Для треугольника сумма углов всегда 180° — это знают все. А вот что делать, если в задаче дан пятиугольник, шестиугольник или вообще многоугольник с произвольным числом сторон? Оказывается, для любого выпуклого многоугольника сумма углов считается по одной простой формуле, которую легко вывести и легко запомнить. В этой статье разберём саму формулу, доказательство «почему она работает», отдельно формулу для внешних углов и научимся решать обратную задачу — находить число сторон многоугольника по известной сумме его углов.
Определение
Сумма углов выпуклого многоугольника с $n$ сторонами равна $180°(n-2)$. Формула работает для любого выпуклого многоугольника — треугольника ($n=3$), четырёхугольника ($n=4$), пятиугольника ($n=5$) и так далее, независимо от того, насколько стороны и углы отличаются друг от друга по длине и величине.
Почему формула именно такая: доказательство
Проще всего доказать формулу, разбив многоугольник на треугольники диагоналями, проведёнными из одной вершины. Возьмём выпуклый $n$-угольник и зафиксируем одну его вершину. Из неё можно провести диагонали ко всем вершинам, кроме двух соседних (с ними эта вершина и так соединена сторонами). Таких диагоналей получится $n-3$, а вместе с двумя сторонами, выходящими из той же вершины, они разбивают многоугольник ровно на $n-2$ треугольника.
У каждого из этих треугольников сумма углов равна 180°, а все вместе их углы в точности покрывают все углы исходного многоугольника — без пропусков и без повторного счёта, потому что диагонали делят каждый угол многоугольника на несколько частей, и эти части в сумме дают исходный угол. Значит, сумма углов всего многоугольника равна сумме углов всех $n-2$ треугольников:
Для треугольника ($n=3$) формула даёт $S = 1 \cdot 180° = 180°$ — то самое привычное правило. Для четырёхугольника ($n=4$) получаем $S = 2 \cdot 180° = 360°$ — и это легко проверить на прямоугольнике, где все четыре угла по 90°, а в сумме как раз 360°.
Важно, что диагонали нужно проводить именно из одной вершины, а не произвольно. Если провести все диагонали многоугольника (а не только из одной точки), фигура разобьётся на гораздо большее число треугольников, и считать их сумму углов напрямую стало бы сложнее — пришлось бы отдельно учитывать углы вокруг внутренних точек пересечения диагоналей. Способ с одной вершиной хорош именно тем, что все получившиеся треугольники прилегают друг к другу только сторонами, без лишних пересечений внутри фигуры, и их углы складываются в точности в углы исходного многоугольника без остатка и без повторов.
Есть и другой способ доказательства — через внешние углы, о которых речь пойдёт ниже. Оба способа приводят к одной и той же формуле, но разбиение на треугольники нагляднее и обычно его разбирают в школе первым.
Формула не зависит от формы многоугольника
Сумма углов зависит только от числа сторон $n$, а не от того, насколько многоугольник «кривой» или правильный. У любого выпуклого пятиугольника — хоть у правильного, хоть у сильно вытянутого — сумма углов будет одной и той же: $180° \cdot 3 = 540°$.
Угол правильного многоугольника
Если многоугольник правильный (все стороны и все углы равны), легко найти величину одного угла: нужно просто разделить общую сумму на число углов.
Например, у правильного шестиугольника (как в пчелиных сотах) каждый угол равен $\dfrac{180° \cdot 4}{6} = 120°$.
Внешние углы многоугольника
Кроме внутренних углов у многоугольника есть внешние — углы, смежные с внутренними (то есть дополняющие их до 180°, если продолжить сторону за вершину). У внешних углов есть своё, даже более простое правило.
Это можно понять наглядно: если обходить многоугольник по периметру и в каждой вершине поворачивать на внешний угол, то за полный обход фигуры направление движения повернётся ровно на полный оборот — 360°, сколько бы сторон у многоугольника ни было. Отсюда сразу следует и формула для внутреннего угла правильного многоугольника другим способом: внешний угол правильного $n$-угольника равен $\dfrac{360°}{n}$, а внутренний — дополняет его до 180°.
