Касательная к окружности: свойства и отрезки касательных

В задачах на окружность прямую иногда проводят так, что она едва «задевает» окружность в одной-единственной точке. Такую прямую называют касательной, и у неё есть несколько устойчивых свойств, которые постоянно используют при решении задач: перпендикулярность радиусу, равенство отрезков из одной точки и особый угол с хордой. Разберём их по порядку.

Главное свойство: касательная перпендикулярна радиусу

Радиус, проведённый в точку касания, всегда перпендикулярен касательной. Верно и обратное: если прямая проходит через точку окружности перпендикулярно радиусу, проведённому в эту точку, то прямая является касательной. Это двустороннее свойство и делает теорему такой удобной: по нему можно и проверять, что прямая касается окружности, и строить касательную через заданную точку.

Отрезки касательных, проведённых из одной точки

Если из точки, лежащей вне окружности, провести к ней две касательные, то отрезки от этой точки до точек касания равны. Кроме того, отрезок, соединяющий внешнюю точку с центром окружности, делит угол между касательными пополам и одновременно является осью симметрии всей фигуры: он перпендикулярен хорде $AB$, соединяющей точки касания, и делит её пополам.

Доказывается это через равенство прямоугольных треугольников $OAP$ и $OBP$: у них общая гипотенуза $OP$, катеты $OA$ и $OB$ равны как радиусы, а углы при вершинах $A$ и $B$ прямые по уже доказанному свойству перпендикулярности. По признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету треугольники равны, значит равны и оставшиеся стороны $PA$ и $PB$, а также углы $\angle OPA$ и $\angle OPB$ — отсюда и биссектриса.

Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен половине дуги, которую эта хорда отсекает и которая лежит внутри рассматриваемого угла. По сути это предельный случай теоремы о вписанном угле: если вершину вписанного угла двигать по окружности всё ближе к одному из концов хорды, в пределе одна из сторон угла превращается в касательную, а сам угол по-прежнему остаётся равен половине дуги. Из-за этого угол между касательной и хордой иногда называют вырожденным вписанным углом.

Где это применяется

Свойство перпендикулярности радиуса и касательной — основной инструмент для задач, где по расстоянию от внешней точки до центра и длине касательной нужно найти радиус или наоборот: как только на чертеже отмечена точка касания, сразу появляется прямоугольный треугольник, а значит, можно применить теорему Пифагора. Именно так эта теорема чаще всего и используется на экзамене — не сама по себе, а как способ увидеть прямой угол там, где его не было в условии явно.

Свойство равных отрезков касательных полезно в задачах на вписанные окружности многоугольников: если окружность вписана в треугольник или четырёхугольник, то от каждой вершины до двух точек касания со сторонами отрезки равны, и это позволяет выразить стороны фигуры через несколько неизвестных и составить систему уравнений, не прибегая к тригонометрии. Похожим образом свойство работает и для двух окружностей, касающихся друг друга или имеющих общую касательную: общая касательная перпендикулярна обоим радиусам в точках касания, а значит эти радиусы параллельны друг другу, что часто и является ключом к решению.

Угол между касательной и хордой, в свою очередь, пригождается там, где нужно быстро найти угол или дугу, не строя вспомогательный вписанный угол — особенно если по условию видно только одну точку на окружности, из которой выходят и касательная, и хорда, а третьей точки для полноценного вписанного угла попросту нет.

Задачи для самопроверки

Что почитать дальше

• Вписанный и центральный угол
• Теорема синусов
• Геометрический смысл производной
• Подготовка к ОГЭ по математике

Разобрать задачи по теме с AI-репетитором можно в Telegram-боте.