Выражения $4\sqrt3$ и $\sqrt{48}$ равны одному и тому же числу, но записаны по-разному. Умение переходить от одной записи к другой — внесение множителя под знак корня и обратная операция, вынесение множителя из-под корня — помогает сравнивать корни без калькулятора, упрощать громоздкие выражения и приводить ответ к виду, который требует экзаменатор.
Определение
Внесение множителя под знак корня — это преобразование вида $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2b}$, при котором число перед корнем «прячут» внутрь подкоренного выражения, возведя его в квадрат. Обратное действие, вынесение множителя из-под корня, — это разложение подкоренного числа на множители так, чтобы один из них оказался полным квадратом, и извлечение корня из него: $\sqrt{a^2b} = |a|\sqrt{b}$. Оба преобразования не меняют значения выражения, а только его форму записи.
Формулы
Почему так, а не иначе
По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{x}$ — это неотрицательное число, квадрат которого равен $x$. Если $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то число $a\sqrt{b}$ неотрицательно, и его квадрат равен $(a\sqrt{b})^2 = a^2 b$. Значит, $a\sqrt{b}$ — это и есть то неотрицательное число, квадрат которого равен $a^2b$, то есть $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2b}$.
Если же $a < 0$, то само число $a\sqrt{b}$ отрицательно (при $b > 0$), а $\sqrt{a^2b}$ по определению корня отрицательным быть не может. Поэтому равенство $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2b}$ в этом случае неверно — а верно равенство для противоположного числа: $-a > 0$, значит $(-a)\sqrt{b} = \sqrt{a^2b}$, откуда $a\sqrt{b} = -\sqrt{a^2b}$. Эта же логика объясняет, почему при вынесении множителя из-под корня появляется модуль: $\sqrt{a^2}$ всегда неотрицателен, а сам $a$ может быть каким угодно, поэтому $\sqrt{a^2} = |a|$, а не просто $a$.
Пример 1. Внесение положительного множителя
Внесём множитель под знак корня в выражении $4\sqrt3$.
Множитель $4 \ge 0$, возводим его в квадрат и умножаем на подкоренное число:
$4\sqrt3 = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}$.
Ответ: $\sqrt{48}$.
Пример 2. Внесение отрицательного множителя
Внесём множитель под корень в выражении $-5\sqrt2$.
Множитель $-5 < 0$, поэтому минус нужно оставить снаружи корня, а под корень внести квадрат модуля:
$-5\sqrt2 = -\sqrt{(-5)^2 \cdot 2} = -\sqrt{25 \cdot 2} = -\sqrt{50}$.
Ответ: $-\sqrt{50}$. Если забыть про минус, число изменит знак и перестанет быть равным исходному.
Пример 3. Вынесение множителя из-под корня
Вынесем множитель из-под корня в выражении $\sqrt{180}$.
Разложим $180$ на множители так, чтобы выделить полный квадрат: $180 = 36 \cdot 5$, а $36 = 6^2$.
$\sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = \sqrt{36}\cdot\sqrt5 = 6\sqrt5$.
Ответ: $6\sqrt5$.
Пример 4. Вынесение множителя с переменной
Вынесем множитель из-под корня в выражении $\sqrt{75a^2}$, где $a \ge 0$.
$75a^2 = 25 \cdot 3 \cdot a^2$, а $25$ и $a^2$ — полные квадраты:
$\sqrt{75a^2} = \sqrt{25}\cdot\sqrt{a^2}\cdot\sqrt3 = 5 \cdot |a| \cdot \sqrt3$.
Так как по условию $a \ge 0$, то $|a| = a$, и выражение упрощается до $5a\sqrt3$.
Ответ: $5a\sqrt3$. Если бы знак $a$ не был известен, модуль нужно было бы оставить: $5|a|\sqrt3$.
Зачем это нужно: сравнение корней без калькулятора
Чтобы сравнить $5\sqrt3$ и $4\sqrt5$, внесём оба множителя под корень: $5\sqrt3 = \sqrt{75}$, а $4\sqrt5 = \sqrt{80}$. Теперь сравнение сводится к сравнению подкоренных чисел: $75 < 80$, значит $\sqrt{75} < \sqrt{80}$, то есть $5\sqrt3 < 4\sqrt5$. Без внесения множителя под корень сравнить эти выражения «на глаз» было бы сложно.
