Когда на чертеже пересекаются две прямые, сразу образуется четыре угла — и в задачах про них постоянно путают, какие из них равны, а какие в сумме дают развёрнутый угол. На самом деле правило простое: смежные углы дополняют друг друга до 180°, а вертикальные всегда равны. Эти два свойства — одни из самых часто используемых фактов школьной геометрии: на них опирается доказательство признаков параллельности прямых, свойств треугольников и многих задач на вычисление углов. В этой статье разберём оба понятия, докажем оба свойства и решим несколько типичных задач.
Определение смежных углов
Два угла называются смежными, если у них общая вершина и одна общая сторона, а две другие стороны образуют прямую (развёрнутый угол в 180°). Проще говоря, смежные углы получаются, когда один луч делит развёрнутый угол на две части.
Определение вертикальных углов
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжением сторон другого за вершину. Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых: из четырёх углов, которые при этом получаются, противоположные друг другу (не соседние) — вертикальные.
Почему это верно: доказательство
Оба свойства выводятся из одного факта: развёрнутый угол равен 180°.
Возьмём прямую и точку на ней, через которую проходит ещё один луч, делящий развёрнутый угол на два угла — $\angle 1$ и $\angle 2$. По определению развёрнутого угла:
Отсюда прямо следует свойство смежных углов: зная один из них, второй всегда находится вычитанием из 180°.
Теперь возьмём две пересекающиеся прямые. В точке пересечения образуется четыре угла: $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$, $\angle 4$ по порядку. Угол $\angle 1$ смежный одновременно с $\angle 2$ и с $\angle 4$ (у каждой пары общая сторона), поэтому:
Из двух этих равенств следует $\angle 2 = 180° - \angle 1 = \angle 4$. То есть углы 2 и 4, стоящие по разные стороны от общей вершины, равны между собой — это и есть вертикальные углы. Точно так же доказывается, что $\angle 1 = \angle 3$.
Как быстро отличить смежные от вертикальных на чертеже
Смежные углы стоят «рядом» и вместе образуют прямую линию — их можно представить как одну полоску, разрезанную лучом на две части. Вертикальные углы стоят «напротив» друг друга через точку пересечения, как два противоположных кусочка креста. Если угол и его пара образуют прямую линию — они смежные и в сумме 180°. Если угол и его пара — противоположные «лепестки» одного пересечения — они вертикальные и равны.
Пример 1: найти смежный угол
Один из смежных углов равен 37°. Найдём второй.
Сумма смежных углов равна 180°, поэтому:
$\angle 2 = 180° - 37° = 143°$.
Пример 2: найти все четыре угла при пересечении прямых
Две прямые пересекаются, и один из образовавшихся углов равен 52°. Найдём остальные три угла.
Угол, вертикальный данному, тоже равен 52° (вертикальные углы равны).
Два оставшихся угла смежны с данным, поэтому каждый из них равен $180° - 52° = 128°$, и они также вертикальны друг другу.
Ответ: 52°, 128°, 52°, 128° по кругу.
Пример 3: уравнение из соотношения смежных углов
Один из смежных углов на 48° больше другого. Найдём оба угла.
Пусть меньший угол равен $x$, тогда больший равен $x + 48°$. Так как углы смежные, их сумма равна 180°:
$x + (x + 48°) = 180°$
$2x = 132°$
$x = 66°$.
Ответ: углы равны 66° и 114°. Проверка: $66° + 114° = 180°$ — верно.
Пример 4: три прямые через одну точку
Через одну точку проходят три прямые, которые делят плоскость на шесть углов. Известно, что один из углов равен 40°, а соседний с ним — 75°. Найдём третий угол из той же полуплоскости (их сумма с первыми двумя равна 180°, так как вместе они образуют развёрнутый угол).
Три соседних угла, идущие подряд от одного луча до противоположного, в сумме составляют развёрнутый угол 180°:
$40° + 75° + \angle x = 180°$
$\angle x = 180° - 115° = 65°$.
Остальные три угла по другую сторону точки пересечения — вертикальные к найденным, поэтому они равны тем же 40°, 75° и 65° соответственно.
Частая ошибка
Самая частая путаница — спутать смежные и вертикальные углы и вместо вычитания из 180° написать равенство (или наоборот). Чтобы не ошибиться: если у углов общая сторона и они вместе образуют прямую линию — это смежные, сумма 180°. Если общей стороны нет, а стороны одного угла — продолжение сторон другого за вершину — это вертикальные, они равны. Вторая ошибка — считать смежными любые два угла с общей вершиной: соседство по вершине без общей стороны и без прямой линии ничего не доказывает.
Частые вопросы
Может ли угол быть одновременно смежным и вертикальным другому углу? Нет. У смежных углов обязательно есть общая сторона, а у вертикальных — нет (их стороны — продолжения друг друга за вершину, не общая сторона). Это два разных вида пар углов для одной и той же точки пересечения.
Сколько пар смежных и вертикальных углов образуют две пересекающиеся прямые? При пересечении двух прямых получается четыре угла и четыре пары смежных углов (каждый угол смежен с двумя соседними), а также две пары вертикальных углов — противоположные углы.
Верно ли, что смежные углы всегда разные по величине? Нет, не обязательно: если оба смежных угла равны 90°, то оба они прямые. Это частный случай, когда прямые пересекаются под прямым углом — тогда все четыре угла при пересечении равны по 90°.
Работает ли свойство вертикальных углов для любых двух прямых, не только перпендикулярных? Да, свойство верно всегда, независимо от того, под каким углом пересекаются прямые. Равенство вертикальных углов — это следствие того, что развёрнутый угол равен 180°, а не особенность какого-то конкретного угла пересечения.
Зачем вообще нужны эти свойства, если сам угол пересечения уже известен? В задачах почти никогда не дают сразу все углы — обычно известен один угол, а остальные нужно получить вычислением. Смежные и вертикальные углы позволяют найти любой из четырёх углов при пересечении, зная только один из них, без дополнительных измерений. Это же рассуждение используют при доказательстве признаков параллельности прямых: там именно через смежные и вертикальные углы одно равенство углов переводится в другое.
Задачи для самопроверки
Задачи
Задача 1: Один из смежных углов равен 115°. Найдите второй.
Ответ: 65°.
Задача 2: При пересечении двух прямых один из углов равен 78°. Найдите угол, вертикальный ему.
Задача 3: Два смежных угла равны между собой. Чему равен каждый из них?
Ответ: по 90° (прямые перпендикулярны).
Задача 4: Один из смежных углов в 3 раза больше другого. Найдите оба угла.
$x + 3x = 180°$
$4x = 180°$
$x = 45°$.
Ответ: 45° и 135°.
Задача 5: При пересечении двух прямых образовались углы $(2x + 15°)$ и $(3x - 5°)$, которые являются вертикальными. Найдите $x$ и величину этих углов.
$2x + 15° = 3x - 5°$
$20° = x$
$x = 20°$.
Угол: $2 \cdot 20° + 15° = 55°$. Проверка: $3 \cdot 20° - 5° = 55°$ — верно.
Ответ: x = 20°, угол равен 55°.
Главное запомнить
- Смежные углы имеют общую сторону, а две другие стороны образуют прямую — их сумма всегда равна 180°
- Вертикальные углы образуются продолжением сторон друг друга за вершину — они всегда равны
- При пересечении двух прямых получаются две пары вертикальных углов и четыре пары смежных
- Оба свойства — следствие того, что развёрнутый угол равен 180°
Что почитать дальше
Разобрать задачи по теме с AI-репетитором можно в Telegram-боте.