Свойства ромба: диагонали, углы и площадь

Ромб легко спутать с квадратом или с произвольным параллелограммом, а в задачах ОГЭ почти всегда нужна одна и та же пара фактов: что делают диагонали ромба и как через них быстро найти площадь. Разберём все свойства ромба по порядку, с доказательствами и готовыми формулами.

Определение

Ромб — это параллелограмм, у которого все четыре стороны равны. Поскольку ромб — частный случай параллелограмма, для него верны все свойства параллелограмма (противоположные стороны параллельны, противоположные углы равны), плюс несколько дополнительных свойств, связанных именно с равенством сторон.

Основные свойства ромба

$AB = BC = CD = DA$

все стороны ромба равны между собой

Из равенства сторон вытекают четыре ключевых свойства диагоналей и углов:

Диагонали ромба перпендикулярны. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются под углом $90°$.
Диагонали в точке пересечения делятся пополам — как у любого параллелограмма.
Диагонали являются биссектрисами углов ромба. Диагональ $AC$ делит углы $A$ и $C$ пополам, диагональ $BD$ — углы $B$ и $D$.
Сумма соседних углов равна $180°$, противоположные углы равны между собой (это свойство параллелограмма, верное и для ромба).

Как отличить ромб от квадрата

Квадрат — это ромб, у которого ещё и все углы равны $90°$. Поэтому все свойства ромба верны и для квадрата, а вот перпендикулярность диагоналей у квадрата дополняется их равенством — у обычного ромба диагонали, в отличие от квадрата, как правило разной длины.

Почему диагонали ромба перпендикулярны

Пусть диагонали ромба $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Так как ромб — параллелограмм, точка $O$ делит обе диагонали пополам: $AO = OC$, $BO = OD$. Рассмотрим треугольники $ABO$ и $CBO$: сторона $AB$ равна стороне $CB$ (стороны ромба равны), $AO = OC$ по уже доказанному, а сторона $BO$ общая. По третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам) треугольники $ABO$ и $CBO$ равны, значит угол $AOB$ равен углу $COB$. Но эти углы смежные и в сумме дают $180°$, а значит каждый из них равен $90°$ — диагонали перпендикулярны.

То же рассуждение с равнобедренными треугольниками $ABD$ и $CBD$ (каждый из них равнобедренный, так как $AB=AD$ и $CB=CD$) показывает, что диагональ $AC$ — это ось симметрии, то есть одновременно и биссектриса углов $A$ и $C$, и перпендикуляр к $BD$.

Площадь ромба: три формулы

$$S = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2}$$

через диагонали $d_1$, $d_2$

$$S = a^2 \sin\alpha$$

через сторону $a$ и любой из углов $\alpha$ ромба

$$S = a \cdot h$$

через сторону $a$ и высоту $h$, опущенную на неё

Первая формула — самая быстрая, если известны обе диагонали: она получается из того, что диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника с катетами $\dfrac{d_1}{2}$ и $\dfrac{d_2}{2}$. Вторая формула — частный случай формулы площади параллелограмма $S = ab\sin\alpha$ при $a=b$, поскольку у ромба все стороны равны.

Пример 1: площадь по диагоналям

Пример 1

Диагонали ромба равны $d_1 = 12$ см и $d_2 = 16$ см. Найдём площадь и сторону ромба.

Площадь: $S = \dfrac{12 \cdot 16}{2} = \dfrac{192}{2} = 96$ см².

Сторону найдём из прямоугольного треугольника с катетами $\dfrac{d_1}{2}=6$ и $\dfrac{d_2}{2}=8$ (половины диагоналей) по теореме Пифагора: $a = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Пример 2: площадь по стороне и углу

Пример 2

Сторона ромба равна $a = 8$ см, а один из его углов равен $30°$. Найдём площадь.

$S = a^2 \sin\alpha = 8^2 \cdot \sin30° = 64 \cdot 0{,}5 = 32$ см².

Пример 3: диагонали через сторону и угол

Пример 3

Сторона ромба равна $a=10$ см, угол при вершине $A$ равен $60°$. Найдём обе диагонали.

Диагональ, соединяющая вершины с углом $60°$, делит ромб на два равносторонних треугольника (так как боковые стороны равны $a$, а угол между ними $60°$), поэтому эта диагональ равна стороне: $d_1 = 10$ см.