Частая ошибка
Самая частая ошибка — при внесении отрицательного числа под корень потерять минус: $-3\sqrt5$ превращают в $\sqrt{45}$ вместо верного $-\sqrt{45}$. Под корнем число всегда получается неотрицательным независимо от знака множителя, поэтому знак минус физически некуда спрятать внутрь корня — его обязательно оставляют снаружи.
Вторая по частоте ошибка — возвести в квадрат только множитель, забыв, что он умножается с подкоренным числом: вместо $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2b}$ пишут $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b^2}$ или $\sqrt{a}\cdot b$, искажая всё выражение.
Третья ошибка — при вынесении множителя из-под корня забыть про модуль, когда знак переменной неизвестен: пишут $\sqrt{x^2} = x$, хотя верно $\sqrt{x^2} = |x|$, ведь при отрицательном $x$ левая часть неотрицательна, а правая без модуля была бы отрицательной.
Частые вопросы
Нужен ли модуль, если под корнем просто число, а не переменная? Нет. Если под корнем конкретное число, его знак уже известен, и модуль можно сразу раскрыть: например, $\sqrt{36} = 6$, а не $|6|$ — модуль нужен только тогда, когда знак выносимого множителя неизвестен, то есть обычно для переменных.
Можно ли вносить и выносить множитель в кубическом корне? Да, но правило немного другое: для корня нечётной степени, в отличие от квадратного, модуль не появляется, потому что кубический корень определён и для отрицательных чисел и сохраняет их знак: $a\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a^3b}$ без всяких ограничений на знак $a$.
Как проверить, что множитель внесён правильно? Возвести результат в квадрат (для $\sqrt{a^2b}$ это $a^2b$) и сравнить со значением $(a\sqrt b)^2 = a^2 b$ — если число под корнем совпало, внесение выполнено верно; знак при этом проверяют отдельно, сравнивая результат по величине и по знаку с исходным выражением.
Всегда ли выгодно вносить множитель под корень? Нет, это нужно не для «красоты», а для конкретной задачи: вносить под корень удобно при сравнении корней или при подстановке в формулу, где нужен один корень без множителя перед ним, а выносить множитель — когда нужно упростить ответ или убрать из-под корня большое число.
Задачи для самопроверки
Задачи
Задача 1: Внесите множитель под знак корня: $6\sqrt2$.
Ответ: $\sqrt{72}$.
Задача 2: Внесите множитель под знак корня: $-7\sqrt3$.
Ответ: $-\sqrt{147}$.
Задача 3: Вынесите множитель из-под корня: $\sqrt{200}$.
Ответ: $10\sqrt2$.
Задача 4: Вынесите множитель из-под корня: $\sqrt{48a^2}$, где $a \ge 0$.
Так как $a \ge 0$, то $|a| = a$.
Ответ: $4a\sqrt3$.
Задача 5: Сравните без калькулятора: $5\sqrt3$ и $3\sqrt7$.
Так как $75 > 63$, то $\sqrt{75} > \sqrt{63}$.
Ответ: $5\sqrt3 > 3\sqrt7$.
Главное запомнить
- Внесение множителя под корень: $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2b}$ для $a \ge 0$ и $a\sqrt{b} = -\sqrt{a^2b}$ для $a < 0$ — минус всегда остаётся снаружи, под корнем число никогда не отрицательно
- Вынесение множителя из-под корня: $\sqrt{a^2b} = |a|\sqrt{b}$ — если знак $a$ заранее известен (например, дано $a \ge 0$), модуль раскрывается без изменений
- Оба преобразования работают только при неотрицательном подкоренном выражении: $b \ge 0$
- Главное практическое применение — сравнение корней без калькулятора: внести множители под корень и сравнить получившиеся подкоренные числа
- Проверить результат можно возведением в квадрат: подкоренные числа должны совпасть, а знак — не измениться
Что почитать дальше
- Квадратный корень: определение и свойства
- Алгоритм извлечения квадратного корня без калькулятора
- Подготовка к ОГЭ по математике
Разобрать задачи по теме с AI-репетитором можно в Telegram-боте.