Когда две прямые пересекает третья — секущая, — на чертеже сразу появляется восемь углов с непривычными названиями: накрест лежащие, соответственные, односторонние. Путаница в этих названиях — одна из самых частых причин ошибок в геометрических задачах ОГЭ. В этой статье разберём, как называется каждая пара углов, когда по ним можно утверждать, что прямые параллельны, и как использовать эти признаки в задачах.
Определение
Секущая — это прямая, которая пересекает две другие прямые в двух разных точках. В каждой из этих двух точек пересечения образуется четыре угла, то есть всего на чертеже восемь углов. В зависимости от взаимного расположения эти углы делят на три пары: накрест лежащие, соответственные и односторонние.
Какие углы образует секущая
Пронумеруем углы у первой точки пересечения (с прямой $a$) как 1, 2, 3, 4 по часовой стрелке, начиная с верхнего левого, и так же у второй точки пересечения (с прямой $b$) — углы 5, 6, 7, 8. Тогда:
Как быстро узнать тип пары углов
Сначала смотри, находится ли угол между прямыми $a$ и $b$ («внутри») или снаружи. Два внутренних угла по разные стороны секущей — накрест лежащие. Два внутренних угла по одну сторону — односторонние. А если один угол внутренний, а другой снаружи, но с той же стороны секущей и в том же «углу» у своей прямой — это соответственные.
Признаки параллельности прямых
Признак — это условие на углы, из которого следует, что прямые $a$ и $b$ параллельны. Таких условий три, и они равносильны друг другу.
Почему это работает: идея доказательства
Доказательство признака через накрест лежащие углы обычно строят методом от противного. Пусть $\angle 3 = \angle 5$, но прямые $a$ и $b$ не параллельны — тогда они пересекаются в какой-то точке $C$, и образуют треугольник с секущей. Но внешний угол треугольника всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним, — а равенство $\angle 3 = \angle 5$ как раз утверждает, что внешний угол этого треугольника (один из накрест лежащих) равен внутреннему, не смежному с ним. Это противоречие, значит, предположение о пересечении прямых неверно, и $a \parallel b$.
Остальные два признака выводятся из первого через смежные и вертикальные углы: соответственные углы 1 и 5 равны ровно тогда, когда равны накрест лежащие 3 и 5, потому что $\angle 1$ и $\angle 3$ — вертикальные (а значит, равны между собой). А из равенства накрест лежащих сразу следует и равенство суммы односторонних 180°, поскольку $\angle 5$ и $\angle 6$ — смежные и в сумме дают 180°: если $\angle 3 = \angle 5$, то $\angle 3 + \angle 6 = \angle 5 + \angle 6 = 180°$.
Обратные утверждения — свойства параллельных прямых — тоже верны: если $a \parallel b$, то накрест лежащие углы равны, соответственные равны, а односторонние в сумме дают 180°. Эти свойства доказываются на основе аксиомы параллельных прямых (через данную точку вне прямой проходит ровно одна прямая, ей параллельная) и в школьном курсе обычно принимаются без подробного вывода.
Пример 1: найти все углы по одному известному
Прямые $a \parallel b$ пересечены секущей. Угол 3 (внутренний, слева от секущей у прямой $a$) равен 65°. Найдём угол 6 (внутренний, справа от секущей у прямой $b$).
Углы 3 и 6 — односторонние, а для параллельных прямых их сумма равна 180°:
$\angle 6 = 180° - 65° = 115°$.
Пример 2: доказать параллельность по чертежу
На чертеже $\angle 1 = 110°$, а $\angle 6 = 70°$ — нужно проверить, параллельны ли прямые $a$ и $b$.
Угол 1 и угол 5 — соответственные, а угол 5 и угол 6 — смежные, значит $\angle 5 = 180° - \angle 6 = 180° - 70° = 110°$.
Получили $\angle 1 = \angle 5 = 110°$ — соответственные углы равны, значит по признаку $a \parallel b$.
Пример 3: уравнение из односторонних углов
Известно, что $a \parallel b$, а два односторонних угла равны $(2x + 10°)$ и $(3x - 30°)$. Найдём $x$.