Этот факт даёт и альтернативное доказательство основной формулы. В каждой вершине внутренний и внешний угол в сумме дают 180° (это смежные углы, образованные стороной многоугольника и продолжением соседней стороны). Всего вершин $n$, значит сумма всех внутренних и всех внешних углов вместе равна $180° \cdot n$. Сумму внешних углов мы уже знаем — 360°, поэтому сумма внутренних углов равна $180°n - 360° = 180°(n-2)$ — та же самая формула, выведенная совершенно другим способом. Такое совпадение — хороший признак того, что формула верна.
Пример 1: сумма углов пятиугольника
Найдём сумму углов выпуклого пятиугольника. Здесь $n = 5$:
$S = 180° \cdot (5 - 2) = 180° \cdot 3 = 540°$.
Если четыре угла пятиугольника равны 100°, 110°, 95° и 120°, пятый угол найдём вычитанием: $540° - 100° - 110° - 95° - 120° = 115°$.
Пример 2: число сторон по сумме углов
Сумма углов некоторого выпуклого многоугольника равна 1080°. Сколько у него сторон? Решаем уравнение относительно $n$:
$180°(n-2) = 1080°$
$n - 2 = 6$
$n = 8$.
Это выпуклый восьмиугольник (октагон).
Пример 3: угол правильного многоугольника по его виду
Правильный десятиугольник: найдём величину каждого внутреннего угла.
$\alpha = \dfrac{180° \cdot (10 - 2)}{10} = \dfrac{180° \cdot 8}{10} = \dfrac{1440°}{10} = 144°$.
Проверка через внешний угол: внешний угол равен $\dfrac{360°}{10} = 36°$, а внутренний дополняет его до 180°: $180° - 36° = 144°$ — ответ совпал.
Пример 4: сумма углов шестиугольника и один неизвестный угол
В выпуклом шестиугольнике пять углов равны 130°, 140°, 125°, 150° и 135°. Найдём шестой угол.
Сначала сумма всех углов: $S = 180° \cdot (6-2) = 720°$.
Сумма пяти известных углов: $130° + 140° + 125° + 150° + 135° = 680°$.
Шестой угол: $720° - 680° = 40°$.
Частая ошибка
Самая частая ошибка — перепутать число сторон $n$ с числом диагоналей, проведённых из одной вершины, и подставить в формулу не $n$, а $n-3$ (количество диагоналей) или $n-2$ (количество треугольников). В формулу $S = 180°(n-2)$ подставляется именно число сторон (оно же — число вершин и число углов) многоугольника, а не вспомогательные величины из доказательства. Вторая распространённая ошибка — применять формулу к невыпуклому многоугольнику без поправок: у невыпуклых многоугольников с «вдавленными» углами больше 180° сумма внутренних углов считается иначе, формула $180°(n-2)$ в чистом виде для них не работает.
Задачи для самопроверки
Задачи
Задача 1: Найдите сумму углов выпуклого семиугольника.
Ответ: 900°.
Задача 2: Сумма углов выпуклого многоугольника равна 1260°. Найдите число его сторон.
$n - 2 = 7$
$n = 9$.
Ответ: 9 сторон (девятиугольник).
Задача 3: Найдите величину угла правильного двенадцатиугольника.
Ответ: 150°.
Задача 4: Внешний угол правильного многоугольника равен 24°. Сколько у него сторон?
$n = \dfrac{360°}{24°} = 15$.
Ответ: 15 сторон.
Задача 5: В выпуклом четырёхугольнике три угла равны 85°, 95° и 100°. Найдите четвёртый угол.
Четвёртый угол: $360° - 85° - 95° - 100° = 80°$.
Ответ: 80°.
Главное запомнить
- Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника: $S = 180°(n-2)$
- Формула выводится разбиением многоугольника на n − 2 треугольника диагоналями из одной вершины
- Угол правильного n-угольника: $\alpha = \dfrac{180°(n-2)}{n}$
- Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника всегда равна 360°, независимо от числа сторон
- В формулу подставляется число сторон n, а не число диагоналей или треугольников из доказательства
Что почитать дальше
Разобрать задачи по теме с AI-репетитором можно в Telegram-боте.