Уравнение четвёртой или более высокой степени выглядит пугающе: формулы для корней такого уравнения в общем виде либо отсутствуют, либо слишком громоздки для школьной практики. Но часто степень можно понизить: если в уравнении повторяется одно и то же выражение, его обозначают новой буквой — и громоздкое уравнение превращается в привычное квадратное. Разберём, как увидеть такую замену и довести решение до конца.
Определение
Метод замены переменной — это приём, при котором повторяющееся выражение в уравнении обозначают новой переменной $t$. Исходное уравнение высокой степени относительно $x$ превращается в более простое уравнение относительно $t$ (обычно квадратное), которое решается стандартно, а затем от найденных значений $t$ возвращаются к исходной переменной $x$.
Биквадратное уравнение
Самый частый случай — биквадратное уравнение, где переменная входит только в чётных степенях.
После замены $t = x^2$ уравнение становится квадратным: $at^2 + bt + c = 0$. Его решают обычным способом через дискриминант, а затем для каждого найденного $t$ решают простое уравнение $x^2 = t$. Здесь и кроется главное ограничение: раз $t = x^2$, значение $t$ не может быть отрицательным. Если один из корней квадратного уравнения оказался меньше нуля, он не даёт решений для $x$ и просто отбрасывается.
Пример 1
Решим уравнение $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$.
Замена: $t = x^2$, $t \ge 0$. Получаем $t^2 - 13t + 36 = 0$.
Дискриминант: $D = 169 - 144 = 25$, $\sqrt{D} = 5$.
$t = \dfrac{13 \pm 5}{2}$, то есть $t = 9$ или $t = 4$. Оба значения положительны, оба подходят.
$x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$; $\quad x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
Ответ: $x \in \{-3, -2, 2, 3\}$.
Пример 2
Решим уравнение $x^4 + 4x^2 - 5 = 0$.
Замена: $t = x^2$, $t \ge 0$. Получаем $t^2 + 4t - 5 = 0$, то есть $(t - 1)(t + 5) = 0$.
$t = 1$ или $t = -5$. Второй корень отрицателен и не подходит, так как $t = x^2$ не может быть меньше нуля.
Остаётся $t = 1$: $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
Ответ: $x = \pm 1$.
Возвратное уравнение
Возвратное (симметричное) уравнение — это уравнение четвёртой степени, коэффициенты которого одинаковы при чтении слева направо и справа налево: $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0$. Такие уравнения решают другой заменой: делят обе части на $x^2$ (переменная $x = 0$ корнем такого уравнения быть не может, это легко проверить подстановкой) и группируют слагаемые парами.
Пример 3
Решим уравнение $x^4 - 5x^3 + 6x^2 - 5x + 1 = 0$.
Коэффициенты $1, -5, 6, -5, 1$ симметричны — уравнение возвратное. Делим обе части на $x^2$:
$x^2 - 5x + 6 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{1}{x^2} = 0$
Группируем: $\left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right) - 5\left(x + \dfrac{1}{x}\right) + 6 = 0$.
Замена $t = x + \dfrac{1}{x}$ даёт $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = t^2 - 2$, поэтому:
$t^2 - 2 - 5t + 6 = 0 \Rightarrow t^2 - 5t + 4 = 0 \Rightarrow (t-1)(t-4) = 0$.
$t = 4$: $x + \dfrac{1}{x} = 4 \Rightarrow x^2 - 4x + 1 = 0 \Rightarrow x = 2 \pm \sqrt{3}$.
$t = 1$: $x + \dfrac{1}{x} = 1 \Rightarrow x^2 - x + 1 = 0$, дискриминант $1 - 4 = -3 < 0$ — действительных корней нет.
Ответ: $x = 2 + \sqrt{3}$ или $x = 2 - \sqrt{3}$.
Замена с произвольным повторяющимся выражением
Замена работает не только для чётных степеней или зеркальных коэффициентов — её можно применить, если в уравнении целиком повторяется одно и то же выражение от $x$.
Пример 4
Решим уравнение $(x^2 + 3x)^2 - 2(x^2 + 3x) - 8 = 0$.
Выражение $x^2 + 3x$ повторяется целиком — обозначим его $t = x^2 + 3x$.
Получаем $t^2 - 2t - 8 = 0 \Rightarrow (t - 4)(t + 2) = 0 \Rightarrow t = 4$ или $t = -2$.
$t = 4$: $x^2 + 3x - 4 = 0 \Rightarrow (x+4)(x-1) = 0 \Rightarrow x = -4$ или $x = 1$.
$t = -2$: $x^2 + 3x + 2 = 0 \Rightarrow (x+1)(x+2) = 0 \Rightarrow x = -1$ или $x = -2$.
