Признаки равенства треугольников: три признака и доказательства

На экзамене почти никогда не дают два треугольника с полностью совпадающими координатами вершин — вместо этого просят доказать, что треугольники равны, зная только часть их сторон и углов. Именно для этого существуют три признака равенства треугольников: они говорят, какого минимального набора данных достаточно, чтобы утверждать, что два треугольника совпадают целиком.

Определение

Два треугольника называются равными, если у них попарно равны все соответствующие стороны и все соответствующие углы. Если наложить один такой треугольник на другой, они совпадут полностью — вершина к вершине, сторона к стороне.

Зачем нужны признаки, если равенство и так определено через все стороны и углы

Проверять сразу три стороны и три угла — долго и часто невозможно, ведь не все величины даны в условии задачи. Признаки равенства треугольников позволяют обойтись минимальным набором из трёх подходящих элементов и гарантированно получить полное равенство остальных.

Первый признак: по двум сторонам и углу между ними

AB = A_1B_1,\quad AC = A_1C_1,\quad \angle A = \angle A_1 \;\Rightarrow\; \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1

угол должен лежать именно между указанными сторонами

Если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами равны, треугольники равны. Ключевое слово — «между»: угол обязан находиться именно между теми сторонами, которые сравниваются, иначе признак не работает.

Второй признак: по стороне и двум прилежащим углам

AB = A_1B_1,\quad \angle A = \angle A_1,\quad \angle B = \angle B_1 \;\Rightarrow\; \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1

оба угла должны прилегать к равной стороне

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны стороне и двум прилежащим углам другого, треугольники равны. Третий угол каждого треугольника при этом можно не проверять — сумма углов треугольника всегда равна 180°, поэтому он автоматически получается равным.

Третий признак: по трём сторонам

AB = A_1B_1,\quad BC = B_1C_1,\quad CA = C_1A_1 \;\Rightarrow\; \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1

все углы здесь не задействованы вовсе

Если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого, треугольники равны — и это единственный признак, в котором совсем не участвуют углы. По сути, форма треугольника целиком определяется длинами его сторон: изменить хотя бы один угол, не тронув стороны, невозможно.

Почему трёх элементов достаточно

Треугольник — жёсткая фигура: в отличие от четырёхугольника, его нельзя «расшатать», не меняя длины сторон или величины углов. Как только заданы два элемента (например, две стороны и угол между ними), третья сторона и оставшиеся углы определяются однозначно — построить другой треугольник с такими же двумя сторонами и углом между ними попросту не получится. Формально это доказывают методом наложения: совмещают вершины и стороны заданных элементов и показывают, что при этом совпадают и все остальные стороны с углами. Отсюда и появляется список ровно из трёх работающих комбинаций — двух сторон с углом между ними, стороны с двумя прилежащими углами и трёх сторон. Другие сочетания (скажем, два угла и сторона, не прилежащая ни к одному из них, или две стороны и угол не между ними) равенство треугольников не гарантируют.

Пример 1: применяем первый признак

В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ известно: $AB = A_1B_1 = 5$ см, $AC = A_1C_1 = 7$ см, $\angle A = \angle A_1 = 40°$. Угол $A$ лежит между сторонами $AB$ и $AC$, угол $A_1$ — между сторонами $A_1B_1$ и $A_1C_1$, значит выполняется первый признак (по двум сторонам и углу между ними). Треугольники равны: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, а значит равны и оставшиеся элементы — сторона $BC = B_1C_1$ и углы $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$.

Пример 2: применяем второй признак

Даны треугольники $DEF$ и $D_1E_1F_1$: $DE = D_1E_1 = 6$ см, $\angle D = \angle D_1 = 50°$, $\angle E = \angle E_1 = 60°$. Углы $D$ и $E$ прилежат к стороне $DE$, углы $D_1$ и $E_1$ — к стороне $D_1E_1$, поэтому выполняется второй признак. Треугольники равны, и третий угол в каждом из них равен $180° - 50° - 60° = 70°$ — можно было и не проверять его отдельно, он получается сам собой.

Пример 3: третий признак и опасная ловушка

В треугольниках $MNP$ и $M_1N_1P_1$ известны все три стороны: $MN = M_1N_1 = 4$ см, $NP = N_1P_1 = 5$ см, $PM = P_1M_1 = 6$ см. Все три пары сторон равны — выполняется третий признак, треугольники равны. Обратите внимание: важно сопоставить именно соответствующие стороны (то есть стороны, лежащие между одноимёнными вершинами), а не просто убедиться, что наборы чисел $\{4, 5, 6\}$ и $\{4, 5, 6\}$ совпадают — при другом соответствии вершин треугольники могут и не совпасть.

