Вписанный и центральный угол: теорема, формула и примеры

В задачах на окружность почти всегда фигурируют два вида углов — один с вершиной в центре, другой с вершиной на самой окружности. Спутать их или забыть про множитель 1/2 между ними — одна из самых частых ошибок в геометрии. Разберёмся, что такое вписанный и центральный угол, как они связаны и как быстро находить один через другой.

Теорема о вписанном угле

Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Ключевое слово здесь — «та же дуга»: если центральный и вписанный углы опираются на разные дуги одной окружности, формула не работает, поэтому первым делом на чертеже стоит отметить именно дугу, а не просто две точки на окружности.

Почему это работает

Доказательство удобно разбить на случай, когда центр окружности лежит на одной из сторон вписанного угла, а остальные случаи свести к нему.

Пусть вписанный угол $\angle ACB$ опирается на дугу $AB$, и центр $O$ лежит на стороне $CB$. Тогда $CO = OA$ как радиусы одной окружности, поэтому треугольник $AOC$ равнобедренный, и углы при основании $AC$ равны: $\angle OAC = \angle OCA$. Угол $\angle AOB$ — внешний угол треугольника $AOC$ при вершине $O$, а внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle AOB = \angle OAC + \angle OCA = 2\angle OCA = 2\angle ACB$. Отсюда $\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB$, что и требовалось.

Если центр окружности не лежит на стороне угла, а находится внутри или снаружи угла $ACB$, доказательство сводится к уже разобранному случаю: проводят диаметр из вершины $C$ через центр $O$, который делит угол $ACB$ (или дополняет его снаружи) на два угла, каждый из которых уже опирается на луч, содержащий центр, и к каждому применяют доказанное выше равенство, а затем складывают или вычитают результаты. Во всех трёх случаях итоговое соотношение получается одним и тем же: вписанный угол равен половине соответствующего центрального.

Где эта теорема встречается в задачах

Теорема о вписанном угле — один из самых частых инструментов в задачах на окружность, потому что она позволяет переходить от угла к дуге и обратно без построения дополнительных отрезков. Если в условии дана градусная мера дуги или центрального угла, а найти нужно угол на вписанной фигуре (или наоборот), это почти всегда сигнал использовать множитель 1/2 — только сначала важно чётко определить, на какую дугу опирается каждый из углов в условии, потому что именно ошибка в выборе дуги, а не в самом умножении или делении на два, чаще всего портит решение.

Теорема также лежит в основе многих признаков, которые пригодятся в более сложных задачах: например, чтобы доказать, что четыре точки лежат на одной окружности, часто проверяют, что углы, под которыми две из этих точек видны из двух других, равны — а это прямое следствие равенства вписанных углов, опирающихся на одну дугу. Похожим образом теорема применяется и для доказательства перпендикулярности: если известно, что угол опирается на диаметр, сразу можно утверждать, что он прямой, без дополнительных построений и без вычисления координат.

Угол, опирающийся на диаметр

Это важный частный случай теоремы. Диаметр стягивает полуокружность, а центральный угол, соответствующий полуокружности, равен $180°$ — развёрнутый угол. Тогда любой вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен половине от $180°$, то есть ровно $90°$. На этом факте строится, например, стандартный способ построить прямой угол или проверить, что треугольник, вписанный в окружность, прямоугольный: если одна из его сторон — диаметр, угол напротив неё обязательно прямой.

Задачи для самопроверки

Что почитать дальше

• Радианная мера угла
• Теорема синусов
• Теорема Пифагора: формула, примеры и как найти катет или гипотенузу
• Подготовка к ОГЭ по математике

Разобрать задачи по теме с AI-репетитором можно в Telegram-боте.