Площадь поверхности цилиндра: боковая, полная, формулы

Цилиндр — одно из первых тел вращения, с которым встречаются в стереометрии: банка, труба, карандаш, цистерна — всё это цилиндры. Разберём, откуда берутся формулы площади его поверхности и как не перепутать боковую поверхность с полной.

Определение

Цилиндр — это тело, ограниченное двумя равными параллельными кругами (основаниями) и боковой поверхностью, образованной отрезками, соединяющими соответственные точки окружностей оснований. Если эти отрезки перпендикулярны основаниям, цилиндр называют прямым — именно такой цилиндр разбирают в школьном курсе. Радиус основания обозначают $r$, высоту (расстояние между основаниями) — $h$.

Боковая поверхность цилиндра

Боковая поверхность цилиндра — это часть поверхности без двух кругов-оснований, то есть «труба» без крышек.

S_{\text{бок}} = 2\pi r h

S_бок — площадь боковой поверхности, r — радиус основания, h — высота

Почему формула именно такая

Если разрезать боковую поверхность цилиндра вдоль одной из образующих и развернуть на плоскости, получится прямоугольник. Одна его сторона равна высоте цилиндра $h$, а вторая — длине окружности основания $C = 2\pi r$, потому что именно эту окружность «раскатывают» в прямую линию. Площадь прямоугольника равна произведению сторон: $S_{\text{бок}} = C \cdot h = 2\pi r h$. Так боковая поверхность цилиндра сводится к площади обычного прямоугольника.

Пример 1: боковая поверхность

Радиус основания цилиндра $r = 3$ см, высота $h = 7$ см. Найдём боковую поверхность.

$S_{\text{бок}} = 2\pi \cdot 3 \cdot 7 = 42\pi \approx 131{,}9$ см².

Полная поверхность цилиндра

Полная поверхность складывается из боковой поверхности и площадей двух оснований — кругов радиусом $r$.

S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}} = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r (h + r)

S_полн — полная поверхность, S_осн = πr² — площадь одного основания

Вынесение общего множителя $2\pi r$ за скобку — не просто красивая запись: оно напоминает, что в полной поверхности высота и радиус складываются только после того, как радиус один раз «использован» на окружность, а другой раз — на площадь круга. Эти два слагаемых нельзя путать между собой при подстановке.

Пример 2: полная поверхность

Для того же цилиндра ($r = 3$ см, $h = 7$ см) найдём полную поверхность.

$S_{\text{полн}} = 2\pi \cdot 3 \cdot (7 + 3) = 6\pi \cdot 10 = 60\pi \approx 188{,}5$ см².

Частая ошибка

Самая частая ошибка — забыть множитель 2 перед площадью основания: в цилиндре два круга, а не один, в отличие, например, от конуса, у которого только одно основание. Вторая частая ошибка — подставить в формулу диаметр вместо радиуса: если в условии дан диаметр $d$, сначала нужно найти $r = d/2$, а не использовать $d$ напрямую как $r$.

Объём цилиндра

Площадь поверхности показывает, сколько материала нужно на «обёртку» цилиндра, а для объёма — того, сколько внутри места — используется другая формула, которую полезно знать рядом:

V = \pi r^2 h

V — объём, площадь основания πr², умноженная на высоту

Эта формула — частный случай общего правила «объём призмы или цилиндра равен площади основания, умноженной на высоту»: у цилиндра основание круглое, поэтому площадь основания равна $\pi r^2$.

Пример 3: цилиндр по объёму и высоте

Объём цилиндра равен $V = 144\pi$ см³, высота $h = 4$ см. Найдём радиус и полную поверхность.

Из формулы объёма: $144\pi = \pi r^2 \cdot 4$, откуда $r^2 = 36$, значит $r = 6$ см.
Тогда полная поверхность: $S_{\text{полн}} = 2\pi \cdot 6 \cdot (4 + 6) = 12\pi \cdot 10 = 120\pi$ см².

Цилиндр и прямоугольный параллелепипед: общий принцип объёма

Почему объём считается именно так

У прямоугольного параллелепипеда объём равен произведению площади основания на высоту: $V = S_{\text{осн}} \cdot h$. Цилиндр подчиняется тому же принципу, который работает для любой прямой призмы или цилиндра: нужно «размножить» площадь основания по высоте. Разница только в форме основания — у параллелепипеда это прямоугольник со сторонами $a$ и $b$ ($S = ab$), у цилиндра — круг радиусом $r$ ($S = \pi r^2$). Поэтому, зная одну формулу, легко запомнить и вторую: меняется лишь то, как считается площадь основания, а умножение на высоту остаётся одинаковым.