Для параллельных прямых сумма односторонних углов равна 180°:
$(2x + 10°) + (3x - 30°) = 180°$
$5x - 20° = 180°$
$5x = 200°$
$x = 40°$.
Проверка: первый угол $2 \cdot 40° + 10° = 90°$, второй $3 \cdot 40° - 30° = 90°$, сумма $180°$ — верно.
Частая ошибка
Самая частая путаница — спутать накрест лежащие углы (они равны) с односторонними (они в сумме дают 180°) и применить не то равенство. Чтобы не ошибиться, всегда проверяй расположение по чертежу: если оба угла внутренние и по разные стороны секущей — равенство, если по одну сторону — сумма 180°. Вторая ошибка — забыть, что признаки работают в обе стороны только для параллельных прямых: если прямые не параллельны, никакой фиксированной связи между накрест лежащими или соответственными углами нет, они могут быть любыми.
Частые вопросы
Как быстро отличить соответственные углы от накрест лежащих, если чертёж сложный? Проще всего закрыть рукой одну из двух прямых вместе с её секущей и посмотреть, где на оставшейся прямой находится угол: сверху-слева, сверху-справа, снизу-слева или снизу-справа от точки пересечения. Если у обеих прямых угол стоит на одинаковом «месте» — это соответственные углы. Если угол внутренний (между прямыми $a$ и $b$) и по разные стороны секущей — это накрест лежащие.
Работают ли признаки, если секущая перпендикулярна обеим прямым? Да, это частный случай. Если секущая перпендикулярна прямой $a$, то все четыре угла в этой точке пересечения равны 90°. Прямые $a$ и $b$ параллельны ровно тогда, когда секущая перпендикулярна и прямой $b$ тоже — тогда все восемь углов на чертеже прямые, а все три признака (равенство накрест лежащих, равенство соответственных, сумма односторонних 180°) выполняются одновременно и тривиально.
Можно ли из одного данного сразу пользоваться всеми тремя признаками? Да: поскольку все три признака равносильны, достаточно проверить любой один из них, чтобы сделать вывод о параллельности. На практике выбирают тот признак, для которого в условии задачи уже даны подходящие углы, — не нужно пересчитывать углы через смежные и вертикальные, если можно применить готовое равенство или сумму напрямую.
Что если прямые не параллельны — какие тогда соотношения между углами? Строгой числовой зависимости нет: накрест лежащие и соответственные углы в общем случае просто разные, а сумма односторонних не обязана равняться 180°. Единственное, что остаётся верным всегда (параллельны прямые или нет) — это свойства углов, образованных самой секущей в каждой отдельной точке пересечения: вертикальные углы равны, а смежные углы в сумме дают 180°.
Задачи для самопроверки
Задачи
Задача 1: Прямые $a \parallel b$ пересечены секущей. Один из накрест лежащих углов равен 48°. Найдите второй накрест лежащий угол.
Задача 2: Прямые $a \parallel b$ пересечены секущей. Один из соответственных углов равен 73°. Найдите второй.
Задача 3: Один из односторонних углов при параллельных прямых $a$ и $b$ на 30° больше второго. Найдите оба угла.
$x + (x + 30°) = 180°$
$2x = 150°$
$x = 75°$.
Ответ: углы 75° и 105°.
Задача 4: При пересечении прямых $a$ и $b$ секущей накрест лежащие углы равны $(x + 20°)$ и $(2x - 10°)$. При каком значении $x$ прямые $a$ и $b$ параллельны?
$x + 20° = 2x - 10°$
$30° = x$
$x = 30°$.
Ответ: x = 30° (оба угла при этом равны 50°).
Задача 5: Соответственные углы при прямых $a$ и $b$ равны $75°$ и $80°$. Параллельны ли прямые $a$ и $b$?
Ответ: нет, прямые не параллельны.
Главное запомнить
- Секущая образует с двумя прямыми восемь углов: накрест лежащие, соответственные и односторонние
- Прямые параллельны, если накрест лежащие углы равны, либо соответственные углы равны, либо сумма односторонних углов равна 180°
- Все три признака равносильны: из одного следуют два других через смежные и вертикальные углы
- Для непараллельных прямых никакой фиксированной связи между этими углами нет
Что почитать дальше
Разобрать задачи по теме с AI-репетитором можно в Telegram-боте.