Правильные многоугольники: формулы углов, сторон и площади

Квадрат и равносторонний треугольник — это частные случаи одной и той же фигуры: правильного многоугольника. Разберём общие формулы, которые работают для любого числа сторон, и покажем, почему они выглядят именно так.

Определение

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны между собой и все углы равны между собой. У правильного многоугольника с $n$ сторонами ($n \geqslant 3$) существует центр — точка, равноудалённая от всех вершин и от всех сторон. Расстояние от центра до вершины называют радиусом описанной окружности $R$, расстояние от центра до стороны (по перпендикуляру) — радиусом вписанной окружности, или апофемой, $r$.

Угол правильного многоугольника

\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^{\circ}}{n}

α — угол правильного n-угольника при вершине

Формула следует из теоремы о сумме углов выпуклого многоугольника: сумма всех внутренних углов $n$-угольника равна $(n-2) \cdot 180°$. У правильного многоугольника все $n$ углов равны, поэтому сумму достаточно разделить на $n$.

Внешний угол считать проще

Внешний угол правильного $n$-угольника равен $\dfrac{360°}{n}$ — сумма всех внешних углов любого выпуклого многоугольника всегда равна полному обороту $360°$, а у правильного они равны между собой. Внутренний угол тогда находится как $180° - \dfrac{360°}{n}$, что даёт тот же результат, что и формула выше, но без дробей со скобками в числителе.

Пример 1: угол правильного шестиугольника

Найдём угол правильного шестиугольника ($n = 6$).

$\alpha = \dfrac{(6-2) \cdot 180°}{6} = \dfrac{4 \cdot 180°}{6} = \dfrac{720°}{6} = 120°$.

Центральный угол и разбиение на треугольники

Если соединить центр правильного многоугольника со всеми вершинами, он разбивается на $n$ равных равнобедренных треугольников. Угол при центре каждого такого треугольника называется центральным углом многоугольника:

\gamma = \frac{360^{\circ}}{n}

γ — центральный угол, под которым видна одна сторона из центра

Это разбиение — главный рабочий инструмент для вывода всех остальных формул: стороны, апофемы и площади. В каждом из $n$ треугольников две стороны равны $R$ (радиусам описанной окружности, проведённым к соседним вершинам), угол между ними — центральный угол $\gamma$, а высота, опущенная на третью сторону, — это и есть апофема $r$.

Сторона, апофема и радиус описанной окружности

Рассмотрим один из $n$ равнобедренных треугольников и опустим в нём высоту из центра на сторону многоугольника. Эта высота делит треугольник на два прямоугольных, в каждом из которых гипотенуза равна $R$, один катет — апофема $r$, а второй катет — половина стороны $\dfrac{a}{2}$. Угол между гипотенузой и апофемой равен половине центрального угла, то есть $\dfrac{180°}{n}$.

a = 2R \sin\frac{180^{\circ}}{n}, \qquad r = R \cos\frac{180^{\circ}}{n}

a — сторона, r — апофема (радиус вписанной окружности), R — радиус описанной окружности

Из этих двух равенств можно выразить апофему через сторону, если радиус $R$ неизвестен:

r = \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{\tan \dfrac{180^{\circ}}{n}} = \frac{a}{2} \operatorname{ctg}\frac{180^{\circ}}{n}

апофема через сторону a

Пример 2: сторона и апофема правильного шестиугольника

Правильный шестиугольник вписан в окружность радиусом $R = 10$ см. Найдём сторону и апофему.

$a = 2 \cdot 10 \cdot \sin 30° = 20 \cdot 0{,}5 = 10$ см.
$r = 10 \cdot \cos 30° = 10 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$ см.

Интересный факт именно для шестиугольника: его сторона всегда равна радиусу описанной окружности, потому что треугольник со сторонами $R$, $R$ и углом $60°$ между ними — равносторонний.

Площадь правильного многоугольника

Площадь каждого из $n$ равнобедренных треугольников равна половине произведения стороны на апофему (апофема — это высота треугольника, опущенная на сторону). Умножив на число треугольников $n$, получаем периметр $P = na$, умноженный на апофему:

S = \frac{1}{2} \cdot P \cdot r = \frac{1}{2} \cdot n a \cdot r

S — площадь, P = na — периметр, r — апофема

Если апофема неизвестна, но известна сторона, подставляют выражение $r$ через $a$ из предыдущего раздела:

S = \frac{n a^2}{4} \operatorname{ctg}\frac{180^{\circ}}{n}

площадь через сторону a и число сторон n

Пример 3: площадь правильного шестиугольника через сторону

Найдём площадь правильного шестиугольника со стороной $a = 4$ см.

$S = \dfrac{6 \cdot 4^2}{4} \cdot \operatorname{ctg} 30° = \dfrac{96}{4} \cdot \sqrt{3} = 24\sqrt{3}$ см².

