Длина окружности и число пи: формула и примеры

Колесо, обруч, круглая клумба, крышка банки — все эти предметы объединяет одна и та же величина: длина окружности, то есть длина линии, которая эту окружность образует. Посчитать её напрямую линейкой неудобно — линия кривая, а не прямая. Но есть формула, которая связывает длину окружности с радиусом всего одним умножением, и в основе этой формулы лежит знаменитое число пи. В статье разберём, откуда берётся эта формула, что такое число пи на самом деле и как решать типичные задачи на длину окружности, диаметр и радиус.

Определение

Длина окружности — это длина замкнутой линии, которая ограничивает круг. Она вычисляется по формуле $C = 2\pi r$, где $r$ — радиус окружности (расстояние от центра до любой точки на ней), а $\pi$ (число пи) — постоянное число, приблизительно равное 3,14159.

C = 2\pi r

C — длина окружности, r — радиус

Поскольку диаметр $d$ — это удвоенный радиус ($d = 2r$), формулу часто записывают и через диаметр:

C = \pi d

d — диаметр окружности (d = 2r)

Что такое число пи

Число $\pi$ — это не произвольный коэффициент, который кто-то придумал для удобства, а отношение длины любой окружности к её диаметру:

\pi = \dfrac{C}{d}

отношение длины окружности к диаметру одинаково для ЛЮБОЙ окружности

Если взять окружность размером с монету и окружность размером с футбольное поле, измерить у каждой длину и диаметр и разделить одно на другое — получится одно и то же число. Это удивительный факт: отношение не зависит от размера окружности вообще. Именно поэтому древние математики (ещё в Вавилоне и Древнем Египте) заметили это постоянство и начали вычислять его всё точнее.

Число $\pi$ — иррациональное: его нельзя записать в виде обыкновенной дроби, а десятичная запись бесконечна и не повторяется периодически. В расчётах обычно используют приближение $\pi \approx 3{,}14$ или $\pi \approx 3{,}14159$, а в некоторых задачах — грубую оценку $\pi \approx 3$, если точность не важна. На калькуляторах и в точных вычислениях используют встроенное значение с гораздо большим числом знаков.

Почему именно 2πr, а не πr

Число $\pi$ — это отношение длины окружности к диаметру, а не к радиусу. Диаметр вдвое больше радиуса, поэтому при переходе от диаметра к радиусу в формуле появляется двойка: $C = \pi d = \pi \cdot 2r = 2\pi r$. Если перепутать радиус с диаметром при подстановке в формулу, ответ окажется ровно в два раза больше или меньше правильного.

Почему формула работает

Строгое доказательство того, что отношение $C/d$ постоянно для всех окружностей, требует аппарата пределов (окружность рассматривают как предел вписанных в неё правильных многоугольников со всё большим числом сторон). Но идею можно понять и без пределов, на уровне школьной геометрии.

Возьмём окружность и впишем в неё правильный шестиугольник — его сторона в точности равна радиусу окружности, поэтому периметр шестиугольника равен $6r$, то есть $3d$. Сама же окружность чуть длиннее вписанного в неё многоугольника, потому что дуга между соседними вершинами всегда длиннее хорды, которая её стягивает. Если теперь вписать в ту же окружность многоугольник с большим числом сторон — скажем, двенадцатиугольник, — его периметр будет ближе к длине окружности, чем периметр шестиугольника, потому что он лучше повторяет изгиб окружности. Продолжая увеличивать число сторон до бесконечности, периметр вписанного многоугольника приближается к длине окружности сколь угодно точно, и оказывается, что это предельное отношение периметра к диаметру — то самое число $\pi \approx 3{,}14159...$, чуть больше, чем $3$, которое даёт шестиугольник.

Этот же приём (приближение окружности правильными многоугольниками со всё большим числом сторон) в III веке до н. э. использовал Архимед, чтобы вычислить $\pi$ с хорошей точностью — задолго до появления современного математического анализа.

Примеры

Пример 1: длина окружности по радиусу

Радиус окружности равен 5 см. Найдём длину окружности:
$C = 2\pi r = 2 \cdot \pi \cdot 5 = 10\pi \approx 10 \cdot 3{,}14 = 31{,}4$ см.