Где нужны эти формулы в жизни

Пример 4: сколько краски нужно на цистерну

Цилиндрическая цистерна имеет радиус $r = 2$ м и высоту $h = 6$ м. Нужно покрасить всю внешнюю поверхность, включая верхнее и нижнее днище. Одной банки краски хватает на $25$ м². Сколько банок понадобится?

Полная поверхность: $S_{\text{полн}} = 2\pi r (h + r) = 2\pi \cdot 2 \cdot (6 + 2) = 4\pi \cdot 8 = 32\pi \approx 100{,}5$ м².
Число банок: $100{,}5 / 25 \approx 4{,}02$, значит потребуется 5 банок (неполный остаток округляют вверх, иначе краски не хватит).

Задачи такого типа — на этикетку консервной банки, обёртку трубы теплоизоляцией, стенки колодца — почти всегда сводятся к одной и той же идее: материал, которым покрывают боковую поверхность, в развёрнутом виде представляет собой прямоугольник, а материал на крышки и дно — два круга. Если в условии говорится только про «боковую» поверхность (например, обернуть трубу без торцов), два круга в расчёт не включают и используют только $S_{\text{бок}} = 2\pi rh$.

Ещё одна частая ошибка

В задачах про реальные предметы величины часто даны в разных единицах: радиус — в сантиметрах, высота — в метрах. Прежде чем подставлять числа в формулу, все величины нужно перевести в одну и ту же единицу измерения, иначе результат площади окажется в десятки и сотни раз неверным. Проверить это легко: если ответ получился неправдоподобно большим или маленьким для описанного в условии предмета, скорее всего, где-то остались несогласованные единицы.

Сечения цилиндра

Какие сечения встречаются в задачах

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной основанию, — это круг радиусом $r$, равный основанию. Сечение плоскостью, проходящей через ось цилиндра (осевое сечение), — прямоугольник со сторонами $2r$ (диаметр) и $h$. Этот прямоугольник часто прячется в задачах за словами «диагональ осевого сечения»: по теореме Пифагора её длина равна $\sqrt{(2r)^2 + h^2}$.

Задачи для самопроверки

Задачи

Задача 1: Радиус основания цилиндра 5 см, высота 10 см. Найдите боковую поверхность цилиндра.

$S_{\text{бок}} = 2\pi \cdot 5 \cdot 10 = 100\pi$ см².
Ответ: $100\pi$ см².

Задача 2: Диаметр основания цилиндра равен 8 см, высота — 5 см. Найдите полную поверхность цилиндра.

Радиус $r = 8/2 = 4$ см.
$S_{\text{полн}} = 2\pi \cdot 4 \cdot (5 + 4) = 8\pi \cdot 9 = 72\pi$ см².
Ответ: $72\pi$ см².

Задача 3: Полная поверхность цилиндра равна $112\pi$ см², радиус основания — 4 см. Найдите высоту цилиндра.

$112\pi = 2\pi \cdot 4 \cdot (h + 4)$, значит $112 = 8(h+4)$, откуда $h + 4 = 14$, то есть $h = 10$ см.
Ответ: $10$ см.

Задача 4: Площадь осевого сечения цилиндра (прямоугольника) равна 60 см², радиус основания — 5 см. Найдите боковую поверхность цилиндра.

Осевое сечение — прямоугольник со сторонами $2r = 10$ и $h$, его площадь $2r \cdot h = 60$, откуда $h = 6$ см.
$S_{\text{бок}} = 2\pi \cdot 5 \cdot 6 = 60\pi$ см².
Ответ: $60\pi$ см².

Задача 5: Объём цилиндра равен $50\pi$ см³, радиус основания — 5 см. Найдите полную поверхность цилиндра.

Из $V = \pi r^2 h$: $50\pi = \pi \cdot 25 \cdot h$, откуда $h = 2$ см.
$S_{\text{полн}} = 2\pi \cdot 5 \cdot (2 + 5) = 10\pi \cdot 7 = 70\pi$ см².
Ответ: $70\pi$ см².

Главное запомнить

Боковая поверхность: $S_{\text{бок}} = 2\pi r h$ — получается развёрткой в прямоугольник со сторонами $2\pi r$ и $h$
Полная поверхность: $S_{\text{полн}} = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r(h+r)$ — боковая поверхность плюс два основания
Объём: $V = \pi r^2 h$ — площадь основания на высоту
Если дан диаметр, сначала находят радиус $r = d/2$ и только потом подставляют в формулы
Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами $2r$ и $h$

Что почитать дальше

Разобрать задачи по теме с AI-репетитором можно в Telegram-боте.