Прямоугольный параллелепипед: диагональ и площадь поверхности

На экзамене часто встречается задача: даны три ребра прямоугольной коробки — найти её диагональ или площадь, которую займёт обёрточная бумага. Обе величины находятся по простым формулам, но их легко перепутать с похожими формулами для куба или для диагонали одной грани. В статье разберём обе формулы, докажем их через теорему Пифагора и решим несколько задач, включая обратную — когда известна диагональ, а нужно найти ребро.

Определение

Прямоугольным параллелепипедом называют многогранник с шестью гранями, каждая из которых — прямоугольник, причём все рёбра, выходящие из одной вершины, взаимно перпендикулярны. У него три различных измерения — длина $a$, ширина $b$ и высота $c$ (три ребра одной вершины), а все остальные девять рёбер равны одному из этих трёх. Если $a = b = c$, параллелепипед становится кубом.

Диагональ параллелепипеда

Диагональю параллелепипеда называют отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие в одной грани — например, $A$ и $C_1$ в параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Всего таких диагоналей четыре, и в прямоугольном параллелепипеде все они равны.

$$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

d — диагональ, a, b, c — три измерения параллелепипеда

Почему формула такая

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $AB = a$, $AD = b$, $AA_1 = c$. Нужная диагональ — отрезок $AC_1$. Чтобы её найти, применим теорему Пифагора два раза.

Сначала — в основании. Треугольник $ABC$ прямоугольный (угол $B$ прямой, так как $ABCD$ — прямоугольник), поэтому диагональ основания:

$$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$$

диагональ прямоугольника в основании

Теперь — в вертикальной плоскости. Ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, перпендикулярно и любой прямой в этой плоскости, в том числе отрезку $AC$. Поэтому треугольник $ACC_1$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $C$, а искомая диагональ $AC_1$ — его гипотенуза:

$$AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{(a^2+b^2) + c^2} = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$$

диагональ параллелепипеда через диагональ основания и высоту

Куб — частный случай

Для куба с ребром $a$ все три измерения равны, поэтому диагональ куба $d = \sqrt{a^2+a^2+a^2} = a\sqrt{3}$.

Площадь поверхности

Полная поверхность состоит из шести прямоугольных граней, причём грани делятся на три пары равных: две грани $a \times b$ (верх и низ), две грани $a \times c$ и две грани $b \times c$. Сумма площадей всех шести граней:

$$S = 2(ab + bc + ac)$$

S — площадь полной поверхности параллелепипеда

Частая ошибка

Самая частая ошибка — спутать диагональ грани с диагональю всего параллелепипеда: $\sqrt{a^2+b^2}$ — это диагональ только одного прямоугольника-основания, а не пространственная диагональ коробки, для которой нужен ещё и третий слагаемое $c^2$ под корнем. Вторая ошибка — забыть множитель 2 в формуле площади: без него получится не полная площадь поверхности, а сумма только трёх различных граней (половина поверхности).

Угол между диагональю и основанием

В задачах ЕГЭ часто спрашивают не только длину диагонали, но и угол, который она образует с плоскостью основания. Этот угол — это угол $\angle C_1AC$ из того же прямоугольного треугольника $ACC_1$, который мы использовали при выводе формулы диагонали: катет $CC_1 = c$ лежит против искомого угла, а катет $AC = \sqrt{a^2+b^2}$ — диагональ основания — прилегает к нему.

$$\tan\varphi = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

φ — угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания

Этот угол — наибольший из углов, которые диагональ образует с плоскостями граней, примыкающих к той же вершине, поскольку высота $c$ перпендикулярна основанию целиком, а не только одному ребру. На практике формулу удобнее использовать не для вычисления самого угла, а для проверки: если в задаче дан угол и одно измерение, через тангенс можно найти два других неизвестных способом, аналогичным Примеру 3.

Пример 1: диагональ по трём рёбрам

Пример 1

Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 3 см, 4 см и 12 см. Найдите диагональ.

По формуле $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13$ см.

Пример 2: площадь поверхности

Пример 2

Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2 см, 3 см и 4 см. Найдите площадь полной поверхности.

$S = 2(ab+bc+ac) = 2(2\cdot3 + 3\cdot4 + 2\cdot4) = 2(6+12+8) = 2\cdot26 = 52$ см².

Пример 3: обратная задача — найти ребро по диагонали

Пример 3

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 13 см, а два его измерения — 3 см и 4 см. Найдите третье измерение и площадь полной поверхности.

Из формулы диагонали $d^2 = a^2+b^2+c^2$ выразим третье ребро: $c = \sqrt{d^2-a^2-b^2} = \sqrt{13^2-3^2-4^2} = \sqrt{169-9-16} = \sqrt{144} = 12$ см.

Площадь поверхности: $S = 2(3\cdot4+4\cdot12+3\cdot12) = 2(12+48+36) = 2\cdot96 = 192$ см².

Задачи для самопроверки

Задачи

Задача 1: Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 1 см, 2 см и 2 см. Найдите диагональ и площадь полной поверхности.

Диагональ: $d=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3$ см.
Площадь: $S=2(1\cdot2+2\cdot2+1\cdot2)=2(2+4+2)=2\cdot8=16$ см².
Ответ: диагональ 3 см, площадь поверхности 16 см².

Задача 2: Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 6 см, 8 см и 24 см. Найдите диагональ.

$d=\sqrt{6^2+8^2+24^2}=\sqrt{36+64+576}=\sqrt{676}=26$ см.
Ответ: диагональ равна 26 см.

Задача 3: Ребро куба равно 5 см. Найдите его диагональ и площадь полной поверхности.

Диагональ куба: $d = a\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \approx 8{,}66$ см.
Площадь: у куба все 6 граней равны, $S = 6a^2 = 6\cdot25 = 150$ см².
Ответ: диагональ $5\sqrt{3}\approx8{,}66$ см, площадь поверхности 150 см².

Задача 4: Докажите, что диагональ прямоугольного параллелепипеда больше любого его ребра.

По формуле $d^2 = a^2+b^2+c^2$. Поскольку измерения $a$, $b$, $c$ положительны, $b^2>0$ и $c^2>0$, значит $d^2 = a^2+b^2+c^2 > a^2$, откуда $d>a$ (оба числа положительны). Рассуждение одинаково для любого из трёх рёбер — ребро входит в сумму под корнем только одним слагаемым, а два других слагаемых строго положительны и увеличивают сумму.
Ответ: диагональ строго больше каждого из трёх измерений, что и требовалось доказать.

Задача 5: Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 3 см, 4 см и 5 см. Найдите тангенс угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания, стороны которого равны 3 см и 4 см.

Диагональ основания: $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ см.
Высота, перпендикулярная этому основанию, равна третьему измерению: $c=5$ см.
$\tan\varphi = \dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} = \dfrac{5}{5} = 1$.
Ответ: $\tan\varphi = 1$ (угол равен $45°$).

Главное запомнить

Диагональ прямоугольного параллелепипеда: $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ — выводится двумя применениями теоремы Пифагора
Площадь полной поверхности: $S=2(ab+bc+ac)$ — сумма площадей трёх пар равных граней
Для куба с ребром $a$: диагональ $a\sqrt{3}$, площадь поверхности $6a^2$
Диагональ грани $\sqrt{a^2+b^2}$ — это не диагональ всего параллелепипеда, в формуле обязательно третье слагаемое $c^2$
Если известна диагональ и два измерения, третье находится как $c=\sqrt{d^2-a^2-b^2}$

Что почитать дальше

Разобрать задачи по теме с AI-репетитором можно в Telegram-боте.