Высота к гипотенузе: формула, подобные треугольники, примеры

Если провести высоту из вершины прямого угла к гипотенузе, прямоугольный треугольник распадается на два меньших — и оба они подобны исходному. Из этого простого факта следует сразу три полезные формулы: для самой высоты, для катетов и для отрезков, на которые высота делит гипотенузу. В статье разберём эти формулы, докажем их через подобие треугольников и решим несколько типичных задач.

Определение

Высотой прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, называют перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на противоположную сторону — гипотенузу. Основание этой высоты делит гипотенузу на два отрезка, которые называют проекциями катетов на гипотенузу: каждый катет проецируется на гипотенузу в отрезок, прилегающий к той же вершине, из которой выходит катет.

Формула высоты через катеты

Проще всего получить высоту к гипотенузе, если известны оба катета — через площадь треугольника, посчитанную двумя способами.

S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch

a, b — катеты; c — гипотенуза; h — высота к гипотенузе

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов — это стандартная формула для треугольника с прямым углом между сторонами $a$ и $b$. Но ту же площадь можно посчитать и как половину произведения гипотенузы на высоту, опущенную на неё, — это верно для любой стороны и любой высоты в любом треугольнике. Приравняв два выражения и выразив $h$, получаем:

h = \frac{ab}{c}

высота к гипотенузе через катеты и гипотенузу

Гипотенузу $c$ при этом, если она не дана напрямую, находят по теореме Пифагора: $c=\sqrt{a^2+b^2}$.

Три подобных треугольника и пропорциональные отрезки

Высота, проведённая к гипотенузе, — это не просто отрезок: она делит исходный треугольник на два треугольника, каждый из которых подобен исходному и друг другу. Введём обозначения: в треугольнике $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ высота $CH$ опущена на гипотенузу $AB$, точка $H$ — её основание. Пусть $AH = p$ — проекция катета $AC = b$, а $HB = q$ — проекция катета $BC = a$, так что $p + q = c$.

Почему треугольники подобны

В треугольниках $ACH$ и $ABC$ угол $A$ общий, а углы $AHC$ и $ACB$ — прямые. По двум равным углам треугольники подобны: $\triangle ACH \sim \triangle ABC$. Точно так же угол $B$ общий у треугольников $CBH$ и $ABC$, и оба содержат прямой угол — значит, $\triangle CBH \sim \triangle ABC$. А поскольку оба маленьких треугольника подобны одному и тому же большому, они подобны и друг другу: $\triangle ACH \sim \triangle CBH$.

Из подобия $\triangle ACH \sim \triangle ABC$ следует пропорция сторон, прилегающих к общему углу $A$: $\frac{AC}{AB} = \frac{AH}{AC}$, то есть $AC^2 = AH \cdot AB$. В обозначениях это даёт первую формулу:

b^2 = p \cdot c

катет b — среднее геометрическое гипотенузы и своей проекции p

Аналогично из подобия $\triangle CBH \sim \triangle ABC$ получаем формулу для второго катета:

a^2 = q \cdot c

катет a — среднее геометрическое гипотенузы и своей проекции q

А из подобия двух маленьких треугольников $\triangle ACH \sim \triangle CBH$ — пропорция $\frac{AH}{CH} = \frac{CH}{HB}$, откуда:

h^2 = p \cdot q

высота — среднее геометрическое двух проекций катетов

Все три формулы называют свойством среднего геометрического: каждый из отрезков (катет или высота) равен среднему геометрическому двух других отрезков, которые его «окружают» на чертеже.

Частая ошибка

Легко перепутать, какая проекция относится к какому катету. Правило простое: катет и его проекция всегда прилегают к одной и той же вершине. Если катет $AC$ выходит из вершины $A$, то и его проекция $AH$ начинается в вершине $A$ — именно её нужно подставлять в формулу $AC^2 = AH \cdot AB$. Вторая частая ошибка — считать высоту как среднее арифметическое катетов, $h = \frac{a+b}{2}$. Это неверно: высота к гипотенузе всегда меньше меньшего катета, поэтому и формула здесь другая — $h = \frac{ab}{c}$.