Вторую диагональ найдём по теореме косинусов в треугольнике со сторонами $a$, $a$ и углом $120°$ между ними (соседний угол ромба): $d_2^2 = a^2+a^2-2a^2\cos120° = 100+100-2\cdot100\cdot(-0{,}5) = 200+100=300$, откуда $d_2 = \sqrt{300} = 10\sqrt3$ см.

Частая ошибка

Путают диагонали ромба с его сторонами в формуле площади и считают $S = d_1 \cdot d_2$ без деления на 2 — получают площадь ровно в два раза больше правильной. Вторая частая ошибка — считают диагонали равными, как в квадрате: в общем ромбе $d_1 \ne d_2$, если только все углы не равны $90°$. Третья ошибка — в формуле $S = a^2\sin\alpha$ подставляют периметр вместо стороны.

Частые вопросы

Является ли квадрат ромбом? Да, квадрат — это ромб с прямыми углами, поэтому все свойства ромба (перпендикулярность диагоналей, равенство сторон, диагонали-биссектрисы) верны и для квадрата.

Равны ли диагонали ромба между собой? В общем случае нет. Диагонали ромба равны только тогда, когда ромб — это квадрат, то есть все его углы равны $90°$.

Можно ли считать ромбом любой четырёхугольник с равными сторонами? Нет, равенства сторон недостаточно — нужно, чтобы фигура была ещё и параллелограммом, то есть противоположные стороны должны быть параллельны. Четырёхугольник с равными сторонами, но непараллельными противоположными сторонами, называется дельтоидом только при дополнительных условиях на углы, а в общем случае это просто равносторонний четырёхугольник, не обладающий свойствами ромба.

Как найти сторону ромба, если известны только диагонали? Половины диагоналей — это катеты прямоугольного треугольника, а сторона ромба — его гипотенуза: $a = \sqrt{\left(\dfrac{d_1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{d_2}{2}\right)^2}$.

Что почитать дальше

Задачи для самопроверки

Задачи

Задача 1: Диагонали ромба равны $10$ см и $24$ см. Найдите площадь ромба и его сторону.

Площадь: $S = \dfrac{10\cdot24}{2} = 120$ см².
Сторона: половины диагоналей равны $5$ и $12$, по теореме Пифагора $a=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ см.
Ответ: $S=120$ см², $a=13$ см.

Задача 2: Сторона ромба равна $6$ см, а острый угол равен $30°$. Найдите площадь ромба.

$S = a^2\sin\alpha = 6^2 \cdot \sin30° = 36 \cdot 0{,}5 = 18$ см².
Ответ: $18$ см².

Задача 3: Периметр ромба равен $52$ см, одна из диагоналей равна $24$ см. Найдите площадь ромба.

Сторона ромба: $a = 52/4 = 13$ см.
Половина известной диагонали: $24/2=12$. Половина второй диагонали из теоремы Пифагора: $\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$, значит вторая диагональ равна $10$ см.
Площадь: $S = \dfrac{24\cdot10}{2}=120$ см².
Ответ: $120$ см².

Задача 4: В ромбе один угол равен $120°$, а меньшая диагональ равна $7$ см. Найдите сторону ромба.

Диагональ, соединяющая вершины с углом $120°$, делит ромб на два треугольника со сторонами $a$, $a$ и углом $60°$ между ними (это соседний, острый угол ромба) — такой треугольник равносторонний, поэтому эта диагональ равна $a$. По теореме косинусов для второй диагонали с углом $120°$ между сторонами эта же диагональ получится длиннее, значит именно диагональ при угле $60°$ между сторонами — меньшая, и она равна стороне: $a = 7$ см.
Ответ: $a = 7$ см.

Задача 5: Диагонали ромба относятся как $3:4$, а площадь ромба равна $96$ см². Найдите длины диагоналей.

Пусть диагонали равны $3k$ и $4k$. Тогда $S = \dfrac{3k\cdot4k}{2} = 6k^2 = 96$, откуда $k^2=16$, $k=4$.
Диагонали: $3k=12$ см и $4k=16$ см.
Ответ: $12$ см и $16$ см.

Главное запомнить

Ромб — параллелограмм с равными сторонами; диагонали ромба перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и являются биссектрисами его углов
Площадь через диагонали: $S = \dfrac{d_1 d_2}{2}$
Площадь через сторону и угол: $S = a^2\sin\alpha$
Диагонали ромба в общем случае не равны — равными они становятся только у квадрата

Разобрать задачи по теме с AI-репетитором можно в Telegram-боте.