Частая ошибка

Самая частая ошибка — применить признак «по двум сторонам и углу», когда данный угол на самом деле не лежит между этими сторонами, а прилежит только к одной из них (такое сочетание в школьной программе называют «случай ССУ» и оно не является признаком равенства: с ним можно построить два разных, неравных треугольника). Вторая по частоте ошибка — во втором признаке брать не два угла, прилежащих к стороне, а один прилежащий и один противолежащий. Проверяйте расположение угла относительно сторон каждый раз, а не только сам факт равенства чисел.

Как быстро определить, какой признак подходит

Посчитайте, что дано в условии: две стороны и угол между ними — первый признак; сторона и два угла при ней — второй признак; три стороны — третий признак. Если данных элементов больше трёх, отбросьте лишние и найдите среди оставшихся подходящую тройку; если ровно три, но угол не между сторонами (или углы не прилежат к общей стороне) — сначала довычислите недостающий элемент через сумму углов треугольника или через теорему о сумме сторон, а затем подбирайте признак заново.

Задачи для самопроверки

Задачи

Задача 1: В треугольниках $ABC$ и $KLM$ известно $AB = KL$, $AC = KM$, $\angle A = \angle K$. Равны ли треугольники и по какому признаку?

Угол $A$ лежит между сторонами $AB$ и $AC$, угол $K$ — между сторонами $KL$ и $KM$. Условие первого признака (по двум сторонам и углу между ними) выполнено.
Ответ: треугольники равны по первому признаку.

Задача 2: В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ дано: $BC = B_1C_1 = 8$ см, $\angle B = \angle B_1 = 45°$, $\angle C = \angle C_1 = 65°$. Найдите угол $A$ и определите признак равенства.

Углы $B$ и $C$ прилежат к стороне $BC$ — выполняется второй признак, треугольники равны.
Угол $A = 180° - 45° - 65° = 70°$.
Ответ: треугольники равны по второму признаку, $\angle A = 70°$.

Задача 3: Стороны треугольника $DEF$ равны 3 см, 4 см и 6 см. Стороны треугольника $D_1E_1F_1$ равны 4 см, 6 см и 3 см, причём $DE = 3$ см соответствует $D_1E_1 = 4$ см. Равны ли треугольники по третьему признаку?

Наборы длин сторон одинаковы: $\{3, 4, 6\}$ и $\{4, 6, 3\}$, но соответствие сторон нарушено — стороне 3 см одного треугольника сопоставлена сторона 4 см другого, а не 3 см. Третий признак требует, чтобы совпадали именно соответствующие стороны, а не просто наборы чисел.
Ответ: по данному соответствию вершин равенство не доказано — нужно проверить, есть ли другое соответствие, при котором совпадают все три пары сторон.

Задача 4: В треугольниках $PQR$ и $P_1Q_1R_1$ известно: $PQ = P_1Q_1$, $QR = Q_1R_1$, $\angle P = \angle P_1$. Можно ли утверждать, что треугольники равны?

Угол $P$ прилежит к стороне $PQ$, но лежит не между сторонами $PQ$ и $QR$ (между ними находится угол $Q$). Ни один из трёх признаков не выполнен: это не первый признак (угол не между данными сторонами), не второй (дана только одна сторона и один угол) и не третий (нет данных о третьей стороне).
Ответ: по имеющимся данным равенство треугольников доказать нельзя.

Задача 5: Треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $BC$, точка $M$ — середина $BC$. Докажите, что треугольники $ABM$ и $ACM$ равны.

$AB = AC$ по условию (боковые стороны равнобедренного треугольника). $BM = CM$, так как $M$ — середина $BC$. Сторона $AM$ — общая для обоих треугольников, значит $AM = AM$.
Все три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого.
Ответ: $\triangle ABM = \triangle ACM$ по третьему признаку (по трём сторонам).

Главное запомнить

Первый признак: две стороны и угол именно между ними
Второй признак: сторона и два угла, прилежащих к этой стороне
Третий признак: все три стороны, без единого угла
Важно соответствие вершин и сторон, а не только совпадение чисел в двух наборах
Третий (недостающий) угол можно всегда довычислить через сумму углов треугольника, равную 180°

Что почитать дальше

Разобрать задачи по теме с AI-репетитором можно в Telegram-боте.