Пример 1: даны оба катета

Пример 1

Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 4 см. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Сначала находим гипотенузу по теореме Пифагора: $c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ см. Теперь применяем формулу высоты: $h=\frac{ab}{c}=\frac{3\cdot4}{5}=\frac{12}{5}=2{,}4$ см.

Пример 2: даны проекции катетов

Пример 2

Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки 16 см и 9 см. Найдите высоту и оба катета.

По свойству среднего геометрического высота равна $h=\sqrt{p\cdot q}=\sqrt{16\cdot9}=\sqrt{144}=12$ см. Гипотенуза равна сумме отрезков: $c=16+9=25$ см. Катет, прилегающий к отрезку 16, находим по формуле $a^2=p\cdot c$: $a=\sqrt{16\cdot25}=\sqrt{400}=20$ см. Второй катет: $b=\sqrt{9\cdot25}=\sqrt{225}=15$ см. Проверка по теореме Пифагора: $15^2+20^2=225+400=625=25^2$ — совпадает.

Пример 3: дана гипотенуза и один катет

Пример 3

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см, один из катетов — 12 см. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе, и обе проекции катетов.

Сначала находим второй катет по теореме Пифагора: $\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16$ см. Высота: $h=\frac{ab}{c}=\frac{12\cdot16}{20}=\frac{192}{20}=9{,}6$ см. Проекцию катета 12 находим из $a^2=p\cdot c$: $p=\frac{12^2}{20}=\frac{144}{20}=7{,}2$ см. Проекцию катета 16: $q=\frac{16^2}{20}=\frac{256}{20}=12{,}8$ см. Проверка: $p+q=7{,}2+12{,}8=20$ см — совпадает с гипотенузой.

Задачи для самопроверки

Задачи

Задача 1: Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Гипотенуза: $c=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ см.
Высота: $h=\frac{ab}{c}=\frac{5\cdot12}{13}=\frac{60}{13}\approx4{,}6$ см.
Ответ: высота равна $\frac{60}{13}\approx4{,}6$ см.

Задача 2: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15 см. Высота, проведённая к гипотенузе, делит её на два отрезка, один из которых равен 3 см. Найдите высоту.

Второй отрезок: $q=15-3=12$ см.
Высота: $h=\sqrt{p\cdot q}=\sqrt{3\cdot12}=\sqrt{36}=6$ см.
Ответ: высота равна 6 см.

Задача 3: Высота прямоугольного треугольника делит гипотенузу на отрезки 25 см и 144 см. Найдите высоту и гипотенузу.

Высота: $h=\sqrt{25\cdot144}=\sqrt{3600}=60$ см.
Гипотенуза: $c=25+144=169$ см.
Ответ: высота равна 60 см, гипотенуза равна 169 см.

Задача 4: В треугольнике $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ проведена высота $CH$ к гипотенузе $AB$. Докажите, что треугольники $ACH$ и $CBH$ подобны.

В треугольнике $ACH$ угол $AHC$ прямой (по построению высоты), а угол $ACH$ дополняет угол $A$ до $90°$, то есть $\angle ACH = 90° - \angle A$.
В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, значит $\angle A + \angle B = 90°$, откуда $\angle B = 90° - \angle A$.
Сравнивая, получаем $\angle ACH = \angle B$. Оба треугольника, $ACH$ и $CBH$, содержат ещё и по прямому углу ($\angle AHC$ и $\angle CHB$ соответственно).
По двум равным углам $\triangle ACH \sim \triangle CBH$.
Ответ: треугольники подобны по двум углам (признак AA).

Главное запомнить

Высота к гипотенузе делит прямоугольный треугольник на два треугольника, подобных исходному и друг другу
Формула высоты через катеты: $h = \frac{ab}{c}$ — следует из двух способов посчитать площадь
Проекции катетов на гипотенузу и сама высота связаны формулами $a^2=q\cdot c$, $b^2=p\cdot c$, $h^2=p\cdot q$
Катет и его проекция всегда выходят из одной и той же вершины — их легко перепутать местами
Высота к гипотенузе всегда меньше меньшего из катетов, поэтому она не равна их среднему арифметическому

Что почитать дальше

Разобрать задачи по теме с AI-репетитором можно в Telegram-боте.