Проверка через разбиение на треугольники: правильный шестиугольник со стороной $a$ состоит из 6 равносторонних треугольников со стороной $a$, площадь каждого $\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Тогда $S = 6 \cdot \dfrac{16\sqrt{3}}{4} = 24\sqrt{3}$ см² — результат совпал, что подтверждает формулу.

Частая ошибка

Путают апофему (расстояние от центра до стороны, то есть радиус вписанной окружности) с радиусом описанной окружности (расстояние от центра до вершины). У любого правильного многоугольника с числом сторон больше 3 это разные отрезки: $r < R$, и перепутав их в формуле площади или стороны, получают неверный числовой ответ, хотя подстановка формально выглядит правильной.

Угол многоугольника и угол треугольника внутри него — не одно и то же

Центральный угол $\gamma = \dfrac{360°}{n}$ — это угол равнобедренного треугольника при центре, а не угол самого многоугольника. Угол многоугольника $\alpha$ состоит из двух углов при основании соседних равнобедренных треугольников, поэтому $\alpha = 180° - \gamma = 180° - \dfrac{360°}{n}$, что равносильно формуле $\alpha = \dfrac{(n-2)\cdot 180°}{n}$, приведённой в начале.

Треугольник и квадрат как частные случаи

Формулы выше работают для любого $n \geqslant 3$, и легко убедиться, что при маленьких $n$ они дают уже известные результаты. При $n = 3$ угол равен $\dfrac{(3-2)\cdot180°}{3} = 60°$ — это угол равностороннего треугольника. При $n = 4$ угол равен $\dfrac{(4-2)\cdot180°}{4} = 90°$ — угол квадрата. То есть равносторонний треугольник и квадрат не являются каким-то отдельным исключением: это правильные многоугольники с $n = 3$ и $n = 4$, просто для них есть свои, более короткие формулы площади и стороны, которые изучают раньше общей формулы.

С ростом числа сторон $n$ правильный многоугольник всё точнее приближает окружность: центральный угол $\gamma = \dfrac{360°}{n}$ становится всё меньше, вершины располагаются всё гуще, а периметр и площадь многоугольника при фиксированном радиусе $R$ стремятся к длине окружности $2\pi R$ и площади круга $\pi R^2$ соответственно. Этим фактом иногда пользуются, чтобы на интуитивном уровне объяснить, откуда в геометрии вообще берётся число $\pi$.

Задачи для самопроверки

Задачи

Задача 1: Найдите угол правильного десятиугольника.

$\alpha = \dfrac{(10-2)\cdot 180°}{10} = \dfrac{8 \cdot 180°}{10} = \dfrac{1440°}{10} = 144°$.
Ответ: $144°$.

Задача 2: Угол правильного многоугольника равен $150°$. Сколько у него сторон?

Из $\alpha = \dfrac{(n-2)\cdot 180°}{n} = 150°$ получаем $180n - 360 = 150n$, то есть $30n = 360$, откуда $n = 12$.
Ответ: 12 сторон.

Задача 3: Сторона правильного шестиугольника равна $6$ см. Найдите радиус описанной около него окружности.

Для шестиугольника $a = R$ (центральный угол равен $60°$, треугольник равносторонний), поэтому $R = 6$ см.
Ответ: $6$ см.

Задача 4: Радиус вписанной в правильный шестиугольник окружности равен $3\sqrt{3}$ см. Найдите сторону многоугольника.

$r = \dfrac{a}{2}\operatorname{ctg}30° = \dfrac{a}{2}\sqrt{3}$, значит $3\sqrt{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$, откуда $a = 6$ см.
Ответ: $6$ см.

Задача 5: Найдите площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиусом $R = 4$ см.

Сторона $a = 2R\sin 30° = 2 \cdot 4 \cdot 0{,}5 = 4$ см. Апофема $r = R\cos 30° = 4 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.
$S = \dfrac{1}{2}\cdot n a \cdot r = \dfrac{1}{2}\cdot 6 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$ см².
Ответ: $24\sqrt{3}$ см².

Главное запомнить

Угол правильного $n$-угольника: $\alpha = \dfrac{(n-2)\cdot 180°}{n}$, центральный угол: $\gamma = \dfrac{360°}{n}$
Сторона через радиус описанной окружности: $a = 2R\sin\dfrac{180°}{n}$
Апофема (радиус вписанной окружности) через радиус описанной: $r = R\cos\dfrac{180°}{n}$
Площадь: $S = \dfrac{1}{2}\cdot P \cdot r$, где $P = na$ — периметр
Апофема и радиус описанной окружности — разные отрезки: $r < R$ при $n > 3$

Что почитать дальше

Разобрать задачи по теме с AI-репетитором можно в Telegram-боте.