Иногда у треугольника известны только длины трёх сторон — ни высоты, ни угла, ни радиуса окружности. Кажется, что для площади не хватает данных, но формула Герона решает именно эту задачу: она находит площадь любого треугольника напрямую по трём сторонам, без дополнительных построений.
Определение
Формула Герона — это способ вычислить площадь треугольника, зная длины всех трёх его сторон $a$, $b$, $c$. Сначала находят полупериметр $p$ — половину суммы всех сторон, а затем подставляют его и стороны в формулу площади под корнем.
Почему формула работает именно так
Площадь треугольника через высоту считается просто: $S = \frac{1}{2} a h_a$, но высоту $h_a$ напрямую из трёх сторон не видно. Формулу Герона можно получить, если выразить высоту через стороны с помощью теоремы Пифагора (высота делит треугольник на два прямоугольных треугольника, и для каждого из них известна гипотенуза), а затем подставить результат в формулу площади через высоту. После раскрытия скобок и свёртывания разности квадратов выражение сворачивается ровно в произведение четырёх множителей $p$, $p-a$, $p-b$, $p-c$ под одним корнем — это не случайное совпадение, а прямое следствие теоремы Пифагора, просто записанное в других переменных.
Важно, что формула работает для любого треугольника — остроугольного, прямоугольного или тупоугольного, — а не только для какого-то частного случая: неравенство треугольника гарантирует, что все три множителя $p-a$, $p-b$, $p-c$ положительны, и под корнем всегда получается неотрицательное число.
Пример 1: стороны 13, 14, 15
Пример 1
Стороны треугольника равны $a=13$, $b=14$, $c=15$ см. Найдём площадь.
Полупериметр: $p = \dfrac{13+14+15}{2} = \dfrac{42}{2} = 21$ см.
$S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$ см².
Пример 2: равносторонний треугольник со стороной 6
Пример 2
Сторона равностороннего треугольника равна $6$ см. Найдём площадь через формулу Герона и проверим известной формулой.
Полупериметр: $p = \dfrac{6+6+6}{2} = 9$ см.
$S = \sqrt{9(9-6)(9-6)(9-6)} = \sqrt{9 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \sqrt{243} = 9\sqrt3$ см².
Проверка по формуле для равностороннего треугольника: $S = \dfrac{\sqrt3}{4}a^2 = \dfrac{\sqrt3}{4} \cdot 36 = 9\sqrt3$ см² — результат совпал.
Пример 3: когда данных не хватает для площади через высоту
Пример 3
Стороны треугольника равны $5$, $5$ и $6$ см. Угла и высоты в условии нет, но формула Герона не требует ничего, кроме сторон.
Полупериметр: $p = \dfrac{5+5+6}{2} = 8$ см.
$S = \sqrt{8(8-5)(8-5)(8-6)} = \sqrt{8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{144} = 12$ см².
Когда формула Герона особенно удобна
Формула Герона незаменима, когда в условии даны только три стороны и ничего больше: ни угла, ни высоты, ни радиуса окружности. Если же угол между сторонами уже известен, быстрее воспользоваться формулой площади через синус угла: $S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$ — она не требует вычислять полупериметр и возведение в степень четырёх разных множителей.
Частая ошибка
Путают порядок действий и вычитают стороны не из полупериметра, а друг из друга: пишут $(a-b)(b-c)(c-a)$ вместо $(p-a)(p-b)(p-c)$. Вторая частая ошибка — забывают разделить сумму сторон на 2 при вычислении $p$ и подставляют в формулу периметр вместо полупериметра, из-за чего результат получается сильно больше правильного. И главное: прежде чем считать, стоит проверить неравенство треугольника (каждая сторона меньше суммы двух других) — если оно не выполняется, треугольника с такими сторонами не существует, и под корнем получится отрицательное число.
Частые вопросы
Почему формулу называют именно формулой Герона? По имени Герона Александрийского — древнегреческого инженера и математика, который привёл доказательство этой формулы в своём трактате «Метрика» (I век н. э.). Сама зависимость площади от сторон могла быть известна и раньше, но именно его изложение сохранилось и закрепило название.
