус вписанной окружности.
Полупериметр: $p = \dfrac{13+14+15}{2} = \dfrac{42}{2} = 21$ см.
$r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{84}{21} = 4$ см.
Частный случай: прямоугольный треугольник
Для прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ формулу для $r$ можно упростить: $r = \dfrac{a+b-c}{2}$. Она получается из общей формулы $r = S/p$, если подставить $S = \dfrac{1}{2}ab$ и $p = \dfrac{a+b+c}{2}$, а затем упростить дробь. А радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника всегда равен половине гипотенузы: $R = c/2$, потому что центр описанной окружности лежит точно на середине гипотенузы.
Как выбрать нужную формулу
Если известны стороны и углы, для описанной окружности удобнее теорема синусов $R = \dfrac{a}{2\sin A}$ — не нужно отдельно искать площадь. Если же углы неизвестны, а стороны даны, сначала находят площадь (например, по формуле Герона), а затем применяют $R = \dfrac{abc}{4S}$ или $r = S/p$ — обе формулы используют одну и ту же площадь, поэтому если она уже посчитана, обе окружности находятся практически в одно действие.
Частая ошибка
Путают, какая окружность больше: описанная окружность (через вершины) почти всегда заметно больше вписанной (внутри сторон), и если после вычислений получилось наоборот — $r > R$ — почти наверняка где-то перепутаны формулы или данные подставлены не туда. Вторая частая ошибка — в формуле $R = abc/(4S)$ забывают, что в знаменателе именно $4S$, а не $2S$, и получают ответ ровно вдвое больше правильного.
Задачи для самопроверки
Задачи
Задача 1: Сторона треугольника равна $8$ см, а противолежащий ей угол равен $45°$. Найдите диаметр описанной окружности.
Ответ: $8\sqrt2$ см.
Задача 2: Стороны треугольника равны $5$, $6$ и $7$ см, площадь треугольника $S = 6\sqrt6$ см². Найдите радиус вписанной окружности.
$r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{6\sqrt6}{9} = \dfrac{2\sqrt6}{3}$ см.
Ответ: $\dfrac{2\sqrt6}{3}$ см.
Задача 3: Катеты прямоугольного треугольника равны $6$ см и $8$ см. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей.
Радиус описанной окружности: $R = c/2 = 5$ см.
Радиус вписанной окружности: $r = \dfrac{a+b-c}{2} = \dfrac{6+8-10}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$ см.
Ответ: $R = 5$ см, $r = 2$ см.
Задача 4: В треугольнике площадь $S = 24$ см², а стороны равны $6$, $8$ и $10$ см. Найдите радиус вписанной окружности.
$r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{24}{12} = 2$ см.
Ответ: $2$ см.
Задача 5: Треугольник со сторонами $6$, $8$, $10$ см и площадью $24$ см² вписан в окружность. Найдите её радиус.
(Треугольник со сторонами 6, 8, 10 — прямоугольный, поэтому ответ совпадает с $c/2 = 5$ см — так и должно быть.)
Ответ: $5$ см.
Главное запомнить
- Описанная окружность проходит через все вершины треугольника; её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам
- Вписанная окружность касается всех сторон треугольника изнутри; её центр — точка пересечения биссектрис, всегда внутри треугольника
- Радиус описанной окружности: $R = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{abc}{4S}$
- Радиус вписанной окружности: $r = \dfrac{S}{p}$, где $p$ — полупериметр
- В прямоугольном треугольнике $R = c/2$ и $r = \dfrac{a+b-c}{2}$
Что почитать дальше
- Теорема синусов
- Решение треугольников: площадь через синус, теоремы, примеры
- Касательная к окружности: свойства и отрезки касательных
- Подготовка к ОГЭ по математике
Разобрать задачи по теме с AI-репетитором можно в Telegram-боте.