Ответ: $x \in \{-4, -2, -1, 1\}$.
Частая ошибка
Самая частая ошибка — найти значения $t$ и остановиться, забыв вернуться к переменной $x$ (обратная замена — это не последний штрих, а половина решения). Вторая по частоте ошибка — не проверить ограничение на $t$: если замена вида $t = x^2$, отрицательные значения $t$ нужно отбрасывать сразу, не пытаясь извлечь из них корень.
Частые вопросы
Как понять, что уравнение решается заменой? Посмотреть, не повторяется ли в уравнении одно и то же выражение от $x$ в разных степенях: $x^2$ и $x^4 = (x^2)^2$, или $(x^2+3x)$ и его квадрат, или $x + \dfrac1x$ и $x^2 + \dfrac1{x^2}$ у возвратного уравнения.
Что если оба корня квадратного уравнения относительно $t$ подошли? Тогда для каждого из них решают отдельное уравнение относительно $x$, и в ответе могут оказаться до четырёх значений — как в примере 1.
Чем возвратное уравнение отличается от биквадратного? В биквадратном уравнении нечётных степеней нет вообще, и замена — это просто $t = x^2$. В возвратном уравнении есть нечётные степени, но коэффициенты симметричны, и после деления на $x^2$ подходящей заменой оказывается $t = x + \dfrac1x$, а не $t = x^2$.
Можно ли проверить ответ? Да, подстановкой найденного $x$ в исходное уравнение — это особенно важно после деления на $x$ или на выражение с переменной, где теоретически можно потерять или приобрести посторонние условия.
Задачи для самопроверки
Задачи
Задача 1: Решите уравнение $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$.
$D = 100 - 36 = 64$, $\sqrt{D} = 8$.
$t = \dfrac{10 \pm 8}{2}$, то есть $t = 9$ или $t = 1$. Оба положительны.
$x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$; $\quad x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
Ответ: $x \in \{-3, -1, 1, 3\}$.
Задача 2: Решите уравнение $x^4 + 5x^2 + 4 = 0$.
$t = -1$ или $t = -4$ — оба значения отрицательны и не подходят, так как $t = x^2 \ge 0$.
Ответ: действительных корней нет.
Задача 3: Решите уравнение $(x^2 - x)^2 - 8(x^2 - x) + 12 = 0$.
$t = 6$: $x^2 - x - 6 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+2) = 0 \Rightarrow x = 3$ или $x = -2$.
$t = 2$: $x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow (x-2)(x+1) = 0 \Rightarrow x = 2$ или $x = -1$.
Ответ: $x \in \{-2, -1, 2, 3\}$.
Задача 4: Решите возвратное уравнение $x^4 - 6x^3 + 7x^2 - 6x + 1 = 0$.
$x^2 - 6x + 7 - \dfrac{6}{x} + \dfrac{1}{x^2} = 0 \Rightarrow \left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right) - 6\left(x+\dfrac{1}{x}\right) + 7 = 0$.
Замена $t = x + \dfrac1x$, $x^2+\dfrac1{x^2} = t^2-2$: $t^2 - 2 - 6t + 7 = 0 \Rightarrow t^2 - 6t + 5 = 0 \Rightarrow (t-1)(t-5)=0$.
$t = 5$: $x + \dfrac1x = 5 \Rightarrow x^2 - 5x + 1 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$.
$t = 1$: $x + \dfrac1x = 1 \Rightarrow x^2 - x + 1 = 0$, $D = 1 - 4 = -3 < 0$ — действительных корней нет.
Ответ: $x = \dfrac{5 + \sqrt{21}}{2}$ или $x = \dfrac{5 - \sqrt{21}}{2}$.
Главное запомнить
- Если в уравнении повторяется одно и то же выражение от $x$, его можно обозначить новой переменной $t$ и свести уравнение высокой степени к квадратному
- В биквадратном уравнении замена $t = x^2$ требует $t \ge 0$: отрицательные корни квадратного уравнения относительно $t$ не дают решений для $x$
- В возвратном уравнении с симметричными коэффициентами делят на $x^2$ и используют замену $t = x + \dfrac1x$, при которой $x^2+\dfrac1{x^2}=t^2-2$
- После нахождения $t$ обязательно нужно вернуться к переменной $x$ — это не последний шаг «для галочки», а часть решения
- Ответ полезно проверить подстановкой в исходное уравнение, особенно если уравнение делили на выражение с переменной
Что почитать дальше
- Квадратные уравнения: от простого к сложному
- Разложение многочлена на множители
- Деление многочленов: от простого к мастерству
- Подготовка к ОГЭ по математике
Разобрать задачи по теме с AI-репетитором можно в Telegram-боте.