Можно ли применять формулу Герона к прямоугольному треугольнику? Да, формула работает для треугольника любого вида, включая прямоугольный — в этом случае результат совпадёт с обычной формулой $S = \dfrac{1}{2}ab$ через катеты, как показано в примере с треугольником 7, 24, 25 ниже. Формула не «знает», прямоугольный перед ней треугольник или нет — она одинаково выводит площадь из трёх сторон в любом случае.
Что делать, если под корнем получилось отрицательное число? Это означает, что с такими длинами сторон треугольник построить невозможно — нарушено неравенство треугольника (сумма двух сторон меньше или равна третьей). Нужно перепроверить условие задачи: возможно, перепутаны стороны разных треугольников или допущена опечатка в числах.
Чем формула Герона отличается от формулы площади через высоту? Формула через высоту $S = \dfrac{1}{2}ah$ короче, но требует знать высоту, которая не всегда дана напрямую. Формула Герона устроена сложнее, но ей достаточно только трёх сторон — высоту искать отдельно не нужно, она уже скрыта внутри вычисления.
Работает ли похожая формула для четырёхугольника? Да, есть обобщение — формула Брахмагупты для площади вписанного в окружность четырёхугольника по четырём сторонам, она устроена похожим образом (через полупериметр), но для произвольного (не вписанного) четырёхугольника такой простой формулы уже нет — нужно разбивать его на треугольники.
Что почитать дальше
- Квадратный корень: определение и свойства
- Периметр, площадь и объём: геометрия вокруг нас
- Применение тригонометрии в геометрии
- Вписанная и описанная окружность треугольника: формулы радиусов
- Подготовка к ОГЭ по математике
- Подготовка к ЕГЭ по математике
Задачи для самопроверки
Задачи
Задача 1: Стороны треугольника равны $9$, $10$ и $17$ см. Найдите площадь по формуле Герона.
$S = \sqrt{18(18-9)(18-10)(18-17)} = \sqrt{18 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 1} = \sqrt{1296} = 36$ см².
Ответ: $36$ см².
Задача 2: Стороны треугольника равны $7$, $24$ и $25$ см. Найдите площадь по формуле Герона и сравните с площадью через катеты прямоугольного треугольника.
$S = \sqrt{28(28-7)(28-24)(28-25)} = \sqrt{28 \cdot 21 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{7056} = 84$ см².
Проверка: $7^2+24^2 = 49+576 = 625 = 25^2$ — треугольник прямоугольный с катетами 7 и 24, $S = \dfrac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = 84$ см² — совпало.
Ответ: $84$ см².
Задача 3: Периметр треугольника равен $32$ см, а две его стороны равны $10$ и $12$ см. Найдите площадь.
Полупериметр: $p = 32/2 = 16$ см.
$S = \sqrt{16(16-10)(16-12)(16-10)} = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 6} = \sqrt{2304} = 48$ см².
Ответ: $48$ см².
Задача 4: Существует ли треугольник со сторонами $3$, $4$ и $9$ см? Если нет, объясните почему.
Неравенство не выполняется, значит такого треугольника не существует (формула Герона дала бы отрицательное число под корнем).
Ответ: треугольника с такими сторонами не существует.
Задача 5: Стороны треугольника равны $8$, $15$ и $17$ см. Найдите площадь, а затем — высоту, опущенную на сторону $17$ см.
$S = \sqrt{20(20-8)(20-15)(20-17)} = \sqrt{20 \cdot 12 \cdot 5 \cdot 3} = \sqrt{3600} = 60$ см².
Высота на сторону 17: из $S = \dfrac{1}{2} \cdot 17 \cdot h$ получаем $h = \dfrac{2 \cdot 60}{17} = \dfrac{120}{17} \approx 7{,}06$ см.
Ответ: $S = 60$ см², $h = \dfrac{120}{17} \approx 7{,}06$ см.
Главное запомнить
- Формула Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$ — полупериметр
- Работает для любого треугольника, зная только длины трёх сторон — высота и углы не нужны
- Перед вычислением стоит проверить неравенство треугольника, иначе под корнем окажется отрицательное число
- Если угол между сторонами уже известен, быстрее найти площадь через синус угла: $S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$
Разобрать задачи по теме с AI-репетитором можно в Telegram-боте.