Пример 2: длина окружности по диаметру

Диаметр колеса велосипеда равен 70 см. Найдём, какой путь проедет велосипед за один полный оборот колеса — это и есть длина окружности:
$C = \pi d = \pi \cdot 70 \approx 3{,}14 \cdot 70 = 219{,}8$ см $\approx 2{,}2$ м.

Пример 3: радиус по известной длине окружности

Длина окружности равна $25{,}12$ см. Найдём радиус. Из формулы $C = 2\pi r$ выражаем радиус:
$r = \dfrac{C}{2\pi} = \dfrac{25{,}12}{2 \cdot 3{,}14} = \dfrac{25{,}12}{6{,}28} = 4$ см.

Частая ошибка

Самая частая ошибка — перепутать радиус с диаметром при подстановке в формулу. Если в задаче дан диаметр, а не радиус, нельзя подставлять его в формулу $C = 2\pi r$ напрямую вместо $r$ — результат получится вдвое больше правильного. Нужно либо сначала разделить диаметр пополам, чтобы получить радиус, либо сразу использовать формулу $C = \pi d$. Вторая частая ошибка — слишком грубое округление $\pi$ до 3 там, где в задаче требуется точный ответ или ответ с точностью до десятых.

Длина окружности и формулы площади круга

Длину окружности $C = 2\pi r$ не стоит путать с площадью круга, которую она ограничивает, — это две разные величины с разными формулами:

S = \pi r^2

S — площадь круга (не окружности!), r — радиус

Длина окружности измеряется в единицах длины (см, м), а площадь круга — в квадратных единицах (см², м²). В задачах их легко перепутать по смыслу, если невнимательно читать условие: «найдите длину окружности» и «найдите площадь круга» — это разные вопросы с разными формулами.

Пример 4: сравнение длины окружности и площади круга

Радиус круга равен 3 см. Найдём отдельно длину окружности и площадь круга:
Длина окружности: $C = 2\pi r = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 3 = 18{,}84$ см.
Площадь круга: $S = \pi r^2 = 3{,}14 \cdot 3^2 = 3{,}14 \cdot 9 = 28{,}26$ см².

Задачи для самопроверки

Задачи

Задача 1: Найдите длину окружности радиусом 8 см. Используйте $\pi \approx 3{,}14$.

$C = 2\pi r = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 8 = 50{,}24$ см.
Ответ: 50,24 см.

Задача 2: Диаметр обруча равен 1 м. Какой путь пройдёт точка на обруче за один полный оборот?

$C = \pi d = 3{,}14 \cdot 1 = 3{,}14$ м.
Ответ: 3,14 м — обруч за один оборот проезжает расстояние, равное длине своей окружности.

Задача 3: Длина окружности равна 62,8 см. Найдите диаметр.

$d = \dfrac{C}{\pi} = \dfrac{62{,}8}{3{,}14} = 20$ см.
Ответ: 20 см.

Задача 4: Радиус окружности увеличили в 3 раза. Во сколько раз увеличилась длина окружности?

Так как $C = 2\pi r$ — прямая пропорциональность между $C$ и $r$, увеличение радиуса в 3 раза увеличивает длину окружности тоже ровно в 3 раза.
Ответ: в 3 раза.

Задача 5: Колесо автомобиля имеет диаметр 60 см. Сколько полных оборотов сделает колесо на пути в 600 м (округлите до целого)?

Длина окружности колеса: $C = \pi d = 3{,}14 \cdot 0{,}6 = 1{,}884$ м.
Число оборотов: $\dfrac{600}{1{,}884} \approx 318{,}5$.
Ответ: примерно 318 полных оборотов.

Главное запомнить

Длина окружности: $C = 2\pi r = \pi d$, где r — радиус, d — диаметр
Число $\pi$ — это отношение длины окружности к её диаметру, одинаковое для окружности любого размера
$\pi$ — иррациональное число, на практике используют приближение $\pi \approx 3{,}14$
Не путайте длину окружности ($C = 2\pi r$, единицы длины) с площадью круга ($S = \pi r^2$, квадратные единицы)
Если в условии дан диаметр, а не радиус, используйте формулу $C = \pi d$ или сначала разделите диаметр пополам

Что почитать дальше

Разобрать задачи по теме с AI-репетитором можно в Telegram-боте.